Contoh persamaan linear kompleks. Memecahkan persamaan linier sederhana

Belajar memecahkan persamaan adalah salah satu tugas utama yang diberikan aljabar kepada siswa. Dimulai dengan yang paling sederhana, ketika terdiri dari satu yang tidak diketahui, dan beralih ke yang lebih kompleks. Jika Anda belum menguasai tindakan yang akan dilakukan dengan persamaan dari kelompok pertama, akan sulit untuk berurusan dengan orang lain.

Untuk melanjutkan percakapan, kita perlu menyepakati notasi.

Bentuk umum persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui dan prinsip penyelesaiannya

Persamaan apa saja yang dapat ditulis seperti ini:

a * x = dalam,

ditelepon linier. Ini rumus umum. Tapi sering dalam tugas persamaan linear ditulis dalam bentuk implisit. Kemudian diperlukan untuk melakukan transformasi identik untuk mendapatkan notasi yang diterima secara umum. Tindakan ini meliputi:

• kurung buka;
• memindahkan semua suku dengan nilai variabel ke sisi kiri persamaan, dan sisanya ke kanan;
• pengurangan istilah serupa.

Dalam kasus ketika nilai yang tidak diketahui ada dalam penyebut pecahan, perlu untuk menentukan nilainya yang ekspresinya tidak masuk akal. Dengan kata lain, ia seharusnya mengetahui domain persamaan.

Prinsip penyelesaian semua persamaan linier adalah membagi nilai di ruas kanan persamaan dengan koefisien di depan variabel. Artinya, "x" akan sama dengan / a.

Kasus-kasus khusus persamaan linear dan penyelesaiannya

Selama penalaran, mungkin ada saat-saat ketika persamaan linier mengambil salah satu bentuk khusus. Masing-masing dari mereka memiliki solusi khusus.

Dalam situasi pertama:

a * x = 0, dan 0.

Solusi persamaan ini akan selalu x = 0.

Dalam kasus kedua, "a" mengambil nilai yang sama dengan nol:

0 * x = 0.

Jawaban dari persamaan ini adalah bilangan apa saja. Artinya, ia memiliki jumlah akar yang tak terbatas.

Situasi ketiga terlihat seperti ini:

0*x=dalam, dimana dalam 0.

Persamaan ini tidak masuk akal. Karena tidak ada akar yang memuaskannya.

Bentuk umum persamaan linear dengan dua variabel

Dari namanya menjadi jelas bahwa sudah ada dua besaran yang tidak diketahui di dalamnya. Persamaan Linier dengan Dua Variabel terlihat seperti ini:

a * x + b * y = c.

Karena ada dua yang tidak diketahui dalam entri, jawabannya akan terlihat seperti sepasang angka. Artinya, tidak cukup hanya menentukan satu nilai. Ini akan menjadi jawaban yang tidak lengkap. Pasangan besaran yang persamaannya menjadi identitas adalah penyelesaian persamaan tersebut. Selain itu, dalam jawaban, variabel yang didahulukan dalam alfabet selalu ditulis terlebih dahulu. Kadang-kadang dikatakan bahwa angka-angka ini memuaskannya. Selain itu, pasangan semacam itu bisa berjumlah tak terbatas.

Bagaimana menyelesaikan persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui?

Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu mengambil sepasang angka yang ternyata benar. Untuk mempermudah, Anda dapat mengambil salah satu yang tidak diketahui yang sama dengan beberapa bilangan prima, dan kemudian menemukan yang kedua.

Saat menyelesaikan, Anda sering kali harus melakukan tindakan untuk menyederhanakan persamaan. Mereka disebut transformasi identik. Selain itu, sifat-sifat berikut selalu benar untuk persamaan:

• setiap istilah dapat dipindahkan ke bagian yang berlawanan dari persamaan dengan mengganti tandanya dengan yang berlawanan;
• sisi kiri dan kanan persamaan apa pun diizinkan untuk dibagi dengan angka yang sama, jika tidak sama dengan nol.

Contoh tugas dengan persamaan linier

Tugas pertama. Memecahkan persamaan linier: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Dalam persamaan yang muncul pertama dalam daftar ini, cukup dengan membagi 20 dengan 4. Hasilnya adalah 5. Ini jawabannya: x \u003d 5.

Persamaan ketiga mengharuskan transformasi identitas dilakukan. Ini akan terdiri dari kurung buka dan membawa istilah serupa. Setelah tindakan pertama, persamaan akan berbentuk: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Maka Anda perlu mentransfer semua yang tidak diketahui ke sisi kiri persamaan, dan sisanya ke kanan. Persamaannya akan terlihat seperti ini: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Setelah membawa suku-suku serupa: 14x \u003d 16. Sekarang tampilannya sama dengan yang pertama, dan solusinya mudah ditemukan. Jawabannya adalah x=8/7. Tetapi dalam matematika seharusnya mengisolasi seluruh bagian dari pecahan biasa. Kemudian hasilnya akan diubah, dan "x" akan sama dengan satu keseluruhan dan satu ketujuh.

Dalam contoh yang tersisa, variabel-variabelnya ada dalam penyebut. Ini berarti Anda harus terlebih dahulu mencari tahu nilai persamaan yang ditentukan. Untuk melakukan ini, Anda harus mengecualikan angka yang penyebutnya menjadi nol. Pada contoh pertama adalah "-4", yang kedua adalah "-3". Artinya, nilai-nilai ini harus dikeluarkan dari jawabannya. Setelah itu, Anda perlu mengalikan kedua sisi persamaan dengan ekspresi dalam penyebut.

Buka kurung dan bawa suku yang sejenis, persamaan pertama menjadi: 5x + 15 = 4x + 16, dan persamaan kedua 5x + 15 = 4x + 12. Setelah transformasi, solusi persamaan pertama adalah x = -1. Yang kedua ternyata sama dengan "-3", yang berarti yang terakhir tidak memiliki solusi.

Tugas kedua. Selesaikan persamaan: -7x + 2y = 5.

Asumsikan bahwa x = 1 yang tidak diketahui pertama, maka persamaan akan berbentuk -7 * 1 + 2y = 5. Dipindahkan ke sisi kanan faktor kesetaraan "-7" dan mengubah tandanya menjadi plus, ternyata 2y \u003d 12. Oleh karena itu, y \u003d 6. Jawaban: salah satu solusi dari persamaan x = 1, y = 6.

Bentuk umum pertidaksamaan dengan satu variabel

Semuanya kemungkinan situasi untuk ketidaksetaraan disajikan di sini:

• a * x > b;
• kapak< в;
• a*x v;
• a * x c.

Secara umum terlihat seperti persamaan linear paling sederhana, hanya tanda sama dengan yang diganti dengan pertidaksamaan.

Aturan untuk transformasi pertidaksamaan yang identik

Sama seperti persamaan linier, pertidaksamaan dapat dimodifikasi menurut hukum tertentu. Mereka sampai pada ini:

1. ekspresi literal atau numerik apa pun dapat ditambahkan ke bagian kiri dan kanan pertidaksamaan, dan tanda pertidaksamaan akan tetap sama;
2. Anda juga dapat mengalikan atau membagi dengan yang sama nomor positif, dari sini lagi tandanya tidak berubah;
3. saat mengalikan atau membagi dengan yang sama angka negatif persamaan akan tetap benar asalkan tanda pertidaksamaan dibalik.

Bentuk umum pertidaksamaan ganda

Dalam tugas, varian ketidaksetaraan berikut dapat disajikan:

• v< а * х < с;
• c a * x< с;
• v< а * х ≤ с;
• c a * x c.

