Pusat massa sistem adalah titik dengan vektor jari-jari
Untuk distribusi massa yang kontinyu dengan massa jenis 
. Jika gaya gravitasi yang diterapkan pada setiap partikel sistem diarahkan SATU ARAH, maka pusat massanya berimpit dengan pusat gravitasi. Tapi jika 
tidak paralel, maka pusat massa dan pusat gravitasi tidak berimpit.
Mengambil turunan waktu dari 
, kita mendapatkan:
itu. momentum total sistem sama dengan hasil kali massa sistem dan kecepatan pusat massa.
Mengganti persamaan ini ke dalam hukum perubahan momentum total, kita mendapatkan:
Pusat massa sistem bergerak seperti sebuah partikel di mana seluruh massa sistem terkonsentrasi dan massa yang dihasilkan diterapkan padanya. luar kekuatan
Pada progresif Dalam gerak, semua titik suatu benda tegar bergerak dengan cara yang sama seperti pusat massa (sepanjang lintasan yang sama), oleh karena itu, untuk menggambarkan gerak translasi cukup dengan menuliskan dan menyelesaikan persamaan gerak pusat massa. .
Karena 
, lalu pusat massa sistem tertutup harus mempertahankan keadaan istirahat atau gerak linier beraturan, yaitu 
=konstan. Namun pada saat yang sama, seluruh sistem dapat berputar, terbang terpisah, meledak, dll. sebagai akibat dari suatu tindakan kekuatan internal.
Penggerak jet. Persamaan Meshchersky
Reaktif disebut gerak suatu benda di mana gerak itu terjadi pencapaian atau membuang massa. Selama proses gerak terjadi perubahan massa benda: dalam waktu dt, benda bermassa m menempel (menyerap) atau menolak (memancarkan) massa dm dengan kecepatan 
relatif terhadap tubuh; dalam kasus pertama dm>0, dalam kasus kedua dm<0.
Mari kita perhatikan gerakan ini dengan menggunakan contoh roket. Mari kita beralih ke kerangka acuan inersia K", yang pada waktu tertentu t bergerak dengan kecepatan yang sama 
, sama seperti roket - ini disebut ISO menemani– dalam kerangka acuan ini roket saat ini berada t beristirahat(kecepatan roket dalam sistem ini 
=0). Jika jumlah gaya luar yang bekerja pada roket tidak sama dengan nol, maka persamaan gerak roket pada sistem K, tetapi karena semua ISO ekuivalen, maka pada sistem K persamaannya akan berbentuk sama:
Ini - Persamaan Meshchersky, menggambarkan gerakan tersebut tubuh mana pun dengan massa variabel).
Dalam persamaan tersebut, massa m adalah besaran variabel dan tidak dapat dimasukkan dalam tanda turunan. Suku kedua pada ruas kanan persamaan disebut kekuatan reaktif
Untuk roket, gaya reaktif berperan sebagai gaya traksi, tetapi jika massa bertambah dm/dt>0, gaya reaktif juga akan menjadi gaya pengereman (misalnya, ketika roket bergerak di awan sebesar debu kosmik).
Energi sistem partikel
Energi suatu sistem partikel terdiri dari kinetik dan potensial. Energi kinetik suatu sistem adalah jumlah energi kinetik seluruh partikel dalam sistem
dan, menurut definisi, adalah kuantitas aditif(seperti impuls).
Situasinya berbeda dengan energi potensial sistem. Pertama, gaya interaksi bekerja antar partikel sistem 
. Oleh karena ituA ij =-dU ij, dimana U ij adalah energi potensial interaksi antara partikel ke-i dan ke-j. Menjumlahkan U ij atas semua partikel sistem, kita menemukan apa yang disebut energi potensial sendiri sistem:
Hal ini penting energi potensial sistem hanya bergantung pada konfigurasinya. Apalagi jumlah ini bukan bahan tambahan.
Kedua, setiap partikel sistem, secara umum, juga dipengaruhi oleh gaya luar. Jika gaya-gaya ini konservatif, maka usahanya akan sama dengan penurunan energi potensial luar A=-dU ext, di mana
dimana U i adalah energi potensial partikel ke-i dalam medan luar. Itu tergantung pada posisi semua partikel di medan luar dan bersifat aditif.
Jadi, energi mekanik total sistem partikel yang terletak di medan potensial eksternal didefinisikan sebagai
Sistem E =K sistem +U int +U ekst
SISTEM MEKANIK adalah sekumpulan benda material yang telah dipilih sebelumnya dan perilakunya dianalisis.
Kedepannya akan digunakan aturan sebagai berikut: DALAM PERHITUNGAN MATEMATIKA, KARAKTERISTIK POIN BAHAN, SESUAI KARAKTERISTIK BADAN BAHAN, AKAN MEMILIKI INDEKS.
MASSA BADAN adalah jumlah massa semua titik material yang membentuk suatu benda
GAYA EKSTERNAL adalah gaya interaksi antara titik-titik material yang termasuk dalam sistem mekanis dan tidak termasuk.
GAYA INTERNAL adalah gaya interaksi antara titik-titik material yang termasuk dalam suatu sistem mekanis.
TEOREMA D1. Jumlah gaya dalam suatu sistem mekanis selalu nol.
Bukti. Menurut aksioma D5, untuk setiap pasangan titik material dari suatu sistem mekanis, jumlah gaya interaksinya selalu sama dengan nol. Tetapi semua titik yang berinteraksi adalah milik sistem dan, oleh karena itu, untuk gaya internal mana pun akan selalu ada kekuatan internal yang berlawanan. Oleh karena itu, jumlah total semua gaya dalam haruslah nol. Dll.
TEOREMA D2.Jumlah momen gaya-gaya dalam suatu sistem mekanik selalu sama dengan nol.
