Tabel minus demi minus memberikan nilai plus. Tindakan dengan minus

Dua hal negatif menjadi afirmatif- Ini adalah aturan yang kita pelajari di sekolah dan terapkan sepanjang hidup kita. Dan siapa di antara kita yang tertarik pada alasannya? Tentu saja, lebih mudah untuk mengingat pernyataan ini tanpa mengajukan pertanyaan yang tidak perlu dan tidak mendalami inti masalahnya. Sekarang sudah cukup banyak informasi yang perlu “dicerna”. Namun bagi yang masih tertarik dengan pertanyaan tersebut, kami akan mencoba memberikan penjelasan mengenai fenomena matematika tersebut.

Sejak zaman kuno, orang telah menggunakan bilangan asli positif: 1, 2, 3, 4, 5,... Angka digunakan untuk menghitung ternak, hasil panen, musuh, dll. Saat menjumlahkan dan mengalikan dua bilangan positif, Anda selalu mendapatkan bilangan positif; saat membagi satu besaran dengan besaran lain, Anda tidak selalu mendapatkan bilangan bulat- beginilah munculnya bilangan pecahan. Bagaimana dengan pengurangan? Sejak masa kanak-kanak, kita tahu bahwa lebih baik menambahkan lebih sedikit ke lebih banyak dan mengurangi lebih sedikit dari lebih banyak, dan sekali lagi kita tidak menggunakan angka negatif. Ternyata kalau saya punya 10 apel, saya hanya bisa memberi kepada seseorang yang kurang dari 10 atau 10. Tidak mungkin saya bisa memberi 13 apel, karena saya tidak punya. Tidak diperlukan angka negatif untuk waktu yang lama.

Baru sejak abad ke 7 Masehi. Bilangan negatif digunakan dalam beberapa sistem penghitungan sebagai besaran tambahan yang memungkinkan diperolehnya bilangan positif dalam jawabannya.

Mari kita lihat sebuah contoh, 6x – 30 = 3x – 9. Untuk mencari jawabannya, suku-suku yang belum diketahui harus dibiarkan di sebelah kiri, dan sisanya di sebelah kanan: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 Saat menyelesaikan persamaan ini, kami genap Tidak ada bilangan negatif. Kami dapat mentransfer anggota yang tidak dikenal ke sisi kanan, dan tanpa diketahui - ke kiri: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Saat membagi bilangan negatif dengan bilangan negatif, kita mendapat jawaban positif: x = 7.

Apa yang kita lihat?

Tindakan menggunakan angka negatif harus membawa kita pada jawaban yang sama dengan bertindak hanya dengan angka positif. Kita tidak lagi harus memikirkan tentang ketidakmungkinan praktis dan kebermaknaan suatu tindakan - tindakan tersebut membantu kita memecahkan masalah lebih cepat, tanpa mereduksi persamaan menjadi bentuk yang hanya berisi bilangan positif. Dalam contoh kami, kami tidak menggunakan perhitungan yang rumit, tetapi kapan jumlah besar Menjumlahkan perhitungan dengan angka negatif dapat mempermudah pekerjaan kita.

Seiring waktu, setelah percobaan dan perhitungan yang panjang, dimungkinkan untuk mengidentifikasi aturan yang mengatur semua bilangan dan operasi pada bilangan tersebut (dalam matematika disebut aksioma). Dari sinilah asalnya sebuah aksioma yang menyatakan bahwa ketika dua bilangan negatif dikalikan, kita mendapatkan bilangan positif.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

instruksi

Ada empat jenis operasi matematika: penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Oleh karena itu, akan ada empat jenis contoh. Angka negatif dalam contoh disorot agar tidak membingungkan operasi matematika. Misalnya, 6-(-7), 5+(-9), -4*(-3) atau 34:(-17).

Tambahan. Tindakan ini dapat terlihat seperti: 1) 3+(-6)=3-6=-3. Tindakan penggantian: pertama, tanda kurung dibuka, tanda “+” diubah menjadi sebaliknya, kemudian dari angka (modulo) yang lebih besar “6” dikurangi angka yang lebih kecil, “3”, setelah itu jawabannya diberikan tanda yang lebih besar, yaitu “-”.
2) -3+6=3. Ini dapat ditulis menurut prinsip ("6-3") atau menurut prinsip "kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar dan berikan tanda yang lebih besar pada jawabannya."
3) -3+(-6)=-3-6=-9. Saat pembukaan, tindakan penjumlahan diganti dengan pengurangan, kemudian modul-modul dijumlahkan dan hasilnya diberi tanda minus.

Pengurangan.1) 8-(-5)=8+5=13. Tanda kurung dibuka, tanda tindakan dibalik, dan diperoleh contoh penjumlahan.
2) -9-3=-12. Elemen contoh ditambahkan dan diperoleh tanda umum "-".
3) -10-(-5)=-10+5=-5. Saat membuka tanda kurung, tandanya berubah lagi menjadi “+”, lalu bilangan yang lebih kecil dikurangkan dari bilangan yang lebih besar dan tanda bilangan yang lebih besar dihilangkan dari jawabannya.

