Untuk dua bilangan bulat X Dan pada Mari kita perkenalkan hubungan komparabilitas dengan paritas jika selisihnya bilangan genap. Sangat mudah untuk memeriksa apakah ketiga kondisi kesetaraan yang diperkenalkan sebelumnya terpenuhi. Relasi ekivalen yang diperkenalkan dengan cara ini membagi seluruh himpunan bilangan bulat menjadi dua himpunan bagian yang terpisah-pisah: himpunan bagian bilangan genap dan himpunan bagian bilangan ganjil.
Dengan menggeneralisasi kasus ini, kita dapat mengatakan bahwa dua bilangan bulat yang berbeda sebesar kelipatan suatu bilangan asli tetap adalah ekuivalen. Inilah dasar konsep komparabilitas modulo yang diperkenalkan oleh Gauss.
Nomor A, sebanding dengan B modulo M, jika selisihnya habis dibagi suatu bilangan tetap bilangan asli M, itu adalah a - b dibagi dengan M. Secara simbolis ini ditulis sebagai:
a ≡ b(modm),
dan bunyinya seperti ini: A sebanding dengan B modulo M.
Relasi yang diperkenalkan dengan cara ini, berkat analogi mendalam antara perbandingan dan persamaan, menyederhanakan penghitungan di mana angka-angka berbeda kelipatan. M, sebenarnya tidak berbeda (karena perbandingannya adalah persamaan hingga kelipatan m).
Misalnya angka 7 dan 19 sebanding dengan modulo 4, tetapi tidak sebanding dengan modulo 5, karena 19-7=12 habis dibagi 4 dan tidak habis dibagi 5.
Bisa juga dikatakan angkanya X modulo M sama dengan sisanya jika dibagi dengan bilangan bulat X pada M, Karena
x=km+r, r = 0, 1, 2, ... , m-1.
Sangat mudah untuk memeriksa bahwa perbandingan bilangan menurut modul tertentu memiliki semua sifat kesetaraan. Oleh karena itu, himpunan bilangan bulat dibagi menjadi beberapa kelas bilangan yang modulusnya sebanding M. Jumlah kelas tersebut sama M, dan semua bilangan dari kelas yang sama jika dibagi M berikan sisa yang sama. Misalnya jika M= 3, maka didapat tiga kelas: kelas bilangan yang kelipatannya 3 (menghasilkan sisa 0 jika dibagi 3), kelas bilangan yang menyisakan sisa 1 jika dibagi 3, dan kelas bilangan yang menyisakan sisa 2 bila dibagi 3.
Contoh penggunaan perbandingan diberikan oleh kriteria keterbagian yang terkenal. Representasi bilangan umum N bilangan dalam sistem bilangan desimal berbentuk:
n = c10 2 + b10 1 + a10 0,
Di mana a, b, c,- angka suatu bilangan yang ditulis dari kanan ke kiri, jadi A- jumlah unit, B- jumlah puluhan, dll. Sejak 10k ≡ 1(mod9) untuk k≥0 apa pun, maka dari apa yang tertulis berikut ini
n ≡ c + b + a(mod9),
maka berikut uji keterbagian dengan 9: N habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9. Alasan ini juga berlaku saat mengganti 9 dengan 3.
Kita memperoleh uji keterbagian dengan 11. Perbandingan terjadi:
10≡- 1(mod11), 10 2 ≡ 1(mod11) 10 3 ≡- 1(mod11), dan seterusnya. Itu sebabnya n ≡ c - b + a - ….(mod11).
Karena itu, N habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah bergantian angka-angkanya a - b + c -... habis dibagi 11.
Misal jumlah bolak-balik angka-angka angka 9581 adalah 1 - 8 + 5 - 9 = -11, habis dibagi 11, artinya angka 9581 habis dibagi 11.
Jika ada perbandingan: , maka dapat dijumlahkan, dikurangi, dan dikalikan suku demi suku dengan cara yang sama seperti persamaan:
Perbandingan selalu dapat dikalikan dengan bilangan bulat:
jika kemudian
Akan tetapi, tidak selalu mungkin untuk mereduksi suatu perbandingan dengan faktor apa pun, misalnya tidak mungkin untuk mereduksinya dengan faktor persekutuan 6 untuk bilangan 42 dan 12; pengurangan seperti itu menyebabkan hasil yang salah, karena .
Dari definisi modulo komparabilitas dapat disimpulkan bahwa pengurangan suatu faktor diperbolehkan jika faktor tersebut koprima terhadap modulusnya.