Bukti. Menurut aksioma D5, untuk setiap gaya dalam terdapat gaya dalam yang berlawanan. Karena garis-garis aksi gaya-gaya ini bertepatan, maka bahu gaya-gaya tersebut relatif terhadap titik mana pun dalam ruang akan sama dan, oleh karena itu, momen-momen gaya-gaya tersebut relatif terhadap titik yang dipilih dalam ruang adalah sama besarnya, tetapi tandanya berbeda, karena gaya-gaya tersebut diarahkan ke arah yang berlawanan. Oleh karena itu, jumlah total momen semua gaya dalam haruslah nol. Dll.
TEOREMA D3.Produk massa seluruh sistem mekanik dan percepatan pusat massanya sama dengan jumlah semua gaya luar yang bekerja pada sistem.
Bukti. Mari kita perhatikan sistem mekanis sembarang yang terdiri dari sejumlah benda material yang terbatas. Berdasarkan aksioma D2, kita dapat membagi setiap benda menjadi sejumlah titik material yang terbatas. Biarkan semuanya diterima N poin seperti itu. Untuk setiap titik tersebut, berdasarkan aksioma D4, kita dapat membuat persamaan gerak
Mengingat bahwa 
(KINEMATIK hal. 3), serta menghancurkan semua gaya yang bekerja Saya Poin ke eksternal dan internal kita peroleh dari persamaan sebelumnya
Jika kita menjumlahkan persamaan gerak semua titik dalam sistem, kita mendapatkan
Dengan menggunakan komutatifitas operasi penjumlahan dan diferensiasi (sebenarnya, tanda penjumlahan dan diferensiasi dapat ditukar), kita peroleh
(40)
Ekspresi yang diperoleh dalam tanda kurung dapat direpresentasikan melalui koordinat pusat massa sistem (STATIS hal. 15)
Di mana M– massa seluruh sistem;
Vektor radius pusat massa sistem.
Sebagai berikut dari Teorema D1, maka suku terakhir dalam ekspresi (40) hilang
atau 
, dll. (41)
Konsekuensi. Pusat massa suatu sistem mekanis bergerak seolah-olah itu adalah suatu titik material yang memiliki seluruh massa sistem dan di mana semua gaya luar direduksi.
Pergerakan sistem mekanis tanpa adanya gaya luar
Teorema D4. Jika gaya-gaya luar yang bekerja pada suatu sistem mekanik seimbang pada arah tertentu, maka pusat massa sistem pada arah tersebut akan bergerak dengan kecepatan tetap.
Bukti X bertepatan dengan arah keseimbangan gaya luar, yaitu. jumlah proyeksi gaya luar pada sumbu X sama dengan nol
Kemudian menurut Teorema D3
Oleh karena itu
Jika kita mengintegrasikan ekspresi terakhir, kita mendapatkan
TEOREMA D5. Jika gaya-gaya luar yang bekerja pada suatu sistem mekanik seimbang dalam arah tertentu dan pada saat awal sistem dalam keadaan diam, maka pusat massa sistem tetap tidak bergerak sepanjang gerak.
Bukti. Mengulangi alasan yang diberikan dalam pembuktian teorema sebelumnya, kita menemukan bahwa kecepatan pusat massa harus tetap sama seperti pada saat awal, yaitu. batal
Mengintegrasikan ungkapan ini, kita mendapatkan
TEOREMA D6. Jika gaya-gaya luar yang bekerja pada suatu sistem mekanik seimbang dalam arah tertentu dan pada saat awal sistem diam, maka jumlah hasil kali massa masing-masing benda sistem dan perpindahan mutlaknya sendiri pusat massa dalam arah yang sama adalah nol.
Bukti. Mari kita pilih sistem koordinat sedemikian rupa sehingga menjadi sumbu X bertepatan dengan arah di mana kekuatan eksternal seimbang atau tidak ada ( F 1, F 2, …, Fk pada Gambar. 3), yaitu jumlah proyeksi gaya luar pada sumbu X sama dengan nol
Ketika kita berhadapan dengan sistem partikel, akan lebih mudah untuk menemukan titik - pusat massa - yang akan mencirikan posisi dan pergerakan sistem ini secara keseluruhan. Dalam sistem dua partikel identik, titik C jelas terletak di tengah-tengah keduanya (Gbr. 110a). Hal ini jelas dari pertimbangan simetri: dalam ruang homogen dan isotropik, titik ini dibedakan dari titik lainnya, karena untuk titik A lain yang terletak lebih dekat ke salah satu partikel, terdapat titik B yang simetris dengannya, terletak lebih dekat ke partikel. partikel kedua.
Beras. 110. Pusat massa dua partikel identik berada di titik C dengan vektor jari-jari ; pusat massa dua partikel yang massanya berbeda membagi ruas di antara keduanya dengan perbandingan berbanding terbalik dengan massa partikel (b)
Jelasnya, vektor jari-jari titik C sama dengan setengah jumlah vektor jari-jari partikel identik (Gbr. 110a): Dengan kata lain, ini adalah nilai rata-rata biasa dari vektor-vektor tersebut.
Penentuan pusat massa. Bagaimana menggeneralisasi definisi ini pada kasus dua partikel dengan massa berbeda Dapat diharapkan bahwa, bersama dengan pusat geometri sistem, yang vektor jari-jarinya masih sama dengan setengah jumlah, sebuah titik akan memainkan peran tertentu, kedudukannya ditentukan oleh sebarannya
Saya makan massal. Wajar jika kita mendefinisikannya sedemikian rupa sehingga kontribusi setiap partikel sebanding dengan massanya:
Vektor jari-jari pusat massa, ditentukan dengan rumus (1), adalah nilai rata-rata tertimbang dari vektor jari-jari partikel, yang terlihat jelas jika kita menulis ulang (1) dalam bentuk
Vektor jari-jari setiap partikel masuk dengan berat yang sebanding dengan massanya. Sangat mudah untuk melihat bahwa pusat massa C, ditentukan oleh rumus (1), terletak pada ruas garis lurus yang menghubungkan partikel-partikel dan membaginya dengan perbandingan berbanding terbalik dengan massa partikel: (Gbr. 110b).