Perkalian dan pembagian: Saat melakukan perkalian atau pembagian, tandanya tidak mempengaruhi operasi itu sendiri. Pada saat mengalikan atau membagi bilangan dengan jawabannya diberi tanda “minus”, jika bilangan-bilangan tersebut mempunyai tanda yang sama maka hasilnya selalu diberi tanda “plus” 1) -4*9=-36; -6:2=-3.
2)6*(-5)=-30; 45:(-5)=-9.
3)-7*(-8)=56; -44:(-11)=4.

Sumber:

meja dengan kontra

Bagaimana cara memutuskan contoh? Anak-anak sering kali bertanya kepada orang tuanya dengan pertanyaan ini apakah pekerjaan rumah perlu dikerjakan di rumah. Bagaimana cara menjelaskan dengan benar kepada seorang anak penyelesaian contoh penjumlahan dan pengurangan bilangan multi-digit? Mari kita coba mencari tahu.

Anda akan perlu

1. Buku teks matematika.
2. Kertas.
3. Menangani.

instruksi

Baca contohnya. Untuk melakukan ini, bagilah setiap multinilai ke dalam kelas-kelas. Mulai dari akhir bilangan, hitung tiga angka sekaligus dan beri titik (23.867.567). Mari kita ingatkan Anda bahwa tiga digit pertama dari akhir bilangan adalah satuan, tiga digit berikutnya adalah kelas, lalu jutaan. Kita membaca nomornya: dua puluh tiga delapan ratus enam puluh tujuh ribu enam puluh tujuh.

Tuliskan sebuah contoh. Harap dicatat bahwa satuan setiap digit ditulis tepat di bawah satu sama lain: satuan di bawah satuan, puluhan di bawah puluhan, ratusan di bawah ratusan, dll.

Lakukan penjumlahan atau pengurangan. Mulailah melakukan aksi dengan unit. Tuliskan hasilnya di bawah kategori yang Anda gunakan untuk melakukan tindakan tersebut. Jika hasilnya adalah bilangan(), maka kita tuliskan satuan sebagai pengganti jawabannya, dan tambahkan bilangan puluhan pada satuan digit tersebut. Jika jumlah satuan digit mana pun di minuend lebih kecil daripada di pengurang, kita ambil 10 satuan digit berikutnya dan melakukan tindakan.

Baca jawabannya.

Video tentang topik tersebut

catatan

Larang anak Anda menggunakan kalkulator bahkan untuk memeriksa penyelesaian dengan sebuah contoh. Penjumlahan diuji dengan pengurangan, dan pengurangan diuji dengan penjumlahan.

Saran yang bermanfaat

Jika seorang anak menguasai teknik perhitungan tertulis dalam 1000, maka operasi dengan bilangan multi-digit yang dilakukan dengan cara analog tidak akan menimbulkan kesulitan.
Berikan anak Anda kompetisi untuk melihat berapa banyak contoh yang bisa dia pecahkan dalam 10 menit. Pelatihan semacam itu akan membantu mengotomatiskan teknik komputasi.

Perkalian adalah salah satu dari empat operasi matematika dasar yang mendasari banyak operasi lainnya fungsi yang kompleks. Selain itu, perkalian sebenarnya didasarkan pada operasi penjumlahan: pengetahuan tentang hal ini memungkinkan Anda menyelesaikan contoh apa pun dengan benar.

Untuk memahami esensi operasi perkalian, perlu diperhatikan bahwa ada tiga komponen utama yang terlibat di dalamnya. Salah satunya disebut faktor pertama dan merupakan bilangan yang dilakukan operasi perkalian. Karena alasan ini, ia memiliki nama kedua yang kurang umum - “dapat dikalikan”. Komponen kedua dari operasi perkalian biasanya disebut faktor kedua: komponen ini mewakili bilangan yang digunakan untuk mengalikan perkalian. Jadi, kedua komponen ini disebut pengganda, yang menekankan status kesetaraannya, serta fakta bahwa keduanya dapat ditukar: hasil perkaliannya tidak akan berubah. Terakhir, komponen ketiga dari operasi perkalian, yang dihasilkan dari hasilnya, disebut hasil kali.

Urutan operasi perkalian

Inti dari operasi perkalian didasarkan pada yang lebih sederhana operasi aritmatika- . Faktanya, perkalian adalah jumlah dari faktor pertama, atau perkalian, beberapa kali yang sesuai dengan faktor kedua. Misalnya, untuk mengalikan 8 dengan 4, Anda perlu menjumlahkan angka 8 sebanyak 4 kali sehingga menghasilkan 32. Cara ini selain memberikan pemahaman tentang esensi operasi perkalian, juga dapat digunakan untuk memeriksa hasil yang diperoleh. saat menghitung produk yang diinginkan. Harus diingat bahwa verifikasi tentu mengasumsikan bahwa istilah-istilah yang terlibat dalam penjumlahan adalah identik dan sesuai dengan faktor pertama.

