Getaran harmonik
Itu. sebenarnya grafik sinus diperoleh dari perputaran vektor, yang dijelaskan dengan rumus:
F(x) = Dos (ωt + φ),
Dimana A adalah panjang vektor (amplitudo osilasi), φ adalah sudut awal (fase) vektor pada waktu nol, ω adalah kecepatan sudut rotasi, yaitu sama dengan:
ω=2 πf, dimana f adalah frekuensi dalam Hertz.
Seperti yang bisa kita lihat, dengan mengetahui frekuensi sinyal, amplitudo dan sudut, kita dapat membuat sinyal harmonik.
Keajaiban dimulai ketika ternyata representasi sinyal apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah (seringkali tak terbatas) dari sinusoida yang berbeda. Dengan kata lain berbentuk deret Fourier.
Saya akan memberikan contoh dari Wikipedia bahasa Inggris. Mari kita ambil sinyal gigi gergaji sebagai contoh.
Sinyal jalan
Jumlahnya akan diwakili oleh rumus berikut:
Jika kita menjumlahkan satu per satu, ambil dulu n=1, lalu n=2, dst., kita akan melihat bagaimana sinyal sinusoidal harmonik kita berangsur-angsur berubah menjadi gergaji:
Hal ini mungkin diilustrasikan dengan paling indah oleh salah satu program yang saya temukan di Internet. Telah disebutkan di atas bahwa grafik sinus adalah proyeksi vektor yang berputar, tetapi bagaimana dengan sinyal yang lebih kompleks? Anehnya, ini adalah proyeksi dari banyak vektor yang berputar, atau lebih tepatnya jumlah mereka, dan semuanya terlihat seperti ini:
Gergaji gambar vektor.
Secara umum, saya sarankan untuk membuka sendiri tautannya dan mencoba bermain-main dengan parameternya sendiri dan melihat bagaimana sinyalnya berubah. IMHO Saya belum pernah melihat mainan yang lebih visual untuk pemahaman.
Perlu juga dicatat bahwa ada prosedur terbalik yang memungkinkan Anda memperoleh frekuensi, amplitudo, dan fase awal (sudut) dari sinyal tertentu, yang disebut Transformasi Fourier.
Ekspansi deret Fourier yang terkenal fungsi periodik(dari sini)
Saya tidak akan membahasnya secara detail, tetapi saya akan menunjukkan bagaimana hal itu dapat diterapkan dalam kehidupan. Dalam bibliografi saya akan merekomendasikan di mana Anda dapat membaca lebih lanjut tentang materi tersebut.
Mari beralih ke latihan praktis!
Tampak bagi saya bahwa setiap mahasiswa mengajukan pertanyaan sambil duduk di perkuliahan, misalnya tentang matematika: mengapa saya membutuhkan semua omong kosong ini? Dan biasanya, karena tidak menemukan jawaban di masa mendatang, sayangnya, dia kehilangan minat pada subjek tersebut. Jadi, akan kutunjukkan padamu segera penggunaan praktis ilmu ini, dan anda sendiri yang akan menguasai ilmu ini :).
Saya akan menerapkan semuanya sendiri. Saya melakukan semuanya, tentu saja, di Linux, tetapi tidak menggunakan spesifikasi apa pun; secara teori, program ini akan dikompilasi dan dijalankan di platform lain.
Pertama, mari kita menulis sebuah program untuk menghasilkan file audio. File wav diambil sebagai yang paling sederhana. Anda dapat membaca tentang strukturnya.
Singkatnya, struktur file wav digambarkan sebagai berikut: header yang menjelaskan format file, dan kemudian (dalam kasus kami) ada array data 16-bit (pointer) dengan panjang: sampling_frekuensi*t detik atau 44100*t buah.
Sebuah contoh diambil untuk menghasilkan file suara. Saya memodifikasinya sedikit, memperbaiki kesalahan, dan versi final dengan hasil edit saya sekarang ada di Github di sini
Mari kita buat file suara dua detik dengan gelombang sinus murni dengan frekuensi 100 Hz. Untuk melakukan ini, kami memodifikasi program sebagai berikut:
#define S_RATE (44100) //frekuensi pengambilan sampel #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* buffer 2 detik */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... amplitudo float = 32000; //ambil amplitudo maksimum yang mungkin float freq_Hz = 100; //frekuensi sinyal /* mengisi buffer dengan gelombang sinus */ untuk (i=0 ; Saya Perlu diketahui bahwa rumus sinus murni sesuai dengan rumus yang telah kita bahas di atas. Amplitudo 32000 (dapat diambil 32767) sesuai dengan nilai yang dapat diambil oleh bilangan 16-bit (dari minus 32767 hingga plus 32767). Hasilnya, kami mendapatkan file berikut (Anda bahkan dapat mendengarkannya dengan program reproduksi suara apa pun). Mari kita buka file audacity ini dan lihat bahwa grafik sinyal sebenarnya sesuai dengan gelombang sinus murni: Mari kita lihat spektrum sinus ini (Analisis->Plot spektrum) Puncak yang jelas terlihat pada 100 Hz (skala logaritmik). Apa itu spektrum? Ini adalah karakteristik frekuensi amplitudo. Ada juga karakteristik frekuensi fase. Jika Anda ingat, saya katakan di atas bahwa untuk membangun sinyal Anda perlu mengetahui frekuensi, amplitudo, dan fasenya? Jadi, Anda bisa mendapatkan parameter ini dari sinyal. DI DALAM pada kasus ini Kami memiliki grafik frekuensi yang sesuai dengan amplitudo, dan amplitudonya bukan dalam satuan nyata, tetapi dalam Desibel. Saya memahami bahwa untuk menjelaskan cara kerja program, perlu dijelaskan apa itu transformasi Fourier cepat, dan ini setidaknya satu artikel lagi. Pertama, mari kita alokasikan arraynya: C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // array faktor rotasi dalam = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //masukan array keluar = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //rangkaian keluaran Izinkan saya mengatakan bahwa dalam program ini kita membaca data ke dalam array dengan panjang size_array (yang kita ambil dari header file wav). While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break; ) Array FFT harus berupa barisan (re, im, re, im,… re, im), dimana fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком: Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture)); Logaritma jumlah byte dalam data dibagi dengan jumlah byte pada satu titik. Setelah ini, kami menghitung faktor rotasi: Fft_make(p2,c); // fungsi untuk menghitung faktor rotasi untuk FFT (parameter pertama adalah pangkat dua, parameter kedua adalah array faktor rotasi yang dialokasikan). Dan kami memasukkan array kami ke dalam transformator Fourier: Fft_calc(p2, c, masuk, keluar, 1); //(satu berarti kita mendapatkan array yang dinormalisasi). Pada keluarannya kita mendapatkan bilangan kompleks dalam bentuk (re, im, re, im,… re, im). Bagi yang belum mengetahui apa itu bilangan kompleks, akan saya jelaskan. Bukan tanpa alasan saya memulai artikel ini dengan sekumpulan vektor berputar dan sekumpulan GIF. Jadi, vektor pada bidang kompleks ditentukan oleh koordinat real a1 dan koordinat imajiner a2. Atau panjang (ini adalah amplitudo Am bagi kami) dan sudut Psi (fase). Harap dicatat bahwa size_array=2^p2. Titik pertama array berhubungan dengan frekuensi 0 Hz (konstan), titik terakhir berhubungan dengan frekuensi sampling yaitu 44100 Hz. Akibatnya, kita harus menghitung frekuensi yang sesuai dengan setiap titik, yang akan berbeda dengan frekuensi delta: Delta ganda=((float)header.frekuensi)/(float)size_array; //frekuensi pengambilan sampel per ukuran array. Alokasi array amplitudo: Ganda * amp; ampl = calloc(size_array*2, sizeof(ganda)); Dan lihat gambarnya: amplitudo adalah panjang vektor. Dan kami memiliki proyeksinya ke sumbu nyata dan imajiner. Hasilnya, kita akan mendapatkan segitiga siku-siku, dan di sini kita mengingat teorema Pythagoras, dan menghitung panjang setiap vektor, dan segera menuliskannya ke dalam file teks: Untuk(saya=0;saya<(size_array);i+=2) {
fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out)));
cur_freq+=delta;
}
…
11.439514 10.943008
11.607742 56.649738
11.775970 15.652428
11.944199 21.872342
12.112427 30.635371
12.280655 30.329171
12.448883 11.932371
12.617111 20.777617
...
