Tabel sifat dasar fungsi dasar. Fungsi dan grafik

1) Domain fungsi dan rentang fungsi.

Domain suatu fungsi adalah himpunan semua nilai argumen valid yang valid X(variabel X), yang fungsinya kamu = f(x) bertekad. Kisaran suatu fungsi adalah himpunan semua nilai riil kamu, yang diterima fungsi tersebut.

Dalam matematika dasar, fungsi hanya dipelajari pada himpunan bilangan real.

2) Fungsi nol.

Fungsi nol adalah nilai argumen yang nilai fungsinya sama dengan nol.

3) Interval tanda konstan suatu fungsi.

Interval tanda konstan suatu fungsi adalah himpunan nilai argumen yang nilai fungsinya hanya positif atau negatif saja.

4) Monotonisitas fungsi.

Fungsi meningkat (dalam interval tertentu) adalah fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.

Fungsi menurun (dalam interval tertentu) adalah fungsi di mana nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

5) Fungsi genap (ganjil)..

Fungsi genap adalah fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X dari domain definisi kesetaraan f(-x) = f(x). Grafik fungsi genap simetris terhadap ordinat.

Fungsi ganjil adalah fungsi yang domain definisinya simetris terhadap titik asal dan untuk sembarang X dari domain definisi persamaan itu benar f(-x) = - f(x). Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

6) Fungsi terbatas dan tidak terbatas.

Suatu fungsi disebut terbatas jika terdapat bilangan positif M sehingga |f(x)| ≤ M untuk semua nilai x. Jika bilangan tersebut tidak ada, maka fungsinya tidak terbatas.

7) Periodisitas fungsi.

Suatu fungsi f(x) bersifat periodik jika terdapat bilangan T yang bukan nol sehingga untuk sembarang x dari domain definisi fungsi tersebut berlaku: f(x+T) = f(x). Bilangan terkecil ini disebut periode fungsi tersebut. Semua fungsi trigonometri bersifat periodik. (Rumus trigonometri).

19. Fungsi dasar dasar, sifat-sifatnya dan grafiknya. Penerapan fungsi dalam perekonomian.

Fungsi dasar dasar. Properti dan grafiknya

1. Fungsi linier.

Fungsi linear disebut fungsi dengan bentuk , dimana x adalah variabel, a dan b adalah bilangan real.

Nomor A disebut kemiringan garis, sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis tersebut terhadap arah positif sumbu x. Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Hal ini ditentukan oleh dua poin.

Sifat-sifat Fungsi Linier

1. Domain definisi - himpunan semua bilangan real: D(y)=R

2. Himpunan nilai adalah himpunan semua bilangan real: E(y)=R

3. Fungsi tersebut bernilai nol ketika atau.

4. Fungsi bertambah (berkurang) pada seluruh domain definisi.

5. Fungsi linier kontinu pada seluruh domain definisi, terdiferensiasi dan .

2. Fungsi kuadrat.

Suatu fungsi yang bentuknya dimana x adalah variabel, koefisien a, b, c adalah bilangan real, disebut kuadrat

Pengetahuan fungsi dasar dasar, properti dan grafiknya tidak kalah pentingnya dengan mengetahui tabel perkalian. Mereka ibarat fondasi, segala sesuatu didasarkan pada mereka, segala sesuatu dibangun dari mereka dan semuanya bergantung pada mereka.

Pada artikel ini kami akan mencantumkan semua fungsi dasar utama, memberikan grafiknya dan memberikannya tanpa kesimpulan atau bukti sifat-sifat fungsi dasar dasar sesuai skema:

perilaku suatu fungsi pada batas domain definisi, asimtot vertikal (jika perlu, lihat artikel klasifikasi titik diskontinuitas suatu fungsi);
genap dan ganjil;
interval kecembungan (cembung ke atas) dan kecekungan (cembung ke bawah), titik belok (bila perlu lihat artikel kecembungan suatu fungsi, arah kecembungan, titik belok, kondisi konveksitas dan belok);
asimtot miring dan horizontal;
titik-titik fungsi tunggal;
sifat-sifat khusus beberapa fungsi (misalnya, periode positif terkecil dari fungsi trigonometri).

Jika Anda tertarik atau, Anda dapat membuka bagian teori ini.

Fungsi dasar dasar yaitu: fungsi konstanta (konstanta), akar ke-n, fungsi pangkat, eksponensial, fungsi logaritma, fungsi trigonometri dan fungsi trigonometri invers.

Navigasi halaman.