Memecahkan contoh perkalian

Oleh karena itu, untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perlunya melakukan perkalian, mungkin cukup dengan menjumlahkan beberapa kali saja. nomor yang diperlukan pengganda pertama. Metode ini nyaman untuk melakukan hampir semua perhitungan yang terkait dengan operasi ini. Pada saat yang sama, dalam matematika sering kali terdapat bilangan standar yang melibatkan bilangan bulat satu digit standar. Untuk memudahkan penghitungannya, apa yang disebut sistem perkalian telah dibuat, yang mencakup daftar lengkap produk bilangan bulat positif satu digit, yaitu bilangan dari 1 hingga 9. Jadi, setelah Anda mempelajarinya, Anda dapat secara signifikan memudahkan proses penyelesaian contoh perkalian, berdasarkan penggunaan bilangan tersebut. Namun, untuk opsi yang lebih kompleks, hal ini perlu diterapkan operasi matematika sendiri.

Video tentang topik tersebut

Sumber:

Perkalian pada tahun 2019

Perkalian adalah salah satu dari empat operasi aritmatika dasar yang sering digunakan baik di sekolah maupun di sekolah Kehidupan sehari-hari. Bagaimana cara mengalikan dua angka dengan cepat?

Dasar dari perhitungan matematika yang paling rumit adalah empat operasi aritmatika dasar: pengurangan, penjumlahan, perkalian dan pembagian. Selain itu, meskipun independen, operasi-operasi ini, jika diteliti lebih dekat, ternyata saling berhubungan. Ada hubungan seperti itu, misalnya, antara penjumlahan dan perkalian.

Operasi perkalian angka

Ada tiga elemen utama yang terlibat dalam operasi perkalian. Yang pertama, biasa disebut faktor pertama atau perkalian, adalah bilangan yang akan dilakukan operasi perkalian. Faktor kedua, disebut faktor kedua, adalah bilangan yang akan digunakan untuk mengalikan faktor pertama. Terakhir, hasil operasi perkalian yang dilakukan paling sering disebut perkalian.

Perlu diingat bahwa hakikat operasi perkalian sebenarnya didasarkan pada penjumlahan: untuk melaksanakannya, perlu menjumlahkan sejumlah faktor pertama, dan jumlah suku dari jumlah tersebut harus sama dengan yang kedua. faktor. Selain menghitung hasil perkalian kedua faktor tersebut, algoritma ini juga dapat digunakan untuk memeriksa hasil yang dihasilkan.

Contoh penyelesaian soal perkalian

Mari kita lihat solusi soal perkalian. Misalkan, menurut ketentuan soal, perlu menghitung hasil kali dua bilangan, yang faktor pertamanya adalah 8, dan faktor kedua adalah 4. Sesuai dengan definisi operasi perkalian, ini sebenarnya berarti Anda perlu menjumlahkan angka 8 sebanyak 4 kali, hasilnya 32 adalah hasil perkalian angka-angka yang dimaksud, yaitu hasil perkaliannya.

Selain itu, harus diingat bahwa apa yang disebut hukum komutatif berlaku pada operasi perkalian, yang menyatakan bahwa mengubah tempat faktor-faktor pada contoh awal tidak akan mengubah hasilnya. Jadi, Anda dapat menjumlahkan angka 4 sebanyak 8 kali, sehingga menghasilkan hasil kali yang sama - 32.

Tabel perkalian

Jelas bahwa menyelesaikan sejumlah besar contoh serupa dengan cara ini adalah tugas yang agak membosankan. Untuk memudahkan tugas ini, apa yang disebut perkalian diciptakan. Faktanya, ini adalah daftar produk bilangan bulat positif satu digit. Sederhananya, tabel perkalian adalah kumpulan hasil perkalian satu sama lain dari 1 sampai 9. Setelah Anda mempelajari tabel ini, Anda tidak perlu lagi menggunakan perkalian setiap kali Anda perlu menyelesaikan contohnya. bilangan prima, tapi ingat saja hasilnya.

Video tentang topik tersebut

Mendengarkan guru matematika, sebagian besar siswa mempersepsikan materi sebagai aksioma. Pada saat yang sama, hanya sedikit orang yang mencoba memahaminya dan mencari tahu mengapa "minus" dengan "plus" memberikan tanda "minus", dan ketika dua angka negatif dikalikan, hasilnya positif.

Hukum matematika

Kebanyakan orang dewasa tidak dapat menjelaskan kepada diri mereka sendiri atau anak-anak mereka mengapa hal ini terjadi. Mereka dengan tegas menguasai materi ini di sekolah, tetapi bahkan tidak mencoba mencari tahu dari mana aturan tersebut berasal. Namun sia-sia. Seringkali, anak-anak modern tidak begitu mudah tertipu; mereka perlu memahami segala sesuatunya dan memahami, misalnya, mengapa “plus” dan “minus” menghasilkan “minus”. Dan terkadang anak tomboi sengaja menanyakan pertanyaan rumit untuk menikmati momen ketika orang dewasa tidak bisa memberikan jawaban yang masuk akal. Dan sungguh bencana jika seorang guru muda mendapat masalah...

