Saat mempelajari sistem kendali otomatis, akan lebih mudah untuk menggunakan karakteristik lain dari proses acak stasioner, yang disebut kerapatan spektral. Dalam banyak kasus, terutama ketika mempelajari transformasi proses acak stasioner dengan sistem kontrol linier, kerapatan spektral ternyata menjadi karakteristik yang lebih sesuai daripada fungsi korelasi. Kepadatan spektral dari proses acak didefinisikan sebagai transformasi Fourier dari fungsi korelasi, yaitu.

Jika kita menggunakan rumus Euler, maka (9.52) dapat direpresentasikan sebagai

Karena fungsi ganjil maka dalam ekspresi terakhir integral kedua sama dengan nol. Mengingat fungsinya genap, kita peroleh

Karena berikut dari (9.53) itu

Jadi, kerapatan spektral adalah fungsi nyata dan genap dari frekuensi o). Oleh karena itu, pada grafik, kerapatan spektral selalu simetris terhadap sumbu ordinat.

Jika kerapatan spektral diketahui, maka dengan menggunakan rumus transformasi Fourier terbalik Anda dapat menemukan fungsi korelasi yang sesuai:

Dengan menggunakan (9.55) dan (9.38), kita dapat membangun hubungan penting antara dispersi dan kerapatan spektral dari proses acak:

Istilah "kepadatan spektral" berasal dari teori tersebut getaran listrik. Arti fisis kerapatan spektral dapat dijelaskan sebagai berikut.

Misalkan tegangan yang diterapkan pada resistansi ohmik sebesar 1 Ohm, maka daya rata-rata yang dihamburkan pada resistansi ini terhadap waktu adalah sama dengan

Jika kita menaikkan interval pengamatan hingga batas tak terhingga dan menggunakan (9,30), (9,38) dan (9,55) maka kita dapat menuliskan rumus daya rata-rata sebagai berikut:

Kesetaraan (9.57) menunjukkan bahwa kekuatan sinyal rata-rata dapat direpresentasikan sebagai jumlah tak terhingga dari suku-suku yang sangat kecil, yang berlaku untuk semua frekuensi dari 0 hingga

Setiap suku dasar dari jumlah ini memainkan peran daya yang sesuai dengan bagian spektrum yang sangat kecil, yang terdapat dalam rentang dari hingga. Setiap daya dasar sebanding dengan nilai fungsi untuk frekuensi tertentu. Oleh karena itu, arti fisik kepadatan spektral adalah ciri distribusi kekuatan sinyal pada spektrum frekuensi.

Kepadatan spektral dapat ditemukan secara eksperimental melalui nilai rata-rata kuadrat amplitudo harmonik dari implementasi proses acak. Instrumen yang digunakan untuk tujuan ini dan terdiri dari penganalisis spektrum dan kalkulator nilai rata-rata amplitudo harmonik kuadrat disebut spektrometer. Menemukan kerapatan spektral secara eksperimental lebih sulit daripada fungsi korelasi, oleh karena itu dalam praktiknya, kerapatan spektral paling sering dihitung menggunakan fungsi korelasi yang diketahui menggunakan rumus (9.52) atau (9.53).

Kepadatan spektral timbal balik dari dua proses acak stasioner didefinisikan sebagai transformasi Fourier dari fungsi korelasi silang, yaitu.

Dengan menggunakan kerapatan spektral timbal balik, dengan menerapkan transformasi Fourier terbalik ke (9,58), kita dapat menemukan ekspresi fungsi korelasi silang:

Kerapatan spektral silang adalah ukuran hubungan statistik antara dua proses acak stasioner: Jika proses tidak berkorelasi dan mempunyai nilai rata-rata nol, maka kerapatan spektral silang adalah nol, yaitu.

Berbeda dengan kerapatan spektral, kerapatan spektral silang bukanlah fungsi genap dari o dan bukan merupakan fungsi nyata, melainkan fungsi kompleks.

Mari kita pertimbangkan beberapa sifat kepadatan spektral

1 Kepadatan spektral dari proses acak murni, atau white noise, adalah konstan di seluruh rentang frekuensi (lihat Gambar 9.5, d):

Memang, dengan mengganti ekspresi (9.47) untuk fungsi korelasi white noise menjadi (9.52), kita memperoleh

Keteguhan kerapatan spektral derau putih pada seluruh rentang frekuensi tak terhingga, yang diperoleh pada ekspresi terakhir, berarti bahwa energi derau putih didistribusikan secara merata ke seluruh spektrum, dan energi total proses tersebut sama dengan tak terhingga. Hal ini menunjukkan ketidakmungkinan fisik dari proses acak seperti white noise. White noise adalah idealisasi matematis dari proses nyata. Faktanya, spektrum frekuensi turun pada frekuensi yang sangat tinggi (seperti yang ditunjukkan oleh garis putus-putus pada Gambar 9.5, d). Namun, jika frekuensi ini sangat tinggi sehingga ketika mempertimbangkan perangkat tertentu, frekuensi tersebut tidak berperan (karena berada di luar pita frekuensi yang ditransmisikan oleh perangkat ini), maka mengidealkan sinyal dalam bentuk white noise menyederhanakan pertimbangan dan adalah oleh karena itu cukup tepat.

Asal usul istilah "white noise" dijelaskan oleh analogi proses tersebut dengan cahaya putih, yang memiliki intensitas yang sama di semua komponen, dan oleh fakta bahwa proses acak seperti white noise pertama kali diidentifikasi dalam studi termal. fluktuasi kebisingan pada perangkat teknik radio.

2. Kerapatan spektral sinyal konstan adalah fungsi - yang terletak di titik asal koordinat (lihat Gambar 9.5, a), yaitu.

Untuk membuktikannya, mari kita asumsikan kerapatan spektral berbentuk (9,62), dan dari (9,55) fungsi korelasi yang sesuai. Karena

lalu ketika kita mendapatkannya

Ini (sesuai dengan properti 5 dari fungsi korelasi) berarti bahwa sinyal yang sesuai dengan kerapatan spektral yang ditentukan oleh (9.62) adalah sinyal konstan yang sama dengan

Fakta bahwa kerapatan spektral adalah fungsi - berarti bahwa seluruh kekuatan sinyal DC terkonsentrasi pada frekuensi nol, seperti yang diharapkan.

3. Kerapatan spektral sinyal periodik mewakili dua fungsi yang terletak secara simetris relatif terhadap titik asal koordinat di (lihat Gambar 9.5, e), yaitu.

Untuk membuktikannya, mari kita asumsikan kerapatan spektral berbentuk (9,63), dan dengan menggunakan (9,55) kita mencari fungsi korelasi yang sesuai:

Ini (sesuai dengan sifat 6 fungsi korelasi) berarti bahwa sinyal yang sesuai dengan kerapatan spektral yang ditentukan oleh (9.63) adalah sinyal periodik yang sama dengan

Fakta bahwa kerapatan spektral mewakili dua fungsi yang terletak di berarti bahwa seluruh kekuatan sinyal periodik terkonsentrasi pada dua frekuensi: Jika kita mempertimbangkan kerapatan spektral hanya di wilayah frekuensi positif, kita peroleh,

bahwa seluruh kekuatan sinyal periodik akan terkonsentrasi pada satu frekuensi.

4. Berdasarkan hal di atas, kerapatan spektral fungsi waktu yang diperluas dalam deret Fourier mempunyai bentuk

Kepadatan spektral ini sesuai dengan spektrum garis (Gbr. 9.9) dengan fungsi - yang terletak pada frekuensi harmonik positif dan negatif. Pada Gambar. 9.9 -fungsi digambarkan secara konvensional sedemikian rupa sehingga tingginya ditampilkan sebanding dengan koefisien fungsi satuan, yaitu nilai dan

yang sepenuhnya bertepatan dengan fungsi korelasi yang ditentukan oleh (9.45).

Dari Gambar. 9.5, b, c jelas bahwa semakin lebar grafik kerapatan spektral, semakin sempit grafik fungsi korelasi yang bersangkutan dan sebaliknya. Hal ini sesuai dengan esensi fisik dari proses: semakin luas grafik kerapatan spektral, yaitu semakin tinggi frekuensi yang terwakili dalam kerapatan spektral, semakin tinggi derajat variabilitas proses acak dan grafik fungsi korelasi yang sama. Dengan kata lain, hubungan antara jenis kerapatan spektral dan jenis fungsi waktu berbanding terbalik dengan hubungan antara fungsi korelasi dan jenis fungsi waktu. Hal ini terutama berlaku ketika mempertimbangkan sinyal konstan dan white noise. Dalam kasus pertama, fungsi korelasi berbentuk garis lurus horizontal, dan kerapatan spektral berbentuk -fungsi (lihat Gambar 9.5, a). Dalam kasus kedua (lihat Gambar 9.5, d) gambaran sebaliknya terjadi.

6. Kepadatan spektral dari proses acak, di mana komponen periodik ditumpangkan, mengandung bagian kontinu dan fungsi terpisah yang sesuai dengan frekuensi komponen periodik.

Puncak individu dalam plot kepadatan spektral menunjukkan bahwa proses acak dicampur dengan komponen periodik tersembunyi yang mungkin tidak terdeteksi pada pandangan pertama pada catatan individu dari proses tersebut. Jika, misalnya, satu sinyal periodik dengan frekuensi ditumpangkan pada proses acak, maka grafiknya; kerapatan spektral memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 9.10,

Terkadang standar yang dinormalisasi dimasukkan ke dalam pertimbangan

kerapatan spektral yang merupakan gambaran Fourier dari fungsi korelasi yang dinormalisasi (9.48):

Kepadatan spektral yang dinormalisasi memiliki dimensi waktu.

1. Sinyal dan spektrum. Landasan teori komunikasi digital

1. Sinyal dan spektrum

1.1. Pemrosesan sinyal dalam komunikasi digital

1.1.1. Mengapa "digital"

Mengapa sistem komunikasi militer dan komersial menggunakan “digit”? Ada banyak alasan. Keuntungan utama dari pendekatan ini adalah kemudahan rekonstruksi sinyal digital dibandingkan analog. Mari kita lihat Gambar. 1.1, yang menunjukkan pulsa digital biner ideal yang merambat sepanjang saluran data. Bentuk gelombang dipengaruhi oleh dua mekanisme utama: (1) karena semua saluran dan saluran transmisi memiliki respons frekuensi yang tidak ideal, pulsa ideal terdistorsi; dan (2) gangguan listrik yang tidak diinginkan atau gangguan eksternal lainnya semakin mendistorsi bentuk pulsa. Semakin panjang salurannya, semakin signifikan mekanisme ini mendistorsi denyut nadi (Gbr. 1.1). Pada titik di mana pulsa yang ditransmisikan masih dapat ditentukan dengan andal (sebelum terdegradasi ke keadaan ambigu), pulsa tersebut diperkuat oleh amplifier digital, sehingga mengembalikan bentuk ideal aslinya. Dorongan itu “dilahirkan kembali” atau dipulihkan. Repeater regeneratif yang terletak di saluran komunikasi pada jarak tertentu satu sama lain bertanggung jawab untuk memulihkan sinyal.

Saluran digital kurang rentan terhadap distorsi dan interferensi dibandingkan saluran analog. Karena saluran digital biner menghasilkan sinyal yang berarti hanya ketika beroperasi di salah satu dari dua keadaan—hidup atau mati—gangguan harus cukup besar untuk memindahkan titik operasi saluran dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Memiliki hanya dua keadaan memudahkan untuk merekonstruksi sinyal dan oleh karena itu mencegah kebisingan atau gangguan lain terakumulasi selama transmisi. Sebaliknya, sinyal analog bukanlah sinyal dua keadaan; mereka dapat menerima jumlah yang tidak terbatas formulir Dalam saluran analog, gangguan kecil sekalipun dapat mendistorsi sinyal hingga tidak dapat dikenali lagi. Sekali sinyal analog terdistorsi, gangguan tersebut tidak dapat dihilangkan dengan amplifikasi. Karena penumpukan kebisingan secara intrinsik terkait dengan sinyal analog, akibatnya kebisingan tersebut tidak dapat direproduksi secara sempurna. Dengan teknologi digital, tingkat kesalahan yang sangat rendah ditambah penggunaan prosedur deteksi dan koreksi kesalahan memungkinkan akurasi sinyal yang tinggi. Perlu dicatat bahwa dengan teknologi analog, prosedur seperti itu tidak tersedia.

Gambar.1.1. Distorsi dan restorasi impuls

Ada manfaat penting lainnya dari komunikasi digital. Saluran digital lebih dapat diandalkan dan dapat diproduksi dengan biaya lebih rendah. Murah daripada analog. Selain itu, digital perangkat lunak memungkinkan lebih banyak implementasi yang lebih fleksibel dibandingkan analog (misalnya, mikroprosesor, peralihan digital, dan sirkuit terpadu skala besar (LSI)). Penggunaan sinyal digital dan time-division multiplexing (TDM) lebih sederhana dibandingkan menggunakan sinyal analog dan frekuensi-division multiplexing (FDM). Saat mentransmisikan dan berpindah, berbagai jenis sinyal digital (data, telegraf, telepon, televisi) dapat dianggap identik: bagaimanapun juga, sedikit adalah sedikit. Selain itu, untuk kemudahan peralihan dan pemrosesan, pesan digital dapat dikelompokkan menjadi unit otonom yang disebut paket. DI DALAM teknologi digital Fungsi yang melindungi terhadap gangguan dan gangguan sinyal, atau menyediakan enkripsi atau kerahasiaan diperkenalkan secara alami. (Teknologi serupa dibahas dalam Bab 12 dan 14.) Selain itu, pertukaran data terutama terjadi antara dua komputer atau antara komputer dan perangkat atau terminal digital. Perangkat terminal digital seperti itu lebih baik (dan lebih alami!) dilayani oleh saluran komunikasi digital.