Perlu diketahui bahwa pengertian pusat massa yang diberikan di sini berkaitan dengan kondisi kesetimbangan tuas yang telah anda ketahui. Mari kita bayangkan bahwa massa titik, yang dipengaruhi oleh medan gravitasi seragam, dihubungkan oleh sebuah batang yang massanya dapat diabaikan. Tuas tersebut akan berada dalam kesetimbangan jika titik tumpunya ditempatkan pada pusat massa C.
Generalisasi alami rumus (1) untuk kasus sistem yang terdiri dari titik-titik material dengan massa dan vektor jari-jari adalah persamaan
yang berfungsi sebagai definisi vektor jari-jari pusat massa (atau pusat inersia) sistem.
Kecepatan pusat massa. Pusat massa tidak hanya mencirikan posisinya, tetapi juga pergerakan sistem partikel secara keseluruhan. Kecepatan pusat massa, ditentukan oleh persamaan berikut dari (2), dinyatakan sebagai berikut dalam kecepatan partikel-partikel yang membentuk sistem:
Pembilang di sebelah kanan persamaan ini, sebagai berikut dari rumus (6) paragraf sebelumnya, memuat momentum total sistem P, dan penyebutnya adalah massa totalnya M. Oleh karena itu, momentum suatu sistem partikel adalah sama dengan produk massa seluruh sistem M dan kecepatan pusat massanya
Rumus (4) menunjukkan bahwa momentum suatu sistem berhubungan dengan kecepatan pusat massanya sama seperti momentum suatu partikel berhubungan dengan kecepatan partikel tersebut. Dalam pengertian inilah pergerakan pusat massa mencirikan pergerakan sistem secara keseluruhan.
Hukum gerak pusat massa. Hukum perubahan momentum suatu sistem partikel, yang dinyatakan dengan rumus (9) paragraf sebelumnya, pada hakikatnya adalah hukum gerak pusat massanya. Faktanya, dari (4) dengan massa total konstan M dari sistem yang kita miliki
yang berarti laju perubahan momentum sistem sama dengan hasil kali massa sistem dan percepatan pusat massa. Membandingkan (5) dengan rumus (6) § 29, kita peroleh
Menurut (6), pusat massa sistem bergerak ketika satu titik material bermassa M akan bergerak di bawah pengaruh gaya yang sama dengan jumlah semua gaya luar yang bekerja pada partikel yang memasuki sistem. Khususnya, pusat massa suatu sistem fisik tertutup, yang tidak dikenai gaya luar, bergerak secara seragam dan lurus dalam kerangka acuan inersia atau diam.
Gagasan tentang pusat massa dalam beberapa kasus memungkinkan untuk memperoleh jawaban atas beberapa pertanyaan bahkan lebih sederhana daripada menggunakan hukum kekekalan momentum secara langsung. Perhatikan contoh berikut.
Seorang astronot di luar kapal. Seorang kosmonot massal, yang tidak bergerak relatif terhadap pesawat ruang angkasa massal dengan mesin dimatikan, mulai menarik dirinya ke arah kapal menggunakan tali pengaman ringan. Berapa jarak yang akan ditempuh astronot dan pesawat luar angkasa sebelum bertemu jika jarak awal antara keduanya adalah
Pusat massa kapal dan astronot terletak pada garis lurus yang menghubungkan keduanya, dan jarak yang berbanding terbalik dengan massanya.
kami segera mendapatkannya
Di luar angkasa, di mana tidak ada gaya luar, pusat massa sistem tertutup ini diam atau bergerak dengan kecepatan konstan. Dalam kerangka acuan dimana dia diam, astronot dan kapal akan menempuh jarak yang diberikan oleh rumus (7) sebelum bertemu.
Untuk validitas penalaran seperti itu, pada dasarnya penting untuk menggunakan kerangka acuan inersia. Jika di sini kita secara sembarangan menghubungkan sistem referensi dengan pesawat luar angkasa, kita akan sampai pada kesimpulan bahwa ketika astronot ditarik ke atas, pusat massa sistem mulai bergerak tanpa adanya gaya eksternal: ia mendekati kapal. Pusat massa mempertahankan kecepatannya hanya relatif terhadap kerangka acuan inersia.
Persamaan (6), yang menentukan percepatan pusat massa suatu sistem partikel, tidak memasukkan gaya-gaya dalam yang bekerja di dalamnya. Apakah ini berarti gaya dalam sama sekali tidak berpengaruh terhadap pergerakan pusat massa? Jika tidak ada gaya eksternal atau jika gaya tersebut konstan, hal ini memang terjadi. Misalnya, dalam medan gravitasi seragam, pusat massa proyektil yang meledak dalam penerbangan terus bergerak sepanjang parabola yang sama hingga belum ada satupun pecahannya yang jatuh ke tanah.
Peran kekuatan internal. Dalam kasus di mana kekuatan eksternal dapat berubah, situasinya menjadi lebih rumit. Gaya luar tidak bekerja pada pusat massa, tetapi pada partikel individual sistem. Gaya-gaya ini dapat bergantung pada posisi partikel, dan posisi setiap partikel selama pergerakannya ditentukan oleh semua gaya yang bekerja padanya, baik eksternal maupun internal.