Omong-omong, perlu diperhatikan bahwa aturan yang disebutkan di atas berlaku untuk perkalian dan pembagian. Hasil kali bilangan negatif dan positif hanya akan menghasilkan “minus”. Jika kita berbicara tentang dua angka yang bertanda “-”, maka hasilnya adalah bilangan positif. Hal yang sama berlaku untuk pembagian. Jika salah satu bilangannya negatif, maka hasil bagi tersebut juga akan diberi tanda “-”.

Untuk menjelaskan kebenaran hukum matematika ini, perlu dirumuskan aksioma ring. Tapi pertama-tama Anda perlu memahami apa itu. Dalam matematika, ring biasanya disebut himpunan yang melibatkan dua operasi dengan dua elemen. Tapi lebih baik memahami ini dengan sebuah contoh.

Aksioma dering

Ada beberapa hukum matematika.

Yang pertama bersifat komutatif, menurutnya C + V = V + C.
Yang kedua disebut asosiatif (V + C) + D = V + (C + D).

Perkalian (V x C) x D = V x (C x D) juga mematuhinya.

Tidak ada yang membatalkan aturan buka kurung (V + C) x D = V x D + C x D, benar juga C x (V + D) = C x V + C x D.

Selain itu, telah ditetapkan bahwa elemen khusus penjumlahan-netral dapat dimasukkan ke dalam ring, bila digunakan yang berikut ini akan berlaku: C + 0 = C. Selain itu, untuk setiap C ada elemen yang berlawanan, yang dapat dinotasikan sebagai (-C). Dalam hal ini, C + (-C) = 0.

Penurunan aksioma untuk bilangan negatif

Setelah menerima pernyataan-pernyataan di atas, kita dapat menjawab pertanyaan: “Plus dan minus memberi tanda apa?” Mengetahui aksioma perkalian bilangan negatif, perlu dipastikan bahwa memang (-C) x V = -(C x V). Dan juga persamaan berikut ini benar: (-(-C)) = C.

Untuk melakukan ini, pertama-tama Anda harus membuktikan bahwa setiap elemen hanya memiliki satu “saudara” yang berlawanan dengannya. Perhatikan contoh pembuktian berikut. Mari kita coba bayangkan bahwa untuk C ada dua bilangan yang berlawanan - V dan D. Oleh karena itu C + V = 0 dan C + D = 0, yaitu C + V = 0 = C + D. Mengingat hukum pergantian dan tentang sifat-sifat bilangan 0, kita dapat memperhatikan jumlah ketiga bilangan tersebut: C, V dan D. Mari kita coba mencari nilai V. Logikanya V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, karena nilai C + D seperti asumsi di atas sama dengan 0. Artinya V = V + C + D.

Nilai D diturunkan dengan cara yang sama: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Berdasarkan hal tersebut, menjadi jelas bahwa V = D.

Untuk memahami mengapa “plus” ke “minus” masih menghasilkan “minus”, Anda perlu memahami hal berikut. Jadi, untuk unsur (-C), C dan (-(-C)) berlawanan, yaitu sama besar satu sama lain.

Maka jelaslah bahwa 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Maka C x V adalah kebalikan dari (-)C x V, yang artinya (- C) x V = -(C x V).

Untuk ketelitian matematis yang lengkap, perlu juga dipastikan bahwa 0 x V = 0 untuk elemen apa pun. Jika mengikuti logika, maka 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Artinya, menjumlahkan hasil kali 0 x V tidak mengubah jumlah yang ditetapkan dengan cara apa pun. Bagaimanapun, hasil kali ini sama dengan nol.

Mengetahui semua aksioma ini, Anda tidak hanya dapat menyimpulkan berapa banyak yang dihasilkan "plus" dan "minus", tetapi juga apa yang terjadi ketika mengalikan bilangan negatif.

Mengalikan dan membagi dua bilangan dengan tanda “-”.

Jika Anda tidak mendalami nuansa matematika, Anda dapat mencoba lebih lanjut dengan cara yang sederhana Jelaskan aturan menangani bilangan negatif.

Misalkan C - (-V) = D, berdasarkan ini, C = D + (-V), yaitu C = D - V. Kita pindahkan V dan kita peroleh C + V = D. Yaitu, C + V = C - (-V). Contoh ini menjelaskan mengapa dalam ekspresi di mana ada dua “minus” berturut-turut, tanda-tanda tersebut harus diubah menjadi “plus”. Sekarang mari kita lihat perkalian.

(-C) x (-V) = D, Anda dapat menjumlahkan dan mengurangi dua hasil kali identik ke ekspresi tersebut, yang tidak akan mengubah nilainya: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.

Mengingat aturan untuk bekerja dengan tanda kurung, kita mendapatkan:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Maka C x V = (-C) x (-V).

Demikian pula, Anda dapat membuktikan bahwa membagi dua bilangan negatif akan menghasilkan bilangan positif.