Fungsi permanen.

Fungsi konstanta didefinisikan pada himpunan semua bilangan real dengan rumus , dimana C adalah suatu bilangan real. Fungsi konstanta mengasosiasikan setiap nilai riil variabel bebas x dengan nilai yang sama dari variabel terikat y - nilai C. Fungsi konstan disebut juga konstanta.

Grafik fungsi konstanta adalah garis lurus yang sejajar sumbu x dan melalui suatu titik dengan koordinat (0,C). Sebagai contoh, kami akan menampilkan grafik fungsi konstanta y=5, y=-2 dan, yang pada gambar di bawah masing-masing berhubungan dengan garis hitam, merah, dan biru.

Sifat-sifat fungsi konstan.

Domain: seluruh himpunan bilangan real.
Fungsi konstanta genap.
Rentang nilai: himpunan yang terdiri dari bilangan tunggal C.
Fungsi konstanta adalah fungsi yang tidak bertambah dan tidak berkurang (itulah sebabnya ia konstan).
Tidak masuk akal membicarakan kecembungan dan kecekungan suatu konstanta.
Tidak ada asimtot.
Fungsi tersebut melewati titik (0,C) pada bidang koordinat.

Akar derajat ke-n.

Mari kita perhatikan fungsi dasar dasar, yang diberikan oleh rumus , di mana n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu.

Akar derajat ke-n, n adalah bilangan genap.

Mari kita mulai dengan fungsi akar ke-n untuk nilai genap dari eksponen akar n.

Sebagai contoh, berikut adalah gambar grafik fungsi dan , sesuai dengan garis hitam, merah dan biru.

Grafik fungsi akar derajat genap memiliki tampilan serupa untuk nilai eksponen lainnya.

Sifat-sifat fungsi akar ke-n untuk n genap.

Akar ke-n, n adalah bilangan ganjil.

Fungsi akar ke-n dengan eksponen akar ganjil n didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Misalnya, berikut adalah grafik fungsi dan , keduanya sesuai dengan kurva hitam, merah, dan biru.

Untuk nilai eksponen akar ganjil lainnya, grafik fungsi akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi akar ke-n untuk n ganjil.

Fungsi daya.

Fungsi pangkat diberikan oleh rumus dalam bentuk .

Mari kita perhatikan bentuk grafik fungsi pangkat dan sifat-sifat fungsi pangkat tergantung pada nilai eksponennya.

Mari kita mulai dengan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat a. Dalam hal ini, kemunculan grafik fungsi pangkat dan sifat-sifat fungsi bergantung pada kegenapan atau keganjilan eksponen, serta tandanya. Oleh karena itu, pertama-tama kita akan membahas fungsi pangkat untuk nilai eksponen a positif ganjil, kemudian untuk eksponen positif genap, kemudian untuk eksponen negatif ganjil, dan terakhir, untuk a negatif genap.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen pecahan dan irasional (serta jenis grafik fungsi pangkat tersebut) bergantung pada nilai eksponen a. Kita akan mempertimbangkannya, pertama, untuk a dari nol sampai satu, kedua, untuk a lebih besar dari satu, ketiga, untuk a dari minus satu ke nol, keempat, untuk a kurang dari minus satu.

Di akhir bagian ini, untuk kelengkapannya, kami akan menjelaskan fungsi pangkat dengan eksponen nol.

Fungsi pangkat dengan eksponen positif ganjil.

Mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen ganjil positif, yaitu dengan a = 1,3,5,....

Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi pangkat – garis hitam, – garis biru, – garis merah, – garis hijau. Untuk a=1 kita punya fungsi linear kamu=x.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen ganjil positif.

Fungsi pangkat dengan eksponen positif genap.

Mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen positif genap, yaitu untuk a = 2,4,6,....

Sebagai contoh, kami memberikan grafik fungsi pangkat – garis hitam, – garis biru, – garis merah. Untuk a=2 kita mempunyai fungsi kuadrat, yang grafiknya adalah parabola kuadrat.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen positif genap.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Perhatikan grafik fungsi pangkat untuk nilai eksponen ganjil negatif, yaitu untuk a = -1, -3, -5,....

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi pangkat sebagai contoh - garis hitam, - garis biru, - garis merah, - garis hijau. Untuk a=-1 kita punya proporsionalitas terbalik, yang grafiknya hiperbola.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif ganjil.

Fungsi pangkat dengan eksponen negatif genap.

Mari kita beralih ke fungsi pangkat untuk a=-2,-4,-6,….