Mari kita jelaskan hal ini dengan menggunakan contoh sederhana yang sama tentang proyektil yang pecah menjadi pecahan-pecahan kecil saat terbang di bawah pengaruh kekuatan internal. Sementara semua pecahan sedang terbang, pusat massa, sebagaimana telah disebutkan, terus bergerak sepanjang parabola yang sama. Namun, segera setelah setidaknya salah satu pecahan menyentuh tanah dan gerakannya berhenti, gaya eksternal baru akan ditambahkan - gaya reaksi permukaan bumi yang bekerja pada pecahan yang jatuh. Akibatnya percepatan pusat massa akan berubah dan tidak lagi bergerak sepanjang parabola yang sama. Munculnya gaya reaksi ini merupakan konsekuensi dari aksi gaya internal yang meledakkan proyektil. Jadi, aksi gaya-gaya dalam pada saat proyektil pecah dapat menyebabkan perubahan percepatan pergerakan pusat massa di kemudian hari dan, akibatnya, perubahan lintasannya.
Mari kita berikan contoh yang lebih jelas lagi tentang pengaruh gaya-gaya dalam terhadap pergerakan pusat massa. Bayangkan saja satelit bumi,
berputar mengelilinginya dalam orbit melingkar, di bawah pengaruh gaya internal ia terbagi menjadi dua bagian. Salah satu bagiannya berhenti dan mulai jatuh secara vertikal ke Bumi. Menurut hukum kekekalan momentum, babak kedua pada saat ini harus menggandakan kecepatannya, diarahkan secara tangensial terhadap lingkaran. Seperti yang akan kita lihat di bawah, dengan kecepatan ini separuhnya akan terbang menjauh dari Bumi dalam jarak yang sangat jauh. Akibatnya, pusat massa satelit, yaitu kedua bagiannya, juga akan berpindah ke jarak yang sangat jauh dari Bumi. Dan alasannya adalah aksi gaya internal ketika satelit terbagi menjadi dua bagian, karena jika tidak, satelit yang tidak terbagi akan terus bergerak dalam orbit melingkar.
Penggerak jet. Hukum kekekalan momentum sistem tertutup memudahkan penjelasan prinsip gerak reaktif. Ketika bahan bakar dibakar, suhu naik dan tekanan tinggi tercipta di ruang bakar, yang menyebabkan gas yang dihasilkan keluar dari nosel mesin roket dengan kecepatan tinggi. Dengan tidak adanya medan eksternal, momentum total roket dan gas yang keluar dari nosel tetap tidak berubah. Oleh karena itu, ketika gas mengalir keluar, roket memperoleh kecepatan ke arah yang berlawanan.
Persamaan Meshchersky. Kami memperoleh persamaan yang menggambarkan gerak roket. Misalkan pada saat tertentu roket mempunyai kecepatan dalam kerangka acuan inersia tertentu. Mari kita sebut sistem referensi seperti itu sebagai comoving. Jika mesin roket yang berfungsi mengeluarkan gas bermassa dengan kecepatan relatif terhadap roket selama periode waktu tertentu, maka setelah beberapa saat kecepatan roket dalam sistem yang menyertainya akan berbeda dari nol dan sama dengan
Mari kita terapkan hukum kekekalan momentum pada sistem fisik tertutup yang sedang dibahas, sebuah roket ditambah gas. Pada momen awal, pada kerangka acuan yang menyertainya, roket dan gas dalam keadaan diam, sehingga momentum totalnya adalah nol. Seiring berjalannya waktu, momentum roket sama dengan momentum gas yang dikeluarkan
Massa total sistem roket ditambah gas adalah kekal, sehingga massa gas yang dikeluarkan sama dengan massa roket yang hilang:
Sekarang persamaan (8) setelah dibagi dengan periode waktu ditulis ulang menjadi
Pindah ke batasnya, kita memperoleh persamaan gerak benda bermassa variabel (roket) tanpa adanya gaya luar:
Persamaan (9) berbentuk hukum kedua Newton, jika ruas kanannya dianggap sebagai gaya reaktif, yaitu gaya yang digunakan gas yang keluar darinya untuk bekerja pada roket. Massa roket di sini tidak konstan, tetapi berkurang seiring waktu karena hilangnya materi, yaitu. Oleh karena itu, gaya reaktif; diarahkan ke arah yang berlawanan dengan kecepatan gas yang keluar dari nosel relatif terhadap roket. Terlihat bahwa gaya ini semakin besar, semakin tinggi kecepatan aliran gas dan semakin tinggi pula konsumsi bahan bakar per satuan waktu.
Persamaan (9) diperoleh dalam sistem acuan inersia tertentu – sistem penyertanya. Karena prinsip relativitas, prinsip ini juga berlaku dalam kerangka acuan inersia lainnya. Jika, selain gaya reaktif, ada gaya luar lain yang bekerja pada roket, seperti gravitasi dan hambatan udara, maka gaya tersebut harus ditambahkan ke ruas kanan persamaan (9):
Persamaan ini pertama kali diperoleh Meshchersky dan menyandang namanya. Untuk mode pengoperasian mesin tertentu, ketika massa merupakan fungsi waktu tertentu yang diketahui, persamaan Meshchersky memungkinkan Anda menghitung kecepatan roket kapan saja.
Pertimbangan fisika apa yang menunjukkan kelayakan menentukan pusat massa menggunakan rumus (1)?
Dalam pengertian apa pusat massa mencirikan pergerakan suatu sistem partikel secara keseluruhan?
Apa yang dimaksud dengan hukum gerak pusat massa suatu sistem benda-benda yang berinteraksi? Apakah gaya dalam mempengaruhi percepatan pusat massa?
Dapatkah gaya dalam mempengaruhi lintasan pusat massa sistem?
Dalam soal ledakan proyektil, yang dibahas pada paragraf sebelumnya, hukum gerak pusat massa memungkinkan kita untuk segera menemukan jangkauan terbang pecahan kedua jika kecepatan awalnya horizontal. Bagaimana cara melakukannya? Mengapa pertimbangan ini tidak berlaku jika kecepatan awalnya mempunyai komponen vertikal?
