Dapat ditentukan dengan cara yang berbeda (satu titik dan satu vektor, dua titik dan satu vektor, tiga titik, dll.). Mengingat hal inilah persamaan bidang dapat memiliki bentuk yang berbeda-beda. Selain itu, dalam kondisi tertentu, bidang dapat sejajar, tegak lurus, berpotongan, dll. Kami akan membicarakan hal ini di artikel ini. Kita akan belajar cara membuat persamaan umum bidang dan banyak lagi.

Bentuk persamaan normal

Katakanlah ada ruang R 3 yang mempunyai sistem koordinat XYZ persegi panjang. Mari kita definisikan vektor α yang akan dilepaskan dari titik awal O. Melalui ujung vektor α kita menggambar sebuah bidang P yang tegak lurus terhadapnya.

Mari kita nyatakan titik sembarang di P sebagai Q = (x, y, z). Mari kita tandatangani vektor jari-jari titik Q dengan huruf p. Dalam hal ini, panjang vektor α sama dengan р=IαI dan Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ini adalah vektor satuan yang arahnya ke samping, seperti vektor α. α, β dan γ adalah sudut yang terbentuk antara vektor Ʋ dan arah positif sumbu ruang x, y, z. Proyeksi titik mana pun QϵП ke vektor Ʋ adalah nilai konstanta yang sama dengan p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Persamaan di atas masuk akal ketika p=0. Satu-satunya hal adalah bidang P dalam hal ini akan memotong titik O (α=0), yang merupakan titik asal koordinat, dan vektor satuan Ʋ yang dilepaskan dari titik O akan tegak lurus terhadap P, meskipun arahnya, yaitu berarti vektor Ʋ ditentukan dengan tanda yang tepat. Persamaan sebelumnya adalah persamaan bidang P kita, dinyatakan dalam bentuk vektor. Namun secara koordinat akan terlihat seperti ini:

P di sini lebih besar dari atau sama dengan 0. Kita telah menemukan persamaan bidang di ruang angkasa dalam bentuk normal.

Persamaan umum

Jika kita mengalikan persamaan dalam koordinat dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol, kita memperoleh persamaan yang setara dengan persamaan ini, yang mendefinisikan bidang tersebut. Ini akan terlihat seperti ini:

Di sini A, B, C adalah bilangan-bilangan yang sekaligus berbeda dari nol. Persamaan ini disebut persamaan bidang umum.

Persamaan pesawat. Kasus khusus

Persamaan dalam bentuk umum dapat dimodifikasi dengan adanya kondisi tambahan. Mari kita lihat beberapa di antaranya.

Misalkan koefisien A adalah 0. Artinya bidang ini sejajar dengan sumbu Ox tertentu. Dalam hal ini, bentuk persamaannya akan berubah: Ву+Cz+D=0.

Demikian pula, bentuk persamaannya akan berubah pada kondisi berikut:

Pertama, jika B = 0, maka persamaannya akan berubah menjadi Ax + Cz + D = 0 yang menunjukkan paralelisme terhadap sumbu Oy.
Kedua, jika C=0, maka persamaan tersebut akan diubah menjadi Ax+By+D=0, yang menunjukkan paralelisme dengan sumbu Oz yang diberikan.
Ketiga, jika D=0, persamaannya akan terlihat seperti Ax+By+Cz=0, artinya bidang tersebut memotong O (titik asal).
Keempat, jika A=B=0, maka persamaannya akan berubah menjadi Cz+D=0, yang terbukti sejajar dengan Oxy.
Kelima, jika B=C=0, maka persamaannya menjadi Ax+D=0, artinya bidang yang menghadap Oyz sejajar.
Keenam, jika A=C=0, maka persamaannya akan berbentuk Ву+D=0, yaitu akan melaporkan paralelisme ke Oxz.

Jenis persamaan dalam segmen

Dalam hal bilangan A, B, C, D berbeda dengan nol, maka bentuk persamaan (0) dapat berupa sebagai berikut:

x/a + y/b + z/c = 1,

dimana a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Hasilnya, perlu diperhatikan bahwa bidang ini akan memotong sumbu Ox di titik dengan koordinat (a,0,0), Oy - (0,b,0), dan Oz - (0,0,c ).

Dengan mempertimbangkan persamaan x/a + y/b + z/c = 1, tidak sulit untuk membayangkan secara visual penempatan bidang relatif terhadap sistem koordinat tertentu.