Sekarang kita memberi makan program yang dihasilkan file suara sinus itu ./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav format: 16 bit, PCM tidak terkompresi, saluran 1, frekuensi 44100, 88200 byte per detik, 2 byte dengan pengambilan, 2 bit per sampel, 882000 byte dalam data potongan= 441000 log2=18 ukuran array=262144 format wav Frekuensi Maks = 99.928 , amp =7216.136 Dan kami mendapatkan file teks dari respons frekuensi. Kami membangun grafiknya menggunakan gnuplot Skrip untuk membangun: #! /usr/bin/gnuplot -bertahan set terminal postscript eps warna yang disempurnakan set output "result.ps" #set terminal png ukuran 800, 600 #set output "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" setel ylabel "Amp, dB" setel xrange #set yrange plot "test.txt" menggunakan judul 1:2 "AFC" with lines linestyle 1
!} Harap perhatikan batasan dalam skrip pada jumlah titik di sepanjang X: set xrange . Frekuensi sampling kita adalah 44100, dan jika kita mengingat teorema Kotelnikov, maka frekuensi sinyal tidak boleh lebih tinggi dari setengah frekuensi sampling, oleh karena itu kita tidak tertarik pada sinyal di atas 22050 Hz. Mengapa demikian, saya menyarankan Anda untuk membaca literatur khusus. Perhatikan puncak tajam pada 100 Hz. Jangan lupa bahwa sumbunya berada pada skala logaritmik! Wol di sebelah kanan adalah apa yang menurut saya merupakan kesalahan transformasi Fourier (jendela muncul di sini). Ayo! Mari kita lihat spektrum sinyal lainnya! D_random ganda(min ganda, maks ganda) ( kembalikan min + (maks - min) / RAND_MAX * rand(); ) Ini akan menghasilkan nomor acak dalam rentang yang diberikan. Hasilnya, tampilan utama akan terlihat seperti ini: Int main(int argc, char * argv) ( int i; amplitudo float = 32000; srand((unsigned int)time(0)); //inisialisasi pembangkit bilangan acak untuk (i=0; i Mari kita buat file (saya sarankan mendengarkannya). Mari kita lihat dengan berani. Mari kita lihat spektrum dalam program audacity. Dan mari kita lihat spektrumnya menggunakan program kita: Saya ingin menarik perhatian Anda pada fakta dan fitur kebisingan yang sangat menarik - ini berisi spektrum semua harmonik. Terlihat dari grafik, spektrumnya cukup merata. Biasanya, white noise digunakan untuk analisis frekuensi bandwidth, seperti peralatan audio. Ada jenis kebisingan lainnya: merah muda, biru dan lain-lain. Pekerjaan rumah adalah mencari tahu perbedaannya. Sekarang mari kita lihat sinyal menarik lainnya - sebuah liku-liku. Saya berikan di atas tabel perluasan berbagai sinyal dalam deret Fourier, lihat bagaimana liku-liku meluas, tuliskan di selembar kertas, dan kita akan melanjutkan. Untuk menghasilkan gelombang persegi dengan frekuensi 25 Hz, kami sekali lagi memodifikasi generator file wav kami: Int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* mengisi buffer dengan gelombang sinus */ for (i=0; i Hasilnya, kami mendapatkan file audio (sekali lagi, saya menyarankan Anda untuk mendengarkan), yang harus segera Anda tonton di audacity Jangan bersusah payah dan melihat spektrumnya: Masih belum begitu jelas apa itu... Mari kita lihat beberapa harmonik pertama: Ini masalah yang sangat berbeda! Baiklah, mari kita lihat tandanya. Lihat, kita hanya punya 1, 3, 5, dst., yaitu. harmonik yang aneh. Kita melihat harmonik pertama kita adalah 25 Hz, harmonik berikutnya (ketiga) adalah 75 Hz, kemudian 125 Hz, dan seterusnya, sementara amplitudo kita berangsur-angsur berkurang. Teori bertemu praktik! Gambar ini seperti gambar dari Wikipedia, dimana untuk contoh liku-liku tidak semua frekuensi diambil, melainkan hanya beberapa frekuensi pertama saja. Berliku-liku juga aktif digunakan dalam teknik radio (harus dikatakan bahwa ini adalah dasar dari semua teknologi digital), dan perlu dipahami bahwa dengan rantai panjang dapat disaring sehingga ibu tidak mengenalinya. Hal ini juga digunakan untuk memeriksa respon frekuensi berbagai perangkat. Fakta menarik lainnya adalah bahwa jammer TV bekerja tepat berdasarkan prinsip harmonik yang lebih tinggi, ketika sirkuit mikro itu sendiri menghasilkan liku-liku puluhan MHz, dan harmonik yang lebih tinggi dapat memiliki frekuensi ratusan MHz, tepatnya pada frekuensi pengoperasian TV, dan harmonik yang lebih tinggi berhasil memacetkan sinyal siaran TV. Secara umum, topik eksperimen semacam itu tidak ada habisnya, dan kini Anda dapat melanjutkannya sendiri. Bagi yang belum paham dengan apa yang kami lakukan di sini, atau sebaliknya, bagi yang paham tapi ingin lebih memahaminya, serta bagi mahasiswa yang mempelajari DSP, saya sangat merekomendasikan buku ini. Ini adalah DSP untuk boneka, yang merupakan penulis postingan ini. Di sana, konsep-konsep kompleks dijelaskan dalam bahasa yang dapat diakses bahkan oleh seorang anak pun. Sebagai kesimpulan, saya ingin mengatakan bahwa matematika adalah ratunya ilmu pengetahuan, tetapi tanpa penerapan nyata, banyak orang kehilangan minat terhadapnya. Saya harap postingan ini akan mendorong Anda untuk mempelajari subjek yang luar biasa seperti pemrosesan sinyal, dan sirkuit analog secara umum (tutup telinga Anda agar otak Anda tidak bocor!). :) Tag: Getaran paksa. Resonansi.
Sampai saat ini kita telah membahas osilasi alami, osilasi yang terjadi tanpa adanya pengaruh luar. Pengaruh eksternal diperlukan hanya untuk membawa sistem keluar dari keseimbangan, setelah itu sistem dibiarkan sendiri. Persamaan diferensial osilasi alami tidak mengandung jejak pengaruh eksternal pada sistem: pengaruh ini hanya tercermin dalam kondisi awal. Pembentukan osilasi.
Namun seringkali kita harus menghadapi fluktuasi yang terjadi karena pengaruh eksternal yang terus-menerus hadir. Yang sangat penting dan sekaligus cukup sederhana untuk dipelajari adalah kasus ketika gaya eksternal bersifat periodik. Ciri umum osilasi paksa yang terjadi di bawah pengaruh gaya eksternal periodik adalah bahwa beberapa saat setelah timbulnya gaya eksternal, sistem benar-benar “melupakan” keadaan awalnya, osilasi menjadi diam dan tidak bergantung pada kondisi awal. . Kondisi awal hanya muncul pada periode terjadinya osilasi, yang biasa disebut proses transisi. Efek sinusoidal.
Pertama-tama mari kita perhatikan kasus paling sederhana dari osilasi paksa sebuah osilator di bawah pengaruh gaya eksternal yang bervariasi menurut hukum sinusoidal. Pengaruh eksternal terhadap sistem dapat dilakukan dengan berbagai cara. Misalnya, Anda dapat mengambil pendulum berbentuk bola pada batang panjang dan pegas panjang dengan kekakuan rendah dan memasangkannya pada batang pendulum di dekat titik suspensi, seperti ditunjukkan pada Gambar. 178. Ujung lain pegas yang terletak mendatar harus digerakkan menurut Hukum B dengan bantuan mekanisme engkol yang digerakkan oleh motor listrik. Gaya penggerak yang bekerja pada bandul dari pegas akan praktis sinusoidal jika rentang gerak ujung kiri pegas B jauh lebih besar daripada amplitudo osilasi batang bandul di tempat pegas dipasang. Persamaan gerak.