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi pangkat – garis hitam, – garis biru, – garis merah.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen genap negatif.

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional yang nilainya lebih besar dari nol dan kurang dari satu.

Catatan! Jika a adalah pecahan positif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis menganggap domain definisi fungsi pangkat adalah intervalnya. Ditetapkan bahwa eksponen a adalah pecahan tak tersederhanakan. Sekarang penulis banyak buku teks aljabar dan prinsip analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen berupa pecahan berpenyebut ganjil untuk nilai argumen negatif. Kami akan menganut pandangan ini dengan tepat, yaitu, kami akan menganggap himpunan sebagai domain definisi fungsi pangkat dengan eksponen positif pecahan. Kami menyarankan agar siswa mencari tahu pendapat guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perbedaan pendapat.

Mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional a, dan .

Mari kita sajikan grafik fungsi pangkat untuk a=11/12 (garis hitam), a=5/7 (garis merah), (garis biru), a=2/5 (garis hijau).

Fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional bukan bilangan bulat lebih besar dari satu.

Mari kita perhatikan fungsi pangkat dengan eksponen rasional atau irasional bukan bilangan bulat a, dan .

Mari kita sajikan grafik fungsi pangkat yang diberikan oleh rumus (masing-masing garis hitam, merah, biru dan hijau).

Untuk nilai eksponen a lainnya, grafik fungsinya akan memiliki tampilan yang serupa.

Sifat-sifat fungsi daya pada .

Fungsi pangkat dengan eksponen riil lebih besar dari minus satu dan kurang dari nol.

Catatan! Jika a adalah pecahan negatif dengan penyebut ganjil, maka beberapa penulis menganggap domain definisi fungsi pangkat adalah intervalnya . Ditetapkan bahwa eksponen a adalah pecahan tak tersederhanakan. Sekarang penulis banyak buku teks aljabar dan prinsip analisis JANGAN MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen berupa pecahan berpenyebut ganjil untuk nilai argumen negatif. Kami akan menganut pandangan ini dengan tepat, yaitu, kami akan menganggap domain definisi fungsi pangkat dengan eksponen negatif pecahan sebagai himpunan. Kami menyarankan agar siswa mencari tahu pendapat guru Anda tentang poin halus ini untuk menghindari perbedaan pendapat.

Mari beralih ke fungsi pangkat, kgod.

Untuk mengetahui dengan baik bentuk grafik fungsi pangkat, kami berikan contoh grafik fungsi (masing-masing kurva hitam, merah, biru dan hijau).

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen a, .

Fungsi pangkat dengan eksponen real bukan bilangan bulat yang kurang dari minus satu.

Mari kita berikan contoh grafik fungsi pangkat untuk , masing-masing digambarkan dengan garis hitam, merah, biru dan hijau.

Sifat-sifat fungsi pangkat dengan eksponen negatif bukan bilangan bulat kurang dari minus satu.

Ketika a = 0, kita mempunyai fungsi - ini adalah garis lurus dimana titik (0;1) dikecualikan (disepakati untuk tidak mementingkan ekspresi 0 0).

Fungsi eksponensial.

Salah satu fungsi dasar utama adalah fungsi eksponensial.

Grafik fungsi eksponensial, dimana dan mengambil bentuk yang berbeda-beda tergantung pada nilai basis a. Mari kita cari tahu.

Pertama, pertimbangkan kasus ketika basis fungsi eksponensial mengambil nilai dari nol hingga satu, yaitu, .

Sebagai contoh, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial untuk a = 1/2 – garis biru, a = 5/6 – garis merah. Grafik fungsi eksponensial memiliki tampilan yang serupa untuk nilai basis lainnya dari interval.

Sifat-sifat fungsi eksponensial yang basisnya kurang dari satu.

Mari kita beralih ke kasus ketika basis fungsi eksponensial lebih besar dari satu, yaitu .

Sebagai ilustrasi, kami menyajikan grafik fungsi eksponensial - garis biru dan - garis merah. Untuk nilai basis lain yang lebih besar dari satu, grafik fungsi eksponensial akan memiliki tampilan serupa.

Sifat-sifat fungsi eksponensial dengan basis lebih besar dari satu.

Fungsi logaritma.

Fungsi dasar dasar berikutnya adalah fungsi logaritma, dimana , . Fungsi logaritma didefinisikan hanya untuk nilai positif dari argumen, yaitu untuk .

Grafik fungsi logaritma mempunyai bentuk yang berbeda-beda tergantung pada nilai basis a.

