Untuk mencari tahu nilai geometris turunan, perhatikan grafik fungsi y = f(x). Mari kita ambil titik M dengan koordinat (x, y) dan titik N di dekatnya (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Mari kita menggambar ordinat $\overline(M_(1) M)$ dan $\overline(N_(1) N)$, dan dari titik M - garis lurus yang sejajar dengan sumbu OX.
Rasio $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ adalah garis singgung sudut $\alpha $1 yang dibentuk oleh garis potong MN dengan arah positif sumbu OX. Karena $\Delta $x cenderung nol, titik N akan mendekati M, dan posisi batas garis potong MN akan menjadi garis singgung MT terhadap kurva di titik M. Jadi, turunan f`(x) sama dengan garis singgung dari sudut $\alpha $ yang dibentuk oleh garis singgung kurva di titik M (x, y) dengan arah positif terhadap sumbu OX - kemiringan garis singgung (Gbr. 1).
Gambar 1. Grafik fungsi
Saat menghitung nilai menggunakan rumus (1), penting untuk tidak membuat kesalahan dalam tanda, karena kenaikannya juga bisa negatif.
Titik N yang terletak pada suatu kurva dapat cenderung ke M dari sisi manapun. Jadi, jika pada Gambar 1 garis singgung diberikan arah yang berlawanan, sudut $\alpha $ akan berubah sebesar $\pi $, yang secara signifikan akan mempengaruhi garis singgung sudut dan, karenanya, koefisien sudut.
Kesimpulan
Oleh karena itu, keberadaan turunan dikaitkan dengan keberadaan garis singgung kurva y = f(x), dan koefisien sudut - tg $\alpha $ = f`(x) berhingga. Oleh karena itu, garis singgung tidak boleh sejajar dengan sumbu OY, jika tidak $\alpha $ = $\pi $/2, dan garis singgung sudut akan menjadi tak terhingga.
Di beberapa titik, kurva kontinu mungkin tidak bersinggungan atau memiliki garis singgung yang sejajar dengan sumbu OY (Gbr. 2). Maka fungsi tersebut tidak boleh memiliki turunan pada nilai-nilai tersebut. Terdapat sejumlah titik serupa pada kurva fungsi.
Gambar 2. Titik-titik luar biasa pada kurva
Perhatikan Gambar 2. Misalkan $\Delta $x cenderung nol dari nilai negatif atau positif:
\[\Delta x\ke -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\ke +0) \end(array)\]
Jika di pada kasus ini relasi (1) mempunyai limit akhir, dinotasikan sebagai:
Dalam kasus pertama, turunannya ada di sebelah kiri, dalam kasus kedua, turunannya ada di sebelah kanan.
Adanya suatu limit menunjukkan kesetaraan dan persamaan turunan kiri dan kanan:
Jika turunan kiri dan kanan tidak sama, maka pada suatu titik terdapat garis singgung yang tidak sejajar dengan OY (titik M1, Gambar 2). Pada titik M2, hubungan M3 (1) cenderung tak terhingga.
Untuk titik N di sebelah kiri M2, $\Delta $x $
Di sebelah kanan $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, tetapi ekspresinya juga f(x + $\Delta $x) -- f(x) $
Untuk titik $M_3$ di sebelah kiri, $\Delta $x $$ 0 dan f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, mis. ekspresi (1) di kiri dan kanan adalah positif dan cenderung +$\infty $ keduanya saat $\Delta $x mendekati -0 dan +0.
Kasus tidak adanya turunan pada titik tertentu pada garis (x = c) disajikan pada Gambar 3.
Gambar 3. Tidak ada turunan
Contoh 1
Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi dan garis singgung grafik di titik absis $x_0$. Temukan nilai turunan fungsi dalam absis.
Larutan. Turunan suatu titik sama dengan rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen. Mari kita pilih dua titik pada garis singgung dengan koordinat bilangan bulat. Misalkan, ini adalah titik F (-3.2) dan C (-2.4).