Telah disebutkan di atas bahwa bilangan bulat apa pun sebanding dengan mod M dengan salah satu angka berikut: 0, 1, 2,... , m-1.
Selain deret tersebut, ada deret bilangan lain yang mempunyai sifat yang sama; jadi, misalnya, angka apa pun dapat dibandingkan mod 5 dengan salah satu angka berikut: 0, 1, 2, 3, 4, tetapi juga dapat dibandingkan dengan salah satu angka berikut: 0, -4, -3, -2, - 1, atau 0, 1, -1, 2, -2. Deret bilangan apa pun disebut sistem residu lengkap modulo 5.
Dengan demikian, sistem residu mod yang lengkap M seri apa pun M angka, tidak ada dua angka yang sebanding satu sama lain. Biasanya digunakan sistem deduksi lengkap yang terdiri dari angka: 0, 1, 2, ..., M-1. Mengurangi angkanya N modulo M adalah sisa divisi N pada M, yang mengikuti dari representasi n = km + r, 0<R<M- 1.
PERVUSHKIN BORIS NIKOLAEVICH
Lembaga pendidikan swasta "Sekolah St. Petersburg "Tete-a-Tete"
Guru Matematika Kategori Tertinggi
Membandingkan bilangan modulo
Definisi 1. Jika dua angka1 ) ADanBketika dibagiPberikan sisa yang samaR, maka bilangan tersebut disebut sisa sama atausebanding dalam modulus P.
Penyataan 1. MembiarkanPbeberapa bilangan positif. Lalu setiap nomorAselalu dan, terlebih lagi, satu-satunya cara yang dapat direpresentasikan dalam bentuk
| a=sp+r, | (1) |
Di manaS- nomor, danRsalah satu angka 0,1, ...,P−1.
1 ) Dalam artikel ini, kata bilangan akan dipahami sebagai bilangan bulat.
Benar-benar. JikaSakan menerima nilai dari −∞ hingga +∞, lalu angkanyaspmewakili himpunan semua bilangan yang merupakan kelipatanP. Mari kita lihat angka-angka di antaranyaspDan (s+1) p=sp+p. KarenaPadalah bilangan bulat positif, lalu di antaraspDansp+pada angka
Namun angka tersebut bisa didapatkan dengan cara settingRsama dengan 0, 1, 2,...,P−1. Karena itusp+r=suatuakan mendapatkan semua nilai integer yang mungkin.
Mari kita tunjukkan bahwa representasi ini unik. Mari kita berpura-pura seperti ituPdapat direpresentasikan dalam dua caraa=sp+rDansebuah = s1 P+ R1 . Kemudian
atau
| (2) |
KarenaR1 menerima salah satu angka 0,1, ...,P−1, maka nilai absolutnyaR1 − Rlebih sedikitP. Tapi dari (2) berikut iniR1 − RbanyakP. Karena ituR1 = RDanS1 = S.
NomorRditelepondikurangi angkaAmoduloP(dengan kata lain, nomorRdisebut sisa suatu bilanganApadaP).
Penyataan 2. Jika dua angkaADanBsebanding dalam modulusP, Itua−bdibagi denganP.
Benar-benar. Jika dua angkaADanBsebanding dalam modulusP, lalu bila dibagiPmempunyai sisa yang samaP. Kemudian
Di manaSDanS1 beberapa bilangan bulat.
Perbedaan angka-angka ini
| (3) |
dibagi denganP, Karena ruas kanan persamaan (3) dibagiP.
Penyataan 3. Jika selisih dua bilangan habis dibagiP, maka angka-angka ini sebanding dalam modulusnyaP.
Bukti. Mari kita nyatakan denganRDanR1 sisa pembagianADanBpadaP. Kemudian
Di mana
Berdasarkana−bdibagi denganP. Karena ituR− R1 juga habis dibagiP. Tapi karenaRDanR1 angka 0,1,...,P−1, maka nilai absolut |R− R1 |< P. Lalu, untukR− R1 dibagi denganPsyaratnya harus dipenuhiR= R1 .
Dari pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa bilangan pembanding adalah bilangan yang selisihnya habis dibagi modulusnya.
Jika Anda perlu menuliskan angka-angka ituADanBsebanding dalam modulusP, lalu kita menggunakan notasi (diperkenalkan oleh Gauss):
| a≡bmod(P) |
Contoh 25≡39 (mod 7), −18≡14 (mod 4).