Fungsi dasar dasar, sifat-sifat bawaannya, dan grafik yang bersesuaian adalah salah satu dasar pengetahuan matematika, yang sama pentingnya dengan tabel perkalian. Fungsi dasar merupakan landasan, penopang kajian segala permasalahan teoritis.

Yandex.RTB RA-339285-1

Artikel di bawah ini memberikan materi utama tentang topik fungsi dasar dasar. Kami akan memperkenalkan istilah-istilah, memberikan definisinya; Mari kita pelajari setiap jenis fungsi dasar secara mendetail dan menganalisis propertinya.

Jenis fungsi dasar dasar berikut ini dibedakan:

Definisi 1

fungsi konstan (konstan);
akar ke-n;
fungsi daya;
Fungsi eksponensial;
fungsi logaritma;
fungsi trigonometri;
fungsi trigonometri persaudaraan.

Fungsi konstanta didefinisikan dengan rumus: y = C (C adalah bilangan real tertentu) dan juga memiliki nama: konstanta. Fungsi ini menentukan korespondensi nilai riil apa pun dari variabel bebas x dengan nilai yang sama dari variabel y - nilai C.

Grafik konstanta adalah garis lurus yang sejajar sumbu absis dan melalui suatu titik yang koordinatnya (0,C). Untuk lebih jelasnya, kami menyajikan grafik fungsi konstanta y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (masing-masing ditunjukkan dalam warna hitam, merah dan biru pada gambar).

Definisi 2

Fungsi dasar ini ditentukan dengan rumus y = x n (n adalah bilangan asli lebih besar dari satu).

Mari kita pertimbangkan dua variasi fungsinya.

akar ke-n, n – bilangan genap

Untuk kejelasan, kami menunjukkan gambar yang menunjukkan grafik fungsi-fungsi tersebut: y = x, y = x 4 dan kamu = x8. Fitur-fitur ini diberi kode warna: masing-masing hitam, merah dan biru.

Grafik fungsi derajat genap memiliki tampilan yang serupa untuk nilai eksponen lainnya.

Definisi 3

Sifat-sifat fungsi akar ke-n, n adalah bilangan genap

domain definisi – himpunan semua bilangan real non-negatif [ 0 , + ∞) ;
ketika x = 0, fungsi y = x n mempunyai nilai sama dengan nol;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak genap maupun ganjil);
rentang: [ 0 , + ∞) ;
fungsi ini y = x n dengan eksponen akar genap meningkat di seluruh domain definisi;
fungsinya mempunyai konveksitas dengan arah ke atas di seluruh domain definisi;
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;
grafik fungsi genap n melalui titik (0; 0) dan (1; 1).

akar ke-n, n – bilangan ganjil

Fungsi seperti itu didefinisikan pada seluruh himpunan bilangan real. Untuk lebih jelasnya, perhatikan grafik fungsinya kamu = x 3 , kamu = x 5 dan x 9 . Dalam gambar, mereka ditunjukkan dengan warna: hitam, merah dan biru masing-masing adalah warna kurva.

Nilai ganjil lainnya dari eksponen akar fungsi y = x n akan menghasilkan grafik bertipe serupa.

Definisi 4

Sifat-sifat fungsi akar ke-n, n adalah bilangan ganjil

domain definisi – himpunan semua bilangan real;
fungsi ini ganjil;
rentang nilai – himpunan semua bilangan real;
fungsi y = x n untuk eksponen akar ganjil bertambah di seluruh domain definisi;
fungsi mempunyai kecekungan pada interval (- ∞ ; 0 ] dan kecembungan pada interval [ 0 , + ∞);
titik belok mempunyai koordinat (0; 0);
tidak ada asimtot;
Grafik fungsi ganjil n melewati titik (- 1 ; - 1), (0 ; 0) dan (1 ; 1).

Fungsi daya

Definisi 5

Fungsi pangkat ditentukan dengan rumus y = x a.

Kemunculan grafik dan sifat-sifat fungsi bergantung pada nilai eksponen.

bila suatu fungsi pangkat mempunyai eksponen bilangan bulat a, maka jenis grafik fungsi pangkat tersebut dan sifat-sifatnya bergantung pada apakah eksponennya genap atau ganjil, serta tanda apa yang dimiliki eksponen tersebut. Mari kita pertimbangkan semua kasus khusus ini secara lebih rinci di bawah;
eksponennya bisa pecahan atau irasional - bergantung pada ini, jenis grafik dan properti fungsinya juga bervariasi. Kami akan menganalisis kasus khusus dengan menetapkan beberapa kondisi: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
fungsi pangkat dapat memiliki eksponen nol; kami juga akan menganalisis kasus ini secara lebih rinci di bawah.