Tujuan pelajaran:
Siswa harus mengetahui:
- apa yang disebut kemiringan suatu garis;
- sudut antara garis lurus dan sumbu Sapi;
- apa itu makna geometris turunan;
- persamaan garis singgung grafik suatu fungsi;
- metode untuk membuat garis singgung parabola;
- mampu menerapkan pengetahuan teoretis dalam praktik.
Tujuan pelajaran:
Pendidikan: menciptakan kondisi bagi siswa untuk menguasai suatu sistem pengetahuan, keterampilan dan kemampuan dengan konsep makna mekanik dan geometri turunan.
Pendidikan: membentuk pandangan dunia ilmiah pada siswa.
Perkembangan: untuk mengembangkan minat kognitif, kreativitas, kemauan, ingatan, ucapan, perhatian, imajinasi, persepsi siswa.
Metode pengorganisasian kegiatan pendidikan dan kognitif:
- visual;
- praktis;
- dengan aktivitas mental: induktif;
- menurut asimilasi materi: pencarian sebagian, reproduktif;
- berdasarkan tingkat kemandirian: pekerjaan laboratorium;
- merangsang: dorongan;
- kontrol: survei frontal lisan.
Rencana belajar
- Latihan lisan (temukan turunannya)
- Pesan siswa dengan topik “Penyebab analisis matematis”.
- Mempelajari materi baru
- Fis. Sebentar.
- Memecahkan tugas.
- Pekerjaan laboratorium.
- Menyimpulkan pelajaran.
- Mengomentari pekerjaan rumah.
Peralatan: proyektor multimedia (presentasi), kartu ( Pekerjaan laboratorium).
Selama kelas
“Seseorang hanya mencapai sesuatu jika dia percaya pada kekuatannya sendiri”
L.Feuerbach
I. Momen organisasi.
Organisasi kelas sepanjang pembelajaran, kesiapan siswa terhadap pelajaran, ketertiban dan disiplin.
Menetapkan tujuan pembelajaran bagi siswa, baik untuk keseluruhan pembelajaran maupun untuk tahapan individu.
Tentukan pentingnya materi yang dipelajari baik dalam topik ini maupun dalam keseluruhan kursus.
Penghitungan verbal
1. Temukan turunannya:
" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "
2. Tes logika.
a) Sisipkan ekspresi yang hilang.
| 5x 3 -6x | 15x 2 -6 | 30x |
| 2sinx | 2cosx… | |
| cos2x | … … |
II. Pesan siswa dengan topik “Alasan munculnya analisis matematika.”
Arah umum perkembangan ilmu pengetahuan pada akhirnya ditentukan oleh kebutuhan praktik aktivitas manusia. Keberadaan negara-negara kuno dengan sistem manajemen hierarki yang kompleks tidak akan mungkin terjadi tanpa pengembangan aritmatika dan aljabar yang memadai, karena pengumpulan pajak, pengorganisasian perbekalan tentara, pembangunan istana dan piramida, serta pembuatan sistem irigasi memerlukan perhitungan yang rumit. Selama Renaisans, hubungan antara berbagai belahan dunia abad pertengahan meluas, perdagangan dan kerajinan berkembang. Peningkatan pesat dalam tingkat teknis produksi dimulai, dan sumber energi baru yang tidak terkait dengan upaya otot manusia atau hewan digunakan dalam industri. Pada abad XI-XII, mesin fulling dan tenun muncul, dan pada pertengahan abad XV - mesin cetak. Karena kebutuhan akan pesatnya perkembangan produksi sosial pada periode ini, maka esensi ilmu-ilmu alam yang bersifat deskriptif sejak zaman dahulu pun berubah. Tujuan dari ilmu pengetahuan alam adalah studi mendalam proses alam, bukan benda. Matematika, yang dioperasikan dengan besaran konstan, berhubungan dengan ilmu alam deskriptif zaman dahulu. Penting untuk menciptakan peralatan matematika yang tidak menggambarkan hasil dari proses tersebut, tetapi sifat alirannya dan pola-pola yang melekat di dalamnya. Hasilnya, pada akhir abad ke-12, Newton di Inggris dan Leibniz di Jerman menyelesaikan tahap pertama pembuatan analisis matematis. Apa itu "analisis matematis"? Bagaimana seseorang dapat mengkarakterisasi dan memprediksi karakteristik suatu proses? Gunakan fitur ini? Untuk menembus lebih dalam esensi fenomena tertentu?
AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.
Mari ikuti jejak Newton dan Leibniz dan lihat bagaimana kita dapat menganalisis proses tersebut, dengan menganggapnya sebagai fungsi waktu.
Mari kita perkenalkan beberapa konsep yang akan membantu kita lebih jauh.
Grafik fungsi linier y=kx+ b adalah garis lurus, disebut bilangan k kemiringan garis lurus. k=tg, dimana adalah sudut garis lurus, yaitu sudut antara garis lurus tersebut dengan arah positif sumbu Ox.
Gambar 1
Perhatikan grafik fungsi y=f(x). Mari kita menggambar garis potong melalui dua titik mana pun, misalnya garis potong AM. (Gbr.2)
Koefisien sudut garis potong k=tg. Pada segitiga siku-siku AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.
Gambar 2
Gambar 3
Istilah “kecepatan” sendiri mencirikan ketergantungan perubahan suatu kuantitas terhadap perubahan kuantitas lainnya, dan perubahan kuantitas lainnya tidak harus berupa waktu.
Jadi, garis singgung sudut kemiringan garis potong tg = .
Kami tertarik pada ketergantungan perubahan kuantitas dalam periode waktu yang lebih singkat. Mari kita arahkan kenaikan argumen ke nol. Maka ruas kanan rumus tersebut adalah turunan fungsi di titik A (jelaskan alasannya). Jika x -> 0, maka titik M bergerak sepanjang grafik menuju titik A, artinya garis lurus AM mendekati suatu garis lurus AB, yaitu bersinggungan dengan grafik fungsi y = f(x) di titik A. (Gbr.3)
Sudut kemiringan garis potong cenderung terhadap sudut kemiringan garis singgung.
Arti geometri turunan adalah nilai turunan di suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik tersebut.
Arti mekanis dari turunan.
Garis singgung sudut singgung adalah besaran yang menunjukkan laju perubahan fungsi sesaat pada suatu titik tertentu, yaitu suatu ciri baru dari proses yang sedang dipelajari. Leibniz menyebut besaran ini turunan, dan Newton mengatakan bahwa turunan itu sendiri disebut sesaat kecepatan.
IV. menit pendidikan jasmani.
V. Memecahkan masalah.
No.91(1) halaman 91 – tampilkan di papan.
Koefisien sudut garis singgung kurva f(x) = x 3 di titik x 0 – 1 adalah nilai turunan fungsi ini di x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f'(1) = 3.
No.91 (3.5) – dikte.
No.92(1) – di papan jika diinginkan.
No 92 (3) – mandiri dengan tes lisan.
No.92 (5) – di papan.
Jawaban: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.
VI. Pekerjaan laboratorium.
Tujuan: mengembangkan konsep “makna mekanis suatu turunan”.
Penerapan turunan pada mekanika.
Hukum gerak lurus titik x = x(t), t diberikan.
- Kecepatan rata-rata pergerakan selama periode waktu tertentu;
- Kecepatan dan percepatan pada waktu t 04
- Saat-saat berhenti; apakah titik setelah momen berhenti terus bergerak ke arah yang sama atau mulai bergerak ke arah yang berlawanan;
- Kecepatan tertinggi pergerakan dalam jangka waktu tertentu.
Pekerjaan dilakukan menurut 12 pilihan, tugas dibedakan berdasarkan tingkat kerumitan (pilihan pertama adalah level terendah kesulitan).
Sebelum mulai bekerja, perbincangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Apa arti fisik turunan dari perpindahan? (Kecepatan).
- Apakah mungkin mencari turunan kecepatan? Apakah besaran ini digunakan dalam fisika? Disebut apakah itu? (Percepatan).
- Kecepatan sesaat sama dengan nol. Apa yang dapat dikatakan tentang gerak benda pada saat ini? (Ini adalah momen berhenti).
