Mari kita mulai dengan kotak favorit kita.
Contoh 9
Kuadratkan bilangan kompleks
Di sini Anda dapat melakukannya dengan dua cara, cara pertama adalah dengan menulis ulang derajat sebagai hasil kali faktor dan mengalikan angka-angka tersebut sesuai dengan aturan perkalian polinomial.
Cara kedua adalah dengan menggunakan rumus sekolah terkenal untuk perkalian disingkat:
Untuk bilangan kompleks, mudah untuk mendapatkan rumus perkalian singkat Anda sendiri:
Rumus serupa dapat diturunkan untuk kuadrat selisihnya, serta untuk pangkat tiga jumlah dan pangkat tiga selisihnya. Namun rumus ini lebih relevan untuk masalah analisis yang kompleks. Bagaimana jika Anda perlu menaikkan bilangan kompleks, katakanlah, ke pangkat 5, 10, atau 100? Jelas bahwa hampir mustahil untuk melakukan trik seperti itu dalam bentuk aljabar; sungguh, pikirkan bagaimana Anda akan menyelesaikan contoh seperti?
Dan di sini bentuk trigonometri bilangan kompleks datang untuk menyelamatkan dan yang disebut rumus Moivre: Jika suatu bilangan kompleks direpresentasikan dalam bentuk trigonometri, maka jika dipangkatkan, rumus berikut ini berlaku:
Itu keterlaluan.
Contoh 10
Diberikan bilangan kompleks, temukan.
Apa yang harus dilakukan? Pertama, Anda perlu merepresentasikan bilangan ini dalam bentuk trigonometri. Pembaca yang penuh perhatian akan memperhatikan bahwa dalam Contoh 8 kita telah melakukan ini:
Kemudian menurut rumus Moivre:
Tuhan melarang, Anda tidak perlu mengandalkan kalkulator, tetapi dalam banyak kasus, sudutnya harus disederhanakan. Bagaimana cara menyederhanakannya? Secara kiasan, Anda harus menghilangkan belokan yang tidak perlu. Satu revolusi adalah satu radian atau 360 derajat. Mari kita cari tahu berapa banyak putaran yang kita miliki dalam argumen tersebut. Untuk kenyamanan, kami membuat pecahan menjadi benar :, setelah itu terlihat jelas bahwa Anda dapat mengurangi satu putaran :. Saya harap semua orang mengerti bahwa ini adalah sudut pandang yang sama.
Dengan demikian, jawaban akhirnya akan ditulis seperti ini:
Variasi terpisah dari masalah eksponensial adalah eksponensial bilangan imajiner murni.
Contoh 12
Naikkan bilangan kompleks menjadi pangkat
Di sini juga, semuanya sederhana, yang utama adalah mengingat kesetaraan yang terkenal.
Jika satuan imajiner dipangkatkan, maka teknik penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Jika satuan imajiner dipangkatkan ganjil, maka kita “mencubit” satu “dan”, memperoleh pangkat genap:
Jika ada minus (atau koefisien riil apa pun), maka harus dipisahkan terlebih dahulu:
Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks. Persamaan kuadrat dengan akar kompleks
Mari kita lihat sebuah contoh:
Tidak dapat mengekstrak root? Jika kita berbicara tentang bilangan real, maka hal itu sungguh mustahil. Akar bilangan kompleks dapat diekstraksi! Lebih tepatnya, dua akar:
Apakah akar-akar yang ditemukan benar-benar merupakan solusi persamaan tersebut? Mari kita periksa:
Itu yang perlu diperiksa.
Notasi yang disingkat sering digunakan, kedua akar kata ditulis pada baris yang sama di bawah “sisir yang sama”: .
Akar ini disebut juga konjugasi akar kompleks.
Saya rasa semua orang mengerti cara mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif: ,,,, dll. Dalam semua kasus, ternyata demikian dua konjugasi akar kompleks.
Contoh 13
Selesaikan persamaan kuadrat
Mari kita hitung diskriminannya:
Diskriminannya negatif, dan persamaan tersebut tidak memiliki solusi dalam bilangan real. Tapi akarnya bisa diekstraksi dalam bilangan kompleks!
Dengan menggunakan rumus sekolah yang terkenal, kita memperoleh dua akar: – akar kompleks konjugasi
Jadi, persamaan tersebut memiliki dua akar kompleks konjugasi :,
Sekarang Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun!
Dan secara umum, setiap persamaan dengan polinomial derajat “n” mempunyai akar-akar yang sama, beberapa di antaranya mungkin rumit.
Contoh sederhana untuk diselesaikan sendiri:
Contoh 14
Temukan akar-akar persamaan dan faktorkan binomial kuadratnya.
Faktorisasi kembali dilakukan sesuai rumus standar sekolah.
