§ 87. Penjumlahan pecahan.
Penjumlahan pecahan memiliki banyak kemiripan dengan penjumlahan bilangan bulat. Penjumlahan pecahan adalah suatu tindakan yang terdiri dari menggabungkan beberapa bilangan (suku) tertentu menjadi satu bilangan (jumlah), yang memuat semua satuan dan pecahan dari satuan suku tersebut.
Kami akan mempertimbangkan tiga kasus secara berurutan:
1. Menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama.
2. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda.
3. Penjumlahan bilangan campuran.
1. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama.
Perhatikan sebuah contoh: 1/5 + 2/5.
Mari kita ambil ruas AB (Gbr. 17), ambil menjadi satu dan bagi menjadi 5 bagian yang sama besar, maka bagian AC ruas ini sama dengan 1/5 ruas AB, dan bagian ruas CD yang sama sama dengan 2/5AB.
Dari gambar tersebut terlihat jelas bahwa jika kita mengambil ruas AD sama dengan 3/5 AB; tetapi ruas AD justru merupakan penjumlahan dari ruas AC dan CD. Jadi kita bisa menulis:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Mengingat suku-suku ini dan jumlah yang dihasilkan, kita melihat bahwa pembilang dari jumlah tersebut diperoleh dengan menjumlahkan pembilang suku-suku tersebut, dan penyebutnya tetap tidak berubah.
Dari sini kita dapatkan aturan selanjutnya: Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu menjumlahkan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
Mari kita lihat sebuah contoh:
2. Penjumlahan pecahan yang penyebutnya berbeda.
Mari kita jumlahkan pecahannya: 3/4 + 3/8 Pertama, pecahan tersebut harus direduksi menjadi penyebut terkecil yang sama:
Tautan perantara 6/8 + 3/8 tidak dapat ditulis; kami telah menulisnya di sini untuk kejelasan.
Jadi, untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, Anda harus menguranginya terlebih dahulu ke penyebut terkecilnya, menjumlahkan pembilangnya, dan memberi label pada penyebutnya.
Mari kita perhatikan sebuah contoh (kita akan menulis faktor tambahan di atas pecahan yang sesuai):
3. Penjumlahan bilangan campuran.
Mari kita jumlahkan angkanya: 2 3/8 + 3 5/6.
Pertama-tama mari kita bawa bagian pecahan dari bilangan kita ke penyebut yang sama dan tulis ulang lagi:
Sekarang kita menjumlahkan bagian bilangan bulat dan pecahan secara berurutan:
§ 88. Pengurangan pecahan.
Pengurangan pecahan didefinisikan dengan cara yang sama seperti pengurangan bilangan bulat. Ini adalah tindakan yang dengannya, dengan mempertimbangkan jumlah dua suku dan salah satunya, suku lain ditemukan. Mari kita pertimbangkan tiga kasus berturut-turut:
1. Mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama.
2. Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda.
3. Pengurangan bilangan campuran.
1. Mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama.
Mari kita lihat sebuah contoh:
13 / 15 - 4 / 15
Mari kita ambil ruas AB (Gbr. 18), ambil sebagai satu kesatuan dan bagi menjadi 15 bagian yang sama besar; maka bagian AC dari segmen ini akan mewakili 1/15 AB, dan bagian AD dari segmen yang sama akan mewakili 13/15 AB. Mari kita sisihkan satu ruas ED sama dengan 4/15 AB.
Kita perlu mengurangi pecahan 4/15 dari 13/15. Pada gambar berarti ruas ED harus dikurangi dengan ruas AD. Alhasil, segmen AE akan tetap ada, yakni 9/15 dari segmen AB. Jadi kita bisa menulis:
Contoh yang kita buat menunjukkan bahwa pembilang selisihnya diperoleh dengan mengurangkan pembilangnya, namun penyebutnya tetap sama.
Oleh karena itu, untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, Anda perlu mengurangkan pembilang pengurang dari pembilang minuend dan membiarkan penyebutnya tetap sama.
2. Pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda.
Contoh. 3/4 - 5/8
Pertama, mari kita turunkan pecahan-pecahan ini ke penyebut terkecil yang paling umum:
Perantara 6/8 - 5/8 ditulis di sini untuk kejelasan, tetapi dapat dilewati nanti.
Jadi, untuk mengurangkan pecahan dari pecahan, pertama-tama Anda harus menguranginya menjadi penyebut terkecil, kemudian mengurangi pembilang minuend dari pembilang minuend dan menandatangani penyebut persekutuan di bawah selisihnya.
Mari kita lihat sebuah contoh:
3. Pengurangan bilangan campuran.
Contoh. 10 3/4 - 7 2/3.
Mari kita kurangi bagian pecahan dari minuend dan kurangi menjadi penyebut terkecil yang sama:
Kami mengurangi keseluruhan dari keseluruhan dan pecahan dari pecahan. Namun ada kalanya bagian pecahan dari pengurang lebih besar dari bagian pecahan dari minuend. Dalam kasus seperti itu, Anda perlu mengambil satu unit dari seluruh bagian minuend, membaginya menjadi bagian-bagian di mana bagian pecahan dinyatakan, dan menambahkannya ke bagian pecahan dari minuend. Dan kemudian pengurangan akan dilakukan dengan cara yang sama seperti pada contoh sebelumnya:
§ 89. Perkalian pecahan.
Saat mempelajari perkalian pecahan, kita akan mempertimbangkannya pertanyaan selanjutnya:
1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.
2. Menemukan pecahan suatu bilangan tertentu.
3. Mengalikan bilangan bulat dengan pecahan.
4. Mengalikan pecahan dengan pecahan.
5. Perkalian bilangan campuran.
6. Konsep minat.
7. Menemukan persentase suatu bilangan tertentu. Mari kita pertimbangkan secara berurutan.
1. Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat.
Mengalikan pecahan dengan bilangan bulat mempunyai arti yang sama dengan mengalikan bilangan bulat dengan bilangan bulat. Mengalikan suatu pecahan (perkalian) dengan bilangan bulat (faktor) berarti menjumlahkan suku-suku yang identik, yang setiap sukunya sama dengan pengalinya, dan banyaknya sukunya sama dengan pengalinya.
Artinya jika ingin mengalikan 1/9 dengan 7, maka bisa dilakukan seperti ini:
Kami dengan mudah memperoleh hasilnya, karena tindakannya dikurangi menjadi penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama. Karena itu,
Pertimbangan tindakan ini menunjukkan bahwa mengalikan pecahan dengan bilangan bulat sama dengan menambah pecahan ini sebanyak satuan dalam bilangan bulat. Dan karena peningkatan pecahan dapat dicapai dengan meningkatkan pembilangnya
atau dengan mengurangi penyebutnya 
, maka kita dapat mengalikan pembilangnya dengan bilangan bulat atau membagi penyebutnya dengan bilangan tersebut, jika pembagian tersebut memungkinkan.
Dari sini kita mendapatkan aturannya:
Untuk mengalikan pecahan dengan bilangan bulat, kalikan pembilangnya dengan bilangan bulat tersebut dan biarkan penyebutnya tetap sama, atau, jika memungkinkan, bagi penyebutnya dengan bilangan tersebut, biarkan pembilangnya tidak berubah.
Saat mengalikan, singkatan dimungkinkan, misalnya:
2. Menemukan pecahan suatu bilangan tertentu. Ada banyak soal yang mengharuskan Anda mencari, atau menghitung, bagian dari suatu bilangan. Perbedaan antara soal-soal ini dan soal-soal lainnya adalah bahwa soal-soal tersebut memberikan jumlah suatu benda atau satuan pengukuran dan Anda perlu mencari bagian dari bilangan tersebut, yang juga ditunjukkan di sini dengan pecahan tertentu. Untuk memudahkan pemahaman, pertama-tama kami akan memberikan contoh masalah tersebut, dan kemudian memperkenalkan metode untuk menyelesaikannya.
Tugas 1. Saya punya 60 rubel; Saya menghabiskan 1/3 dari uang ini untuk membeli buku. Berapa harga bukunya?
Tugas 2. Kereta api tersebut harus menempuh jarak antara kota A dan B sebesar 300 km. Dia telah menempuh 2/3 dari jarak ini. Berapa kilometer ini?
Tugas 3. Ada 400 rumah di desa ini, 3/4nya terbuat dari batu bata, sisanya dari kayu. Berapa totalnya rumah bata?