Selama percepatan roket, mesinnya beroperasi dalam mode konstan, sehingga kecepatan relatif aliran gas dan konsumsi bahan bakar per satuan waktu adalah konstan. Apakah percepatan roket akan konstan?
Turunkan persamaan Meshchersky dengan menggunakan, alih-alih kerangka acuan bergerak, kerangka inersia yang roketnya sudah mempunyai kecepatan
rumus Tsiolkovsky. Mari kita asumsikan bahwa roket berakselerasi di ruang bebas, di mana tidak ada gaya eksternal yang bekerja padanya. Saat bahan bakar dikonsumsi, massa roket berkurang. Mari kita cari hubungan antara massa bahan bakar yang dikonsumsi dan kecepatan yang diperoleh roket.
Setelah mesin dihidupkan, roket stasioner mulai menambah kecepatan, bergerak dalam garis lurus. Memproyeksikan persamaan vektor (9) ke arah gerak roket, kita peroleh
Pada persamaan (11), kita menganggap massa roket sebagai fungsi dari kecepatan yang diperoleh roket, maka laju perubahan massa terhadap waktu dapat direpresentasikan sebagai berikut:
Pelajaran "Pusat Misa"
Jadwal: 2 pelajaran
Target: Perkenalkan siswa pada konsep “pusat massa” dan sifat-sifatnya.
Peralatan: gambar yang terbuat dari karton atau triplek, gelas, pisau lipat, pensil.
Rencana belajar
Tahapan pembelajaran waktu metode dan teknik
I Perkenalan kepada siswa 10 survei frontal, pekerjaan siswa di papan tulis.
terhadap masalah pelajaran
II. Mempelajari sesuatu yang baru 15-20 Kisah guru, pemecahan masalah,
materi: 10 tugas percobaan
III Mempraktikkan 10 pesan siswa baru
materi: 10-15 pemecahan masalah,
15 jajak pendapat frontal
IV.Kesimpulan. Pekerjaan rumah 5-10 Ringkasan lisan materi oleh guru.
tugas Menulis di papan tulis
Selama kelas.
SAYA Pengulangan 1. Survei frontal: bahu gaya, momen gaya, kondisi keseimbangan, jenis keseimbangan
Prasasti: Pusat gravitasi setiap benda adalah titik tertentu yang terletak di dalamnya - sedemikian rupa sehingga jika Anda secara mental menggantungkan benda itu padanya, maka benda itu tetap diam dan mempertahankan posisi semula.
II. Penjelasanmateri baru
Biarkan tubuh atau sistem tubuh diberikan. Mari kita secara mental membagi tubuh menjadi bagian-bagian kecil yang bermassa m1, m2, m3... Masing-masing bagian ini dapat dianggap sebagai titik material. Posisi titik material ke-i bermassa mi dalam ruang ditentukan oleh vektor jari-jari RSaya(Gbr. 1.1). Massa suatu benda adalah jumlah massa masing-masing bagiannya: m = ∑ mi.
Pusat massa suatu benda (sistem benda) adalah suatu titik C, yang vektor jari-jarinya ditentukan oleh rumus
R= 1/m∙∑ mil RSaya
Dapat ditunjukkan bahwa posisi pusat massa relatif terhadap benda tidak bergantung pada pilihan titik asal O, yaitu. Definisi pusat massa yang diberikan di atas tidak ambigu dan benar.
Pusat massa benda simetris homogen terletak pada pusat geometrinya atau pada sumbu simetrinya; pusat massa benda datar berbentuk segitiga sembarang terletak pada perpotongan mediannya.
Solusi dari masalah tersebut
SOAL 1. Bola-bola homogen bermassa m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg, dan m4 = 3 kg diikatkan pada sebuah batang ringan (Gbr. 1.2). Jarak antara pusat bola terdekat
a = 10 cm Tentukan posisi pusat gravitasi dan pusat massa struktur.
LARUTAN. Posisi pusat gravitasi suatu struktur relatif terhadap bola tidak bergantung pada orientasi batang dalam ruang. Untuk mengatasi masalah ini, akan lebih mudah untuk menempatkan batang secara horizontal, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2. Misalkan pusat gravitasi berada pada batang pada jarak L dari pusat bola kiri, yaitu. dari t. A. Di pusat gravitasi, resultan semua gaya gravitasi diterapkan dan momennya relatif terhadap sumbu A sama dengan jumlah momen gravitasi bola. Kita mempunyai r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,
R L = m2gα + m 3 g 2 a + m 4 g 3 a.
Jadi L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
MENJAWAB. Pusat gravitasinya berimpit dengan pusat massa dan terletak di titik C pada jarak L = 16,4 cm dari pusat bola kiri.
Ternyata pusat massa suatu benda (atau sistem benda) memiliki sejumlah sifat yang luar biasa. Dalam dinamika ditunjukkan bahwa momentum suatu benda yang bergerak sewenang-wenang sama dengan hasil kali massa benda dan kecepatan pusat massanya, dan bahwa pusat massa bergerak seolah-olah semua gaya luar yang bekerja pada benda tersebut diterapkan. di pusat massa, dan massa seluruh benda terkonsentrasi di dalamnya.
Pusat gravitasi suatu benda yang terletak pada medan gravitasi bumi disebut titik penerapan resultan semua gaya gravitasi yang bekerja pada seluruh bagian benda tersebut. Resultan ini disebut gaya gravitasi yang bekerja pada benda. Gaya gravitasi yang diterapkan pada pusat gravitasi suatu benda mempunyai pengaruh yang sama terhadap benda seperti gaya gravitasi yang bekerja pada bagian-bagian tubuh tertentu.
