Untuk menghitung jumlah suatu deret, Anda hanya perlu menambahkan elemen baris beberapa kali. Misalnya:

Pada contoh di atas, hal ini dilakukan dengan sangat sederhana, karena harus dijumlahkan beberapa kali. Namun bagaimana jika batas atas penjumlahannya adalah tak terhingga? Misalnya, jika kita perlu mencari jumlah deret berikut:

Dengan analogi dengan contoh sebelumnya, kita dapat menulis jumlah ini seperti ini:

Tapi apa yang harus dilakukan selanjutnya?! Pada tahap ini perlu dilakukan pengenalan konsep jumlah sebagian dari deret tersebut. Jadi, jumlah sebagian dari deret tersebut(dilambangkan S n) adalah jumlah n suku pertama deret tersebut. Itu. dalam kasus kami:

Maka jumlah deret aslinya dapat dihitung sebagai limit dari jumlah parsial:

Jadi, untuk menghitung jumlah suatu deret, entah bagaimana perlu menemukan ekspresi untuk jumlah parsial deret tersebut (S n ). Dalam kasus khusus kita, deret tersebut adalah deret geometri menurun dengan penyebut 1/3. Seperti yang Anda ketahui, jumlah n elemen pertama suatu barisan geometri dihitung dengan rumus:

di sini b 1 adalah elemen pertama dari barisan geometri (dalam kasus kami adalah 1) dan q adalah penyebut dari barisan tersebut (dalam kasus kami 1/3). Oleh karena itu, jumlah parsial S n untuk deret kita sama dengan:

Maka jumlah deret kita (S) menurut definisi di atas adalah sama dengan:

Contoh yang dibahas di atas cukup sederhana. Biasanya, menghitung jumlah suatu deret jauh lebih sulit dan kesulitan terbesar terletak pada mencari jumlah parsial deret tersebut. Ditampilkan di bawah kalkulator daring, berdasarkan sistem Wolfram Alpha, memungkinkan Anda menghitung jumlah deret yang cukup kompleks. Selain itu, jika kalkulator tidak dapat menemukan jumlah suatu deret, kemungkinan besar deret tersebut divergen (dalam hal ini kalkulator menampilkan pesan seperti “jumlah divergen”), yaitu. Kalkulator ini juga secara tidak langsung membantu untuk mendapatkan gambaran konvergensi suatu deret.

Untuk mencari jumlah deret, Anda perlu menentukan variabel deret tersebut, batas bawah dan atas penjumlahan, serta ekspresi suku ke-n deret tersebut (yakni ekspresi sebenarnya dari deret itu sendiri) .

Menjawab: serinya menyimpang.

Contoh No.3

Carilah jumlah deret $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Karena batas bawah penjumlahan adalah 1, suku persekutuan dari deret tersebut ditulis di bawah tanda penjumlahan: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Ayo menulis parsial ke-n jumlah deretnya, mis. Mari kita jumlahkan suku $n$ pertama dari deret bilangan tertentu:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Mengapa saya menulis persis $\frac(2)(3\cdot 5)$, dan bukan $\frac(2)(15)$, akan jelas dari narasi selanjutnya. Namun, menuliskan sebagian jumlahnya tidak membawa kami sedikit pun lebih dekat ke tujuan kami. Kita perlu mencari $\lim_(n\to\infty)S_n$, tetapi jika kita hanya menulis:

$$ \lim_(n\ke\infty)S_n=\lim_(n\ke\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\kanan), $$

maka catatan ini, yang bentuknya benar-benar benar, tidak akan memberi kita apa-apa pada intinya. Untuk mencari limitnya, persamaan jumlah parsial harus disederhanakan terlebih dahulu.