Inilah beberapa di antaranya banyak tugas untuk menemukan bagian dari bilangan tertentu yang kita temui. Biasanya disebut soal mencari pecahan suatu bilangan tertentu.
Solusi untuk masalah 1. Dari 60 gosok. Saya menghabiskan 1/3 untuk membeli buku; Artinya untuk mencari harga buku, Anda perlu membagi angka 60 dengan 3:
Memecahkan masalah 2. Inti masalahnya adalah Anda perlu mencari 2/3 dari 300 km. Mari kita hitung dulu 1/3 dari 300; ini dicapai dengan membagi 300 km dengan 3:
300: 3 = 100 (itu 1/3 dari 300).
Untuk mencari dua pertiga dari 300, Anda perlu menggandakan hasil bagi yang dihasilkan, yaitu dikalikan dengan 2:
100 x 2 = 200 (yaitu 2/3 dari 300).
Memecahkan masalah 3. Di sini Anda perlu menentukan banyaknya rumah bata yang membentuk 3/4 dari 400. Pertama-tama mari kita cari 1/4 dari 400,
400: 4 = 100 (itu 1/4 dari 400).
Untuk menghitung tiga perempat dari 400, hasil bagi yang dihasilkan harus dikalikan tiga kali lipat, yaitu dikalikan 3:
100 x 3 = 300 (itu 3/4 dari 400).
Berdasarkan penyelesaian masalah tersebut, kita dapat memperoleh aturan berikut:
Untuk mencari nilai pecahan dari suatu bilangan, Anda perlu membagi bilangan tersebut dengan penyebut pecahan tersebut dan mengalikan hasil bagi dengan pembilangnya.
3. Mengalikan bilangan bulat dengan pecahan.
Sebelumnya (§ 26) telah ditetapkan bahwa perkalian bilangan bulat harus dipahami sebagai penjumlahan suku-suku yang identik (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Dalam paragraf ini (poin 1) ditetapkan bahwa mengalikan suatu pecahan dengan bilangan bulat berarti mencari jumlah suku-suku identik yang sama dengan pecahan tersebut.
Dalam kedua kasus tersebut, perkalian terdiri dari mencari jumlah suku-suku yang identik.
Sekarang kita lanjutkan mengalikan bilangan bulat dengan pecahan. Di sini kita akan menemui, misalnya, perkalian: 9 2/3. Jelas bahwa definisi perkalian sebelumnya tidak berlaku untuk kasus ini. Hal ini terlihat dari kenyataan bahwa kita tidak dapat mengganti perkalian tersebut dengan menjumlahkan bilangan yang sama.
Oleh karena itu, kita harus memberikan definisi baru tentang perkalian, yaitu dengan kata lain menjawab pertanyaan tentang apa yang dimaksud dengan perkalian dengan pecahan, bagaimana cara memahami tindakan tersebut.
Arti mengalikan bilangan bulat dengan pecahan jelas dari definisi berikut: mengalikan bilangan bulat (perkalian) dengan pecahan (perkalian) berarti mencari pecahan dari perkalian tersebut.
Yaitu mengalikan 9 dengan 2/3 berarti mencari 2/3 dari sembilan satuan. Pada paragraf sebelumnya, masalah tersebut telah diselesaikan; jadi mudah untuk mengetahui bahwa kita akan mendapatkan 6.
Namun kini muncul pertanyaan menarik dan penting: mengapa demikian berbagai tindakan Bagaimana cara mencari jumlah bilangan sama dan mencari pecahan suatu bilangan yang disebut dengan kata yang sama “perkalian” dalam aritmatika?
Hal ini terjadi karena tindakan sebelumnya (mengulang suatu bilangan dengan suku beberapa kali) dan tindakan baru (mencari pecahan suatu bilangan) memberikan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang homogen. Artinya di sini kita berangkat dari pertimbangan bahwa pertanyaan atau tugas yang homogen diselesaikan dengan tindakan yang sama.
Untuk memahami hal ini, pertimbangkan masalah berikut: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga kain tersebut sepanjang 4 m?
Masalah ini diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (4), yaitu 50 x 4 = 200 (rubel).
Mari kita ambil soal yang sama, tetapi di dalamnya jumlah kain akan dinyatakan sebagai pecahan: “1 m kain berharga 50 rubel. Berapa harga 3/4 m kain tersebut?”
Masalah ini juga perlu diselesaikan dengan mengalikan jumlah rubel (50) dengan jumlah meter (3/4).
Anda dapat mengubah angka-angka di dalamnya beberapa kali lagi tanpa mengubah arti soal, misalnya ambil 9/10 m atau 2 3/10 m, dan seterusnya.
Karena soal-soal ini memiliki isi yang sama dan hanya berbeda dalam angka, kami menyebut tindakan yang digunakan untuk menyelesaikannya dengan kata yang sama - perkalian.
Bagaimana cara mengalikan bilangan bulat dengan pecahan?
Mari kita ambil angka-angka yang ditemui pada soal terakhir:
Menurut definisinya, kita harus mencari 3/4 dari 50. Pertama, cari 1/4 dari 50, lalu 3/4.
1/4 dari 50 adalah 50/4;
3/4 dari bilangan 50 adalah .
Karena itu.
Mari kita perhatikan contoh lainnya: 12 5/8 =?
1/8 dari angka 12 adalah 12/8,
5/8 dari angka 12 adalah .
Karena itu,
Dari sini kita mendapatkan aturannya:
Untuk mengalikan bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat dengan pembilang pecahan dan menjadikan hasil kali ini sebagai pembilangnya, dan menandatangani penyebut pecahan tersebut sebagai penyebutnya.
Mari kita tulis aturan ini menggunakan huruf:
Untuk memperjelas aturan ini, perlu diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan mengalikan suatu bilangan dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam § 38
Penting untuk diingat bahwa sebelum melakukan perkalian, Anda harus melakukan (jika memungkinkan) pengurangan, Misalnya:
4. Mengalikan pecahan dengan pecahan. Mengalikan pecahan dengan pecahan mempunyai arti yang sama dengan mengalikan suatu bilangan bulat dengan pecahan, yaitu pada saat mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mencari pecahan yang merupakan faktor dari pecahan pertama (pengganda).
Yaitu mengalikan 3/4 dengan 1/2 (setengah) berarti mencari setengah dari 3/4.
Bagaimana cara mengalikan pecahan dengan pecahan?
Kita ambil contoh: 3/4 dikalikan 5/7. Artinya, Anda perlu mencari 5/7 dari 3/4. Pertama, cari 1/7 dari 3/4, lalu 5/7
1/7 dari bilangan 3/4 akan dinyatakan sebagai berikut:
5/7 angka 3/4 akan dinyatakan sebagai berikut:
Dengan demikian,
Contoh lain: 5/8 dikalikan 4/9.
1/9 dari 5/8 adalah ,
4/9 dari bilangan 5/8 adalah .
Dengan demikian, 
Dari contoh-contoh ini kita dapat menyimpulkan aturan berikut:
Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang dengan pembilang, dan penyebut dengan penyebut, dan menjadikan hasil kali pertama sebagai pembilang, dan hasil kali kedua sebagai penyebut hasil kali.
Ini adalah aturan di dalamnya pandangan umum dapat ditulis seperti ini:
Saat mengalikan, perlu dilakukan pengurangan (jika memungkinkan). Mari kita lihat contohnya:
5. Perkalian bilangan campuran. Karena bilangan campuran dapat dengan mudah diganti dengan pecahan biasa, keadaan ini biasanya digunakan saat mengalikan bilangan campuran. Artinya, jika pengali, atau pengali, atau kedua faktor dinyatakan sebagai bilangan campuran, maka keduanya akan diganti dengan pecahan biasa. Mari kita kalikan, misalnya bilangan campuran: 2 1/2 dan 3 1/5. Mari kita ubah masing-masing pecahan menjadi pecahan biasa lalu kalikan pecahan yang dihasilkan sesuai dengan aturan mengalikan pecahan dengan pecahan:
Aturan. Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda harus terlebih dahulu mengubahnya menjadi pecahan biasa, lalu mengalikannya sesuai aturan mengalikan pecahan dengan pecahan.
