Meningkatkan fungsi linier. GIA

Fungsi linear adalah fungsi dari formulir

argumen x (variabel independen),

fungsi y (variabel terikat),

k dan b adalah beberapa bilangan konstan

Grafik fungsi linier adalah lurus.

Untuk membuat grafik saja sudah cukup dua poin, karena melalui dua titik Anda dapat menggambar garis lurus dan, terlebih lagi, hanya satu.

Jika k˃0, maka grafik tersebut terletak pada koordinat 1 dan 3. Jika k˂0, maka grafik tersebut terletak pada koordinat ke-2 dan ke-4.

Nomor k dipanggil lereng grafik lurus fungsi y(x)=kx+b. Jika k˃0, maka sudut kemiringan garis lurus y(x)= kx+b ke arah positif Ox adalah lancip; jika k˂0, maka sudut tersebut tumpul.

Koefisien b menunjukkan titik potong grafik dengan sumbu op-amp (0; b).

y(x)=k∙x-- kasus spesial Fungsi tipikal disebut proporsionalitas langsung. Grafiknya adalah garis lurus yang melalui titik asal, jadi satu titik cukup untuk membuat grafik ini.

Grafik Fungsi Linier

Dimana koefisien k = 3, oleh karena itu

Grafik fungsinya akan bertambah dan mempunyai sudut lancip dengan sumbu Ox karena koefisien k mempunyai tanda plus.

fungsi linier OOF

OPF dari fungsi linier

Kecuali dalam kasus di mana

Juga merupakan fungsi linier dari bentuk

Adalah sebuah fungsi pandangan umum.

B) Jika k=0; b≠0,

Dalam hal ini grafiknya berupa garis lurus yang sejajar sumbu Ox dan melalui titik (0; b).

B) Jika k≠0; b≠0, maka fungsi liniernya berbentuk y(x)=k∙x+b.

Contoh 1 . Gambarkan fungsi y(x)= -2x+5

Contoh 2 . Mari kita cari angka nol dari fungsi y=3x+1, y=0;

– nol dari fungsi tersebut.

Jawaban: atau (;0)

Contoh 3 . Tentukan nilai fungsi y=-x+3 untuk x=1 dan x=-1

kamu(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Jawaban: y_1=2; y_2=4.

Contoh 4 . Tentukan koordinat titik potongnya atau buktikan bahwa grafik-grafik tersebut tidak berpotongan. Misalkan fungsi y 1 =10∙x-8 dan y 2 =-3∙x+5 diberikan.

Jika grafik fungsi berpotongan, maka nilai fungsi pada titik tersebut adalah sama

Substitusikan x=1, maka y 1 (1)=10∙1-8=2.

Komentar. Anda juga dapat mengganti nilai argumen yang dihasilkan ke dalam fungsi y 2 =-3∙x+5, maka kita mendapatkan jawaban yang sama y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ordinat titik potong.

(1;2) - titik potong grafik fungsi y=10x-8 dan y=-3x+5.

Jawaban: (1;2)

Contoh 5 .

Buatlah grafik fungsi y 1 (x)= x+3 dan y 2 (x)= x-1.

Anda dapat melihat bahwa koefisien k=1 untuk kedua fungsi.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa jika koefisien suatu fungsi linier sama, maka grafiknya pada sistem koordinat terletak sejajar.

Contoh 6 .

Mari kita buat dua grafik fungsi.

Grafik pertama memiliki rumusnya

Grafik kedua memiliki rumus

DI DALAM pada kasus ini Di depan kita ada grafik dua garis yang berpotongan di titik (0;4). Artinya koefisien b yang menentukan tinggi naiknya grafik di atas sumbu Ox, jika x = 0. Artinya kita asumsikan koefisien b kedua grafik sama dengan 4.

Editor: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Perhatikan fungsinya y=k/y. Grafik fungsi ini berbentuk garis, dalam matematika disebut hiperbola. Gambaran umum hiperbola ditunjukkan pada gambar di bawah ini. (Grafik menunjukkan fungsi y sama dengan k dibagi x, sehingga k sama dengan satu.)