Disebut rangkap karena dibatasi oleh tanda pertidaksamaan pada kedua sisinya. Ini diselesaikan dengan menggunakan aturan yang sama seperti pertidaksamaan biasa. Dan menemukan jawabannya bermuara pada serangkaian transformasi yang identik. Sampai diperoleh yang paling sederhana.

Fitur penyelesaian pertidaksamaan ganda

Yang pertama adalah gambarnya pada sumbu koordinat. Tidak perlu menggunakan metode ini untuk pertidaksamaan sederhana. Tapi di kasus-kasus sulit mungkin hanya perlu.

Untuk menggambarkan ketidaksetaraan, perlu untuk menandai pada sumbu semua titik yang diperoleh selama penalaran. Ini adalah nilai yang tidak valid, yang dilambangkan dengan titik, dan nilai dari ketidaksetaraan yang diperoleh setelah transformasi. Di sini juga, penting untuk menarik poin dengan benar. Jika pertidaksamaannya tegas, maka< или >, lalu nilai-nilai ini ditusuk. Dalam ketidaksetaraan non-ketat, poin harus dilukis.

Maka perlu untuk menunjukkan arti dari ketidaksetaraan. Ini dapat dilakukan dengan penetasan atau busur. Persimpangan mereka akan menunjukkan jawabannya.

Fitur kedua terkait dengan perekamannya. Dua opsi ditawarkan di sini. Yang pertama adalah ketidaksetaraan tertinggi. Yang kedua adalah dalam bentuk celah. Di sinilah dia mendapat masalah. Jawaban di celah selalu terlihat seperti variabel dengan tanda kepemilikan dan tanda kurung dengan angka. Terkadang ada beberapa celah, maka Anda perlu menulis simbol "dan" di antara tanda kurung. Tanda-tanda ini terlihat seperti ini: dan . Tanda kurung jarak juga berperan. Bulat ditempatkan ketika titik dikeluarkan dari jawaban, dan persegi panjang termasuk nilai ini. Tanda tak terhingga selalu dalam tanda kurung.

Contoh penyelesaian pertidaksamaan

1. Selesaikan pertidaksamaan 7 - 5x 37.

Setelah transformasi sederhana, ternyata: -5x 30. Membagi dengan "-5", Anda bisa mendapatkan ekspresi berikut: x -6. Ini sudah merupakan jawaban, tetapi dapat ditulis dengan cara lain: x (-∞; -6].

2. Selesaikan pertidaksamaan ganda -4< 2x + 6 ≤ 8.

Pertama, Anda perlu mengurangi 6 di mana-mana, ternyata: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang derajat penuh polinomialnya sama dengan satu. Memecahkan persamaan linier - bagian kurikulum sekolah, dan bukan yang paling sulit. Namun, beberapa masih mengalami kesulitan dalam berlalunya topik ini. Kami berharap untuk membaca materi yang diberikan, semua kesulitan untukmu akan tetap menjadi masa lalu. Jadi, mari kita cari tahu. cara menyelesaikan persamaan linear.

Bentuk umum

Persamaan linier direpresentasikan sebagai:

• ax + b = 0, di mana a dan b adalah sembarang bilangan.

Meskipun a dan b dapat berupa bilangan berapa pun, nilainya memengaruhi jumlah solusi persamaan. Ada beberapa kasus khusus dari solusi:

• Jika a=b=0, persamaan memiliki jumlah solusi tak terhingga;
• Jika a=0, b≠0, persamaan tidak memiliki solusi;
• Jika a≠0, b=0, persamaan memiliki solusi: x = 0.

Jika kedua bilangan memiliki nilai bukan nol, persamaan harus diselesaikan untuk mendapatkan ekspresi akhir untuk sebuah variabel.

Bagaimana memutuskan?

Memecahkan persamaan linier berarti menemukan variabel yang sama. Bagaimana cara melakukannya? Ya, ini sangat sederhana - menggunakan operasi aljabar sederhana dan mengikuti aturan transfer. Jika persamaan muncul di hadapan Anda dalam bentuk umum, Anda beruntung, yang perlu Anda lakukan adalah:

1. Pindahkan b ke ruas kanan persamaan, jangan lupa ubah tandanya (aturan transfer!), Jadi, dari ekspresi bentuk ax + b = 0, ekspresi bentuk ax = -b harus diperoleh.
2. Terapkan aturan: untuk menemukan salah satu faktor (x - dalam kasus kami), Anda perlu membagi produk (-b dalam kasus kami) dengan faktor lain (a - dalam kasus kami). Dengan demikian, ekspresi formulir harus diperoleh: x \u003d -b / a.

Itu saja - solusinya ditemukan!

Sekarang mari kita lihat contoh spesifik:

1. 2x + 4 = 0 - transfer b sama dengan kasus ini 4, sisi kanan
2. 2x = -4 - bagi b dengan a (jangan lupa tanda minusnya)
3. x=-4/2=-2

Itu saja! Solusi kami: x = -2.

Seperti yang Anda lihat, menemukan solusi untuk persamaan linier dengan satu variabel cukup sederhana, tetapi semuanya sangat sederhana jika kita beruntung untuk memenuhi persamaan dalam bentuk umum. Dalam kebanyakan kasus, sebelum menyelesaikan persamaan dalam dua langkah yang dijelaskan di atas, perlu juga untuk mengurangi ekspresi yang ada menjadi pandangan umum. Namun, ini juga bukan tugas yang menakutkan. Mari kita lihat beberapa kasus khusus dengan contoh.

Memecahkan kasus khusus

Pertama, mari kita lihat kasus-kasus yang kami jelaskan di awal artikel dan jelaskan apa artinya memiliki jumlah solusi yang tak terbatas dan tidak ada solusi.

• Jika a=b=0, persamaannya akan menjadi: 0x + 0 = 0. Melakukan langkah pertama, kita mendapatkan: 0x = 0. Apa arti omong kosong ini, Anda berseru! Lagi pula, berapa pun angka yang Anda kalikan dengan nol, Anda akan selalu mendapatkan nol! Benar! Oleh karena itu, mereka mengatakan bahwa persamaan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas - berapa pun angka yang Anda ambil, persamaannya akan benar, 0x \u003d 0 atau 0 \u003d 0.
• Jika a=0, b≠0, persamaannya akan menjadi: 0x + 3 = 0. Kami melakukan langkah pertama, kami mendapatkan 0x = -3. Omong kosong lagi! Jelas bahwa kesetaraan ini tidak akan pernah benar! Itulah sebabnya mereka mengatakan bahwa persamaan tidak memiliki solusi.
• Jika a≠0, b=0, persamaan akan menjadi: 3x + 0 = 0. Mengambil langkah pertama, kita mendapatkan: 3x = 0. Apa solusinya? Mudah, x = 0.

Kesulitan dalam terjemahan

Kasus-kasus tertentu yang dijelaskan tidak semua persamaan linier dapat mengejutkan kita. Kadang-kadang persamaan umumnya sulit untuk diidentifikasi pada pandangan pertama. Mari kita ambil contoh:

• 12x - 14 = 2x + 6

Apakah ini persamaan linier? Tapi bagaimana dengan nol di sisi kanan? Kami tidak akan terburu-buru mengambil kesimpulan, kami akan bertindak - kami akan mentransfer semua komponen persamaan kami ke sisi kiri. Kita mendapatkan:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Sekarang mengurangkan suka dari suka, kita mendapatkan:

• 10x - 20 = 0

Terpelajar? Persamaan paling linier yang pernah ada! Yang solusinya: x = 20/10 = 2.

