Jenis pelajaran: Pelajaran memperkenalkan materi baru.
Tujuan pelajaran:
Perkenalkan konsep bola yang tertulis dalam polihedron; bola dibatasi di sekitar polihedron.
Bandingkan lingkaran berbatas dan bola berbatas, lingkaran bertulis dan bola bertulis.
Analisislah syarat-syarat keberadaan bola bertulis dan bola berbatas.
Kembangkan keterampilan pemecahan masalah pada topik tersebut.
Mengembangkan keterampilan kerja mandiri siswa.
Pengembangan pemikiran logis, budaya algoritmik, imajinasi spasial, pengembangan pemikiran dan intuisi matematis, kemampuan kreatif pada tingkat yang diperlukan untuk melanjutkan pendidikan dan untuk aktivitas mandiri di bidang matematika dan penerapannya dalam kegiatan profesional masa depan.
Unduh:
Pratinjau:
Lingkaran yang dibatasi.
Definisi: Jika semua titik sudut suatu poligon terletak pada suatu lingkaran, maka disebut lingkarandijelaskan tentang poligon, dan poligonnya adalahtertulis dalam lingkaran.
Dalil. Di sekitar segitiga apa pun Anda dapat menggambarkan sebuah lingkaran, dan hanya satu.
Berbeda dengan segitiga, tidak selalu mungkin untuk menggambarkan lingkaran di sekitar segi empat. Misalnya: belah ketupat.
Dalil. Pada setiap segi empat siklik, jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180 0 .
Jika jumlah sudut-sudut yang berhadapan pada suatu segi empat adalah 180 0 , maka dapat digambarkan sebuah lingkaran di sekelilingnya.
Agar segi empat ABCD dapat ditulisi, syarat-syarat berikut ini perlu dan cukup dipenuhi:
- ABCD adalah segi empat cembung dan ∟ABD=∟ACD;
- Jumlah dua sudut yang berhadapan pada suatu segi empat adalah 180 0 .
Pusat lingkaran berjarak sama dari masing-masing simpulnya dan oleh karena itu bertepatan dengan titik potong garis-garis tegak lurus terhadap sisi-sisi poligon, dan jari-jarinya sama dengan jarak dari pusat ke simpul.
Untuk segitiga:Untuk poligon beraturan:
Lingkaran tertulis.
Definisi: Jika semua sisi poligon bersinggungan dengan lingkaran, maka disebut lingkarantertulis dalam poligon,dan poligonnya adalah dijelaskan di sekitar lingkaran ini.
Dalil. Anda dapat menuliskan lingkaran ke dalam segitiga apa pun, dan hanya satu.
Tidak semua segi empat bisa memuat lingkaran. Contoh: persegi panjang yang bukan persegi.
Dalil. Pada setiap segiempat berbatas, jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sama.
Jika jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segi empat cembung sama, maka dapat dibuat sebuah lingkaran di dalamnya.
Agar segiempat ABCD cembung dapat digambarkan, syarat AB+DC=BC+AD harus dipenuhi (jumlah panjang sisi-sisi yang berhadapan adalah sama).
Pusat lingkaran berjarak sama dari sisi-sisi poligon, artinya berimpit dengan titik potong garis-bagi sudut-sudut poligon (sifat garis-bagi sudut). Jari-jari sama dengan jarak dari pusat lingkaran ke sisi-sisi poligon.
Untuk segitiga:Untuk yang kanan
Poligon:
Pratinjau:
Bola bertuliskan.
Definisi: Bola itu disebut tertulis menjadi polihedron jika menyentuh semua sisi polihedron. Polihedron dalam hal ini disebut dijelaskan tentang bola.
Pusat bola yang tertulis adalah titik potong bidang-bidang bagi semua sudut dihedral.
Sebuah bola dikatakan berbentuk sudut dihedral jika menyentuh mukanya. Pusat bola pada sudut dihedral terletak pada bidang garis bagi sudut dihedral tersebut. Sebuah bola dikatakan berada pada sudut polihedral jika menyentuh semua sisi sudut polihedral tersebut.
Tidak semua polihedron dapat menampung sebuah bola. Misalnya: sebuah bola tidak dapat dimasukkan ke dalam paralelepiped persegi panjang yang bukan kubus.
Dalil. Anda dapat memasukkan bola ke dalam piramida segitiga mana pun, dan hanya satu.