Aturan matematika umum

Tentu saja penjelasan ini kurang cocok untuk anak sekolah kelas junior yang baru mulai mempelajari bilangan negatif abstrak. Sebaiknya mereka menjelaskan pada objek yang terlihat, memanipulasi istilah di balik kaca yang mereka kenal. Misalnya, mainan yang ditemukan tetapi tidak ada ada di sana. Mereka dapat ditampilkan dengan tanda “-”. Mengalikan dua benda cermin akan memindahkannya ke dunia lain, yang disamakan dengan dunia nyata, sehingga kita mendapatkan bilangan positif. Namun mengalikan bilangan abstrak negatif dengan bilangan positif hanya akan memberikan hasil yang familiar bagi semua orang. Lagi pula, “plus” dikalikan dengan “minus” menghasilkan “minus”. Benar, anak-anak tidak terlalu berusaha memahami semua nuansa matematika.

Meskipun, jujur saja, bagi banyak orang, bahkan dengan pendidikan yang lebih tinggi Banyak aturan yang masih menjadi misteri. Setiap orang menerima begitu saja apa yang diajarkan guru kepada mereka, tanpa kesulitan menggali semua kerumitan yang disembunyikan matematika. "Minus" untuk "minus" menghasilkan "plus" - semua orang, tanpa kecuali, mengetahui hal ini. Hal ini berlaku untuk bilangan bulat dan pecahan.

"Musuh dari musuhku adalah temanku"

Mengapa minus satu dikali minus satu sama dengan tambah satu? Mengapa minus satu dikalikan plus satu sama dengan minus satu? Jawaban termudah adalah: “Karena ini adalah aturan pengoperasian bilangan negatif.” Aturan yang kita pelajari di sekolah dan terapkan sepanjang hidup kita. Namun, buku pelajaran tidak menjelaskan mengapa peraturan tersebut berlaku demikian. Pertama-tama kita akan mencoba memahaminya berdasarkan sejarah perkembangan aritmatika, dan kemudian kita akan menjawab pertanyaan ini dari sudut pandang matematika modern.

Dahulu kala, orang-orang hanya mengetahui bilangan asli: bilangan digunakan untuk menghitung peralatan, jarahan, musuh, dan lain-lain. Namun bilangan itu sendiri tidak berguna - Anda harus mampu menanganinya. Penjumlahan jelas dan dapat dimengerti, dan selain itu, penjumlahan dua bilangan asli juga merupakan bilangan asli (seorang ahli matematika akan mengatakan bahwa himpunan bilangan asli ditutup pada operasi penjumlahan). Perkalian pada dasarnya sama dengan penjumlahan jika kita berbicara tentang bilangan asli. Dalam kehidupan, kita sering melakukan tindakan yang berkaitan dengan kedua operasi ini (misalnya, saat berbelanja, kita menjumlahkan dan mengalikan), dan aneh jika kita berpikir bahwa nenek moyang kita lebih jarang menjumpainya - penjumlahan dan perkalian sudah dikuasai umat manusia sejak lama. yang lalu. Seringkali Anda harus membagi beberapa besaran dengan besaran lain, tetapi di sini hasilnya tidak selalu dinyatakan sebagai bilangan asli - begitulah bilangan pecahan muncul.

Tentu saja, pengurangan juga tidak dapat dilakukan. Namun dalam praktiknya, kita biasanya mengurangkan bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang lebih besar, dan tidak perlu menggunakan bilangan negatif. (Jika saya mempunyai permen dan saya memberikannya kepada saudara perempuan saya, maka saya akan mempunyai sisa permen, tetapi saya tidak dapat memberikan permen kepadanya meskipun saya ingin.) Hal ini dapat menjelaskan mengapa orang sudah lama tidak menggunakan bilangan negatif.

Angka negatif telah muncul dalam dokumen India sejak abad ke-7 M; Orang Cina rupanya mulai menggunakannya lebih awal. Mereka digunakan untuk menghitung hutang atau perhitungan perantara untuk menyederhanakan solusi persamaan - itu hanya alat untuk mendapatkan jawaban positif. Fakta bahwa angka negatif, tidak seperti angka positif, tidak menunjukkan keberadaan entitas apa pun menyebabkan ketidakpercayaan yang kuat. Orang benar-benar menghindari angka negatif: jika suatu soal memiliki jawaban negatif, mereka percaya bahwa tidak ada jawaban sama sekali. Ketidakpercayaan ini bertahan untuk waktu yang sangat lama, dan bahkan Descartes - salah satu "pendiri" matematika modern - menyebutnya "salah" (pada abad ke-17!).

Mari kita perhatikan persamaan tersebut sebagai contoh. Penyelesaiannya bisa seperti ini: pindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke ruas kiri, dan sisanya ke kanan, ternyata , , . Dengan solusi ini, kami bahkan tidak menemukan angka negatif.

Namun ada kemungkinan untuk melakukannya secara berbeda secara tidak sengaja: pindahkan suku yang tidak diketahui ke sisi kanan dan dapatkan , . Untuk menemukan bilangan yang tidak diketahui, Anda perlu membagi satu bilangan negatif dengan bilangan negatif lainnya: . Namun jawaban yang benar telah diketahui, dan masih dapat disimpulkan bahwa.