Koordinat vektor normal

Vektor normal n terhadap bidang P mempunyai koordinat yang merupakan koefisien persamaan umum bidang tersebut, yaitu n (A, B, C).

Untuk menentukan koordinat n normal, cukup mengetahui persamaan umum suatu bidang tertentu.

Saat menggunakan persamaan dalam segmen yang berbentuk x/a + y/b + z/c = 1, seperti halnya saat menggunakan persamaan umum, Anda dapat menuliskan koordinat sembarang vektor normal pada bidang tertentu: (1 /a + 1/b + 1/ Dengan).

Perlu dicatat bahwa vektor normal membantu memecahkan berbagai masalah. Masalah yang paling umum mencakup masalah yang melibatkan pembuktian tegak lurus atau paralelisme bidang, masalah mencari sudut antar bidang atau sudut antara bidang dan garis lurus.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat titik dan vektor normal

Vektor bukan nol n yang tegak lurus terhadap bidang tertentu disebut normal untuk bidang tertentu.

Mari kita asumsikan bahwa dalam ruang koordinat (sistem koordinat persegi panjang) Oxyz diberikan:

titik Mₒ dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ);
vektor nol n=A*i+B*j+C*k.

Perlu dibuat persamaan bidang yang melalui titik Mₒ tegak lurus garis normal n.

Kami memilih titik sembarang dalam ruang dan menyatakannya M (x y, z). Misalkan vektor jari-jari sembarang titik M (x,y,z) adalah r=x*i+y*j+z*k, dan vektor jari-jari titik Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Titik M akan termasuk dalam suatu bidang tertentu jika vektor MₒM tegak lurus terhadap vektor n. Mari kita tuliskan kondisi ortogonalitas menggunakan hasil kali skalar:

[MₒM, n] = 0.

Karena MₒM = r-rₒ, persamaan vektor bidang tersebut akan terlihat seperti ini:

Persamaan ini dapat memiliki bentuk lain. Untuk melakukan ini, properti produk skalar digunakan, dan ruas kiri persamaan diubah. = - . Jika kita menyatakannya sebagai c, kita mendapatkan persamaan berikut: - c = 0 atau = c, yang menyatakan keteguhan proyeksi ke vektor normal dari vektor jari-jari titik-titik tertentu yang termasuk dalam bidang.

Sekarang kita dapat memperoleh bentuk koordinat penulisan persamaan vektor bidang kita = 0. Karena r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, dan n = A*i+B *j+С*k, kita punya:

Ternyata kita mempunyai persamaan bidang yang melewati suatu titik yang tegak lurus garis normal n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Jenis persamaan bidang menurut koordinat dua titik dan vektor yang segaris terhadap bidang

Mari kita definisikan dua titik sembarang M′ (x′,y′,z′) dan M″ (x″,y″,z″), serta sebuah vektor a (a′,a″,a‴).

Sekarang kita dapat membuat persamaan untuk suatu bidang tertentu yang akan melewati titik M′ dan M″ yang ada, serta setiap titik M dengan koordinat (x, y, z) sejajar dengan vektor a yang diberikan.

Dalam hal ini, vektor M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) dan M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) harus koplanar dengan vektor a=(a′,a″,a‴), artinya (M′M, M″M, a)=0.

Jadi persamaan bidang kita di luar angkasa akan terlihat seperti ini:

Jenis persamaan bidang yang memotong tiga titik

Katakanlah kita mempunyai tiga titik: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), yang tidak termasuk dalam garis yang sama. Persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu perlu ditulis. Teori geometri menyatakan bahwa bidang semacam ini benar-benar ada, namun merupakan satu-satunya dan unik. Karena bidang ini memotong titik (x′,y′,z′), maka bentuk persamaannya adalah sebagai berikut:

Di sini A, B, C berbeda dari nol pada waktu yang sama. Selain itu, bidang tertentu memotong dua titik lagi: (x″,y″,z″) dan (x‴,y‴,z‴). Dalam hal ini, syarat-syarat berikut harus dipenuhi:

Sekarang kita dapat membuat sistem homogen dengan u, v, w yang tidak diketahui:

Dalam kasus kita, x, y atau z adalah titik sembarang yang memenuhi persamaan (1). Diberikan persamaan (1) dan sistem persamaan (2) dan (3), sistem persamaan pada gambar di atas dipenuhi oleh vektor N (A,B,C) yang non-trivial. Oleh karena itu determinan sistem ini sama dengan nol.