Bagaimana jika kita memiliki contoh ini:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ya, ini juga merupakan persamaan linear, hanya perlu dilakukan transformasi lagi. Mari kita perluas tanda kurung terlebih dahulu:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - sekarang lakukan transfer:
4. 25x - 4 = 0 - tetap mencari solusi sesuai dengan skema yang sudah diketahui:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Seperti yang Anda lihat, semuanya terpecahkan, yang utama bukanlah khawatir, tetapi bertindak. Ingat, jika persamaan Anda hanya berisi variabel derajat dan angka pertama, ini adalah persamaan linier, yang, bagaimanapun tampilannya pada awalnya, dapat direduksi menjadi bentuk umum dan diselesaikan. Kami berharap semuanya berhasil untuk Anda! Semoga berhasil!

Saat memecahkan persamaan linier, kami berusaha untuk menemukan akar, yaitu nilai untuk variabel yang akan mengubah persamaan menjadi persamaan yang benar.

Untuk menemukan akar persamaan yang Anda butuhkan transformasi setara membawa persamaan yang diberikan kepada kita ke bentuk

\(x=[angka]\)

Nomor ini akan menjadi root.

Artinya, kami mengubah persamaan, membuatnya lebih mudah dengan setiap langkah, sampai kami menguranginya menjadi persamaan primitif "x = angka", di mana akarnya jelas. Yang paling umum digunakan dalam menyelesaikan persamaan linier adalah transformasi berikut:

misalnya: tambahkan \(5\) ke kedua sisi persamaan \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Harap perhatikan bahwa kita bisa mendapatkan hasil yang sama lebih cepat - cukup dengan menulis lima di sisi lain persamaan dan mengubah tandanya dalam proses. Sebenarnya, ini adalah bagaimana sekolah "transfer melalui sama dengan perubahan tanda ke sebaliknya" dilakukan.

2. Mengalikan atau membagi kedua ruas persamaan dengan angka atau ekspresi yang sama.

misalnya: Bagi persamaan \(-2x=8\) dengan dikurangi dua

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Biasanya langkah ini dilakukan di bagian paling akhir, ketika persamaan telah direduksi menjadi \(ax=b\), dan kita bagi dengan \(a\) untuk menghilangkannya dari kiri.

3. Menggunakan sifat dan hukum matematika: kurung buka, pengurangan suku sejenis, pengurangan pecahan, dll.

Tambahkan \(2x\) kiri dan kanan

Kurangi \(24\) dari kedua sisi persamaan

Sekali lagi, kami menyajikan istilah seperti

Sekarang kita bagi persamaan dengan \ (-3 \), sehingga menghilangkan sebelum x di sisi kiri.

Menjawab : \(7\)

Jawaban ditemukan. Namun, mari kita periksa. Jika tujuh benar-benar akar, maka ketika mensubstitusinya sebagai ganti x dalam persamaan asli, persamaan yang benar harus diperoleh - nomor yang sama kiri dan kanan. Kita coba.

Penyelidikan:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Sepakat. Ini berarti bahwa tujuh memang akar dari persamaan linier asli.

Jangan malas untuk memeriksa jawaban yang Anda temukan dengan substitusi, terutama jika Anda menyelesaikan persamaan pada ujian atau ujian.

Pertanyaannya tetap - bagaimana menentukan apa yang harus dilakukan dengan persamaan pada langkah selanjutnya? Bagaimana tepatnya untuk mengubahnya? Berbagi sesuatu? Atau kurangi? Dan apa sebenarnya yang harus dikurangi? Apa yang harus dibagikan?

Jawabannya sederhana:

Tujuan Anda adalah membawa persamaan ke bentuk \(x=[bilangan]\), yaitu, di sebelah kiri x tanpa koefisien dan angka, dan di sebelah kanan - hanya angka tanpa variabel. Jadi lihat apa yang menghentikanmu dan melakukan kebalikan dari apa yang dilakukan komponen pengganggu.

Untuk memahami ini dengan lebih baik, mari kita ambil solusi langkah demi langkah untuk persamaan linier \(x+3=13-4x\).

Mari kita pikirkan: bagaimana persamaan ini berbeda dari \(x=[angka]\)? Apa yang menghentikan kita? Apa yang salah?

Pertama-tama, triple mengganggu, karena seharusnya hanya ada satu X di sebelah kiri, tanpa angka. Dan apa yang dilakukan ketiganya? Ditambahkan ke xx. Jadi, untuk menghapusnya - mengurangi trio yang sama. Tetapi jika kita mengurangi tiga kali lipat dari kiri, maka kita harus menguranginya dari kanan agar persamaan tidak dilanggar.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Oke. Sekarang apa yang menghentikanmu? \(4x\) di sebelah kanan, karena seharusnya hanya berisi angka. \(4x\) dikurangi- menghapus menambahkan.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Sekarang kami memberikan istilah seperti di kiri dan kanan.

Ini hampir siap. Tetap menghapus lima di sebelah kiri. Apa yang dia lakukan"? dikalikan pada x. Jadi kami menghapusnya divisi.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Solusinya lengkap, akar persamaannya adalah dua. Anda dapat memeriksa dengan substitusi.

perhatikan itu paling sering hanya ada satu akar dalam persamaan linier. Namun, dua kasus khusus dapat terjadi.

Kasus khusus 1 - tidak ada akar dalam persamaan linier.

Contoh . Selesaikan persamaan \(3x-1=2(x+3)+x\)

Larutan :

Menjawab : tidak ada akar.

Faktanya, fakta bahwa kita akan mencapai hasil seperti itu telah terlihat sebelumnya, bahkan ketika kita mendapatkan \(3x-1=3x+6\). Pikirkan tentang ini: bagaimana \(3x\) bisa sama, dari mana \(1\) dikurangi, dan \(3x\) yang \(6\) ditambahkan? Jelas, tidak mungkin, karena mereka melakukan hal yang sama tindakan yang berbeda! Jelas bahwa hasilnya akan bervariasi.

Kasus khusus 2 - persamaan linier memiliki jumlah akar tak terhingga.

Contoh . Selesaikan persamaan linier \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Larutan :

Menjawab : nomor berapa pun.

Omong-omong, ini terlihat lebih awal, di panggung: \(8x+12=8x+12\). Memang, kiri dan kanan adalah ekspresi yang sama. Apa pun x yang Anda ganti, akan ada angka yang sama di sana dan di sana.

Persamaan linear yang lebih kompleks.

Persamaan asli tidak selalu langsung terlihat seperti persamaan linier, kadang-kadang "disamarkan" sebagai persamaan lain yang lebih kompleks. Namun, dalam proses transformasi, masking mereda.

Contoh . Cari akar persamaan \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Larutan :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Tampaknya ada x kuadrat di sini - ini bukan persamaan linier! Tapi jangan terburu-buru. Ayo Lamar
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Mengapa hasil ekspansi \((x-4)^(2)\) dalam tanda kurung, tetapi hasil dari \((3+x)^(2)\) tidak? Karena ada minus sebelum kotak pertama, yang akan mengubah semua tanda. Dan agar tidak melupakannya, kami mengambil hasilnya dalam tanda kurung, yang sekarang kami buka.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Kami memberikan istilah suka
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Sekali lagi, inilah yang serupa.
		Seperti ini. Ternyata persamaan aslinya cukup linier, dan x kuadrat tidak lebih dari layar yang membingungkan kita. :) Kami menyelesaikan solusi dengan membagi persamaan dengan \(2\), dan kami mendapatkan jawabannya.