kamu Persamaan gerak untuk sistem ini dan sistem serupa lainnya, di mana, bersama dengan gaya pemulih dan gaya hambatan, gaya eksternal penggerak bekerja pada osilator, berubah secara sinusoidal terhadap waktu, dapat ditulis dalam bentuk Di sini sisi kiri, di sesuai dengan hukum kedua Newton, adalah hasil kali massa dan percepatan. Suku pertama pada ruas kanan melambangkan gaya pemulih yang sebanding dengan perpindahan dari posisi setimbang. Untuk beban yang digantung pada pegas, ini adalah gaya elastis, dan dalam semua kasus lain, jika sifat fisiknya berbeda, gaya ini disebut kuasi-elastis. Suku kedua adalah gaya gesek yang sebanding dengan kecepatan, misalnya gaya hambatan udara atau gaya gesek pada sumbu. Kita anggap amplitudo dan frekuensi gaya penggerak yang mengguncang sistem adalah konstan. Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan massa dan perkenalkan notasinya. Jika tidak ada gaya penggerak, ruas kanan persamaan tersebut hilang dan, seperti yang diharapkan, hal ini direduksi menjadi persamaan osilasi teredam alami.Pengalaman menunjukkan bahwa dalam semua sistem, di bawah pengaruh gaya eksternal sinusoidal, osilasi pada akhirnya terjadi, yang juga terjadi menurut hukum sinusoidal dengan frekuensi gaya penggerak co dan dengan amplitudo konstan a, tetapi dengan beberapa pergeseran fasa relatif terhadap gaya penggerak. Osilasi seperti ini disebut osilasi paksa dalam kondisi tunak. Pertama-tama mari kita perhatikan osilasi paksa pada kondisi tunak, dan untuk mempermudah kita akan mengabaikan gesekan. Dalam hal ini, persamaan tersebut tidak akan memiliki suku yang mengandung kecepatan. Mari kita coba mencari solusi yang berhubungan dengan osilasi paksa dalam keadaan tunak, dalam bentuk Mari kita hitung turunan keduanya dan substitusikan ke dalam persamaan tersebut. Agar persamaan ini menjadi berlaku kapan saja, koefisien kiri dan kanan harus sama. Dari kondisi ini kita mencari amplitudo osilasi. Mari kita pelajari ketergantungan amplitudo a pada frekuensi c gaya penggerak. Grafik ketergantungan ini ditunjukkan pada Gambar. 179. Mengganti nilai di sini, kita melihat bahwa konstanta gaya terhadap waktu hanya menggeser osilator ke posisi kesetimbangan baru, bergeser dari posisi kesetimbangan lama. Oleh karena itu, ketika perpindahan terjadi, terjadi hubungan fasa. Ketika frekuensi meningkat seiring dengan gaya penggerak dari roda kondisi tunak. 179. grafik, ketergantungan terjadi dalam fase dengan gaya penggerak, dan amplitudonya terus meningkat, perlahan pada awalnya, dan semakin cepat dan semakin cepat, amplitudo osilasi meningkat tanpa batas.Untuk nilai yang melebihi frekuensi osilasi alami , rumusnya memberikan nilai negatif untuk a ( Nasi. 179). Dari rumus tersebut jelas bahwa bila osilasi terjadi antifase dengan gaya penggerak: bila gaya bekerja dalam satu arah, maka osilator digeser ke arah yang berlawanan. Dengan peningkatan frekuensi gaya penggerak yang tidak terbatas, amplitudo osilasi cenderung nol. Akan lebih mudah untuk menganggap amplitudo osilasi menjadi positif dalam semua kasus, yang mudah dicapai dengan memperkenalkan pergeseran fasa antara penggerak.Di sini a masih diberikan oleh rumus, dan pergeseran fasa sama dengan nol pada. Grafik gaya penggerak versus frekuensi ditunjukkan pada Gambar. 180. Resonansi.
Ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak bersifat nonmonotonik. Peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami co0 osilator disebut resonansi.Rumus tersebut memberikan ekspresi amplitudo osilasi paksa dengan mengabaikan gesekan. Dengan pengabaian inilah amplitudo osilasi berubah menjadi tak terhingga dengan frekuensi yang sama persis. Pada kenyataannya, amplitudo osilasi, tentu saja, tidak dapat mencapai tak terhingga, yang berarti bahwa ketika menggambarkan osilasi paksa di dekat resonansi, pada dasarnya perlu untuk memperhitungkan gesekan. Ketika gesekan diperhitungkan, amplitudo osilasi paksa pada resonansi menjadi terbatas. Semakin besar gesekan pada sistem maka akan semakin kecil. Jauh dari resonansi, rumus tersebut dapat digunakan untuk mencari amplitudo osilasi meskipun terdapat gesekan, jika tidak terlalu kuat. Selain itu, rumus ini, yang diperoleh tanpa memperhitungkan gesekan, hanya memiliki arti fisis jika ada gesekan. Faktanya adalah bahwa konsep osilasi paksa dalam keadaan tunak hanya dapat diterapkan pada sistem yang terdapat gesekan. Jika tidak ada gesekan sama sekali, maka proses terjadinya osilasi akan terus berlanjut tanpa batas waktu. Pada kenyataannya, ini berarti bahwa ekspresi amplitudo osilasi paksa yang diperoleh tanpa memperhitungkan gesekan akan menggambarkan osilasi dalam sistem dengan tepat hanya setelah jangka waktu yang cukup lama setelah dimulainya aksi gaya penggerak. Yang dimaksud dengan “jangka waktu yang cukup lama” di sini adalah bahwa proses transisi telah berakhir, yang durasinya bertepatan dengan karakteristik waktu peluruhan osilasi alam dalam sistem. Pada gesekan rendah, osilasi paksa dalam keadaan tunak terjadi sefase dengan gaya penggerak di co dan dalam antifase di, seperti tanpa adanya gesekan. Namun, di dekat resonansi, fase tidak berubah secara tiba-tiba, tetapi terus menerus, dan dengan frekuensi yang sama persis, perpindahan fase tertinggal dari gaya penggerak sebesar (seperempat periode). Dalam hal ini, kecepatan berubah sefase dengan gaya penggerak, yang memberikan kondisi paling menguntungkan untuk transfer energi dari sumber gaya penggerak eksternal ke osilator. Arti fisis apa yang dimiliki masing-masing suku dalam persamaan yang menjelaskan osilasi paksa osilator? Apa yang dimaksud dengan osilasi paksa pada kondisi tunak? Dalam kondisi apa kita dapat menggunakan rumus amplitudo osilasi paksa dalam keadaan tunak, yang diperoleh tanpa memperhitungkan gesekan? Apa itu resonansi? Berikan contoh yang Anda ketahui tentang manifestasi dan penggunaan fenomena resonansi. Jelaskan pergeseran fasa antara gaya penggerak dan pencampuran untuk perbandingan yang berbeda antara frekuensi gaya penggerak dan frekuensi alami osilator. Apa yang menentukan lamanya proses terjadinya osilasi paksa? Berikan alasan atas jawaban Anda. Diagram vektor.
Anda dapat memverifikasi validitas pernyataan di atas jika Anda memperoleh solusi persamaan yang menggambarkan osilasi paksa dalam kondisi tunak dengan adanya gesekan. Karena osilasi dalam keadaan tunak terjadi dengan frekuensi gaya penggerak c dan pergeseran fasa tertentu, penyelesaian persamaan yang sesuai dengan osilasi tersebut harus dicari dalam bentuk. Dalam hal ini, kecepatan dan percepatan, tentu saja, juga akan berubah dengan waktu menurut hukum harmonik.Amplitudo osilasi paksa keadaan tunak dan fase pergeseran dapat ditentukan dengan mudah menggunakan diagram vektor. Mari kita manfaatkan fakta bahwa nilai sesaat dari setiap besaran yang berubah menurut hukum harmonik dapat direpresentasikan sebagai proyeksi suatu vektor ke arah yang telah dipilih sebelumnya, dan vektor itu sendiri berputar secara seragam pada bidang dengan frekuensi co, dan panjang konstannya sama dengan nilai amplitudo besaran osilasi ini. Sesuai dengan ini, kita mengasosiasikan dengan setiap suku persamaan sebuah vektor yang berputar dengan kecepatan sudut, yang panjangnya sama dengan nilai amplitudo suku tersebut.Karena proyeksi jumlah beberapa vektor sama dengan jumlah vektor proyeksi vektor-vektor tersebut, persamaannya berarti jumlah vektor-vektor yang berhubungan dengan suku-suku di ruas kiri sama dengan vektor yang berhubungan dengan besaran di ruas kanan. Untuk membangun vektor-vektor ini, kita tuliskan nilai sesaat semua suku di ruas kiri persamaan, dengan memperhatikan hubungannya.Dari rumus tersebut jelas bahwa vektor panjang yang berhubungan dengan besaran berada di depan sudut sebesar vektor yang terkait dengan kuantitas. Vektor panjang yang dipetakan ke anggota didahului oleh vektor panjang. vektor-vektor ini diarahkan ke arah yang berlawanan. Posisi relatif dari vektor-vektor ini untuk momen waktu yang berubah-ubah ditunjukkan pada Gambar. 181. Seluruh sistem vektor berputar secara keseluruhan dengan kecepatan sudut c berlawanan arah jarum jam di sekitar suatu titik. Nilai sesaat dari semua besaran diperoleh dengan memproyeksikan vektor-vektor yang bersesuaian ke arah yang telah dipilih sebelumnya. Vektor yang berhubungan dengan ruas kanan persamaan sama dengan jumlah vektor-vektor yang ditunjukkan pada Gambar. 181. Penambahan ini ditunjukkan pada Gambar. 182. Dengan menerapkan teorema Pythagoras, kita memperoleh dari mana kita menemukan amplitudo osilasi paksa dalam keadaan tunak Pergeseran fasa antara gaya penggerak dan perpindahan, seperti dapat dilihat dari diagram vektor pada Gambar. 182 negatif karena vektor panjangnya tertinggal dari vektor. Oleh karena itu, osilasi paksa dalam keadaan tunak terjadi menurut hukum harmonik, yang ditentukan oleh rumus. Kurva resonansi.