Apa yang ditunjukkan oleh contoh sederhana ini? Pertama, logika yang menentukan aturan tindakan pada bilangan negatif menjadi jelas: hasil tindakan tersebut harus sesuai dengan jawaban yang diperoleh dengan cara yang berbeda, tanpa bilangan negatif. Kedua, dengan mengizinkan penggunaan bilangan negatif, kita menghilangkan pencarian solusi yang membosankan (jika persamaannya menjadi lebih rumit, dengan jumlah suku yang banyak) di mana semua tindakan hanya dilakukan pada bilangan asli. Selain itu, kita mungkin tidak lagi memikirkan kebermaknaan besaran yang diubah setiap saat - dan ini sudah merupakan langkah menuju transformasi matematika menjadi ilmu abstrak.

Aturan pengoperasian bilangan negatif tidak serta merta dibentuk, tetapi menjadi generalisasi dari berbagai contoh yang muncul dalam penyelesaian masalah terapan. Secara umum perkembangan matematika dapat dibagi menjadi beberapa tahapan: masing-masing tahap selanjutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan tingkat abstraksi baru ketika mempelajari objek. Jadi, pada abad ke-19, para ahli matematika menyadari bahwa bilangan bulat dan polinomial, terlepas dari semua perbedaan eksternalnya, memiliki banyak kesamaan: keduanya dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan. Operasi-operasi ini tunduk pada hukum yang sama - baik dalam hal bilangan maupun polinomial. Namun membagi bilangan bulat satu sama lain sehingga hasilnya menjadi bilangan bulat lagi tidak selalu memungkinkan. Sama halnya dengan polinomial.

Kemudian kumpulan objek matematika lain ditemukan di mana operasi serupa dapat dilakukan: formal seri kekuatan, fungsi kontinu... Akhirnya, muncul pemahaman bahwa jika Anda mempelajari sifat-sifat operasi itu sendiri, maka hasilnya dapat diterapkan pada semua kumpulan objek ini (pendekatan ini merupakan karakteristik dari semua matematika modern).

Alhasil, muncullah konsep baru: cincin. Itu hanyalah sekumpulan elemen ditambah tindakan yang dapat dilakukan pada elemen tersebut. Aturan fundamental di sini justru aturan (disebut aksioma) yang menjadi subjek tindakan, dan bukan sifat elemen himpunan (ini dia, tingkat baru abstraksi!). Ingin menekankan bahwa yang penting adalah struktur yang muncul setelah memperkenalkan aksioma, ahli matematika mengatakan: ring bilangan bulat, ring polinomial, dll. Berdasarkan aksioma, sifat-sifat ring lainnya dapat disimpulkan.

Kita akan merumuskan aksioma-aksioma ring (yang tentunya serupa dengan aturan pengoperasian bilangan bulat), dan kemudian membuktikan bahwa pada ring mana pun, mengalikan minus dengan minus akan menghasilkan plus.

Ring adalah himpunan dengan dua operasi biner (yaitu, setiap operasi melibatkan dua elemen ring), yang secara tradisional disebut penjumlahan dan perkalian, dan aksioma berikut:

Perhatikan bahwa gelanggang, dalam konstruksi paling umum, tidak memerlukan komutabilitas perkalian, atau invertibilitasnya (yaitu, pembagian tidak selalu dapat dilakukan), atau keberadaan satuan - elemen netral dalam perkalian. Jika kita memperkenalkan aksioma ini, kita mendapatkan struktur aljabar yang berbeda, tetapi di dalamnya semua teorema yang dibuktikan untuk gelanggang akan benar.

Sekarang mari kita buktikan bahwa untuk sembarang elemen dan gelanggang sembarang, hal ini benar, pertama, , dan kedua, . Pernyataan tentang satuan dengan mudah mengikuti dari ini: dan .

Untuk melakukan ini kita perlu menetapkan beberapa fakta. Pertama kita buktikan bahwa setiap unsur hanya mempunyai satu kebalikan. Faktanya, suatu elemen mempunyai dua hal yang berlawanan: dan . Itu adalah . Mari kita pertimbangkan jumlahnya. Dengan menggunakan hukum asosiatif dan komutatif serta sifat nol, kita menemukan bahwa, di satu sisi, jumlahnya sama dengan , dan di sisi lain, sama dengan . Cara, .

Perhatikan sekarang bahwa keduanya dan merupakan kebalikan dari unsur yang sama, jadi keduanya harus sama.

Fakta pertama ternyata seperti ini: yaitu berlawanan, artinya setara.

Agar lebih teliti secara matematis, mari kita jelaskan alasannya untuk elemen apa pun. Memang, . Artinya, penambahan tidak mengubah jumlahnya. Artinya hasil kali ini sama dengan nol.

Dan fakta bahwa ada tepat satu angka nol di dalam ring (bagaimanapun juga, aksioma mengatakan bahwa elemen seperti itu ada, tetapi tidak ada yang dikatakan tentang keunikannya!), akan kami serahkan kepada pembaca sebagai latihan sederhana.