Menjawab : \(x=5\)

Contoh . Selesaikan persamaan linier \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)( 6 )\)

Larutan :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Persamaannya tidak terlihat seperti persamaan linier, beberapa pecahan ... Namun, mari kita singkirkan penyebutnya dengan mengalikan kedua bagian persamaan dengan penyebut yang sama dari semua - enam
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\)\(\cdot 6\)		Buka braket di sebelah kiri
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Sekarang kita kurangi penyebutnya
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Sekarang terlihat seperti linear biasa! Mari kita selesaikan.
		Dengan mentransfer melalui persamaan, kami mengumpulkan x di sebelah kanan, dan angka di sebelah kiri
		Nah, membagi dengan \ (-4 \) bagian kanan dan kiri, kita mendapatkan jawabannya

Menjawab : \(x=-1,25\)

Sistem persamaan banyak digunakan dalam industri ekonomi dengan pemodelan matematika berbagai proses. Misalnya, ketika memecahkan masalah manajemen dan perencanaan produksi, rute logistik (masalah transportasi) atau penempatan peralatan.

Sistem persamaan digunakan tidak hanya dalam bidang matematika, tetapi juga dalam fisika, kimia dan biologi, ketika memecahkan masalah menemukan ukuran populasi.

Sistem persamaan linear adalah istilah untuk dua atau lebih persamaan dengan beberapa variabel yang perlu dicari penyelesaiannya. Barisan bilangan yang semua persamaannya menjadi persamaan sejati atau membuktikan bahwa barisan itu tidak ada.

Persamaan Linier

Persamaan bentuk ax+by=c disebut linier. Sebutan x, y adalah yang tidak diketahui, yang nilainya harus dicari, b, a adalah koefisien variabel, c adalah suku bebas persamaan.
Memecahkan persamaan dengan memplot grafiknya akan terlihat seperti garis lurus, yang semua titiknya adalah solusi dari polinomial.

Jenis sistem persamaan linear

Yang paling sederhana adalah contoh sistem persamaan linier dengan dua variabel X dan Y.

F1(x, y) = 0 dan F2(x, y) = 0, di mana F1,2 adalah fungsi dan (x, y) adalah variabel fungsi.

Memecahkan sistem persamaan - itu berarti menemukan nilai seperti itu (x, y) di mana sistem berubah menjadi kesetaraan sejati atau menetapkan bahwa nilai yang sesuai x dan y tidak ada.

Sepasang nilai (x, y), yang ditulis sebagai koordinat titik, disebut solusi sistem persamaan linier.

Jika sistem memiliki satu solusi umum atau tidak ada solusi, mereka disebut setara.

Sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang ruas kanannya sama dengan nol. Jika bagian kanan setelah tanda "sama dengan" memiliki nilai atau dinyatakan dengan fungsi, sistem seperti itu tidak homogen.

Jumlah variabel bisa lebih dari dua, maka kita harus berbicara tentang contoh sistem persamaan linier dengan tiga variabel atau lebih.

Dihadapkan dengan sistem, anak-anak sekolah berasumsi bahwa jumlah persamaan harus sesuai dengan jumlah yang tidak diketahui, tetapi tidak demikian. Jumlah persamaan dalam sistem tidak bergantung pada variabel, bisa ada sejumlah besar variabel secara sewenang-wenang.

Metode sederhana dan kompleks untuk menyelesaikan sistem persamaan

Tidak ada cara analitis umum untuk menyelesaikan sistem seperti itu, semua metode didasarkan pada solusi numerik. Kursus sekolah matematika menjelaskan secara rinci metode seperti permutasi, penambahan aljabar, substitusi, serta metode grafis dan matriks, solusi dengan metode Gauss.

Tugas utama dalam mengajar metode pemecahan adalah mengajarkan cara menganalisis sistem dengan benar dan menemukan algoritme solusi optimal untuk setiap contoh. Hal utama bukanlah menghafal sistem aturan dan tindakan untuk setiap metode, tetapi untuk memahami prinsip-prinsip penerapan metode tertentu.

Memecahkan contoh sistem persamaan linier kelas 7 program sekolah Menengah cukup sederhana dan dijelaskan dengan sangat rinci. Dalam setiap buku teks tentang matematika, bagian ini diberikan perhatian yang cukup. Solusi contoh sistem persamaan linier dengan metode Gauss dan Cramer dipelajari secara lebih rinci di kursus pertama lembaga pendidikan tinggi.

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi

Tindakan metode substitusi ditujukan untuk mengekspresikan nilai dari satu variabel melalui yang kedua. Ekspresi disubstitusikan ke persamaan yang tersisa, kemudian direduksi menjadi bentuk variabel tunggal. Tindakan diulang tergantung pada jumlah yang tidak diketahui dalam sistem

Mari kita beri contoh sistem persamaan linier kelas 7 dengan metode substitusi:

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, variabel x dinyatakan melalui F(X) = 7 + Y. Ekspresi yang dihasilkan, disubstitusikan ke dalam persamaan ke-2 sistem sebagai pengganti X, membantu untuk memperoleh satu variabel Y dalam persamaan ke-2 . Larutan contoh ini tidak menimbulkan kesulitan dan memungkinkan Anda untuk mendapatkan nilai Y. Langkah terakhir ini adalah tes dari nilai-nilai yang diterima.

Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan contoh sistem persamaan linier dengan substitusi. Persamaan bisa rumit dan ekspresi variabel dalam hal yang tidak diketahui kedua akan terlalu rumit untuk perhitungan lebih lanjut. Ketika ada lebih dari 3 yang tidak diketahui dalam sistem, solusi substitusi juga tidak praktis.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear tak homogen:

Penyelesaian menggunakan penjumlahan aljabar

Saat mencari solusi sistem dengan metode penjumlahan, penjumlahan suku demi suku, dan perkalian persamaan dengan berbagai nomor. Tujuan akhir dari operasi matematika adalah persamaan dengan satu variabel.

Penerapan metode ini membutuhkan latihan dan pengamatan. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan metode penjumlahan dengan jumlah variabel 3 atau lebih tidaklah mudah. Penjumlahan aljabar berguna jika persamaan mengandung pecahan dan bilangan desimal.

Algoritma tindakan solusi:

1. Kalikan kedua ruas persamaan dengan beberapa angka. Hasil dari operasi aritmatika salah satu koefisien variabel harus sama dengan 1.
2. Tambahkan istilah ekspresi yang dihasilkan dengan istilah dan temukan salah satu yang tidak diketahui.
3. Substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan ke-2 dari sistem untuk menemukan variabel yang tersisa.

Metode solusi dengan memperkenalkan variabel baru

Variabel baru dapat diperkenalkan jika sistem perlu menemukan solusi untuk tidak lebih dari dua persamaan, jumlah yang tidak diketahui juga tidak boleh lebih dari dua.

Metode ini digunakan untuk menyederhanakan salah satu persamaan dengan memasukkan variabel baru. Persamaan baru diselesaikan sehubungan dengan yang tidak diketahui yang dimasukkan, dan nilai yang dihasilkan digunakan untuk menentukan variabel asli.

Contoh menunjukkan bahwa dengan memasukkan variabel baru t, persamaan pertama sistem dapat diturunkan menjadi standar trinomial persegi. Anda dapat menyelesaikan polinomial dengan mencari diskriminannya.

Penting untuk mencari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus terkenal: D = b2 - 4*a*c, di mana D adalah diskriminan yang diinginkan, b, a, c adalah pengali polinomial. Dalam contoh yang diberikan, a=1, b=16, c=39, maka D=100. Jika diskriminan Diatas nol, maka ada dua solusi: t = -b±√D / 2*a, jika diskriminan kurang dari nol, maka hanya ada satu solusi: x= -b / 2*a.

Solusi untuk sistem yang dihasilkan ditemukan dengan metode penambahan.

Sebuah metode visual untuk memecahkan sistem

Cocok untuk sistem dengan 3 persamaan. Metode ini terdiri dari plotting grafik dari setiap persamaan yang termasuk dalam sistem pada sumbu koordinat. Koordinat titik potong kurva dan akan solusi umum sistem.