Bukti. Perhatikan piramida segitiga CABD. Mari kita menggambar bidang bagi sudut dihedralnya dengan rusuk AC dan BC. Mereka berpotongan sepanjang garis lurus yang memotong bidang bagi sudut dihedral dengan tepi AB. Jadi, bidang bagi sudut dihedral dengan rusuk AB, AC, dan BC mempunyai satu titik persekutuan. Mari kita nyatakan Q. Titik Q berjarak sama dari semua sisi piramida. Akibatnya, sebuah bola dengan jari-jari yang sesuai dengan pusat di titik Q terdapat pada piramida CABD.
Mari kita buktikan keunikannya. Pusat bola apa pun yang terdapat pada piramida CABD berjarak sama dari permukaannya, yang berarti bola tersebut termasuk dalam bidang garis bagi sudut dihedral. Oleh karena itu, pusat bola berimpit dengan titik Q. Yang perlu dibuktikan.
Dalil. Dalam sebuah piramida yang alasnya dapat ditorehkan sebuah lingkaran, yang bagian tengahnya berfungsi sebagai alas tinggi limas, dapat ditorehkan sebuah bola.
Konsekuensi. Anda dapat memasukkan bola ke dalam piramida biasa mana pun.
Buktikan bahwa pusat bola pada piramida beraturan terletak pada ketinggian piramida tersebut (buktikan sendiri).
Pusat bola pada limas beraturan adalah titik potong tinggi limas dengan garis bagi sudut yang dibentuk oleh apotema dan proyeksinya ke alasnya.
Tugas. a, tingginya h.
Menyelesaikan masalah.
Tugas. 0
Pratinjau:
Bola yang dijelaskan.
Definisi. Bola itu disebut dibatasi dekat polihedron jika__________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________. Polihedron disebut _________________________.
Properti apa yang dimiliki pusat bola yang dijelaskan?
Definisi. Tempat kedudukan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari ujung-ujung suatu ruas tertentu adalah ____________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________.
Berikan contoh polihedron yang tidak mungkin digambarkan sebagai bola: ________________________ __________________________________________________________________________________________________________ .
Di sekitar piramida manakah sebuah bola dapat digambarkan?
Dalil. ____________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________.
Bukti. Perhatikan piramida segitiga ABCD. Mari kita buat bidang-bidang yang masing-masing tegak lurus terhadap sisi-sisi AB, AC dan AD, dan melalui titik tengahnya. Mari kita nyatakan dengan O titik potong bidang-bidang ini. Hal seperti itu ada, dan itu adalah satu-satunya. Mari kita buktikan. Mari kita naik dua pesawat pertama. Mereka berpotongan karena tegak lurus terhadap garis yang tidak sejajar. Mari kita nyatakan garis lurus di mana dua bidang pertama berpotongan aku. Garis lurus ini tegak lurus terhadap bidang ABC. Bidang yang tegak lurus AD tidak sejajar aku dan tidak memuatnya, karena sebaliknya garis AD tegak lurus aku , yaitu. terletak pada bidang ABC. Titik O berjarak sama dari titik A dan B, A dan C, A dan D, artinya berjarak sama dari semua simpul pada piramida ABCD, yaitu bola yang berpusat di O dengan jari-jari yang bersesuaian adalah bola terbatas untuk piramida.
Mari kita buktikan keunikannya. Pusat bola apa pun yang melewati simpul-simpul piramida berjarak sama dari simpul-simpul tersebut, yang berarti bola tersebut termasuk dalam bidang-bidang yang tegak lurus terhadap tepi-tepi piramida dan melewati titik tengah tepi-tepi tersebut. Akibatnya, pusat bola tersebut berimpit dengan titik O. Teorema tersebut terbukti.
Piramida apa lagi yang dapat dideskripsikan di sekitar bola?
Dalil. ____________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.
Pusat bola yang dibatasi di sekitar limas bertepatan dengan titik potong garis lurus yang tegak lurus alas limas yang melalui pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar alas dan bidang yang tegak lurus terhadap rusuk lateral yang ditarik melalui tengah-tengahnya. tepian.
Untuk dapat mendeskripsikan bola di sekitar polihedron, perlu _______________________ _________________________________________________________________________________________________________________.
Dalam hal ini, pusat bola yang dibatasi dapat terletak _________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________ dan diproyeksikan ke pusat lingkaran yang dibatasi pada suatu permukaan; sebuah garis tegak lurus yang dijatuhkan dari pusat bola yang dibatasi di sekitar polihedron ke tepi polihedron membagi tepi ini menjadi dua.
Konsekuensi. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .
Pusat bola yang digambarkan pada piramida beraturan terletak ________________________________________________ _______________________________________________________________________________________________________________.
Menganalisis solusi dari masalah tersebut.
Tugas. Pada limas segi empat beraturan, sisi alasnya sama dengan a, tingginya h. Temukan jari-jari bola yang dibatasi di sekitar piramida.