Mari kita menganalisis fungsi daya y = x a, jika a bilangan positif ganjil, misalnya a = 1, 3, 5...

Untuk lebih jelasnya, kami menunjukkan grafik fungsi pangkat berikut: y = x (warna grafis hitam), y = x 3 (warna grafik biru), y = x 5 (warna grafik merah), y = x 7 (warna grafis hijau). Ketika a = 1, kita mendapatkan fungsi linier y = x.

Definisi 6

Sifat-sifat fungsi pangkat jika eksponennya ganjil positif

fungsinya meningkat untuk x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
fungsinya memiliki kecembungan untuk x ∈ (- ∞ ; 0 ] dan kecekungan untuk x ∈ [ 0 ; + ∞) (tidak termasuk fungsi linier);
titik belok mempunyai koordinat (0 ; 0) (tidak termasuk fungsi linier);
tidak ada asimtot;
titik lewatnya fungsi: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Mari kita menganalisis fungsi daya y = x a, jika a bilangan genap positif, misalnya a = 2, 4, 6...

Untuk kejelasan, kami menunjukkan grafik fungsi daya tersebut: y = x 2 (warna grafis hitam), y = x 4 (warna grafik biru), y = x 8 (warna merah pada grafik). Jika a = 2 diperoleh fungsi kuadrat yang grafiknya berbentuk parabola kuadrat.

Definisi 7

Sifat-sifat fungsi pangkat ketika eksponennya positif genap:

domain definisi: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
menurun untuk x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
fungsinya memiliki kecekungan untuk x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;
titik lewatnya fungsi: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Gambar di bawah menunjukkan contoh grafik fungsi pangkat y = x a jika a adalah bilangan ganjil negatif: y = x - 9 (warna grafis hitam); y = x - 5 (warna grafik biru); y = x - 3 (warna grafik merah); y = x - 1 (warna grafis hijau). Jika a = - 1 diperoleh proporsionalitas terbalik yang grafiknya hiperbola.

Definisi 8

Sifat-sifat fungsi pangkat jika eksponennya ganjil negatif:

Jika x = 0, diperoleh diskontinuitas jenis kedua, karena lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ untuk a = - 1, - 3, - 5, …. Jadi, garis lurus x = 0 merupakan asimtot vertikal;

rentang: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
fungsinya ganjil karena y (- x) = - y (x);
fungsinya menurun untuk x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
fungsinya memiliki kecembungan untuk x ∈ (- ∞ ; 0) dan kecekungan untuk x ∈ (0 ; + ∞) ;
tidak ada titik belok;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (xa - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, bila a = - 1, - 3, - 5, . . . .

titik lewatnya fungsi: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Gambar di bawah menunjukkan contoh grafik fungsi pangkat y = x a jika a bilangan genap negatif: y = x - 8 (warna grafis hitam); y = x - 4 (warna grafik biru); y = x - 2 (warna grafik merah).

Definisi 9

Sifat-sifat fungsi pangkat ketika eksponennya genap negatif:

domain definisi: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Jika x = 0, diperoleh diskontinuitas jenis kedua, karena lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ untuk a = - 2, - 4, - 6, …. Jadi, garis lurus x = 0 merupakan asimtot vertikal;

fungsinya genap karena y(-x) = y(x);
fungsinya meningkat untuk x ∈ (- ∞ ; 0) dan menurun untuk x ∈ 0; + ∞ ;
fungsinya memiliki kecekungan di x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
tidak ada titik belok;
asimtot mendatar – garis lurus y = 0, karena:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (xa - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 bila a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

titik lewatnya fungsi: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Sejak awal, perhatikan aspek berikut: jika a adalah pecahan positif dengan penyebut ganjil, beberapa penulis menggunakan interval - ∞ sebagai domain definisi fungsi pangkat ini; + ∞ , yang menyatakan bahwa eksponen a adalah pecahan tak tersederhanakan. Saat ini, penulis banyak publikasi pendidikan tentang aljabar dan prinsip analisis TIDAK MENDEFINISIKAN fungsi pangkat, dimana eksponennya adalah pecahan berpenyebut ganjil untuk nilai argumen negatif. Selanjutnya kita akan berpegang pada posisi ini: kita akan mengambil himpunan [ 0 ; + ∞) . Rekomendasi untuk siswa: cari tahu pandangan guru tentang hal ini untuk menghindari perbedaan pendapat.