Dari contoh pertama dapat disimpulkan bahwa 25 jika dibagi 7 menghasilkan sisa yang sama dengan 39. Memang, 25 = 3·7+4 (sisa 4). 39=3·7+4 (sisa 4). Saat mempertimbangkan contoh kedua, Anda perlu memperhitungkan bahwa sisanya harus berupa bilangan non-negatif yang lebih kecil dari modulusnya (yaitu 4). Maka kita dapat menulis: −18=−5·4+2 (sisa 2), 14=3·4+2 (sisa 2). Jadi, −18 jika dibagi 4 akan menyisakan 2, dan 14 jika dibagi 4 akan menyisakan 2.
Sifat perbandingan modulo
Properti 1. Untuk siapa punADanPSelalu
| a≡amod(P). |
Properti 2. Jika dua angkaADanCsebanding dengan angkaBmoduloP, ItuADanCsebanding satu sama lain menurut modul yang sama, yaitu. Jika
| a≡bmod(P), b≡cmod(P). |
Itu
| a≡cmod(P). |
Benar-benar. Dari kondisi properti 2 berikut inia−bDanb−cdibagi menjadiP. Lalu jumlah merekaa−b+(b−c)=a−cjuga dibagi menjadiP.
Properti 3. Jika
| a≡bmod(P) Danm≡nmod(P), |
Itu
| a+m≡b+nmod(P) Dana−m≡b−nmod(P). |
Benar-benar. Karenaa−bDanm−ndibagi menjadiP, Itu
| ( a−b)+ ( m−n)=( pagi+m)−( b+n) , |
| ( a−b)−( m−n)=( a−m)−( b−n) |
juga dibagi menjadiP.
Properti ini dapat diperluas ke sejumlah perbandingan yang memiliki modulus yang sama.
Properti 4. Jika
| a≡bmod(P) Danm≡nmod(P), |
Itu
Lebih jauhm−ndibagi denganP, karena itub(m−n)=bm−bnjuga dibagi menjadiP, Cara
| bm≡bnmod(P). |
Jadi dua angkasayaDanbnmodulusnya sebanding dengan bilangan yang samabm, oleh karena itu keduanya dapat dibandingkan satu sama lain (properti 2).
Properti 5. Jika
| a≡bmod(P). |
Itu
| Ak≡bkmod(P). |
Di manakbeberapa bilangan bulat non-negatif.
Benar-benar. Kita punyaa≡bmod(P). Dari properti 4 berikut ini
| ................. |
| Ak≡bkmod(P). |
Sajikan semua properti 1-5 dalam pernyataan berikut:
Penyataan 4. MembiarkanF( X1 , X2 , X3 , ...) adalah fungsi rasional keseluruhan dengan koefisien bilangan bulat dan misalkan
| A1 ≡ B1 , A2 ≡ B2 , A3 ≡ B3 , ... mod (P). |
Kemudian
| F( A1 , A2 , A3 , ...)≡ F( B1 , B2 , B3 , ...) mod (P). |
Dengan pembagian segalanya berbeda. Dari perbandingan
Penyataan 5. Membiarkan
Di manaλ Inipembagi persekutuan terbesarangkaMDanP.
Bukti. Membiarkanλ pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilanganMDanP. Kemudian
Karenam(a−b)dibagi dengank, Itu
mempunyai sisa nol, yaituM1 ( a−b) dibagi dengank1 . Tapi angkanyaM1 Dank1 bilangan relatif prima. Karena itua−bdibagi dengank1 = k/λkemudian,hal,q,s.
Benar-benar. Perbedaana≡bharus kelipatan darihal,q,s.dan karena itu harus kelipatanH.
Dalam kasus khusus, jika modulhal,q,sbilangan koprima, kalau begitu
| a≡bmod(H), |
Di manah=pqs.
Perhatikan bahwa kami dapat mengizinkan perbandingan berdasarkan modul negatif, mis. perbandingana≡bmod(P) berarti dalam hal ini perbedaannyaa−bdibagi denganP. Semua properti perbandingan tetap berlaku untuk modul negatif.
Perbandingan dengan yang tidak diketahui X seperti
Di mana . Jika A N tidak habis dibagi M, begitulah sebutannya derajat perbandingan.
Berdasarkan keputusan perbandingannya adalah bilangan bulat apa pun X 0 , untuk itu
Jika X 0 memenuhi perbandingan, maka, menurut sifat 9 perbandingan, semua bilangan bulat sebanding dengan X 0 modulo M. Oleh karena itu, semua solusi perbandingan termasuk dalam kelas residu modulo yang sama T, kami akan menganggapnya sebagai salah satu solusi. Jadi, perbandingan tersebut mempunyai solusi sebanyak jumlah elemen dari sistem residu lengkap yang memenuhinya.