Amplitudo osilasi paksa yang terjadi sebanding dengan amplitudo gaya penggerak. Mari kita pelajari ketergantungan amplitudo osilasi pada frekuensi gaya penggerak. Pada redaman rendah ketergantungan ini mempunyai karakter yang sangat tajam. Jika, maka co cenderung ke frekuensi osilasi bebas, maka amplitudo osilasi paksa a cenderung tak terhingga, yang bertepatan dengan hasil yang diperoleh sebelumnya. Dengan adanya redaman, amplitudo osilasi pada resonansi tidak lagi mencapai tak terhingga, meskipun secara signifikan melebihi amplitudo osilasi di bawah pengaruh gaya eksternal yang besarnya sama, tetapi memiliki frekuensi yang jauh dari frekuensi resonansi. Kurva resonansi untuk berbagai nilai konstanta redaman y ditunjukkan pada Gambar. 183. Untuk mencari frekuensi resonansi cutoff, Anda perlu mencari nilai minimum ekspresi radikal dalam rumus. Menyamakan turunan ekspresi ini dengan nol atau melengkapinya dengan kuadrat sempurna, kami yakin bahwa amplitudo maksimum osilasi paksa terjadi ketika frekuensi resonansi lebih kecil dari frekuensi osilasi bebas sistem. Pada y kecil, frekuensi resonansinya hampir sama. Karena frekuensi gaya penggerak cenderung tak terhingga pada, maka amplitudo a, seperti terlihat, cenderung nol di bawah pengaruh gaya luar yang konstan. Ini adalah perpindahan statis osilator dari posisi setimbang di bawah pengaruh gaya konstan.Amplitudo maksimum. Kita mencari amplitudo osilasi paksa pada resonansi dengan mensubstitusikan frekuensi dari ke dalam persamaan.Semakin kecil konstanta redaman, semakin besar amplitudo osilasi pada resonansi. Saat mempelajari osilasi paksa di dekat resonansi, gesekan tidak dapat diabaikan, tidak peduli seberapa kecilnya: hanya ketika redaman diperhitungkan, amplitudo pada resonansi adalah terbatas. pengaruh kekuatan. Dengan menyusun rasio, kita peroleh pada redaman rendah. Menggantikan di sini dan memperhitungkan bahwa ada seumur hidup dari osilasi teredamnya sendiri untuk sistem yang sama tanpa adanya gaya eksternal, kita menemukan Tetapi adalah jumlah osilasi yang dilakukan oleh osilator teredam selama masa osilasi. Dengan demikian, sifat resonansi sistem dicirikan oleh parameter yang sama dengan osilasi teredamnya.Hubungan fase. Rumusnya memungkinkan untuk menganalisis perubahan pergeseran fasa antara gaya luar dan perpindahan selama osilasi paksa. Ketika nilai d mendekati nol. Artinya pada frekuensi rendah perpindahan osilator terjadi sefasa dengan gaya luar. Ketika engkol berputar perlahan pada Gambar. 178 pendulum bergerak seiring waktu dengan ujung kanan batang penghubung, jika cenderung nol dari sisi nilai negatif, maka pergeseran fasa sama dan osilator bergeser antifase dengan gaya penggerak. Dalam resonansi, seperti dapat dilihat dari sini, perpindahan fasenya tertinggal di belakang gaya eksternal. Rumus kedua menunjukkan bahwa dalam hal ini gaya luar berubah sefasa dengan kecepatan dan sepanjang waktu bekerja searah gerakan. Bahwa memang seharusnya demikian, jelas dari pertimbangan intuitif Resonansi kecepatan. Dapat dilihat dari rumus bahwa amplitudo osilasi kecepatan pada osilasi paksa dalam keadaan tunak adalah sama. Dengan bantuan yang kita peroleh, ketergantungan amplitudo kecepatan pada frekuensi gaya eksternal ditunjukkan pada Gambar. 184. Kurva resonansi untuk kecepatan, meskipun mirip dengan kurva resonansi untuk perpindahan, berbeda dalam beberapa hal. Jadi, di bawah aksi gaya konstan, osilator mengalami perpindahan statis dari posisi setimbang dan kecepatannya setelah proses transisi berakhir adalah nol. Jelas dari rumus bahwa amplitudo kecepatan di hilang. Resonansi kecepatan terjadi ketika frekuensi gaya luar sama persis dengan frekuensi osilasi bebas. Tubuh yang sama dapat berpartisipasi secara bersamaan dalam dua gerakan atau lebih. Contoh sederhananya adalah gerak bola yang dilempar membentuk sudut terhadap horizontal. Kita dapat berasumsi bahwa bola berpartisipasi dalam dua gerakan independen yang saling tegak lurus: seragam secara horizontal dan variabel seragam secara vertikal. Satu benda (titik material) yang sama dapat berpartisipasi dalam dua (atau lebih) gerakan osilasi. Di bawah penambahan osilasi memahami definisi hukum getaran yang dihasilkan jika sistem osilasi secara bersamaan berpartisipasi dalam beberapa proses osilasi. Ada dua kasus yang membatasi - penambahan osilasi dalam satu arah dan penambahan osilasi yang saling tegak lurus. 1. Penjumlahan dua getaran yang arahnya sama(osilasi searah) dapat dilakukan dengan menggunakan metode diagram vektor (Gambar 9) daripada menambahkan dua persamaan. Gambar 2.1 menunjukkan vektor amplitudo A 1(t) dan A 2 (t) menambahkan osilasi pada momen waktu t yang berubah-ubah, ketika fase osilasi ini masing-masing sama Osilasi yang dihasilkan Gambar 2.1 – Penambahan osilasi searah. Besaran vektor A(t) dapat dicari dengan menggunakan teorema kosinus: Fase osilasi yang dihasilkan diberikan dengan rumus: Jika frekuensi osilasi tambahan ω 1 dan ω 2 tidak sama, maka fasa φ(t) dan amplitudonya A(t) Fluktuasi yang diakibatkannya akan berubah seiring berjalannya waktu. Osilasi tambahan disebut kacau pada kasus ini. 2. Dua getaran harmonik x 1 dan x 2 disebut koheren, jika perbedaan fasanya tidak bergantung pada waktu: Namun karena untuk memenuhi syarat koherensi kedua osilasi ini, frekuensi sikliknya harus sama. Amplitudo osilasi yang dihasilkan, diperoleh dengan menambahkan osilasi searah dengan frekuensi yang sama (osilasi koheren), adalah sama dengan: Fase awal dari osilasi yang dihasilkan mudah ditemukan jika Anda memproyeksikan vektornya A 1 dan A 2 pada sumbu koordinat OX dan OU (lihat Gambar 9): Jadi, osilasi yang dihasilkan yang diperoleh dengan menambahkan dua osilasi harmonik searah dengan frekuensi yang sama juga merupakan osilasi harmonik. 3. Mari kita pelajari ketergantungan amplitudo osilasi yang dihasilkan pada perbedaan fase awal osilasi yang ditambahkan. Jika , dimana n adalah bilangan bulat non-negatif (n = 0, 1, 2…), lalu Jika 4. Penambahan osilasi searah dengan frekuensi yang tidak sama tetapi serupa. Bukan frekuensi osilasi yang ditambahkan sama, tetapi perbedaan frekuensi Contoh penambahan osilasi searah dengan frekuensi dekat adalah pergerakan bandul pegas horizontal yang kekakuan pegasnya sedikit berbeda k 1 dan k 2. Biarkan amplitudo osilasi yang ditambahkan sama Osilasi yang dihasilkan dijelaskan dengan persamaan: Persamaan osilasi yang dihasilkan bergantung pada produk dua fungsi harmonik: satu dengan frekuensi Nilai absolut kosinus diambil karena amplitudonya bernilai positif. Sifat ketergantungan x res. selama pemukulan ditunjukkan pada Gambar 2.2. Gambar 2.2 – Ketergantungan perpindahan pada waktu selama pemukulan. Amplitudo denyut berubah perlahan seiring dengan frekuensi. Nilai absolut kosinus berulang jika argumennya berubah sebesar π, yang berarti nilai amplitudo yang dihasilkan akan berulang setelah selang waktu τ b, disebut mengalahkan periode(Lihat Gambar 12). Nilai periode ketukan dapat ditentukan dari hubungan berikut: Nilainya adalah periode pemukulan. Besarnya 1. Model yang dapat menunjukkan penjumlahan osilasi saling tegak lurus disajikan pada Gambar 2.3. Sebuah pendulum (titik material bermassa m) dapat berosilasi sepanjang sumbu OX dan OU di bawah aksi dua gaya elastis yang diarahkan saling tegak lurus. Gambar 2.3 Getaran terlipat berbentuk: Frekuensi osilasi didefinisikan sebagai , , dimana , adalah koefisien kekakuan pegas. 