Jadi, mari kita lihat fungsi dayanya y = x a , jika eksponennya adalah bilangan rasional atau irasional, asalkan 0< a < 1 .

Mari kita ilustrasikan fungsi pangkat dengan grafik y = x a bila a = 11 12 (warna grafis hitam); a = 5 7 (warna grafik merah); a = 1 3 (warna grafik biru); a = 2 5 (warna hijau pada grafik).

Nilai lain dari eksponen a (asalkan 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definisi 10

Properti fungsi daya pada 0< a < 1:

rentang: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
fungsinya meningkat untuk x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
fungsinya cembung untuk x ∈ (0 ; + ∞);
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;

Mari kita menganalisis fungsi daya y = x a, jika eksponennya adalah bilangan rasional atau irasional bukan bilangan bulat, asalkan a > 1.

Mari kita ilustrasikan dengan grafik fungsi pangkat y = x a pada kondisi tertentu dengan menggunakan fungsi berikut sebagai contoh: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (grafik hitam, merah, biru, hijau, masing-masing).

Nilai eksponen a lainnya, asalkan a > 1, akan memberikan grafik serupa.

Definisi 11

Sifat-sifat fungsi pangkat untuk a > 1:

domain definisi: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
rentang: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsinya meningkat untuk x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
fungsinya memiliki kecekungan untuk x ∈ (0 ; + ∞) (bila 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;
titik kelulusan fungsi: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Harap dicatat!Jika a adalah pecahan negatif dengan penyebut ganjil, dalam karya beberapa penulis ada yang berpendapat bahwa daerah definisi dalam hal ini adalah interval - ; 0 ∪ (0 ; + ∞) dengan syarat eksponen a adalah pecahan tak tersederhanakan. Saat ini penulis materi edukasi aljabar dan prinsip analisis TIDAK MENDEFINISIKAN fungsi pangkat dengan eksponen berupa pecahan berpenyebut ganjil untuk nilai argumen negatif. Selanjutnya, kita menganut pandangan ini: kita mengambil himpunan (0 ; + ∞) sebagai domain definisi fungsi pangkat dengan eksponen negatif pecahan. Rekomendasi untuk siswa: Perjelas visi guru Anda saat ini untuk menghindari perbedaan pendapat.

Mari lanjutkan topik dan menganalisis fungsi daya y = x a dengan ketentuan: - 1< a < 0 .

Mari kita sajikan gambar grafik fungsi berikut: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (warna hitam, merah, biru, hijau garisnya masing-masing).

Definisi 12

Sifat-sifat fungsi daya pada - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ bila - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rentang: y ∈ 0 ; + ∞ ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
tidak ada titik belok;

Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi pangkat y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (masing-masing warna kurva hitam, merah, biru, hijau).

Definisi 13

Sifat-sifat fungsi pangkat untuk a< - 1:

domain definisi: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ bila a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rentang: y ∈ (0 ; + ∞) ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsinya menurun untuk x ∈ 0; + ∞ ;
fungsinya memiliki kecekungan untuk x ∈ 0; + ∞ ;
tidak ada titik belok;
asimtot horizontal – garis lurus y = 0;
titik lewatnya fungsi: (1; 1) .

Ketika a = 0 dan x ≠ 0, kita memperoleh fungsi y = x 0 = 1, yang mendefinisikan garis dari mana titik (0; 1) dikecualikan (disepakati bahwa ekspresi 0 0 tidak akan diberi arti apa pun ).

Fungsi eksponensial memiliki bentuk y = a x, dimana a > 0 dan a ≠ 1, dan grafik fungsi ini terlihat berbeda berdasarkan nilai basis a. Mari kita pertimbangkan kasus-kasus khusus.

Pertama, mari kita lihat situasi ketika basis fungsi eksponensial mempunyai nilai dari nol hingga satu (0< a < 1) . Contoh yang baik adalah grafik fungsi a = 1 2 (warna biru pada kurva) dan a = 5 6 (warna merah pada kurva).

Grafik fungsi eksponensial akan memiliki tampilan serupa untuk nilai basis lainnya pada kondisi 0< a < 1 .

Definisi 14

Sifat-sifat fungsi eksponensial jika basisnya kurang dari satu:

rentang: y ∈ (0 ; + ∞) ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsi eksponensial yang basisnya kurang dari satu menurun di seluruh domain definisi;
tidak ada titik belok;
asimtot horizontal – garis lurus y = 0 dengan variabel x cenderung + ∞;

Sekarang perhatikan kasus ketika basis fungsi eksponensial lebih besar dari satu (a > 1).