Perbandingan yang himpunan solusinya berhimpitan disebut setara.
2.2.1 Perbandingan derajat pertama
Perbandingan tingkat pertama dengan yang tidak diketahui X seperti
(2.2)
Teorema 2.4. Agar suatu perbandingan mempunyai paling sedikit satu solusi, maka bilangan tersebut perlu dan cukup B dibagi dengan GCD( A, M).
Bukti. Pertama kita buktikan perlunya. Membiarkan D
=
KPK( A,
M)
Dan X 0
- solusi perbandingan. Kemudian 
, yaitu perbedaannya Oh 0
−
B
dibagi dengan T. Jadi ada bilangan bulat seperti itu Q,
Apa Oh 0
−
B
=
qm.
Dari sini B= ah 0
−
qm.
Dan sejak itu D,
sebagai pembagi persekutuan, membagi bilangan A Dan T, kemudian minuend dan pengurang dibagi D,
dan maka dari itu B
dibagi dengan D.
Sekarang mari kita buktikan kecukupannya. Membiarkan D- pembagi persekutuan terbesar dari suatu bilangan A Dan T, Dan B dibagi dengan D. Kemudian, menurut definisi dapat dibagi, terdapat bilangan bulat berikut A 1 , B 1 ,T 1 , Apa .
Dengan menggunakan algoritma Euclidean yang diperluas, kami menemukan representasi linier dari angka 1 = gcd( A 1 , M 1 ):
untuk beberapa X 0 , kamu 0 . Mari kalikan kedua ruas persamaan terakhir dengan B 1 D:
atau, apa yang sama,
,
yaitu, dan merupakan solusi untuk perbandingan. □
Contoh 2.10. Perbandingan 9 X= 6 (mod 12) mempunyai solusi karena gcd(9, 12) = 3 dan 6 habis dibagi 3. □
Contoh 2.11. Perbandingan 6x= 9 (mod 12) tidak mempunyai solusi, karena gcd(6, 12) = 6, dan 9 tidak habis dibagi 6. □
Teorema 2.5. Biarkan perbandingan (2.2) dapat dipecahkan dan D = KPK( A, M). Kemudian himpunan solusi perbandingan (2.2) terdiri dari D kelas residu modulo T, yaitu, jika X 0 - salah satu solusi, maka semua solusi lainnya adalah
Bukti. Membiarkan X 0
- solusi perbandingan (2.2), yaitu 
Dan ,
.
Jadi ada hal seperti itu Q, Apa Oh 0
−
B
=
qm.
Sekarang gantikan ke persamaan terakhir sebagai gantinya X 0
solusi sewenang-wenang dari bentuk, di mana, kita memperoleh ekspresi
, habis dibagi M. □
Contoh 2.12. Perbandingan 9 X=6 (mod 12) memiliki tepat tiga solusi, karena gcd(9, 12)=3. Solusi-solusi ini: X 0 = 2, x 0 + 4 = 6, X 0 + 2∙4=10.□
Contoh 2.13. Perbandingan 11 X=2 (mod 15) memiliki solusi unik X 0 = 7, karena KPK(11,15)=1.□
Kami akan menunjukkan cara menyelesaikan perbandingan tingkat pertama. Tanpa kehilangan sifat umum, kita akan berasumsi bahwa GCD( A, t) = 1. Kemudian dapat dicari solusi perbandingan (2.2), misalnya dengan menggunakan algoritma Euclidean. Memang benar, dengan menggunakan algoritma Euclidean yang diperluas, kami merepresentasikan angka 1 sebagai kombinasi angka linier A Dan T:
Mari kalikan kedua ruas persamaan ini dengan B, kita mendapatkan: B = abq + mrb, Di mana abq - B = - mrb, itu adalah A ∙ (bq) = B(mod M) Dan bq- solusi perbandingan (2.2).
Solusi lain adalah dengan menggunakan teorema Euler. Sekali lagi kami yakin bahwa GCD(a, T)= 1. Kita menerapkan teorema Euler: 
. Kalikan kedua ruas perbandingan dengan B:
.
Menulis ulang ekspresi terakhir sebagai 
, kita memperoleh solusi perbandingan (2.2).