2. Pertimbangkan kasus penjumlahan dua getaran yang saling tegak lurus dengan frekuensi yang sama Ketika suatu titik terlibat dalam dua gerakan secara bersamaan, lintasannya bisa berbeda dan cukup rumit. Persamaan lintasan osilasi yang dihasilkan pada bidang OXY jika dijumlahkan dua osilasi yang saling tegak lurus dengan frekuensi yang sama dapat ditentukan dengan mengecualikan waktu t dari persamaan awal untuk x dan y: Jenis lintasan ditentukan oleh perbedaan fase awal dari osilasi yang ditambahkan, yang bergantung pada kondisi awal (lihat § 1.1.2). Mari pertimbangkan opsi yang memungkinkan. dan jika (Gambar 2.3a). Gambar 2.3.a Gambar 2.3b b) Jika (Gambar 2.3b). Dalam kedua kasus (a, b), pergerakan titik yang dihasilkan adalah osilasi sepanjang garis lurus yang melalui titik O. Frekuensi osilasi yang dihasilkan sama dengan frekuensi osilasi yang ditambahkan ω 0, amplitudo ditentukan oleh relasi. Penambahan beberapa osilasi yang arahnya sama (atau, yang sama, penambahan beberapa fungsi harmonik) sangat difasilitasi dan menjadi jelas jika osilasi tersebut digambarkan secara grafis sebagai vektor pada suatu bidang. Mari kita ambil sebuah sumbu, yang kita nyatakan sebagai "x". Dari titik O, diambil pada sumbu, pada sudut a sama dengan fase awal osilasi, kita plot vektor dengan panjang A (Gbr. 8.3). Mari kita memproyeksikan vektor A ke sumbu x, kita mendapatkan x 0 =A karena a adalah perpindahan awal titik osilasi dari posisi setimbang. Mari kita putar vektor ini berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan sudut w 0 . Posisi vektor ini pada suatu waktu akan ditandai dengan sudut yang sama dengan: w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w 0 t 3 +a; dll. Dan proyeksi vektor ini akan bergerak sepanjang sumbu “x” dalam rentang –A hingga +A. Selain itu, koordinat proyeksi ini akan berubah seiring berjalannya waktu sesuai dengan hukum: Akibatnya, proyeksi ujung vektor ke suatu sumbu sembarang akan menghasilkan osilasi harmonik dengan amplitudo sama dengan panjang vektor, frekuensi melingkar sama dengan kecepatan sudut rotasi vektor, dan fase awal sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu pada momen waktu awal. Jadi, osilasi harmonik dapat ditentukan dengan menggunakan vektor yang panjangnya sama dengan amplitudo osilasi, dan arah vektor membentuk sudut dengan sumbu “x” sama dengan fase awal osilasi. Mari kita nyatakan osilasi menggunakan vektor dan (Gbr. 8.4) Dengan menggunakan aturan penjumlahan vektor, kita membuat vektor yang dihasilkan. Proyeksi vektor ini pada sumbu X akan sama dengan jumlah proyeksi vektor-vektor penjumlahan: x=x 1 +x 2. Oleh karena itu, vektor mewakili getaran yang dihasilkan. Vektor ini berputar dengan kecepatan sudut yang sama w 0 dengan vektor dan , sehingga gerak yang dihasilkan adalah osilasi harmonik c dengan frekuensi w 0 , amplitudo “a” dan fase awal a. Dari konstruksinya berikut ini Jadi, representasi osilasi harmonik melalui vektor memungkinkan untuk mereduksi penambahan beberapa osilasi ke operasi penjumlahan vektor. Cara ini lebih sederhana dan jelas dibandingkan menggunakan transformasi trigonometri. Mari kita menganalisis ekspresi amplitudo. Jika beda fasa kedua osilasi a 2 - a 1 = 0, maka amplitudo osilasi yang dihasilkan sama dengan jumlah ( A 2 + A 1). Jika beda fasa a 2 - a 1 = +p atau -p, mis. osilasi berada dalam antifase, maka amplitudo osilasi yang dihasilkan sama dengan . Jika frekuensi getaran x 1 dan x 2 tidak sama, maka vektor-vektor tersebut akan berputar dengan kecepatan yang berbeda. Dalam hal ini, vektor yang dihasilkan akan berdenyut besarnya dan berputar dengan kecepatan yang bervariasi.Oleh karena itu, gerakan yang dihasilkan dalam kasus ini adalah Bukan hanya osilasi harmonik, tetapi suatu proses osilasi yang kompleks. Mari pilih sumbu. Dari titik O, yang diambil pada sumbu ini, kita plot sebuah vektor dengan panjang , membentuk sudut dengan sumbu. Jika kita memutar vektor ini dengan kecepatan sudut, maka proyeksi ujung vektor ke sumbu akan berubah seiring waktu sesuai dengan hukum. Diagram vektor memungkinkan untuk mengurangi penambahan osilasi pada penjumlahan geometri vektor. Perhatikan penjumlahan dua getaran harmonik yang arahnya sama dan frekuensinya sama, yang mempunyai bentuk sebagai berikut: Mari kita nyatakan kedua osilasi menggunakan vektor dan (Gbr. 7.5). Mari kita buat vektor yang dihasilkan menggunakan aturan penjumlahan vektor. Sangat mudah untuk melihat bahwa proyeksi vektor ini ke sumbu sama dengan jumlah proyeksi suku-suku vektor. Oleh karena itu, vektor mewakili getaran yang dihasilkan. Vektor ini berputar dengan kecepatan sudut yang sama dengan vektor-vektor tersebut, sehingga gerak yang dihasilkan akan berupa osilasi harmonis dengan frekuensi, amplitudo, dan fasa awal. Menurut teorema kosinus, kuadrat amplitudo osilasi yang dihasilkan akan sama dengan Jadi, representasi osilasi harmonik melalui vektor memungkinkan untuk mereduksi penambahan beberapa osilasi ke operasi penjumlahan vektor. Rumus (7.3) dan (7.4) tentu saja dapat diperoleh dengan menjumlahkan ekspresi dan secara analitis, tetapi metode diagram vektor lebih sederhana dan jelas. OSILASI TEREDAM Dalam setiap sistem osilasi nyata terdapat gaya resistensi, yang tindakannya menyebabkan penurunan energi sistem. Jika energi yang hilang tidak digantikan oleh kerja gaya luar, osilasi akan padam. Dalam kasus yang paling sederhana, dan sekaligus paling umum, gaya hambatan sebanding dengan kecepatan: Di mana R– nilai konstan yang disebut koefisien resistansi. Tanda minus disebabkan oleh fakta bahwa gaya dan kecepatan mempunyai arah yang berlawanan; oleh karena itu, proyeksinya ke sumbu X mempunyai tanda yang berbeda-beda. Persamaan hukum kedua Newton dengan adanya gaya hambatan berbentuk: Dengan menggunakan notasi , , kita menulis ulang persamaan gerak sebagai berikut: Persamaan ini menjelaskan kabur osilasi sistem. Koefisien tersebut disebut koefisien atenuasi. Grafik percobaan osilasi teredam pada koefisien redaman rendah disajikan pada Gambar. 7.6. Dari Gambar. 7.6 Anda dapat melihat bahwa grafik ketergantungan terlihat seperti kosinus dikalikan dengan suatu fungsi yang berkurang seiring waktu. Fungsi ini ditunjukkan pada gambar dengan garis putus-putus. Fungsi sederhana yang berperilaku serupa adalah fungsi eksponensial. Oleh karena itu, solusinya dapat ditulis sebagai: di mana frekuensi osilasi teredam. Besarnya X secara berkala melewati nol dan mencapai maksimum dan minimum dalam jumlah tak terhingga. Selang waktu antara dua lintasan yang berurutan melalui titik nol sama dengan . Nilai gandanya disebut periode osilasi. Pengganda di depan fungsi periodik disebut amplitudo osilasi teredam. Ini berkurang secara eksponensial seiring berjalannya waktu. Tingkat peluruhan ditentukan oleh . Waktu setelah amplitudo osilasi berkurang satu faktor disebut waktu redaman. Selama waktu ini, sistem berosilasi. Redaman osilasi biasanya ditandai penurunan redaman logaritmik. Penurunan redaman logaritmik adalah logaritma rasio amplitudo pada momen perpindahan kuantitas berosilasi secara berurutan melalui maksimum atau minimum: Jumlah osilasi terkait dengan hubungan: Besarannya disebut faktor kualitas sistem osilasi. Semakin tinggi faktor kualitasnya, semakin besar jumlah osilasi yang berhasil diselesaikan sistem sebelum amplitudonya berkurang satu faktor. Besaran konstan dan , seperti halnya osilasi harmonik, dapat ditentukan dari kondisi awal. GETARAN PAKSA Osilasi yang terjadi di bawah pengaruh gaya periodik eksternal disebut osilasi paksa. Gaya eksternal melakukan kerja positif dan memberikan aliran energi ke sistem osilasi. Itu tidak membiarkan getaran padam, meskipun ada aksi gaya perlawanan. Kekuatan eksternal periodik dapat berubah seiring waktu menurut berbagai hukum. Yang menarik adalah kasus ketika gaya eksternal, yang bervariasi menurut hukum harmonik dengan frekuensi ω, bekerja pada sistem osilasi yang mampu melakukan osilasinya sendiri pada frekuensi tertentu ω 0. Misalnya, jika Anda menarik beban yang digantung pada pegas dengan frekuensi , maka beban tersebut akan melakukan osilasi harmonik dengan frekuensi gaya luar, meskipun frekuensi ini tidak sesuai dengan frekuensi alami pegas. Biarkan suatu gaya eksternal periodik bekerja pada sistem. Dalam hal ini, kita dapat memperoleh persamaan berikut yang menggambarkan gerak sistem tersebut: Di mana . Selama osilasi paksa, amplitudo osilasi, dan akibatnya, energi yang ditransfer ke sistem osilasi, bergantung pada hubungan antara frekuensi dan, serta pada koefisien atenuasi. Setelah timbulnya pengaruh gaya luar pada sistem osilasi, diperlukan waktu tertentu untuk terjadinya osilasi paksa. Pada saat awal, kedua proses tereksitasi dalam sistem osilasi - osilasi paksa pada frekuensi ω dan osilasi bebas pada frekuensi alami ω 0. Namun getaran bebas teredam karena adanya gaya gesekan yang tak terhindarkan. Oleh karena itu, setelah beberapa waktu, hanya osilasi stasioner pada frekuensi gaya penggerak eksternal yang tersisa dalam sistem osilasi. Waktu pembentukan, dalam urutan besarnya, sama dengan waktu redaman osilasi bebas dalam sistem osilasi. Osilasi paksa beban pada pegas dalam keadaan tunak terjadi menurut hukum harmonik dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi pengaruh luar. Dapat ditunjukkan bahwa dalam keadaan tunak solusi persamaan (7.6) ditulis sebagai: Jadi, getaran paksa adalah getaran harmonis yang frekuensinya sama dengan frekuensi gaya penggerak. Amplitudo osilasi paksa sebanding dengan amplitudo gaya penggerak. Untuk sistem osilasi tertentu (yaitu sistem dengan nilai dan ) tertentu, amplitudo bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Osilasi paksa berbeda fase dari gaya penggeraknya. Pergeseran fasa tergantung pada frekuensi gaya penggerak. RESONANSI Ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak mengarah pada fakta bahwa pada frekuensi tertentu yang ditentukan untuk sistem tertentu, amplitudo osilasi mencapai nilai maksimum. Sistem osilasi ternyata sangat responsif terhadap aksi gaya penggerak pada frekuensi ini. Fenomena ini disebut resonansi, dan frekuensi yang sesuai adalah frekuensi resonansi. Secara grafis, ketergantungan amplitudo xm osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak dijelaskan oleh kurva resonansi (Gbr. 7.9). Mari kita pelajari perilaku amplitudo osilasi paksa tergantung pada frekuensi. Dengan membiarkan amplitudo gaya penggerak tidak berubah, kita akan mengubah frekuensinya. Saat kita mendapatkannya deviasi statis di bawah pengaruh gaya konstan: Dengan meningkatnya frekuensi, amplitudo perpindahan mula-mula juga meningkat, kemudian melewati maksimum dan, akhirnya, cenderung asimtotik ke nol. Dari Gambar. 