Metode grafis memiliki sejumlah nuansa. Pertimbangkan beberapa contoh penyelesaian sistem persamaan linier secara visual.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, dua titik dibangun untuk setiap baris, nilai variabel x dipilih secara acak: 0 dan 3. Berdasarkan nilai x, nilai y ditemukan: 3 dan 0. Titik-titik dengan koordinat (0, 3) dan (3, 0) ditandai pada grafik dan dihubungkan dengan garis.

Langkah-langkah tersebut harus diulang untuk persamaan kedua. Titik potong garis adalah solusi dari sistem.

Dalam contoh berikut, diperlukan untuk menemukan solusi grafis untuk sistem persamaan linier: 0,5x-y+2=0 dan 0,5x-y-1=0.

Seperti yang dapat dilihat dari contoh, sistem tidak memiliki solusi, karena grafiknya sejajar dan tidak berpotongan sepanjang panjangnya.

Sistem dari Contoh 2 dan 3 serupa, tetapi ketika dibangun, menjadi jelas bahwa solusi mereka berbeda. Harus diingat bahwa tidak selalu mungkin untuk mengatakan apakah sistem memiliki solusi atau tidak, selalu perlu untuk membangun grafik.

Matriks dan varietasnya

Matriks digunakan untuk singkatan sistem persamaan linier. Sebuah tabel disebut matriks. jenis khusus diisi dengan angka. n*m memiliki n - baris dan m - kolom.

Suatu matriks dikatakan bujur sangkar jika jumlah kolom dan barisnya sama. Matriks-vektor adalah matriks satu kolom dengan jumlah baris yang mungkin tak terhingga. Suatu matriks dengan satuan sepanjang salah satu diagonal dan elemen nol lainnya disebut identitas.

Matriks terbalik adalah matriks seperti itu, ketika dikalikan dengan yang asli menjadi satu unit, matriks seperti itu hanya ada untuk kuadrat asli.

Aturan untuk mengubah sistem persamaan menjadi matriks

Berkenaan dengan sistem persamaan, koefisien dan anggota bebas dari persamaan ditulis sebagai bilangan matriks, satu persamaan adalah satu baris matriks.

Baris matriks disebut bukan nol jika setidaknya satu elemen baris tidak sama dengan nol. Oleh karena itu, jika dalam salah satu persamaan jumlah variabel berbeda, maka perlu untuk memasukkan nol di tempat yang tidak diketahui yang hilang.

Kolom matriks harus benar-benar sesuai dengan variabel. Ini berarti bahwa koefisien variabel x hanya dapat ditulis dalam satu kolom, misalnya yang pertama, koefisien y yang tidak diketahui - hanya di kolom kedua.

Saat mengalikan matriks, semua elemen matriks dikalikan secara berurutan dengan angka.

Opsi untuk menemukan matriks terbalik

Rumus untuk mencari matriks invers cukup sederhana: K -1 = 1 / |K|, di mana K -1 - matriks terbalik, dan |K| - penentu matriks. |K| tidak harus sama dengan nol, maka sistem memiliki solusi.

Determinan mudah dihitung untuk matriks dua kali dua, hanya perlu mengalikan elemen secara diagonal satu sama lain. Untuk opsi "tiga per tiga", ada rumus |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Anda dapat menggunakan rumus, atau Anda dapat mengingat bahwa Anda perlu mengambil satu elemen dari setiap baris dan setiap kolom sehingga nomor kolom dan baris elemen tidak berulang dalam produk.

Penyelesaian contoh sistem persamaan linear dengan metode matriks

Metode matriks untuk menemukan solusi memungkinkan pengurangan entri yang rumit saat menyelesaikan sistem dengan sejumlah besar variabel dan persamaan.

Dalam contoh, a nm adalah koefisien persamaan, matriks adalah vektor x n adalah variabel, dan b n adalah suku bebas.

Solusi sistem dengan metode Gauss

V matematika yang lebih tinggi metode Gauss dipelajari bersama dengan metode Cramer, dan proses menemukan solusi sistem disebut metode solusi Gauss-Cramer. Metode ini digunakan untuk mencari variabel dari sistem dengan sejumlah besar persamaan linier.

Metode Gaussian sangat mirip dengan solusi substitusi dan penambahan aljabar, tetapi lebih sistematis. Dalam kursus sekolah, solusi Gaussian digunakan untuk sistem persamaan 3 dan 4. Tujuan dari metode ini adalah untuk membawa sistem ke bentuk trapesium terbalik. Dengan transformasi aljabar dan substitusi, nilai satu variabel ditemukan dalam salah satu persamaan sistem. Persamaan kedua adalah ekspresi dengan 2 tidak diketahui, dan 3 dan 4 - dengan 3 dan 4 variabel, masing-masing.

Setelah membawa sistem ke bentuk yang dijelaskan, solusi selanjutnya direduksi menjadi substitusi berurutan dari variabel yang diketahui ke dalam persamaan sistem.

Dalam buku pelajaran sekolah untuk kelas 7, contoh solusi Gaussian dijelaskan sebagai berikut:

Seperti dapat dilihat dari contoh, pada langkah (3) diperoleh dua persamaan 3x 3 -2x 4 =11 dan 3x 3 +2x 4 =7. Solusi dari salah satu persamaan akan memungkinkan Anda untuk menemukan salah satu variabel x n.

Teorema 5, yang disebutkan dalam teks, menyatakan bahwa jika salah satu persamaan sistem diganti dengan yang setara, maka sistem yang dihasilkan juga akan setara dengan yang asli.

Metode Gauss sulit dipahami siswa SMA, tetapi merupakan salah satu yang paling cara yang menarik untuk mengembangkan kecerdikan anak-anak yang terdaftar dalam program studi mendalam di kelas matematika dan fisika.

Untuk memudahkan perhitungan pencatatan, biasanya dilakukan hal-hal berikut:

Koefisien persamaan dan suku bebas ditulis dalam bentuk matriks, di mana setiap baris matriks bersesuaian dengan salah satu persamaan sistem. memisahkan ruas kiri persamaan dari ruas kanan. Angka Romawi menunjukkan jumlah persamaan dalam sistem.

Pertama, mereka menuliskan matriks yang digunakan untuk bekerja, kemudian semua tindakan dilakukan dengan salah satu baris. Matriks yang dihasilkan ditulis setelah tanda "panah" dan terus melakukan operasi aljabar yang diperlukan hingga hasilnya tercapai.

Akibatnya, matriks harus diperoleh di mana salah satu diagonalnya adalah 1, dan semua koefisien lainnya sama dengan nol, yaitu matriks direduksi menjadi satu bentuk. Kita tidak boleh lupa untuk membuat perhitungan dengan jumlah kedua sisi persamaan.

Notasi ini tidak terlalu rumit dan memungkinkan Anda untuk tidak terganggu dengan mendaftar banyak hal yang tidak diketahui.

Aplikasi gratis dari metode solusi apa pun akan membutuhkan perawatan dan sejumlah pengalaman. Tidak semua metode diterapkan. Beberapa cara untuk menemukan solusi lebih disukai di bidang aktivitas manusia tertentu, sementara yang lain ada untuk tujuan pembelajaran.

Persamaan linier cukup berbahaya dan topik yang jelas matematika sekolah. Tapi, anehnya, jumlah kesalahan tiba-tiba saat menyelesaikan persamaan linier hanya sedikit lebih sedikit daripada di topik lain - persamaan kuadrat, logaritma, trigonometri dan lain-lain. Penyebab sebagian besar kesalahan adalah transformasi persamaan yang identik dangkal. Pertama-tama, ini adalah kebingungan dalam tanda saat mentransfer suku dari satu bagian persamaan ke bagian lain, serta kesalahan saat bekerja dengan pecahan dan koefisien pecahan. Ya ya! Pecahan dalam persamaan linier juga terjadi! Semuanya. Sedikit lebih rendah, kami juga akan menganalisis persamaan jahat seperti itu.)