Catatan. Jika salah satu faktornya bilangan bulat, maka perkaliannya dapat dilakukan berdasarkan hukum distribusi sebagai berikut:
6. Konsep minat. Saat memecahkan masalah dan melakukan berbagai hal perhitungan praktis Kami menggunakan semua jenis pecahan. Namun harus diingat bahwa banyak besaran tidak memungkinkan sembarang besaran, melainkan pembagian alami bagi besaran tersebut. Misalnya, Anda dapat mengambil seperseratus (1/100) rubel, itu akan menjadi satu kopeck, dua perseratus adalah 2 kopeck, tiga perseratus adalah 3 kopeck. Anda dapat mengambil 1/10 rubel, itu akan menjadi "10 kopeck, atau sepuluh kopeck. Anda dapat mengambil seperempat rubel, yaitu 25 kopeck, setengah rubel, yaitu 50 kopeck (lima puluh kopeck). Tapi mereka praktis tidak mengambilnya, misalnya , 2/7 rubel karena rubel tidak dibagi menjadi tujuh.
Satuan berat, yaitu kilogram, pada dasarnya memungkinkan pembagian desimal, misalnya 1/10 kg, atau 100 g. Dan pecahan kilogram seperti 1/6, 1/11, 1/13 bukanlah pecahan yang umum.
Secara umum, ukuran (metrik) kami adalah desimal dan memungkinkan pembagian desimal.
Namun, perlu dicatat bahwa dalam berbagai kasus akan sangat berguna dan nyaman menggunakan metode pembagian besaran yang sama (seragam). Pengalaman bertahun-tahun telah menunjukkan bahwa pembagian yang dibenarkan seperti itu adalah pembagian yang “seratus”. Mari kita perhatikan beberapa contoh yang berkaitan dengan bidang praktik manusia yang paling beragam.
1. Harga buku mengalami penurunan 12/100 dari harga sebelumnya.
Contoh. Harga buku sebelumnya adalah 10 rubel. Itu berkurang 1 rubel. 20 kopek
2. Bank tabungan membayar deposan 2/100 dari jumlah yang disimpan untuk tabungan sepanjang tahun.
Contoh. 500 rubel disimpan di mesin kasir, pendapatan dari jumlah ini untuk tahun ini adalah 10 rubel.
3. Jumlah lulusan suatu sekolah adalah 5/100 dari jumlah seluruh siswa.
CONTOH Hanya ada 1.200 siswa di sekolah tersebut, 60 di antaranya lulus.
Bagian keseratus suatu bilangan disebut persentase.
Kata "persen" dipinjam dari bahasa Latin dan akar kata "sen" berarti seratus. Bersama dengan kata depan (pro centum), kata ini berarti “seratus”. Arti ungkapan seperti itu mengikuti fakta bahwa pada awalnya Roma kuno bunga adalah uang yang dibayarkan debitur kepada pemberi pinjaman “untuk setiap seratus”. Kata “sen” terdengar dalam kata-kata yang familiar: centner (seratus kilogram), sentimeter (katakanlah sentimeter).
Misalnya, alih-alih mengatakan bahwa selama sebulan terakhir sebuah pabrik memproduksi 1/100 dari semua produk yang dihasilkannya adalah produk cacat, kita akan mengatakan ini: selama sebulan terakhir, pabrik tersebut menghasilkan satu persen produk cacat. Daripada mengatakan: pabrik menghasilkan 4/100 produk lebih banyak dari rencana yang ditetapkan, kita akan mengatakan: pabrik melebihi rencana sebesar 4 persen.
Contoh di atas dapat diungkapkan secara berbeda:
1. Harga buku mengalami penurunan sebesar 12 persen dari harga sebelumnya.
2. Bank tabungan membayar deposan sebesar 2 persen per tahun dari jumlah yang disimpan dalam tabungan.
3. Jumlah lulusan suatu sekolah adalah 5 persen dari seluruh siswa sekolah.
Untuk mempersingkat huruf, biasanya ditulis simbol % daripada kata “persentase”.
Namun perlu diingat bahwa dalam perhitungan biasanya tidak dituliskan tanda %, melainkan dapat dituliskan pada rumusan masalah dan pada hasil akhir. Saat melakukan perhitungan, Anda perlu menulis pecahan dengan penyebut 100, bukan bilangan bulat dengan simbol ini.
Anda harus bisa mengganti bilangan bulat dengan ikon yang ditunjukkan dengan pecahan dengan penyebut 100:
Sebaliknya, Anda harus membiasakan menulis bilangan bulat dengan simbol yang ditunjukkan, bukan pecahan dengan penyebut 100:
7. Menemukan persentase suatu bilangan tertentu.
Tugas 1. Sekolah menerima 200 meter kubik. m kayu bakar, dengan kayu bakar birch menyumbang 30%. Berapa banyak kayu bakar birch yang ada di sana?
Arti dari soal ini adalah kayu bakar birch hanya merupakan sebagian dari kayu bakar yang dikirimkan ke sekolah, dan bagian tersebut dinyatakan dalam pecahan 30/100. Artinya kita mempunyai tugas mencari pecahan suatu bilangan. Untuk menyelesaikannya, kita harus mengalikan 200 dengan 30/100 (masalah mencari pecahan suatu bilangan diselesaikan dengan mengalikan bilangan tersebut dengan pecahan.).
Artinya 30% dari 200 sama dengan 60.
Pecahan 30/100 yang ditemui dalam soal ini dapat dikurangi 10. Pengurangan ini dapat dilakukan dari awal; solusi terhadap masalah tersebut tidak akan berubah.
Tugas 2. Ada 300 anak dari berbagai usia di kamp tersebut. Anak usia 11 tahun mencapai 21%, anak usia 12 tahun mencapai 61%, dan terakhir anak usia 13 tahun mencapai 18%. Berapa banyak anak dari setiap usia yang ada di kamp tersebut?
Dalam soal ini perlu dilakukan tiga kali perhitungan yaitu secara berurutan mencari banyaknya anak berumur 11 tahun, kemudian berumur 12 tahun dan terakhir berumur 13 tahun.
Artinya di sini Anda perlu mencari pecahan dari bilangan tersebut sebanyak tiga kali. Ayo lakukan:
1) Berapa jumlah anak berumur 11 tahun di sana?
2) Berapa banyak anak berusia 12 tahun yang ada di sana?
3) Berapa banyak anak berusia 13 tahun yang ada di sana?
Setelah menyelesaikan soal, ada gunanya menjumlahkan angka-angka yang ditemukan; jumlah mereka harus 300:
63 + 183 + 54 = 300
Perlu diperhatikan juga bahwa jumlah persentase yang diberikan dalam rumusan masalah adalah 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Hal ini menunjukkan bahwa jumlah total anak-anak di kamp diambil 100%.
3 a d a ha 3. Pekerja tersebut menerima 1.200 rubel per bulan. Dari jumlah tersebut, ia membelanjakan 65% untuk makanan, 6% untuk apartemen dan pemanas, 4% untuk gas, listrik dan radio, 10% untuk kebutuhan budaya, dan 15% untuk tabungan. Berapa banyak uang yang dikeluarkan untuk kebutuhan yang disebutkan dalam soal?
Untuk menyelesaikan soal ini kamu perlu mencari pecahan 1.200 sebanyak 5 kali. Ayo lakukan ini.
1) Berapa banyak uang yang dikeluarkan untuk makanan? Soalnya pengeluaran ini adalah 65% dari total pendapatan yaitu 65/100 dari angka 1200. Mari kita lakukan perhitungan:
2) Berapa banyak uang yang Anda bayarkan untuk apartemen dengan pemanas? Dengan alasan yang mirip dengan yang sebelumnya, kita sampai pada perhitungan berikut:
3) Berapa banyak uang yang Anda keluarkan untuk gas, listrik dan radio?
4) Berapa banyak uang yang dikeluarkan untuk kebutuhan budaya?
5) Berapa banyak uang yang dihemat pekerja tersebut?
Untuk memeriksanya, ada gunanya menjumlahkan angka-angka yang ditemukan dalam 5 pertanyaan ini. Jumlahnya harus 1.200 rubel. Semua penghasilan diambil sebagai 100%, yang mudah diperiksa dengan menjumlahkan angka persentase yang diberikan dalam rumusan masalah.
Kami memecahkan tiga masalah. Meskipun masalah-masalah ini berhubungan dengan hal yang berbeda (pengiriman kayu bakar untuk sekolah, jumlah anak dari berbagai usia, biaya pekerja), masalah tersebut diselesaikan dengan cara yang sama. Hal ini terjadi karena dalam semua soal perlu mencari beberapa persen dari angka yang diberikan.