Kasus yang menarik adalah ketika ukuran tubuhnya jauh lebih kecil dibandingkan ukuran Bumi. Maka kita dapat berasumsi bahwa gaya gravitasi paralel bekerja pada seluruh bagian tubuh, yaitu. benda berada dalam medan gravitasi seragam. Gaya-gaya yang sejajar dan berarah sama selalu mempunyai resultan gaya, yang dapat dibuktikan. Tetapi pada posisi tertentu benda di ruang angkasa, hanya garis kerja resultan semua gaya gravitasi paralel yang dapat ditunjukkan; titik penerapannya masih belum dapat ditentukan, karena untuk benda padat, gaya apa pun dapat ditransfer sepanjang garis aksinya. Bagaimana dengan poin lamarannya?
Dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap posisi benda dalam medan gravitasi seragam, garis kerja resultan semua gaya gravitasi yang bekerja pada masing-masing bagian benda melewati titik yang sama, tidak bergerak relatif terhadap benda. Pada titik ini gaya yang sama diterapkan, dan titik itu sendiri akan menjadi pusat gravitasi benda.
Posisi pusat gravitasi relatif terhadap benda hanya bergantung pada bentuk benda dan distribusi massa dalam benda dan tidak bergantung pada posisi benda dalam medan gravitasi seragam. Pusat gravitasi belum tentu terletak di dalam tubuh itu sendiri. Misalnya, sebuah lingkaran dalam medan gravitasi seragam memiliki pusat gravitasi di pusat geometrinya.
Dalam medan gravitasi seragam, pusat gravitasi suatu benda bertepatan dengan pusat massanya.
Dalam sebagian besar kasus, satu istilah dapat diganti dengan istilah lain tanpa rasa sakit.
Namun: pusat massa suatu benda tetap ada terlepas dari keberadaan medan gravitasi, dan kita hanya dapat membicarakan pusat gravitasi jika ada gravitasi.
Lebih mudah untuk menemukan lokasi pusat gravitasi benda, dan juga pusat massa, dengan mempertimbangkan simetri benda dan menggunakan konsep momen gaya.
Jika lengan gaya adalah nol, maka momen gaya adalah nol dan gaya tersebut tidak menyebabkan gerak rotasi benda.
Oleh karena itu, jika garis kerja gaya melewati pusat massa, maka gaya tersebut bergerak secara translasi.
Dengan demikian, pusat massa suatu bangun datar dapat ditentukan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengamankannya pada satu titik, memberinya kesempatan untuk berputar bebas. Itu akan diatur sedemikian rupa sehingga gaya gravitasi, memutarnya, melewati pusat massa. Pada titik pemasangan gambar, gantungkan benang dengan beban (mur), buat garis di sepanjang suspensi (yaitu garis gravitasi). Mari kita ulangi langkah-langkahnya, mengamankan gambar di titik lain. Perpotongan garis kerja gaya gravitasi adalah pusat massa benda
Tugas eksperimental: menentukan titik berat bangun datar (berdasarkan gambar yang telah disiapkan siswa sebelumnya dari karton atau triplek).
Petunjuk: perbaiki gambar pada tripod. Kami menggantung garis tegak lurus dari salah satu sudut gambar. Kami menggambar garis aksi gravitasi. Putar gambar dan ulangi tindakannya. Pusat massa terletak pada titik potong garis gravitasi.
Siswa yang cepat menyelesaikan tugas dapat diberi tugas tambahan: menempelkan beban (baut logam) pada gambar dan menentukan posisi pusat massa yang baru. Menarik kesimpulan.
Studi tentang sifat-sifat luar biasa dari "pusat", yang berusia lebih dari dua ribu tahun, ternyata berguna tidak hanya bagi mekanik - misalnya, dalam desain kendaraan dan peralatan militer, menghitung stabilitas struktur atau untuk menurunkan persamaan gerak kendaraan jet. Kecil kemungkinan Archimedes dapat membayangkan bahwa konsep pusat massa akan sangat cocok untuk penelitian fisika nuklir atau fisika partikel elementer.
Pesan siswa:
Dalam karyanya “On the Equilibrium of Flat Bodies,” Archimedes menggunakan konsep pusat gravitasi tanpa benar-benar mendefinisikannya. Rupanya, ini pertama kali diperkenalkan oleh pendahulu Archimedes yang tidak diketahui atau oleh dirinya sendiri, tetapi dalam karya sebelumnya yang belum sampai kepada kita.
Tujuh belas abad yang panjang harus berlalu sebelum ilmu pengetahuan menambahkan hasil baru pada penelitian Archimedes tentang pusat gravitasi. Hal ini terjadi ketika Leonardo da Vinci berhasil menemukan pusat gravitasi tetrahedron. Dia, ketika memikirkan tentang stabilitas menara miring Italia, termasuk menara Pisa, sampai pada “teorema tentang poligon tumpuan”.
Kondisi keseimbangan benda terapung yang ditemukan oleh Archimedes kemudian harus ditemukan kembali. Hal ini dilakukan pada akhir abad ke-16 oleh ilmuwan Belanda Simon Stevin, yang, bersama dengan konsep pusat gravitasi, menggunakan konsep "pusat tekanan" - titik penerapan gaya tekanan air. mengelilingi tubuh.
Prinsip Torricelli (dan rumus menghitung pusat massa juga dinamai menurut namanya), ternyata sudah diantisipasi oleh gurunya, Galileo. Pada gilirannya, prinsip ini menjadi dasar karya klasik Huygens tentang jam pendulum, dan juga digunakan dalam studi hidrostatis Pascal yang terkenal.
Metode yang memungkinkan Euler mempelajari gerak benda tegar di bawah aksi gaya apa pun adalah dengan menguraikan gerak ini menjadi perpindahan pusat massa benda dan rotasi mengelilingi sumbu yang melewatinya.