Ada transformasi standar untuk ini, yang terdiri dari penguraian pecahan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, yang mewakili suku umum deret tersebut, menjadi pecahan dasar. Masalah dekomposisi pecahan rasional topik terpisah dikhususkan untuk topik dasar (lihat, misalnya, contoh No. 3 di halaman ini). Memperluas pecahan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ menjadi pecahan dasar, kita akan mendapatkan:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Kita menyamakan pembilang pecahan di sebelah kiri dan bagian yang tepat persamaan yang dihasilkan:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Ada dua cara untuk mencari nilai $A$ dan $B$. Anda dapat membuka tanda kurung dan mengatur ulang istilahnya, atau Anda dapat menggantinya saja nilai-nilai yang sesuai. Sekadar variasi, dalam contoh ini kita akan menggunakan cara pertama, dan pada contoh berikutnya kita akan mengganti nilai privat $n$. Membuka tanda kurung dan mengatur ulang suku-sukunya, kita mendapatkan:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Di sisi kiri persamaan, $n$ diawali dengan nol. Jika Anda mau, agar lebih jelas, ruas kiri persamaan dapat direpresentasikan sebagai $0\cdot n+ 2$. Karena di ruas kiri persamaan $n$ diawali dengan nol, dan di ruas kanan persamaan $n$ diawali dengan $2A+2B$, kita mempunyai persamaan pertama: $2A+2B=0$. Mari segera bagi kedua ruas persamaan ini dengan 2, setelah itu kita mendapatkan $A+B=0$.

Karena di ruas kiri persamaan suku bebasnya sama dengan 2, dan di ruas kanan persamaan suku bebasnya sama dengan $3A+B$, maka $3A+B=2$. Jadi, kami memiliki sistem:

$$ \kiri\(\begin(rata) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(rata)\kanan. $$

Pembuktiannya akan kita lakukan dengan menggunakan metode induksi matematika. Pada langkah pertama, Anda perlu memeriksa apakah persamaan yang dibuktikan benar $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ untuk $n=1$. Kita tahu bahwa $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, tetapi apakah ekspresi $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ akan memberikan nilai $\frac( 2 )(15)$, jika kita mengganti $n=1$ ke dalamnya? Mari kita periksa:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Jadi, untuk $n=1$ persamaan $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ terpenuhi. Ini melengkapi langkah pertama metode induksi matematika.

Mari kita asumsikan bahwa untuk $n=k$ persamaan terpenuhi, yaitu. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Mari kita buktikan bahwa persamaan yang sama akan dipenuhi untuk $n=k+1$. Untuk melakukan ini, pertimbangkan $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Karena $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, maka $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Berdasarkan asumsi yang dibuat di atas $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, maka rumusnya $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ akan berbentuk:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Kesimpulan: rumus $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ benar untuk $n=k+1$. Oleh karena itu, menurut metode induksi matematika, rumus $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ berlaku untuk $n\in N$ apa pun. Kesetaraan telah terbukti.

Dalam kursus standar matematika yang lebih tinggi biasanya mereka puas dengan “mencoret” syarat pembatalan, tanpa memerlukan bukti apapun. Jadi kami punya ekspresi untuk parsial ke-n jumlah: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Mari kita cari nilai $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Kesimpulan: deret tertentu konvergen dan jumlahnya adalah $S=\frac(1)(3)$.

Cara kedua untuk menyederhanakan rumus jumlah parsial.

Sejujurnya, saya sendiri lebih suka metode ini :) Mari kita tuliskan sebagiannya dalam versi yang disingkat:

$$ S_n=\jumlah\batas_(k=1)^(n)u_k=\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Kita peroleh sebelumnya bahwa $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, oleh karena itu:

$$ S_n=\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\jumlah\batas_(k=1)^(n)\kiri (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan). $$

Jumlah $S_n$ berisi sejumlah suku yang terbatas, sehingga kita dapat mengatur ulang suku-suku tersebut sesuka kita. Saya ingin menambahkan semua suku dalam bentuk $\frac(1)(2k+1)$ terlebih dahulu, dan baru kemudian melanjutkan ke suku dalam bentuk $\frac(1)(2k+3)$. Artinya kami akan menyajikan sebagian jumlah sebagai berikut:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ltitik+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\kiri(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\kanan). $$

Tentu saja notasi yang diperluas sangat merepotkan, sehingga persamaan di atas dapat ditulis dengan lebih ringkas:

$$ S_n=\jumlah\batas_(k=1)^(n)\kiri(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan)=\jumlah\batas_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Sekarang mari kita ubah ekspresi $\frac(1)(2k+1)$ dan $\frac(1)(2k+3)$ menjadi satu bentuk. Menurut saya akan lebih mudah untuk mereduksinya menjadi bentuk pecahan yang lebih besar (meskipun dimungkinkan untuk menggunakan pecahan yang lebih kecil, ini masalah selera). Karena $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (semakin besar penyebutnya, semakin kecil pecahannya), kita akan memberikan pecahan $\frac(1)(2k+ 3) $ ke bentuk $\frac(1)(2k+1)$.