§ 90. Pembagian pecahan.
Saat kita mempelajari pembagian pecahan, kita akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.
2. Membagi pecahan dengan bilangan bulat
3. Membagi bilangan bulat dengan pecahan.
4. Membagi pecahan dengan pecahan.
5. Pembagian bilangan campuran.
6. Menemukan bilangan dari pecahan tertentu.
7. Menemukan suatu bilangan berdasarkan persentasenya.
Mari kita pertimbangkan secara berurutan.
1. Bagilah bilangan bulat dengan bilangan bulat.
Seperti yang telah ditunjukkan dalam pembagian bilangan bulat, pembagian adalah tindakan yang terdiri dari fakta bahwa, dengan mengetahui hasil perkalian dua faktor (dividen) dan salah satu faktor tersebut (pembagi), ditemukan faktor lain.
Kami melihat pembagian bilangan bulat dengan bilangan bulat di bagian bilangan bulat. Kita menjumpai dua kasus pembagian di sana: pembagian tanpa sisa, atau “seluruhnya” (150:10 = 15), dan pembagian dengan sisa (100:9 = 11 dan 1 sisa). Oleh karena itu kita dapat mengatakan bahwa dalam bidang bilangan bulat, pembagian eksak tidak selalu memungkinkan, karena pembagian tidak selalu merupakan hasil kali pembagi dengan bilangan bulat. Setelah memperkenalkan perkalian dengan pecahan, kita dapat mempertimbangkan kemungkinan pembagian bilangan bulat (hanya pembagian dengan nol yang dikecualikan).
Misalnya, membagi 7 dengan 12 berarti mencari suatu bilangan yang hasil kali 12 sama dengan 7. Bilangan tersebut adalah pecahan 7/12 karena 7/12 12 = 7. Contoh lain: 14:25 = 14/25, karena 14/25 25 = 14.
Jadi, untuk membagi bilangan bulat dengan bilangan bulat, Anda perlu membuat pecahan yang pembilangnya sama dengan pembilangnya dan penyebutnya sama dengan pembaginya.
2. Membagi pecahan dengan bilangan bulat.
Bagilah pecahan 6/7 dengan 3. Berdasarkan definisi pembagian yang diberikan di atas, di sini kita mempunyai hasil kali (6/7) dan salah satu faktornya (3); kita perlu mencari faktor kedua yang, jika dikalikan dengan 3, akan menghasilkan hasil kali 6/7. Jelas, ukurannya harus tiga kali lebih kecil dari produk ini. Artinya tugas yang diberikan kepada kita adalah mengurangi pecahan 6/7 sebanyak 3 kali.
Kita telah mengetahui bahwa pengurangan suatu pecahan dapat dilakukan dengan cara memperkecil pembilangnya atau menambah penyebutnya. Oleh karena itu Anda dapat menulis:
DI DALAM pada kasus ini Pembilang 6 habis dibagi 3, jadi pembilangnya harus dibelah dua.
Mari kita ambil contoh lain: 5/8 dibagi 2. Di sini pembilang 5 tidak habis dibagi 2, artinya penyebutnya harus dikalikan dengan bilangan ini:
Berdasarkan hal tersebut dapat dibuat suatu aturan: Untuk membagi pecahan dengan bilangan bulat, Anda perlu membagi pembilang pecahan dengan bilangan bulat tersebut.(jika memungkinkan), menyisakan penyebut yang sama, atau mengalikan penyebut pecahan dengan bilangan ini, menyisakan pembilang yang sama.
3. Membagi bilangan bulat dengan pecahan.
Misalkan 5 perlu dibagi 1/2, yaitu mencari bilangan yang setelah dikalikan dengan 1/2 akan menghasilkan hasil kali 5. Jelasnya, bilangan ini harus lebih besar dari 5, karena 1/2 adalah pecahan biasa , dan ketika mengalikan suatu bilangan, hasil kali pecahan biasa harus lebih kecil dari hasil kali yang dikalikan. Agar lebih jelas, mari kita tulis tindakan kita sebagai berikut: 5:1/2= X , yang artinya x 1 / 2 = 5.
Kita harus menemukan nomor tersebut X , yang jika dikalikan dengan 1/2 akan menghasilkan 5. Karena mengalikan suatu bilangan tertentu dengan 1/2 berarti mencari 1/2 dari bilangan tersebut, maka 1/2 tanggal yang tidak diketahui X sama dengan 5, dan bilangan bulat X dua kali lipatnya, yaitu 5 2 = 10.
Jadi 5: 1/2 = 5 2 = 10
Mari kita periksa: 
Mari kita lihat contoh lainnya. Katakanlah Anda ingin membagi 6 dengan 2/3. Pertama-tama mari kita coba mencari hasil yang diinginkan menggunakan gambar (Gbr. 19).
Gambar 19
Mari kita menggambar segmen AB sama dengan 6 unit, dan membagi setiap unit menjadi 3 bagian yang sama. Dalam setiap satuan, tiga pertiga (3/3) dari seluruh ruas AB berukuran 6 kali lebih besar, yaitu. e.18/3. Dengan menggunakan tanda kurung kecil, kami menghubungkan 18 segmen yang dihasilkan dari 2; Hanya akan ada 9 segmen. Artinya pecahan 2/3 terdapat dalam 6 satuan sebanyak 9 kali, atau dengan kata lain pecahan 2/3 adalah 9 kali lebih kecil dari 6 satuan bulat. Karena itu,
Bagaimana cara mendapatkan hasil ini tanpa gambar hanya dengan menggunakan perhitungan? Mari kita beralasan seperti ini: kita perlu membagi 6 dengan 2/3, yaitu kita perlu menjawab pertanyaan berapa kali 2/3 terkandung dalam 6. Mari kita cari tahu dulu: berapa kali 1/3 terkandung dalam 6? Dalam satuan utuh terdapat 3 pertiganya, dan dalam 6 satuan terdapat 6 kali lebih banyak, yaitu 18 pertiga; untuk mencari bilangan tersebut kita harus mengalikan 6 dengan 3. Artinya 1/3 yang terkandung dalam satuan b sebanyak 18 kali, dan 2/3 yang terkandung dalam satuan b bukan 18 kali, melainkan setengahnya, yaitu 18 : 2 = 9 Oleh karena itu, ketika membagi 6 dengan 2/3 kita melakukan hal berikut:
Dari sini kita mendapatkan aturan membagi bilangan bulat dengan pecahan. Untuk membagi bilangan bulat dengan pecahan, Anda perlu mengalikan bilangan bulat ini dengan penyebut pecahan tertentu dan, dengan menjadikan hasil kali ini sebagai pembilangnya, bagilah dengan pembilang pecahan tersebut.
Mari kita tulis aturannya menggunakan huruf:
Untuk memperjelas aturan ini, perlu diingat bahwa pecahan dapat dianggap sebagai hasil bagi. Oleh karena itu, berguna untuk membandingkan aturan yang ditemukan dengan aturan pembagian suatu bilangan dengan hasil bagi, yang ditetapkan dalam § 38. Harap dicatat bahwa rumus yang sama diperoleh di sana.
Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:
4. Membagi pecahan dengan pecahan.
Katakanlah kita perlu membagi 3/4 dengan 3/8. Berapakah arti dari bilangan hasil pembagian? Ini akan menjawab pertanyaan berapa kali pecahan 3/8 terkandung dalam pecahan 3/4. Untuk memahami masalah ini, mari kita buat gambarnya (Gbr. 20).
Mari kita ambil ruas AB, anggap menjadi satu, bagi menjadi 4 bagian yang sama besar dan tandai 3 bagian tersebut. Ruas AC sama dengan 3/4 ruas AB. Sekarang mari kita bagi masing-masing empat ruas asal menjadi dua, maka ruas AB akan dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar dan masing-masing bagian tersebut akan sama dengan 1/8 ruas AB. Mari kita hubungkan 3 ruas tersebut dengan busur, maka masing-masing ruas AD dan DC sama dengan 3/8 ruas AB. Gambar tersebut menunjukkan bahwa ruas sama dengan 3/8 terdapat dalam ruas sama dengan 3/4 tepat 2 kali; Artinya hasil pembagiannya dapat dituliskan sebagai berikut:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Mari kita lihat contoh lainnya. Katakanlah kita perlu membagi 15/16 dengan 3/32:
Kita dapat beralasan seperti ini: kita perlu mencari bilangan yang, setelah dikalikan dengan 3/32, akan menghasilkan hasil kali sebesar 15/16. Mari kita tulis perhitungannya seperti ini:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nomor tak dikenal X adalah 15/16
1/32 dari nomor tak dikenal X adalah ,
32/32 angka X dandan .