Nah, mari kita tidak menarik ekor kucing dan mulai mencari tahu, ya? Kemudian kita membaca dan memahami.)

Apa itu persamaan linier? Contoh.

Biasanya, persamaan linier memiliki bentuk berikut:

kapak + B = 0,

Dimana a dan b adalah sembarang bilangan. Apa saja: bilangan bulat, pecahan, negatif, irasional - semua orang bisa!

Misalnya:

7x + 1 = 0 (di sini a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (di sini a = 1, b = -3)

x/2 - 1.1 = 0 (di sini a = 1/2, b = -1.1)

Secara umum, Anda mengerti, saya harap.) Semuanya sederhana, seperti dalam dongeng. Untuk saat ini… Dan jika kita melihat lebih dekat pada notasi umum ax+b=0, dan berpikir sedikit? Karena a dan b angka apa saja! Dan jika kita memiliki, katakanlah, a = 0 dan b = 0 (bilangan apa pun dapat diambil!), lalu apa yang akan kita dapatkan?

0 = 0

Tapi itu tidak semuanya menyenangkan! Dan jika, katakanlah, a = 0, b = -10? Kemudian ternyata beberapa omong kosong:

0 = 10.

Yang sangat, sangat menjengkelkan dan merusak kepercayaan pada matematika yang dimenangkan dengan keringat dan darah ... Terutama dalam ujian dan ujian. Tetapi dari persamaan yang tidak dapat dipahami dan aneh ini, Anda juga perlu menemukan x! Yang tidak ada sama sekali! Dan di sini bahkan siswa yang dipersiapkan dengan baik, kadang-kadang, bisa jatuh, seperti yang mereka katakan, menjadi pingsan ... Tapi jangan khawatir! Dalam pelajaran ini, kami juga akan mempertimbangkan semua kejutan tersebut. Dan x dari persamaan tersebut juga pasti akan ditemukan.) Selain itu, x ini dicari dengan sangat, sangat sederhana. Ya ya! Mengejutkan tapi benar.)

Oke, itu bisa dimengerti. Tetapi bagaimana Anda bisa tahu dari tampilan tugas bahwa kita memiliki persamaan linier, dan bukan persamaan lainnya? Sayangnya, jauh dari selalu mungkin untuk mengenali jenis persamaan hanya dengan penampilan. Masalahnya adalah bahwa tidak hanya persamaan dalam bentuk ax + b = 0 yang disebut linier, tetapi juga persamaan lain yang, dengan transformasi identik, dengan satu atau lain cara, direduksi menjadi bentuk ini. Bagaimana Anda tahu apakah itu cocok atau tidak? Sampai Anda hampir memecahkan contoh - hampir tidak ada. Ini menjengkelkan. Tetapi untuk beberapa jenis persamaan, dengan sekali pandang, dimungkinkan untuk langsung mengatakan dengan pasti apakah itu linier atau tidak.

Untuk melakukan ini, kita sekali lagi beralih ke struktur umum persamaan linier apa pun:

kapak + B = 0

Perhatikan bahwa dalam persamaan linier selalu hanya ada variabel x di tingkat pertama dan beberapa angka! Dan itu saja! Tidak ada lagi. Pada saat yang sama, tidak ada x kuadrat, pangkat tiga, di bawah akar, di bawah logaritma dan eksotik lainnya. Dan (yang paling penting!) tidak ada pecahan dengan x dalam penyebut! Tetapi pecahan dengan angka pada penyebut atau pembagian per nomor- mudah!

Misalnya:

Ini adalah persamaan linier. Persamaan hanya berisi x untuk pangkat dan angka pertama. Dan tidak ada x dalam pangkat yang lebih tinggi - kuadrat, potong dadu, dan seterusnya. Ya, ada pecahan di sini, tetapi pada saat yang sama mereka duduk di penyebut pecahan hanya angka. Yakni, dua dan tiga. Dengan kata lain, tidak ada pembagian dengan x.

Dan inilah persamaannya

Itu tidak bisa lagi disebut linier, meskipun di sini juga, hanya ada angka dan x untuk tingkat pertama. Karena, antara lain, ada juga pecahan dengan x dalam penyebutnya. Dan setelah penyederhanaan dan transformasi, persamaan seperti itu bisa menjadi apa saja: linier, dan kuadrat - siapa saja.

Bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear? Contoh.

Lalu bagaimana cara menyelesaikan persamaan linear? Baca terus dan kaget.) Seluruh solusi persamaan linier didasarkan hanya pada dua hal utama. Mari kita daftar mereka.

1) Satu set tindakan dasar dan aturan matematika.

Ini adalah penggunaan tanda kurung, kurung buka, bekerja dengan pecahan, bekerja dengan angka negatif, tabel perkalian, dan sebagainya. Pengetahuan dan keterampilan ini diperlukan tidak hanya untuk menyelesaikan persamaan linier, tetapi untuk semua matematika pada umumnya. Dan, jika ini adalah masalah, ingat nilai yang lebih rendah. Jika tidak, Anda akan kesulitan ...

2)

Hanya ada dua dari mereka. Ya ya! Selain itu, transformasi identik yang sangat mendasar ini mendasari solusi tidak hanya linear, tetapi secara umum semua persamaan matematika! Singkatnya, solusi dari persamaan lain - kuadrat, logaritmik, trigonometri, irasional, dll. - sebagai aturan, dimulai dengan transformasi yang sangat mendasar ini. Tetapi solusi dari persamaan linier yang tepat, pada kenyataannya, berakhir pada mereka (transformasi). Siap menjawab.) Jadi jangan malas dan berjalan-jalan melalui tautan.) Selain itu, persamaan linier juga dianalisis secara rinci di sana.

Yah, saya pikir sudah waktunya untuk memulai analisis contoh.

Untuk memulainya, sebagai pemanasan, pertimbangkan beberapa dasar. Tanpa pecahan dan lonceng dan peluit lainnya. Misalnya, persamaan ini:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Ini adalah persamaan linier klasik. Semua x adalah maksimum untuk pangkat pertama dan tidak ada pembagian dengan x di mana pun. Skema solusi dalam persamaan tersebut selalu sama dan sederhana untuk horor: semua istilah dengan x harus dikumpulkan di sebelah kiri, dan semua istilah tanpa x (yaitu angka) harus dikumpulkan di sebelah kanan. Jadi mari kita mulai mengumpulkan.

Untuk melakukan ini, kami meluncurkan transformasi identik pertama. Kita perlu bergerak -5x ke kiri dan -2 untuk bergerak ke kanan. Dengan perubahan tanda, tentu saja.) Jadi kami mentransfer:

x + 5x = 4 + 2

Ini dia. Setengah pertempuran selesai: x dikumpulkan dalam tumpukan, angkanya juga. Sekarang kami memberikan yang serupa di sebelah kiri, dan kami menghitung di sebelah kanan. Kita mendapatkan:

6x = 6

Apa kekurangan kita sekarang untuk kebahagiaan yang sempurna? Ya, agar X yang bersih tetap ada di sebelah kiri! Dan enam mengganggu. Bagaimana cara menghilangkannya? Sekarang kita mulai transformasi identik kedua - kita membagi kedua sisi persamaan dengan 6. Dan - voila! Jawaban siap.)

x = 1

Tentu saja, contohnya cukup primitif. Ke Ide umum menangkap. Nah, mari kita lakukan sesuatu yang lebih substansial. Sebagai contoh, perhatikan persamaan berikut:

Mari kita analisis secara mendetail.) Ini juga merupakan persamaan linier, meskipun tampaknya ada pecahan di sini. Tetapi dalam pecahan ada pembagian dengan dua dan ada pembagian dengan tiga, tetapi tidak ada pembagian dengan ekspresi dengan x! Jadi kami memutuskan. Menggunakan semua transformasi identik yang sama, ya.)