Terlihat grafiknya terdiri dari dua bagian. Bagian-bagian ini disebut cabang hiperbola. Perlu juga dicatat bahwa setiap cabang hiperbola mendekat ke salah satu arah yang semakin dekat ke sumbu koordinat. Sumbu koordinat dalam hal ini disebut asimtot.

Secara umum, setiap garis lurus yang mendekati tak terhingga grafik suatu fungsi tetapi tidak mencapainya disebut asimtot. Hiperbola, seperti parabola, memiliki sumbu simetri. Untuk hiperbola yang ditunjukkan pada gambar di atas, ini adalah garis y=x.

Sekarang mari kita lihat dua kasus hiperbola yang umum. Grafik fungsi y = k/x, untuk k ≠0, adalah hiperbola yang cabang-cabangnya terletak pada sudut koordinat pertama dan ketiga, untuk k>0, atau pada sudut koordinat kedua dan keempat, garpu<0.

Sifat dasar fungsi y = k/x, untuk k>0

Grafik fungsi y = k/x, untuk k>0

5. y>0 pada x>0; y6. Fungsinya menurun baik pada interval (-∞;0) maupun pada interval (0;+∞).

10. Rentang nilai fungsi adalah dua interval terbuka (-∞;0) dan (0;+∞).

Sifat dasar fungsi y = k/x, untuk k<0

Grafik fungsi y = k/x, di k<0

1. Titik (0;0) merupakan pusat simetri hiperbola.

2. Sumbu koordinat - asimtot hiperbola.

4. Daerah definisi fungsi adalah semua x kecuali x=0.

5. y>0 pada x0.

6. Fungsinya bertambah baik pada interval (-∞;0) maupun pada interval (0;+∞).

7. Fungsinya tidak dibatasi baik dari bawah maupun dari atas.

8. Suatu fungsi tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum.

9. Fungsi tersebut kontinu pada interval (-∞;0) dan pada interval (0;+∞). Memiliki celah di x=0.

Belajar mengambil turunan fungsi. Turunan mencirikan laju perubahan suatu fungsi pada titik tertentu yang terletak pada grafik fungsi tersebut. Dalam hal ini grafiknya dapat berupa garis lurus atau kurva. Artinya, turunan mencirikan laju perubahan suatu fungsi pada titik waktu tertentu. Ingat aturan umum pengambilan derivatif, dan baru kemudian lanjutkan ke langkah berikutnya.

Baca artikel.
Cara mengambil turunan paling sederhana, misalnya turunan persamaan eksponensial, dijelaskan. Perhitungan yang disajikan pada langkah-langkah berikut akan didasarkan pada metode yang dijelaskan di sini.

Belajar membedakan soal yang koefisien kemiringannya perlu dihitung melalui turunan suatu fungsi. Soal tidak selalu meminta Anda mencari kemiringan atau turunan suatu fungsi. Misalnya, Anda mungkin diminta mencari laju perubahan suatu fungsi di titik A(x,y). Anda mungkin juga diminta mencari kemiringan garis singgung di titik A(x,y). Dalam kedua kasus tersebut, perlu untuk mengambil turunan dari fungsi tersebut.

Ambil turunan dari fungsi yang diberikan kepada Anda. Tidak perlu membuat grafik di sini - Anda hanya memerlukan persamaan fungsinya. Dalam contoh kita, ambil turunan dari fungsi tersebut. Ambil turunannya sesuai dengan cara yang diuraikan dalam artikel di atas:

Turunan:

Substitusikan koordinat titik yang diberikan kepada Anda ke dalam turunan yang ditemukan untuk menghitung kemiringan. Turunan suatu fungsi sama dengan kemiringan suatu titik tertentu. Dengan kata lain, f"(x) adalah kemiringan fungsi di titik mana pun (x,f(x)). Dalam contoh kita:

Temukan kemiringan fungsi tersebut f (x) = 2 x 2 + 6 x (\gaya tampilan f(x)=2x^(2)+6x) di titik A(4,2).
Turunan dari suatu fungsi:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
Substitusikan nilai koordinat “x” titik ini:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
Temukan kemiringannya:
Fungsi lereng f (x) = 2 x 2 + 6 x (\gaya tampilan f(x)=2x^(2)+6x) di titik A(4,2) sama dengan 22.