- Apa arti fisis dari pernyataan berikut: turunan gerak sama dengan nol di titik t 0; apakah turunannya berubah tanda ketika melewati titik t 0? (Tubuh berhenti; arah gerakan berubah sebaliknya).
Contoh karya siswa.
x(t)= t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.
Gambar 4
Di arah yang berlawanan.
Mari kita menggambar diagram skematik kecepatannya. Kecepatan tertinggi dicapai pada titik tersebut
t=10, v (10) =3· 10 2 -4· 10 =300-40=260
Gambar 5
VII. Menyimpulkan pelajaran
1) Apa arti geometri dari turunan?
2) Apa arti mekanis dari turunan?
3) Buatlah kesimpulan tentang pekerjaan Anda.
VIII. Mengomentari pekerjaan rumah.
Halaman 90. No.91(2,4,6), No.92(2,4,6,), hal.92 No.112.
Buku Bekas
- Buku Ajar Aljabar dan permulaan analisis.
Penulis: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
Diedit oleh A.B. Zhizhchenko. - Aljabar kelas 11. Rencana pembelajaran berdasarkan buku teks karya Sh.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin, Yu.V.Sidorov. Bagian 1.
- Sumber daya internet:
Abstrak pelajaran terbuka guru GBPOU " Fakultas keguruan No.4 Sankt Peterburg"
Martusevich Tatyana Olegovna
Tanggal: 29/12/2014.
Topik: Arti geometris turunan.
Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.
Metode pengajaran: visual, sebagian pencarian.
Tujuan pelajaran.
Memperkenalkan konsep garis singgung grafik suatu fungsi di suatu titik, mencari tahu apa arti geometri turunan, menurunkan persamaan garis singgung dan mengajarkan cara mencarinya.
Tujuan pendidikan:
Mencapai pemahaman tentang makna geometri turunan; menurunkan persamaan tangen; belajar memecahkan masalah dasar;
memberikan pengulangan materi dengan topik “Definisi Turunan”;
menciptakan kondisi untuk pengendalian (self-control) pengetahuan dan keterampilan.
Tugas perkembangan:
mempromosikan pembentukan keterampilan menerapkan teknik perbandingan, generalisasi, dan menonjolkan hal yang pokok;
melanjutkan pengembangan cakrawala matematika, pemikiran dan ucapan, perhatian dan memori.
Tugas pendidikan:
mempromosikan minat pada matematika;
pendidikan aktivitas, mobilitas, keterampilan komunikasi.
Jenis pelajaran – pelajaran gabungan menggunakan TIK.
Peralatan – instalasi multimedia, presentasiMicrosoftKekuatanTitik.
Tahap pelajaran
Waktu
Kegiatan guru
Aktivitas siswa
1. Momen organisasi.
Nyatakan topik dan tujuan pelajaran.
Topik: Arti geometris turunan.
Tujuan pelajaran.
Memperkenalkan konsep garis singgung grafik suatu fungsi di suatu titik, mencari tahu apa arti geometri turunan, menurunkan persamaan garis singgung dan mengajarkan cara mencarinya.
Mempersiapkan siswa untuk bekerja di kelas.
Persiapan untuk bekerja di kelas.
Memahami topik dan tujuan pelajaran.
Mencatat.
2. Persiapan mempelajari materi baru melalui pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar.
Organisasi pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar: definisi turunan dan rumusan makna fisiknya.
Merumuskan pengertian turunan dan merumuskan arti fisisnya. Pengulangan, pemutakhiran dan pemantapan pengetahuan dasar.
Organisasi pengulangan dan pengembangan keterampilan menemukan turunan fungsi daya dan fungsi dasar.
Menemukan turunan dari fungsi-fungsi ini menggunakan rumus.
Pengulangan properti fungsi linear.
Pengulangan, persepsi gambar dan pernyataan guru
3. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.
Penjelasan arti hubungan antara kenaikan fungsi dan kenaikan argumen
Penjelasan arti geometri turunan.
Pengenalan materi baru melalui penjelasan verbal menggunakan gambar dan alat bantu visual: presentasi multimedia dengan animasi.
Persepsi penjelasan, pemahaman, jawaban pertanyaan guru.