Biarkan sekarang GCD( A, M) = D>1. Kemudian A = ATD, M = MTD, dimana GCD( A 1 , M 1) = 1. Selain itu, perlu B = B 1 D, agar perbandingannya dapat diselesaikan. Jika X 0 - solusi perbandingan A 1 X = B 1 (mod M 1), dan satu-satunya, sejak GCD( A 1 , M 1) = 1, maka X 0 akan menjadi solusi dan perbandingan A 1 xd = db 1 (mod M 1), yaitu perbandingan awal (2.2). Istirahat D- 1 solusi ditemukan berdasarkan Teorema 2.5.
Jika dua bilangan bulat a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) pada divisi pada m (\gaya tampilan m) memberikan residu yang identik, mereka disebut sebanding(atau sama sisa) nomor modulo m (\gaya tampilan m) . Templat:/frame Perbandingan angka a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) ditulis sebagai rumus ( perbandingan):
Nomor m (\gaya tampilan m) ditelepon modul perbandingan.
Definisi keterbandingan angka a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) modulo m (\gaya tampilan m) setara salah satu pernyataan berikut:
Bukti
Selain properti di atas, pernyataan berikut ini valid untuk perbandingan:
Bukti
a ≡ b (mod m) . (\displaystyle a\equiv b(\pmod (m)).)Karena itu,
a − b = mt . (\gaya tampilan a-b=mt.)Karena d (\gaya tampilan d) adalah pembagi angka m (\gaya tampilan m), Itu
m = c d (\gaya tampilan m=cd).Karena itu,
a − b = m t = c d t = q d , (q = c t) (\displaystyle a-b=mt=cdt=qd,(q=ct)) a ≡ b (mod d) (\displaystyle a\equiv b(\pmod (d)))a-priori.
Bukti
a ≡ b (mod m i), saya = 1 , 2 , . . . , k . (\displaystyle a\equiv b(\pmod (m_(i))),i=1,2,...,k.)Karena itu,
a − b = m i t . (\displaystyle a-b=m_(i)t.)Sejak perbedaannya a − b (\gaya tampilan a-b) adalah kelipatan masing-masing, maka kelipatannya kelipatan persekutuan terkecil
Konsekuensi: Agar angkanya a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) sebanding dalam modulus m (\gaya tampilan m), dekomposisi kanonik yang faktor primanya berbentuk m = ∏ i = 1 d p i α i , (\displaystyle m=\prod _(i=1)^(d)p_(i)^(\alpha _(i)),)perlu dan cukup untuk
a ≡ b (mod p i α i) , i = 1 , 2 , … , d (\displaystyle a\equiv b(\pmod (p_(i)^(\alpha _(i)))),\quad i= 1,2,\titik ,d) .Operasi dengan perbandingan
Perbandingan terhadap modulus yang sama memiliki banyak sifat persamaan biasa. Misalnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan dikalikan: jika jumlahnya sebuah 1 , sebuah 2 , . . . , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),...,a_(n)) Dan b 1 , b 2 , . . . , b n (\displaystyle b_(1),b_(2),...,b_(n)) berpasangan sebanding dalam modulus m (\gaya tampilan m), lalu jumlahnya sebuah 1 + sebuah 2 + . . . + an (\displaystyle a_(1)+a_(2)+...+a_(n)) Dan b 1 + b 2 + . . . + b n (\displaystyle b_(1)+b_(2)+...+b_(n)), serta karya sebuah 1 ⋅ sebuah 2 ⋅ . . . ⋅ a n (\displaystyle a_(1)\cdot a_(2)\cdot ...\cdot a_(n)) Dan b 1 ⋅ b 2 ⋅ . . . ⋅ b n (\displaystyle b_(1)\cdot b_(2)\cdot ...\cdot b_(n)) juga sebanding dalam modulus m (\gaya tampilan m). Namun, Anda tidak dapat melakukan operasi ini dengan perbandingan jika modulnya tidak cocok.
Secara terpisah, perlu dicatat bahwa angka yang sama dapat ditambahkan ke kedua bagian perbandingan, dan Anda juga dapat mentransfer nomor dari satu bagian perbandingan ke bagian lain dengan perubahan tanda. Jika angkanya a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) sebanding dalam modulus m (\gaya tampilan m), lalu gelar mereka a k (\gaya tampilan a^(k)) Dan bk (\gaya tampilan b^(k)) juga sebanding dalam modulus m (\gaya tampilan m) di bawah alam apa pun k (\gaya tampilan k) .