Berapa yang kita bayar untuk manfaat sistem komunikasi digital? Sistem digital memerlukan pemrosesan yang lebih intensif dibandingkan sistem analog. Selain itu, sistem digital memerlukan alokasi sumber daya dalam jumlah besar untuk sinkronisasi di berbagai tingkat (lihat Bab 10). Sebaliknya, sistem analog lebih mudah untuk disinkronkan. Kerugian lain dari sistem komunikasi digital adalah penurunan kualitas yang berada di ambang batas. Jika rasio signal-to-noise turun di bawah ambang batas tertentu, kualitas layanan tiba-tiba berubah dari sangat baik menjadi sangat buruk. Dalam sistem analog, penurunan kualitas terjadi lebih lancar.

1.1.2. Diagram kotak khas dan transformasi dasar

Diagram blok fungsional ditunjukkan pada Gambar. 1.2 mengilustrasikan langkah-langkah propagasi dan pemrosesan sinyal dalam sistem komunikasi digital (DCS) pada umumnya. Blok teratas - pemformatan, pengkodean sumber, enkripsi, pengkodean saluran, multipleksing, modulasi pulsa, modulasi bandpass, spektrum penyebaran, dan akses ganda - mencerminkan transformasi sinyal dalam jalur dari sumber ke pemancar. Blok bawah diagram adalah transformasi sinyal dalam perjalanan dari penerima ke penerima informasi, dan sebenarnya berlawanan dengan blok atas. Blok modulasi dan demodulasi/deteksi secara kolektif disebut modem. Istilah "modem" sering menggabungkan beberapa tahap pemrosesan sinyal, seperti ditunjukkan pada Gambar. 1.2; dalam hal ini modem dapat dianggap sebagai “otak” dari sistem. Pemancar dan penerima dapat dianggap sebagai “otot” sistem. Untuk aplikasi nirkabel, pemancar terdiri dari rangkaian peningkatan frekuensi radio (RF), penguat daya, dan antena, dan penerima terdiri dari antena dan penguat kebisingan rendah (LNA). Pengurangan frekuensi terbalik dilakukan pada keluaran penerima dan/atau demodulator.

Pada Gambar. Gambar 1.2 mengilustrasikan korespondensi antara blok bagian atas (pemancar) dan bagian bawah (penerima) sistem. Langkah-langkah pemrosesan sinyal yang terjadi di pemancar sebagian besar berbanding terbalik dengan langkah-langkah di penerima. Pada Gambar. 1.2 informasi asli diubah menjadi angka biner (bit); bit-bit tersebut kemudian dikelompokkan menjadi pesan digital atau simbol pesan. Setiap simbol tersebut (di mana) dapat dianggap sebagai elemen alfabet terbatas yang mengandung M elemen. Oleh karena itu, untuk M=2 Simbol pesan adalah biner (yaitu terdiri dari satu bit). Meskipun karakter biner dapat diklasifikasikan sebagai M-ary (dengan M=2), biasanya namanya " M-ary" digunakan untuk kasus M>2; Artinya simbol tersebut terdiri dari rangkaian dua bit atau lebih. (Bandingkan alfabet sistem DCS yang terbatas ini dengan apa yang kita miliki dalam sistem analog, di mana sinyal pesan adalah elemen dari kumpulan sinyal yang mungkin tak terbatas.) Untuk sistem yang menggunakan pengkodean saluran (kode koreksi kesalahan), urutan simbol pesan diubah menjadi rangkaian simbol saluran (simbol kode), dan setiap simbol saluran ditetapkan . Karena simbol pesan atau simbol saluran dapat terdiri dari satu bit atau sekelompok bit, rangkaian simbol tersebut disebut bitstream (Gambar 1.2).

Mari kita pertimbangkan blok pemrosesan sinyal utama yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2; Satu-satunya langkah yang diperlukan untuk sistem DCS adalah pemformatan, modulasi, demodulasi/deteksi, dan sinkronisasi.

Pemformatan mengubah informasi sumber menjadi bit, sehingga memastikan bahwa fungsi pemrosesan informasi dan sinyal kompatibel dengan sistem DCS. Dari titik ini pada gambar hingga blok modulasi pulsa, informasinya tetap dalam bentuk aliran bit.

Beras. 1.2. Diagram blok dari sistem komunikasi digital yang khas

Modulasi adalah proses dimana simbol pesan atau simbol saluran (jika pengkodean saluran digunakan) diubah menjadi sinyal yang kompatibel dengan persyaratan yang diberlakukan oleh saluran data. Modulasi pulsa adalah hal lain tahap yang diperlukan, karena setiap karakter yang perlu ditransmisikan terlebih dahulu harus diubah dari representasi biner (level tegangan yang mewakili biner dan nol) menjadi bentuk sinyal pita sempit. Istilah "baseband" mendefinisikan sinyal yang spektrumnya dimulai pada (atau dekat) komponen DC dan berakhir pada nilai tertentu yang terbatas (biasanya tidak lebih dari beberapa megahertz). Blok modulasi kode pulsa biasanya mencakup penyaringan untuk meminimalkan bandwidth transmisi. Ketika modulasi pulsa diterapkan pada simbol biner, sinyal biner yang dihasilkan disebut sinyal yang dikodekan PCM (modulasi kode pulsa). Ada beberapa jenis sinyal PCM (dijelaskan pada Bab 2); dalam aplikasi telepon, sinyal ini sering disebut kode saluran. Ketika modulasi pulsa diterapkan pada karakter non-biner, sinyal yang dihasilkan disebut M-ary termodulasi pulsa. Ada beberapa jenis sinyal tersebut, yang juga dijelaskan dalam Bab 2, dengan fokus pada modulasi amplitudo pulsa (PAM). Setelah modulasi pulsa, setiap simbol pesan atau simbol saluran mengambil bentuk sinyal bandpass, dimana . Dalam implementasi elektronik apa pun, aliran bit sebelum modulasi pulsa diwakili oleh level tegangan. Orang mungkin bertanya-tanya mengapa ada blok terpisah untuk modulasi pulsa, padahal sebenarnya level tegangan untuk nol biner dan satu sudah dapat dianggap sebagai pulsa persegi panjang ideal, yang masing-masing sama dengan waktu transmisi satu bit? Ada dua perbedaan penting antara level tegangan ini dan sinyal bandpass yang digunakan untuk modulasi. Pertama, blok modulasi pulsa memungkinkan penggunaan biner dan M sinyal -ary. Bagian 2.8.2 menjelaskan berbagai parameter yang berguna untuk jenis sinyal ini. Kedua, penyaringan yang dilakukan pada unit modulasi pulsa menghasilkan pulsa yang durasinya lebih lama dari waktu transmisi satu bit. Filtrasi memungkinkan penggunaan pulsa yang lebih panjang; dengan demikian, pulsa tersebar pada slot waktu transmisi bit yang berdekatan. Proses ini kadang-kadang disebut pembentukan pulsa; ini digunakan untuk mempertahankan bandwidth transmisi dalam beberapa wilayah spektrum yang diinginkan.

Untuk aplikasi yang melibatkan transmisi frekuensi radio, berikut ini tahap penting adalah modulasi bandpass; hal ini selalu diperlukan bila media transmisi tidak mendukung perambatan sinyal dalam bentuk pulsa. Dalam kasus seperti ini, media memerlukan sinyal bandpass, dimana . Istilah "bandpass" digunakan untuk mencerminkan bahwa sinyal pita sempit digeser oleh gelombang pembawa ke frekuensi yang jauh lebih tinggi daripada komponen spektralnya. Ketika sinyal merambat melalui suatu saluran, hal itu dipengaruhi oleh karakteristik saluran, yang dapat dinyatakan dalam respons impuls (lihat Bagian 1.6.1). Selain itu, di berbagai titik sepanjang jalur sinyal, gangguan acak tambahan merusak sinyal yang diterima, sehingga penerimaan harus dinyatakan dalam versi sinyal yang rusak yang berasal dari pemancar. Sinyal yang diterima dapat dinyatakan sebagai berikut:

dimana tanda "*" mewakili operasi konvolusi (lihat Lampiran A), dan merupakan proses kebisingan (lihat Bagian 1.5.5).

Dalam arah sebaliknya, ujung depan penerima dan/atau demodulator mengurangi frekuensi setiap sinyal bandpass. Sebagai persiapan untuk deteksi, demodulator merekonstruksi selubung sinyal pita sempit yang optimal. Biasanya, beberapa filter dikaitkan dengan penerima dan demodulator - penyaringan dilakukan untuk menghilangkan komponen frekuensi tinggi yang tidak diinginkan (dalam proses mengubah sinyal bandpass menjadi sinyal pita sempit) dan membentuk pulsa. Penyetaraan dapat digambarkan sebagai jenis penyaringan yang digunakan pada demodulator (atau setelah demodulator) untuk menghilangkan efek degradasi sinyal yang mungkin disebabkan oleh saluran. Pemerataan diperlukan ketika respons impuls suatu saluran sangat buruk sehingga sinyal yang diterima sangat terdistorsi. Equalizer (perangkat penyamarataan) diterapkan untuk mengkompensasi (yaitu menghilangkan atau melemahkan) semua distorsi sinyal yang disebabkan oleh karakteristik yang tidak ideal. Terakhir, tahap pengambilan sampel mengubah pulsa yang dihasilkan menjadi sampel untuk memulihkan (kira-kira) simbol saluran atau simbol pesan (jika pengkodean saluran tidak digunakan). Beberapa penulis menggunakan istilah demodulasi dan deteksi secara bergantian. Dalam buku ini, demodulasi mengacu pada rekonstruksi sinyal (bandwidth pulse), dan deteksi mengacu pada pengambilan keputusan mengenai nilai digital dari sinyal ini.

Tahapan pemrosesan sinyal lainnya di modem bersifat opsional dan ditujukan untuk memenuhi kebutuhan sistem tertentu. Pengkodean sumber adalah konversi sinyal analog menjadi sinyal digital (untuk sumber analog) dan penghapusan informasi yang berlebihan (tidak perlu). Perhatikan bahwa sistem DCS pada umumnya dapat menggunakan pengkodean sumber (untuk mendigitalkan dan mengompresi informasi asli) atau konversi format yang lebih sederhana (hanya untuk digitalisasi). Sistem tidak dapat menerapkan pengkodean dan pemformatan sumber secara bersamaan, karena pengkodean sumber sudah mencakup tahap digitalisasi informasi yang diperlukan. Enkripsi, yang digunakan untuk menjamin privasi komunikasi, mencegah pengguna yang tidak berwenang memahami pesan dan memasukkan pesan palsu ke dalam sistem. Pengkodean saluran pada kecepatan data tertentu dapat mengurangi kemungkinan kesalahan PE atau mengurangi rasio signal-to-noise yang diperlukan untuk mendapatkan probabilitas PE yang diinginkan dengan meningkatkan bandwidth transmisi atau mempersulit decoder. Prosedur multiplexing dan akses ganda menggabungkan sinyal yang mungkin memiliki karakteristik berbeda atau mungkin berasal dari sumber berbeda sehingga mereka dapat berbagi sebagian sumber daya komunikasi (misalnya spektrum, waktu). Penyebaran frekuensi dapat memberikan sinyal yang relatif kebal terhadap gangguan (baik alami maupun disengaja) dan dapat digunakan untuk meningkatkan privasi pihak yang berkomunikasi. Ini juga merupakan teknologi berharga yang digunakan untuk akses ganda.

Blok pemrosesan sinyal ditunjukkan pada Gambar. 1.2 mewakili diagram sistem komunikasi digital yang khas; namun, blok ini terkadang diterapkan dalam urutan yang sedikit berbeda. Misalnya, multiplexing dapat terjadi sebelum pengkodean atau modulasi saluran, atau - dalam proses modulasi dua tahap (subcarrier dan operator) - dapat terjadi antara dua tahap modulasi. Demikian pula, unit perluasan frekuensi dapat ditempatkan di berbagai tempat di baris atas Gambar. 1.2; lokasi tepatnya tergantung pada teknologi spesifik yang digunakan. Sinkronisasi dan elemen kuncinya, sinyal clock, terlibat dalam semua tahapan pemrosesan sinyal dalam sistem DCS. Untuk mempermudah, blok sinkronisasi pada Gambar. 1.2 ditampilkan tanpa referensi apa pun, meskipun sebenarnya ia terlibat dalam pengaturan operasi di hampir setiap blok yang ditunjukkan pada gambar.

Pada Gambar. Gambar 1.3 menunjukkan fungsi dasar pemrosesan sinyal (yang dapat dianggap sebagai pengkondisian sinyal), dibagi menjadi sembilan kelompok berikut.

Gambar 1.3. Transformasi komunikasi digital yang besar

1. Memformat dan menyandikan sumbernya

2. Transmisi sinyal pita sempit

3. Pensinyalan bandpass

4. Penyelarasan

5. Pengkodean saluran

6. Segel dan akses ganda

7. Perluasan spektrum

8. Enkripsi

9. Sinkronisasi

Pada Gambar. 1.3 blok Transmisi sinyal pita sempit berisi daftar alternatif biner saat menggunakan modulasi PCM atau kode linier. Blok ini juga mengidentifikasi kategori sinyal non-biner yang disebut M-modulasi pulsa. Transformasi lain pada Gambar. 1.3, diberi label Bandpass Signaling, dibagi menjadi dua blok utama, koheren dan inkoheren. Demodulasi biasanya dilakukan dengan menggunakan sinyal referensi. Ketika menggunakan sinyal yang diketahui sebagai ukuran semua parameter sinyal (terutama fase), proses demodulasi disebut koheren; ketika informasi fase tidak digunakan, prosesnya dikatakan tidak koheren.

Pengkodean saluran mengacu pada teknik yang digunakan untuk meningkatkan sinyal digital, membuatnya kurang rentan terhadap faktor degradasi seperti noise, fading, dan penekanan sinyal. Pada Gambar. Pengkodean saluran 1.3 dibagi menjadi dua blok, blok pengkodean bentuk gelombang dan blok urutan terstruktur. Pengkodean bentuk gelombang melibatkan penggunaan sinyal baru yang memperkenalkan peningkatan kinerja deteksi dibandingkan sinyal asli. Urutan terstruktur melibatkan penggunaan bit tambahan untuk menentukan apakah ada kesalahan karena kebisingan di saluran. Salah satu teknologi tersebut, permintaan pengulangan otomatis (ARQ), hanya mengenali bahwa telah terjadi kesalahan dan meminta pengirim untuk mengirimkan ulang pesan tersebut; Teknologi lain, yang dikenal sebagai forward error Correction (FEC), memungkinkan kesalahan diperbaiki secara otomatis (dengan batasan tertentu). Saat melihat urutan terstruktur, kita akan membahas tiga metode umum - pengkodean blok, konvolusional, dan turbo.

Dalam komunikasi digital, sinkronisasi melibatkan penghitungan waktu dan frekuensi. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.3, sinkronisasi dilakukan pada lima level. Frekuensi referensi sistem koheren perlu disinkronkan dengan frekuensi dan fase pembawa (dan mungkin subcarrier). Untuk sistem yang tidak koheren, sinkronisasi fase tidak diperlukan. Proses sinkronisasi waktu dasar adalah sinkronisasi karakter (atau sinkronisasi bit untuk karakter biner). Demodulator dan detektor harus mengetahui kapan harus memulai dan menghentikan proses deteksi simbol dan bit; kesalahan sinkronisasi menyebabkan berkurangnya efisiensi deteksi. Sinkronisasi waktu tingkat berikutnya, sinkronisasi bingkai, memungkinkan pesan disusun ulang. Dan tingkat terakhir, sinkronisasi jaringan, memungkinkan Anda mengoordinasikan tindakan dengan pengguna lain untuk melakukannya penggunaan yang efektif sumber daya.

1.1.3. Terminologi dasar dalam bidang komunikasi digital

Berikut beberapa istilah dasar yang sering digunakan dalam bidang komunikasi digital.

Sumber informasi(sumber informasi). Perangkat yang mengirimkan informasi melalui sistem DCS. Sumber informasi dapat berupa analog atau diskrit. Output dari sumber analog dapat mengambil nilai apa pun dari rentang amplitudo yang kontinu, sedangkan output dari sumber informasi diskrit dapat mengambil nilai dari serangkaian amplitudo yang terbatas. Sumber informasi analog diubah menjadi sumber digital melalui pengambilan sampel atau kuantisasi. Metode pengambilan sampel dan kuantisasi disebut pemformatan dan pengkodean sumber (Gbr. 1.3).

Pesan teks(pesan teks). Urutan karakter (Gbr. 1.4, A). Dalam transmisi data digital, pesan adalah rangkaian angka atau simbol yang termasuk dalam kumpulan karakter atau alfabet terbatas.

Tanda(Karakter). Elemen alfabet atau kumpulan karakter (Gbr. 1.4, B). Karakter dapat dipetakan ke urutan digit biner. Ada beberapa kode standar yang digunakan untuk pengkodean karakter, antara lain kode ASCII (American Standard Code for Information Interchange), kode EBCDIC (Extracted Binary Coded Decimal Interchange Code), kode Hollerith, kode Hollerith, kode Baudot, kode Murray, dan kode Morse.

Gambar.1.4. Ilustrasi istilah: a) pesan teks; b) simbol;

c) aliran bit (kode ASCII 7-bit); d) simbol, ;

e) sinyal digital bandpass

Angka biner(digit biner) (bit) (bit). Unit dasar informasi untuk semua sistem digital. Istilah "bit" juga digunakan sebagai satuan volume informasi, yang dijelaskan pada Bab 9.

Aliran sedikit(aliran bit). Urutan digit biner (nol dan satu). Aliran bit sering disebut sinyal baseband; ini menyiratkan bahwa komponen spektralnya berkisar dari (atau sekitar) komponen DC hingga nilai tertentu, biasanya tidak melebihi beberapa megahertz. Pada Gambar. 1.4, pesan HOW direpresentasikan menggunakan kode ASCII tujuh bit, dan aliran bit ditampilkan dalam bentuk pulsa dua tingkat. Urutan pulsa digambarkan menggunakan sinyal yang sangat bergaya (persegi panjang sempurna) dengan celah antara pulsa yang berdekatan. Dalam sistem nyata, pulsa tidak akan pernah terlihat seperti ini, karena celah seperti itu sama sekali tidak berguna. Untuk kecepatan data tertentu, kesenjangan akan meningkatkan bandwidth yang diperlukan untuk transmisi; atau, untuk bandwidth tertentu, mereka akan menambah waktu tunda yang diperlukan untuk menerima pesan.

Simbol(simbol) (pesan digital). Simbol adalah sekelompok k bit dianggap sebagai keseluruhan. Berikut ini kita akan menyebut blok ini sebagai simbol pesan () dari sekumpulan simbol atau alfabet yang terbatas (Gbr. 1.4, d.) Ukuran alfabet M sama dengan , dimana k- jumlah bit dalam suatu simbol. Dalam transmisi pita sempit, setiap simbol akan diwakili oleh salah satu dari sekumpulan sinyal pulsa pita sempit . Kadang-kadang, ketika mentransmisikan rangkaian pulsa seperti itu, satuan baud (baud) digunakan untuk menyatakan laju transmisi pulsa (laju simbol). Untuk transmisi bandpass pada umumnya, setiap pulsa akan diwakili oleh salah satu dari sekumpulan sinyal pulsa bandpass . Jadi, untuk sistem nirkabel, simbol dikirim dengan mengirimkan sinyal digital T detik Karakter berikutnya dikirim pada interval waktu berikutnya, T. Fakta bahwa kumpulan simbol yang dikirimkan oleh sistem DCS terbatas adalah perbedaan utama antara sistem ini dan sistem komunikasi analog. Penerima DCS hanya perlu menentukan yang mana M kemungkinan sinyal dikirimkan; sedangkan penerima analog harus secara akurat menentukan nilai rentang sinyal yang kontinu.

Sinyal digital(bentuk gelombang digital). Digambarkan oleh level tegangan atau arus, suatu sinyal (pulsa untuk pita sempit atau gelombang sinus untuk pita lalu lintas) yang mewakili karakter digital. Karakteristik sinyal (untuk pulsa - amplitudo, durasi dan lokasi, atau untuk gelombang sinus - amplitudo, frekuensi dan fase) memungkinkannya untuk diidentifikasi sebagai salah satu simbol alfabet terbatas. Pada Gambar. 1.4, D Contoh sinyal digital bandpass diberikan. Walaupun sinyalnya berupa gelombang sinus sehingga mempunyai tampilan analog, namun tetap disebut digital karena mengkodekan informasi digital. Dalam gambar ini, nilai digital ditunjukkan dengan transmisi selama setiap interval waktu T sinyal dengan frekuensi tertentu.

Kecepatan transfer data(kecepatan data). Nilai dalam bit per detik (bps) diberikan oleh (bps) dimana k bit mendefinisikan karakter dari alfabet simbolik, dan T- ini adalah durasinya Ke-simbol sedikit.

1.1.4. Kriteria kinerja digital dan analog

Perbedaan mendasar sistem komunikasi analog dan digital terkait dengan cara penilaian kinerjanya. Sinyal sistem analog adalah sebuah kontinum, sehingga penerima harus menangani kemungkinan sinyal yang jumlahnya tidak terbatas. Ukuran kinerja sistem komunikasi analog adalah akurasi, seperti rasio sinyal terhadap kebisingan, persentase distorsi, atau kesalahan akar rata-rata kuadrat yang diharapkan antara sinyal yang dikirim dan diterima.

Berbeda dengan analog, sistem komunikasi digital mengirimkan sinyal yang mewakili angka. Digit-digit ini membentuk himpunan atau alfabet berhingga, dan himpunan ini diketahui secara apriori oleh penerima. Kriteria kualitas sistem komunikasi digital adalah kemungkinan kesalahan deteksi suatu digit atau kemungkinan kesalahan ().

1.2. Klasifikasi sinyal

1.2.1. Sinyal deterministik dan acak

Sebuah sinyal dapat diklasifikasikan sebagai deterministik (jika tidak ada ketidakpastian mengenai nilainya pada suatu titik waktu) atau acak, sebaliknya. Sinyal deterministik dimodelkan dengan ekspresi matematika. Tidak mungkin menulis ekspresi seperti itu untuk sinyal acak. Namun, ketika mengamati sinyal acak (juga disebut proses acak) dalam jangka waktu yang cukup lama, beberapa pola mungkin diamati yang dapat dijelaskan melalui probabilitas dan rata-rata statistik. Model seperti itu, dalam bentuk deskripsi probabilistik dari proses acak, sangat berguna untuk menggambarkan karakteristik sinyal dan gangguan dalam sistem komunikasi.

1.2.2. Sinyal periodik dan non-periodik

Suatu sinyal dikatakan periodik dalam waktu jika terdapat konstanta sedemikian rupa

untuk (1.2)

melalui mana T waktu ditunjukkan. Nilai terendah, pemenuhan kondisi ini disebut periode sinyal. Periode menentukan durasi satu siklus lengkap suatu fungsi. Sinyal yang tidak memiliki nilai yang memenuhi persamaan (1.2) disebut non-periodik.

1.2.3. Sinyal analog dan diskrit

Sinyal analog adalah fungsi waktu yang kontinu, yaitu. ditentukan secara unik untuk semua orang T. Listrik Sinyal analog terjadi ketika sinyal fisik (misalnya ucapan) diubah menjadi sinyal listrik oleh beberapa perangkat. Sebagai perbandingan, sinyal diskrit adalah sinyal yang ada pada interval waktu tertentu; itu ditandai dengan urutan angka yang ditentukan untuk setiap momen waktu, CT, Di mana k adalah bilangan bulat, dan T- jangka waktu tertentu.

1.2.4. Sinyal dinyatakan dalam bentuk energi atau daya

Sinyal listrik dapat dianggap sebagai perubahan tegangan atau arus dengan daya sesaat yang diterapkan pada suatu hambatan R:

Dalam sistem komunikasi, daya sering kali dinormalisasi (diasumsikan bahwa hambatan R sama dengan 1 Ohm, meskipun di saluran nyata bisa apa saja). Jika perlu untuk menentukan nilai daya sebenarnya, maka diperoleh dengan “mendenorisasi” nilai yang dinormalisasi. Dalam kasus yang dinormalisasi, persamaan (1.3,a) dan (1.3,6) memiliki bentuk yang sama. Oleh karena itu, terlepas dari apakah sinyal direpresentasikan dalam tegangan atau arus, bentuk yang dinormalisasi memungkinkan kita untuk menyatakan daya sesaat sebagai

dimana tegangan atau arus. Disipasi energi selama periode waktu () dari sinyal nyata dengan daya sesaat yang diperoleh dengan menggunakan persamaan (1.4) dapat ditulis sebagai berikut.

(1.5)

Daya rata-rata yang dihamburkan oleh sinyal selama interval ini adalah sebagai berikut.

(1.6)

Kinerja sistem komunikasi bergantung pada energi sinyal yang diterima; sinyal dengan energi lebih tinggi terdeteksi lebih andal (dengan kesalahan lebih sedikit) - pekerjaan pendeteksian dilakukan berdasarkan energi yang diterima. Di sisi lain, daya adalah laju pasokan energi. Poin ini penting karena beberapa alasan. Daya menentukan tegangan yang harus diterapkan pada pemancar dan kekuatan medan elektromagnetik yang harus dipertimbangkan dalam sistem radio (yaitu, medan dalam pandu gelombang yang menghubungkan pemancar ke antena dan medan di sekitar elemen pemancar antena) .

Saat menganalisis sinyal komunikasi, seringkali diinginkan untuk bekerja dengan energi sinyal. Kita akan menyebutnya sebagai sinyal energi jika dan hanya jika ia mempunyai energi berhingga bukan nol (), di mana

(1.7)

Dalam situasi nyata, kami selalu mengirimkan sinyal dengan energi terbatas (). Namun, untuk mendeskripsikan sinyal periodik, yang menurut definisi (persamaan (1.2)) selalu ada dan, oleh karena itu, memiliki energi tak terbatas, dan untuk bekerja dengan sinyal acak, yang juga memiliki energi tak terbatas, akan lebih mudah untuk mendefinisikan kelas sinyal yang dinyatakan dalam istilah kekuasaan. Jadi, lebih mudah untuk merepresentasikan sinyal menggunakan daya jika sinyal tersebut periodik dan kapan saja memiliki daya berhingga bukan nol (), di mana

(1.8)

Sinyal tertentu dapat diklasifikasikan menjadi energik atau periodik. Sinyal energik mempunyai energi terbatas tetapi daya rata-rata nol, sedangkan sinyal periodik mempunyai daya rata-rata nol tetapi energi tak terhingga. Sinyal dalam suatu sistem dapat dinyatakan dalam bentuk energi atau nilai periodik. Sebagai aturan umum, sinyal yang periodik dan acak dinyatakan dalam kekuatan, dan sinyal yang deterministik dan non-periodik dinyatakan dalam energi.

Energi dan kekuatan sinyal adalah dua parameter penting dalam deskripsi sistem komunikasi. Mengklasifikasikan sinyal sebagai energik atau periodik adalah model mudah yang memfasilitasi perlakuan matematis terhadap berbagai sinyal dan kebisingan. Bagian 3.1.5 mengembangkan ide-ide ini dalam konteks sistem komunikasi digital.

1.2.5. Fungsi impuls satuan

Fungsi yang berguna dalam teori komunikasi adalah fungsi unit impuls, atau fungsi Dirac delta. Fungsi impuls adalah abstraksi, impuls dengan amplitudo besar tak terhingga, lebar nol, dan berat satuan (luas di bawah impuls), terkonsentrasi pada titik di mana nilai argumennya nol. Impuls satuan diberikan oleh relasi berikut.

Tidak terbatas pada titik (1.11)

(1.12)

Impuls tunggal bukanlah suatu fungsi dalam arti kata yang biasa. Jika disertakan dalam operasi apa pun, akan lebih mudah untuk menganggapnya sebagai pulsa dengan amplitudo terbatas, satuan luas, dan durasi bukan nol, setelah itu perlu mempertimbangkan batasnya karena durasi pulsa cenderung nol. Secara grafis dapat digambarkan sebagai puncak yang terletak di suatu titik, yang tingginya sama dengan integral dari luasnya. Jadi, dengan konstan A mewakili fungsi impuls yang luas (atau beratnya). A, dan nilainya nol di semua tempat, kecuali titik.

Persamaan (1.12) dikenal sebagai sifat pengayakan (atau kuantisasi) dari fungsi impuls satuan; integral dari impuls satuan dan fungsi sembarang memberikan contoh fungsi di titik tersebut.

1.3. Kepadatan Spektral

Kepadatan spektral karakteristik sinyal adalah distribusi energi atau daya sinyal pada rentang frekuensi. Konsep ini menjadi sangat penting ketika mempertimbangkan penyaringan dalam sistem komunikasi. Kita harus bisa memperkirakan sinyal dan noise pada keluaran filter. Penilaian ini menggunakan kerapatan spektral energi (ESD) atau kerapatan spektral daya (PSD).

1.3.1. Kepadatan Energi Spektral

Energi total sinyal energi nyata yang ditentukan dalam interval dijelaskan oleh persamaan (1.7). Dengan menggunakan teorema Parseval, kita dapat menghubungkan energi sinyal tersebut, yang dinyatakan dalam domain waktu, dengan energi yang dinyatakan dalam domain frekuensi:

, (1.13)

dimana adalah transformasi Fourier dari sinyal non-periodik. ( Informasi singkat tentang analisis Fourier dapat ditemukan di Lampiran A.) Mari kita nyatakan dengan spektrum amplitudo persegi panjang yang didefinisikan sebagai

(1.14)

Kuantitasnya adalah kepadatan spektral energi (ESD) sinyal. Oleh karena itu, dari persamaan (1.13), energi total dapat dinyatakan dengan mengintegrasikan kerapatan spektral terhadap frekuensi.

(1.15)

Persamaan ini menunjukkan bahwa energi sinyal sama dengan luas area di bawah grafik dalam domain frekuensi. Kepadatan energi spektral menggambarkan energi sinyal per satuan bandwidth dan diukur dalam J/Hz. Komponen frekuensi positif dan negatif memberikan kontribusi energi yang sama, oleh karena itu, untuk sinyal nyata, kuantitasnya merupakan fungsi frekuensi yang genap. Oleh karena itu, kerapatan energi spektral frekuensinya simetris terhadap titik asal, dan energi sinyal total dapat dinyatakan sebagai berikut.

(1.16)

1.3.2. Kepadatan Spektral Daya

Kekuatan rata-rata sinyal nyata dalam representasi periodik ditentukan oleh persamaan (1.8). Jika merupakan sinyal periodik dengan periode , maka diklasifikasikan sebagai sinyal dalam representasi periodik. Ekspresi kekuatan rata-rata sinyal periodik diberikan oleh rumus (1.6), dimana rata-rata waktu diambil selama satu periode.

(1.17,a)

Teorema Parseval untuk sinyal periodik nyata memiliki bentuk

, (1.17,b)

dimana suku-sukunya adalah koefisien kompleks deret Fourier untuk sinyal periodik (lihat Lampiran A).

Untuk menggunakan persamaan (1.17.6), Anda hanya perlu mengetahui nilai koefisiennya. Kerapatan spektral daya (PSD) dari sinyal periodik, yang merupakan fungsi frekuensi nyata, genap, dan non-negatif serta memberikan distribusi daya sinyal pada rentang frekuensi, didefinisikan sebagai berikut.

(1.18)

Persamaan (1.18) mendefinisikan kerapatan spektral daya dari sinyal periodik sebagai rangkaian fungsi delta tertimbang. Oleh karena itu, PSD dari sinyal periodik adalah fungsi frekuensi diskrit. Dengan menggunakan PSD yang didefinisikan dalam persamaan (1.18), daya rata-rata yang dinormalisasi dari sinyal aktual dapat ditulis.

(1.19)

Persamaan (1.18) hanya menjelaskan PSD sinyal periodik. Jika merupakan sinyal non-periodik, maka tidak dapat dinyatakan dalam deret Fourier; jika sinyal tersebut merupakan sinyal non-periodik dalam representasi periodik (memiliki energi tak terhingga), sinyal tersebut mungkin tidak memiliki transformasi Fourier. Namun, kita masih dapat menyatakan kerapatan spektral daya dari sinyal tersebut dalam batasnya. Jika Anda membentuk versi terpotong dari sinyal non-periodik dalam representasi periodik, dengan hanya mengambil nilainya dari interval (), ia akan memiliki energi terbatas dan transformasi Fourier yang sesuai. Dapat ditunjukkan bahwa kerapatan spektral daya dari sinyal non-periodik didefinisikan sebagai suatu batas.

(1.20)

Contoh 1.1. Kekuatan rata-rata yang dinormalisasi

a) Temukan kekuatan sinyal rata-rata yang dinormalisasi menggunakan rata-rata waktu.

b) Selesaikan langkah a dengan menjumlahkan koefisien spektral.

Larutan

a) Dengan menggunakan persamaan (1.17,a), kita mendapatkan persamaan berikut.

b) Dengan menggunakan persamaan (1.18) dan (1.19), kita peroleh persamaan berikut.

(lihat Lampiran A)

1.4. Autokorelasi

1.4.1. Autokorelasi sinyal energi

Korelasi adalah proses pencocokan; autokorelasi adalah pencocokan sinyal dengan versi tertundanya sendiri. Fungsi autokorelasi sinyal energi nyata didefinisikan sebagai berikut.

untuk (1.21)

Fungsi autokorelasi memberikan ukuran kemiripan suatu sinyal dengan salinannya sendiri, yang digeser berdasarkan satuan waktu. Variabel bertindak sebagai parameter pemindaian atau pencarian. - ini bukan fungsi waktu; ini hanyalah fungsi dari perbedaan waktu antara sinyal dan salinan offsetnya.

Fungsi autokorelasi sinyal energi nyata memiliki sifat sebagai berikut.

1.

3. autokorelasi dan ESD merupakan transformasi Fourier satu sama lain, yang ditandai dengan panah berkepala dua

4. nilai nol sama dengan energi sinyal

Setelah kepuasan paragraf. 1-3 adalah fungsi autokorelasi. Kondisi 4 merupakan konsekuensi dari kondisi 3, sehingga tidak harus dimasukkan ke dalam himpunan utama untuk menguji fungsi autokorelasi.

1.4.2. Autokorelasi sinyal periodik

Autokorelasi sinyal periodik nyata didefinisikan sebagai berikut.

untuk (1.22)

Jika sinyal bersifat periodik dengan suatu periode, maka rata-rata waktu pada persamaan (1.22) dapat diambil selama satu periode, dan autokorelasinya dapat dinyatakan sebagai berikut.

untuk (1.23)

Autokorelasi sinyal periodik yang mengambil nilai nyata memiliki sifat yang mirip dengan sinyal energi.

1. simetri terhadap nol

2. untuk semua nilai maksimumnya adalah nol

3. autokorelasi dan ESD adalah transformasi Fourier satu sama lain

4.

1.5. Sinyal acak

Tugas utama sistem komunikasi adalah mengirimkan informasi melalui saluran komunikasi. Semua sinyal pesan yang berguna muncul secara acak, mis. penerima tidak mengetahui sebelumnya simbol pesan mana yang mungkin akan dikirimkan. Selain itu, berbagai proses kelistrikan menghasilkan kebisingan yang menyertai sinyal informasi. Oleh karena itu kita perlu metode yang efektif deskripsi sinyal acak.

1.5.1. Variabel Acak

Biarkan variabel acak HA) mewakili hubungan fungsional antara peristiwa acak A dan bilangan real. Untuk kemudahan notasi, mari kita nyatakan variabel acak dengan X, dan dia ketergantungan fungsional dari A kami akan menganggapnya eksplisit. Variabel acak bisa diskrit atau kontinu. Distribusi variabel acak X ditemukan dengan ekspresi:

, (1.24)

dimana peluang diterimanya nilai tersebut; variabel acak X kurang dari bilangan real X atau setara dengan itu. Fungsi distribusi memiliki sifat-sifat berikut.

2. Jika

Fungsi lain yang berguna terkait dengan variabel acak X, adalah kepadatan probabilitas, yang ditulis sebagai berikut.

(1.25,a)

Seperti halnya fungsi distribusi, kepadatan probabilitas merupakan fungsi bilangan real X. Nama "fungsi kepadatan" berasal dari fakta bahwa probabilitas suatu kejadian sama dengan berikut ini.

Dengan menggunakan persamaan (1.25.6), kita dapat menuliskan secara kasar probabilitas suatu variabel acak X memiliki nilai yang termasuk dalam interval yang sangat kecil antara dan .

Jadi, pada limit as yang cenderung nol, kita dapat menulis sebagai berikut.

Kepadatan probabilitas memiliki sifat-sifat berikut.

2. .

Jadi, kepadatan probabilitas selalu non-negatif dan memiliki satuan luas. Dalam teks buku ini kita akan menggunakan notasi untuk menunjukkan kepadatan probabilitas untuk variabel acak kontinu. Untuk kemudahan notasi, kita sering menghilangkan indeks X dan mudah untuk ditulis. Jika variabel acak X hanya dapat mengambil nilai diskrit, kita akan menggunakan notasi tersebut untuk menunjukkan kepadatan probabilitas.

1.5.1.1. Rata-rata ansambel

Nilai rata-rata, atau nilai yang diharapkan, dari variabel acak X ditentukan oleh ekspresi

, (1.26)

di mana itu disebut operator nilai yang diharapkan. momen N- urutan distribusi probabilitas variabel acak X besaran selanjutnya disebut.

(1.27)

Untuk analisis sistem komunikasi, dua momen pertama dari variabel tersebut penting X. Ya kapan N=1 persamaan (1.27) memberikan momen yang dibahas di atas, dan di N= 1 - nilai akar rata-rata kuadrat X.

(1.28)

Anda juga dapat menentukan momen sentral, yang merupakan momen pembeda X Dan . Momen sentral orde kedua (disebut juga dispersi) sama dengan berikut ini.

Penyebaran X juga ditulis sebagai , dan akar kuadrat dari nilai ini, , disebut simpangan baku X. Varians adalah ukuran “sebaran” suatu variabel acak X. Menentukan varians dari variabel acak membatasi lebar fungsi kepadatan probabilitas. Varians dan nilai mean square dihubungkan dengan hubungan berikut.

Jadi, variansnya sama dengan selisih antara nilai akar rata-rata kuadrat dan kuadrat nilai rata-rata.

1.5.2. Proses acak

Proses acak dapat dianggap sebagai fungsi dari dua variabel: peristiwa A dan waktu. Pada Gambar. 1.5 menunjukkan contoh proses acak. Ditampilkan N contoh fungsi waktu. Masing-masing fungsi sampel dapat dianggap sebagai keluaran dari generator kebisingan yang terpisah. Untuk setiap peristiwa kami memiliki fungsi waktu tunggal (yaitu fungsi selektif). Himpunan semua fungsi sampel disebut ansambel. Pada suatu titik waktu tertentu, adalah variabel acak yang nilainya bergantung pada peristiwa tersebut. Dan terakhir, untuk acara tertentu dan untuk waktu tertentu, ini adalah nomor biasa. Untuk kemudahan notasi, kami akan menyatakan proses acak dengan X(t), dan ketergantungan fungsional pada A kami akan menganggapnya eksplisit.

Gambar 1.5. Proses kebisingan acak

1.5.2.1. Rata-rata statistik dari proses acak

Karena nilai suatu proses acak pada setiap waktu berikutnya tidak diketahui, suatu proses acak yang fungsi distribusinya kontinu dapat dijelaskan secara statistik melalui kepadatan probabilitas. Secara umum, pada waktu yang berbeda fungsi untuk proses acak ini akan memiliki bentuk yang berbeda. Dalam kebanyakan kasus, tidak realistis untuk menentukan secara empiris distribusi probabilitas suatu proses acak. Pada saat yang sama, untuk kebutuhan sistem komunikasi, deskripsi parsial, termasuk rata-rata dan fungsi autokorelasi, seringkali sudah cukup. Jadi, mari kita tentukan rata-rata dari proses acak tersebut X(t) Bagaimana

, (1.30)

dimana adalah variabel acak yang diperoleh dengan mempertimbangkan proses acak pada suatu titik waktu, a adalah kepadatan probabilitas (kepadatan pada kumpulan kejadian pada suatu titik waktu).

Mari kita definisikan fungsi autokorelasi dari proses acak X(t) sebagai fungsi dari dua variabel dan

dimana dan adalah variabel acak yang diperoleh dengan mempertimbangkan X(t) pada titik waktu dan sesuai. Fungsi autokorelasi adalah ukuran hubungan antara dua sampel waktu dari satu proses acak.

1.5.2.2. stasioneritas

Proses acak X(t) Disebut stasioner dalam arti sempit jika tidak ada statistiknya yang dipengaruhi oleh perpindahan asal mula waktu. Suatu proses acak disebut stasioner dalam arti luas jika kedua statistiknya, yaitu mean dan fungsi autokorelasi, tidak berubah ketika titik asal waktu digeser. Dengan demikian, proses tersebut stasioner dalam arti luas jika

Stasioneritas dalam arti sempit berarti stasioneritas dalam arti luas, namun tidak sebaliknya. Sebagian besar hasil berguna dari teori komunikasi didasarkan pada asumsi bahwa sinyal informasi acak dan gangguan bersifat stasioner dalam arti luas. Dari sudut pandang praktis, suatu proses acak tidak selalu harus stasioner; stasioneritas dalam interval waktu praktis yang dapat diamati sudah cukup.

Untuk proses stasioner, fungsi autokorelasi pada persamaan (1.33) tidak bergantung pada waktu, melainkan hanya bergantung pada selisihnya. Dengan kata lain, semua pasangan nilai X(t) pada titik-titik waktu yang dipisahkan oleh suatu interval , mempunyai nilai korelasi yang sama. Oleh karena itu, untuk sistem stasioner fungsinya dapat ditulis sebagai .

1.5.2.3. Autokorelasi proses acak stasioner dalam arti luas

Sama seperti varians yang menawarkan ukuran keacakan untuk variabel acak, fungsi autokorelasi juga menawarkan ukuran serupa untuk proses acak. Untuk proses yang bersifat stasioner dalam arti luas, fungsi autokorelasi hanya bergantung pada perbedaan waktu.

Untuk proses yang stasioner secara luas dengan rata-rata nol, fungsi tersebut menunjukkan seberapa berkorelasi statistik variabel-variabel acak dari proses tersebut, yang dipisahkan dalam hitungan detik. Dengan kata lain, ini memberikan informasi tentang respons frekuensi yang terkait dengan proses acak. Jika berubah perlahan seiring bertambahnya nilai dari nol ke nilai tertentu, ini menunjukkan rata-rata nilai sampel X(t), diambil pada saat waktu dan , secara praktis sama. Oleh karena itu, kita berhak mengharapkan hal itu dalam representasi frekuensi X(t) Frekuensi rendah akan mendominasi. Di sisi lain, jika nilai tersebut menurun dengan cepat seiring dengan meningkatnya θ, kita dapat mengharapkan hal tersebut X(t) akan bervariasi dengan cepat dari waktu ke waktu dan oleh karena itu sebagian besar akan melibatkan frekuensi tinggi.

Fungsi autokorelasi suatu proses stasioner dalam arti luas yang mengambil nilai riil mempunyai sifat sebagai berikut.

1. simetri terhadap nol

2. untuk semua nilai maksimumnya adalah nol

3. autokorelasi dan kerapatan spektral daya merupakan transformasi Fourier satu sama lain

4. nilai di nol sama dengan kekuatan sinyal rata-rata

1.5.3. Rata-rata waktu dan ergodisitas

Untuk menghitung dan membuat rata-rata pada suatu ansambel, kita perlu menghitung rata-ratanya pada semua fungsi sampel dari proses tersebut, dan oleh karena itu, kita memerlukan informasi lengkap tentang distribusi timbal balik fungsi kepadatan probabilitas pada perkiraan pertama dan kedua. Secara umum, informasi tersebut biasanya tidak tersedia.

Jika suatu proses acak termasuk dalam kelas khusus yang disebut kelas proses ergodik, rata-rata waktunya sama dengan rata-rata ansambel dan sifat statistik dari proses tersebut dapat ditentukan dengan merata-ratakan satu fungsi sampel dari waktu ke waktu. Agar proses acak menjadi ergodik, proses tersebut harus stasioner dalam arti yang sebenarnya (tidak diperlukan kebalikannya). Namun, untuk sistem komunikasi, di mana stasioneritas dalam arti luas sudah cukup bagi kami, kami hanya tertarik pada rata-rata dan fungsi autokorelasi.

Suatu proses acak dikatakan ergodik terhadap mean if

(1.35)

dan ergodik terhadap fungsi autokorelasi jika

(1.36)

Menguji ergodisitas proses acak biasanya cukup sulit. Dalam praktiknya, sebagai suatu peraturan, asumsi intuitif digunakan tentang kelayakan mengganti rata-rata ansambel dengan rata-rata waktu. Saat menganalisis sebagian besar sinyal dalam saluran komunikasi (tanpa adanya efek impuls), masuk akal untuk mengasumsikan bahwa sinyal acak bersifat ergodik sehubungan dengan fungsi autokorelasi. Karena untuk proses ergodik rata-rata waktu sama dengan rata-rata ansambel, parameter kelistrikan mendasar seperti amplitudo DC, rms, dan daya rata-rata dapat dikaitkan dengan momen proses acak ergodik.

1. Nilainya sama dengan komponen konstan sinyal.

2. Nilainya sama dengan daya normalisasi komponen langsung.

3. Momen urutan kedua X(t), , sama dengan total daya rata-rata yang dinormalisasi.

4. Nilainya sama dengan nilai akar rata-rata kuadrat dari sinyal yang dinyatakan dalam arus atau tegangan.

5. Dispersi sama dengan daya normalisasi rata-rata dari sinyal bolak-balik.

6. Jika rata-rata proses adalah nol (yaitu), maka , dan varians sama dengan nilai akar rata-rata kuadrat atau (formulasi lain) varians tersebut mewakili daya total dalam beban yang dinormalisasi.

7. Deviasi standar adalah nilai akar rata-rata kuadrat dari sinyal bolak-balik.

8. Jika , maka adalah nilai akar rata-rata kuadrat dari sinyal.

1.5.4. Kepadatan spektral daya dan autokorelasi dari proses acak

Proses acak X(t) dapat disebut sebagai sinyal periodik yang memiliki kerapatan spektral daya seperti yang diberikan pada persamaan (1.20). Fungsi ini sangat berguna dalam sistem komunikasi karena menggambarkan distribusi kekuatan sinyal pada rentang frekuensi. Kepadatan spektral daya memungkinkan Anda memperkirakan kekuatan sinyal yang akan ditransmisikan melalui jaringan dengan karakteristik frekuensi yang diketahui. Sifat-sifat utama fungsi kerapatan spektral daya dapat dirumuskan sebagai berikut.

1. selalu mengambil nilai yang valid

2. Untuk X(t), mengambil nilai nyata

3. autokorelasi dan kerapatan spektral daya merupakan transformasi Fourier satu sama lain

4. hubungan antara daya normalisasi rata-rata dan kerapatan spektral daya

Pada Gambar. Gambar 1.6 menunjukkan representasi visual dari fungsi autokorelasi dan fungsi kerapatan spektral daya. Apa arti istilah "korelasi"? Ketika kita tertarik pada korelasi dua fenomena, kita bertanya seberapa erat hubungannya dalam perilaku atau penampilan dan seberapa besar kesamaannya. Dalam matematika, fungsi autokorelasi suatu sinyal (dalam domain waktu) menggambarkan korespondensi suatu sinyal dengan dirinya sendiri yang digeser oleh periode waktu tertentu. Salinan persisnya dianggap dibuat dan dilokalisasi pada minus tak terhingga. Kemudian kita secara berurutan memindahkan salinannya ke arah positif sumbu waktu dan berikan pertanyaan, bagaimana keduanya (versi asli dan salinannya) berhubungan satu sama lain. Kami kemudian memindahkan salinannya satu langkah lagi ke arah positif dan menanyakan seberapa cocoknya sekarang, dll. Korelasi antara dua sinyal diplot sebagai fungsi waktu, dilambangkan dengan ; dalam hal ini, waktu dapat dianggap sebagai parameter pemindaian.

Pada Gambar. 1.6, iklan Situasi yang dijelaskan di atas digambarkan pada beberapa titik waktu. Beras. 1.6, A mengilustrasikan sinyal tunggal dari proses acak stasioner yang luas X(t). Sinyalnya adalah urutan biner acak dengan pulsa satuan amplitudo positif dan negatif (bipolar). Impuls positif dan negatif muncul dengan probabilitas yang sama. Durasi setiap pulsa (digit biner) sama dengan T detik, dan rata-rata, atau nilai komponen konstan dari barisan acak, adalah nol. Pada Gambar. 1.6, B Urutan yang sama ditampilkan, digeser waktu demi detik. Menurut notasi yang diterima, barisan ini dilambangkan dengan . Anggap saja prosesnya X(t) bersifat ergodik terhadap fungsi autokorelasi, jadi kita dapat menggunakan rata-rata waktu daripada rata-rata ansambel untuk menemukannya. Nilai tersebut diperoleh dengan mengalikan dua barisan X(t) dan kemudian mencari rata-ratanya menggunakan persamaan (1.36), yang valid untuk proses ergodik hanya pada batasnya. Namun, integrasi selama sejumlah periode bilangan bulat dapat memberi kita beberapa perkiraan. Perhatikan apa yang bisa diperoleh dengan menggeser X(t) baik ke arah positif maupun negatif. Kasus serupa diilustrasikan pada Gambar. 1.6, V, di mana urutan sampel asli digunakan (Gbr. 1.6, A) dan salinannya yang dipindahkan (Gbr. 1.6, B). Area yang diarsir di bawah kurva produk memberikan kontribusi positif terhadap produk, sedangkan area abu-abu memberikan kontribusi negatif. Integrasi waktu transmisi pulsa memberikan titik pada kurva. Urutannya selanjutnya dapat bergeser dan setiap pergeseran tersebut akan menghasilkan sebuah titik pada fungsi autokorelasi keseluruhan yang ditunjukkan pada Gambar. 1.6, G. Dengan kata lain, setiap rangkaian acak pulsa bipolar berhubungan dengan titik autokorelasi pada kurva umum yang ditunjukkan pada Gambar. 1.6, G. Fungsi maksimumnya berada pada titik (kesesuaian paling baik terjadi jika , sama dengan nol, karena untuk semua ) dan fungsinya menurun sebesar . Pada Gambar. 1.6, G poin yang sesuai dengan dan ditampilkan.

Ekspresi analitik untuk fungsi autokorelasi ditunjukkan pada Gambar. 1.6, G, memiliki bentuk berikut.

(1.37)

Perhatikan bahwa fungsi autokorelasi memberi kita informasi frekuensi; ini memberi tahu kita sesuatu tentang bandwidth sinyal. Pada saat yang sama, autokorelasi adalah fungsi temporal; dalam rumus (1.37) tidak ada suku yang bergantung pada frekuensi. Jadi bagaimana cara ini memberi kita informasi tentang bandwidth sinyal?

Gambar.1.6. Autokorelasi dan kerapatan spektral daya

Gambar.1.6. Autokorelasi dan kerapatan spektral daya (akhir)

Mari kita asumsikan bahwa sinyal bergerak sangat lambat (sinyal memiliki bandwidth yang kecil). Jika kita menggeser salinan sinyal sepanjang sumbu, menanyakan pada setiap tahap perpindahan pertanyaan tentang seberapa sesuai salinan dan aslinya, korespondensinya akan cukup kuat untuk waktu yang lama. Dengan kata lain, fungsi autokorelasi segitiga (Gbr. 1.6, G dan rumus 1.37) perlahan-lahan akan berkurang seiring bertambahnya . Sekarang mari kita asumsikan bahwa sinyal berubah cukup cepat (yaitu, kita memiliki bandwidth yang besar). Dalam hal ini, perubahan kecil sekalipun akan menyebabkan korelasi menjadi nol dan fungsi autokorelasi menjadi sangat sempit. Oleh karena itu, membandingkan fungsi autokorelasi berdasarkan bentuknya memberi kita beberapa informasi tentang bandwidth sinyal. Apakah fungsinya berkurang secara bertahap? Dalam hal ini, kita mempunyai sinyal dengan pita sempit. Apakah bentuk fungsinya menyerupai puncak yang sempit? Kemudian sinyalnya memiliki pita lebar.

Fungsi autokorelasi memungkinkan seseorang untuk secara eksplisit menyatakan kerapatan spektral daya dari sinyal acak. Karena kerapatan spektral daya dan fungsi autokorelasi merupakan transformasi Fourier satu sama lain, kerapatan spektral daya, , dari rangkaian acak pulsa bipolar dapat ditemukan sebagai transformasi Fourier dari fungsi tersebut, yang ekspresi analitisnya diberikan dalam persamaan ( 1.37). Untuk ini, Anda bisa menggunakan tabel. A.1. perhatikan itu

(1.38)

Bentuk umum fungsi yang ditunjukkan pada Gambar. 1.6, D.

Perhatikan bahwa area di bawah kurva kepadatan spektral daya mewakili kekuatan sinyal rata-rata. Salah satu ukuran bandwidth yang mudah digunakan adalah lebar lobus spektral utama (lihat Bagian 1.7.2). Pada Gambar. 1.6, D bandwidth sinyal terbukti berhubungan dengan durasi simbol terbalik atau lebar pulsa. Beras. 1.6, e-k ulangi secara formal Gambar. 1.6, neraka, kecuali pada gambar berikutnya durasi pulsa lebih pendek. Perhatikan bahwa untuk pulsa yang lebih pendek fungsinya lebih sempit (Gbr. 1.6, Dan) dibandingkan yang lebih panjang (Gbr. 1.6, G). Pada Gambar. 1.6, Dan; dengan kata lain, dalam kasus durasi pulsa yang lebih pendek, offset sebesar , cukup untuk membuat kecocokan nol atau menghilangkan korelasi antara rangkaian offset. Sejak pada Gambar. 1.6, e durasi pulsa T kurang (kecepatan transmisi pulsa lebih tinggi) dari pada Gambar. 1.6, A, okupansi pita pada Gambar. 1.6, Ke lebih banyak hunian bandwidth untuk frekuensi pulsa yang lebih rendah ditunjukkan pada Gambar. 1.6, D.

1.5.5. Kebisingan dalam sistem komunikasi

Istilah "kebisingan" mengacu pada sinyal listrik yang tidak diinginkan yang selalu ada dalam sistem kelistrikan. Adanya noise yang ditumpangkan pada sinyal “bayangan”, atau topeng, sinyal; hal ini membatasi kemampuan penerima untuk membuat keputusan yang akurat tentang arti simbol, dan oleh karena itu membatasi kecepatan penyampaian informasi. Sifat kebisingan berbeda-beda dan mencakup sumber alami dan buatan. Kebisingan buatan adalah kebisingan penyalaan bunga api, kebisingan impuls switching, dan kebisingan dari sumber radiasi elektromagnetik terkait lainnya. Suara alam berasal dari atmosfer, matahari, dan sumber galaksi lainnya.

Desain teknik yang baik dapat menghilangkan sebagian besar kebisingan atau efek yang tidak diinginkan melalui penyaringan, pelindung, pemilihan modulasi, dan lokasi penerima yang optimal. Misalnya, pengukuran astronomi radio yang sensitif biasanya dilakukan di lokasi gurun terpencil, jauh dari sumber kebisingan alami. Namun, ada satu kebisingan alami, yang disebut kebisingan termal, yang tidak dapat dihilangkan. Kebisingan termal disebabkan oleh pergerakan termal elektron di semua komponen disipatif - resistor, konduktor, dll. Elektron yang sama yang bertanggung jawab atas konduktivitas listrik adalah penyebab kebisingan termal.

Kebisingan termal dapat digambarkan sebagai proses acak Gaussian dengan mean nol. Proses Gaussian tidak(t)- Ini fungsi acak, yang nilainya pada waktu yang berubah-ubah T secara statistik dicirikan oleh fungsi kepadatan probabilitas Gaussian:

, (1.40)

di mana variansnya N. Fungsi kepadatan Gaussian yang dinormalisasi dari proses rata-rata nol diperoleh dengan asumsi bahwa. Fungsi kepadatan probabilitas yang dinormalisasi secara skematis ditunjukkan pada Gambar. 1.7.

Ini sinyal acak, A- sinyal di saluran komunikasi, dan N adalah variabel acak yang mengekspresikan derau Gaussian. Kemudian fungsi kepadatan probabilitas dinyatakan sebagai

, (1.41)

dimana, seperti di atas, adalah dispersinya N.

Gambar 1.7. Fungsi kepadatan probabilitas Gaussian yang dinormalisasi ().

Distribusi Gaussian sering digunakan sebagai model noise dalam suatu sistem karena terdapat teorema batas pusat yang menyatakan bahwa untuk sangat kondisi umum jumlah distribusi probabilitas J variabel acak yang independen secara statistik tunduk pada distribusi Gaussian, dan jenis fungsi distribusi individual tidak menjadi masalah. Jadi, meskipun mekanisme kebisingan individu mempunyai distribusi non-Gaussian, kumpulan dari banyak mekanisme tersebut akan cenderung memiliki distribusi Gaussian.

1.5.5.1. Kebisingan putih

Karakteristik spektral utama dari kebisingan termal adalah kerapatan spektral dayanya sama untuk semua frekuensi yang diminati oleh sebagian besar sistem komunikasi; dengan kata lain, sumber kebisingan termal memancarkan pada semua frekuensi dengan daya yang sama per satuan bandwidth - dari komponen konstan hingga frekuensi orde Hz. Karena itu, model sederhana kebisingan termal mengasumsikan bahwa kerapatan spektral dayanya seragam di semua frekuensi, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.8, A, dan ditulis dalam bentuk berikut.

(1.42)

Di sini, faktor 2 dimasukkan untuk menunjukkan kerapatan spektral daya dua arah. Ketika kekuatan derau memiliki kerapatan spektral yang seragam, kita menyebutnya derau putih. Kata sifat "putih" digunakan dalam arti yang sama seperti cahaya putih, yang mengandung proporsi yang sama dari semua frekuensi rentang radiasi elektromagnetik yang terlihat.

Gambar 1.8. Kebisingan putih: a) kerapatan spektral daya;

b) fungsi autokorelasi

Fungsi autokorelasi derau putih diberikan oleh transformasi Fourier terbalik dari kerapatan spektral daya derau (lihat Tabel A.1) dan ditulis sebagai berikut.

(1.43)

Jadi, autokorelasi white noise adalah fungsi delta yang ditimbang dengan faktor dan terletak di titik , seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.8, B. Perhatikan bahwa itu sama dengan nol untuk , yaitu. dua sampel white noise yang berbeda tidak berkorelasi, tidak peduli seberapa dekat jaraknya.

Kekuatan rata-rata white noise tidak terbatas karena bandwidth white noise tidak terbatas. Hal ini dapat dilihat dengan memperoleh persamaan berikut dari persamaan (1.19) dan (1.42).

(1.44)

Meskipun white noise adalah abstraksi yang sangat berguna, tidak ada proses noise yang benar-benar menghasilkan warna putih; namun, noise yang muncul di banyak sistem nyata mungkin dianggap putih. Kita dapat mengamati noise tersebut hanya setelah ia melewati sistem nyata yang mempunyai bandwidth terbatas. Oleh karena itu, selama bandwidth derau jauh lebih besar daripada bandwidth yang digunakan oleh sistem, derau tersebut dapat dianggap memiliki bandwidth tak terhingga.

Fungsi delta pada persamaan (1.43) berarti sinyal derau tidak(t) sama sekali tidak berkorelasi dengan versi biasnya sendiri. Persamaan (1.43) menunjukkan bahwa dua sampel proses white noise tidak berkorelasi. Karena kebisingan termal adalah proses Gaussian dan sampelnya tidak berkorelasi, sampel kebisingan juga bersifat independen. Dengan demikian, efek saluran derau Gaussian putih aditif pada proses pendeteksian adalah bahwa derau mempengaruhi setiap simbol yang ditransmisikan secara independen. Saluran seperti ini disebut saluran tanpa memori. Istilah "aditif" berarti bahwa noise hanya ditumpangkan atau ditambahkan ke sinyal - tidak ada mekanisme perkalian.

Karena derau termal terdapat di semua sistem komunikasi dan merupakan sumber derau yang signifikan bagi sebagian besar sistem, karakteristik derau termal (aditif, putih, dan Gaussian) sering digunakan untuk memodelkan derau dalam sistem komunikasi. Karena noise Gaussian rata-rata nol sepenuhnya dicirikan oleh variansnya, model ini sangat mudah digunakan dalam deteksi sinyal dan desain penerima yang optimal. Dalam buku ini kita akan berasumsi (kecuali dinyatakan lain) bahwa sistem terkena distorsi oleh derau Gaussian putih aditif dengan mean nol, meskipun terkadang penyederhanaan ini terlalu kuat.

1.6. Transmisi sinyal melalui sistem linier

Sekarang kita telah mengembangkan serangkaian model untuk sinyal dan derau, mari kita lihat karakteristik sistem dan dampaknya terhadap sinyal dan derau. Karena suatu sistem dapat dikarakterisasi dengan baik baik dalam domain frekuensi maupun waktu, metode telah dikembangkan dalam kedua kasus tersebut untuk menganalisis respons sistem linier terhadap sinyal masukan yang berubah-ubah. Sinyal yang diterapkan pada masukan sistem (Gbr. 1.9) dapat digambarkan sebagai sinyal waktu, , atau melalui transformasi Fouriernya, . Menggunakan analisis waktu menghasilkan keluaran waktu, dan dalam prosesnya fungsi, respons impuls, atau respons impuls, dari jaringan akan ditentukan. Saat mempertimbangkan masukan dalam domain frekuensi, kita harus menentukan respons frekuensi, atau fungsi transfer, untuk sistem, yang akan menentukan keluaran frekuensi. Sistem diasumsikan linier dan invarian waktu. Diasumsikan juga bahwa sistem tidak memiliki energi tersembunyi pada saat sinyal masukan diterapkan.

Gambar.1.9. Sistem linier dan parameter utamanya

1.6.1. Respon impulsif

Sistem atau jaringan linier dan invarian waktu ditunjukkan pada Gambar. 1.9, dijelaskan (dalam domain waktu) oleh respons impuls, yang merupakan respons sistem ketika satu pulsa diterapkan ke inputnya.

Pertimbangkan istilah “respon impulsif”, yang sangat tepat untuk peristiwa ini. Menggambarkan karakteristik suatu sistem melalui respon impulsnya mempunyai interpretasi fisik langsung. Kami menerapkan pulsa tunggal ke input sistem (sinyal tidak nyata yang memiliki amplitudo tak terhingga, lebar nol, dan luas satuan), seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.10, A. Pengiriman impuls seperti itu ke sistem dapat dianggap sebagai “flash”. Bagaimana sistem akan bereaksi (“merespons”) terhadap penggunaan kekuatan (impuls) tersebut? Sinyal keluaran merupakan respon impuls sistem. (Bentuk yang mungkin dari respons ini ditunjukkan pada Gambar 1.10, B.)

Respons jaringan terhadap sinyal arbitrer adalah konvolusi dengan , yang ditulis sebagai berikut.

(1.46)

Gambar 1.10. Ilustrasi konsep “respon impuls”: a) sinyal masukan merupakan fungsi impuls satuan; b) sinyal keluaran - respon impuls sistem

Di sini tanda “*” menunjukkan operasi konvolusi (lihat bagian A.5). Sistem diasumsikan bersifat kausal, artinya tidak ada sinyal pada keluaran sampai sinyal diterapkan ke masukan. Oleh karena itu, batas bawah integrasi dapat dianggap nol, dan keluarannya dapat dinyatakan dengan cara yang agak berbeda.

(1.47,a)

atau dalam bentuk

(1.47,b)

Ekspresi dalam persamaan (1.46) dan (1.47) disebut integral konvolusi. Konvolusi adalah peralatan matematika dasar yang berperan peran penting dalam memahami semua sistem komunikasi. Jika pembaca belum familiar dengan operasi ini, ia harus merujuk ke bagian A.5, di mana derivasi persamaan (1.46) dan (1.47) diberikan.

1.6.2. Fungsi transfer frekuensi

Sinyal keluaran frekuensi diperoleh dengan menerapkan transformasi Fourier pada kedua sisi persamaan (1.46). Karena konvolusi dalam domain waktu menjadi perkalian dalam domain frekuensi (dan sebaliknya), kita peroleh persamaan (1.46) sebagai berikut.

(Tentu saja ini menyiratkan hal itu untuk semua orang.) Di sini ,Transformasi Fourier dari respon impuls, disebut fungsi transfer frekuensi, respon frekuensi, atau respon frekuensi jaringan. Secara umum fungsinya kompleks dan dapat dituliskan sebagai

, (1.50)

di mana modul responsnya. Fase respons didefinisikan sebagai berikut.

(1.51)

(dan menunjukkan bagian nyata dan imajiner dari argumen tersebut.)

Fungsi transfer frekuensi jaringan linier dan invarian waktu dapat dengan mudah diukur dalam kondisi laboratorium - dalam jaringan dengan generator getaran harmonis pada masukan dan osiloskop pada keluaran. Jika sinyal masukan dinyatakan sebagai

,

maka outputnya dapat dituliskan sebagai berikut.

Frekuensi input digeser ke nilai yang kami minati; dengan demikian, pengukuran pada masukan dan keluaran memungkinkan kita menentukan jenisnya.

1.6.2.1. Proses acak dan sistem linier

Jika suatu proses acak membentuk masukan suatu sistem linier, invarian waktu, maka pada keluaran sistem ini kita juga akan memperoleh proses acak. Dengan kata lain, setiap fungsi sampel dari proses masukan memberikan fungsi sampel dari proses keluaran. Kerapatan spektral daya masukan dan kerapatan spektral daya keluaran dihubungkan sebagai berikut.

(1.53)

Persamaan (1.53) memberikan cara sederhana untuk mencari kerapatan spektral daya keluaran dari sistem linier dan invarian waktu ketika diberikan proses acak.

Pada Bab 3 dan 4, kita akan melihat pendeteksian sinyal dalam derau Gaussian. Sifat dasar proses Gaussian akan diterapkan pada sistem linier. Akan terlihat bahwa jika proses Gaussian diumpankan ke filter linier invarian waktu, maka proses acak yang diumpankan ke keluaran juga bersifat Gaussian.

1.6.3. Transmisi bebas distorsi

Apa yang diperlukan agar jaringan berperilaku sebagai saluran transmisi yang ideal? Sinyal keluaran saluran ideal komunikasi mungkin tertunda dibandingkan dengan sinyal masukan; selain itu, sinyal-sinyal ini dapat memiliki amplitudo yang berbeda (hanya mengubah skala), tetapi untuk hal lainnya, sinyal tidak boleh terdistorsi, mis. itu harus memiliki bentuk yang sama dengan sinyal input. Oleh karena itu, untuk transmisi ideal yang tidak terdistorsi, kita dapat menggambarkan sinyal keluaran sebagai

, (1.54)

dimana dan adalah konstanta. Menerapkan transformasi Fourier ke kedua sisi (lihat bagian A.3.1), kita mendapatkan yang berikut.

(1.55)

Mengganti ekspresi (1.55) ke dalam persamaan (1.49), kita melihat bahwa fungsi transfer yang diperlukan sistem untuk transmisi tanpa distorsi memiliki bentuk berikut.

(1.56)

Oleh karena itu, untuk mendapatkan transmisi ideal tanpa distorsi, respon keseluruhan sistem harus mempunyai besaran yang konstan, dan pergeseran fasa harus linier dalam frekuensi. Tidaklah cukup bagi sistem untuk memperkuat atau melemahkan semua komponen frekuensi secara merata. Semua harmonik sinyal harus sampai pada keluaran dengan penundaan yang sama agar dapat dijumlahkan. Karena penundaan berhubungan dengan pergeseran fasa dan frekuensi siklik melalui hubungan tersebut

, (1.57,a)

Jelasnya, agar penundaan semua komponen sama, pergeseran fasa harus sebanding dengan frekuensi. Untuk mengukur distorsi sinyal yang disebabkan oleh penundaan, sering digunakan karakteristik yang disebut penundaan kelompok; itu didefinisikan sebagai berikut.

(1.57,b)

Jadi, untuk transmisi bebas distorsi kita memiliki dua persyaratan yang setara: frekuensi fase harus linier atau penundaan grup harus sama dengan konstan. Dalam praktiknya, sinyal akan terdistorsi saat melewati beberapa bagian sistem. Untuk menghilangkan distorsi ini, rangkaian koreksi fase atau amplitudo (pemerataan) dapat dimasukkan ke dalam sistem. Secara umum, distorsi adalah karakteristik keseluruhan I/O sistem yang menentukan kinerjanya.

1.6.3.1. penyaring yang ideal

Tidak mungkin membangun jaringan ideal yang dijelaskan oleh persamaan (1.56). Masalahnya adalah Persamaan (1.56) mengasumsikan bandwidth tak terbatas, dengan bandwidth sistem ditentukan oleh interval frekuensi positif dimana modulusnya mempunyai besaran tertentu. (Secara umum, ada beberapa ukuran bandwidth; yang paling umum tercantum di Bagian 1.7.) Sebagai perkiraan jaringan ideal dengan bandwidth tak terbatas, kami memilih jaringan terpotong yang melewatkan semua harmonisa dengan frekuensi antara dan di mana tanpa distorsi. frekuensi cutoff yang lebih rendah, dan yang paling atas, seperti yang ditunjukkan pada gambar. 1.11. Semua jaringan tersebut disebut filter ideal. Di luar rentang yang disebut pita sandi, amplitudo respons filter ideal diasumsikan nol. Bandwidth efektif ditentukan oleh bandwidth filter dan Hz.

Jika dan , filter disebut transmisi (Gbr. 1.11, A). Jika memiliki nilai yang terbatas, maka disebut filter low-pass (Gbr. 1.11, B). Jika dan memiliki nilai bukan nol, maka disebut filter high-pass (Gbr. 1.11, V).

Gambar 1.11. Fungsi alih filter ideal: a) filter transmisi ideal; b) filter lolos rendah yang ideal; c) filter lolos rendah yang ideal

Menggunakan persamaan (1.59) dan mengasumsikan filter low-pass ideal dengan bandwidth Hz ditunjukkan pada Gambar. 1.11, B, kita dapat menulis fungsi transfer sebagai berikut.

(1.58)

Respon impuls dari filter low-pass ideal ditunjukkan pada Gambar. 1.12, dinyatakan dengan rumus berikut.

Gambar 1.12. Respon impuls dari filter low-pass yang ideal

dimana fungsinya didefinisikan dalam persamaan (1.39). Respon impuls ditunjukkan pada Gambar. 1.12, bersifat non-kausal; ini berarti bahwa pada saat sinyal diterapkan ke input (), terdapat respons bukan nol pada output filter. Dengan demikian, jelas bahwa filter ideal yang dijelaskan oleh persamaan (1.58) tidak terwujud dalam kenyataan.

Contoh 1.2. Melewati white noise melalui filter ideal

Kebisingan putih dengan kerapatan spektral daya , ditunjukkan pada Gambar 1.8, A, diumpankan ke input filter low-pass ideal yang ditunjukkan pada Gambar. 1.11, B. Tentukan kerapatan spektral daya dan fungsi autokorelasi dari sinyal keluaran.

Larutan

Fungsi autokorelasi merupakan hasil penerapan transformasi Fourier terbalik pada kerapatan spektral daya. Fungsi autokorelasi ditentukan oleh ekspresi berikut (lihat Tabel A.1).

Membandingkan hasil yang diperoleh dengan rumus (1.62), kita melihat bahwa hasilnya memiliki bentuk yang sama dengan respon impuls dari filter low-pass ideal yang ditunjukkan pada Gambar. 1.12. Dalam contoh ini, filter low-pass yang ideal mengubah fungsi autokorelasi white noise (didefinisikan melalui fungsi delta) menjadi sebuah fungsi. Setelah disaring, tidak akan ada lagi white noise di sistem. Sinyal derau keluaran akan memiliki korelasi nol dengan salinan offsetnya sendiri hanya jika diimbangi dengan , dengan bilangan bulat apa pun selain nol.

1.6.3.2. Filter yang dapat diterapkan

Filter low-pass paling sederhana yang dapat diterapkan terdiri dari resistansi (R) dan kapasitansi (C), seperti ditunjukkan pada Gambar. 1.13, A; filter ini disebut filter RC dan fungsi transfernya dapat dinyatakan sebagai berikut.

, (1.63)

Di mana . Karakteristik amplitudo dan karakteristik fase ditunjukkan pada Gambar. 1.13, B, V. Bandwidth filter lolos rendah ditentukan pada titik daya setengah; titik ini mewakili frekuensi di mana daya sinyal keluaran sama dengan setengah nilai maksimum, atau frekuensi di mana amplitudo tegangan keluaran sama dengan nilai maksimum.

Secara umum, titik pangkat setengah dinyatakan dalam desibel (dB) sebagai titik -3 dB, atau titik 3 dB di bawah nilai maksimum. Menurut definisi, nilai dalam desibel ditentukan oleh rasio pangkat, dan.

(1.64, sebuah)

Di sini adalah tegangan, dan dan adalah hambatan. Dalam sistem komunikasi, daya pengenal biasanya digunakan untuk analisis; dalam hal ini, resistansi dianggap sama dengan 1 ohm

Gambar 1.13. Filter RC dan fungsi alihnya: a) Filter RC; b) respon amplitudo filter RC; c) respons fase filter RC

(1.64,b)

Respon amplitudo dapat dinyatakan dalam desibel sebagai

, (1,64, masuk)

dimana dan adalah tegangan pada masukan dan keluaran, dan hambatan pada masukan dan keluaran diasumsikan sama.

Dari Persamaan (1.63), mudah untuk memverifikasi bahwa setengah titik daya dari filter low pass RC adalah rad/s, atau Hz. Jadi, bandwidth dalam hertz adalah . Faktor bentuk filter adalah ukuran seberapa baik filter sebenarnya mendekati filter ideal. Biasanya didefinisikan sebagai rasio bandwidth filter -60 dB dan -6 dB. Faktor bentuk yang cukup kecil (sekitar 2) dapat diperoleh pada filter transmisi dengan cutoff yang sangat tajam. Sebagai perbandingan, faktor bentuk filter low-pass RC sederhana adalah sekitar 600.

Ada beberapa perkiraan yang berguna terhadap karakteristik filter low-pass yang ideal. Salah satunya disediakan oleh filter Butterworth, yang mendekati filter low-pass ideal berdasarkan fungsinya

, (1.65)

dimana adalah frekuensi cutoff atas (-3 dB), dan merupakan urutan filter. Semakin tinggi urutannya, semakin tinggi kompleksitas dan biaya penerapan filter tersebut. Pada Gambar. Gambar 1.14 menunjukkan grafik amplitudo untuk beberapa nilai. Perhatikan bahwa seiring pertumbuhannya, karakteristik amplitudo mendekati karakteristik filter ideal. Filter Butterworth populer karena merupakan perkiraan terbaik dari kasus ideal dalam hal memaksimalkan kerataan pita sandi filter.

Fungsi tersebut tidak periodik sehingga tidak dapat diperluas menjadi deret Fourier. Di sisi lain, fungsi tersebut, karena durasinya yang tidak terbatas, tidak dapat diintegralkan dan oleh karena itu tidak dapat direpresentasikan oleh integral Fourier. Untuk menghindari kesulitan ini, diperkenalkan fungsi bantu yang bertepatan dengan fungsi pada interval dan sama dengan nol di luar interval ini:

(5.15)

Fungsinya dapat diintegrasikan dan ada untuk itu konversi langsung Fourier (Integral Fourier):

(5.16)

Kepadatan spektral daya sinyal acak (atau hanya kepadatan spektral ) disebut fungsi dari bentuk:

(5.17)

Kepadatan spektral adalah fungsi yang mencirikan distribusi nilai rata-rata kuadrat amplitudo harmonik sinyal. Kepadatan spektral memiliki sifat sebagai berikut:

1. Semakin cepat perubahan proses acak stasioner, semakin lebar grafiknya .

2. Puncak individu pada grafik kerapatan spektral menunjukkan adanya komponen periodik dalam sinyal acak.

3. Kerapatan spektral adalah fungsi genap:

(5.18)

Kepadatan spektral terkait dengan dispersi sinyal sebagai berikut:

(5.19)

Secara eksperimental, kerapatan spektral ditentukan (dihitung) menurut skema berikut:

Beras. 5.6.

Kepadatan spektral berhubungan dengan fungsi korelasi dengan ekspresi berikut (menurut teorema Khinchin-Wiener):

(5.20)

(5.21)

Jika kita memperluas faktor-faktornya dan menggunakan rumus Euler dan memperhitungkan bahwa , dan merupakan fungsi genap, dan a adalah fungsi ganjil, maka ekspresi (5.20), (5.21) dapat diubah menjadi tampilan berikutnya:

(5.22)

(5.23)

Ekspresi (5.23), (5.24) digunakan dalam perhitungan praktis. Sangat mudah untuk melihat bahwa ketika ekspresi (5.24) menentukan dispersi dari proses acak stasioner:

(5.24)

Hubungan yang menghubungkan fungsi korelasi dan kerapatan spektral memiliki semua sifat yang melekat pada transformasi Fourier dan menentukan hal berikut karakteristik komparatif: semakin lebar grafik maka semakin sempit grafiknya, dan sebaliknya semakin cepat penurunan fungsi maka semakin lambat penurunan fungsi tersebut. Hubungan ini diilustrasikan oleh grafik pada Gambar (5.7), (5.8)

Beras. 5.7.

Beras. 5.8.

Garis 1 pada kedua gambar berhubungan dengan sinyal acak yang bervariasi secara perlahan, spektrumnya didominasi oleh harmonik frekuensi rendah. Garis 2 berhubungan dengan sinyal yang berubah dengan cepat, spektrumnya didominasi oleh harmonik frekuensi tinggi.

Jika sinyal acak berubah sangat tajam dari waktu ke waktu dan praktis tidak ada korelasi antara nilai sebelumnya dan nilai berikutnya, maka fungsi korelasinya berbentuk fungsi delta (baris 3). Grafik kerapatan spektral dalam hal ini mewakili garis horizontal dalam rentang tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa amplitudo harmonik adalah sama di seluruh rentang frekuensi. Sinyal ini disebut kebisingan putih (mirip dengan cahaya putih, yang seperti diketahui intensitas semua komponennya sama).

Konsep "white noise" adalah abstraksi matematis. Secara fisik, sinyal dalam bentuk white noise tidak mungkin dilakukan, karena spektrum yang sangat luas berhubungan dengan dispersi yang sangat besar, dan oleh karena itu spektrum yang sangat luas. kekuatan tinggi. Namun, seringkali sistem nyata dengan spektrum terbatas dapat dianggap sebagai white noise. Penyederhanaan ini berlaku dalam kasus di mana spektrum sinyal jauh lebih luas daripada bandwidth sistem tempat sinyal tersebut bekerja.

Kepadatan spektral dan sinyal dihubungkan satu sama lain melalui sepasang transformasi Fourier:

Semua sifat kerapatan spektral digabungkan dalam teorema dasar tentang spektrum.

I. Properti linearitas.

Jika ada sekumpulan sinyal tertentu dan,..., maka jumlah bobot sinyal tersebut ditransformasikan Fourier sebagai berikut:

Berikut adalah koefisien numerik arbitrer.

II. Pergeseran teorema.

Asumsikan bahwa sinyal tersebut memiliki korespondensi yang diketahui. Mari kita pertimbangkan sinyal yang sama, tetapi muncul beberapa detik kemudian. Mengambil titik ini sebagai awal waktu yang baru, kami menyatakan sinyal yang dipindahkan ini sebagai. Mari kita perkenalkan perubahan variabel: . Kemudian,

Modulus bilangan kompleks sama dengan 1 untuk nilai apa pun, oleh karena itu amplitudo komponen harmonik dasar yang membentuk sinyal tidak bergantung pada posisinya pada sumbu waktu. Informasi tentang karakteristik sinyal ini terdapat dalam spektrum fase.

AKU AKU AKU. Teorema skala.

Mari kita asumsikan bahwa sinyal asli dapat mengalami perubahan skala waktu. Artinya peran waktu dimainkan oleh variabel independen baru (bilangan real tertentu). Jika > 1, maka terjadi “kompresi” sinyal asli; jika 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если, то:

Mari kita ganti variabelnya, maka berikut ini:

Ketika suatu sinyal dikompresi dengan faktor satu pada sumbu waktu, spektrumnya pada sumbu frekuensi meluas dengan jumlah yang sama. Dalam hal ini, modulus kerapatan spektral berkurang satu faktor.

Jelasnya, ketika sinyal diregangkan dalam waktu (yaitu kapan<1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV. Teorema spektrum turunan dan integral tak tentu.

Biarkan sinyal dan bidang spektralnya diberikan. Kami akan mempelajari sinyal baru dan menetapkan tujuan untuk menemukan kepadatan spektralnya.

A-priori:

Transformasi Fourier adalah operasi linier, yang berarti persamaan (2.3) juga berlaku untuk kerapatan spektral. Dengan menggunakan teorema shift kita peroleh:

Mewakili fungsi eksponensial sebagai deret Taylor:

Mengganti deret ini ke (2.6) dan membatasi diri pada dua suku pertama deret tersebut, kita temukan

Jadi, membedakan suatu sinyal terhadap waktu sama dengan operasi aljabar sederhana yang mengalikan kerapatan spektral dengan suatu faktor. Oleh karena itu, bilangan imajiner dikatakan sebagai operator diferensiasi yang beroperasi pada domain frekuensi.

Bagian kedua dari teorema. Fungsi yang dipertimbangkan adalah integral tak tentu terhadap fungsi tersebut. Integral ini ada yang artinya kerapatan spektralnya, dan dari rumus (2.7) sama dengan:

Dengan demikian, pengali berfungsi sebagai operator integrasi dalam domain frekuensi.

V. Teorema konvolusi.

Saat menjumlahkan sinyal, spektrumnya ditambahkan. Akan tetapi, spektrum hasil kali sinyal tidak sama dengan hasil kali spektrum, namun dinyatakan dengan suatu hubungan integral khusus antara spektrum faktor-faktornya.

Misalkan dan menjadi dua sinyal yang korespondensinya diketahui. Mari kita bentuk produk dari sinyal-sinyal ini: dan hitung kerapatan spektralnya. Sebagai aturan umum:

Menerapkan transformasi Fourier terbalik, kami menyatakan sinyal dalam kerapatan spektralnya dan mengganti hasilnya ke (2.9):

Mengubah urutan integrasi, kami memiliki:

Integral di ruas kanan disebut bundel fungsi dan. Secara simbolis, operasi konvolusi dilambangkan dengan *

Jadi, kerapatan spektral produk dua sinyal, hingga faktor numerik konstan, sama dengan konvolusi kerapatan spektral faktor-faktor tersebut.

Biarkan sinyalnya S(T) ditentukan sebagai fungsi non-periodik, dan hanya ada pada interval ( T 1 ,T 2) (contoh - pulsa tunggal). Mari kita pilih periode waktu yang sewenang-wenang T, termasuk interval ( T 1 ,T 2) (lihat Gambar 1).

Mari kita nyatakan sinyal periodik yang diperoleh dari S(T), sebagai ( T). Kemudian kita dapat menulis deret Fourier untuknya

Untuk pergi ke fungsinya S(T) mengikuti ekspresi ( T) arahkan periodenya hingga tak terhingga. Dalam hal ini, jumlah komponen harmonik dengan frekuensi w=N 2P/T akan sangat besar, jarak antara keduanya akan cenderung nol (hingga nilai yang sangat kecil:

amplitudo komponen juga akan sangat kecil. Oleh karena itu, tidak mungkin lagi membicarakan spektrum sinyal semacam itu, karena spektrumnya menjadi kontinu.

Integral dalam merupakan fungsi frekuensi. Ini disebut kerapatan spektral sinyal, atau respons frekuensi sinyal dan dilambangkan dengan mis.

Secara umum, limit integrasi dapat diatur hingga tak terhingga, karena semuanya sama jika s(t) sama dengan nol, dan integralnya sama dengan nol.

Ekspresi kerapatan spektral disebut transformasi Fourier langsung. Transformasi Fourier terbalik menentukan fungsi waktu suatu sinyal dari kepadatan spektralnya

Transformasi Fourier langsung (*) dan invers (**) bersama-sama disebut sepasang transformasi Fourier. Modul kepadatan spektral

menentukan respons frekuensi amplitudo (AFC) sinyal, dan argumennya disebut respon frekuensi fase (PFC) dari sinyal. Respon frekuensi sinyal adalah fungsi genap, dan respons fasa adalah fungsi ganjil.

Arti dari modul S(w) didefinisikan sebagai amplitudo sinyal (arus atau tegangan) per 1 Hz dalam pita frekuensi sempit tak terhingga yang mencakup frekuensi yang dimaksud w. Dimensinya adalah [sinyal/frekuensi].

Spektrum energi sinyal. Jika fungsi s(t) mempunyai kepadatan daya sinyal Fourier ( kerapatan spektral energi sinyal) ditentukan oleh ekspresi:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Spektrum daya adalah fungsi genap non-negatif W()-real, yang biasanya disebut spektrum energi. Spektrum daya, sebagai kuadrat modulus kerapatan spektral sinyal, tidak mengandung informasi fase tentang komponen frekuensinya, dan oleh karena itu, rekonstruksi sinyal dari spektrum daya tidak mungkin dilakukan. Ini juga berarti bahwa sinyal dengan karakteristik fasa berbeda dapat memiliki spektrum daya yang sama. Secara khusus, pergeseran sinyal tidak mempengaruhi spektrum kekuatannya. Yang terakhir ini memungkinkan kita memperoleh ekspresi spektrum energi langsung dari ekspresi (5.2.7). Pada batasnya, untuk sinyal identik kamu(t) dan v(t) dengan pergeseran t 0, bagian imajiner spektrum Wuv () cenderung bernilai nol, dan bagian nyata cenderung bernilai modulus spektrum . Dengan kombinasi sinyal temporal yang lengkap, kita memiliki:

itu. energi sinyal sama dengan integral modulus kuadrat spektrum frekuensinya - jumlah energi komponen frekuensinya, dan selalu merupakan nilai nyata.

Untuk sinyal sembarang s(t) persamaannya

biasanya disebut persamaan Parseval (dalam matematika - teorema Plancherel, dalam fisika - rumus Rayleigh). Kesetaraannya jelas, karena representasi koordinat dan frekuensi pada dasarnya hanyalah representasi matematis yang berbeda dari sinyal yang sama. Demikian pula untuk energi interaksi dua sinyal:

Dari persamaan Parseval dapat disimpulkan bahwa produk skalar sinyal dan norma terhadap transformasi Fourier adalah invarian:

Dalam sejumlah masalah praktis dalam merekam dan mentransmisikan sinyal, spektrum energi sinyal sangatlah signifikan. Sinyal periodik diterjemahkan ke dalam wilayah spektral dalam bentuk deret Fourier. Mari kita tuliskan sinyal periodik dengan periode T dalam bentuk deret Fourier dalam bentuk kompleks:

Interval 0-T berisi bilangan bulat periode dari semua eksponen integran, dan sama dengan nol, kecuali eksponensial di k = -m, yang integralnya sama dengan T. Oleh karena itu, pangkat rata-rata dari a sinyal periodik sama dengan jumlah modul kuadrat dari koefisien deret Fouriernya:

Spektrum energi sinyal – ini adalah distribusi energi sinyal dasar yang membentuk sinyal non-harmonik pada sumbu frekuensi. Secara matematis, spektrum energi sinyal sama dengan kuadrat modulus fungsi spektral:

Dengan demikian, spektrum amplitudo-frekuensi menunjukkan himpunan amplitudo komponen sinyal dasar pada sumbu frekuensi, dan spektrum frekuensi fase menunjukkan himpunan fase.

Modulus fungsi spektral sering disebut spektrum amplitudo, dan argumennya adalah spektrum fase.

Selain itu, terdapat transformasi Fourier terbalik yang memungkinkan Anda mengembalikan sinyal asli, mengetahui fungsi spektralnya:

Misalnya, ambil impuls persegi panjang:

Contoh lain dari spektrum:

Frekuensi Nyquist, teorema Kotelnikov .

Frekuensi Nyquist - dalam pemrosesan sinyal digital, frekuensinya sama dengan setengah frekuensi sampling. Dinamakan setelah Harry Nyquist. Dari teorema Kotelnikov dapat disimpulkan bahwa ketika pengambilan sampel sinyal analog, tidak akan ada kehilangan informasi hanya jika spektrum (kerapatan spektral) sinyal sama dengan atau lebih rendah dari frekuensi Nyquist. Jika tidak, saat memulihkan sinyal analog, akan terjadi tumpang tindih “ekor” spektral (substitusi frekuensi, penyembunyian frekuensi), dan bentuk sinyal yang dipulihkan akan terdistorsi. Jika spektrum sinyal tidak memiliki komponen di atas frekuensi Nyquist, maka (secara teoritis) spektrum tersebut dapat diambil sampelnya dan kemudian direkonstruksi tanpa distorsi. Faktanya, "digitalisasi" suatu sinyal (konversi sinyal analog menjadi sinyal digital) dikaitkan dengan kuantisasi sampel - setiap sampel ditulis dalam bentuk kode digital dengan kedalaman bit terbatas, sebagai akibatnya kesalahan kuantisasi (pembulatan) ditambahkan ke sampel, dalam kondisi tertentu dianggap sebagai “kebisingan kuantisasi”.

Sinyal nyata dengan durasi terbatas selalu memiliki spektrum lebar tak terhingga, yang berkurang lebih atau kurang cepat seiring bertambahnya frekuensi. Oleh karena itu, pengambilan sampel sinyal selalu menyebabkan hilangnya informasi (distorsi bentuk sinyal selama pengambilan sampel dan rekonstruksi), tidak peduli seberapa tinggi frekuensi pengambilan sampelnya. Pada laju pengambilan sampel yang dipilih, distorsi dapat dikurangi dengan menekan komponen spektral sinyal analog (sebelum pengambilan sampel) di atas frekuensi Nyquist, yang memerlukan filter orde sangat tinggi untuk menghindari aliasing ekor. Implementasi praktis dari filter semacam itu sangat rumit, karena karakteristik frekuensi amplitudo dari filter tidak berbentuk persegi panjang, tetapi mulus, dan pita frekuensi transisi tertentu terbentuk antara pita sandi dan pita penekan. Oleh karena itu, frekuensi sampling dipilih dengan margin, misalnya pada CD audio digunakan frekuensi sampling 44.100 Hz, sedangkan frekuensi tertinggi dalam spektrum sinyal audio dianggap 20.000 Hz. Margin frekuensi Nyquist 44100/2 - 20000 = 2050 Hz menghindari substitusi frekuensi saat menggunakan filter tingkat rendah yang diterapkan.

teorema Kotelnikov

Untuk mengembalikan sinyal kontinu asli dari sinyal sampel dengan distorsi kecil (kesalahan), perlu dilakukan pemilihan langkah pengambilan sampel secara rasional. Oleh karena itu, ketika mengubah sinyal analog menjadi sinyal diskrit, muncul pertanyaan tentang ukuran langkah pengambilan sampel. Secara intuitif, tidak sulit untuk memahami gagasan berikut. Jika sinyal analog memiliki spektrum frekuensi rendah yang dibatasi oleh frekuensi atas tertentu Fe (yaitu, fungsi u(t) berbentuk kurva yang bervariasi dengan mulus, tanpa perubahan amplitudo yang tajam), maka kecil kemungkinannya fungsi ini bisa berubah secara signifikan selama beberapa interval waktu pengambilan sampel yang kecil. Jelas sekali bahwa keakuratan rekonstruksi sinyal analog dari rangkaian sampelnya bergantung pada besar kecilnya interval pengambilan sampel. Semakin pendek interval pengambilan sampel, semakin kecil perbedaan fungsi u(t) dengan kurva mulus yang melewati sampel. poin. Namun, seiring dengan berkurangnya interval pengambilan sampel, kompleksitas dan volume peralatan pemrosesan meningkat secara signifikan. Jika interval pengambilan sampel cukup besar, kemungkinan distorsi atau hilangnya informasi saat merekonstruksi sinyal analog meningkat. Nilai optimal interval sampling ditentukan oleh teorema Kotelnikov (nama lain adalah teorema sampling, teorema K. Shannon, teorema X. Nyquist: teorema ini pertama kali ditemukan dalam matematika O. Cauchy, dan kemudian dijelaskan lagi oleh D. Carson dan R. Hartley), dibuktikan olehnya pada tahun 1933. Teorema V. A. Kotelnikov memiliki signifikansi teoretis dan praktis yang penting: teorema ini memungkinkan pengambilan sampel sinyal analog dengan benar dan menentukan cara optimal untuk memulihkannya di sisi penerima dari nilai sampel.

Menurut salah satu interpretasi paling terkenal dan sederhana dari teorema Kotelnikov, sinyal sembarang u(t), yang spektrumnya dibatasi oleh frekuensi tertentu Fe, dapat direkonstruksi sepenuhnya dari urutan nilai referensinya, mengikuti waktu selang

Interval sampling dan frekuensi Fe(1) dalam teknik radio sering disebut interval dan frekuensi Nyquist. Secara analitis, teorema Kotelnikov disajikan di bawah ini

dimana k adalah nomor sampel; - nilai sinyal pada titik referensi - frekuensi atas spektrum sinyal.

Representasi frekuensi sinyal diskrit .

Kebanyakan sinyal dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier:

Kembali