Merumuskan pertanyaan kepada guru jika terjadi kesulitan.
Persepsi informasi baru, pemahaman dan pemahaman utamanya.
Perumusan pertanyaan kepada guru jika terjadi kesulitan.
Membuat catatan.
Rumusan makna geometri turunan.
Pertimbangan tiga kasus.
Mencatat, membuat gambar.
4. Bekerja dengan materi baru.
Pemahaman utama dan penerapan materi yang dipelajari, konsolidasinya.
Pada titik manakah turunannya positif?
Negatif?
Sama dengan nol?
Pelatihan mencari algoritma jawaban atas pertanyaan yang diajukan sesuai jadwal.
Memahami, memahami, dan menerapkan informasi baru untuk memecahkan suatu masalah.
5. Pemahaman awal dan penerapan materi yang dipelajari, pemantapannya.
Pesan kondisi tugas.
Mencatat kondisi tugas.
Merumuskan pertanyaan kepada guru jika terjadi kesulitan
6. Penerapan ilmu: karya mandiri yang bersifat mengajar.
Selesaikan masalahnya sendiri:
Penerapan pengetahuan yang diperoleh.
Pekerjaan mandiri dalam memecahkan masalah mencari turunan dari suatu gambar. Diskusi dan verifikasi jawaban berpasangan, rumusan pertanyaan kepada guru jika ada kesulitan.
7. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.
Menurunkan persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik.
Penjelasan detail menurunkan persamaan garis singgung grafik fungsi pada suatu titik dengan menggunakan presentasi multimedia agar lebih jelas, menjawab pertanyaan siswa.
Penurunan persamaan tangen bersama guru. Jawaban atas pertanyaan guru.
Mencatat, membuat gambar.
8. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.
Dalam dialog dengan siswa, turunan suatu algoritma untuk mencari persamaan garis singgung grafik suatu fungsi tertentu pada suatu titik tertentu.
Dalam dialog dengan guru, turunkan algoritma untuk mencari persamaan garis singgung grafik fungsi tertentu pada titik tertentu.
Mencatat.
Pesan kondisi tugas.
Pelatihan penerapan pengetahuan yang diperoleh.
Mengorganisir pencarian cara untuk memecahkan suatu masalah dan pelaksanaannya. analisis rinci solusi dengan penjelasan.
Mencatat kondisi tugas.
Membuat asumsi tentang cara yang mungkin memecahkan masalah ketika mengimplementasikan setiap poin dari rencana tindakan. Memecahkan masalah bersama-sama dengan guru.
Mencatat penyelesaian masalah dan jawabannya.
9. Penerapan ilmu: karya mandiri yang bersifat mengajar.
Kontrol individu. Konsultasi dan pendampingan kepada mahasiswa bila diperlukan.
Periksa dan jelaskan solusinya menggunakan presentasi.
Penerapan pengetahuan yang diperoleh.
Pekerjaan mandiri dalam memecahkan masalah menemukan turunan dari suatu gambar. Diskusi dan verifikasi jawaban berpasangan, rumusan pertanyaan kepada guru jika ada kesulitan
10. Pekerjaan rumah.
§48, soal 1 dan 3, pahami solusinya dan tuliskan di buku catatan, dengan gambar.
№ 860 (2,4,6,8),
Pesan pekerjaan rumah dengan komentar.
Merekam pekerjaan rumah.
11. Kesimpulannya.
Kami mengulangi definisi turunan; arti fisik turunan; sifat-sifat fungsi linier.
Kita telah mempelajari apa arti geometri dari turunan.
Kita telah mempelajari cara menurunkan persamaan garis singgung grafik suatu fungsi tertentu pada suatu titik tertentu.
Koreksi dan klarifikasi hasil pembelajaran.
Mendaftar hasil pelajaran.
12. Refleksi.
1. Anda menemukan pelajarannya: a) mudah; b) biasanya; c) sulit.
a) sudah menguasainya secara tuntas, saya dapat menerapkannya;
b) telah mempelajarinya, tetapi sulit menerapkannya;
c) tidak mengerti.