Karena itu,
Jadi, untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan mengalikan penyebut pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan menjadikan hasil kali pertama sebagai pembilangnya, dan yang kedua penyebutnya.
Mari kita tulis aturannya menggunakan huruf:
Saat membagi, singkatan dimungkinkan, misalnya:
5. Pembagian bilangan campuran.
Saat membagi bilangan campuran, terlebih dahulu harus diubah menjadi pecahan biasa, kemudian pecahan yang dihasilkan harus dibagi sesuai aturan pembagian pecahan. Mari kita lihat sebuah contoh:
Mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:
Sekarang mari kita bagi:
Jadi, untuk membagi bilangan campuran, Anda perlu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan kemudian membaginya menggunakan aturan pembagian pecahan.
6. Menemukan bilangan dari pecahan tertentu.
Di antara berbagai soal pecahan, terkadang ada soal yang memberikan nilai pecahan tertentu dari bilangan yang tidak diketahui dan Anda perlu mencari bilangan tersebut. Jenis soal ini akan menjadi kebalikan dari soal mencari pecahan suatu bilangan tertentu; disana diberikan suatu bilangan dan diharuskan mencari pecahan dari bilangan tersebut, disini diberikan pecahan dari suatu bilangan dan diharuskan mencari sendiri bilangan tersebut. Gagasan ini akan menjadi lebih jelas jika kita beralih ke pemecahan masalah seperti ini.
Tugas 1. Pada hari pertama, tukang kaca melapisi 50 jendela, yaitu 1/3 dari seluruh jendela rumah yang dibangun. Berapa banyak jendela yang ada di rumah ini?
Larutan. Soalnya mengatakan bahwa 50 jendela kaca merupakan 1/3 dari seluruh jendela rumah, yang berarti total jendelanya 3 kali lebih banyak, yaitu.
Rumah itu memiliki 150 jendela.
Tugas 2. Toko tersebut menjual 1.500 kg tepung, yang merupakan 3/8 dari total stok tepung yang dimiliki toko tersebut. Berapa persediaan awal tepung di toko tersebut?
Larutan. Dari kondisi permasalahan terlihat bahwa 1.500 kg tepung yang terjual merupakan 3/8 dari total stok; Artinya 1/8 dari cadangan ini akan menjadi 3 kali lebih sedikit, yaitu untuk menghitungnya Anda perlu mengurangi 1500 sebanyak 3 kali:
1.500: 3 = 500 (ini 1/8 dari cadangan).
Jelas, seluruh pasokan akan menjadi 8 kali lebih besar. Karena itu,
500 8 = 4.000 (kg).
Stok awal tepung di toko sebanyak 4.000 kg.
Dari pertimbangan masalah ini, aturan berikut dapat diturunkan.
Untuk mencari suatu bilangan dari suatu nilai pecahan tertentu, cukup dengan membagi nilai tersebut dengan pembilang pecahan dan mengalikan hasilnya dengan penyebut pecahan tersebut.
Kami memecahkan dua soal dalam menemukan bilangan berdasarkan pecahannya. Masalah-masalah seperti itu, seperti yang terlihat jelas dari masalah terakhir, diselesaikan dengan dua tindakan: pembagian (saat satu bagian ditemukan) dan perkalian (saat ditemukan bilangan bulat).
Namun setelah kita mempelajari pembagian pecahan, maka permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan satu tindakan yaitu: pembagian dengan pecahan.
Misalnya, tugas terakhir dapat diselesaikan dalam satu tindakan seperti ini:
Di masa depan, kita akan menyelesaikan masalah mencari bilangan dari pecahannya dengan satu tindakan - pembagian.
7. Menemukan suatu bilangan berdasarkan persentasenya.
Dalam soal ini Anda perlu mencari angka yang mengetahui beberapa persen dari angka tersebut.
Tugas 1. Pertama tahun ini Saya menerima 60 rubel dari bank tabungan. penghasilan dari jumlah yang saya simpan di tabungan setahun yang lalu. Berapa banyak uang yang saya simpan di bank tabungan? (Meja kas memberi deposan pengembalian 2% per tahun.)
Maksud masalahnya adalah saya menaruh sejumlah uang di bank tabungan dan tinggal di sana selama setahun. Setahun kemudian, saya menerima 60 rubel darinya. penghasilan yaitu 2/100 dari uang yang saya setorkan. Berapa banyak uang yang saya masukkan?
Oleh karena itu, dengan mengetahui sebagian dari uang ini, yang dinyatakan dalam dua cara (dalam rubel dan pecahan), kita harus menemukan jumlah keseluruhannya, yang belum diketahui. Ini adalah soal biasa dalam menemukan suatu bilangan berdasarkan pecahannya. Masalah-masalah berikut diselesaikan dengan pembagian:
Ini berarti 3.000 rubel disimpan di bank tabungan.
Tugas 2. Nelayan memenuhi rencana bulanan sebesar 64% dalam dua minggu, memanen 512 ton ikan. Apa rencana mereka?
Dari kondisi permasalahan diketahui bahwa para nelayan telah menyelesaikan sebagian rencananya. Bagian ini setara dengan 512 ton, yaitu 64% dari rencana. Kami belum tahu berapa ton ikan yang perlu disiapkan sesuai rencana. Menemukan nomor ini akan menjadi solusi masalah tersebut.
Masalah-masalah tersebut diselesaikan dengan pembagian:
Artinya, rencananya perlu disiapkan ikan sebanyak 800 ton.
Tugas 3. Kereta berangkat dari Riga ke Moskow. Saat melewati kilometer ke-276, salah satu penumpang bertanya kepada kondektur yang lewat berapa lama perjalanan yang telah mereka tempuh. Kondektur menjawab: “Kami telah menempuh 30% dari keseluruhan perjalanan.” Berapa jarak dari Riga ke Moskow?
Dari kondisi permasalahan terlihat bahwa 30% rute Riga ke Moskow adalah 276 km. Kita perlu mencari seluruh jarak antara kota-kota ini, yaitu untuk bagian ini, cari keseluruhannya:
§ 91. Bilangan timbal balik. Mengganti pembagian dengan perkalian.
Mari kita ambil pecahan 2/3 dan ganti pembilangnya dengan penyebutnya, kita mendapatkan 3/2. Kami mendapat kebalikan dari pecahan ini.
Untuk mendapatkan pecahan yang merupakan kebalikan dari pecahan tertentu, Anda harus meletakkan pembilangnya sebagai penyebut, dan penyebutnya sebagai pembilangnya. Dengan cara ini kita bisa mendapatkan kebalikan dari pecahan apa pun. Misalnya:
3/4, membalikkan 4/3; 5/6, mundur 6/5
Dua pecahan yang mempunyai sifat pembilang pecahan pertama adalah penyebut pecahan kedua, dan penyebut pecahan pertama adalah pembilang pecahan kedua, disebut saling berbanding terbalik.
Sekarang mari kita pikirkan pecahan apa yang berbanding terbalik dengan 1/2. Jelasnya, hasilnya adalah 2/1, atau hanya 2. Dengan mencari kebalikan dari pecahan yang diberikan, kita mendapatkan bilangan bulat. Dan kasus ini tidak terisolasi; sebaliknya, untuk semua pecahan yang pembilangnya 1 (satu), kebalikannya adalah bilangan bulat, contoh:
1/3, mundur 3; 1/5, mundur 5
Karena dalam mencari pecahan timbal balik kita juga menjumpai bilangan bulat, maka selanjutnya kita tidak akan membahas tentang pecahan timbal balik, melainkan tentang nomor timbal balik X.
Mari kita cari tahu cara menulis invers bilangan bulat. Untuk pecahan, ini dapat diselesaikan dengan sederhana: Anda harus meletakkan penyebutnya di tempat pembilangnya. Dengan cara yang sama, Anda bisa mendapatkan invers suatu bilangan bulat, karena bilangan bulat apa pun dapat memiliki penyebut 1. Artinya invers dari 7 adalah 1/7, karena 7 = 7/1; untuk bilangan 10 kebalikannya adalah 1/10, karena 10 = 10/1
Ide ini dapat diungkapkan dengan cara yang berbeda: kebalikan dari suatu bilangan diperoleh dengan membagi satu dengan bilangan tertentu. Pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk bilangan bulat, tetapi juga untuk pecahan. Faktanya, jika kita ingin menulis kebalikan dari pecahan 5/9, maka kita dapat mengambil 1 dan membaginya dengan 5/9, yaitu.