Saya akan menyajikan ekspresi penyebut pecahan $\frac(1)(2k+3)$ sebagai berikut:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Dan jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ sekarang dapat ditulis sebagai berikut:

$$ \jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1 ) )+1)=\jumlah\batas_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Jika persamaan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ tidak menimbulkan pertanyaan apa pun, mari kita lanjutkan. Jika Anda memiliki pertanyaan, harap perluas catatannya.

Bagaimana kami mendapatkan jumlah yang dikonversi? tunjukan Sembunyikan

Kami memiliki seri $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Mari kita perkenalkan variabel baru sebagai pengganti $k+1$ - misalnya, $t$. Jadi $t=k+1$.

Bagaimana variabel lama $k$ berubah? Dan itu berubah dari 1 menjadi $n$. Mari kita cari tahu bagaimana variabel baru $t$ akan berubah. Jika $k=1$, maka $t=1+1=2$. Jika $k=n$, maka $t=n+1$. Jadi, ekspresi $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ sekarang menjadi: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\jumlah\batas_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Kita mempunyai jumlah $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Pertanyaan: pentingkah huruf mana yang digunakan dalam jumlah ini? :) Cukup menulis huruf $k$ dan bukan $t$, kita mendapatkan yang berikut:

$$ \jumlah\batas_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\jumlah\batas_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Beginilah cara kita mendapatkan persamaan $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Jadi, jumlah sebagian dapat direpresentasikan sebagai berikut:

$$ S_n=\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\jumlah\batas_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Perhatikan bahwa jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ dan $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ hanya berbeda pada batas penjumlahannya. Mari kita buat batasan ini sama. “Menghilangkan” elemen pertama dari jumlah $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ kita akan mendapatkan:

$$ \jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\jumlah\batas_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\jumlah\batas_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

“Menghilangkan” elemen terakhir dari jumlah $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, kita mendapatkan:

$$\jumlah\batas_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\jumlah\batas_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\jumlah\batas_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Maka ekspresi jumlah parsial akan berbentuk:

$$ S_n=\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\jumlah\batas_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\jumlah\batas_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\kiri(\jumlah\batas_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\kanan)=\\ =\frac(1)(3)+\jumlah\batas_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\jumlah\batas_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Jika semua penjelasan dilewati, maka proses pencarian rumus singkat jumlah parsial ke-n akan berbentuk sebagai berikut:

$$ S_n=\jumlah\batas_(k=1)^(n)u_k =\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \jumlah\batas_(k=1)^(n)\kiri(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\kanan)=\\ =\jumlah\batas_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\jumlah\batas_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\kiri(\jumlah\batas_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\kanan)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita mereduksi pecahan $\frac(1)(2k+3)$ menjadi $\frac(1)(2k+1)$. Tentu saja Anda dapat melakukan yang sebaliknya, yaitu. nyatakan pecahan $\frac(1)(2k+1)$ sebagai $\frac(1)(2k+3)$. Ekspresi terakhir untuk jumlah sebagian tidak akan berubah. Dalam hal ini, saya akan menyembunyikan proses menemukan sebagian jumlah di bawah catatan.

Bagaimana cara mencari $S_n$ jika dikonversi ke pecahan lain? tunjukan Sembunyikan

$$ S_n =\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\jumlah\batas_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\jumlah\batas_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\jumlah\batas_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\kiri(\jumlah\batas_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\kanan) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Jadi, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Temukan batas $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\ke\infty)S_n=\lim_(n\ke\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Deret yang diberikan konvergen dan jumlahnya $S=\frac(1)(3)$.