Menyelesaikan masalah.
Tugas. 0
Pratinjau:
Buka pelajaran dengan topik “Polihedra bertulis dan terbatas”
Topik pelajaran: Sebuah bola tertulis di dalam piramida. Sebuah bola digambarkan di dekat piramida.
Jenis pelajaran: Pelajaran memperkenalkan materi baru.
Tujuan pelajaran:
- Mengembangkan keterampilan kerja mandiri siswa.
- Perkembangan pemikiran logis, budaya algoritmik, imajinasi spasial, pengembangan pemikiran dan intuisi matematika, kemampuan kreatif pada tingkat yang diperlukan untuk melanjutkan pendidikan dan untuk aktivitas mandiri di bidang matematika dan penerapannya dalam kegiatan profesional masa depan;
Peralatan:
- papan interaktif
- Presentasi “Bola yang tertulis dan dijelaskan”
- Kondisi soal pada gambar di papan tulis.
- Handout (catatan pendukung).
- Planimetri. Lingkaran bertulis dan berbatas.
- Stereometri. Bola bertuliskan
- Stereometri. Bola yang dijelaskan
Struktur pelajaran:
- Menetapkan tujuan pelajaran (2 menit).
- Persiapan mempelajari materi baru dengan cara pengulangan (survei frontal) (6 menit).
- Penjelasan materi baru (15 menit)
- Memahami topik ketika secara mandiri menyusun catatan tentang topik “Sterometri. Area yang dijelaskan” dan penerapan topik dalam memecahkan masalah (15 menit).
- Menyimpulkan pembelajaran dengan mengecek pengetahuan dan pemahaman topik yang dipelajari (survei frontal). Mengevaluasi tanggapan siswa (5 menit).
- Menetapkan pekerjaan rumah (2 menit).
- Cadangan pekerjaan.
Selama kelas
1. Menetapkan tujuan pembelajaran.
- Perkenalkan konsep bola yang tertulis dalam polihedron; bola dibatasi di sekitar polihedron.
- Bandingkan lingkaran berbatas dan bola berbatas, lingkaran bertulis dan bola bertulis.
- Analisislah syarat-syarat keberadaan bola bertulis dan bola berbatas.
- Kembangkan keterampilan pemecahan masalah pada topik tersebut.
2. Persiapan mempelajari materi baru dengan cara pengulangan (survei frontal).
Sebuah lingkaran tertulis dalam poligon.
- Lingkaran apa yang disebut tertulis dalam poligon?
- Apa nama poligon yang terdapat lingkaran?
- Titik manakah yang merupakan pusat lingkaran pada poligon?
- Sifat apa yang dimiliki pusat lingkaran pada poligon?
- Di manakah letak pusat lingkaran pada poligon?
- Poligon manakah yang dapat digambarkan mengelilingi lingkaran, dalam kondisi apa?
Lingkaran yang dibatasi pada suatu poligon.
- Lingkaran apa yang disebut lingkaran terbatas suatu poligon?
- Apa nama poligon yang dibatasi lingkaran?
- Titik manakah yang dibatasi oleh pusat lingkaran terhadap poligon?
- Properti apa yang dimiliki pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar poligon?
- Di manakah letak pusat lingkaran yang dibatasi pada suatu poligon?
- Poligon manakah yang dapat dibuat dalam lingkaran dan dalam kondisi apa?
3. Penjelasan materi baru.
A . Dengan analogi, siswa merumuskan definisi baru dan menjawab pertanyaan yang diajukan.
Sebuah bola bertuliskan polihedron.
- Merumuskan definisi bola pada polihedron.
- Apa nama polihedron yang dapat ditorehkan sebuah bola?
- Sifat apa yang dimiliki pusat bola pada polihedron?
- Apa yang dimaksud dengan himpunan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari permukaan sudut dihedral? (sudut segitiga?)
- Titik manakah yang merupakan pusat bola pada polihedron?
- Di polihedron manakah sebuah bola dapat ditulisi, dalam kondisi apa?
DI DALAM . Siswa membuktikan teorema tersebut.
Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida segitiga mana pun.
Saat bekerja di kelas, siswa menggunakan catatan pendukung.
DENGAN. Siswa menganalisis solusi dari masalah tersebut.
Pada limas segi empat beraturan, sisi alasnya sama dengan a, tingginya h. Temukan jari-jari bola yang tertulis di piramida.
D. Siswa memecahkan masalah tersebut.
Tugas. Pada limas segitiga beraturan, sisi alasnya adalah 4, sisi-sisinya miring ke alas dengan sudut 60 0 . Temukan jari-jari bola yang terdapat pada piramida ini.