7.9 juga jelas bahwa semakin kecil , semakin tinggi dan ke kanan letak maksimum kurva ini. Selain itu, semakin kecil , semakin banyak amplitudo di dekat resonansi yang berubah seiring frekuensi, semakin tajam nilai maksimumnya. Fenomena resonansi dapat menyebabkan hancurnya jembatan, bangunan, dan bangunan lainnya jika frekuensi alami osilasinya bertepatan dengan frekuensi gaya luar yang bekerja secara periodik. Fenomena resonansi harus diperhitungkan ketika merancang mesin dan berbagai jenis struktur. Frekuensi alami perangkat ini tidak boleh mendekati frekuensi kemungkinan pengaruh eksternal. Contoh Dikatakan bahwa tenor hebat Enrico Caruso dapat memecahkan gelas piala dengan menyanyikan sebuah nada pada nada yang tepat dengan suara penuh. Dalam hal ini, suara menyebabkan getaran paksa pada dinding kaca. Selama resonansi, getaran dinding dapat mencapai amplitudo sedemikian rupa sehingga kaca pecah. Lakukan percobaan Dekati alat musik petik dan teriakkan “a” dengan keras: salah satu senar akan merespons dan berbunyi. Senar yang beresonansi dengan frekuensi suara ini akan bergetar lebih kuat daripada senar lainnya - senar tersebut akan merespons suara tersebut. Regangkan tali tipis secara horizontal. Pasang pendulum yang terbuat dari benang dan plastisin ke sana. Lemparkan pendulum serupa lainnya ke atas tali, tetapi dengan benang yang lebih panjang. Panjang suspensi pendulum ini dapat diubah dengan menarik ujung benang yang bebas dengan tangan. Atur pendulum ini menjadi gerakan osilasi. Dalam hal ini, pendulum pertama juga akan mulai berosilasi, tetapi dengan amplitudo yang lebih kecil. Tanpa menghentikan osilasi bandul kedua, secara bertahap kurangi panjang suspensinya - amplitudo osilasi bandul pertama akan meningkat. Pada percobaan kali ini yang menggambarkan resonansi getaran mekanis, pendulum pertama merupakan penerima getaran yang tereksitasi oleh pendulum kedua. Penyebab yang menyebabkan bandul pertama berosilasi adalah karena osilasi periodik tali yang frekuensinya sama dengan frekuensi osilasi bandul kedua. Getaran paksa bandul pertama akan mempunyai amplitudo maksimum hanya jika frekuensi alaminya bertepatan dengan frekuensi osilasi bandul kedua. OSILASI DIRI Ada banyak sekali dan beragam ciptaan tangan manusia di mana osilasi diri muncul dan digunakan. Pertama-tama, ini adalah berbagai alat musik. Sudah di zaman kuno - terompet dan terompet, terompet, peluit, seruling primitif. Kemudian - biola, di mana gaya gesekan antara busur dan senar digunakan untuk membangkitkan suara; berbagai alat musik tiup; harmoni di mana suara dihasilkan oleh buluh logam yang bergetar di bawah pengaruh aliran udara yang konstan; organ yang pipanya beresonansi, kolom udara keluar melalui celah sempit. Diketahui bahwa gaya gesekan geser praktis tidak bergantung pada kecepatan. Namun, justru karena ketergantungan gaya gesekan yang sangat lemah pada kecepatan maka senar biola berbunyi. Pandangan kualitatif tentang ketergantungan gaya gesekan busur pada tali ditunjukkan pada Gambar. 7.12. Karena gaya gesekan statis, tali ditangkap oleh busur dan dipindahkan dari posisi setimbangnya. Ketika gaya elastis melebihi gaya gesekan, tali akan terlepas dari busur dan bergegas ke posisi setimbang dengan kecepatan yang terus meningkat. Kecepatan tali relatif terhadap busur yang bergerak akan meningkat, gaya gesekan akan meningkat dan pada saat tertentu akan cukup untuk mencengkeram tali. Kemudian prosesnya akan berulang lagi. Jadi, busur yang bergerak dengan kecepatan konstan akan menyebabkan getaran tali yang tidak teredam. Pada instrumen senar busur, osilasi mandiri dipertahankan oleh gaya gesekan yang bekerja antara busur dan senar, dan pada instrumen tiup, hembusan aliran udara mempertahankan osilasi mandiri kolom udara di pipa instrumen. Lebih dari seratus dokumen Yunani dan Latin dari waktu yang berbeda menyebutkan nyanyian "Colossus of Memnon" yang terkenal - patung salah satu firaun yang memerintah pada abad ke-14 SM, dipasang di dekat kota Luxor, Mesir. Patung ini tingginya sekitar 20 meter, dan beratnya mencapai seribu ton. Di bagian bawah raksasa tersebut, ditemukan serangkaian retakan dan lubang dengan ruang berbentuk rumit yang terletak di belakangnya. Colossus of Memnon adalah organ raksasa yang bersuara di bawah pengaruh arus udara alami. Patung itu meniru suara manusia. Getaran alami yang sifatnya agak eksotis adalah pasir bernyanyi. Pada abad ke-14, penjelajah besar Marco Polo menyebutkan “pantai yang indah” dari Danau Lop Nor yang misterius di Asia. Selama enam abad, pasir bernyanyi telah ditemukan di berbagai tempat di seluruh benua. Dalam kebanyakan kasus, mereka menimbulkan ketakutan di kalangan penduduk lokal dan menjadi subyek legenda dan tradisi. Jack London menggambarkan pertemuan dengan pasir bernyanyi dari karakter dalam novel "Hearts of Three", yang pergi dengan seorang pemandu untuk mencari harta karun bangsa Maya kuno. "Saat para dewa tertawa, hati-hati!" – lelaki tua itu berteriak memperingatkan. Dia menggambar lingkaran di pasir dengan jarinya, dan saat dia menggambar, pasir menderu dan memekik; lalu lelaki tua itu berlutut, pasir menderu dan meniup terompet.” Ada pasir bernyanyi dan bahkan gunung pasir bernyanyi di dekat Sungai Ili di Kazakhstan. Gunung Kalkan, organ alam raksasa, menjulang setinggi hampir 300 meter. Orang-orang menyebutnya secara berbeda: “gundukan bernyanyi”, “gunung bernyanyi”. Terbuat dari pasir berwarna terang dan dengan latar belakang taji gelap Dzhungar Alatau di Kalkan Besar dan Kecil, menyajikan pemandangan yang luar biasa karena kontras warnanya. Saat ada angin dan bahkan saat seseorang turun darinya, gunung mengeluarkan suara yang merdu. Setelah hujan dan selama periode tenang, gunung menjadi sunyi. Wisatawan suka mengunjungi Singing Dune dan, setelah mendaki salah satu dari tiga puncaknya, mengagumi panorama Ili dan punggung bukit Trans-Ili Alatau. Jika gunung sepi, pengunjung yang bersemangat akan “membuatnya bernyanyi.” Untuk melakukan ini, Anda perlu berlari cepat di sepanjang lereng gunung, aliran pasir akan mengalir dari bawah kaki Anda, dan dengungan akan muncul dari kedalaman bukit pasir. Berabad-abad telah berlalu sejak ditemukannya pasir bernyanyi, dan belum ada penjelasan yang memuaskan mengenai fenomena menakjubkan ini. Dalam beberapa tahun terakhir, ahli akustik Inggris, serta ilmuwan Soviet V.I., telah membahas masalah ini. Arabaji. Arabaji berpendapat bahwa lapisan atas pasir yang mengeluarkan suara bergerak di bawah semacam gangguan konstan sepanjang lapisan bawah yang lebih keras dengan profil permukaan bergelombang. Karena gaya gesekan ketika lapisan saling bergerak, suara tereksitasi. Osilasi paksa adalah osilasi yang tidak teredam. Hilangnya energi yang tak terhindarkan akibat gesekan selama getaran paksa dikompensasi oleh pasokan energi dari sumber eksternal yang bekerja secara berkala. Ada sistem di mana osilasi tak teredam muncul bukan karena pengaruh eksternal berkala, namun karena kemampuan sistem tersebut untuk mengatur pasokan energi dari sumber konstan. Sistem seperti ini disebut osilasi mandiri, dan proses osilasi tak teredam dalam sistem seperti itu disebut osilasi mandiri. .