Sekarang mari kita tunjukkan satu hal Properti bilangan timbal balik, yang akan berguna bagi kita: hasil kali bilangan timbal balik sama dengan satu. Memang:
Dengan menggunakan properti ini, kita dapat mencari bilangan timbal balik dengan cara berikut. Katakanlah kita perlu mencari invers dari 8.
Mari kita nyatakan dengan huruf X , lalu 8 X = 1, maka X = 1/8. Mari kita cari bilangan lain yang merupakan kebalikan dari 7/12 dan dilambangkan dengan huruf X , lalu 7/12 X = 1, maka X = 1:7/12 atau X = 12 / 7 .
Di sini kami memperkenalkan konsep bilangan timbal balik untuk sedikit melengkapi informasi tentang pembagian pecahan.
Saat kita membagi angka 6 dengan 3/5, kita melakukan hal berikut:
Tolong bayar Perhatian khusus ke ekspresi dan bandingkan dengan yang diberikan: .
Jika kita mengambil ungkapan tersebut secara terpisah, tanpa menghubungkan dengan ungkapan sebelumnya, maka tidak mungkin menyelesaikan pertanyaan dari mana asalnya: dari membagi 6 dengan 3/5 atau dari mengalikan 6 dengan 5/3. Dalam kedua kasus tersebut, hal yang sama terjadi. Oleh karena itu kami dapat mengatakan bahwa membagi suatu bilangan dengan bilangan lain dapat diganti dengan mengalikan pembaginya dengan kebalikan dari pembaginya.
Contoh yang kami berikan di bawah ini sepenuhnya menegaskan kesimpulan ini.
Mengalikan dan membagi pecahan.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang “sangat…”)
Operasi ini jauh lebih bagus daripada penjumlahan-pengurangan! Karena lebih mudah. Ingatlah bahwa untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu mengalikan pembilangnya (ini akan menjadi pembilang hasilnya) dan penyebutnya (ini akan menjadi penyebutnya). Itu adalah:
Misalnya:
Semuanya sangat sederhana. Dan tolong jangan mencari persamaan! Dia tidak perlu ada di sini...
Untuk membagi pecahan dengan pecahan, Anda perlu melakukan pembalikan Kedua(ini penting!) pecahan dan mengalikannya, yaitu:
Misalnya:
Jika Anda menjumpai perkalian atau pembagian dengan bilangan bulat dan pecahan, tidak apa-apa. Seperti halnya penjumlahan, kita membuat pecahan dari bilangan bulat dengan satu sebagai penyebutnya - dan lanjutkan! Misalnya:
Di sekolah menengah, Anda sering kali harus berurusan dengan pecahan tiga lantai (atau bahkan empat lantai!). Misalnya:
Bagaimana caranya agar pecahan ini terlihat layak? Ya, sangat sederhana! Gunakan pembagian dua titik:
Tapi jangan lupa tentang urutan pembagiannya! Berbeda dengan perkalian, ini sangat penting di sini! Tentu saja, kita tidak akan bingung membedakan 4:2 atau 2:4. Namun mudah untuk membuat kesalahan dalam pecahan tiga lantai. Harap dicatat misalnya:
Dalam kasus pertama (ekspresi di sebelah kiri):
Yang kedua (ekspresi di sebelah kanan):
Apakah Anda merasakan perbedaannya? 4 dan 1/9!
Apa yang menentukan urutan pembagian? Baik dengan tanda kurung, atau (seperti di sini) dengan panjang garis horizontal. Kembangkan mata Anda. Dan jika tidak ada tanda kurung atau tanda hubung, seperti:
lalu bagi dan kalikan secara berurutan, dari kiri ke kanan!
Dan juga sangat sederhana dan teknik penting. Dalam tindakan dengan derajat, itu akan sangat berguna bagi Anda! Mari kita bagi satu dengan pecahan apa pun, misalnya dengan 13/15:
Tembakannya telah terbalik! Dan ini selalu terjadi. Jika 1 dibagi dengan pecahan apa pun, hasilnya adalah pecahan yang sama, hanya saja terbalik.
Itu saja untuk operasi pecahan. Masalahnya cukup sederhana, tetapi memberikan lebih dari cukup kesalahan. Catatan saran praktis, dan akan ada lebih sedikit (kesalahan)!
Kiat praktis:
1. Hal terpenting saat mengerjakan ekspresi pecahan adalah akurasi dan perhatian! Ini bukan kata-kata umum, bukan harapan baik! Ini kebutuhan yang sangat mendesak! Lakukan semua perhitungan pada Unified State Examination sebagai tugas yang lengkap, fokus dan jelas. Lebih baik menulis dua baris tambahan di draf Anda daripada membuat kesalahan saat melakukan perhitungan mental.
2. Dalam contoh dengan jenis yang berbeda pecahan - beralih ke pecahan biasa.
3. Kita kurangi semua pecahan sampai berhenti.
4. Bertingkat ekspresi pecahan dikurangi menjadi biasa dengan pembagian melalui dua titik (perhatikan urutan pembagiannya!).
5. Bagilah satuan dengan pecahan di kepala Anda, cukup balikkan pecahan tersebut.
Berikut tugas-tugas yang pasti harus Anda selesaikan. Jawaban diberikan setelah semua tugas. Gunakan materi tentang topik ini dan tips praktis. Perkirakan berapa banyak contoh yang dapat Anda selesaikan dengan benar. Pertama kali! Tanpa kalkulator! Dan ambil kesimpulan yang benar...
Ingat - jawaban yang benar adalah diterima dari kali kedua (terutama yang ketiga) tidak dihitung! Begitulah kerasnya kehidupan.
Jadi, selesaikan dalam mode ujian ! Omong-omong, ini sudah merupakan persiapan untuk Ujian Negara Bersatu. Kita selesaikan contohnya, periksa, selesaikan yang berikutnya. Kami memutuskan segalanya - memeriksa lagi dari awal hingga terakhir. Tapi hanya Kemudian lihat jawabannya.
Menghitung:
Sudahkah Anda memutuskan?
Kami mencari jawaban yang sesuai dengan jawaban Anda. Sengaja saya tulis berantakan, jauh dari godaan, boleh dibilang... Ini dia jawabannya, ditulis dengan titik koma.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Sekarang kita menarik kesimpulan. Jika semuanya berhasil, saya turut berbahagia untuk Anda! Perhitungan dasar dengan pecahan bukan masalah Anda! Anda dapat melakukan hal-hal yang lebih serius. Jika tidak...
Jadi, Anda memiliki satu dari dua masalah. Atau keduanya sekaligus.) Kurangnya pengetahuan dan (atau) kurangnya perhatian. Tapi ini larut Masalah.
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs menarik lainnya untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Mari belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa mengenal fungsi dan turunannya.
Mengalikan bilangan bulat dengan pecahan bukanlah tugas yang sulit. Namun ada beberapa seluk-beluk yang mungkin Anda pahami di sekolah, tetapi kemudian Anda lupakan.
Cara mengalikan bilangan bulat dengan pecahan - beberapa suku
Jika Anda ingat apa itu pembilang dan penyebut serta perbedaan pecahan biasa dan pecahan biasa, lewati paragraf ini. Ini untuk mereka yang sudah benar-benar melupakan teorinya.
Pembilangnya adalah bagian atas pecahan - yang kita bagi. Penyebutnya lebih rendah. Inilah yang kami bagi.
Pecahan wajar adalah pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Pecahan biasa adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya.
Cara mengalikan bilangan bulat dengan pecahan
Aturan mengalikan bilangan bulat dengan pecahan sangat sederhana - kita mengalikan pembilangnya dengan bilangan bulat, tetapi jangan menyentuh penyebutnya. Misalnya: dua dikalikan seperlima - kita mendapatkan dua perlima. Empat dikalikan tiga per enam belas sama dengan dua belas per enam belas.
Pengurangan
Pada contoh kedua, pecahan yang dihasilkan dapat dikurangi.
Apa artinya? Perlu diketahui bahwa pembilang dan penyebut pecahan ini habis dibagi empat. Bagilah kedua angka tersebut dengan pembagi persekutuan dan itu disebut mereduksi pecahan. Kami mendapat tiga perempat.