Menjawab: $S=\frac(1)(3)$.

Lanjutan topik mencari jumlah suatu deret akan dibahas pada bagian kedua dan ketiga.

Definisi dasar

Definisi. Jumlah suku-sukunya tidak terhingga urutan nomor disebut deret bilangan.

Dalam hal ini, kita akan menyebut bilangan-bilangan tersebut sebagai anggota deret tersebut, dan un - suku umum deret tersebut.

Definisi. Jumlah, n = 1, 2, ... disebut jumlah hasil bagi (parsial) dari deret tersebut.

Dengan demikian, barisan jumlah parsial dari deret S1, S2, …, Sn, … dapat dipertimbangkan.

Definisi. Suatu deret disebut konvergen jika barisan jumlah parsialnya konvergen. Jumlah suatu deret konvergen adalah limit barisan dari jumlah parsialnya.

Definisi. Jika barisan jumlah parsial suatu deret divergen, mis. tidak mempunyai limit, atau mempunyai limit tak terhingga, maka deret tersebut disebut divergen dan tidak ada jumlah yang diberikan padanya.

Properti Baris

1) Konvergensi atau divergensi suatu deret tidak akan dilanggar jika sejumlah suku dalam deret tersebut diubah, dibuang, atau ditambah.

2) Perhatikan dua deret dan, di mana C adalah bilangan konstan.

Dalil. Jika suatu deret konvergen dan jumlahnya sama dengan S, maka deret tersebut juga konvergen dan jumlahnya sama dengan CS. (C 0)

3) Pertimbangkan dua baris dan. Jumlah atau selisih deret-deret tersebut disebut deret yang unsur-unsurnya diperoleh dari hasil penjumlahan (pengurangan) unsur-unsur asal yang bilangannya sama.

Dalil. Jika deret dan konvergen serta jumlah keduanya berturut-turut sama dengan S dan, maka deret tersebut juga konvergen dan jumlahnya sama dengan S+.

Selisih dua deret konvergen juga akan menjadi deret konvergen.

Jumlah deret konvergen dan deret divergen merupakan deret divergen.

Tidak mungkin membuat pernyataan umum tentang jumlah dua deret divergen.

Saat mempelajari deret, mereka pada dasarnya memecahkan dua masalah: mempelajari konvergensi dan mencari jumlah deret.

Kriteria Cauchy.

(kondisi perlu dan cukup untuk konvergensi deret tersebut)

Agar suatu barisan menjadi konvergen, perlu dan cukup bahwa untuk sembarang barisan terdapat bilangan N sehingga untuk n > N dan sembarang p > 0, dimana p adalah bilangan bulat, maka pertidaksamaan berlaku:

Bukti. (kebutuhan)

Misalkan untuk sembarang bilangan ada bilangan N sedemikian rupa sehingga terjadi pertidaksamaan

terpenuhi ketika n>N. Untuk n>N dan bilangan bulat apa pun p>0, pertidaksamaan juga berlaku. Dengan mempertimbangkan kedua pertidaksamaan tersebut, kita memperoleh:

Kebutuhannya telah terbukti. Kami tidak akan mempertimbangkan bukti kecukupan.

Mari kita rumuskan kriteria Cauchy untuk deret tersebut.

Agar suatu deret konvergen, maka untuk sembarang deret harus terdapat bilangan N sehingga untuk n>N dan sembarang p>0 maka pertidaksamaan tersebut akan berlaku.

Namun, dalam praktiknya, menggunakan kriteria Cauchy secara langsung sangatlah tidak nyaman. Oleh karena itu, sebagai aturan, uji konvergensi yang lebih sederhana digunakan:

1) Jika deret tersebut konvergen, maka suku persekutuan un harus cenderung nol. Namun kondisi ini belum cukup. Kita hanya dapat mengatakan bahwa jika suku persekutuannya tidak cenderung nol, maka deret tersebut pasti divergen. Misalnya, deret harmonik disebut divergen, meskipun suku umumnya cenderung nol.