Evgeniy Epifanov
"Elemen"

Komentar: 0

Jacques Sesiano

Selama dua milenium telah terjadi tiga perluasan penting dalam domain numerik. Pertama, sekitar tahun 450 SM. ilmuwan dari aliran Pythagoras membuktikan keberadaannya ir angka rasional. Tujuan awal mereka adalah mengukur diagonal suatu satuan persegi. Kedua, pada abad XIII-XV, para ilmuwan Eropa, memecahkan sistem persamaan linear, mengakui kemungkinan itu keputusan negatif. Dan ketiga, pada tahun 1572, ahli aljabar Italia Raphael Bombelli menggunakan bilangan kompleks untuk mendapatkan solusi nyata persamaan kubik tertentu.

Proskuryakov I.V.

Tujuan buku ini adalah untuk mendefinisikan secara tegas bilangan, polinomial, dan pecahan aljabar serta membenarkan sifat-sifatnya yang sudah diketahui di sekolah, dan bukan untuk mengenalkan pembaca pada sifat-sifat baru. Oleh karena itu, pembaca tidak akan menemukan fakta-fakta baru di sini (dengan kemungkinan pengecualian beberapa properti, nyata dan bilangan kompleks), tetapi belajar bagaimana membuktikan hal-hal yang diketahuinya, dimulai dengan “dua kali dua adalah empat” dan diakhiri dengan aturan operasi dengan polinomial dan pecahan aljabar. Namun pembaca akan mengenal beberapa hal konsep umum, memainkan peran utama dalam aljabar.

Ilya Shchurov

Matematikawan Ilya Shchurov o desimal, transendensi dan irasionalitas angka Pi.

Leon Takhtajyan

Ini akan menjadi empat cerita pendek. Kita akan mulai dengan angka, kemudian kita akan berbicara tentang gerak, tentang perubahan, kemudian kita akan membahas bentuk dan ukuran, lalu awal dan akhir. Dalam gaya yang agak terenkripsi ini, kita akan mencoba melihat matematika dari dalam dan luar, dan tepatnya sebagai sebuah mata pelajaran. Apa yang dipikirkan dan dijalani oleh para ahli matematika - kita bisa membicarakannya nanti.

Vladlen Timorin

Matematikawan Vladlen Timorin tentang keunggulan bilangan kompleks, angka empat Hamilton, bilangan Cayley delapan dimensi, dan variasi bilangan dalam geometri.

Jacques Sesiano

Kita hanya tahu sedikit tentang Diophantus. Saya pikir dia tinggal di Alexandria. Tak satu pun ahli matematika Yunani menyebutkan dia sebelum abad ke-4, jadi dia mungkin hidup di pertengahan abad ke-3. Yang paling pekerjaan utama Diophanta, “Aritmatika” (Ἀριθμητικά), terjadi di awal 13 “buku” (βιβλία), yaitu bab. Saat ini kita mempunyai 10 diantaranya, yaitu: 6 dalam teks Yunani dan 4 lainnya pada abad pertengahan Terjemahan bahasa Arab, yang tempatnya di tengah-tengah kitab Yunani: kitab I-III bahasa Yunani, buku IV-VII bahasa Arab, buku VIII-X bahasa Yunani. "Aritmatika" Diophantus pada dasarnya adalah kumpulan masalah, totalnya sekitar 260. Sejujurnya, tidak ada teori; hanya ada petunjuk umum dalam pendahuluan buku, dan komentar pribadi dalam beberapa masalah, bila diperlukan. "Aritmatika" sudah memiliki ciri-ciri risalah aljabar. Penggunaan Diophantus pertama tanda-tanda yang berbeda untuk mengungkapkan hal yang tidak diketahui dan kekuatannya, juga beberapa perhitungan; seperti semua simbolisme aljabar pada Abad Pertengahan, simbolismenya berasal dari kata-kata matematika. Kemudian Diophantus menjelaskan cara menyelesaikan masalah tersebut secara aljabar. Namun soal Diophantus bukanlah soal aljabar seperti biasanya, karena hampir semuanya bermuara pada penyelesaian persamaan tak tentu atau sistem persamaan tersebut.

Dunia matematika tidak terpikirkan tanpa mereka - tanpa bilangan prima. Apa itu bilangan prima, apa keistimewaannya, dan apa manfaatnya bagi kehidupan sehari-hari? Dalam film ini, profesor matematika asal Inggris Marcus du Sautoy akan mengungkap rahasia bilangan prima.

Georgy Shabat

Di sekolah, kita semua ditanamkan gagasan yang salah bahwa pada himpunan bilangan rasional Q terdapat jarak alami yang unik (modulus selisih), sehingga semua operasi aritmatika adalah kontinu. Namun, ada juga jarak yang tak terhingga, yang disebut p-adic, satu untuk setiap bilangan p. Menurut teorema Ostrovsky, jarak “biasa”, bersama dengan semua jarak p-adik, sudah benar-benar menghabiskan semua jarak yang masuk akal Q. Istilah demokrasi adelik diperkenalkan oleh Yu.I.Manin. Menurut prinsip demokrasi adelic, semua jarak yang masuk akal pada Q adalah sama di hadapan hukum matematika (mungkin hanya jarak tradisional “sedikit=sedikit sama...”). Kursus ini akan memperkenalkan cincin adelic, yang memungkinkan Anda untuk bekerja dengan semua jarak ini pada waktu yang sama.