Apa yang akan kita lakukan pertama kali? Dengan X - ke kiri, tanpa X - ke kanan? Pada prinsipnya, adalah mungkin dan sebagainya. Terbang ke Sochi melalui Vladivostok.) Atau Anda dapat mengambil jalur terpendek, segera menggunakan metode universal dan kuat. Jika Anda mengetahui transformasi yang identik, tentu saja.)

Untuk memulainya, saya mengajukan pertanyaan kunci: apa yang paling Anda perhatikan dan tidak sukai dari persamaan ini? 99 dari 100 orang berkata: pecahan! Dan mereka akan benar.) Jadi mari kita singkirkan mereka dulu. Aman untuk persamaan itu sendiri.) Jadi, mari kita mulai dengan transformasi identik kedua- dari perkalian. Dengan apa ruas kiri harus dikalikan agar penyebutnya dikurangi dengan aman? Itu benar, ganda. Dan sisi kanan? Untuk tiga! Tapi ... Matematika adalah wanita yang berubah-ubah. Dia, Anda tahu, membutuhkan mengalikan kedua bagian saja untuk nomor yang sama! Kalikan setiap bagian dengan nomornya sendiri - itu tidak berhasil ... Apa yang akan kita lakukan? Sesuatu... Carilah kompromi. Untuk memenuhi keinginan kita (singkirkan pecahan) dan tidak menyinggung matematika.) Dan mari kita kalikan kedua bagian dengan enam!) Yaitu, dengan penyebut yang sama dari semua pecahan yang termasuk dalam persamaan. Kemudian, dalam satu gerakan, keduanya akan berkurang, dan tiga!)

Di sini kita berkembang biak. Seluruh sisi kiri dan seluruh sisi kanan seluruhnya! Oleh karena itu, kami menggunakan tanda kurung. Begini tampilan prosedurnya:

Sekarang mari kita buka tanda kurung ini:

Sekarang, nyatakan 6 sebagai 6/1, kalikan enam dengan masing-masing pecahan di kiri dan kanan. Ini adalah perkalian pecahan biasa, tetapi biarlah, saya akan menulis secara rinci:

Dan di sini - perhatian! Saya mengambil pembilang (x-3) dalam tanda kurung! Ini semua karena ketika mengalikan pecahan, pembilangnya dikalikan seluruhnya, seluruhnya dan lengkap! Dan dengan ekspresi x-3 itu perlu untuk bekerja seperti dengan satu konstruksi yang solid. Tetapi jika Anda menulis pembilangnya seperti ini:

6x - 3,

Tapi kami memiliki segalanya dengan benar dan kami harus menyelesaikannya. Apa yang harus dilakukan selanjutnya? Buka kurung di pembilang di sebelah kiri? Sama sekali tidak! Anda dan saya mengalikan kedua bagian dengan 6 untuk menghilangkan pecahan, dan tidak mandi uap dengan kurung buka. Pada tahap ini, kita membutuhkan kurangi pecahan kita. Dengan perasaan puas yang mendalam, kami mengurangi semua penyebut dan mendapatkan persamaan tanpa pecahan, dalam penggaris:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

Dan sekarang kurung yang tersisa dapat dibuka:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Persamaan terus menjadi lebih baik dan lebih baik! Sekarang kita ingat lagi transformasi identik pertama. Dengan wajah batu, kami mengulangi mantra dari nilai yang lebih rendah: dengan x - ke kiri, tanpa x - ke kanan. Dan terapkan transformasi ini:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Kami memberikan yang serupa di sebelah kiri dan menghitung di sebelah kanan:

13x = 39

Tetap membagi kedua bagian dengan 13. Artinya, terapkan transformasi kedua lagi. Kami membagi dan mendapatkan jawabannya:

x = 3

Pekerjaan selesai. Seperti yang Anda lihat, dalam persamaan ini, kami harus menerapkan transformasi pertama (transfer suku) satu kali dan yang kedua dua kali: di awal solusi kami menggunakan perkalian (dengan 6) untuk menghilangkan pecahan, dan di akhir solusi kami menggunakan pembagian (dengan 13), untuk menghilangkan koefisien sebelum x. Dan solusi dari setiap (ya, sembarang!) persamaan linier terdiri dari kombinasi dari transformasi yang sama dalam satu urutan atau yang lain. Di mana tepatnya untuk memulai - dari persamaan tertentu bergantung. Di suatu tempat lebih menguntungkan untuk memulai dengan transfer, dan di suatu tempat (seperti dalam contoh ini) - dengan perkalian (atau pembagian).

Kami bekerja dari yang sederhana hingga yang kompleks. Pertimbangkan sekarang timah jujur. Dengan sekelompok pecahan dan tanda kurung. Dan saya akan memberi tahu Anda cara agar tidak terlalu memaksakan diri.)

Sebagai contoh, inilah persamaan:

Kami melihat persamaan sebentar, kami ngeri, tapi tetap saja kami menyatukan diri! Masalah utama adalah di mana untuk memulai? Anda dapat menambahkan pecahan di sisi kanan. Anda dapat mengurangi pecahan dalam tanda kurung. Anda dapat mengalikan kedua bagian dengan sesuatu. Atau berbagi ... Jadi apa yang masih mungkin? Jawaban: semuanya mungkin! Matematika tidak melarang tindakan apa pun yang terdaftar. Dan apa pun urutan tindakan dan transformasi yang Anda pilih, jawabannya akan selalu sama - yang benar. Kecuali, tentu saja, pada langkah tertentu Anda tidak melanggar identitas transformasi Anda dan, dengan demikian, tidak membuat kesalahan ...

Dan, agar tidak membuat kesalahan, dalam contoh-contoh mewah seperti ini, selalu paling berguna untuk mengevaluasinya penampilan dan pikirkan dalam pikiran Anda: apa yang dapat dilakukan dalam contoh sehingga maksimum menyederhanakannya dalam satu langkah?

Di sini kita menebak. Di sebelah kiri adalah enam dalam penyebut. Secara pribadi, saya tidak menyukainya, tetapi mereka sangat mudah dihilangkan. Biarkan saya mengalikan kedua sisi persamaan dengan 6! Kemudian angka enam di sebelah kiri akan dikurangi dengan aman, pecahan dalam tanda kurung tidak akan pergi ke mana pun. Yah, bukan masalah besar. Kita akan membahasnya nanti.) Tetapi di sebelah kanan, penyebut 2 dan 3. Dengan tindakan ini (perkalian dengan 6) kita mencapai penyederhanaan maksimum dalam satu langkah!

Setelah perkalian, seluruh persamaan jahat kita menjadi seperti ini:

Jika Anda tidak mengerti persis bagaimana persamaan ini muncul, maka Anda tidak memahami analisis contoh sebelumnya dengan baik. Dan saya mencoba, omong-omong ...

Jadi mari kita buka:

Sekarang langkah paling logis adalah mengisolasi pecahan di sebelah kiri, dan mengirim 5x ke ruas kanan. Pada saat yang sama, kami memberikan yang serupa di sisi kanan. Kita mendapatkan:

Sudah jauh lebih baik. Sekarang sisi kiri telah mempersiapkan diri untuk perkalian. Apa yang harus dikalikan dengan sisi kiri sehingga baik lima dan empat segera berkurang? Pada 20! Tetapi kami juga memiliki kelemahan di kedua sisi persamaan. Oleh karena itu, akan lebih mudah untuk mengalikan kedua sisi persamaan bukan dengan 20, tetapi dengan -20. Kemudian, dalam satu gerakan, minus akan hilang, dan pecahannya.

