Di bidang koordinat xOy perhatikan grafik fungsinya kamu=f(x). Mari kita perbaiki intinya M(x 0 ; f (x 0)). Mari tambahkan absis x 0 kenaikan Δх. Kami akan mendapatkan absis baru x 0 +Δx. Inilah absis intinya N, dan ordinatnya akan sama f (x 0 +Δx). Perubahan absis menyebabkan perubahan ordinat. Perubahan ini disebut kenaikan fungsi dan dilambangkan Δy.
Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Melalui titik-titik M Dan N mari menggambar garis potong M N, yang membentuk sudut φ dengan arah sumbu positif Oh. Mari kita tentukan garis singgung sudutnya φ dari segitiga siku-siku MPN.
Membiarkan Δх cenderung nol. Kemudian garis potong M N akan cenderung mengambil posisi singgung MT, dan sudutnya φ akan menjadi sudut α . Jadi, garis singgung sudutnya α adalah nilai batas tangen sudut φ :
Batas rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumen, ketika argumen tersebut cenderung nol, disebut turunan fungsi pada suatu titik tertentu:
Arti geometris dari turunan terletak pada kenyataan bahwa turunan numerik dari fungsi pada suatu titik tertentu sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung yang ditarik melalui titik ini ke kurva tertentu dan arah sumbu positif Oh:
Contoh.
1. Temukan pertambahan argumen dan pertambahan fungsi y= x 2, jika nilai awal argumennya sama dengan 4 , dan baru - 4,01 .
Larutan.
Nilai argumen baru x=x 0 +Δx. Mari kita substitusikan datanya: 4,01=4+Δх, maka argumennya bertambah Δх=4,01-4=0,01. Kenaikan suatu fungsi, menurut definisi, sama dengan selisih antara nilai fungsi yang baru dan sebelumnya, yaitu. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Karena kita mempunyai fungsi kamu=x2, Itu kamu=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Menjawab: peningkatan argumen Δх=0,01; peningkatan fungsi kamu=0,0801.
Peningkatan fungsi dapat ditemukan secara berbeda: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.
2. Temukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi kamu=f(x) pada intinya x 0, Jika f "(x 0) = 1.
Larutan.
Nilai turunannya pada titik singgung x 0 dan merupakan nilai garis singgung sudut singgung (arti geometri turunannya). Kita punya: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Karena tg45°=1.
Menjawab: garis singgung grafik fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif sumbu Ox sama dengan 45°.
3. Turunkan rumus turunan fungsi tersebut kamu=xn.
Diferensiasi adalah tindakan mencari turunan suatu fungsi.
Saat mencari turunan, gunakan rumus yang diturunkan berdasarkan definisi turunan, sama seperti kita menurunkan rumus derajat turunan: (x n)" = nx n-1.
Ini adalah rumusnya.
Tabel turunan Akan lebih mudah untuk menghafal dengan mengucapkan rumusan verbal:
1. Turunan suatu besaran tetap adalah nol.
2. X bilangan prima sama dengan satu.
3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya.
4. Turunan suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen derajat tersebut dengan derajat yang basisnya sama, tetapi eksponennya lebih kecil satu.
5. Turunan suatu akar sama dengan satu dibagi dua akar yang sama besar.
6. Turunan satu dibagi x sama dengan dikurangi satu dibagi x kuadrat.
7. Turunan sinus sama dengan cosinus.
8. Turunan cosinus sama dengan minus sinus.
9. Turunan garis singgung sama dengan satu dibagi kuadrat cosinus.
10. Turunan kotangen sama dengan minus satu dibagi kuadrat sinus.
Kami mengajar aturan diferensiasi.
1.
Turunan suatu jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar turunan suku-suku tersebut.
2. Turunan suatu hasil kali sama dengan hasil kali turunan faktor pertama dan faktor kedua ditambah hasil kali faktor pertama dan turunan faktor kedua.
3. Turunan dari “y” dibagi “ve” sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah “y prima dikalikan “ve” dikurangi “y dikalikan ve prime”, dan penyebutnya adalah “ve kuadrat”.
4. Kasus spesial rumus 3.
Subjek. Turunan. Geometris dan pengertian mekanis turunan
Jika limit tersebut ada, maka fungsi tersebut dikatakan terdiferensiasi di suatu titik. Turunan suatu fungsi dilambangkan dengan (rumus 2).
- Arti geometris dari turunan. Mari kita lihat grafik fungsinya. Dari Gambar 1 jelas bahwa untuk dua titik A dan B pada grafik fungsi, dapat dituliskan rumus 3). Ini berisi sudut kemiringan garis potong AB.