Persamaan (1) yang kita peroleh adalah persamaan bidang. Ia melewati 3 titik dengan tepat, dan ini mudah untuk diperiksa. Untuk melakukan ini, kita perlu memperluas determinan kita ke dalam elemen-elemen di baris pertama. Dari sifat-sifat determinan yang ada dapat disimpulkan bahwa bidang kita secara bersamaan memotong tiga titik yang awalnya diberikan (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Artinya, kami telah menyelesaikan tugas yang diberikan kepada kami.

Sudut dihedral antar bidang

Sudut dihedral adalah bangun ruang yang dibentuk oleh dua setengah bidang yang berasal dari satu garis lurus. Dengan kata lain, ini adalah bagian ruang yang dibatasi oleh setengah bidang tersebut.

Katakanlah kita mempunyai dua bidang dengan persamaan berikut:

Kita tahu bahwa vektor N=(A,B,C) dan N¹=(A¹,B¹,C¹) tegak lurus terhadap bidang tertentu. Dalam hal ini, sudut φ antara vektor N dan N¹ sama dengan sudut (dihedral) yang terletak di antara bidang-bidang tersebut. Produk skalar mempunyai bentuk:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

justru karena

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Cukup dengan memperhitungkan bahwa 0≤φ≤π.

Faktanya, dua bidang yang berpotongan membentuk dua sudut (dihedral): φ 1 dan φ 2. Jumlahnya sama dengan π (φ 1 + φ 2 = π). Adapun cosinusnya nilai absolutnya sama, tetapi berbeda tandanya, yaitu cos φ 1 = -cos φ 2. Jika pada persamaan (0) kita ganti A, B dan C berturut-turut dengan bilangan -A, -B dan -C, maka persamaan yang kita peroleh akan menentukan bidang yang sama, satu-satunya, sudut φ pada persamaan cos φ= NN 1 /| N||N 1 | akan digantikan oleh π-φ.

Persamaan bidang tegak lurus

Bidang yang sudutnya 90 derajat disebut tegak lurus. Dengan menggunakan materi di atas, kita dapat mencari persamaan suatu bidang yang tegak lurus terhadap bidang lainnya. Misalkan kita mempunyai dua bidang: Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Dapat dikatakan keduanya tegak lurus jika cosφ=0. Artinya NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Persamaan bidang paralel

Dua bidang yang tidak mempunyai titik persekutuan disebut sejajar.

Syaratnya (persamaannya sama seperti pada paragraf sebelumnya) vektor N dan N¹ yang tegak lurus terhadap vektor tersebut adalah segaris. Artinya syarat proporsionalitas berikut terpenuhi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Jika kondisi proporsionalitas diperluas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ini menunjukkan bahwa bidang-bidang ini bertepatan. Artinya persamaan Ax+By+Cz+D=0 dan A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 menggambarkan satu bidang.

Jarak ke pesawat dari titik

Katakanlah kita mempunyai bidang P, yang diberikan oleh persamaan (0). Kita perlu mencari jarak dari suatu titik dengan koordinat (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Untuk melakukan ini, Anda perlu membawa persamaan bidang P ke bentuk normal:

(ρ,v)=р (р≥0).

Dalam hal ini, ρ (x,y,z) adalah vektor jari-jari titik Q kita yang terletak di P, p adalah panjang tegak lurus P yang dilepaskan dari titik nol, v adalah vektor satuan yang terletak di arah a.

Selisih vektor jari-jari ρ-ρº suatu titik Q = (x, y, z), milik P, serta vektor jari-jari suatu titik tertentu Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) adalah suatu vektor, maka nilai mutlak proyeksi yang ke v sama dengan jarak d yang perlu dicari dari Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) ke P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, tetapi

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Jadi ternyata

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Jadi, kita akan menemukan nilai absolut dari ekspresi yang dihasilkan, yaitu d yang diinginkan.

Dengan menggunakan bahasa parameter, kita mendapatkan yang jelas:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Jika suatu titik Q 0 berada pada sisi lain bidang P, seperti titik asal koordinat, maka antara vektor ρ-ρ 0 dan v maka terdapat:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

Dalam hal titik Q 0 bersama dengan titik asal koordinat terletak pada sisi yang sama dengan P, maka sudut yang tercipta adalah lancip, yaitu:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Hasilnya, ternyata pada kasus pertama (ρ 0 ,v)>р, pada kasus kedua (ρ 0 ,v)<р.