Di sini kita mengalikan:

Bagi yang masih belum memahami langkah ini, berarti soal-soalnya tidak ada dalam persamaan. Masalah adalah intinya! Kita ingat lagi peraturan Emas ekspansi kurung:

Jika angka dikalikan dengan beberapa ekspresi dalam tanda kurung, maka angka ini harus dikalikan secara berurutan dengan setiap suku dari ekspresi ini. Apalagi jika angkanya positif, maka tanda-tanda ekspresi setelah ekspansi dipertahankan. Jika negatif, mereka terbalik:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Minus menghilang setelah mengalikan kedua bagian dengan -20. Dan sekarang kita mengalikan tanda kurung dengan pecahan di sebelah kiri dengan cukup sendiri nomor positif 20. Karena itu, saat membuka kurung ini, semua tanda yang ada di dalamnya dipertahankan. Tapi dari mana tanda kurung pada pembilang pecahan berasal, saya sudah menjelaskan secara rinci pada contoh sebelumnya.

Dan sekarang Anda dapat mengurangi pecahan:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Perluas tanda kurung yang tersisa. Sekali lagi, kami membuka dengan benar. Tanda kurung pertama dikalikan dengan angka positif 4 dan, oleh karena itu, semua tanda dipertahankan saat dibuka. Tapi kurung kedua dikalikan dengan negatif jumlahnya adalah -5 dan, oleh karena itu, semua tanda dibalik:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Ada ruang kosong yang tersisa. Dengan x ke kiri, tanpa x ke kanan:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Itu hampir semuanya. Di sebelah kiri, Anda membutuhkan X yang bersih, dan angka -35 menghalangi. Jadi kita bagi kedua bagian dengan (-35). Saya mengingatkan Anda bahwa transformasi identitas kedua memungkinkan kita untuk mengalikan dan membagi kedua bagian dengan apa pun nomor. Termasuk negatifnya.) Kalau saja tidak sampai nol! Jangan ragu untuk berbagi dan dapatkan jawabannya:

X=2/35

Kali ini X ternyata pecahan. Tidak ada yang salah. Contoh seperti itu.)

Seperti yang bisa kita lihat, prinsip penyelesaian persamaan linier (bahkan yang paling bengkok) cukup sederhana: kita ambil persamaan aslinya dan, dengan transformasi yang identik, kita sederhanakan secara berurutan hingga jawabannya. Dengan dasar-dasar, tentu saja! Masalah utama di sini justru ketidakpatuhan dengan dasar-dasar (katakanlah, ada minus sebelum tanda kurung, dan mereka lupa mengubah tanda saat membuka), serta dalam aritmatika dangkal. Jadi jangan abaikan dasar-dasarnya! Mereka adalah dasar dari semua matematika lainnya!

Beberapa trik dalam menyelesaikan persamaan linear. Atau acara-acara khusus.

Semuanya akan menjadi apa-apa. Namun ... Di antara persamaan linier, ada juga mutiara lucu yang, dalam proses penyelesaiannya, dapat membuat mereka pingsan. Bahkan seorang siswa yang sangat baik.)

Misalnya, berikut adalah persamaan yang tampak tidak berbahaya:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Menguap lebar dan sedikit bosan, kami mengumpulkan semua X di sebelah kiri, dan semua angka di sebelah kanan:

7x-4x-3x = 5-2-3

Kami memberikan yang serupa, pertimbangkan dan dapatkan:

0 = 0

Itu dia! Dikeluarkan fokus primerchik! Dalam dirinya sendiri, kesetaraan ini tidak menimbulkan keberatan: nol memang sama dengan nol. Tapi X hilang! Tanpa jejak! Dan kita harus menulis dalam jawabannya, Apa sama dengan x . Kalau tidak, keputusan tidak dipertimbangkan, ya.) Apa yang harus dilakukan?

Jangan panik! Dalam kasus non-standar seperti itu, yang paling konsep umum dan prinsip matematika. Apa itu persamaan? Bagaimana cara menyelesaikan persamaan? Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan?

Memecahkan persamaan berarti menemukan semua nilai variabel x, yang jika disubstitusikan ke asli persamaan akan memberi kita persamaan yang benar (identitas)!

Tapi kami memiliki persamaan yang benar sudah selesai! 0=0, atau lebih tepatnya tidak di mana pun!) Masih harus ditebak di mana x kita mendapatkan persamaan ini. Jenis x apa yang dapat disubstitusikan menjadi asli persamaan jika, ketika mensubstitusi, mereka semua masih menyusut ke nol? Apakah Anda belum mengetahuinya?

Ya, tentu saja! X bisa diganti setiap!!! Benar-benar apapun. Apa pun yang Anda inginkan, masukkan. Setidaknya 1, setidaknya -23, setidaknya 2,7 - terserah! Mereka masih akan berkurang dan sebagai hasilnya kebenaran murni akan tetap ada. Cobalah, gantikan dan lihat sendiri.)

Inilah jawaban Anda:

x adalah bilangan apa saja.

Dalam notasi ilmiah, persamaan ini ditulis seperti ini:

Entri ini berbunyi seperti ini: "X adalah bilangan real apa pun."

Atau dalam bentuk lain, dengan interval:

Seperti yang Anda suka, atur. Ini dia jawaban yang benar dan lengkap!

Dan sekarang saya akan mengubah hanya satu angka dalam persamaan awal kita. Mari selesaikan persamaan ini sekarang:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Kami kembali mentransfer persyaratan, menghitung dan mendapatkan:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Dan bagaimana Anda menyukai lelucon ini? Ada persamaan linier biasa, tetapi ada persamaan yang tidak dapat dipahami

0 = 1…

Dalam istilah ilmiah, kita memiliki persamaan yang salah. Tapi dalam bahasa Rusia itu tidak benar. Omong kosong. Omong kosong.) Untuk nol tidak sama dengan satu!

Dan sekarang lagi kita berpikir apa jenis x ketika mensubstitusi ke dalam persamaan asli akan memberi kita persamaan yang benar? Yang? Tapi tidak ada! Apa pun X yang Anda ganti, semuanya akan tetap berkurang dan akan ada omong kosong.)

Inilah jawabannya: tidak ada solusi.

V notasi matematika respons seperti itu diformat seperti ini:

Bunyinya: "X milik himpunan kosong."

Jawaban seperti itu dalam matematika juga cukup umum: tidak selalu persamaan apa pun memiliki akar pada prinsipnya. Beberapa persamaan mungkin tidak memiliki akar sama sekali. Sama sekali.

Inilah dua kejutan. Saya harap sekarang hilangnya X secara tiba-tiba dalam persamaan tidak akan membingungkan Anda selamanya. Kasusnya cukup familiar.)

Dan kemudian saya mendengar pertanyaan logis: apakah mereka akan berada di OGE atau USE? Pada ujian, sendiri sebagai tugas - tidak ada. Terlalu sederhana. Tapi di OGE atau dalam masalah teks - mudah! Jadi sekarang - kami melatih dan memutuskan:

Jawaban (berantakan): -2; -satu; nomor apapun; 2; tidak ada solusi; 13/7

Semuanya berhasil? Bagus! Anda memiliki peluang bagus dalam ujian.

Ada yang tidak cocok? Hm... Sedih tentunya. Jadi ada celah di suatu tempat. Baik dalam basis atau dalam transformasi identik. Atau ini masalah kurangnya perhatian yang dangkal. Baca ulang pelajaran lagi. Karena ini bukanlah topik yang dapat dilakukan seseorang tanpa begitu mudah dalam matematika ...

Semoga berhasil! Dia pasti akan tersenyum padamu, percayalah!)

Kembali