Vladimir Arnold

J.L. Lagrange membuktikan bahwa barisan hasil bagi tidak lengkap (dimulai dari tempat tertentu) bersifat periodik jika dan hanya jika bilangan x merupakan irasionalitas kuadrat. R. O. Kuzmin membuktikan bahwa dalam barisan hasil bagi tidak lengkap dari hampir semua bilangan real, pecahan d_m sama dengan m hasil bagi tidak lengkap adalah sama (untuk bilangan real tipikal). Pecahan d_m berkurang sebagai m→∞ menjadi 1/m^2 dan nilainya diprediksi oleh Gauss (yang tidak membuktikan apa pun). VI Arnol menyatakan (sekitar 20 tahun yang lalu) hipotesis bahwa statistik Gauss–Kuzmin d_m juga berlaku untuk periode pecahan akar lanjutan persamaan kuadrat x^2+px+q=0 (dengan bilangan bulat p dan q): jika kita tuliskan bersama-sama hasil bagi tidak lengkap yang membentuk periode semua pecahan lanjutan dari akar-akar persamaan tersebut dengan p^2+q^2≤R ^2, maka bagian hasil bagi tidak lengkap m di antara mereka akan cenderung ke bilangan d_m sebagai R→∞. V. A. Bykovsky dan murid-muridnya di Khabarovsk baru-baru ini membuktikan hipotesis lama ini. Meskipun demikian, pertanyaan tentang statistik bukan tentang huruf, tetapi tentang kata-kata yang tersusun dari huruf-huruf tersebut, yang merupakan periode pecahan lanjutan dari setiap akar x persamaan x^2+px+q=0, masih jauh dari terselesaikan.

buluh mil

Saya membiarkan judul dan abstraknya sejelas mungkin, sehingga saya dapat berbicara tentang apa pun yang saya rasakan pada hari itu. Banyak varietas yang diminati dalam klasifikasi varietas diperoleh sebagai Spec atau Proj dari cincin Gorenstein. Dalam kodimensi ⩽3, teori struktur terkenal memberikan metode perhitungan eksplisit dengan cincin Gorenstein. Sebaliknya, tidak ada teori struktur yang dapat digunakan untuk cincin dengan kodimensi 4. Namun demikian, dalam banyak kasus, proyeksi Gorenstein (dan kebalikannya, unproyeksi Kustin – Miller) menyediakan metode untuk menyerang cincin ini. Metode ini berlaku untuk kelas sporadis cincin kanonik pada permukaan aljabar beraturan, dan untuk konstruksi lipatan 3 Q-Fano yang lebih sistematis, hubungan Sarkisov di antara ini, dan pembalikan 3 lipatan dari teori Mori Tipe A.

Sejak zaman kuno, orang telah menggunakan bilangan asli positif: 1, 2, 3, 4, 5,... Angka digunakan untuk menghitung ternak, hasil panen, musuh, dll. Ketika menjumlahkan dan mengalikan dua bilangan positif, mereka selalu mendapat bilangan positif, ketika membagi satu besaran dengan besaran lain, mereka tidak selalu mendapatkan bilangan asli - begitulah bilangan pecahan muncul. Bagaimana dengan pengurangan? Sejak masa kanak-kanak, kita tahu bahwa lebih baik menambahkan lebih sedikit ke lebih banyak dan mengurangi lebih sedikit dari lebih banyak, dan sekali lagi kita tidak menggunakan angka negatif. Ternyata kalau saya punya 10 apel, saya hanya bisa memberi kepada seseorang yang kurang dari 10 atau 10. Tidak mungkin saya bisa memberi 13 apel, karena saya tidak punya. Tidak diperlukan angka negatif untuk waktu yang lama.

Baru sejak abad ke 7 Masehi. Bilangan negatif digunakan dalam beberapa sistem penghitungan sebagai besaran tambahan yang memungkinkan diperolehnya bilangan positif dalam jawabannya.

Mari kita lihat sebuah contoh, 6x – 30 = 3x – 9. Untuk mencari jawabannya, suku-suku yang belum diketahui harus dibiarkan di sebelah kiri, dan sisanya di sebelah kanan: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 Saat menyelesaikan persamaan ini, kami genap Tidak ada bilangan negatif. Kita dapat memindahkan suku-suku yang tidak diketahui ke ruas kanan, dan suku-suku yang tidak diketahui ke kiri: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Saat membagi bilangan negatif dengan bilangan negatif, kita mendapat jawaban positif: x = 7.

Apa yang kita lihat?

Bekerja dengan bilangan negatif seharusnya membawa kita pada jawaban yang sama seperti bekerja hanya dengan bilangan positif. Kita tidak lagi harus memikirkan tentang ketidakmungkinan praktis dan kebermaknaan suatu tindakan - tindakan tersebut membantu kita memecahkan masalah lebih cepat, tanpa mereduksi persamaan menjadi bentuk yang hanya berisi bilangan positif. Dalam contoh kita, kita tidak menggunakan perhitungan yang rumit, tetapi jika jumlah sukunya banyak, perhitungan dengan bilangan negatif dapat mempermudah pekerjaan kita.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.