3. Presentasi multimedia di kelas:
a) membantu penguasaan materi; b) tidak membantu penguasaan materi;
c) mengganggu asimilasi materi.
Melakukan refleksi.
Turunan dari suatu fungsi.
1. Pengertian turunan, makna geometriknya.
2. Turunan dari fungsi kompleks.
3. Turunan dari fungsi invers.
4. Derivatif orde tinggi.
5. Fungsi didefinisikan secara parametrik dan implisit.
6. Diferensiasi fungsi yang ditentukan secara parametrik dan implisit.
Perkenalan.
Asal usul kalkulus diferensial adalah dua pertanyaan yang diajukan oleh tuntutan ilmu pengetahuan dan teknologi pada abad ke-17.
1) Pertanyaan tentang menghitung kecepatan untuk hukum gerak yang diberikan secara sewenang-wenang.
2) Pertanyaan untuk menemukan (menggunakan perhitungan) garis singgung kurva tertentu.
Masalah menggambar garis singgung beberapa kurva diselesaikan oleh ilmuwan Yunani kuno Archimedes (287-212 SM), dengan menggunakan metode menggambar.
Namun baru pada abad ke-17 dan ke-18, sehubungan dengan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi alam, permasalahan tersebut mendapat perkembangan yang semestinya.
Salah satu pertanyaan penting ketika mempelajari apa pun fenomena fisik Biasanya pertanyaannya adalah tentang kecepatan, kecepatan terjadinya fenomena.
Kecepatan pergerakan pesawat atau mobil selalu berfungsi indikator yang paling penting pekerjaannya. Laju pertumbuhan penduduk suatu negara bagian merupakan salah satu ciri utama pembangunan sosialnya.
Ide awal tentang kecepatan jelas bagi semua orang. Namun, untuk memecahkan sebagian besar masalah praktis ini Ide umum tidak cukup. Penting untuk memiliki definisi kuantitatif dari besaran ini, yang kita sebut kecepatan. Kebutuhan akan penentuan kuantitatif yang tepat secara historis menjadi salah satu insentif utama bagi penciptaan analisis matematis. Seluruh bagian analisis matematis dikhususkan untuk memecahkan masalah dasar ini dan menarik kesimpulan dari solusi ini. Kami melanjutkan mempelajari bagian ini.
Pengertian turunan, makna geometrisnya.
Biarkan suatu fungsi diberikan yang didefinisikan dalam interval tertentu (a,c) dan terus menerus di dalamnya.
1. Mari kita berikan argumennya X kenaikan , maka fungsinya akan didapat
kenaikan:
2. Mari kita buat sebuah relasi 
.
3. Melewati limit pada dan, dengan asumsi limit tersebut
ada, kita memperoleh besaran yang disebut
turunan suatu fungsi terhadap argumen X.
Definisi. Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen ketika →0.
Nilai turunannya jelas bergantung pada titiknya X, di mana ia ditemukan, oleh karena itu turunan dari fungsi tersebut, pada gilirannya, adalah suatu fungsi dari X. Dilambangkan dengan .
Secara definisi kita punya
atau (3)
Contoh. Temukan turunan dari fungsi tersebut.
1. ; 
Jenis pekerjaan: 7
Kondisi
Garis lurus y=3x+2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=-12x^2+bx-10. Temukan b, mengingat absis titik singgungnya kurang dari nol.
Tunjukkan solusiLarutan
Misalkan x_0 adalah absis titik pada grafik fungsi y=-12x^2+bx-10 yang dilalui garis singgung grafik tersebut.
Nilai turunan di titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgungnya, yaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik singgung tersebut secara bersamaan berada pada kedua grafik tersebut fungsi dan garis singgungnya yaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Kita peroleh sistem persamaan \mulai(kasus) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kasus)
Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya kurang dari nol, jadi x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.
Menjawab
Jenis pekerjaan: 7
Topik: Arti geometris turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi
Kondisi
Garis lurus y=-3x+4 sejajar garis singgung grafik fungsi y=-x^2+5x-7. Temukan absis titik singgungnya.