Bidang singgung dan persamaannya

Bidang singgung permukaan pada titik kontak Mº adalah bidang yang memuat semua kemungkinan garis singgung kurva yang melalui titik tersebut di permukaan.

Dengan persamaan permukaan seperti ini F(x,y,z)=0, persamaan bidang singgung di titik singgung Mº(xº,yº,zº) akan terlihat seperti ini:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Jika Anda menentukan permukaan dalam bentuk eksplisit z=f (x,y), maka bidang singgung akan dijelaskan dengan persamaan:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Persimpangan dua bidang

Pada sistem koordinat (persegi panjang) Oxyz terletak, diberikan dua bidang П′ dan П″, yang berpotongan dan tidak berimpit. Karena setiap bidang yang terletak pada sistem koordinat persegi panjang ditentukan oleh persamaan umum, kita asumsikan bahwa P′ dan P″ diberikan oleh persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x +B″y+ ″z+D″=0. Dalam hal ini, kita mempunyai n′ (A′,B′,C′) normal pada bidang P′ dan n″ normal (A″,B″,C″) pada bidang P″. Karena bidang kita tidak sejajar dan tidak berimpit, maka vektor-vektor ini tidak segaris. Dengan menggunakan bahasa matematika, kita dapat menuliskan kondisi ini sebagai berikut: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Misalkan garis lurus yang terletak pada perpotongan P′ dan P″ dilambangkan dengan huruf a, dalam hal ini a = P′ ∩ P″.

a adalah garis lurus yang terdiri dari himpunan semua titik pada bidang (bersama) P′ dan P″. Artinya, koordinat titik mana pun yang termasuk dalam garis a harus memenuhi persamaan A′x+B′y+C′z+D′=0 dan A″x+B″y+C″z+D″=0 secara bersamaan. . Artinya koordinat titik tersebut merupakan solusi parsial dari sistem persamaan berikut:

Hasilnya, penyelesaian (umum) sistem persamaan ini akan menentukan koordinat masing-masing titik garis yang menjadi titik potong P′ dan P″, serta menentukan garis lurus. a dalam sistem koordinat Oxyz (persegi panjang) di ruang angkasa.

Untuk memperoleh persamaan umum suatu bidang, mari kita analisis bidang yang melalui suatu titik tertentu.

Misalkan ada tiga sumbu koordinat yang sudah kita ketahui di luar angkasa - Sapi, Oi Dan Ons. Pegang lembaran kertas tersebut agar tetap rata. Bidang itu akan menjadi lembaran itu sendiri dan kelanjutannya ke segala arah.

Membiarkan P pesawat sewenang-wenang di luar angkasa. Setiap vektor yang tegak lurus terhadapnya disebut vektor biasa ke pesawat ini. Secara alami, kita berbicara tentang vektor bukan nol.

Jika ada titik di pesawat yang diketahui P dan suatu vektor normal terhadapnya, maka dengan kedua kondisi ini bidang dalam ruang terdefinisi sempurna(melalui suatu titik tertentu Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus terhadap vektor tertentu). Persamaan umum bidang tersebut adalah:

Jadi, syarat-syarat yang menentukan persamaan bidang tersebut adalah. Untuk mendapatkan dirimu sendiri persamaan bidang, memiliki formulir di atas, naik pesawat P sewenang-wenang titik M dengan koordinat variabel X, kamu, z. Titik ini hanya menjadi milik pesawat jika vektor tegak lurus terhadap vektor(Gbr. 1). Untuk itu, menurut syarat tegak lurus vektor, hasil kali skalar vektor-vektor tersebut perlu dan cukup sama dengan nol, yaitu

Vektor ditentukan oleh kondisi. Kami menemukan koordinat vektor menggunakan rumus :

Sekarang, menggunakan rumus perkalian skalar vektor , kita nyatakan hasil kali skalar dalam bentuk koordinat:

Sejak saat itu M(x; kamu; z) dipilih secara sembarang pada bidang, maka persamaan terakhir dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang terletak pada bidang tersebut P. Untuk satu hal N, tidak berbaring di pesawat tertentu, mis. kesetaraan (1) dilanggar.

Contoh 1. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik dan tegak lurus terhadap vektor.

Larutan. Mari kita gunakan rumus (1) dan lihat lagi:

Dalam rumus ini angka-angkanya A , B Dan C koordinat vektor, dan angka X0 , kamu0 Dan z0 - koordinat titik.

Perhitungannya sangat sederhana: kita substitusikan angka-angka ini ke dalam rumus dan dapatkan

Kita kalikan semua yang perlu dikalikan dan tambahkan angka saja (yang tidak ada hurufnya). Hasil:

Persamaan bidang yang diperlukan dalam contoh ini ternyata dinyatakan dengan persamaan umum derajat pertama terhadap koordinat variabel x, kamu, z titik sembarang pesawat.

Jadi, persamaan bentuknya

ditelepon persamaan bidang umum .

Contoh 2. Bangunlah dalam sistem koordinat Kartesius persegi panjang sebuah bidang yang diberikan oleh persamaan .

Larutan. Untuk membangun sebuah bidang, perlu dan cukup mengetahui tiga titik mana saja yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, misalnya titik potong bidang tersebut dengan sumbu koordinat.

Bagaimana cara menemukan titik-titik tersebut? Untuk mencari titik potong dengan sumbu Ons, Anda perlu mengganti X dan Y dengan angka nol pada persamaan yang diberikan dalam rumusan masalah: X = kamu= 0 . Oleh karena itu kita mendapatkan z= 6. Jadi, bidang tertentu memotong sumbunya Ons pada intinya A(0; 0; 6) .

Dengan cara yang sama kita mencari titik potong bidang dengan sumbunya Oi. Pada X = z= 0 kita dapatkan kamu= −3, itulah intinya B(0; −3; 0) .

Dan terakhir, kita temukan titik potong bidang kita dengan sumbunya Sapi. Pada kamu = z= 0 kita dapatkan X= 2, yaitu satu poin C(2; 0; 0) . Berdasarkan tiga poin yang diperoleh dalam solusi kami A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) dan C(2; 0; 0) buatlah bidang yang diberikan.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus khusus dari persamaan bidang umum. Ini adalah kasus ketika koefisien tertentu dari persamaan (2) menjadi nol.

1. Kapan D= 0 persamaan mendefinisikan bidang yang melalui titik asal, karena koordinat titiknya 0 (0; 0; 0) memenuhi persamaan ini.

2. Kapan SEBUAH= 0 persamaan mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu Sapi, karena vektor normal bidang ini tegak lurus terhadap sumbu Sapi(proyeksinya ke sumbu Sapi sama dengan nol). Demikian pula kapan B= 0 pesawat sejajar dengan sumbu Oi, dan kapan C= 0 pesawat sejajar dengan sumbu Ons.

3. Kapan SEBUAH=D= Persamaan 0 mendefinisikan bidang yang melalui sumbu Sapi, karena sejajar dengan sumbu Sapi (SEBUAH=D= 0). Demikian pula, pesawat melewati porosnya Oi, dan bidang melalui sumbu Ons.

4. Kapan SEBUAH=B= Persamaan 0 mendefinisikan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat xOy, karena sejajar dengan sumbu Sapi (A= 0) dan Oi (B= 0). Begitu pula dengan bidang yang sejajar dengan bidang tersebut kamu Oz, dan pesawat adalah pesawat xOz.

5. Kapan SEBUAH=B=D= 0 persamaan (atau z = 0) mendefinisikan bidang koordinat xOy, karena sejajar dengan bidang xOy (SEBUAH=B= 0) dan melewati titik asal ( D= 0). Demikian pula, Persamaan. kamu = 0 di ruang angkasa mendefinisikan bidang koordinat xOz, dan persamaannya x = 0 - bidang koordinat kamu Oz.

Contoh 3. Buatlah persamaan bidang tersebut P, melewati sumbu Oi dan titik.

Larutan. Jadi pesawat melewati porosnya Oi. Oleh karena itu, dalam persamaannya kamu= 0 dan persamaan ini berbentuk . Untuk menentukan koefisien A Dan C mari kita manfaatkan fakta bahwa titik tersebut milik pesawat P .

Oleh karena itu, diantara koordinatnya ada yang dapat disubstitusikan ke dalam persamaan bidang yang telah kita turunkan (). Mari kita lihat kembali koordinat titiknya:

M0 (2; −4; 3) .

Diantara mereka X = 2 , z= 3 . Kami menggantinya ke dalam persamaan umum dan mendapatkan persamaan untuk kasus khusus kami:

2A + 3C = 0 .

Tinggalkan 2 A di sisi kiri persamaan, pindahkan 3 C ke sisi kanan dan kita dapatkan

A = −1,5C .

Mengganti nilai yang ditemukan A ke dalam persamaan, kita dapatkan

atau .

Ini adalah persamaan yang diperlukan dalam kondisi contoh.

Selesaikan sendiri soal persamaan bidang, lalu lihat solusinya

Contoh 4. Definisikan sebuah bidang (atau bidang-bidang, jika lebih dari satu) terhadap sumbu koordinat atau bidang koordinat jika bidang-bidang tersebut diberikan oleh persamaan.

Solusi untuk masalah umum yang terjadi selama pengujian terdapat dalam buku teks “Masalah pada bidang: paralelisme, tegak lurus, perpotongan tiga bidang pada satu titik.”

Persamaan bidang yang melalui tiga titik

Sebagaimana telah disebutkan, syarat perlu dan cukup untuk membuat sebuah bidang, selain satu titik dan vektor normal, juga terdapat tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama.

Misalkan tiga titik berbeda , dan , tidak terletak pada garis yang sama, diberikan. Karena ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama, maka vektor-vektornya tidak segaris, sehingga setiap titik pada bidang tersebut terletak pada bidang yang sama dengan titik-titik tersebut, dan jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut , dan koplanar, yaitu saat itu dan hanya kapan produk campuran dari vektor-vektor ini sama dengan nol.

Dengan menggunakan ekspresi hasil kali campuran dalam koordinat, kita memperoleh persamaan bidang

(3)

Setelah determinannya terungkap, persamaan ini menjadi persamaan bentuk (2), yaitu. persamaan umum bidang.

Contoh 5. Tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama:

dan tentukan kasus khusus dari persamaan umum suatu garis, jika ada.

Larutan. Menurut rumus (3) kita memiliki:

Persamaan bidang normal. Jarak dari titik ke bidang

Persamaan normal suatu bidang adalah persamaannya, ditulis dalam bentuk

Jika semua bilangan A, B, C, dan D bukan nol, maka persamaan umum bidang tersebut disebut menyelesaikan. Jika tidak, persamaan umum bidang tersebut disebut tidak lengkap.

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan persamaan umum bidang yang tidak lengkap dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz dalam ruang tiga dimensi.

Misalkan D = 0, maka kita mempunyai persamaan bidang umum yang tidak lengkap berbentuk . Bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz ini melewati titik asal. Memang, ketika mensubstitusikan koordinat suatu titik ke dalam persamaan bidang yang tidak lengkap, kita sampai pada identitasnya.

Untuk , atau , atau kita mempunyai persamaan umum bidang yang tidak lengkap , atau , atau . Persamaan ini mendefinisikan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang koordinat Oxy, Oxz dan Oyz (lihat artikel untuk kondisi bidang sejajar) dan melalui titik-titik dan dengan demikian. Pada. Sejak saat itu termasuk dalam bidang dengan syarat, maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan bidang tersebut, yaitu persamaan harus benar. Dari sini kita temukan. Jadi, persamaan yang diperlukan berbentuk .

Mari kita sajikan cara kedua untuk mengatasi masalah ini.

Karena bidang yang persamaan umum yang perlu kita buat adalah sejajar dengan bidang Oyz, maka sebagai vektor normalnya kita dapat mengambil vektor normal bidang Oyz. Vektor normal bidang koordinat Oyz adalah vektor koordinat. Sekarang kita mengetahui vektor normal bidang dan titik bidang, oleh karena itu, kita dapat menulis persamaan umumnya (kita memecahkan masalah serupa di paragraf sebelumnya artikel ini):
, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang. Oleh karena itu, kesetaraan itu benar dari mana kita menemukannya. Sekarang kita dapat menulis persamaan umum bidang yang diinginkan, berbentuk .

Menjawab:

Bibliografi.