Seri angka. Konvergensi dan divergensi deret bilangan. Uji konvergensi D'Alembert. Seri bergantian. Konvergensi deret mutlak dan bersyarat. Seri fungsional. Seri kekuatan. Penguraian fungsi dasar dalam seri Maclaurin.

Pedoman pada topik 1.4:

Seri nomor:

Deret bilangan merupakan penjumlahan dari suatu bentuk

dimana angkanya kamu 1, kamu 2, kamu 3, n n, disebut anggota suatu deret, membentuk suatu barisan yang tak terhingga; istilah un disebut suku umum deret tersebut.

. . . . . . . . .

terdiri dari suku-suku pertama deret tersebut (27.1) disebut jumlah parsial deret tersebut.

Setiap baris dapat dikaitkan dengan urutan jumlah parsial S1, S2, S3. Jika, dengan pertambahan bilangan n yang tak terhingga, jumlah parsial deret tersebut S n cenderung pada batasnya S, maka deret tersebut disebut konvergen, dan bilangan S- jumlah deret konvergen, mis.

Entri ini setara dengan

Jika jumlah sebagian S n seri (27.1) dengan peningkatan tidak terbatas N tidak mempunyai limit berhingga (khususnya cenderung + ¥ atau ke - ¥), maka deret seperti itu disebut divergen

Jika deret tersebut konvergen, maka nilainya S n karena n yang cukup besar adalah ekspresi perkiraan jumlah deret tersebut S.

Perbedaan r n = S - S n disebut sisa seri. Jika deret tersebut konvergen, maka sisanya cenderung nol, yaitu. r n = 0, begitu pula sebaliknya, jika sisanya cenderung nol maka deret tersebut konvergen.

Serangkaian bentuk disebut deret geometri.

ditelepon harmonis.

Jika N®¥, kalau begitu S n®¥, yaitu. deret harmoniknya divergen.

Contoh 1. Tulislah suatu deret berdasarkan suku persekutuannya:

1) dengan memasukkan n = 1, n = 2, n = 3, kita mempunyai barisan bilangan tak terhingga: , , , Menjumlahkan suku-sukunya, kita memperoleh deret tersebut

2) Dengan melakukan hal yang sama, kita mendapatkan serinya

3) Memberikan n nilai 1, 2, 3, dan mengingat 1! = 1, 2! = 1 × 2,3! = 1 × 2 × 3, kita peroleh deretnya

Contoh 2. Temukan N-Anggota deret tersebut menurut bilangan pertamanya yang diberikan:

1) ; 2) ; 3) .

Contoh 3. Tentukan jumlah suku-suku deret tersebut:

2) .

1) Temukan jumlah parsial suku-suku deret tersebut:

; ;

… .

Mari kita tuliskan barisan jumlah sebagiannya: …, , … .

Suku umum barisan ini adalah. Karena itu,

.

Barisan jumlah parsial mempunyai limit sama dengan . Jadi, deret tersebut konvergen dan jumlahnya sama dengan .

2) Jumlahnya semakin berkurang perkembangan geometri, di mana a 1 = , q= . Dengan menggunakan rumus tersebut, diperoleh: Artinya deret tersebut konvergen dan jumlahnya sama dengan 1.

Konvergensi dan divergensi deret bilangan. Tanda konvergensi d'Alembert :

Tanda penting dari konvergensi suatu deret. Suatu deret hanya dapat konvergen jika suku persekutuannya adalah kamu n dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N cenderung nol:

Jika , maka deretnya divergen - ini merupakan tanda cukup kelarutan deret tersebut.

Cukup tanda-tanda kekonvergenan suatu deret dengan suku-suku positif.

Tanda untuk membandingkan deret dengan suku positif. Deret yang diteliti konvergen jika suku-sukunya tidak melebihi suku-suku yang bersesuaian dari deret lain yang jelas-jelas konvergen; deret yang diteliti divergen jika anggotanya melebihi anggota deret lain yang jelas-jelas berbeda.

Saat mempelajari deret konvergensi dan kelarutan berdasarkan kriteria ini, deret geometri sering digunakan

yang konvergen di |q|

,

menjadi berbeda.