Jika memungkinkan, periksa jawaban Anda pada grafik. Ingatlah bahwa kemiringan tidak dapat dihitung pada setiap titik. Kalkulus diferensial berkaitan dengan fungsi kompleks dan grafik kompleks yang kemiringannya tidak dapat dihitung di setiap titik, dan dalam beberapa kasus, titik-titik tersebut tidak terletak pada grafik sama sekali. Jika memungkinkan, gunakan kalkulator grafik untuk memeriksa apakah kemiringan fungsi yang diberikan sudah benar. Jika tidak, gambarlah garis singgung grafik pada titik yang diberikan kepada Anda dan pikirkan apakah nilai kemiringan yang Anda temukan sesuai dengan yang Anda lihat pada grafik.

Garis singgungnya akan mempunyai kemiringan yang sama dengan grafik fungsi pada suatu titik tertentu. Untuk menggambar garis singgung pada suatu titik tertentu, gerakkan ke kiri/kanan pada sumbu X (dalam contoh kita, 22 nilai ke kanan), lalu naik satu pada sumbu Y. Tandai titik tersebut, lalu hubungkan ke titik tersebut. poin yang diberikan kepadamu. Dalam contoh kita, hubungkan titik-titik dengan koordinat (4,2) dan (26,3).

Pada artikel ini kita akan melihat fungsi linear, grafik fungsi linier dan sifat-sifatnya. Dan, seperti biasa, kami akan menyelesaikan beberapa masalah tentang topik ini.

Fungsi linear disebut fungsi formulir

Dalam persamaan fungsi, bilangan yang kita kalikan disebut koefisien kemiringan.

Misalnya pada persamaan fungsi ;

dalam persamaan fungsi;

dalam persamaan fungsi.

Grafik fungsi linier berupa garis lurus.

1 . Untuk memplot suatu fungsi, kita memerlukan koordinat dua titik yang termasuk dalam grafik fungsi tersebut. Untuk menemukannya, Anda perlu mengambil dua nilai x, mensubstitusikannya ke dalam persamaan fungsi, dan menggunakannya untuk menghitung nilai y yang sesuai.

Misalnya, untuk memplot grafik fungsi, akan lebih mudah untuk mengambil dan , maka ordinat titik-titik ini akan sama dengan dan .

Kami mendapatkan poin A(0;2) dan B(3;3). Mari kita hubungkan keduanya dan dapatkan grafik fungsinya:

2 . Dalam persamaan fungsi, koefisien bertanggung jawab atas kemiringan grafik fungsi:

Judul="k>0">!}

Koefisien bertanggung jawab untuk menggeser grafik sepanjang sumbu:

Judul="b>0">!}

Gambar di bawah menunjukkan grafik fungsi; ;

Perhatikan bahwa dalam semua fungsi ini koefisiennya Diatas nol Kanan. Selain itu, semakin tinggi nilainya, semakin curam garis lurusnya.

Dalam semua fungsi - dan kita melihat bahwa semua grafik memotong sumbu OY di titik (0;3)

Sekarang mari kita lihat grafik fungsinya; ;

Kali ini di semua fungsi koefisien kurang dari nol , dan semua grafik fungsi memiliki kemiringan kiri.

Perhatikan bahwa semakin besar |k|, semakin curam garis lurusnya. Koefisien bnya sama, b=3, dan grafiknya, seperti pada kasus sebelumnya, memotong sumbu OY di titik (0;3)

Mari kita lihat grafik fungsinya; ;

Sekarang koefisien di semua persamaan fungsi adalah sama. Dan kami mendapat tiga garis paralel.

Namun koefisien b berbeda, dan grafik ini memotong sumbu OY di titik yang berbeda:

Grafik fungsi (b=3) memotong sumbu OY di titik (0;3)

Grafik fungsi (b=0) memotong sumbu OY di titik (0;0) - titik asal.

Grafik fungsi (b=-2) memotong sumbu OY di titik (0;-2)

Jadi, jika kita mengetahui tanda-tanda koefisien k dan b, maka kita bisa langsung membayangkan seperti apa grafik fungsinya.