Jadi, perbandingan selisihnya adalah lereng garis potong Jika titik A ditetapkan dan titik B dipindahkan ke arahnya, maka titik tersebut mengecil tanpa batas dan mendekati 0, dan garis potong AB mendekati garis singgung AC. Oleh karena itu, batas perbandingan selisihnya sama dengan kemiringan garis singgung di titik A. Hal ini mengarah pada kesimpulan.
Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah kemiringan garis singgung grafik fungsi tersebut di titik tersebut. Inilah arti geometris dari turunan.
- Persamaan tangen . Mari kita turunkan persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik. Secara umum persamaan garis lurus dengan koefisien sudut berbentuk: . Untuk mencari b, kita memanfaatkan fakta bahwa garis singgung melalui titik A: . Ini menyiratkan: . Mengganti ekspresi ini dengan b, kita memperoleh persamaan tangen (rumus 4).
Turunan suatu fungsi adalah salah satu topik yang sulit kurikulum sekolah. Tidak semua lulusan akan menjawab pertanyaan apa itu turunan.
Artikel ini menjelaskan secara sederhana dan jelas apa itu turunan dan mengapa diperlukan.. Kami sekarang tidak akan mengupayakan ketelitian matematis dalam presentasi. Yang terpenting adalah memahami maknanya.
Mari kita ingat definisinya:
Turunannya adalah laju perubahan suatu fungsi.
Gambar tersebut menunjukkan grafik tiga fungsi. Menurut Anda, mana yang tumbuh lebih cepat?
Jawabannya jelas - yang ketiga. Ia memiliki tingkat perubahan tertinggi, yaitu turunan terbesar.
Berikut contoh lainnya.
Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan secara bersamaan. Mari kita lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:
Grafik menunjukkan semuanya sekaligus, bukan? Penghasilan Kostya meningkat lebih dari dua kali lipat dalam enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matvey turun menjadi nol. Kondisi awalnya sama, tetapi laju perubahan fungsinya adalah turunan, - berbeda. Sedangkan bagi Matvey, turunan pendapatannya umumnya negatif.
Secara intuitif, kita dengan mudah memperkirakan laju perubahan suatu fungsi. Tapi bagaimana kita melakukan ini?
Apa yang sebenarnya kita lihat adalah seberapa tajam grafik suatu fungsi naik (atau turun). Dengan kata lain, seberapa cepat y berubah seiring perubahan x? Jelasnya, fungsi yang sama dapat dimiliki pada titik yang berbeda arti yang berbeda turunan - artinya, dapat berubah lebih cepat atau lebih lambat.
Turunan suatu fungsi dilambangkan dengan .
Kami akan menunjukkan cara menemukannya menggunakan grafik.
Grafik beberapa fungsi telah digambar. Mari kita ambil satu poin dengan absis di atasnya. Mari kita menggambar garis singgung grafik fungsi pada titik ini. Kita ingin memperkirakan seberapa tajam kenaikan grafik suatu fungsi. Nilai yang tepat untuk ini adalah garis singgung sudut singgung.
Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut singgung yang ditarik grafik fungsi di titik tersebut.
Perlu diketahui bahwa sebagai sudut kemiringan garis singgung kita ambil sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu.
Terkadang siswa menanyakan apa yang dimaksud dengan garis singgung grafik suatu fungsi. Ini adalah garis lurus yang memiliki satu titik persekutuan dengan grafik di bagian ini, dan seperti yang ditunjukkan pada gambar kita. Sepertinya garis singgung lingkaran.
Mari kita temukan. Kita ingat bahwa garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Dari segitiga:
Kami menemukan turunannya menggunakan grafik tanpa mengetahui rumus fungsinya. Soal-soal seperti itu sering dijumpai pada Ujian Negara Terpadu matematika di bawah angka.
Ada hubungan penting lainnya. Ingatlah bahwa garis lurus diberikan oleh persamaan
Besaran dalam persamaan ini disebut kemiringan garis lurus. Sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu.
.
Kami mengerti
Mari kita ingat rumus ini. Ini mengungkapkan arti geometris dari turunan.
Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik grafik fungsi di titik tersebut.
Dengan kata lain, turunannya sama dengan garis singgung sudut singgung tersebut.
Telah dikatakan bahwa fungsi yang sama dapat mempunyai turunan yang berbeda pada titik yang berbeda. Mari kita lihat bagaimana turunan berhubungan dengan perilaku fungsi.
Mari menggambar grafik suatu fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa area dan menurun di area lain, dan dengan laju yang berbeda. Dan biarkan fungsi ini memiliki titik maksimum dan minimum.
Pada titik tertentu fungsinya meningkat. Garis singgung grafik yang digambar pada suatu titik membentuk sudut lancip; dengan arah sumbu positif. Artinya turunan di titik tersebut positif.