Saat mempelajari deret, deret harmonik umum juga digunakan

.

Jika P= 1, maka deret tersebut menjadi deret harmonik yang divergen.

Jika P< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При P> 1 kita mempunyai deret geometri yang | Q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при P> 1 dan divergen di P£1.

tanda D'Alembert. Jika untuk suatu deret dengan suku positif

(kamu n >0)

syarat terpenuhi, maka deret tersebut konvergen di aku aku > 1.

Tanda D'Alembert tidak memberikan jawaban jika aku= 1. Dalam hal ini, teknik lain digunakan untuk mempelajari rangkaian tersebut.

Seri bergantian.

Konvergensi deret mutlak dan bersyarat:

Seri angka

kamu 1 + kamu 2 + kamu 3 + kamu n

Disebut bolak-balik jika di antara anggota-anggotanya terdapat bilangan positif dan bilangan negatif.

Suatu deret bilangan disebut bolak-balik jika ada dua suku yang bertetangga mempunyai tanda yang berlawanan. Deret ini merupakan kasus khusus dari deret bolak-balik.

Uji konvergensi rangkaian bolak-balik. Jika suku-suku suatu deret bolak-balik berkurang secara monoton nilai mutlak dan anggota biasa kamu n cenderung nol sebagai N® , maka deret tersebut konvergen.

Suatu deret dikatakan konvergen mutlak jika deret tersebut juga konvergen. Jika suatu deret konvergen mutlak, maka deret tersebut konvergen (dalam pengertian biasa). Pernyataan sebaliknya tidak benar. Suatu deret disebut konvergen bersyarat jika deret itu sendiri konvergen, dan deret yang tersusun dari modulus anggota-anggotanya divergen. Contoh 4. Periksa konvergensi deret tersebut .

Mari kita terapkan uji memadai Leibniz untuk deret bolak-balik. Kita mendapatkan karena . Oleh karena itu, deret ini konvergen. Contoh 5. Periksa deret tersebut untuk konvergensi .

Mari kita coba menerapkan kriteria Leibniz: Terlihat bahwa modulus suku umum tidak cenderung nol ketika n → ∞. Oleh karena itu, rangkaian ini menyimpang. Contoh 6. Tentukan apakah suatu deret konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.

Menerapkan uji d'Alembert pada deret yang terdiri dari modul-modul suku-suku yang bersesuaian, kami menemukan Oleh karena itu, deret ini konvergen secara mutlak.

Contoh 7. Periksa deret bolak-balik tanda untuk mengetahui konvergensi (mutlak atau bersyarat):

1) Suku-suku deret ini mengalami penurunan nilai absolut secara monoton Dan . Oleh karena itu, menurut kriteria Leibniz, deret tersebut konvergen. Mari kita cari tahu apakah deret ini konvergen secara mutlak atau kondisional.

2) Suku-suku deret ini mengalami penurunan nilai absolut secara monoton: , Tetapi

.

Baris fungsional:

Deret bilangan beraturan terdiri dari bilangan-bilangan:

Semua anggota seri - Ini angka.

Seri fungsional terdiri dari fungsi:

Selain polinomial, faktorial, dll., suku umum deret tersebut tentu huruf "x" disertakan. Misalnya, tampilannya seperti ini: . Seperti deret bilangan, deret fungsional apa pun dapat ditulis dalam bentuk diperluas:

Seperti yang Anda lihat, semua anggota deret fungsional adalah fungsi.

Jenis seri fungsional yang paling populer adalah seri kekuatan.

Seri kekuatan:

Seri kekuatan disebut rangkaian bentuk

,

dimana angkanya a 0, a 1, a 2, dan n disebut koefisien deret, dan suku sebuah n x n- anggota umum dari seri ini.

Area konvergensi seri kekuatan disebut himpunan semua nilai X, yang menjadi tujuan konvergensi deret ini.

Nomor R disebut jari-jari konvergensi deret tersebut jika di | x| deret tersebut menyatu.

Contoh 8. Diberikan suatu deret

Selidiki konvergensinya pada titik-titik X= 1 dan X= 3, X= -2.