Mari kita ilustrasikan kasus khusus ini dengan grafik fungsi eksponensial y = 3 2 x (warna kurva biru) dan y = e x (grafik warna merah).

Nilai basis lainnya, satuan yang lebih besar, akan memberikan tampilan yang mirip dengan grafik fungsi eksponensial.

Definisi 15

Sifat-sifat fungsi eksponensial jika basisnya lebih besar dari satu:

domain definisi – seluruh himpunan bilangan real;
rentang: y ∈ (0 ; + ∞) ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsi eksponensial yang basisnya lebih besar dari satu meningkat seiring x ∈ - ∞; + ∞ ;
fungsi tersebut memiliki kecekungan di x ∈ - ∞; + ∞ ;
tidak ada titik belok;
asimtot horizontal – garis lurus y = 0 dengan variabel x cenderung - ∞;
titik lewatnya fungsi: (0; 1) .

Fungsi logaritma berbentuk y = log a (x), dimana a > 0, a ≠ 1.

Fungsi seperti itu didefinisikan hanya untuk nilai argumen positif: untuk x ∈ 0; + ∞ .

Grafik fungsi logaritma mempunyai tampilan yang berbeda-beda, berdasarkan nilai basis a.

Mari kita pertimbangkan dulu situasi ketika 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Nilai dasar lainnya, bukan satuan yang lebih besar, akan memberikan jenis grafik yang serupa.

Definisi 16

Sifat-sifat fungsi logaritma jika basisnya kurang dari satu:

domain definisi: x ∈ 0 ; + ∞ . Karena x cenderung nol dari kanan, nilai fungsinya cenderung +∞;
rentang nilai: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
logaritma
fungsinya memiliki kecekungan untuk x ∈ 0; + ∞ ;
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;

Sekarang mari kita lihat kasus khusus ketika basis fungsi logaritma lebih besar dari satu: a > 1 . Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi logaritma y = log 3 2 x dan y = ln x (masing-masing warna grafiknya biru dan merah).

Nilai basis lain yang lebih besar dari satu akan memberikan jenis grafik yang serupa.

Definisi 17

Sifat-sifat fungsi logaritma jika basisnya lebih besar dari satu:

domain definisi: x ∈ 0 ; + ∞ . Karena x cenderung nol dari kanan, nilai fungsinya cenderung - ∞ ;
rentang nilai: y ∈ - ∞ ; + ∞ (seluruh himpunan bilangan real);
fungsi ini merupakan fungsi bentuk umum (tidak ganjil maupun genap);
fungsi logaritma meningkat untuk x ∈ 0; + ∞ ;
fungsinya cembung untuk x ∈ 0; + ∞ ;
tidak ada titik belok;
tidak ada asimtot;
titik lewatnya fungsi: (1; 0) .

Fungsi trigonometri adalah sinus, kosinus, tangen, dan kotangen. Mari kita lihat properti masing-masing dan grafik yang sesuai.

Secara umum, semua fungsi trigonometri dicirikan oleh sifat periodisitas, yaitu. ketika nilai fungsi diulang untuk nilai argumen yang berbeda, berbeda satu sama lain dengan periode f (x + T) = f (x) (T adalah periode). Dengan demikian, item “periode positif terkecil” ditambahkan ke daftar sifat-sifat fungsi trigonometri. Selain itu, kami akan menunjukkan nilai argumen di mana fungsi terkait menjadi nol.

Fungsi sinus: y = sin(x)

Grafik fungsi ini disebut gelombang sinus.

Definisi 18

Sifat-sifat fungsi sinus:

domain definisi: seluruh himpunan bilangan real x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
fungsi tersebut hilang jika x = π · k, dimana k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);
fungsinya meningkat untuk x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z dan menurun untuk x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
fungsi sinus mempunyai maxima lokal di titik π 2 + 2 π · k; 1 dan minimum lokal di titik - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
fungsi sinus cekung ketika x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z dan cembung ketika x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
tidak ada asimtot.

Fungsi kosinus: kamu = cos(x)

Grafik fungsi ini disebut gelombang kosinus.