Pecahan yang tidak wajar
Tapi misalkan kita mengalikan empat dengan dua per lima. Ternyata menjadi delapan per lima. Ini adalah pecahan biasa.
Dia pasti perlu dibawa ke sana jenis yang tepat. Untuk melakukan ini, Anda perlu memilih seluruh bagian darinya.
Di sini Anda perlu menggunakan pembagian dengan sisa. Kami mendapat satu dan tiga sebagai sisanya.
Satu bilangan bulat dan tiga perlima adalah pecahan biasa kita.
Membawa tiga puluh lima perdelapan ke bentuk yang benar sedikit lebih sulit. Bilangan terdekat dengan tiga puluh tujuh yang habis dibagi delapan adalah tiga puluh dua. Jika dibagi kita mendapat empat. Kurangi tiga puluh dua dari tiga puluh lima dan kita mendapatkan tiga. Hasil: empat utuh dan tiga perdelapan.
Persamaan pembilang dan penyebut. Dan di sini semuanya sangat sederhana dan indah. Jika pembilang dan penyebutnya sama, maka hasilnya hanya satu.
Operasi lain yang dapat dilakukan dengan pecahan biasa adalah perkalian. Kami akan mencoba menjelaskan aturan dasarnya ketika menyelesaikan masalah, menunjukkan cara mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli dan cara mengalikan tiga dengan benar. pecahan biasa dan banyak lagi.
Mari kita tuliskan dulu aturan dasarnya:
Definisi 1
Jika kita mengalikan satu pecahan biasa, maka pembilang pecahan yang dihasilkan akan sama dengan hasil kali pembilang pecahan aslinya, dan penyebutnya akan sama dengan hasil kali penyebutnya. Dalam bentuk harafiahnya, untuk dua pecahan a / b dan c / d, dapat dinyatakan sebagai a b · c d = a · c b · d.
Mari kita lihat contoh bagaimana menerapkan aturan ini dengan benar. Katakanlah kita mempunyai sebuah persegi yang sisi-sisinya sama dengan satu satuan numerik. Maka luas bangun tersebut adalah 1 persegi. satuan. Jika kita membagi persegi menjadi persegi panjang yang sama panjang dengan sisi yang sama dengan 1 4 dan 1 8 satuan numerik, kita mendapatkan bahwa persegi tersebut sekarang terdiri dari 32 persegi panjang (karena 8 4 = 32). Dengan demikian, luas masing-masing gambar akan sama dengan 1 32 luas keseluruhan gambar, yaitu. 1 32 meter persegi. unit.
Kita mempunyai pecahan yang diarsir dengan sisi-sisinya sama dengan 5 8 satuan numerik dan 3 4 satuan numerik. Oleh karena itu, untuk menghitung luasnya, Anda perlu mengalikan pecahan pertama dengan pecahan kedua. Ini akan sama dengan 5 8 · 3 4 persegi. unit. Tapi kita cukup menghitung berapa banyak persegi panjang yang termasuk dalam fragmen: ada 15 persegi panjang, artinya luas keseluruhan adalah 15 32 satuan persegi.
Karena 5 3 = 15 dan 8 4 = 32, kita dapat menulis persamaan berikut:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Hal ini menegaskan aturan yang kami rumuskan untuk mengalikan pecahan biasa, yang dinyatakan sebagai a b · c d = a · c b · d. Cara kerjanya sama untuk pecahan biasa dan pecahan biasa; Dapat digunakan untuk mengalikan pecahan yang penyebutnya berbeda dan sama.
Mari kita lihat solusi beberapa soal yang melibatkan perkalian pecahan biasa.
Contoh 1
Kalikan 7 11 dengan 9 8.
Larutan
Pertama, mari kita hitung hasil kali pembilang pecahan yang ditunjukkan dengan mengalikan 7 dengan 9. Kami mendapat 63. Kemudian kita menghitung hasil kali penyebutnya dan mendapatkan: 11 · 8 = 88. Mari kita buat dua angka dan jawabannya adalah: 63 88.
Seluruh solusi dapat ditulis seperti ini:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Menjawab: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Jika kita mendapatkan pecahan tereduksi dalam jawaban kita, kita perlu menyelesaikan perhitungan dan melakukan pengurangannya. Jika kita mendapatkan pecahan biasa, kita perlu memisahkan seluruh bagiannya.
Contoh 2
Hitung hasil kali pecahan 4 15 dan 55 6 .
Larutan
Berdasarkan aturan yang dipelajari di atas, kita perlu mengalikan pembilang dengan pembilangnya, dan penyebutnya dengan penyebutnya. Catatan solusinya akan terlihat seperti ini:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Kami mendapat pecahan yang dapat direduksi, mis. yang habis dibagi 10.
Mari kita kurangi pecahannya: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Hasilnya, kami mendapatkan pecahan biasa, dari mana kami memilih seluruh bagian dan mendapatkan bilangan campuran: 22 9 = 2 4 9.
Menjawab: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Untuk memudahkan penghitungan, kita juga dapat mereduksi pecahan asli sebelum melakukan operasi perkalian, untuk itu kita perlu mereduksi pecahan tersebut menjadi bentuk a · c b · d. Mari kita menguraikan nilai-nilai variabel menjadi faktor-faktor sederhana dan mengurangi nilai-nilai yang sama.
Mari kita jelaskan seperti apa menggunakan data dari tugas tertentu.
Contoh 3
Hitung produknya 4 15 55 6.
Larutan
Mari kita tuliskan perhitungannya berdasarkan aturan perkalian. Kita akan mendapatkan:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Karena 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 dan 6 = 2 3, maka 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Menjawab: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Ekspresi numerik yang mengalikan pecahan biasa memiliki sifat komutatif, yaitu jika perlu, kita dapat mengubah urutan faktornya:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Cara mengalikan pecahan dengan bilangan asli
Mari kita tuliskan aturan dasarnya segera, lalu coba jelaskan dalam praktik.
Definisi 2
Untuk mengalikan pecahan biasa dengan bilangan asli, Anda perlu mengalikan pembilang pecahan tersebut dengan bilangan tersebut. Dalam hal ini, penyebut pecahan akhir akan sama dengan penyebut pecahan biasa aslinya. Perkalian pecahan tertentu a b dengan bilangan asli n dapat dituliskan dengan rumus a b · n = a · n b.
Rumus ini mudah dipahami jika Anda ingat bahwa bilangan asli apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa dengan penyebut sama dengan satu, itu adalah:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Mari kita jelaskan ide kita dengan contoh spesifik.
Contoh 4
Hitung hasil kali 2 27 kali 5.
Larutan
Hasil mengalikan pembilang pecahan asli dengan faktor kedua, kita mendapatkan 10. Berdasarkan aturan di atas, kita akan mendapatkan 10 27 sebagai hasilnya. Seluruh solusi diberikan dalam posting ini:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Menjawab: 2 27 5 = 10 27
Saat kita mengalikan suatu bilangan asli dengan pecahan, sering kali kita harus menyingkat hasilnya atau menyatakannya sebagai bilangan campuran.
Contoh 5
Kondisi: hitung hasil kali 8 kali 5 12.
Larutan
Sesuai aturan di atas, kita mengalikan bilangan asli dengan pembilangnya. Hasilnya, kita mendapatkan 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Pecahan terakhir mempunyai tanda-tanda habis dibagi 2, jadi kita perlu menguranginya:
KPK (40, 12) = 4, jadi 40 12 = 40:4 12:4 = 10 3
Sekarang yang harus kita lakukan adalah memilih seluruh bagian dan menuliskan jawaban yang sudah jadi: 10 3 = 3 1 3.
Dalam entri ini Anda dapat melihat seluruh solusi: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Kita juga bisa mengurangkan pecahan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya menjadi faktor prima, dan hasilnya akan sama persis.
Menjawab: 5 12 8 = 3 1 3.
Ekspresi numerik yang mengalikan bilangan asli dengan pecahan juga memiliki sifat perpindahan, yaitu urutan faktor tidak mempengaruhi hasil:
a b · n = n · a b = a · n b
Cara mengalikan tiga pecahan biasa atau lebih
Kita dapat memperluas tindakan mengalikan pecahan biasa dengan sifat-sifat yang sama dengan karakteristik perkalian bilangan asli. Ini mengikuti definisi konsep-konsep ini.