Secara skematis, sistem osilasi sendiri dapat direpresentasikan sebagai sumber energi, osilator dengan redaman, dan perangkat umpan balik antara sistem osilasi dan sumbernya (Gbr. 7.10). Sistem mekanis apa pun yang mampu melakukan osilasi teredamnya sendiri (misalnya pendulum jam dinding) dapat digunakan sebagai sistem osilasi. Sumber energi dapat berupa pegas yang mengalami deformasi atau beban dalam medan gravitasi. Perangkat umpan balik adalah mekanisme dimana sistem berosilasi sendiri mengatur aliran energi dari suatu sumber. Contoh sistem osilasi mandiri mekanis adalah mekanisme jam dengan langkah jangkar (Gbr. 7.11). Pada jam tangan dengan gerakan jangkar, roda lari dengan gigi miring dipasang secara kaku pada drum bergigi, di mana rantai dengan beban dilemparkan. Pada ujung atas bandul terdapat sebuah jangkar dengan dua buah pelat dari bahan keras yang ditekuk membentuk busur lingkaran dengan pusat pada sumbu bandul. Pada jam tangan, beban digantikan oleh pegas, dan pendulum digantikan oleh penyeimbang yang dihubungkan ke pegas spiral. Penyeimbang melakukan getaran puntir di sekitar porosnya. Sistem osilasi pada jam tangan adalah pendulum atau penyeimbang, sumber tenaganya adalah beban yang diangkat atau pegas luka. Alat yang digunakan untuk memberikan umpan balik adalah jangkar, yang memungkinkan roda berjalan memutar satu gigi dalam satu setengah siklus. Umpan balik diberikan melalui interaksi jangkar dengan roda yang sedang berjalan. Dengan setiap osilasi pendulum, gigi roda yang sedang berjalan mendorong garpu jangkar ke arah pergerakan pendulum, mentransfer sejumlah energi tertentu ke sana, yang mengkompensasi kehilangan energi akibat gesekan. Dengan demikian, energi potensial dari beban (atau pegas yang dipelintir) secara bertahap, dalam bagian-bagian terpisah, dipindahkan ke pendulum. Dalam kehidupan sehari-hari, kita, mungkin tanpa menyadarinya sendiri, lebih sering menghadapi osilasi diri daripada osilasi yang disebabkan oleh gaya periodik. Osilasi diri mengelilingi kita di mana pun di alam dan teknologi: mesin uap, mesin pembakaran internal, bel listrik, jam tangan, senar biola atau pipa organ yang berbunyi, jantung yang berdetak, pita suara saat berbicara atau bernyanyi - semua sistem ini melakukan osilasi diri. Cobalah! Gerak osilasi biasanya dipelajari dengan mempertimbangkan perilaku beberapa jenis pendulum: pegas, matematika atau fisika. Semuanya padat. Dimungkinkan untuk membuat perangkat yang menunjukkan getaran benda cair atau gas. Untuk melakukan ini, gunakan ide yang melekat pada desain jam air. Dua botol plastik berukuran satu setengah liter disambung dengan cara yang sama seperti pada jam air, yaitu dengan mengencangkan tutupnya. Rongga-rongga botol dihubungkan dengan tabung kaca sepanjang 15 sentimeter, dengan diameter dalam 4-5 milimeter. Dinding samping botol harus halus dan tidak kaku, mudah kusut saat diperas (lihat Gambar 7.13). Untuk memulai osilasi, sebotol air diletakkan di atasnya. Air dari situ segera mulai mengalir melalui tabung ke botol bawah. Setelah sekitar satu detik, aliran secara spontan berhenti mengalir dan memberi jalan pada saluran di dalam tabung untuk perambatan balik sebagian udara dari botol bawah ke botol atas. Urutan aliran air dan udara yang berlawanan melalui tabung penghubung ditentukan oleh perbedaan tekanan di botol atas dan bawah dan diatur secara otomatis. Fluktuasi tekanan dalam sistem dibuktikan dengan perilaku dinding samping botol bagian atas, yang secara berkala memampatkan dan mengembang seiring dengan keluarnya air dan masuknya udara. Karena FORMASI GELOMBANG Bagaimana getaran merambat? Apakah diperlukan media untuk mentransmisikan getaran atau dapatkah getaran ditransmisikan tanpa media? Bagaimana bunyi garpu tala sampai ke pendengar? Bagaimana arus bolak-balik yang cepat pada antena pemancar radio menyebabkan munculnya arus pada antena penerima? Bagaimana cahaya dari bintang yang jauh dapat mencapai mata kita? Untuk mempertimbangkan fenomena semacam ini, perlu diperkenalkan konsep fisik baru - gelombang. Proses gelombang mewakili kelas fenomena umum, meskipun sifatnya berbeda. Sumber gelombang, baik gelombang laut, gelombang tali, gelombang gempa, maupun gelombang bunyi di udara adalah getaran. Proses perambatan getaran dalam ruang disebut gelombang. Misalnya, dalam hal bunyi, gerak osilasi dilakukan tidak hanya oleh sumber bunyi (senar, garpu tala), tetapi juga oleh penerima bunyi - gendang telinga atau membran mikrofon. Media yang dilalui gelombang itu sendiri juga bergetar. Proses gelombang disebabkan oleh adanya hubungan antara masing-masing bagian sistem, bergantung pada gelombang elastis yang kita miliki dengan sifat tertentu. Suatu proses yang terjadi di bagian mana pun dari ruang menyebabkan perubahan pada titik-titik tetangga sistem, mentransfer sejumlah energi tertentu ke titik-titik tersebut. Dari titik-titik tersebut gangguan berpindah ke titik-titik yang berdekatan dengannya dan seterusnya, menyebar dari titik ke titik, yaitu menimbulkan gelombang. Gaya elastis yang bekerja antara unsur-unsur benda padat, cair, atau gas menimbulkan gelombang elastis. Contoh gelombang elastik adalah gelombang yang merambat sepanjang tali. Jika Anda menggerakkan tangan Anda ke atas dan ke bawah untuk membangkitkan getaran di ujung tali, maka bagian tali yang berdekatan, karena aksi gaya kopling elastis, juga akan mulai bergerak, dan gelombang akan merambat di sepanjang tali. Sifat umum gelombang adalah gelombang dapat merambat dalam jarak yang jauh, dan partikel medium hanya bergetar di wilayah ruang terbatas. Partikel-partikel medium tempat gelombang merambat tidak ditarik ke dalam gerak translasi oleh gelombang; mereka hanya berosilasi di sekitar posisi kesetimbangannya. Tergantung pada arah getaran partikel medium dalam kaitannya dengan arah rambat gelombang, gelombang longitudinal dan gelombang transversal dibedakan. Dalam gelombang longitudinal, partikel medium berosilasi sepanjang arah rambat gelombang; secara melintang – tegak lurus terhadap arah rambat gelombang. Gelombang transversal elastik hanya dapat timbul pada medium yang mempunyai tahanan geser. Oleh karena itu, hanya gelombang longitudinal yang dapat terjadi pada media cair dan gas. Gelombang longitudinal dan transversal dapat terjadi pada medium padat. Pada Gambar. Gambar 8.1 menunjukkan pergerakan partikel ketika gelombang transversal merambat melalui suatu medium dan lokasi partikel dalam gelombang pada empat momen waktu tertentu. Nomor 1, 2, dst. Disebut partikel-partikel yang terpisah satu sama lain berdasarkan jarak yang ditempuh gelombang dalam seperempat periode osilasi yang dilakukan oleh partikel-partikel tersebut. Pada saat waktu dianggap nol, gelombang yang merambat sepanjang sumbu dari kiri ke kanan mencapai partikel 1
, akibatnya partikel mulai bergeser ke atas dari posisi setimbang, menyeret partikel-partikel berikut bersamanya. Setelah seperempat periode partikel 1
mencapai posisi tertinggi; secara bersamaan partikel mulai bergeser dari posisi setimbangnya 2
.