Jika x = 1 maka deret tersebut berubah menjadi deret bilangan

.

Mari kita selidiki konvergensi deret ini menggunakan kriteria D'Alembert. Kita punya

itu. deret tersebut menyatu.

Untuk x = 3 kita mendapatkan deretnya

Yang menyimpang karena kriteria yang diperlukan untuk konvergensi suatu deret tidak terpenuhi

Untuk x = -2 kita peroleh

Ini adalah deret bolak-balik, yang menurut kriteria Leibniz, konvergen.

Jadi, pada poin-poin X= 1 dan X= -2. deret tersebut konvergen dan pada suatu titik X= 3 menyimpang.

Perluasan fungsi dasar dalam deret Maclaurin:

Dekat Taylor untuk fungsi f(x) disebut deret pangkat dari bentuk tersebut

Deret bilangan adalah barisan yang dianggap bersama dengan barisan lain (disebut juga barisan jumlah parsial). Konsep serupa digunakan dalam analisis matematika dan kompleks.

Jumlah suatu deret angka dapat dengan mudah dihitung di Excel menggunakan fungsi SERIES.SUM. Mari kita lihat contoh cara kerja fungsi ini, lalu buat grafik fungsi tersebut. Mari pelajari cara menggunakan deret angka dalam praktiknya saat menghitung pertumbuhan modal. Tapi pertama-tama, sedikit teori.

Jumlah seri angka

Deret bilangan dapat dianggap sebagai sistem perkiraan bilangan. Untuk menunjuknya, gunakan rumus:

Berikut barisan awal bilangan pada deret tersebut dan aturan penjumlahannya:

• ∑ - tanda matematika dari jumlah tersebut;
• a i - argumen umum;
• i adalah variabel, aturan untuk mengubah setiap argumen berikutnya;
• ∞ adalah tanda tak terhingga, “batas” hingga penjumlahan dilakukan.

Notasinya berarti: bilangan asli dari 1 sampai “plus tak terhingga” dijumlahkan. Karena i = 1, maka perhitungan penjumlahannya dimulai dari satu. Jika ada angka lain di sini (misalnya, 2, 3), maka kita akan mulai menjumlahkannya (dari 2, 3).

Sesuai dengan variabel i, deret tersebut dapat ditulis diperluas:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (sampai “plus tak terhingga”).

Definisi jumlah suatu deret bilangan diberikan melalui “jumlah parsial”. Dalam matematika mereka dilambangkan Sn. Mari kita tulis deret bilangan kita dalam bentuk penjumlahan parsial:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Jumlah suatu deret bilangan adalah limit jumlah parsial S n . Jika limitnya berhingga, kita menyebutnya deret “konvergen”. Tak Terbatas - tentang "divergen".

Pertama, mari kita cari jumlah deret bilangannya:

Sekarang mari kita buat tabel nilai anggota deret di Excel:

Kita ambil argumen umum pertama dari rumus: i=3.

Kami menemukan semua nilai i berikut menggunakan rumus: =B4+$B$1. Tempatkan kursor di pojok kanan bawah sel B5 dan kalikan rumusnya.

Mari kita temukan nilainya. Aktifkan sel C4 dan masukkan rumus: =SUM(2*B4+1). Salin sel C4 ke rentang yang ditentukan.

Nilai jumlah argumen diperoleh dengan menggunakan fungsi: =SUM(C4:C11). Kombinasi tombol pintas ALT+“+” (plus pada keyboard).



Fungsi ROW.SUM di Excel

Untuk mencari jumlah deret angka di Excel, gunakan fungsi matematika SERIES.SUM. Program ini menggunakan rumus berikut:

Argumen fungsi:

• x – nilai variabel;
• n – derajat untuk argumen pertama;
• m adalah langkah peningkatan derajat untuk setiap suku berikutnya;
• a adalah koefisien pangkat x yang bersesuaian.

Kondisi penting agar fungsi dapat berfungsi:

• semua argumen wajib diisi (yaitu, semua harus diisi);
• semua argumen adalah nilai NUMERIK;
• vektor koefisien memiliki panjang yang tetap (batas “tak terhingga” tidak akan berfungsi);
• jumlah “koefisien” = jumlah argumen.