Ke salah satu bagian perbandingan, Anda dapat menambahkan kelipatan bilangan bulat dari modulus, yaitu bilangan a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) modulo sebanding beberapa nomor m (\gaya tampilan m), Kemudian a + t 1 (\displaystyle a+t_(1)) sebanding dengan b + t 2 (\displaystyle b+t_(2)) modulo m (\gaya tampilan m) (t 1 (\gaya tampilan t_(1)) Dan t 2 (\gaya tampilan t_(2))- sewenang-wenang utuh angka). Selain itu, bagian perbandingan dan modulusnya dapat dikalikan dengan angka yang sama, yaitu jika angkanya a (\gaya tampilan a) Dan b (\gaya tampilan b) modulo yang sebanding beberapa keseluruhan angka m (\gaya tampilan m), lalu angkanya a q (\gaya tampilan aq) Dan bq (\gaya tampilan bq) angkanya sebanding dengan modulo mq (\gaya tampilan mq),Di mana q (\gaya tampilan q) - utuh.
Namun, secara umum, perbandingan tidak dapat dibagi satu sama lain atau dengan angka lain. Contoh: 14 ≡ 20 (mod 6) (\displaystyle 14\ekuiv 20(\pmod (6))), namun, jika dikurangi 2, kita mendapatkan perbandingan yang salah: 7 ≡ 10 (mod 6) (\displaystyle 7\ekuiv 10(\pmod (6))). Aturan singkatan untuk perbandingan adalah sebagai berikut.
- Anda dapat membagi kedua sisi perbandingan dengan angka, namun hanya saling prima dengan modul: jika
Jika, nomor d (\gaya tampilan d) Bukan saling adil dengan modul, seperti pada contoh di atas, lalu dikurangi sebesar d (\gaya tampilan d) itu dilarang.
- Anda dapat membagi kedua sisi perbandingan dan modulus secara bersamaan dengan pembagi persekutuannya:
Jika a c ≡ b c (mod m c) (\displaystyle (ac)\equiv (bc)(\pmod (mc))), Itu a ≡ b (mod m) (\displaystyle a\equiv b(\pmod (m))) .
Definisi terkait
Kelas pengurangan
Himpunan semua bilangan yang sebanding dengan a (\gaya tampilan a) modulo m (\gaya tampilan m), ditelepon kelas deduksi a (\gaya tampilan a) modulo m (\gaya tampilan m) , dan biasanya dilambangkan [ a ] m (\displaystyle [a]_(m)) atau a ¯ m (\displaystyle (\bar (a))_(m)). Jadi perbandingannya a ≡ b (mod m) (\displaystyle a\equiv b(\pmod (m))) setara dengan persamaan kelas residu [ a ] m = [ b ] m (\displaystyle [a]_(m)=[b]_(m)) .
Nomor kelas mana pun dipanggil dikurangi modulo m (\gaya tampilan m). Biarkan untuk kepastian r (\gaya tampilan r)―sisa divisi salah satu perwakilan dari kelas yang dipilih m (\gaya tampilan m), lalu nomor apa pun q (\gaya tampilan q) dari kelas ini dapat direpresentasikan sebagai q = mt + r (\displaystyle q=mt+r), Di mana t (\gaya tampilan t) -utuh. Pengurangan sama pengingat r (\gaya tampilan r) ditelepon pengurangan non-negatif terkecil, dan pengurangannya ρ (\displaystyle \rho ), nilai absolut terkecil, disebut benar-benar pengurangan terkecil. Pada R< m 2 {\displaystyle r<{\frac {m}{2}}} kita mengerti itu ρ = r (\displaystyle \rho =r), jika tidak ρ = r − m (\displaystyle \rho =r-m). Jika m (\gaya tampilan m)-bahkan Dan r = m 2 (\displaystyle r=(\frac (m)(2))), Itu ρ = − m 2 (\displaystyle \rho =-(\frac (m)(2))) .
Sejak perbandingan modulo m (\gaya tampilan m) adalah hubungan kesetaraan pada himpunan bilangan bulat, lalu kelas modulo residu m (\gaya tampilan m) mewakili kelas kesetaraan; jumlah mereka sama m (\gaya tampilan m).
Himpunan semua kelas residu modulo m (\gaya tampilan m) dilambangkan dengan atau Z / m Z (\displaystyle \mathbb (Z) /m\mathbb (Z) ) atau Z / (m) (\displaystyle \mathbb (Z) /(m)) .