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika yang lebih tinggi. Jilid satu: unsur aljabar linier dan geometri analitik.
Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Persamaan pesawat. Bagaimana cara menulis persamaan bidang?
Susunan pesawat yang saling menguntungkan. Tugas

Geometri spasial tidak lebih rumit daripada geometri “datar”, dan penerbangan kita di luar angkasa dimulai dengan artikel ini. Untuk menguasai suatu topik, Anda perlu memiliki pemahaman yang baik vektor , selain itu, disarankan untuk memahami geometri bidang - akan ada banyak persamaan, banyak analogi, sehingga informasi akan dicerna lebih baik. Dalam rangkaian pelajaran saya, dunia 2D dibuka dengan sebuah artikel Persamaan garis lurus pada bidang datar . Namun kini Batman telah meninggalkan TV layar datar dan meluncur dari Kosmodrom Baikonur.

Mari kita mulai dengan gambar dan simbol. Secara skematis, bidang tersebut dapat digambar dalam bentuk jajar genjang, sehingga menimbulkan kesan ruang:

Bidangnya tidak terbatas, namun kita mempunyai kesempatan untuk menggambarkannya hanya sebagian saja. Dalam praktiknya, selain jajar genjang, juga digambar oval atau bahkan awan. Untuk alasan teknis, akan lebih mudah bagi saya untuk menggambarkan pesawat dengan cara dan posisi yang persis seperti ini. Bidang nyata, yang akan kita pertimbangkan dalam contoh praktis, dapat ditempatkan dengan cara apa pun - secara mental ambil gambar di tangan Anda dan putar di ruang angkasa, berikan bidang kemiringan apa pun, sudut apa pun.

Sebutan: pesawat biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani kecil, rupanya agar tidak membingungkan mereka garis lurus pada suatu bidang atau dengan garis lurus dalam ruang . Saya sudah terbiasa menggunakan surat itu. Pada gambarnya ada huruf “sigma”, dan bukan lubang sama sekali. Meski begitu, pesawat berlubang tersebut tentu cukup lucu.

Dalam beberapa kasus, lebih mudah menggunakan huruf Yunani yang sama dengan subskrip yang lebih rendah untuk menunjuk bidang, misalnya, .

Jelaslah bahwa bidang tersebut secara unik ditentukan oleh tiga titik berbeda yang tidak terletak pada garis yang sama. Oleh karena itu, sebutan tiga huruf untuk bidang cukup populer - berdasarkan titik miliknya, misalnya, dll. Seringkali surat diapit tanda kurung: , agar tidak membingungkan bidang dengan bangun datar lainnya.

Untuk pembaca berpengalaman saya akan memberikan menu akses cepat:

dan kami tidak akan merana dalam penantian yang lama:

Persamaan bidang umum

Persamaan umum bidang berbentuk , dimana koefisien-koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Sejumlah perhitungan teoretis dan masalah praktis berlaku baik untuk basis ortonormal biasa maupun untuk basis ruang affine (jika minyak adalah minyak, kembali ke pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor ). Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa semua peristiwa terjadi dalam basis ortonormal dan sistem koordinat persegi panjang Cartesian.

Sekarang mari kita latih sedikit imajinasi spasial kita. Tidak apa-apa kalau punyamu jelek, sekarang kita akan mengembangkannya sedikit. Bahkan bermain dengan gugup membutuhkan pelatihan.

Dalam kasus yang paling umum, ketika angka-angkanya tidak sama dengan nol, bidang tersebut memotong ketiga sumbu koordinat. Misalnya seperti ini:

Saya ulangi sekali lagi bahwa bidang itu terus bergerak ke segala arah tanpa batas waktu, dan kita hanya mempunyai kesempatan untuk menggambarkan sebagian saja.

Mari kita perhatikan persamaan bidang yang paling sederhana:

Bagaimana memahami persamaan ini? Coba pikirkan: “Z” SELALU sama dengan nol, untuk setiap nilai “X” dan “Y”. Ini adalah persamaan bidang koordinat "asli". Memang secara formal persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut: , dari sini Anda dapat melihat dengan jelas bahwa kita tidak peduli berapa nilai “x” dan “y”, yang penting “z” sama dengan nol.

Juga:
– persamaan bidang koordinat;
– persamaan bidang koordinat.

Mari kita sedikit memperumit masalahnya, pertimbangkan sebuah bidang (di sini dan selanjutnya di paragraf kita berasumsi bahwa koefisien numerik tidak sama dengan nol). Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk: . Bagaimana cara memahaminya? “X” adalah SELALU, untuk setiap nilai “Y” dan “Z”, sama dengan angka tertentu. Bidang ini sejajar dengan bidang koordinat. Misalnya, sebuah bidang sejajar dengan bidang dan melalui suatu titik.