Menghitung jumlah deret di Excel

Fungsi SERIES.SUM yang sama bekerja dengan deret pangkat (salah satu varian deret fungsional). Berbeda dengan argumen numerik, argumennya adalah fungsi.

Deret fungsional sering digunakan dalam bidang keuangan dan ekonomi. Bisa dibilang ini adalah area aplikasi mereka.

Misalnya, mereka menyimpan sejumlah uang (a) di bank untuk jangka waktu tertentu (n). Kami memiliki pembayaran tahunan sebesar x persen. Untuk menghitung jumlah yang masih harus dibayar pada akhir periode pertama digunakan rumus:

S 1 = a (1 + x).

Pada akhir periode kedua dan selanjutnya, bentuk ungkapannya adalah sebagai berikut:

S 2 = a (1 + x) 2 ; S 3 = a (1 + x) 2, dst.

Untuk mencari totalnya:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Jumlah sebagian di Excel dapat ditemukan menggunakan fungsi BS().

Parameter awal untuk tugas pelatihan:

Dengan menggunakan fungsi matematika standar, kita mencari jumlah akumulasi di akhir suku. Untuk melakukan ini, di sel D2 kita menggunakan rumus: =B2*DEGREE(1+B3;4)

Sekarang di sel D3 kita akan menyelesaikan masalah yang sama menggunakan fungsi bawaan Excel: =BS(B3;B1;;-B2)

Hasilnya sama saja, sebagaimana mestinya.

Cara mengisi argumen fungsi BS():

1. “Suku Bunga” adalah tingkat bunga yang digunakan untuk menyetorkan. Karena format persentase diatur di sel B3, kami cukup menentukan tautan ke sel ini di bidang argumen. Jika suatu bilangan ditentukan, maka akan ditulis seperseratusnya (20/100).
2. “Nper” adalah jumlah periode pembayaran bunga. Dalam contoh kita – 4 tahun.
3. "Plt" - pembayaran berkala. Dalam kasus kami, tidak ada satu pun. Oleh karena itu, kami tidak mengisi kolom argumen.
4. "Ps" - "nilai sekarang", jumlah deposit. Karena kami berpisah dengan uang ini untuk sementara waktu, kami menunjukkan parameternya dengan tanda “-”.

Jadi, fungsi BS membantu kita menemukan jumlah deret fungsional.

Excel memiliki fungsi bawaan lainnya untuk menemukan parameter yang berbeda. Biasanya ini adalah fungsi untuk bekerja dengan proyek investasi, sekuritas, dan pembayaran depresiasi.

Merencanakan fungsi jumlah deret bilangan

Mari kita buat grafik fungsi yang mencerminkan pertumbuhan modal. Untuk melakukan ini, kita perlu membuat grafik suatu fungsi yang merupakan jumlah dari deret yang dibangun. Sebagai contoh, mari kita ambil data yang sama pada deposit:

Baris pertama menunjukkan jumlah akumulasi setelah satu tahun. Yang kedua - menjadi dua. Dan seterusnya.

Mari kita buat kolom lain di mana kita akan mencerminkan keuntungannya:

Seperti yang kita duga - di bilah rumus.

Berdasarkan data yang diperoleh, kita akan membuat grafik fungsi.

Mari pilih 2 rentang: A5:A9 dan C5:C9. Buka tab "Sisipkan" - alat "Diagram". Pilih grafik pertama:

Mari kita jadikan masalah ini lebih “terapan”. Dalam contoh kami menggunakan bunga majemuk. Mereka dibebankan pada jumlah yang diperoleh pada periode sebelumnya.

Mari kita ambil minat sederhana sebagai perbandingan. Rumus bunga sederhana di Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Mari tambahkan nilai yang diperoleh ke grafik “Pertumbuhan Modal”.

Jelas kesimpulan apa yang akan diambil investor.

Rumus matematika jumlah parsial suatu deret fungsional (dengan bunga sederhana): S n = a (1 + x*n), dengan a adalah jumlah setoran awal, x adalah bunga, n adalah periode.