Untuk menjaga objek dalam posisi konstan ketika dukungannya bergerak, apa yang disebut suspensi cardan telah digunakan selama beberapa abad - sebuah perangkat di mana pusat gravitasi suatu benda terletak di bawah sumbu di mana ia dapat berputar. Contohnya adalah lampu minyak tanah pada kapal.
Meskipun gravitasi di Bulan enam kali lebih kecil daripada di Bumi, rekor lompat tinggi di sana mungkin “hanya” meningkat empat kali lipat. Perhitungan berdasarkan perubahan ketinggian pusat gravitasi tubuh atlet menghasilkan kesimpulan demikian.
Selain rotasi harian pada porosnya dan revolusi tahunan mengelilingi Matahari, Bumi juga mengambil bagian dalam gerakan melingkar. Bersama dengan Bulan, ia “berputar” mengelilingi pusat massa yang sama, yang terletak sekitar 4.700 kilometer dari pusat Bumi.
Beberapa satelit Bumi buatan dilengkapi dengan batang lipat yang panjangnya beberapa atau bahkan puluhan meter, dengan beban di ujungnya (yang disebut penstabil gravitasi). Faktanya adalah satelit yang memanjang, ketika bergerak pada orbitnya, cenderung berputar mengelilingi pusat massanya sehingga sumbu longitudinalnya vertikal. Maka, seperti Bulan, akan selalu menghadap Bumi dengan satu sisi.
Pengamatan terhadap pergerakan beberapa bintang yang terlihat menunjukkan bahwa mereka adalah bagian dari sistem biner di mana “mitra angkasa” berputar mengelilingi pusat massa yang sama. Salah satu pendamping tak kasat mata dalam sistem seperti itu bisa jadi adalah bintang neutron atau, mungkin, lubang hitam.
Penjelasan guru
Teorema pusat massa: pusat massa suatu benda dapat mengubah posisinya hanya di bawah pengaruh gaya luar.
Akibat wajar dari teorema pusat massa: pusat massa suatu sistem benda tertutup tetap tidak bergerak selama interaksi apa pun dari benda-benda dalam sistem tersebut.
Memecahkan masalah (di papan)
MASALAH 2. Perahu itu berdiri tak bergerak di air yang tenang. Orang yang berada di dalam perahu bergerak dari haluan ke buritan. Pada jarak h berapa perahu akan bergerak jika massa seseorang m = 60 kg, massa perahu M = 120 kg, dan panjang perahu L = 3 m? Abaikan ketahanan air.
LARUTAN. Mari kita gunakan kondisi soal bahwa kecepatan awal pusat massa adalah nol (perahu dan orang tersebut awalnya diam) dan tidak ada hambatan air (tidak ada gaya luar dalam arah horizontal yang bekerja pada “manusia- sistem perahu”). Akibatnya, koordinat pusat massa sistem pada arah horizontal tidak berubah. Gambar 3 menunjukkan posisi awal dan akhir perahu dan orangnya. Koordinat awal x0 pusat massa x0 = (mL+ML/2)/(m+M)
Koordinat akhir x pusat massa x = (mh+M(h+L/2))/(m+M)
Menyamakan x0 = x, kita mendapatkan h= mL/(m+M) =1m
Selain itu: kumpulan masalah oleh Stepanova G.N. Nomor 393
Penjelasan guru
Mengingat kondisi keseimbangan, kami menemukan bahwa
Untuk benda dengan luas tumpuan, keseimbangan stabil diamati ketika garis aksi gravitasi melewati alasnya.
Konsekuensi: semakin besar luas tumpuan dan semakin rendah pusat gravitasi maka semakin stabil posisi kesetimbangannya.
Demonstrasi
Letakkan gelas mainan anak (Vanka - Vstanka) di atas papan kasar dan angkat tepi kanan papan. Ke arah mana “kepala” mainan itu akan menyimpang sambil menjaga keseimbangannya?
Penjelasan: Pusat gravitasi C dari tumbler terletak di bawah pusat geometri O dari permukaan bola “batang tubuh”. Pada posisi setimbang, titik C dan titik kontak A mainan dengan bidang miring harus berada pada vertikal yang sama; oleh karena itu, “kepala” tumbler akan menyimpang ke kiri
Bagaimana menjelaskan kelestarian keseimbangan pada kasus yang ditunjukkan pada gambar?
Penjelasan: Pusat gravitasi sistem pisau pensil terletak di bawah titik tumpu
AKU AKU AKUKonsolidasi. Survei depan
Pertanyaan dan tugas
1. Ketika suatu benda bergerak dari ekuator ke kutub, gaya gravitasi yang bekerja padanya berubah. Apakah hal ini mempengaruhi posisi pusat gravitasi tubuh?
Jawaban: tidak, karena perubahan relatif gaya gravitasi semua elemen benda adalah sama.
2. Mungkinkah menemukan pusat gravitasi sebuah “halter” yang terdiri dari dua bola besar yang dihubungkan oleh sebuah batang tak berbobot, asalkan panjang “halter” tersebut sebanding dengan diameter bumi?
Jawaban: tidak. Syarat adanya pusat gravitasi adalah keseragaman medan gravitasi. Dalam medan gravitasi yang tidak seragam, rotasi “halter” di sekitar pusat massanya menyebabkan garis kerja L1 dan L2, resultan gaya gravitasi yang diterapkan pada bola, tidak memiliki titik yang sama.
3. Mengapa bagian depan mobil turun saat direm tajam?
Jawaban: pada saat pengereman, gaya gesekan bekerja pada roda di sisi jalan sehingga menimbulkan torsi di sekitar pusat massa mobil.
4. Dimana letak pusat gravitasi donat tersebut?
Jawaban: di dalam lubang!