Definisi 19

Sifat-sifat fungsi kosinus:

domain definisi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
periode positif terkecil: T = 2 π;
rentang nilai: y ∈ - 1 ; 1 ;
fungsi ini genap, karena y (- x) = y (x);
fungsinya meningkat untuk x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z dan menurun untuk x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
fungsi kosinus mempunyai maxima lokal di titik 2 π · k ; 1, k ∈ Z dan minimum lokal di titik π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
fungsi kosinus cekung ketika x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z dan cembung ketika x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
titik belok mempunyai koordinat π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
tidak ada asimtot.

Fungsi singgung: kamu = tg (x)

Grafik fungsi ini disebut garis singgung.

Definisi 20

Sifat-sifat fungsi tangen:

domain definisi: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, dimana k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);
Perilaku fungsi tangen pada batas domain definisi lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Jadi, garis lurus x = π 2 + π · k k ∈ Z adalah asimtot vertikal;
fungsi tersebut hilang jika x = π · k untuk k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);
rentang nilai: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
fungsi ini ganjil, karena y (- x) = - y (x) ;
fungsinya meningkat sebagai - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
fungsi tangennya cekung untuk x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z dan cembung untuk x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
titik belok mempunyai koordinat π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Fungsi kotangen: kamu = ctg (x)

Grafik fungsi ini disebut kotangentoid. .

Definisi 21

Sifat-sifat fungsi kotangen:

domain definisi: x ∈ (π · k ; π + π · k) , di mana k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);

Perilaku fungsi kotangen pada batas domain definisi lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Jadi, garis lurus x = π · k k ∈ Z adalah asimtot vertikal;

periode positif terkecil: T = π;
fungsi tersebut hilang jika x = π 2 + π · k untuk k ∈ Z (Z adalah himpunan bilangan bulat);
rentang nilai: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
fungsi ini ganjil, karena y (- x) = - y (x) ;
fungsinya menurun untuk x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
fungsi kotangennya cekung untuk x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z dan cembung untuk x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
titik belok mempunyai koordinat π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
Tidak ada asimtot miring atau horizontal.

Fungsi trigonometri terbalik adalah arcsinus, arccosine, arctangent dan arccotangent. Seringkali, karena adanya awalan “arc” pada namanya, fungsi trigonometri invers disebut fungsi busur .

Fungsi busur sinus: y = a r c sin (x)

Definisi 22

Sifat-sifat fungsi arcsinus:

fungsi ini ganjil, karena y (- x) = - y (x) ;
fungsi arcsinus memiliki kecekungan untuk x ∈ 0; 1 dan konveksitas untuk x ∈ - 1 ; 0 ;
titik belok mempunyai koordinat (0; 0), yang juga merupakan nol dari fungsi;
tidak ada asimtot.

Fungsi arc cosinus: y = a r c cos (x)

Definisi 23

Sifat-sifat fungsi arc cosinus:

domain definisi: x ∈ - 1 ; 1 ;
rentang: y ∈ 0 ; π;
fungsi ini berbentuk umum (tidak genap maupun ganjil);
fungsinya menurun di seluruh domain definisi;
fungsi arc cosinus memiliki kecekungan di x ∈ - 1; 0 dan konveksitas untuk x ∈ 0; 1 ;
titik belok mempunyai koordinat 0; π 2;
tidak ada asimtot.

Fungsi tangen busur: y = a r c t g (x)

Definisi 24

Sifat-sifat fungsi tangen busur:

domain definisi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
rentang nilai: y ∈ - π 2 ; π 2;
fungsi ini ganjil, karena y (- x) = - y (x) ;
fungsinya meningkat di seluruh domain definisi;
fungsi arctangent memiliki kecekungan untuk x ∈ (- ∞ ; 0 ] dan kecembungan untuk x ∈ [ 0 ; + ∞);
titik belok mempunyai koordinat (0; 0), yang juga merupakan nol dari fungsi;
asimtot mendatar adalah garis lurus y = - π 2 sebagai x → - ∞ dan y = π 2 sebagai x → + ∞ (pada gambar, asimtotnya berupa garis berwarna hijau).

Fungsi tangen busur: y = a r c c t g (x)

Definisi 25

Sifat-sifat fungsi kotangen busur:

domain definisi: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
rentang: y ∈ (0; π) ;
fungsi ini berbentuk umum;
fungsinya menurun di seluruh domain definisi;
fungsi kotangen busur memiliki kecekungan untuk x ∈ [ 0 ; + ∞) dan konveksitas untuk x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
titik belok mempunyai koordinat 0; π 2;
asimtot horizontal adalah garis lurus y = π di x → - ∞ (garis hijau pada gambar) dan y = 0 di x → + ∞.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter