Dalam pelajaran ini kita akan belajar berbagai pilihan interaksi lingkaran dan garis lurus. Mari kita mengingat kembali definisi yang banyak digunakan dalam kasus ini. Garis lurus adalah aksiomatik yang tidak terdefinisi sosok geometris, yaitu garis lurus genap tanpa awal dan akhir. Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu pusat persekutuan (pusat lingkaran), dihubungkan oleh suatu kurva persekutuan. Dengan kata lain, lingkaran adalah kurva tertutup beraturan yang menguraikan luas maksimum yang mungkin.
Sebenarnya, ada tiga pilihan posisi relatif lingkaran dan garis lurus. Dalam kasus pertama, garis lurus berjalan sepenuhnya di luar lingkaran tertentu, tanpa berpotongan atau menyentuhnya di mana pun. Jika suatu garis lurus menyentuh tepat satu titik tertentu dari suatu himpunan pada suatu lingkaran, maka garis tersebut disebut garis singgung terhadap lingkaran tersebut.
Garis singgungnya punya satu properti yang paling penting. Jari-jari yang ditarik ke titik singgung tegak lurus terhadap garis lurus itu sendiri. Video tersebut memperlihatkan sebuah lingkaran dengan pusat O, garis A dan titik singgung K. Karena titik ini tunggal, maka garis A bersinggungan dengan lingkaran tersebut. Dan sudut di K yang dibentuk oleh jari-jari dan setiap bagian garis lurus adalah siku-siku sama dengan 90 derajat. Ini juga perlu diperhatikan fitur penting- garis singgung hanya mempunyai satu titik kontak. Tidak mungkin menggambar garis lurus sehingga menyentuh dua titik pada lingkaran secara tangensial.
Jika garis lurus A kita melewati seluruh lingkaran, menyentuh daerah dalamnya, maka ini sudah menjadi lingkaran ketiga kasus spesial interaksi angka-angka ini. Dalam hal ini, garis lurus melewati dua titik pada lingkaran - katakanlah, B dan C. Ini disebut lingkaran potong. Garis potong selalu hanya melalui dua titik mana pun dari himpunan pada kurva. Karena ada banyak titik dalam sebuah lingkaran, maka dimungkinkan untuk menggambar garis potong (dan juga garis singgung) yang jumlahnya tak terhingga untuk sebuah lingkaran tertentu.
Bagian dalam garis potong, yang pada dasarnya merupakan ruas BC, adalah tali busur lingkaran. Jika garis potong melewati pusat lingkaran, maka bagian dalamnya diwakili oleh tali busur terbesar - diameter. Dalam hal ini, titik potong B dan C berada pada jarak terjauh satu sama lain (menurut sifat diameter). Sangat mudah untuk memahami bahwa kasus khusus yang berlawanan adalah garis potong yang membentuk tali busur dengan nilai yang sangat kecil; sebenarnya, itu sudah merupakan garis singgung.
Segmen P sering dijumpai dalam soal - segmen ini menghubungkan titik yang sesuai pada garis lurus dan pusat lingkaran itu sendiri melalui jalur terpendek. Dengan kata lain P adalah ruas TO, dimana T adalah titik pada garis lurus BC. Ruas ini tegak lurus terhadap garis, perpanjangannya terhadap lingkaran itu sendiri adalah jari-jarinya. Nilai linier Ruas ini dapat dihitung melalui kosinus sudut yang dibentuk oleh jari-jari dan garis potong, dengan titik sudut pada titik potong tersebut.
Mari kita mengingat kembali definisi penting – definisi lingkaran]
Definisi:
Lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari R adalah himpunan semua titik pada bidang yang terletak pada jarak R dari titik O.
Mari kita perhatikan fakta bahwa lingkaran adalah himpunan setiap orang poin yang memenuhi kondisi yang dijelaskan. Mari kita lihat sebuah contoh:
Titik A, B, C, D pada persegi berjarak sama dari titik E, tetapi bukan lingkaran (Gbr. 1).
Beras. 1. Ilustrasi misalnya
DI DALAM pada kasus ini bangun tersebut berbentuk lingkaran, karena merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama dari pusat.
Jika Anda menghubungkan dua titik pada sebuah lingkaran, Anda mendapatkan tali busur. Tali busur yang melalui pusat disebut diameter.
MB - akord; AB - diameter; MnB adalah sebuah busur, dikontrak oleh akord MV;
Sudutnya disebut pusat.
Titik O adalah pusat lingkaran.
Beras. 2. Ilustrasi misalnya
Jadi, kita ingat apa itu lingkaran dan elemen utamanya. Sekarang mari kita beralih ke kedudukan relatif lingkaran dan garis lurus.
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r. Garis lurus P, jarak pusat ke garis lurus yaitu tegak lurus OM sama dengan d.
Kita asumsikan titik O tidak terletak pada garis P.
Diberikan lingkaran dan garis lurus, kita perlu mencari jumlah titik persekutuan.
Kasus 1 - jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih kecil dari jari-jari lingkaran:
Dalam kasus pertama, jika jarak d lebih kecil dari jari-jari lingkaran r, titik M terletak di dalam lingkaran. Dari titik ini kita akan memplot dua segmen - MA dan MB, yang panjangnya adalah . Kita mengetahui nilai r dan d, d lebih kecil dari r, yang berarti ekspresi tersebut ada dan titik A dan B ada. Kedua titik ini terletak pada satu garis lurus berdasarkan konstruksi. Mari kita periksa apakah mereka terletak pada lingkaran. Mari kita hitung jarak OA dan OB menggunakan teorema Pythagoras:
Beras. 3. Ilustrasi untuk kasus 1
Jarak pusat ke dua titik sama dengan jari-jari lingkaran, jadi kita telah membuktikan bahwa titik A dan B termasuk dalam lingkaran.
Jadi, titik A dan B termasuk dalam garis berdasarkan konstruksinya, keduanya termasuk dalam lingkaran berdasarkan apa yang telah dibuktikan - lingkaran dan garis mempunyai dua titik yang sama. Mari kita buktikan bahwa tidak ada titik lain (Gbr. 4).
Beras. 4. Ilustrasi pembuktiannya
Untuk melakukan ini, ambil sembarang titik C pada garis lurus dan asumsikan titik tersebut terletak pada lingkaran - jarak OS = r. Dalam hal ini, segitiga tersebut sama kaki dan median ON-nya, yang tidak berimpit dengan ruas OM, adalah tingginya. Kita mendapatkan kontradiksi: dua garis tegak lurus dijatuhkan dari titik O ke sebuah garis lurus.
Jadi, tidak ada titik persekutuan lain pada garis P dengan lingkaran. Kita telah membuktikan bahwa jika jarak d lebih kecil dari jari-jari lingkaran r, garis lurus dan lingkaran hanya mempunyai dua titik persekutuan.
Kasus kedua - jarak pusat lingkaran ke garis lurus sama dengan jari-jari lingkaran (Gbr. 5):
Beras. 5. Ilustrasi untuk kasus 2
Ingatlah bahwa jarak suatu titik ke garis lurus adalah panjang garis tegak lurus, dalam hal ini OH adalah tegak lurus. Karena dengan syarat panjang OH sama dengan jari-jari lingkaran, maka titik H termasuk dalam lingkaran, sehingga titik H bersekutu dengan garis dan lingkaran.
Mari kita buktikan bahwa tidak ada kesamaan lainnya. Sebaliknya: misalkan titik C pada garis tersebut termasuk dalam lingkaran. Dalam hal ini, jarak OS sama dengan r, dan OS sama dengan OH. Namun pada segitiga siku-siku, sisi miring OC lebih besar daripada kaki OH. Kami mendapat kontradiksi. Jadi anggapan tersebut salah dan tidak ada titik selain H yang bersekutu dengan garis dan lingkaran. Kami telah membuktikan bahwa dalam hal ini hanya ada satu kesamaan.
Kasus 3 - jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran:
Jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang garis tegak lurus tersebut. Kita tarik garis tegak lurus dari titik O ke garis P, kita peroleh titik H yang tidak terletak pada lingkaran, karena OH dengan syarat lebih besar dari jari-jari lingkaran. Mari kita buktikan bahwa titik lain pada garis tersebut tidak terletak pada lingkaran. Hal ini terlihat jelas dari segitiga siku-siku, sisi miring OM lebih besar dari kaki OH, sehingga lebih besar dari jari-jari lingkaran, sehingga titik M tidak termasuk dalam lingkaran, seperti titik lainnya pada garis. Telah kita buktikan bahwa dalam hal ini lingkaran dan garis lurus tidak mempunyai titik persekutuan (Gbr. 6).
Beras. 6. Ilustrasi untuk kasus 3
Mari kita pertimbangkan dalil . Misalkan garis lurus AB mempunyai dua titik persekutuan dengan lingkaran (Gbr. 7).
Beras. 7. Ilustrasi teorema
Kami memiliki akord AB. Titik H, menurut konvensi, adalah titik tengah tali busur AB dan terletak pada diameter CD.
Perlu dibuktikan bahwa dalam hal ini diameter tegak lurus tali busur.
Bukti:
Perhatikan segitiga sama kaki OAB, segitiga sama kaki karena .
Titik H, menurut konvensi, adalah titik tengah tali busur, yang berarti titik tengah median AB segitiga sama kaki. Kita tahu bahwa median segitiga sama kaki tegak lurus alasnya, artinya tingginya: , maka terbukti diameter yang melalui titik tengah tali busur tegak lurus terhadap segitiga tersebut.
Adil dan teorema kebalikan : jika diameternya tegak lurus tali busur, maka tali tersebut melewati bagian tengahnya.
Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat O, diameternya CD dan tali busur AB. Diketahui bahwa diameter tegak lurus tali busur, perlu dibuktikan bahwa diameter melewati bagian tengahnya (Gbr. 8).
Beras. 8. Ilustrasi teorema
Bukti:
Perhatikan segitiga sama kaki OAB, segitiga sama kaki karena . OH, menurut konvensi, adalah tinggi segitiga, karena diameternya tegak lurus terhadap tali busur. Tinggi suatu segitiga sama kaki juga merupakan median, jadi AN = HB, artinya titik H adalah titik tengah tali busur AB, artinya terbukti diameter tegak lurus tali busur melalui titik tengahnya.
Teorema langsung dan kebalikannya dapat digeneralisasikan sebagai berikut.
Dalil:
Suatu diameter tegak lurus tali busur jika dan hanya jika diameter melewati titik tengahnya.
Jadi, kami telah mempertimbangkan semua kasus posisi relatif suatu garis dan lingkaran. Pada pembelajaran selanjutnya kita akan membahas garis singgung lingkaran.
Bibliografi
- Alexandrov A.D. dll. Geometri kelas 8. - M.: Pendidikan, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri 8. - M.: Pendidikan, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri kelas 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Edu.glavsprav.ru().
- Webmath.exponenta.ru().
- Fmclass.ru().
Pekerjaan rumah
Tugas 1. Tentukan panjang dua ruas tali busur yang dibagi oleh diameter lingkaran, jika panjang tali busur 16 cm dan diameternya tegak lurus.
Tugas 2. Tunjukkan banyaknya titik persekutuan pada suatu garis dan lingkaran jika:
a) jarak garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6 cm, dan jari-jari lingkaran adalah 6,05 cm;
b) jarak garis lurus ke pusat lingkaran adalah 6,05 cm dan jari-jari lingkaran adalah 6 cm;
c) jarak garis lurus ke pusat lingkaran adalah 8 cm dan jari-jari lingkaran adalah 16 cm.
Tugas 3. Hitunglah panjang tali busur jika diameternya tegak lurus, dan salah satu ruas yang dipotong oleh diameternya adalah 2 cm.
Misalkan sebuah lingkaran dan suatu garis lurus diberikan pada sebuah bidang. Mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari pusat lingkaran C ke garis lurus ini; mari kita nyatakan dengan alas tegak lurus ini. Sebuah titik dapat menempati tiga kemungkinan posisi relatif terhadap lingkaran: a) terletak di luar lingkaran, b) di atas lingkaran, c) di dalam lingkaran. Bergantung pada hal ini, garis lurus akan menempati salah satu dari tiga kemungkinan posisi berbeda relatif terhadap lingkaran, yang dijelaskan di bawah.
a) Misalkan alas garis tegak lurus turun dari pusat C lingkaran ke garis lurus a terletak di luar lingkaran (Gbr. 197). Maka garis lurus tersebut tidak memotong lingkaran; semua titiknya terletak di daerah terluar. Memang, di pada kasus ini menurut syaratnya, ia dipindahkan dari pusat pada jarak yang lebih besar dari jari-jarinya). Selain itu, untuk setiap titik M pada garis lurus a yang kita miliki, yaitu setiap titik pada garis lurus tertentu terletak di luar lingkaran.
b) Biarkan alas tegak lurus jatuh pada lingkaran (Gbr. 198). Maka garis lurus a mempunyai tepat satu titik persekutuan dengan lingkaran. Memang, jika M adalah titik lain pada garis tersebut, maka (titik miring lebih panjang dari titik tegak lurus) titik M terletak di daerah luar. Garis yang mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut bersinggungan dengan lingkaran di titik tersebut. Mari kita tunjukkan bahwa sebaliknya, jika suatu garis lurus mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran, maka jari-jari yang ditarik ke titik tersebut tegak lurus terhadap garis lurus tersebut. Memang benar, mari kita jatuhkan garis tegak lurus dari pusat ke garis ini. Jika alasnya terletak di dalam lingkaran, maka garis lurus tersebut mempunyai dua titik persekutuan, seperti ditunjukkan pada c). Jika terletak di luar lingkaran, maka karena a) garis lurus tersebut tidak mempunyai titik persekutuan dengan lingkaran.
Oleh karena itu, tetap diasumsikan bahwa garis tegak lurus jatuh pada titik persekutuan garis dan lingkaran - pada titik singgungnya. Terbukti penting
Dalil. Garis lurus yang melalui suatu titik pada lingkaran menyentuh lingkaran jika dan hanya jika garis tersebut tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik tersebut.
Perhatikan bahwa definisi garis singgung lingkaran yang diberikan di sini tidak berlaku untuk kurva lainnya. Lagi definisi umum garis singgung garis lurus terhadap garis lengkung dikaitkan dengan konsep teori limit dan dibahas secara rinci pada mata kuliah matematika yang lebih tinggi. Di sini kita hanya akan membicarakannya konsep umum. Misalkan diberikan sebuah lingkaran dan titik A di atasnya (Gbr. 199).
Mari kita ambil titik A yang lain pada lingkaran dan hubungkan kedua titik pada garis lurus AA. Misalkan titik A, yang bergerak sepanjang lingkaran, menempati serangkaian posisi baru, semakin mendekati titik A. Garis lurus AA, yang berputar mengelilingi A, mengambil beberapa posisi: dalam hal ini, ketika titik bergerak mendekati titik A , garis lurus cenderung berimpit dengan garis singgung AT. Oleh karena itu, kita dapat menyebut garis singgung sebagai posisi batas suatu garis potong yang melalui suatu titik tertentu dan suatu titik pada suatu kurva yang mendekati titik tersebut tanpa batas. Dalam bentuk ini, definisi garis singgung dapat diterapkan pada kurva pandangan umum(Gbr. 200).
c) Terakhir, biarkan titik tersebut berada di dalam lingkaran (Gbr. 201). Kemudian . Kita akan membahas lingkaran miring yang ditarik ke garis lurus a dari pusat C, dengan alas bergerak menjauhi titik tersebut ke salah satu dari dua kemungkinan arah. Panjang bidang miring akan bertambah secara monoton seiring dengan menjauhi titik alasnya; pertambahan panjang bidang miring ini terjadi secara bertahap (“terus menerus”) dari nilai yang mendekati nilai besar sembarang, oleh karena itu tampak jelas bahwa pada posisi tertentu dari alas miring, panjangnya akan sama persis dengan titik K dan L yang bersesuaian pada garis yang terletak pada lingkaran.
Disusun oleh seorang guru matematika
Sekolah Menengah MBOU No.18, Krasnoyarsk
Andreeva Inga Viktorovna
Posisi relatif garis lurus dan lingkaran
TENTANG R - radius
DENGAN D - diameter
AB- akord
- Lingkaran dengan pusat di suatu titik TENTANG radius R
- Garis lurus yang tidak melewati titik tengah TENTANG
- Mari kita nyatakan jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus dengan huruf S
Tiga kasus mungkin terjadi:
- 1) S
- lebih sedikit jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tersebut mempunyai dua poin umum .
AB langsung disebut garis potong sehubungan dengan lingkaran.
Tiga kasus mungkin terjadi:
- 2 ) S = R
- Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus sama jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tersebut mempunyai hanya satu poin umum .
S = R
r Jika jarak pusat lingkaran ke garis lurus lebih besar dari jari-jari lingkaran, maka garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan. sr r O" lebar="640" Tiga kasus mungkin terjadi:
- 3 ) sr
- Jika jarak dari pusat lingkaran ke garis lurus lagi jari-jari lingkaran, lalu garis lurus dan lingkaran tidak mempunyai poin yang sama .
Bersinggungan dengan lingkaran
Definisi: P garis yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan lingkaran disebut garis singgung lingkaran, dan titik persekutuannya disebut titik singgung garis dan lingkaran.
S = R
- garis lurus - garis potong
- garis lurus - garis potong
- tidak ada poin yang sama
- garis lurus - garis potong
- garis lurus - garis singgung
- r = 15 cm, s = 11 cm
- r = 6 cm, s = 5,2 cm
- r = 3,2 m, s = 4,7 m
- r = 7 cm, s = 0,5 dm
- r = 4 cm, s = 4 0 mm
Selesaikan No.633.
- OABC- persegi
- AB = 6cm
- Lingkaran dengan pusat O berjari-jari 5 cm
garis potong dari garis lurus OA, AB, BC, AC
Sifat singgung: Garis singgung lingkaran tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik ke titik singgung tersebut.
M– bersinggungan dengan lingkaran yang berpusat TENTANG
M– titik kontak
OM- radius
Tanda singgung: Jika suatu garis lurus melalui ujung jari-jari yang terletak pada suatu lingkaran dan tegak lurus terhadap jari-jari tersebut, maka garis tersebut adalah a asatif.
lingkaran dengan pusat TENTANG
radius OM
M- garis lurus yang melalui suatu titik M
M – bersinggungan
Sifat garis singgung yang melalui satu titik:
Segmen singgung ke
lingkaran yang digambar
dari titik yang sama, sama dan
membuat sudut yang sama besar
dengan garis lurus yang melewatinya
titik ini dan pusat lingkaran.
▼ Berdasarkan sifat singgungnya
∆ AVO, ∆ ASO – persegi panjang
∆ ABO= ∆ ACO – sepanjang sisi miring dan kaki:
OA - umum,