Jika k<0 и b>0 , maka grafik fungsinya terlihat seperti:

Jika k>0 dan b>0 , maka grafik fungsinya terlihat seperti:

Jika k>0 dan b<0 , maka grafik fungsinya terlihat seperti:

Jika k<0 и b<0 , maka grafik fungsinya terlihat seperti:

Jika k=0 , kemudian fungsi tersebut berubah menjadi fungsi dan grafiknya terlihat seperti:

Ordinat semua titik pada grafik fungsi adalah sama

Jika b=0, maka grafik fungsi melewati titik asal:

Ini grafik proporsionalitas langsung.

3. Saya ingin mencatat secara terpisah grafik persamaannya. Grafik persamaan ini berupa garis lurus yang sejajar sumbu yang semua titiknya mempunyai absis.

Misalnya grafik persamaannya terlihat seperti ini:

Perhatian! Persamaan tersebut bukan suatu fungsi, karena nilai argumen yang berbeda bersesuaian dengan nilai fungsi yang sama, namun tidak bersesuaian.

4 . Syarat paralelisme dua garis:

Grafik suatu fungsi sejajar dengan grafik fungsi, Jika

5. Syarat tegak lurus dua garis lurus:

Grafik suatu fungsi tegak lurus terhadap grafik fungsi, saya untuk

6. Titik potong grafik suatu fungsi dengan sumbu koordinat.

Dengan sumbu OY. Absis suatu titik pada sumbu OY sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk mencari titik potong dengan sumbu OY, Anda perlu mengganti x ke persamaan fungsi dengan nol. Kita mendapatkan y=b. Artinya, titik potong dengan sumbu OY mempunyai koordinat (0; b).

Dengan sumbu OX: Ordinat titik mana pun yang termasuk dalam sumbu OX sama dengan nol. Oleh karena itu, untuk mencari titik potong dengan sumbu OX, Anda perlu mengganti y dengan nol dalam persamaan fungsinya. Kita peroleh 0=kx+b. Dari sini. Artinya, titik potong dengan sumbu OX memiliki koordinat (;0):

Mari kita lihat pemecahan masalah.

1 . Buatlah grafik fungsi jika diketahui melalui titik A(-3;2) dan sejajar dengan garis lurus y=-4x.

Persamaan fungsi memiliki dua parameter yang tidak diketahui: k dan b. Oleh karena itu, teks soal harus memuat dua kondisi yang mencirikan grafik fungsi tersebut.

a) Dari kenyataan bahwa grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus y=-4x, maka k=-4. Artinya, persamaan fungsinya berbentuk

b) Kita hanya perlu mencari b. Diketahui grafik fungsi melalui titik A(-3;2). Jika suatu titik termasuk dalam grafik suatu fungsi, maka ketika koordinatnya disubstitusikan ke dalam persamaan fungsi tersebut, kita memperoleh persamaan yang benar:

maka b=-10

Jadi, kita perlu memplot fungsinya

Kita tahu poin A(-3;2), mari kita ambil poin B(0;-10)

Mari kita letakkan titik-titik ini pada bidang koordinat dan menghubungkannya dengan garis lurus:

2. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik A(1;1); B(2;4).

Jika suatu garis melalui titik-titik yang koordinatnya telah ditentukan, maka koordinat titik-titik tersebut memenuhi persamaan garis tersebut. Artinya, jika kita mensubstitusikan koordinat titik-titik tersebut ke dalam persamaan garis lurus, maka akan diperoleh persamaan yang benar.

Mari kita substitusikan koordinat setiap titik ke dalam persamaan dan dapatkan sistem persamaan linier.

Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua sistem dan dapatkan . Mari kita substitusikan nilai k ke persamaan pertama sistem dan dapatkan b=-2.

Jadi, persamaan garisnya.

3. Grafik Persamaannya

Untuk mengetahui berapa nilai yang tidak diketahui hasil kali beberapa faktor sama dengan nol, Anda perlu menyamakan setiap faktor dengan nol dan memperhitungkan setiap pengganda.

Persamaan ini tidak memiliki batasan pada ODZ. Mari kita memfaktorkan braket kedua dan menetapkan setiap faktor sama dengan nol. Kami memperoleh satu set persamaan:

Mari kita buat grafik semua persamaan himpunan dalam satu bidang koordinat. Ini adalah grafik persamaannya :

4. Buatlah grafik fungsi jika tegak lurus garis dan melalui titik M(-1;2)