Setelah seperempat periode berikutnya, partikel pertama akan melewati posisi setimbang, bergerak ke arah bawah, partikel kedua akan mencapai posisi paling atas, dan partikel ketiga akan mulai bergerak ke atas dari posisi setimbang. Pada waktu yang sama dengan , partikel pertama akan menyelesaikan osilasi penuhnya dan akan berada dalam keadaan gerak yang sama seperti pada momen awal. Gelombang akan mencapai partikel pada saat tertentu 5
. Pada Gambar. Gambar 8.2 menunjukkan pergerakan partikel ketika gelombang longitudinal merambat dalam suatu medium. Semua argumen mengenai perilaku partikel dalam gelombang transversal dapat diterapkan pada kasus ini dengan penggantian perpindahan ke atas dan ke bawah dengan perpindahan ke kanan dan ke kiri. Dari Gambar. 8.2 jelas bahwa ketika gelombang longitudinal merambat dalam suatu medium, terjadi kondensasi dan penghalusan partikel secara bergantian, bergerak ke arah rambat gelombang dengan kecepatan . Benda-benda yang mempengaruhi medium sehingga menimbulkan getaran disebut sumber gelombang. Perambatan gelombang elastik tidak berhubungan dengan perpindahan materi, tetapi gelombang memindahkan energi yang disediakan oleh sumber osilasi pada proses gelombang. Letak geometri titik-titik yang dicapai gangguan pada waktu tertentu disebut muka gelombang. Artinya, muka gelombang adalah permukaan yang memisahkan bagian ruang yang sudah terlibat dalam proses gelombang dengan daerah yang belum terjangkau gangguan. Letak geometri titik-titik yang berosilasi dalam fasa yang sama disebut permukaan gelombang. Permukaan gelombang dapat ditarik melalui titik mana pun dalam ruang yang dicakup oleh proses gelombang. Permukaan gelombang bisa berbentuk apa saja. Dalam kasus yang paling sederhana, mereka berbentuk bidang atau bola. Oleh karena itu, gelombang dalam hal ini disebut bidang atau bola. Dalam gelombang bidang, permukaan gelombang merupakan sekumpulan bidang yang sejajar satu sama lain; dalam gelombang bola ada banyak bola konsentris. Jarak rambat gelombang dalam waktu yang sama dengan periode osilasi partikel medium disebut panjang gelombang. Jelas sekali, dimana adalah kecepatan rambat gelombang. Pada Gambar. 8.3, dibuat dengan menggunakan grafik komputer, menunjukkan model rambat gelombang transversal di air dari suatu sumber titik. Setiap partikel melakukan osilasi harmonik di sekitar posisi kesetimbangannya. Beras. 8.3. Perambatan gelombang transversal dari suatu titik sumber osilasi ©2015-2019 situs 
Sinus tabung murni
Grafik spektrum
adalah array bilangan kompleks. Saya bahkan takut membayangkan di mana transformasi Fourier kompleks digunakan, tetapi dalam kasus kita, bagian imajiner kita sama dengan nol, dan bagian real sama dengan nilai setiap titik dalam array.
Fitur lain dari transformasi Fourier cepat adalah ia menghitung array yang merupakan kelipatan pangkat dua saja. Akibatnya, kita harus menghitung pangkat minimum dua:
Vektor pada bidang kompleks
Hasilnya, kami mendapatkan file seperti ini:Mari mencoba!
Jadi (drumroll), jalankan skrip dan lihat:
Spektrum sinyal kamiMari kita memanjakan diri?
Ada kebisingan di sekitar...
Pertama, mari kita gambarkan spektrum kebisingannya. Topiknya tentang kebisingan, sinyal acak, dll. layak untuk kursus terpisah. Tapi kami akan membahasnya dengan ringan. Mari kita modifikasi program pembuatan file wav dan tambahkan satu prosedur: 
Memberi sinyal dengan berani
Jangkauan
Spektrum kamiBagaimana dengan kolak?
Yang Mulia - liku-liku atau liku-liku orang yang sehat
Spektrum berliku-liku
Harmonik pertama
Sekarang perhatian! Dalam kehidupan nyata, sinyal gelombang persegi memiliki jumlah harmonik frekuensi yang semakin tinggi tak terhingga, tetapi sebagai aturan, rangkaian listrik nyata tidak dapat melewatkan frekuensi di atas frekuensi tertentu (karena induktansi dan kapasitansi trek). Akibatnya, Anda sering melihat sinyal berikut di layar osiloskop:
Kelok-kelok perokok
Jumlah harmonik pertama, dan bagaimana sinyal berubah
BukuKesimpulan
Semoga beruntung!
2.1. Penambahan getaran harmonik satu arah
Dan 
. Penambahan osilasi sesuai dengan definisinya 
. Mari kita manfaatkan fakta bahwa dalam diagram vektor, jumlah proyeksi vektor-vektor yang ditambahkan sama dengan proyeksi jumlah vektor dari vektor-vektor tersebut.sesuai dalam diagram vektor dengan vektor amplitudo dan fase.
.
.
minimum. Osilasi tambahan pada saat penambahan terjadi antifase. Ketika amplitudo yang dihasilkan adalah nol.
, Itu 
, yaitu. amplitudo yang dihasilkan adalah maksimum. Pada saat penambahan, osilasi tambahan terjadi dalam satu fase, yaitu. berada dalam fase. Jika amplitudo osilasi yang ditambahkan sama 
, Itu .
jauh lebih kecil dari ω 1 dan ω 2. Kondisi kedekatan frekuensi tambahan dituliskan oleh relasi., dan fase awal sama dengan nol. Maka persamaan osilasi yang ditambahkan berbentuk:
, 
.
, yang lain – dengan frekuensi 
, di mana ω mendekati frekuensi osilasi yang ditambahkan (ω 1 atau ω 2). Osilasi yang dihasilkan dapat dianggap sebagai osilasi harmonik dengan amplitudo yang bervariasi menurut hukum harmonik. Proses osilasi ini disebut ketukan. Sebenarnya osilasi yang dihasilkan pada umumnya bukanlah osilasi harmonik.
adalah periode osilasi yang dihasilkan (Gambar 2.4).2.2. Penambahan getaran yang saling tegak lurus
, yang sesuai dengan kondisi (pegas identik). Maka persamaan osilasi yang ditambahkan akan berbentuk:
, dimana n = 0, 1, 2…, yaitu osilasi yang ditambahkan berada dalam satu fase, maka persamaan lintasannya akan berbentuk:
(n = 0, 1, 2...), yaitu osilasi yang ditambahkan berada pada antifase, maka persamaan lintasannya ditulis sebagai berikut:
.
Mari kita perhatikan penjumlahan dua osilasi harmonik yang arahnya sama dan frekuensinya sama. Perpindahan benda yang bergetar “x” adalah jumlah perpindahan x 1 dan x 2, yang ditulis sebagai berikut:
. Oleh karena itu, proyeksi ujung vektor ke sumbu akan menghasilkan osilasi harmonik dengan amplitudo sama dengan panjang vektor; dengan frekuensi melingkar sama dengan kecepatan sudut rotasi, dan dengan fase awal sama dengan sudut yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu X pada saat awal waktu.
,
.
.
,
. 
,
(7.5)
,
,
.
Pada bulan Januari 1905 Jembatan Mesir runtuh di St. Petersburg. Pelakunya adalah 9 orang yang lewat, 2 supir taksi dan skuadron ke-3 Resimen Pengawal Kuda Peterhof. Hal berikut ini terjadi. Semua prajurit berjalan berirama di sepanjang jembatan. Akibatnya jembatan mulai bergoyang dan terombang-ambing. Secara kebetulan, frekuensi getaran alami jembatan tersebut bertepatan dengan frekuensi langkah para prajurit. Langkah berirama formasi memberikan lebih banyak energi ke jembatan. Akibat resonansi tersebut, jembatan tersebut bergoyang hingga roboh. Jika tidak ada resonansi antara frekuensi getaran alami jembatan dengan frekuensi langkah prajurit, maka tidak akan terjadi apa-apa pada jembatan tersebut. Oleh karena itu, ketika tentara melewati jembatan yang lemah, biasanya diberikan perintah “jatuhkan kakimu”.
Beras. 7.12
Beras. 7.13
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepenulisan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 16-02-2016