Tunjukkan solusiLarutan
Koefisien sudut garis lurus ke grafik fungsi y=-x^2+5x-7 di titik sembarang x_0 sama dengan y"(x_0). Tapi y"=-2x+5, artinya y" (x_0)=-2x_0+5.Sudut koefisien garis y=-3x+4 yang ditentukan dalam kondisi sama dengan -3.Garis sejajar mempunyai persamaan lereng. Oleh karena itu, kita mencari nilai x_0 sehingga =-2x_0 +5=-3.
Kita mendapatkan: x_0 = 4.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Jenis pekerjaan: 7
Topik: Arti geometris turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi
Kondisi
Tunjukkan solusiLarutan
Dari gambar tersebut kita tentukan bahwa garis singgung melewati titik A(-6; 2) dan B(-1; 1). Mari kita nyatakan dengan C(-6; 1) titik potong garis x=-6 dan y=1, dan dengan \alpha sudut ABC (Anda dapat melihat pada gambar bahwa garis tersebut lancip). Kemudian garis lurus AB membentuk sudut \pi -\alpha dengan arah positif sumbu Ox yaitu tumpul.
Seperti diketahui, tg(\pi -\alpha) adalah nilai turunan fungsi f(x) di titik x_0. perhatikan itu tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Dari sini, dengan menggunakan rumus reduksi, kita memperoleh: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Jenis pekerjaan: 7
Topik: Arti geometris turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi
Kondisi
Garis lurus y=-2x-4 bersinggungan dengan grafik fungsi y=16x^2+bx+12. Temukan b, mengingat absis titik singgungnya Diatas nol.
Tunjukkan solusiLarutan
Misalkan x_0 adalah absis titik pada grafik fungsi y=16x^2+bx+12 yang dilaluinya
bersinggungan dengan grafik ini.
Nilai turunan di titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgungnya, yaitu y"(x_0)=32x_0+b=-2. Sebaliknya, titik singgung tersebut secara bersamaan berada pada kedua grafik tersebut. fungsi dan garis singgungnya, yaitu 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Kita memperoleh sistem persamaan \mulai(kasus) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(kasus)
Memecahkan sistem, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Berdasarkan syarat absis, titik singgungnya lebih besar dari nol, jadi x_0=1, maka b=-2-32x_0=-34.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Jenis pekerjaan: 7
Topik: Arti geometris turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi
Kondisi
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x), yang didefinisikan pada interval (-2; 8). Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus y=6.
Larutan
Garis lurus y=6 sejajar dengan sumbu Ox. Oleh karena itu, kita menemukan titik-titik yang garis singgung grafik fungsinya sejajar dengan sumbu Ox. Pada grafik ini titik-titik tersebut merupakan titik ekstrim (titik maksimum atau minimum). Seperti yang Anda lihat, ada 4 titik ekstrem.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Jenis pekerjaan: 7
Topik: Arti geometris turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi
Kondisi
Garis y=4x-6 sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y=x^2-4x+9. Temukan absis titik singgungnya.
Tunjukkan solusiLarutan
Kemiringan garis singgung grafik fungsi y=x^2-4x+9 di titik sembarang x_0 sama dengan y"(x_0). Tetapi y"=2x-4, artinya y"(x_0)= 2x_0-4. Kemiringan garis singgung y =4x-7 yang ditentukan dalam kondisi adalah 4. Garis-garis sejajar mempunyai koefisien sudut yang sama, oleh karena itu, kita mencari nilai x_0 sehingga 2x_0-4 = 4. Kita dapatkan: x_0 = 4.
Menjawab
Sumber: “Matematika. Persiapan Ujian Negara Bersatu 2017. Tingkat profil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.
Jenis pekerjaan: 7
Topik: Arti geometris turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi
Kondisi
Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik absis x_0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x_0.
Larutan
Dari gambar tersebut kita tentukan bahwa garis singgung melalui titik A(1; 1) dan B(5; 4). Mari kita nyatakan dengan C(5; 1) titik potong garis x=5 dan y=1, dan dengan \alpha sudut BAC (Anda dapat melihat pada gambar bahwa garis tersebut lancip). Kemudian garis lurus AB membentuk sudut \alpha dengan arah positif sumbu Ox.