Operasi penjumlahan dan perkalian dengan Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) menginduksi operasi yang sesuai di set Zm (\displaystyle \mathbb (Z)_(m)):
[ a ] m + [ b ] m = [ a + b ] m (\displaystyle [a]_(m)+[b]_(m)=_(m)) [ a ] m ⋅ [ b ] m = [ a ⋅ b ] m (\displaystyle [a]_(m)\cdot [b]_(m)=_(m))Mengenai operasi ini ada banyak Zm (\displaystyle \mathbb (Z)_(m)) sudah final cincin, dan untuk sederhana m (\gaya tampilan m) - bidang terbatas.
Sistem pengurangan
Sistem residu memungkinkan Anda melakukan operasi aritmatika pada himpunan bilangan berhingga tanpa melampaui batasnya. Sistem pemotongan penuh modulo m (\gaya tampilan m)- set apa pun m (\gaya tampilan m) modulus berpasangan yang tak tertandingi m (\gaya tampilan m) bilangan bulat. Biasanya sebagai sistem pengurangan modulo yang lengkap m (\gaya tampilan m) salah satu dari dua set diambil:
- paling sedikit residu non-negatif, yaitu angka:
- atau pengurangan yang sangat minimal, terdiri dari angka
Himpunan maksimum modulus tak tertandingi berpasangan m (\gaya tampilan m) angka, saling prima Dengan m (\gaya tampilan m), ditelepon sistem pemotongan tertentu modulo m (\gaya tampilan m). Setiap sistem residu modulo yang tereduksi m (\gaya tampilan m) mengandung φ (m) (\displaystyle \varphi (m)) elemen, di mana φ (⋅) (\displaystyle \varphi (\cdot)) - Fungsi Euler.
Misalnya saja untuk sebuah angka m = 42 (\gaya tampilan m=42). Sistem pemotongan penuh dapat diwakili oleh angka: 0 , 1 , 2 , 3 , … , 21 , 22 , 23 , … , 39 , 40 , 41 (\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,21,22,23,\ldots ,39,40, 41), A diberikan - 1 , 5 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 25 , 29 , 31 , 37 , 41 (\displaystyle 1,5,11,13,17,19,23,25,29,31,37,41).
Perbandingan dalam ring polinomial di suatu bidang
Memecahkan perbandingan
Perbandingan tingkat pertama
DI DALAM teori bilangan , kriptografi dan bidang ilmu lainnya, tugas mencari solusi perbandingan derajat pertama yang bentuknya sering muncul:
a x ≡ b (mod m) . (\displaystyle ax\equiv b(\pmod (m)).)Penyelesaian perbandingan seperti itu dimulai dengan perhitungan d = (\gaya tampilan d=) simpul (a , m) (\gaya tampilan (a,m)). Dalam hal ini, 2 kasus mungkin terjadi:
a 1 x ≡ b 1 (mod m 1) (\displaystyle a_(1)x\equiv b_(1)(\pmod (m_(1)))) Di mana a 1 = a d (\displaystyle a_(1)=(\frac (a)(d))), b 1 = b d (\displaystyle b_(1)=(\frac (b)(d))) Dan m 1 = m d (\displaystyle m_(1)=(\frac (m)(d))) adalah bilangan bulat, Dan m 1 (\gaya tampilan m_(1)) saling sederhana. Oleh karena itu nomornya a 1 (\gaya tampilan a_(1)) dapat dibalik modulo m 1 (\gaya tampilan m_(1)), yaitu, temukan nomor tersebut c (\gaya tampilan c), Apa c ⋅ a 1 ≡ 1 (mod m 1) (\displaystyle c\cdot a_(1)\equiv 1(\pmod (m_(1))))(dengan kata lain, c ≡ a 1 − 1 (mod m 1) (\displaystyle c\equiv a_(1)^(-1)(\pmod (m_(1))))). Sekarang solusinya ditemukan dengan mengalikan perbandingan yang dihasilkan dengan c (\gaya tampilan c): x ≡ c a 1 x ≡ c b 1 ≡ a 1 − 1 b 1 (mod m 1) . (\displaystyle x\equiv ca_(1)x\equiv cb_(1)\equiv a_(1)^(-1)b_(1)(\pmod (m_(1))).)Perhitungan nilai secara praktis c (\gaya tampilan c) dapat dilakukan dengan berbagai cara: menggunakan teorema Euler , Algoritma Euclidean, teori pecahan lanjutan(cm. algoritma) dll. Secara khusus, teorema Euler memungkinkan Anda menulis nilai c (\gaya tampilan c) sebagai:
c ≡ a 1 − 1 ≡ a 1 φ (m 1) − 1 (mod m 1) (\displaystyle c\equiv a_(1)^(-1)\equiv a_(1)^(\varphi (m_(1) ))-1)(\pmod (m_(1)))) .Contoh
Contoh 1. Untuk perbandingan
6 x ≡ 26 (mod 22) (\displaystyle 6x\equiv 26(\pmod (22)))kita punya d = 2 (\gaya tampilan d=2), oleh karena itu modulo 22 perbandingannya memiliki dua solusi. Mari kita ganti 26 dengan 4, yang sebanding dengan modulo 22, lalu kurangi ketiga bilangan tersebut dengan 2:
3 x ≡ 2 (mod 11) (\displaystyle 3x\equiv 2(\pmod (11)))Karena 3 koprima dengan modulo 11, maka modulo 11 dapat dibalik dan ditemukan
3 − 1 ≡ 4 (mod 11) (\displaystyle 3^(-1)\equiv 4(\pmod (11))).Mengalikan perbandingan dengan 4, kita memperoleh solusi modulo 11:
x ≡ 8 (mod 11) (\displaystyle x\equiv 8(\pmod (11))),setara dengan kombinasi dua solusi modulo 22:
x ≡ 8 (mod 22) (\displaystyle x\equiv 8(\pmod (22))) Dan x ≡ 19 (mod 22) (\displaystyle x\equiv 19(\pmod (22))).Contoh 2. Perbandingan yang diberikan:
100x ≡ 41 (mod 65537) . (\displaystyle 100x\ekuivalen 41(\pmod (65537)).) Perhatikan bahwa modulusnya adalah bilangan prima.Solusi pertama adalah dengan menggunakan rasio tanpa. Dengan menggunakan Algoritma Euclidean atau program yang diberikan dalam artikel tentang relasi Bezout, kami menemukan bahwa ini adalah relasi angka 100 (\gaya tampilan 100) Dan 65537 (\gaya tampilan 65537) memiliki bentuk:
17695 ⋅ 100 + (− 27) ⋅ 65537 = 1 , (\displaystyle 17695\cdot 100+(-27)\cdot 65537=1,) atau 17695 ⋅ 100 ≡ 1 (mod 65537) (\displaystyle 17695\cdot 100\equiv 1(\pmod (65537)))Mengalikan kedua ruas perbandingan ini dengan 41, kita mendapatkan:
100 ⋅ 725495 ≡ 41 (mod 65537) (\displaystyle 100\cdot 725495\equiv 41(\pmod (65537)))Oleh karena itu, ada solusi untuk perbandingan awal. Akan lebih mudah untuk menggantinya dengan sesuatu yang sebanding dengannya 4588 (\gaya tampilan 4588)(sisa divisi 725495 (\gaya tampilan 725495) pada 65537 (\gaya tampilan 65537)). Menjawab: x ≡ 4588 (mod 65537) . (\displaystyle x\equiv 4588(\pmod (65537)).)
Metode solusi kedua, lebih sederhana dan cepat, tidak memerlukan konstruksi relasi Bezout, tetapi juga setara dengan algoritma Euclidean.
Langkah 1. Bagilah modul dengan koefisien x dengan sisanya: 65537 = 100 ⋅ 655 + 37 (\displaystyle 65537=100\cdot 655+37). Kalikan kedua ruas perbandingan awal dengan hasil bagi 655 (\gaya tampilan 655) dan tambahkan 37x (\gaya tampilan 37x); kita mendapatkan: 65537 x ≡ 26855 + 37 x (mod 65537) (\displaystyle 65537x\equiv 26855+37x(\pmod (65537))), tetapi ruas kirinya adalah kelipatan 65537 (\gaya tampilan 65537), yaitu sebanding dengan nol, yang darinya:
37 x ≡ − 26855 (mod 65537) (\displaystyle 37x\equiv -26855(\pmod (65537)))Kami menerima di x (\gaya tampilan x) koefisien 37 bukannya 100. Pada setiap langkah berikutnya kita mengurangi dengan cara yang sama sampai kita mendapatkannya.
Langkah 2. Demikian pula, bagi dengan koefisien baru untuk x: 65537 = 37 ⋅ 1771 + 10 (\displaystyle 65537=37\cdot 1771+10). Mari kalikan kedua ruas perbandingan yang diperoleh pada langkah sebelumnya dengan hasil bagi 1771 (\gaya tampilan 1771) dan tambahkan 10 x (\gaya tampilan 10x); sekali lagi mengganti ruas kiri dengan nol, kita dapatkan.