Pada titik ini fungsi kita menurun. Garis singgung pada titik ini membentuk sudut tumpul; dengan arah sumbu positif. Karena garis singgung suatu sudut tumpul adalah negatif, maka turunan di suatu titik adalah negatif.
Inilah yang terjadi:
Jika suatu fungsi meningkat, maka turunannya positif.
Jika turun maka turunannya negatif.
Apa yang terjadi pada titik maksimum dan minimum? Kita melihat bahwa pada titik (titik maksimum) dan (titik minimum) garis singgungnya mendatar. Oleh karena itu, garis singgung garis singgung pada titik-titik tersebut adalah nol, dan turunannya juga nol.
Poin – poin maksimal. Pada titik ini, kenaikan fungsi digantikan oleh penurunan. Akibatnya, tanda turunannya berubah pada titik dari “plus” menjadi “minus”.
Pada titik – titik minimum – turunannya juga nol, tetapi tandanya berubah dari “minus” menjadi “plus”.
Kesimpulan: dengan menggunakan turunan kita dapat mengetahui segala sesuatu yang menarik minat kita tentang perilaku suatu fungsi.
Jika turunannya positif, maka fungsinya bertambah.
Jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun.
Pada titik maksimum, turunannya adalah nol dan berubah tanda dari “plus” menjadi “minus”.
Pada titik minimum, turunannya juga nol dan berubah tanda dari “minus” menjadi “plus”.
Mari kita tuliskan kesimpulan tersebut dalam bentuk tabel:
| meningkat | titik maksimum | berkurang | poin minimum | meningkat | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Mari kita membuat dua klarifikasi kecil. Anda akan membutuhkan salah satunya saat menyelesaikan masalah. Lain - di tahun pertama, dengan studi yang lebih serius tentang fungsi dan turunannya.
Ada kemungkinan bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol, tetapi fungsi tersebut tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum pada titik tersebut. Inilah yang disebut :
Pada suatu titik, garis singgung grafik tersebut mendatar dan turunannya nol. Namun, sebelum titik tersebut fungsinya meningkat – dan setelah titik tersebut terus meningkat. Tanda turunannya tidak berubah - tetap positif seperti semula.
Hal ini juga terjadi pada titik maksimum atau minimum turunannya tidak ada. Pada grafik, ini berhubungan dengan terobosan tajam, ketika tidak mungkin menggambar garis singgung pada suatu titik tertentu.
Bagaimana cara mencari turunannya jika suatu fungsi diberikan bukan dengan grafik, tetapi dengan rumus? Dalam hal ini berlaku
Kuliah: Konsep turunan suatu fungsi, arti geometri turunan
Konsep turunan fungsi
Mari kita perhatikan beberapa fungsi f(x), yang akan kontinu sepanjang seluruh interval pertimbangan. Pada interval yang dipertimbangkan, kita memilih titik x 0, serta nilai fungsi pada titik ini.
Jadi, mari kita lihat grafik di mana kita menandai titik kita x 0, serta titik (x 0 + ∆x). Ingatlah bahwa ∆х adalah jarak (selisih) antara dua titik yang dipilih.
Perlu juga dipahami bahwa setiap x bersesuaian nilai eigen fungsi y.
Selisih antara nilai fungsi di titik x 0 dan (x 0 + ∆x) disebut kenaikan fungsi ini: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).
Mari kita perhatikan Informasi tambahan, yang pada grafiknya terdapat garis potong yang disebut KL, serta segitiga yang dibentuknya dengan interval KN dan LN.
Sudut letak garis potong disebut sudut kemiringannya dan dilambangkan dengan α. Dapat dengan mudah ditentukan bahwa besar sudut LKN juga sama dengan .
Sekarang mari kita ingat hubungan pada segitiga siku-siku tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.
Artinya, garis singgung sudut potong sama dengan rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen.
Pada suatu waktu, turunan adalah batas rasio kenaikan suatu fungsi terhadap kenaikan argumen pada interval yang sangat kecil.
Turunannya menentukan laju perubahan suatu fungsi pada area tertentu.
Arti geometris dari turunan
Jika Anda menemukan turunan fungsi apa pun pada titik tertentu, Anda dapat menentukan sudut di mana garis singgung grafik pada arus tertentu akan ditempatkan, relatif terhadap sumbu OX. Perhatikan grafik – sudut tangensial kemiringan dilambangkan dengan huruf φ dan ditentukan oleh koefisien k pada persamaan garis lurus: y = kx + b.
Artinya, kita dapat menyimpulkan bahwa arti geometri turunan adalah garis singgung sudut singgung di suatu titik pada fungsi tersebut.