Menurut cerita rakyat yang tersebar luas di kalangan fisikawan, kejadiannya seperti ini: pada tahun 1926, seorang fisikawan teoretis bernama berbicara di seminar ilmiah di Universitas Zurich. Dia berbicara tentang ide-ide baru yang aneh di udara, tentang bagaimana benda-benda mikroskopis sering kali berperilaku lebih seperti gelombang daripada partikel. Kemudian seorang guru tua meminta untuk berbicara dan berkata: “Schrödinger, tidakkah kamu melihat bahwa semua ini tidak masuk akal? Atau tidakkah kita semua tahu bahwa gelombang hanyalah gelombang yang bisa dijelaskan dengan persamaan gelombang?” Schrödinger menganggap ini sebagai penghinaan pribadi dan mulai mengembangkan persamaan gelombang untuk mendeskripsikan partikel dalam kerangka mekanika kuantum - dan mengatasi tugas ini dengan cemerlang.
Penjelasan perlu dibuat di sini. Dalam dunia kita sehari-hari, energi ditransfer melalui dua cara: melalui materi ketika berpindah dari satu tempat ke tempat lain (misalnya, lokomotif yang bergerak atau angin) - partikel berpartisipasi dalam transfer energi tersebut - atau melalui gelombang (misalnya, gelombang radio yang ditransmisikan oleh pemancar yang kuat dan ditangkap oleh antena televisi kita). Artinya, dalam makrokosmos tempat Anda dan saya tinggal, semua pembawa energi dibagi menjadi dua jenis - sel (terdiri dari partikel material) atau gelombang. Dalam hal ini, gelombang apa pun dijelaskan tipe khusus persamaan – persamaan gelombang. Tanpa kecuali, semua gelombang - gelombang laut, gelombang batuan seismik, gelombang radio dari galaksi jauh - dijelaskan dengan persamaan gelombang yang sama. Penjelasan ini diperlukan untuk memperjelas bahwa jika kita ingin merepresentasikan fenomena dunia subatom dalam kaitannya dengan distribusi probabilitas gelombang (lihat Mekanika Kuantum), gelombang ini juga harus dijelaskan dengan persamaan gelombang yang sesuai.
Schrödinger menerapkan persamaan diferensial klasik fungsi gelombang pada konsep gelombang probabilitas dan memperoleh persamaan terkenal yang menyandang namanya. Sama seperti persamaan fungsi gelombang biasa yang menggambarkan perambatan, misalnya, riak di permukaan air, persamaan Schrödinger menjelaskan perambatan gelombang dengan kemungkinan menemukan partikel di dalamnya. titik tertentu ruang angkasa. Puncak gelombang ini (titik probabilitas maksimum) menunjukkan di mana partikel tersebut kemungkinan besar akan berakhir. Meskipun persamaan Schrödinger termasuk dalam wilayah tersebut matematika yang lebih tinggi, sangat penting untuk memahami fisika modern sehingga saya akan tetap menyajikannya di sini - dalam bentuk yang paling sederhana (yang disebut "persamaan Schrödinger stasioner satu dimensi"). Di atas fungsi gelombang distribusi probabilitas, dilambangkan dengan huruf Yunani (“psi”), adalah solusi dari persamaan berikut persamaan diferensial(Tidak apa-apa jika Anda tidak memahaminya; hal utama adalah yakin bahwa persamaan ini menunjukkan bahwa probabilitas berperilaku seperti gelombang):
di mana adalah jarak, adalah konstanta Planck, dan , dan masing-masing adalah massa, energi total, dan energi potensial partikel.
Gambaran peristiwa kuantum yang diberikan oleh persamaan Schrödinger adalah bahwa elektron dan partikel elementer lainnya berperilaku seperti gelombang di permukaan laut. Seiring waktu, puncak gelombang (sesuai dengan lokasi di mana elektron paling mungkin berada) bergerak dalam ruang sesuai dengan persamaan yang menggambarkan gelombang tersebut. Artinya, apa yang secara tradisional kita anggap sebagai partikel berperilaku seperti gelombang di dunia kuantum.
Ketika Schrödinger pertama kali mempublikasikan hasilnya, badai terjadi di dunia fisika teoretis. Faktanya adalah bahwa hampir pada saat yang sama, karya kontemporer Schrödinger, Werner Heisenberg, muncul (lihat Prinsip Ketidakpastian Heisenberg), di mana penulis mengemukakan konsep "mekanika matriks", di mana masalah mekanika kuantum yang sama diselesaikan. dalam bentuk matriks sudut pandang matematika lain yang lebih kompleks. Keributan ini disebabkan oleh fakta bahwa para ilmuwan hanya takut bahwa dua pendekatan yang sama-sama meyakinkan untuk menggambarkan dunia mikro akan saling bertentangan. Kekhawatirannya sia-sia. Pada tahun yang sama, Schrödinger sendiri membuktikan kesetaraan lengkap dari kedua teori tersebut - yaitu, persamaan matriks mengikuti persamaan gelombang, dan sebaliknya; hasilnya identik. Saat ini, versi Schrödinger (kadang-kadang disebut "mekanika gelombang") yang digunakan karena persamaannya tidak terlalu rumit dan lebih mudah untuk diajarkan.
Namun, tidak mudah untuk membayangkan dan menerima bahwa elektron berperilaku seperti gelombang. DI DALAM Kehidupan sehari-hari kita bertabrakan dengan partikel atau gelombang. Bola adalah sebuah partikel, suara adalah gelombang, dan hanya itu. Dalam dunia mekanika kuantum, segalanya tidak sesederhana itu. Faktanya - dan eksperimen segera menunjukkan hal ini - di dunia kuantum, entitas berbeda dari objek yang kita kenal dan memiliki sifat berbeda. Cahaya, yang kita anggap sebagai gelombang, terkadang berperilaku seperti partikel (disebut foton), dan partikel seperti elektron dan proton dapat berperilaku seperti gelombang (lihat Prinsip Komplementaritas).
Masalah ini biasanya disebut sifat gelombang partikel ganda atau ganda dari partikel kuantum, dan tampaknya merupakan karakteristik semua objek di dunia subatom (lihat Teorema Bell). Kita harus memahami bahwa di dunia mikro, gagasan intuitif kita yang biasa tentang bentuk materi dan bagaimana perilakunya tidak berlaku. Fakta bahwa kita menggunakan persamaan gelombang untuk menggambarkan pergerakan benda yang biasa kita anggap sebagai partikel adalah bukti nyata akan hal ini. Sebagaimana dicatat dalam Pendahuluan, tidak ada kontradiksi khusus dalam hal ini. Lagi pula, kita tidak punya alasan kuat untuk percaya bahwa apa yang kita amati di makrokosmos seharusnya direproduksi secara akurat di tingkat mikrokosmos. Namun sifat ganda partikel elementer tetap menjadi salah satu aspek mekanika kuantum yang paling membingungkan dan meresahkan bagi banyak orang, dan tidak berlebihan untuk mengatakan bahwa semua masalah dimulai oleh Erwin Schrödinger.
Ensiklopedia oleh James Trefil “Sifat Sains. 200 hukum alam semesta."
James Trefil adalah profesor fisika di Universitas George Mason (AS), salah satu penulis buku sains populer Barat yang paling terkenal.
| Komentar: 0 |
Max Planck, salah satu pendiri mekanika kuantum, mengemukakan gagasan kuantisasi energi, mencoba menjelaskan secara teoritis proses interaksi antara yang baru ditemukan gelombang elektromagnetik dan atom dan dengan demikian memecahkan masalah radiasi benda hitam. Dia menyadari bahwa untuk menjelaskan spektrum emisi atom yang diamati, kita harus berasumsi bahwa atom memancarkan dan menyerap energi dalam porsi (yang oleh ilmuwan disebut kuanta) dan hanya pada frekuensi gelombang individu.
Sangat tubuh hitam, yang sepenuhnya menyerap radiasi elektromagnetik dari frekuensi berapa pun, ketika dipanaskan, memancarkan energi dalam bentuk gelombang yang didistribusikan secara merata ke seluruh spektrum frekuensi.
Kata “kuantum” berasal dari bahasa Latin quantum (“berapa banyak, berapa banyak”) dan bahasa Inggris quantum (“kuantitas, porsi, kuantum”). “Mekanika” telah lama menjadi nama yang diberikan pada ilmu tentang pergerakan materi. Oleh karena itu, istilah “mekanika kuantum” berarti ilmu tentang pergerakan materi dalam beberapa bagian (atau, dalam bahasa ilmiah modern, ilmu tentang pergerakan materi yang terkuantisasi). Istilah “kuantum” diciptakan oleh fisikawan Jerman Max Planck untuk menggambarkan interaksi cahaya dengan atom.
Salah satu fakta dunia subatom adalah bahwa objek-objeknya - seperti elektron atau foton - sama sekali tidak mirip dengan objek-objek biasa di dunia makro. Mereka berperilaku tidak seperti partikel atau gelombang, tetapi seperti formasi yang benar-benar khusus yang menunjukkan sifat gelombang dan sel tergantung pada keadaan. Membuat pernyataan adalah satu hal, tetapi menghubungkan aspek gelombang dan partikel dari perilaku partikel kuantum, dan mendeskripsikannya dengan persamaan yang tepat adalah hal lain. Hal inilah yang sebenarnya dilakukan dalam hubungan de Broglie.
Dalam kehidupan sehari-hari, ada dua cara untuk mentransfer energi di ruang angkasa - melalui partikel atau gelombang. Dalam kehidupan sehari-hari, tidak terlihat kontradiksi antara kedua mekanisme transfer energi tersebut. Jadi, bola basket adalah sebuah partikel, dan suara adalah gelombang, dan semuanya jelas. Namun, dalam mekanika kuantum, segala sesuatunya tidak sesederhana itu. Bahkan dari eksperimen paling sederhana dengan objek kuantum, segera menjadi jelas bahwa prinsip dan hukum dunia makro yang kita kenal tidak berlaku di dunia mikro. Cahaya, yang biasa kita anggap sebagai gelombang, terkadang berperilaku seolah-olah terdiri dari aliran partikel (foton), dan partikel elementer, seperti elektron atau bahkan proton masif, sering kali menunjukkan sifat gelombang.
Yang terpenting, Einstein memprotes perlunya menggambarkan fenomena dunia mikro dalam kaitannya dengan probabilitas dan fungsi gelombang, dan bukan dari posisi koordinat dan kecepatan partikel yang biasa. Itulah yang dia maksud dengan "melempar dadu". Dia menyadari bahwa menggambarkan pergerakan elektron berdasarkan kecepatan dan koordinatnya bertentangan dengan prinsip ketidakpastian. Namun, menurut Einstein, harus ada beberapa variabel atau parameter lain, dengan mempertimbangkan gambaran mekanika kuantum dunia mikro akan kembali ke jalur integritas dan determinisme. Artinya, tegasnya, bagi kita sepertinya Tuhan sedang bermain dadu dengan kita, karena kita tidak memahami segalanya. Oleh karena itu, dialah orang pertama yang merumuskan hipotesis variabel tersembunyi dalam persamaan mekanika kuantum. Hal ini terletak pada kenyataan bahwa elektron memiliki koordinat dan kecepatan yang tetap, seperti bola bilyar Newton, dan prinsip ketidakpastian serta pendekatan probabilistik terhadap penentuannya dalam kerangka mekanika kuantum adalah hasil dari ketidaklengkapan teori itu sendiri, yaitu mengapa hal itu tidak memungkinkan mereka untuk menentukan secara pasti.
Yulia Zotova
Anda akan mempelajari: Teknologi apa yang disebut kuantum dan mengapa. Apa keunggulan teknologi kuantum dibandingkan teknologi klasik? Apa yang bisa dan tidak bisa dilakukan oleh komputer kuantum. Bagaimana fisikawan membuat komputer kuantum. Kapan itu akan dibuat.
Fisikawan Perancis Pierre Simon Laplace mengajukan pertanyaan penting tentang apakah segala sesuatu di dunia ini ditentukan sebelumnya oleh keadaan dunia sebelumnya, atau apakah suatu sebab dapat menimbulkan beberapa akibat. Seperti yang diharapkan oleh tradisi filsafat, Laplace sendiri dalam bukunya “Exposition of the World System” tidak mengajukan pertanyaan apapun, melainkan mengatakan jawaban yang sudah jadi bahwa ya, segala sesuatu di dunia ini telah ditentukan sebelumnya, namun seperti yang sering terjadi dalam filsafat, gambaran dunia yang dikemukakan oleh Laplace tidak meyakinkan semua orang sehingga jawabannya menimbulkan perdebatan seputar masalah tersebut yang berlanjut hingga saat ini. Terlepas dari pendapat beberapa filsuf bahwa mekanika kuantum menyelesaikan masalah ini demi pendekatan probabilistik, namun teori predeterminasi lengkap Laplace, atau disebut juga teori determinisme Laplace, masih dibahas hingga saat ini.
Gordey Lesovik
Beberapa waktu yang lalu, saya dan sekelompok rekan penulis mulai menurunkan hukum kedua termodinamika dari sudut pandang mekanika kuantum. Misalnya, dalam salah satu rumusannya, yang menyatakan bahwa entropi sistem tertutup tidak berkurang, biasanya meningkat, dan terkadang tetap konstan jika sistem diisolasi secara energetik. Dengan menggunakan hasil yang diketahui dari teori informasi kuantum, kami telah memperoleh beberapa kondisi yang membuat pernyataan ini benar. Di luar dugaan, ternyata kondisi tersebut tidak sejalan dengan kondisi sistem isolasi energi.
Profesor fisika Jim Al-Khalili mengeksplorasi yang paling tepat dan paling membingungkan teori-teori ilmiah- fisika kuantum. Pada awal abad ke-20, para ilmuwan menembus kedalaman materi yang tersembunyi, ke dalam subatom blok bangunan dunia sekitar kita. Mereka menemukan fenomena yang berbeda dari apa yang terlihat sebelumnya. Dunia dimana segala sesuatu bisa berada di banyak tempat pada waktu yang sama, dimana realitas hanya benar-benar ada jika kita mengamatinya. Albert Einstein menolak gagasan bahwa keacakan adalah inti dari alam. Fisika kuantum menyiratkan bahwa partikel subatom dapat berinteraksi kecepatan lebih cepat cahaya, dan ini bertentangan dengan teori relativitasnya.
No. 1 Persamaan stasioner Schrödinger memiliki bentuk . Persamaan ini ditulis untuk...
Persamaan stasioner Schrödinger dalam kasus umum memiliki bentuk
, dimana adalah energi potensial mikropartikel. Untuk kasus satu dimensi. Selain itu, partikel tersebut tidak dapat berada di dalam kotak potensial, melainkan di luar kotak, karena temboknya sangat tinggi. Oleh karena itu, persamaan Schrödinger ini ditulis untuk partikel dalam kotak satu dimensi dengan tinggi dinding tak terhingga.
Osilator harmonik linier
ü Partikel dalam kotak potensial satu dimensi dengan dinding yang tingginya tak terhingga
Partikel dalam kotak potensial tiga dimensi dengan dinding yang sangat tinggi
Elektron dalam atom hidrogen
Tetapkan korespondensi antara masalah mekanika kuantum dan persamaan Schrödinger untuk masalah tersebut.
Bentuk umum persamaan stasioner Schrödinger memiliki bentuk:
Energi potensial partikel,
Operator Laplace. Untuk kasus simultan
Ekspresi energi potensial osilator harmonik, yaitu partikel yang melakukan gerak satu dimensi di bawah aksi gaya kuasi-elastis, berbentuk U=.
Nilai energi potensial suatu elektron dalam kotak potensial yang tingginya tak terhingga adalah U = 0. Sebuah elektron dalam atom mirip hidrogen mempunyai energi potensial Untuk atom hidrogen Z = 1.
Jadi, untuk elektron dalam kotak potensial satu dimensi, persamaan Schrödinger berbentuk:
Dengan menggunakan fungsi gelombang yang merupakan solusi persamaan Schrödinger, kita dapat menentukan...
Pilihan jawaban: (Tunjukkan minimal dua pilihan jawaban)
Nilai rata-rata besaran fisika yang menjadi ciri suatu partikel
Probabilitas suatu partikel terletak pada suatu wilayah ruang tertentu
Lintasan partikel
Lokasi partikel
Nilai tersebut mempunyai arti kepadatan probabilitas (probabilitas per satuan volume), yaitu menentukan peluang suatu partikel berada pada tempat yang bersangkutan dalam ruang, maka peluang W untuk mendeteksi suatu partikel pada suatu wilayah ruang tertentu adalah sama dengan
Persamaan Schrödinger (situasi tertentu)
No.1Fungsi eigen elektron dalam kotak potensial satu dimensi dengan dinding yang tingginya tak terhingga memiliki bentuk 
dimana adalah lebar kotak, bilangan kuantum yang mempunyai arti suatu bilangan tingkat energi. Jika banyaknya node fungsi pada segmen dan , maka sama dengan...
Jumlah node, mis. banyaknya titik di mana fungsi gelombang pada suatu segmen hilang berhubungan dengan jumlah tingkat energi melalui hubungan tersebut. Kemudian 
, dan dengan syarat rasio ini sama dengan 1,5. Memecahkan persamaan yang dihasilkan untuk , kita menemukan bahwa
Reaksi nuklir.
№1 DI DALAM reaksi nuklir huruf itu melambangkan partikel...
Dari hukum kekekalan nomor massa dan nomor muatan maka muatan partikel adalah nol, dan nomor massa sama dengan 1. Oleh karena itu, huruf tersebut melambangkan neutron.
ü Neutron
Positron
Elektron
Grafik tersebut menunjukkan pada skala semi-logaritmik ketergantungan perubahan jumlah inti radioaktif suatu isotop terhadap waktu. peluruhan radioaktif in sama dengan...(membulatkan jawaban menjadi bilangan bulat)
Jumlah inti radioaktif berubah seiring waktu menurut hukum - jumlah awal inti, - konstanta peluruhan radioaktif.Dengan mengambil logaritma dari ekspresi ini, kita memperoleh
dalam 
.Karena itu, 
=0,07
Hukum kekekalan dalam reaksi nuklir.
Reaksi tidak dapat dilanjutkan karena melanggar hukum kekekalan...
Dalam semua interaksi fundamental, hukum kekekalan terpenuhi: energi, momentum, momentum sudut (spin) dan semua muatan (listrik, baryon, dan lepton). Undang-undang konservasi ini tidak hanya membatasi akibat dari berbagai interaksi, namun juga menentukan segala kemungkinan akibat tersebut. Untuk memilih jawaban yang benar, Anda perlu memeriksa hukum kekekalan mana yang melarang dan mana yang mengizinkan reaksi interkonversi partikel elementer tertentu. Menurut hukum kekekalan muatan lepton dalam sistem tertutup, selama proses apa pun, perbedaan antara jumlah lepton dan antilepton tetap ada. Kami sepakat untuk menghitung lepton: . muatan lepton dan untuk antilepton: . biaya lepton. Untuk semua partikel elementer lainnya, muatan lepton diasumsikan nol. Reaksi tidak dapat berlangsung karena melanggar hukum kekekalan muatan lepton, karena
ümuatan Lepton
Biaya baryon
Putar momentum sudut
Reaksi tidak dapat dilanjutkan karena melanggar hukum kekekalan...
Dalam semua interaksi fundamental, hukum kekekalan dipenuhi: energi, momentum, momentum sudut (spin) dan semua muatan (listrik Q, baryon B dan lepton L). Hukum kekekalan ini tidak hanya membatasi konsekuensi dari berbagai interaksi, tetapi juga menentukan semua interaksi fundamental. kemungkinan konsekuensi ini. Menurut hukum kekekalan muatan baryon B, untuk semua proses yang melibatkan baryon dan antibaryon, total muatan baryon adalah kekal. Baryon (n, nukleon p, dan hiperon) diberi muatan baryon
B = -1, dan untuk semua partikel lainnya muatan baryonnya adalah B = 0. Reaksi tidak dapat berlangsung karena melanggar hukum muatan baryon B, karena (+1)+(+1)
Pilihan jawaban: muatan lepton, momentum sudut putaran, muatan listrik. Q=0, antiproton (
Persamaan umum Schrödinger. Persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner
Interpretasi statistik gelombang de Broglie (lihat § 216) dan hubungan ketidakpastian Heisenberg (lihat 5 215) mengarah pada kesimpulan bahwa persamaan gerak dalam mekanika kuantum, yang menggambarkan pergerakan mikropartikel dalam berbagai medan gaya, harus ada persamaan yang akan mengikuti nilai-nilai yang diamati secara eksperimental sifat gelombang partikel. Persamaan utama harus berupa persamaan fungsi gelombang Ψ (x, y, z, t), karena justru ini, atau lebih tepatnya, besaran |Ψ| 2, menentukan peluang suatu partikel berada pada waktu t dalam volume dV, yaitu pada daerah dengan koordinat x dan x+dx, y dan y+dy, z dan z+dz. Karena persamaan yang diperlukan harus memperhitungkan sifat gelombang partikel, maka persamaan tersebut harus berupa persamaan gelombang, mirip dengan persamaan yang menjelaskan gelombang elektromagnetik.
Persamaan dasar mekanika kuantum nonrelativistik dirumuskan pada tahun 1926 oleh E. Schrödinger. Persamaan Schrödinger, seperti semua persamaan dasar fisika (misalnya persamaan Newton dalam mekanika klasik dan persamaan Maxwell untuk mekanika klasik) medan elektromagnetik), tidak diturunkan, tetapi didalilkan. Kebenaran persamaan ini ditegaskan oleh kesesuaian dengan pengalaman tentang hasil yang diperoleh dengan bantuannya, yang, pada gilirannya, memberinya karakter hukum alam. Persamaan Schrödinger memiliki bentuk
dimana h=h/(2π), m adalah massa partikel, ∆ adalah operator Laplace ( 
),
i - satuan imajiner, U (x, y, z, t) - fungsi potensial suatu partikel dalam medan gaya tempat ia bergerak, Ψ (x, y, z, t ) - fungsi gelombang partikel yang diinginkan.
Persamaan (217.1) berlaku untuk partikel apa pun (dengan putaran sama dengan 0; lihat § 225) yang bergerak dengan kecepatan rendah (dibandingkan dengan kecepatan cahaya), yaitu dengan kecepatan υ<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные
harus berkesinambungan; 3) fungsi |Ψ| 2 harus dapat diintegrasikan; kondisi ini dalam kasus paling sederhana direduksi menjadi kondisi normalisasi probabilitas (216.3).
Untuk sampai pada persamaan Schrödinger, perhatikan partikel yang bergerak bebas, yang menurut gagasan de Broglie, berhubungan dengan gelombang bidang. Untuk mempermudah, kami mempertimbangkan kasus satu dimensi. Persamaan gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu x mempunyai bentuk (lihat § 154)
Atau dalam rekaman yang kompleks 
. Oleh karena itu, gelombang bidang de Broglie mempunyai bentuk
(217.2)
(diperhitungkan bahwa ω = E/h, k=p/h). Dalam mekanika kuantum, eksponen diambil dengan tanda minus, tetapi karena hanya |Ψ| yang mempunyai arti fisis. 2 , maka ini (lihat (217.2)) tidak penting. Kemudian
,
; (217.3)
Dengan menggunakan hubungan antara energi E dan momentum p (E = p 2 /(2m)) dan mensubstitusi ekspresi (217.3), kita memperoleh persamaan diferensial
yang bertepatan dengan persamaan (217.1) untuk kasus U = 0 (kami menganggap partikel bebas).
Jika suatu partikel bergerak dalam medan gaya yang bercirikan energi potensial U, maka energi total E adalah penjumlahan energi kinetik dan energi potensial. Dengan melakukan penalaran serupa dengan menggunakan hubungan antara E dan p (untuk kasus ini p 2 /(2m)=E -U), kita sampai pada persamaan diferensial yang bertepatan dengan (217.1).
Alasan di atas tidak boleh dianggap sebagai turunan dari persamaan Schrödinger. Mereka hanya menjelaskan bagaimana seseorang bisa sampai pada persamaan ini. Bukti kebenaran persamaan Schrödinger adalah kesesuaian dengan pengalaman atas kesimpulan yang dihasilkannya.
Persamaan (217.1) adalah persamaan umum Schrödinger. Persamaan ini juga disebut persamaan Schrödinger bergantung waktu. Untuk banyak fenomena fisika yang terjadi di dunia mikro, persamaan (217.1) dapat disederhanakan dengan menghilangkan ketergantungan pada waktu, dengan kata lain, carilah persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner – keadaan dengan nilai energi tetap. Hal ini dimungkinkan jika medan gaya tempat partikel bergerak diam, yaitu fungsi U = U(x, y, z ) tidak bergantung secara eksplisit pada waktu dan mempunyai arti energi potensial. Dalam hal ini, penyelesaian persamaan Schrödinger dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua fungsi, salah satunya merupakan fungsi koordinat saja, yang lain hanya waktu, dan ketergantungan terhadap waktu dinyatakan dengan pengali.
,
di mana E - energi total partikel, konstan dalam kasus medan stasioner. Substitusikan (217.4) ke (217.1), kita peroleh
dari mana, setelah membaginya dengan faktor persekutuan e – i (E/ h) t dan transformasi yang sesuai, kita sampai pada persamaan yang mendefinisikan fungsi ψ:
(217.5)
Persamaan (217.5) disebut persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner.
Persamaan ini memasukkan energi total E partikel sebagai parameter. Dalam teori persamaan diferensial terbukti bahwa persamaan tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga, dari mana solusi yang mempunyai arti fisis dipilih dengan menerapkan kondisi batas. Untuk persamaan Schrödinger, kondisi berikut adalah syarat keteraturan fungsi gelombang: fungsi gelombang harus berhingga, bernilai tunggal, dan kontinu beserta turunan pertamanya. Jadi, hanya solusi yang dinyatakan dengan fungsi reguler ψ yang mempunyai arti fisis nyata . Tetapi solusi reguler tidak terjadi untuk nilai parameter E apa pun, tetapi hanya untuk himpunan nilai tertentu, yang merupakan karakteristik dari masalah tertentu. Nilai energi ini disebut nilai eigen. Solusi yang sesuai dengan nilai eigen energi disebut fungsi eigen. Nilai eigen E dapat berupa deret kontinu atau deret diskrit. Dalam kasus pertama, mereka berbicara tentang spektrum kontinu atau padat, dalam kasus kedua - tentang spektrum diskrit.
Kuliah 5. PERSAMAAN SCHRÖDINGER.
Arti probabilistik gelombang de Broglie. Fungsi gelombang.
Gelombang De Broglie mempunyai sifat kuantum spesifik yang tidak memiliki analogi dengan gelombang dalam fisika klasik. Ini bukan gelombang elektromagnetik, karena perambatannya di ruang angkasa tidak terkait dengan perambatan medan elektromagnetik apa pun. Pertanyaan tentang sifat gelombang dapat dirumuskan sebagai pertanyaan tentang makna fisis dari amplitudo gelombang tersebut. Daripada amplitudo, akan lebih mudah untuk memilih intensitas gelombang yang sebanding dengan kuadrat modulus amplitudo.
Dari percobaan difraksi elektron, percobaan ini menunjukkan distribusi berkas elektron yang tidak merata yang dipantulkan ke arah yang berbeda. Dari sudut pandang gelombang, adanya jumlah maksimum elektron di beberapa arah berarti bahwa arah ini sesuai dengan intensitas gelombang de Broglie tertinggi. Intensitas gelombang pada suatu titik tertentu dalam ruang menentukan kemungkinan kerapatan elektron mengenai titik tersebut dalam 1 detik.
Hal ini menjadi dasar interpretasi statistik dan probabilistik gelombang de Broglie.
Besaran kuadrat amplitudo gelombang de Broglie pada suatu titik tertentu adalah ukuran probabilitas bahwa suatu partikel terdeteksi pada titik tersebut.
Untuk menggambarkan distribusi probabilitas menemukan partikel pada saat tertentu di suatu titik dalam ruang, kami memperkenalkan fungsi yang merupakan fungsi waktu dan koordinat, dilambangkan dengan huruf Yunani ψ dan dipanggil fungsi gelombang atau sederhananya fungsi psi.
Menurut definisi, probabilitas suatu partikel memiliki koordinat dalam x, x+dx.
Jika 
, maka peluang partikel tersebut berada dalam volume dxdydz.
Oleh karena itu, peluang suatu partikel berada dalam elemen volume dV sebanding dengan kuadrat modulus fungsi psi dan elemen volume dV.
Arti fisisnya bukanlah fungsi ψ itu sendiri, melainkan kuadrat modulusnya, dengan ψ* adalah kompleks fungsi yang terkonjugasi dengan ψ. Besarannya masuk akal kepadatan probabilitas, yaitu. mendefinisikan probabilitas suatu partikel berada pada titik tertentu dalam ruang. Dengan kata lain menentukan intensitas gelombang de Broglie. Fungsi gelombang merupakan ciri utama keadaan benda mikro (partikel unsur, atom, molekul).
Persamaan Schrödinger nonstasioner.
Persamaan Newton dalam mekanika klasik memungkinkan benda makroskopis untuk memecahkan masalah utama mekanika - dengan mempertimbangkan gaya yang bekerja pada benda (atau sistem benda) dan kondisi awal, temukan koordinat benda dan kecepatannya untuk setiap momen. pada waktunya, yaitu menggambarkan gerak suatu benda dalam ruang dan waktu.
Ketika mengajukan masalah serupa dalam mekanika kuantum, kita perlu mempertimbangkan batasan kemungkinan penerapan konsep klasik koordinat dan momentum pada mikropartikel. Karena keadaan mikropartikel di ruang angkasa pada momen waktu tertentu ditentukan oleh fungsi gelombang, atau lebih tepatnya, probabilitas menemukan partikel tersebut di titik x,y,z pada momen t, persamaan dasar mekanika kuantum adalah persamaan terhadap fungsi psi.
Persamaan ini diperoleh pada tahun 1926 oleh Schrödinger. Seperti persamaan gerak Newton, persamaan Schrödinger dipostulasikan dan bukan diturunkan. Validitas persamaan ini dibuktikan dengan fakta bahwa kesimpulan yang diperoleh dengan bantuannya sesuai dengan eksperimen.
Persamaan Schrödinger memiliki bentuk
,
di sini m adalah massa partikel, i adalah satuan imajiner, adalah operator Laplace, yang hasil kerjanya pada fungsi tertentu
.
U(x,y,z,t) – dalam kerangka masalah kita, energi potensial suatu partikel yang bergerak dalam medan gaya. Dari persamaan Schrödinger dapat disimpulkan bahwa jenis fungsi psi ditentukan oleh fungsi U, yaitu. pada akhirnya, sifat gaya yang bekerja pada partikel.
Persamaan Schrödinger dilengkapi dengan kondisi penting yang dikenakan pada fungsi psi. Ada tiga syarat:
1) fungsi harus berhingga, kontinu, dan tidak ambigu;
2) turunan 
harus berkesinambungan
3) fungsinya harus dapat diintegrasikan, yaitu. integral
harus final. Dalam kasus yang paling sederhana, kondisi ketiga direduksi menjadi kondisi normalisasi
Artinya kehadiran suatu partikel di suatu tempat di ruang angkasa merupakan peristiwa yang dapat diandalkan dan probabilitasnya harus sama dengan satu. Dua kondisi pertama adalah persyaratan umum yang dikenakan pada solusi persamaan diferensial yang diinginkan.
Mari kita jelaskan bagaimana kita bisa sampai pada persamaan Schrödinger. Untuk mempermudah, kami membatasi diri pada kasus satu dimensi. Mari kita perhatikan partikel yang bergerak bebas (U = 0).
Mari kita bandingkan, menurut gagasan de Broglie, gelombang bidang
Mari kita ganti dan menulis ulang
.
Membedakan ekspresi ini sekali terhadap t, dan kedua kalinya dua kali terhadap x, kita peroleh
Energi dan momentum partikel bebas dihubungkan oleh relasi
Mengganti ekspresi E dan p 2 ke dalam hubungan ini
Ekspresi terakhir bertepatan dengan persamaan Schrödinger di U =0.
Dalam kasus gerak partikel dalam medan gaya yang bercirikan energi potensial U, energi E dan momentum p dihubungkan oleh relasi
Alasan yang dikemukakan tidak memiliki nilai pembuktian dan tidak dapat dianggap sebagai turunan dari persamaan Schrödinger. Tujuan mereka adalah untuk menjelaskan bagaimana seseorang dapat menetapkan persamaan ini.
| | | kuliah selanjutnya ==> | |
Dari interpretasi statistik gelombang de Broglie (lihat § dan hubungan ketidakpastian Heisenberg (lihat § 215) maka persamaan gerak dalam mekanika kuantum, yang menggambarkan pergerakan mikropartikel dalam berbagai medan gaya, harus menjadi persamaan yang menjadi dasar pengamatan. akan mengikuti - sifat gelombang partikel yang ditentukan secara eksperimental.
Persamaan utama harus berupa persamaan yang berkenaan dengan fungsi gelombang, karena justru persamaan tersebut, atau lebih tepatnya, nilai |Ф|2, yang menentukan peluang kehadiran suatu partikel pada suatu momen. T dalam volume dV, di daerah tersebut dengan koordinat dan X+ dx, y+dy,
z dan Karena persamaan yang diperlukan harus memperhitungkan sifat gelombang partikel, maka persamaan tersebut harus mempertimbangkannya persamaan gelombang, mirip dengan persamaan yang menggambarkan gelombang elektromagnetik. Persamaan dasar mekanika kuantum nonrelativistik dirumuskan pada tahun 1926 oleh E. Schrödinger. Persamaan Schrödinger, seperti semua persamaan dasar fisika (misalnya persamaan Newton dalam mekanika klasik dan persamaan Maxwell untuk medan elektromagnetik), tidak diturunkan, tetapi dipostulasikan. Kebenaran persamaan ini ditegaskan oleh kesesuaian dengan pengalaman tentang hasil yang diperoleh dengan bantuannya, yang, pada gilirannya, memberinya karakter hukum alam. Persamaannya
Schrödinger memiliki bentuk
|
Satuan imajiner, kamu,z,t) -
Fungsi potensial suatu partikel dalam medan gaya tempat ia bergerak; z,t) - fungsi gelombang yang diinginkan
Persamaan ini berlaku untuk partikel apa pun (dengan putaran sama dengan 0; lihat § 225) yang bergerak dengan kecepatan rendah (dibandingkan dengan kecepatan cahaya), yaitu. ay Dengan. Hal ini dilengkapi dengan kondisi yang dikenakan pada fungsi gelombang: 1) fungsi gelombang harus berhingga, tidak ambigu dan kontinu (lihat § 216);
2) turunan -, -, --, harus-
dh doo
kita harus terus menerus; 3) fungsi |Ф|2 harus dapat diintegrasikan; kondisi ini dalam kasus yang paling sederhana direduksi menjadi
Kondisi normalisasi (216.3).
Untuk sampai pada persamaan Schrödinger, mari kita perhatikan partikel yang bergerak bebas, yang menurut de Broglie, berasosiasi dengannya. Untuk mempermudah, mari kita perhatikan kasus satu dimensi. Persamaan gelombang bidang yang merambat sepanjang sumbu X, memiliki bentuk (lihat § 154) t) = SEBUAH cos - atau notasi kompleks T)- Oleh karena itu, gelombang bidang de Broglie mempunyai bentuk
(217.2)
(diperhitungkan bahwa - = -). Secara kuantum
Eksponennya diambil dengan tanda “-”, karena hanya |Ф|2 yang mempunyai arti fisis, hal ini tidak penting. Kemudian
 |
Menggunakan hubungan antar energi E dan impuls = --) dan substitusi
ekspresi (217.3), kita memperoleh persamaan diferensial
yang bertepatan dengan persamaan untuk kasus tersebut kamu- O (kami menganggap partikel bebas).
Jika suatu partikel bergerak dalam medan gaya yang bercirikan energi potensial kamu, maka energi totalnya E terdiri dari energi kinetik dan energi potensial. Melakukan penalaran serupa dan menggunakan hubungan antara ("untuk
Kasus = UE-U), kita sampai pada persamaan diferensial yang bertepatan dengan (217.1).
Alasan di atas tidak boleh dianggap sebagai turunan dari persamaan Schrödinger. Mereka hanya menjelaskan bagaimana seseorang bisa sampai pada persamaan ini. Bukti kebenaran persamaan Schrödinger adalah kesesuaian dengan pengalaman atas kesimpulan yang dihasilkannya.
Persamaan (217.1) adalah persamaan Schrödinger umum. Itu juga disebut persamaan Schrödinger bergantung waktu. Untuk banyak fenomena fisika yang terjadi di dunia mikro, persamaan (217.1) dapat disederhanakan dengan menghilangkan ketergantungan waktu, dengan kata lain carilah persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner - keadaan dengan nilai energi tetap. Hal ini dimungkinkan jika medan gaya di mana partikel bergerak diam, yaitu fungsinya kamu=z) tidak bergantung secara eksplisit pada waktu dan mempunyai arti energi potensial.
Dalam hal ini, penyelesaian persamaan Schrödinger dapat direpresentasikan sebagai produk dari dua fungsi, salah satunya merupakan fungsi koordinat saja, yang lain hanya waktu, dan ketergantungan terhadap waktu dinyatakan dengan
Dikalikan dengan e" = e, jadi
(217.4)
Di mana E adalah energi total partikel, konstan dalam kasus medan stasioner. Substitusikan (217.4) ke (217.1), kita peroleh
Dimana, setelah dibagi dengan faktor persekutuan e dari transformasi yang bersesuaian
Formasi, kita sampai pada persamaan yang mendefinisikan fungsi
Persamaannya persamaan
Teori Schrödinger untuk keadaan stasioner. Persamaan ini memasukkan energi total sebagai parameter E partikel. Dalam teori persamaan diferensial, terbukti bahwa persamaan tersebut mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga, yang darinya dengan menerapkan kondisi batas, dipilih solusi yang mempunyai sifat fisis.
Untuk persamaan Schrödinger, kondisinya adalah syarat keteraturan fungsi gelombang: fungsi gelombang harus berhingga, bernilai tunggal, dan kontinu beserta turunan pertamanya.
Jadi, hanya solusi yang dinyatakan dengan fungsi reguler yang memiliki arti fisis nyata.Tetapi solusi reguler tidak terjadi untuk nilai parameter apa pun. E, tetapi hanya untuk sekumpulan karakteristik tertentu dari suatu masalah tertentu. Ini nilai energi disebut memiliki. Solusi yang sesuai dengan nilai eigen energi disebut fungsi sendiri. Nilai eigen E dapat membentuk rangkaian kontinu dan diskrit. Dalam kasus pertama yang kita bicarakan kontinu, atau spektrum kontinu di bagian kedua - tentang spektrum diskrit.
§ 218. Prinsip kausalitas dalam mekanika kuantum
Dari hubungan ketidakpastian tersebut sering disimpulkan bahwa
prinsip kausalitas terhadap fenomena yang terjadi di mikrokosmos. Hal ini didasarkan pada pertimbangan berikut. Dalam mekanika klasik, menurut prinsip kausalitas - prinsip determinisme klasik, Oleh keadaan sistem yang diketahui pada saat tertentu (sepenuhnya ditentukan oleh nilai koordinat dan momentum semua partikel sistem) dan gaya yang diterapkan padanya, seseorang dapat menentukan keadaannya secara akurat pada saat berikutnya . Oleh karena itu, fisika klasik didasarkan pada pemahaman kausalitas berikut: keadaan sistem mekanis pada saat awal dengan hukum interaksi partikel yang diketahui adalah penyebabnya, dan keadaannya pada saat berikutnya adalah akibat.
Di sisi lain, objek mikro tidak dapat secara bersamaan memiliki koordinat tertentu dan proyeksi momentum tertentu yang sesuai [diberikan oleh hubungan ketidakpastian; oleh karena itu, disimpulkan bahwa pada saat awal keadaan sistem tidak ditentukan secara tepat. Jika keadaan sistem tidak pasti pada saat awal, maka keadaan selanjutnya tidak dapat diprediksi, yaitu prinsip kausalitas dilanggar.
Namun, tidak ada pelanggaran prinsip kausalitas dalam kaitannya dengan objek mikro, karena dalam mekanika kuantum konsep keadaan objek mikro memiliki arti yang sama sekali berbeda dengan mekanika klasik. Dalam mekanika kuantum, keadaan suatu objek mikro sepenuhnya ditentukan oleh fungsi gelombang yang modulusnya dikuadratkan
2 menentukan kepadatan probabilitas menemukan partikel pada suatu titik dengan koordinat x, kamu, z.
Pada gilirannya, fungsi gelombang memenuhi persamaan tersebut
Schrödinger memuat turunan pertama fungsi Ф terhadap waktu. Ini juga berarti bahwa menentukan suatu fungsi (untuk suatu saat menentukan nilainya pada saat-saat berikutnya. Oleh karena itu, dalam mekanika kuantum, keadaan awal adalah sebab, dan keadaan pada saat berikutnya adalah akibat. Ini adalah bentuk dari prinsip kausalitas dalam mekanika kuantum, yaitu menentukan suatu fungsi menentukan nilainya untuk setiap momen berikutnya.Dengan demikian, keadaan sistem mikropartikel yang ditentukan dalam mekanika kuantum secara jelas mengikuti keadaan sebelumnya, seperti yang disyaratkan oleh prinsip kausalitas.
§219. Pergerakan partikel bebas
Partikel bebas - sebuah partikel yang bergerak tanpa adanya medan luar. Karena yang bebas (biarkan bergerak sepanjang sumbu X) gaya tidak bekerja, maka energi potensial partikel kamu(x) = konstanta dan dapat diambil sama dengan nol. Maka energi total partikel tersebut bertepatan dengan energi kinetiknya. Dalam hal ini, persamaan Schrödinger (217.5) untuk keadaan stasioner akan berbentuk
(219.1)
Dengan substitusi langsung kita dapat memverifikasi bahwa solusi khusus persamaan (219.1) adalah fungsinya - Di mana SEBUAH = konstanta dan Ke= const, dengan nilai eigen energi
Fungsi = = hanya mewakili bagian koordinat dari fungsi gelombang, oleh karena itu, fungsi gelombang bergantung waktu, menurut (217.4),
(219.3) adalah gelombang de Broglie monokromatik bidang [lihat (217.2)].
Dari ekspresi (219.2) maka ketergantungan energi pada momentum
ternyata biasa untuk partikel nonrelativistik. Oleh karena itu, partikel bebas dapat mengambil energi nilai apa pun(sejak bilangan gelombang Ke dapat mengambil nilai positif apa pun), yaitu energi jangkauan partikel bebas adalah kontinu.
Jadi, partikel kuantum bebas digambarkan oleh gelombang de Broglie monokromatik bidang. Hal ini sesuai dengan kepadatan probabilitas yang tidak tergantung waktu untuk mendeteksi partikel pada titik tertentu dalam ruang
artinya, semua posisi partikel bebas di ruang angkasa memiliki kemungkinan yang sama.
§ 220. Partikel dalam “sumur potensial” persegi panjang satu dimensi dengan tinggi tak terhingga
"dinding"
Mari kita lakukan analisis kualitatif solusi persamaan Schrödinger menggunakan
Beras. 299
(220.4)
relatif terhadap partikel tersebut V“sumur potensial” berbentuk persegi panjang satu dimensi dengan “dinding” yang sangat tinggi. “Sumur” seperti itu dijelaskan oleh energi potensial dari bentuk tersebut (untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa partikel bergerak sepanjang sumbu X)
di mana lebar "lubang", A energi dihitung dari bawahnya (Gbr. 299).
Persamaan Schrödinger (217.5) untuk keadaan stasioner dalam kasus masalah satu dimensi akan ditulis dalam bentuk
Menurut kondisi masalah (“dinding” yang sangat tinggi), partikel tidak menembus melampaui “lubang”, sehingga kemungkinan terdeteksinya (dan, akibatnya, fungsi gelombang) di luar “lubang” adalah nol. Di batas “lubang” (at X- 0 dan x = fungsi gelombang kontinu juga harus hilang. Oleh karena itu, syarat batas dalam hal ini berbentuk
Di dalam “lubang” (0 X persamaan Schrödinger (220.1) akan direduksi menjadi persamaan
 |
|||
Solusi umum persamaan diferensial (220.3):
Karena menurut (220.2) = 0, maka DI DALAM= 0.
(220.5)
Kondisi (220.2) = 0 dieksekusi hanya untuk di mana P- bilangan bulat, yaitu perlu itu
Dari ekspresi (220.4) dan (220.6) berikut ini,
yaitu, persamaan stasioner Schrödinger, yang menggambarkan pergerakan sebuah partikel dalam “sumur potensial” dengan “dinding” yang tingginya tak terhingga, dipenuhi hanya untuk nilai eigen yang bergantung pada bilangan bulat P. Oleh karena itu, energi partikel di
sebuah “sumur potensial” dengan “dinding” yang sangat tinggi hanya membutuhkan waktu nilai diskrit tertentu, itu. terkuantisasi.
Nilai energi terkuantisasi disebut tingkat energi dan nomornya P, yang menentukan tingkat energi suatu partikel disebut bilangan kuantum utama. Jadi, sebuah mikropartikel dalam “sumur potensial” dengan “dinding” yang sangat tinggi hanya dapat berada pada tingkat energi tertentu atau, seperti yang mereka katakan, partikel tersebut berada dalam kuantum.
Substitusikan ke (220,5) nilainya Ke dari (220.6), kita menemukan fungsi eigen:
 |
Konstanta integrasi A kita temukan dari kondisi normalisasi (216.3), yang untuk kasus ini akan ditulis dalam bentuk
DI DALAM sebagai hasil dari integrasi semi-
A - A fungsi eigen akan terlihat seperti
I grafik fungsi eigen (220.8), sesuai dengan level
energi (220,7) di n=1.2, 3 ditunjukkan pada Gambar. 300, A. Pada Gambar. 300, B kepadatan probabilitas untuk mendeteksi partikel pada berbagai jarak dari “dinding” lubang ditunjukkan, sama dengan =
Untuk n= 1, 2 dan 3. Dari gambar tersebut dapat disimpulkan bahwa, misalnya, dalam keadaan kuantum dengan P= 2, partikel tidak boleh berada di tengah-tengah “sumur”, sedangkan partikel tersebut sering kali dapat berada di bagian kiri dan kanannya. Perilaku partikel ini menunjukkan bahwa gagasan tentang lintasan partikel dalam mekanika kuantum tidak dapat dipertahankan. Dari persamaan (220.7) dapat disimpulkan bahwa interval energi antara dua
Tingkat tetangganya sama
 |
Misalnya untuk elektron dengan dimensi sumur - 10"1 m (listrik gratis
Tahta dari logam) 10 J
Artinya, tingkat energi terletak sangat dekat sehingga spektrumnya dapat dianggap kontinu. Jika dimensi sumur sepadan dengan atom m), maka untuk elektron J eV, yaitu. Jelas diperoleh nilai energi diskrit (spektrum garis).
Dengan demikian, penerapan persamaan Schrödinger pada partikel dalam “sumur potensial” dengan tinggi tak terhingga
“dinding” mengarah pada nilai energi terkuantisasi, sedangkan mekanika klasik tidak menerapkan batasan apa pun pada energi partikel ini.
Di samping itu,
Pertimbangan masalah ini mengarah pada kesimpulan bahwa sebuah partikel “dalam sumur potensial” dengan “dinding” yang sangat tinggi tidak dapat memiliki energi kurang dari
Minimum, sama dengan [lihat. (220.7)].
Kehadiran energi minimum bukan nol bukanlah suatu kebetulan dan berasal dari hubungan ketidakpastian. Ketidakpastian koordinat Oh partikel dalam “lubang” yang lebar Ah= Kemudian, menurut hubungan ketidakpastian, impuls tidak dapat mempunyai nilai pasti, dalam hal ini nol. Ketidakpastian impuls
Penyebaran nilai yang sedemikian rupa
impuls sesuai dengan energi kinetik
Semua level lainnya (n > 1) memiliki energi melebihi nilai minimum ini.
Dari rumus (220.9) dan (220.7) maka untuk bilangan kuantum besar
yaitu, tingkat yang berdekatan letaknya berdekatan: semakin dekat, semakin banyak P. Jika P sangat besar, maka kita dapat berbicara tentang urutan level yang hampir berkesinambungan dan ciri khas proses kuantum - keleluasaan - diperhalus. Hasil ini merupakan kasus khusus Prinsip korespondensi Bohr (1923), yang menyatakan bahwa hukum mekanika kuantum harus diubah menjadi hukum fisika klasik pada nilai bilangan kuantum yang besar.
Lagi interpretasi umum tentang prinsip korespondensi: Setiap teori baru yang lebih umum, yang merupakan pengembangan dari teori klasik, tidak sepenuhnya menolaknya, tetapi memasukkan teori klasik, menunjukkan batas-batas penerapannya, dan dalam kasus-kasus tertentu yang membatasi teori baru tersebut berpindah ke teori lama. Dengan demikian, rumus kinematika dan dinamika teori relativitas khusus berubah ketika ay c dengan rumus mekanika Newton. Misalnya, meskipun hipotesis da Broglie mengaitkan sifat gelombang pada semua benda, dalam kasus ketika kita berhadapan dengan benda makroskopis, sifat gelombangnya dapat diabaikan, yaitu. menerapkan mekanika Newton klasik.
§ 221. Lintasan partikel melalui penghalang potensial.
Efek terowongan
penghalang potensial paling sederhana berbentuk persegi panjang (Gbr. untuk satu dimensi (sepanjang sumbu gerak partikel. Untuk penghalang potensial berbentuk persegi panjang dengan tinggi dan lebar / kita dapat menulis
Di bawah kondisi masalah tertentu, partikel klasik yang memiliki energi E, atau akan melewati penghalang tanpa halangan (jika E > kamu), atau akan tercermin darinya (jika E< U) akan bergerak ke arah yang berlawanan, yaitu. dia tidak bisa menembus penghalang. Untuk mikropartikel, bahkan dengan E > kamu, ada kemungkinan bukan nol bahwa partikel tersebut akan dipantulkan dari penghalang dan akan bergerak ke arah yang berlawanan. Pada E ada juga kemungkinan bukan nol bahwa partikel tersebut akan berakhir di wilayah tersebut x> itu. akan menembus penghalang. Kesimpulan serupa yang tampaknya paradoks mengikuti langsung dari solusi persamaan Schrödinger, yang menjelaskan
412
menggambarkan pergerakan mikropartikel dalam kondisi masalah ini.
Persamaan (217.5) untuk keadaan stasioner untuk masing-masing Gambar yang disorot. 301, A wilayah punya
(untuk wilayah
(untuk wilayah
Solusi umum persamaan diferensial ini:
Solusi (221.3) juga mengandung gelombang (setelah dikalikan dengan faktor waktu) yang merambat di kedua arah. Namun, di kawasan tersebut 3 yang ada hanyalah gelombang yang telah melewati pembatas dan merambat dari kiri ke kanan. Oleh karena itu, koefisien rumus (221.3) harus diambil sama dengan nol.
Di daerah 2
solusinya tergantung pada hubungan E>U atau E
(untuk wilayah
(untuk wilayah 2);
Arti Q dan 0, kita memperoleh solusi persamaan Schrödinger untuk tiga daerah dalam bentuk berikut:
(untuk wilayah 3).
DI DALAM khususnya untuk wilayah tersebut 1 fungsi gelombang lengkap, menurut (217.4), akan berbentuk
 |
Dalam persamaan ini, suku pertama mewakili tipe gelombang bidang (219.3), yang merambat ke arah sumbu positif X(sesuai dengan partikel yang bergerak menuju penghalang), dan yang kedua adalah gelombang yang merambat ke arah yang berlawanan, yaitu. dipantulkan dari penghalang (sesuai dengan partikel yang bergerak dari penghalang ke kiri).
(untuk wilayah 3).
Di daerah 2
fungsinya tidak lagi sesuai dengan gelombang bidang yang merambat ke dua arah, karena eksponen eksponennya bukan khayalan, melainkan nyata. Dapat ditunjukkan bahwa untuk kasus khusus penghalang yang tinggi dan lebar, ketika 1,
Sifat kualitatif dari fungsi diilustrasikan pada Gambar. 301, yang darinya gelombang-
Fungsinya tidak sama dengan nol bahkan di dalam penghalang, tetapi di wilayah tersebut 3, jika penghalangnya tidak terlalu lebar, maka akan kembali berbentuk gelombang de Broglie dengan impuls yang sama, yaitu dengan frekuensi yang sama, tetapi amplitudonya lebih kecil. Akibatnya, kami menemukan bahwa sebuah partikel mempunyai probabilitas bukan nol untuk melewati penghalang potensial yang lebarnya terbatas.
Dengan demikian, mekanika kuantum mengarah pada fenomena kuantum spesifik baru yang fundamental, yang disebut efek terowongan, sebagai akibatnya objek mikro dapat “melewati” penghalang potensial. melalui Solusi gabungan persamaan untuk penghalang potensial persegi panjang (dengan asumsi bahwa koefisien transparansi kecil dibandingkan dengan kesatuan)
dimana adalah faktor konstanta yang bisa sama dengan satu; kamu- potensi ketinggian penghalang; E - energi partikel; - lebar penghalang.
Dari ekspresi (221.7) berikut ini D sangat bergantung pada massa T partikel, lebar/penghalang dan dari (kamu - Semakin lebar penghalang, semakin kecil kemungkinan partikel melewatinya.
Untuk penghalang potensial yang bentuknya berubah-ubah (Gbr. 302), memenuhi kondisi yang disebut pendekatan semiklasik(bentuk kurva yang cukup mulus), kita punya
 |
Di mana kamu= kamu(x).
Dari sudut pandang klasik, perjalanan suatu partikel melalui penghalang potensial di E tidak mungkin, karena partikel, yang berada di daerah penghalang, harus memiliki energi kinetik negatif. Efek terowongan adalah efek kuantum tertentu.
Lintasan suatu partikel melalui suatu daerah yang menurut hukum mekanika klasik tidak dapat ditembusnya, dapat dijelaskan dengan hubungan ketidakpastian. Ketidakpastian momentum Ar pada segmen tersebut Ah = adalah Ar > -. Terkait dengan pencaran nilai momentum kinetik
302
Energi Ceko mungkin
cukup untuk menyelesaikan
energi partikel ternyata lebih besar dari potensinya.
Landasan teori transisi terowongan diletakkan dalam karya L. I. Mandelshtam
Penerobosan penghalang potensial mendasari banyak fenomena dalam fisika benda padat (misalnya, fenomena pada lapisan kontak pada batas dua semikonduktor), fisika atom dan nuklir (misalnya peluruhan, terjadinya reaksi termonuklir).
§ 222. Osilator harmonik linier
Dalam mekanika kuantum
Osilator harmonik linier- suatu sistem yang mengalami gerak satu dimensi di bawah aksi gaya kuasi-elastis adalah model yang digunakan dalam banyak masalah teori klasik dan kuantum (lihat § 142). Pendulum pegas, fisika dan matematika adalah contoh osilator harmonik klasik.
Energi potensial osilator harmonik [lihat. (141.5)] sama dengan
Dimana frekuensi alami osilator; T - massa partikel.
Ketergantungan (222.1) berbentuk parabola (Gbr. 303), yaitu. “Potensi sumur” dalam hal ini bersifat parabola.
Amplitudo osilasi kecil osilator klasik ditentukan oleh energi totalnya E(lihat Gambar 17).
Dinger memperhitungkan ekspresi (222.1) untuk energi potensial. Kemudian keadaan stasioner osilator kuantum ditentukan oleh persamaan bentuk Schrödinger
= 0, (222.2)
Di mana E - energi total osilator. Dalam teori persamaan diferensial
Terbukti persamaan (222.2) hanya dapat diselesaikan untuk nilai eigen energi
(222.3)
Rumus (222.3) menunjukkan bahwa energi osilator kuantum dapat
hanya punya nilai diskrit, yaitu terkuantisasi. Energi dibatasi dari bawah oleh nilai energi minimum bukan nol, seperti untuk “sumur” persegi panjang dengan “dinding” yang sangat tinggi (lihat § 220). = Su-
adanya energi minimum - disebut energi getaran titik nol - khas untuk sistem kuantum dan merupakan konsekuensi langsung dari hubungan ketidakpastian.
Adanya osilasi titik nol berarti partikel tersebut tidak dapat berada di dasar “sumur potensial” (apa pun bentuk sumurnya). Faktanya, “jatuh ke dasar lubang” dikaitkan dengan hilangnya momentum partikel, dan pada saat yang sama ketidakpastiannya. Kemudian ketidakpastian koordinat menjadi sangat besar, yang pada gilirannya bertentangan dengan keberadaan partikel di dalamnya
"lubang potensial".
Kesimpulan tentang adanya energi osilasi titik nol osilator kuantum bertentangan dengan kesimpulan teori klasik, yang menyatakan bahwa energi terendah yang dimiliki osilator adalah nol (sesuai dengan partikel diam dalam posisi setimbang). Misalnya menurut kesimpulan fisika klasik di T= 0, energi gerak vibrasi atom-atom kristal akan hilang. Akibatnya, hamburan cahaya akibat getaran atom juga harus hilang. Namun percobaan menunjukkan bahwa intensitas hamburan cahaya dengan menurunnya suhu tidak sama dengan nol, tetapi cenderung pada nilai batas tertentu, yang menunjukkan bahwa ketika T 0 getaran atom dalam kristal tidak berhenti. Hal ini menegaskan adanya osilasi nol.
Dari rumus (222.3) juga dapat disimpulkan bahwa tingkat energi osilator harmonik linier terletak pada jarak yang sama satu sama lain (lihat Gambar 303), yaitu jarak antara tingkat energi yang berdekatan sama dengan dan nilai energi minimum adalah =
Solusi yang cermat terhadap masalah osilator kuantum menghasilkan perbedaan signifikan lainnya dari solusi klasik