Berkat pengetahuan tentang sifat gabungan dan komutatif, Anda dapat mengalikan tiga atau lebih pecahan biasa. Boleh saja mengatur ulang faktor-faktornya agar lebih mudah atau mengatur tanda kurung sedemikian rupa sehingga memudahkan penghitungan.
Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana hal ini dilakukan.
Contoh 6
Kalikan empat pecahan biasa 1 20, 12 5, 3 7 dan 5 8.
Solusi: Pertama, mari kita rekam pekerjaannya. Kita peroleh 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Kita perlu mengalikan semua pembilang dan penyebutnya: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Sebelum kita mulai mengalikan, kita dapat mempermudah diri kita sendiri dan memfaktorkan beberapa bilangan menjadi faktor prima untuk pengurangan lebih lanjut. Ini akan lebih mudah daripada mengurangi hasil pecahan yang sudah jadi.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280
Menjawab: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.
Contoh 7
Kalikan 5 angka 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Larutan
Untuk memudahkan, kita dapat mengelompokkan pecahan 7 8 dengan angka 8, dan angka 12 dengan pecahan 5 36, karena singkatan selanjutnya akan jelas bagi kita. Hasilnya, kita akan mendapatkan:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Menjawab: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan atau pecahan dengan angka dengan benar, Anda perlu mengetahuinya aturan sederhana. Kami sekarang akan menganalisis aturan-aturan ini secara rinci.
Mengalikan pecahan biasa dengan pecahan.
Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, Anda perlu menghitung hasil kali pembilang dan hasil kali penyebut pecahan tersebut.
\(\bf \frac(a)(b) \kali \frac(c)(d) = \frac(a \kali c)(b \kali d)\\\)
Mari kita lihat sebuah contoh:
Kita kalikan pembilang pecahan pertama dengan pembilang pecahan kedua, dan kita juga mengalikan penyebut pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua.
\(\frac(6)(7) \kali \frac(2)(3) = \frac(6 \kali 2)(7 \kali 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ kali 3)(7 \kali 3) = \frac(4)(7)\\\)
Pecahan \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) dikurangi 3.
Mengalikan pecahan dengan angka.
Pertama, mari kita ingat aturannya, bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Mari gunakan aturan ini saat mengalikan.
\(5 \kali \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \kali \frac(4)(7) = \frac(5 \kali 4)(1 \kali 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Pecahan tak wajar \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) dikonversi menjadi pecahan campuran.
Dengan kata lain, Saat mengalikan suatu bilangan dengan pecahan, kita mengalikan bilangan tersebut dengan pembilangnya dan membiarkan penyebutnya tidak berubah. Contoh:
\(\frac(2)(5) \kali 3 = \frac(2 \kali 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \kali c = \frac(a \kali c)(b)\\\)
Mengalikan pecahan campuran.
Untuk mengalikan pecahan campuran, pertama-tama Anda harus menyatakan setiap pecahan campuran sebagai pecahan biasa, lalu menggunakan aturan perkalian. Kita mengalikan pembilangnya dengan pembilangnya, dan mengalikan penyebutnya dengan penyebutnya.
Contoh:
\(2\frac(1)(4) \kali 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \kali \frac(23)(6) = \frac(9 \kali 23) (4 \kali 6) = \frac(3 \kali \warna(merah) (3) \kali 23)(4 \kali 2 \kali \warna(merah) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Perkalian pecahan dan bilangan timbal balik.
Pecahan \(\bf \frac(a)(b)\) adalah kebalikan dari pecahan \(\bf \frac(b)(a)\), asalkan a≠0,b≠0.
Pecahan \(\bf \frac(a)(b)\) dan \(\bf \frac(b)(a)\) disebut pecahan timbal balik. Hasil kali pecahan timbal balik sama dengan 1.
\(\bf \frac(a)(b) \kali \frac(b)(a) = 1 \\\)
Contoh:
\(\frac(5)(9) \kali \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Pertanyaan-pertanyaan Terkait:
Bagaimana cara mengalikan pecahan dengan pecahan?
Jawaban: Hasil kali pecahan biasa adalah perkalian pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut. Untuk mendapatkan hasil kali pecahan campuran, Anda perlu mengubahnya menjadi pecahan biasa dan mengalikannya sesuai aturan.
Bagaimana cara mengalikan pecahan yang penyebutnya berbeda?
Jawaban: tidak masalah apakah keduanya sama atau penyebut yang berbeda Untuk pecahan, perkalian terjadi menurut aturan mencari hasil kali pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut.
Bagaimana cara mengalikan pecahan campuran?
Jawaban: pertama-tama, Anda perlu mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa dan kemudian mencari hasil kali menggunakan aturan perkalian.
Bagaimana cara mengalikan suatu bilangan dengan pecahan?
Jawaban: kita mengalikan bilangan tersebut dengan pembilangnya, tetapi membiarkan penyebutnya tetap sama.
Contoh 1:
Hitung hasil kali: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Larutan:
a) \(\frac(8)(9) \kali \frac(7)(11) = \frac(8 \kali 7)(9 \kali 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \kali \frac(10)(13) = \frac(2 \kali 10)(15 \kali 13) = \frac(2 \kali 2 \kali \warna( merah) (5))(3 \kali \warna(merah) (5) \kali 13) = \frac(4)(39)\)
Contoh #2:
Menghitung hasil kali suatu bilangan dan pecahan: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Larutan:
a) \(3 \kali \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \kali \frac(17)(23) = \frac(3 \kali 17)(1 \kali 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \kali 11 = \frac(2)(3) \kali \frac(11)(1) = \frac(2 \kali 11)(3 \kali 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Contoh #3:
Tuliskan kebalikan dari pecahan \(\frac(1)(3)\)?
Jawaban: \(\frac(3)(1) = 3\)
Contoh #4:
Hitung hasil kali dua pecahan timbal balik: a) \(\frac(104)(215) \kali \frac(215)(104)\)
Larutan:
a) \(\frac(104)(215) \kali \frac(215)(104) = 1\)
Contoh #5:
Bisakah pecahan berbanding terbalik menjadi:
a) bersamaan dengan pecahan biasa;
b) pecahan biasa serentak;
c) pada waktu yang sama bilangan asli?
Larutan:
a) untuk menjawab pertanyaan pertama, mari kita beri contoh. Pecahan \(\frac(2)(3)\) adalah pecahan wajar, kebalikan pecahannya akan sama dengan \(\frac(3)(2)\) - pecahan biasa. Jawaban: tidak.
b) hampir pada semua pencacahan pecahan syarat ini tidak terpenuhi, namun ada beberapa bilangan yang memenuhi syarat sekaligus merupakan pecahan biasa. Misalnya, pecahan biasa adalah \(\frac(3)(3)\), kebalikan pecahannya sama dengan \(\frac(3)(3)\). Kami mendapatkan dua pecahan biasa. Jawaban: tidak selalu kondisi tertentu bila pembilang dan penyebutnya sama.
c) bilangan asli adalah bilangan yang kita gunakan pada saat berhitung, misalnya 1, 2, 3,…. Jika kita mengambil bilangan \(3 = \frac(3)(1)\), maka kebalikan pecahannya adalah \(\frac(1)(3)\). Pecahan \(\frac(1)(3)\) bukan bilangan asli. Jika kita menelusuri semua bilangan, maka kebalikan dari bilangan tersebut selalu berupa pecahan, kecuali 1. Jika kita mengambil bilangan 1, maka kebalikan dari bilangan tersebut adalah \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Angka 1 adalah bilangan asli. Jawaban: keduanya dapat sekaligus menjadi bilangan asli hanya dalam satu kasus, jika itu adalah bilangan 1.
Contoh #6:
Selesaikan hasil kali pecahan campuran: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Larutan:
a) \(4 \kali 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \kali \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \kali 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \kali \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Contoh #7:
Bisakah dua bilangan timbal balik menjadi bilangan campuran sekaligus?
Mari kita lihat sebuah contoh. Mari kita ambil pecahan campuran \(1\frac(1)(2)\), cari kebalikan pecahannya, untuk melakukan ini kita ubah menjadi pecahan biasa \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Pecahan kebalikannya akan sama dengan \(\frac(2)(3)\) . Pecahan \(\frac(2)(3)\) adalah pecahan biasa. Jawaban: Dua pecahan yang saling berbanding terbalik tidak dapat merupakan bilangan campuran sekaligus.