5. Air dituangkan ke dalam gelas berbentuk silinder. Bagaimana posisi pusat gravitasi sistem kaca-air berubah?
Jawaban: Pusat gravitasi sistem mula-mula akan berkurang dan kemudian bertambah.
6. Berapa panjang ujung yang harus dipotong dari batang homogen agar pusat gravitasinya bergeser sebesar ∆ℓ?
Jawaban: panjang 2∆ℓ.
7. Sebuah batang homogen ditekuk di tengah membentuk sudut siku-siku. Di manakah pusat gravitasinya sekarang?
Jawab: di titik O - titik tengah ruas O1O2 yang menghubungkan titik tengah bagian AB dan BC batang
9. Stasiun luar angkasa yang stasioner berbentuk silinder. Astronot mulai berjalan melingkar mengelilingi stasiun di sepanjang permukaannya. Apa yang akan terjadi pada stasiun tersebut?
Menjawab: Dengan stasiun akan mulai berputar ke arah yang berlawanan, dan pusatnya akan membentuk lingkaran yang mengelilingi pusat massa yang sama dengan astronot.
11. Mengapa berjalan panggung sulit?
Jawaban: pusat gravitasi seseorang yang berdiri di atas panggung meningkat secara signifikan, dan luas tumpuannya di tanah berkurang.
12. Kapankah lebih mudah bagi seorang pejalan tali untuk menjaga keseimbangan - saat melakukan gerakan normal di sepanjang tali atau saat membawa balok melengkung kuat yang berisi ember berisi air?
Jawaban: Dalam kasus kedua, karena pusat massa alat bantu jalan tali dengan ember terletak lebih rendah, yaitu. lebih dekat ke dukungan - tali.
IVPekerjaan rumah:(dilakukan oleh mereka yang menginginkan - tugasnya sulit, mereka yang menyelesaikannya mendapat nilai "5").
*1. Temukan pusat gravitasi sistem bola yang terletak di titik sudut segitiga sama sisi tanpa bobot yang ditunjukkan pada gambar
Jawaban: pusat gravitasi terletak di tengah-tengah garis bagi sudut yang pada titik sudutnya terdapat sebuah bola bermassa 2m
*2. Kedalaman lubang pada papan tempat bola dimasukkan adalah setengah jari-jari bola. Pada sudut kemiringan papan terhadap cakrawala berapa bola akan melompat keluar dari lubang?
Dalam sistem titik material mana pun, dan oleh karena itu, dalam sistem benda mana pun, ada satu titik C yang luar biasa, yang disebut Pusat massa atau pusat inersia sistem. Posisinya ditentukan oleh vektor radius r c:
Untuk pusat massa pernyataan berikut ini benar: Ketika suatu sistem partikel bergerak, pusat massanya bergerak seolah-olah seluruh massa sistem terkonsentrasi pada titik ini dan semuanya luar gaya-gaya yang bekerja pada sistem. Berdasarkan bentuk persamaan gerak pusat massa bertepatan dengan hukum kedua Newton:
dimana adalah percepatan pusat massa.
Persamaan dinamika gerak rotasi
Pada gerak rotasi suatu benda tegar Analogi hukum kedua Newton adalah persamaan dasar dinamika gerak rotasi, yang terlihat seperti:
Di mana e- percepatan sudut, M- total momen gaya relatif terhadap sumbu rotasi. Jika momen inersia suatu benda berubah selama gerak, maka hukum ini harus diterapkan dalam bentuk sebagai berikut:
dimana adalah momentum sudut benda tegar.
Setiap gerakan benda tegar dapat direpresentasikan sebagai superposisi dari dua jenis gerak utama - translasi dan rotasi. Misalnya, menggelindingkan sebuah bola dapat dianggap sebagai gerak dengan percepatan yang sama dengan percepatan pusat massa, dan rotasi terhadap suatu sumbu yang melalui pusat massa. Setiap gerakan mematuhi, seperti yang ditunjukkan pada Tabel 5, hukum yang sesuai.
Hukum dinamika dalam sistem referensi non-inersia.
Kekuatan inersia
Kerangka acuan yang bergerak dengan percepatan relatif terhadap kerangka inersia disebut non-inersia (NISO), dan hukum dinamika yang dibahas di atas tidak terpenuhi di dalamnya: hukum kedua Newton, persamaan gerak pusat massa, persamaan dinamika gerak rotasi. Namun, gaya tersebut juga dapat dipertahankan untuk sistem non-inersia jika, selain gaya interaksi biasa F memperkenalkan lebih banyak “kekuatan” yang bersifat khusus Fdi dalam, ditelepon kekuatan inersia. Pengenalannya disebabkan oleh percepatan gerak kerangka acuan non-inersia relatif terhadap kerangka acuan inersia.
Hukum dinamika Tabel 5
| Situasi fisik | Hukum yang berlaku |
| Gerak lurus suatu titik material, gerak translasi suatu benda tegar | hukum kedua Newton |
| Pergerakan suatu titik material sepanjang lingkaran atau jalur lengkung lainnya | hukum kedua Newton |
| Rotasi benda tegar pada sumbu tetap | Hukum dasar dinamika gerak rotasi |
| Gerakan tubuh kaku yang kompleks | Persamaan gerak pusat massa dan persamaan dinamika gerak rotasi |
Dalam NISO, hukum dinamika akan berbentuk:
hukum kedua Newton + ;
persamaan gerak pusat massa + ;
persamaan dinamika gerak rotasi + .
Ada dua tipe utama sistem non-inersia. Mari kita nyatakan dengan simbol KE inersia sistem referensi, dan - non-inersia.
1. bergerak relatif KE dengan percepatan konstan. Dalam hal ini, persamaan dinamika harus diperkenalkan kekuatan inersia, sama dengan = - Msebuah c. Titik penerapan gaya ini dianggap sebagai pusat massa.