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.

Mari tambahkan anggota: . Persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut: , yaitu “zet” bisa apa saja. Apa artinya? “X” dan “Y” dihubungkan oleh relasi, yang menggambar garis lurus tertentu pada bidang (Anda akan mengetahuinya persamaan garis pada bidang ?). Karena “z” bisa berupa apa saja, garis lurus ini “direplikasi” pada ketinggian berapa pun. Jadi, persamaan tersebut mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu koordinat

Juga:
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat;
– persamaan bidang yang sejajar sumbu koordinat.

Jika suku bebasnya nol, maka bidang-bidang tersebut akan langsung melalui sumbu-sumbu yang bersesuaian. Misalnya, “proporsionalitas langsung” klasik: . Gambarlah garis lurus pada bidang dan kalikan secara mental ke atas dan ke bawah (karena “Z” adalah apa saja). Kesimpulan: bidang yang ditentukan oleh persamaan melewati sumbu koordinat.

Kami menyelesaikan ulasannya: persamaan bidang melewati titik asal. Nah, di sini cukup jelas bahwa poin tersebut memenuhi persamaan ini.

Dan terakhir, kasus yang ditunjukkan pada gambar: – bidang bersahabat dengan semua sumbu koordinat, sedangkan bidang tersebut selalu “memotong” sebuah segitiga, yang dapat ditempatkan di salah satu dari delapan oktan.

Ketimpangan linier dalam ruang

Untuk memahami informasi Anda perlu belajar dengan baik pertidaksamaan linear pada bidang tersebut , karena banyak hal akan serupa. Paragraf tersebut akan bersifat gambaran singkat dengan beberapa contoh, karena materi tersebut cukup jarang dalam praktek.

Jika persamaan mendefinisikan bidang, maka pertidaksamaannya
bertanya setengah spasi. Jika pertidaksamaannya tidak tegas (dua pertidaksamaan terakhir dalam daftar), maka penyelesaian pertidaksamaan tersebut, selain setengah ruang, juga mencakup bidang itu sendiri.

Contoh 5

Temukan vektor normal satuan bidang tersebut .

Larutan: Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu. Mari kita nyatakan vektor ini dengan . Jelas sekali bahwa vektor-vektornya segaris:

Pertama, kita hilangkan vektor normal dari persamaan bidang: .

Bagaimana cara mencari vektor satuan? Untuk mencari vektor satuan, Anda perlu setiap membagi koordinat vektor dengan panjang vektor.

Mari kita tulis ulang vektor normal ke dalam bentuk dan temukan panjangnya:

Menurut hal di atas:

Menjawab:

Verifikasi: apa yang diperlukan untuk diverifikasi.

Pembaca yang mempelajari paragraf terakhir pelajaran dengan cermat mungkin memperhatikan hal itu koordinat vektor satuan sama persis dengan cosinus arah vektor tersebut:

Mari kita istirahat sejenak dari permasalahan yang ada: ketika Anda diberi vektor bukan nol yang berubah-ubah, dan sesuai dengan kondisi tersebut diperlukan untuk mencari cosinus arahnya (lihat soal terakhir pelajaran Produk titik dari vektor ), maka Anda sebenarnya menemukan vektor satuan yang kolinear dengan vektor ini. Sebenarnya dua tugas dalam satu botol.

Kebutuhan untuk mencari vektor normal satuan muncul dalam beberapa masalah analisis matematis.

Kita telah menemukan cara untuk mendapatkan vektor normal, sekarang mari kita jawab pertanyaan sebaliknya:

Bagaimana cara membuat persamaan bidang menggunakan titik dan vektor normal?

Konstruksi kaku dari vektor normal dan suatu titik ini diketahui dengan baik oleh papan dart. Silakan rentangkan tangan Anda ke depan dan secara mental pilih titik sembarang di ruang angkasa, misalnya, kucing kecil di bufet. Jelasnya, melalui titik ini Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus dengan tangan Anda.

Persamaan bidang yang melalui suatu titik yang tegak lurus terhadap vektor dinyatakan dengan rumus:

Persamaan bidang yang melalui tiga titik. Persamaan bidang yang melalui tiga titik Tuliskan persamaan bidang yang tegak lurus terhadap suatu garis