Menggunakan kalkulator
Untuk mengevaluasi suatu ekspresi, Anda harus memasukkan string yang akan dievaluasi. Saat memasukkan angka, pemisah antara bagian bilangan bulat dan pecahan adalah sebuah titik. Anda dapat menggunakan tanda kurung. Operasi bilangan kompleks adalah perkalian (*), pembagian (/), penjumlahan (+), pengurangan (-), eksponensial (^) dan lain-lain. Anda dapat menggunakan bentuk eksponensial dan aljabar untuk menulis bilangan kompleks. Masukkan unit imajiner Saya dapat dilakukan tanpa tanda perkalian, dalam kasus lain diperlukan tanda perkalian, misalnya antara tanda kurung atau antara suatu bilangan dan suatu konstanta. Konstanta juga dapat digunakan: bilangan π dimasukkan sebagai pi, eksponen e, ekspresi apa pun dalam indikator harus diapit tanda kurung.
Contoh baris untuk perhitungan: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), yang sesuai dengan ekspresi \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]
Kalkulator dapat menggunakan konstanta, fungsi matematika, operasi tambahan, dan ekspresi yang lebih kompleks; Anda dapat membiasakan diri dengan fitur-fitur ini di halaman aturan umum penggunaan kalkulator di situs ini.
Situs ini sedang dibangun, beberapa halaman mungkin tidak tersedia.
Berita
07.07.2016
Menambahkan kalkulator untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar nonlinier: .
30.06.2016
Situs ini memiliki desain responsif, halaman ditampilkan secara memadai baik di monitor besar maupun di perangkat seluler.
Sponsor
RGROnline.ru – solusi instan untuk pekerjaan teknik elektro online.
Mari kita mulai dengan kotak favorit kita.
Contoh 9
Kuadratkan bilangan kompleks
Di sini Anda dapat melakukannya dengan dua cara, cara pertama adalah dengan menulis ulang derajat sebagai hasil kali faktor dan mengalikan angka-angka tersebut sesuai dengan aturan perkalian polinomial.
Cara kedua adalah dengan menggunakan rumus sekolah terkenal untuk perkalian disingkat:
Untuk bilangan kompleks, mudah untuk mendapatkan rumus perkalian singkat Anda sendiri:
Rumus serupa dapat diturunkan untuk kuadrat selisihnya, serta untuk pangkat tiga jumlah dan pangkat tiga selisihnya. Namun rumus ini lebih relevan untuk masalah analisis yang kompleks. Bagaimana jika Anda perlu menaikkan bilangan kompleks, katakanlah, ke pangkat 5, 10, atau 100? Jelas bahwa hampir mustahil untuk melakukan trik seperti itu dalam bentuk aljabar; sungguh, pikirkan bagaimana Anda akan menyelesaikan contoh seperti?
Dan di sini bentuk trigonometri bilangan kompleks datang untuk menyelamatkan dan yang disebut rumus Moivre: Jika suatu bilangan kompleks direpresentasikan dalam bentuk trigonometri, maka jika dipangkatkan, rumus berikut ini berlaku:
Itu keterlaluan.
Contoh 10
Diberikan bilangan kompleks, temukan.
Apa yang harus dilakukan? Pertama, Anda perlu merepresentasikan bilangan ini dalam bentuk trigonometri. Pembaca yang penuh perhatian akan memperhatikan bahwa dalam Contoh 8 kita telah melakukan ini:
Kemudian menurut rumus Moivre:
Tuhan melarang, Anda tidak perlu mengandalkan kalkulator, tetapi dalam banyak kasus, sudutnya harus disederhanakan. Bagaimana cara menyederhanakannya? Secara kiasan, Anda harus menghilangkan belokan yang tidak perlu. Satu revolusi adalah satu radian atau 360 derajat. Mari kita cari tahu berapa banyak putaran yang kita miliki dalam argumen tersebut. Untuk kenyamanan, kami membuat pecahan menjadi benar :, setelah itu terlihat jelas bahwa Anda dapat mengurangi satu putaran :. Saya harap semua orang mengerti bahwa ini adalah sudut pandang yang sama.
Dengan demikian, jawaban akhirnya akan ditulis seperti ini:
Variasi terpisah dari masalah eksponensial adalah eksponensial bilangan imajiner murni.
Contoh 12
Naikkan bilangan kompleks menjadi pangkat
Di sini juga, semuanya sederhana, yang utama adalah mengingat kesetaraan yang terkenal.
Jika satuan imajiner dipangkatkan, maka teknik penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Jika satuan imajiner dipangkatkan ganjil, maka kita “mencubit” satu “dan”, memperoleh pangkat genap:
Jika ada minus (atau koefisien riil apa pun), maka harus dipisahkan terlebih dahulu:
Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks. Persamaan kuadrat dengan akar kompleks
Mari kita lihat sebuah contoh:
Tidak dapat mengekstrak root? Jika kita berbicara tentang bilangan real, maka hal itu sungguh mustahil. Akar bilangan kompleks dapat diekstraksi! Lebih tepatnya, dua akar:
Apakah akar-akar yang ditemukan benar-benar merupakan solusi persamaan tersebut? Mari kita periksa:
Itu yang perlu diperiksa.
Notasi yang disingkat sering digunakan, kedua akar kata ditulis pada baris yang sama di bawah “sisir yang sama”: .
Akar ini disebut juga konjugasi akar kompleks.
Saya rasa semua orang mengerti cara mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif: ,,,, dll. Dalam semua kasus, ternyata demikian dua konjugasi akar kompleks.