4. Memahami topik saat menyusun catatan secara mandiri tentang “Bola dibatasi pada polihedron“dan penerapannya dalam pemecahan masalah.
A.U Siswa secara mandiri mengisi catatan dengan topik “Sebuah bola yang dibatasi di sekitar polihedron.” Jawab pertanyaan berikut:
- Merumuskan definisi bola yang dibatasi pada polihedron.
- Apa nama polihedron yang mengelilingi bola?
- Sifat apa yang dimiliki pusat bola yang dibatasi pada polihedron?
- Berapakah himpunan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari dua titik?
- Titik manakah yang dibatasi oleh pusat bola terhadap polihedron?
- Di manakah letak pusat bola yang mengelilingi piramida? (polihedron?)
- Di sekeliling polihedron manakah sebuah bola dapat digambarkan?
DI DALAM. Siswa memecahkan masalah secara mandiri.
Tugas. Pada limas segitiga beraturan, sisi alasnya adalah 3, dan rusuk-rusuk sampingnya miring ke alas dengan sudut 60 0 . Temukan jari-jari bola yang dibatasi di sekitar piramida.
DENGAN. Memeriksa garis besar yang disusun dan menganalisis solusi masalah.
5. Menyimpulkan pembelajaran dengan mengecek pengetahuan dan pemahaman topik yang dipelajari (survei frontal). Mengevaluasi tanggapan siswa.
A. Siswa secara mandiri merangkum pelajaran.
DI DALAM. Jawab pertanyaan tambahan.
- Apakah mungkin untuk menggambarkan sebuah bola di sekitar piramida segi empat, yang pada dasarnya terdapat belah ketupat yang bukan persegi?
- Apakah mungkin untuk menggambarkan sebuah bola di sekitar paralelepiped persegi panjang? Kalau iya, dimanakah pusatnya?
- Dimana teori yang dipelajari di kelas diterapkan dalam kehidupan nyata (arsitektur, telepon seluler, satelit geostasioner, sistem deteksi GPS).
6. Menetapkan pekerjaan rumah.
A. Buatlah catatan tentang topik “Sebuah bola yang mengelilingi prisma. Sebuah bola tertulis di dalam prisma." (Lihatlah soal pada buku ajar : No. 632.637.638)
B. Menyelesaikan soal no. 640 dari buku teks.
S. Dari manual B.G. Ziv “Materi didaktik geometri kelas 10” memecahkan masalah: Opsi No. 3 C12 (1), Opsi No. 4 C12 (1).
D. Tugas tambahan: Opsi No. 5 C12 (1).
7. Cadangan tugas.
Dari manual B.G. Ziv “Materi didaktik geometri kelas 10” memecahkan masalah: Opsi No. 3 C12 (1), Opsi No. 4 C12 (1).
Perangkat pendidikan dan metodologi
- Geometri, 10-11: Buku teks untuk institusi pendidikan. Tingkat dasar dan profil / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dkk., M.: Pendidikan, 2010.
- BG Ziv “Materi didaktik geometri kelas 10”, M.: Pendidikan.
Pengulangan Lingkaran berbatas di sekeliling poligon Lingkaran apa yang dibatasi di sekeliling poligon? Berapakah pusat lingkaran yang membatasi poligon? Properti apa yang dimiliki pusat lingkaran yang dibatasi di sekitar poligon? Di manakah pusat lingkaran yang dibatasi poligon? Poligon manakah yang dapat dibuat dalam lingkaran dan dalam kondisi apa?
Lingkaran Pengulangan yang tertulis dalam poligon Lingkaran apa yang disebut yang tertulis dalam poligon? Berapakah pusat lingkaran pada poligon? Sifat apa yang dimiliki pusat lingkaran pada poligon? Di manakah letak pusat lingkaran pada poligon? Poligon manakah yang dapat digambarkan mengelilingi lingkaran, dalam kondisi apa?
Bola yang tertulis dalam polihedron Rumuskan definisi bola yang tertulis dalam polihedron. Apa nama polihedron? Sifat apa yang dimiliki pusat bola bertulisan? Di manakah himpunan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari permukaan sudut dihedral? (sudut segitiga)? Di polihedron manakah sebuah bola dapat ditulisi?
Bola tertulis dalam piramida
Bola yang dibatasi di sekitar polihedron Merumuskan definisi bola yang dibatasi di sekitar polihedron. Apa nama polihedron? Properti apa yang dimiliki pusat bola yang dijelaskan? Di manakah letak himpunan titik-titik dalam ruang yang berjarak sama dari dua titik? Di manakah pusat bola yang mengelilingi piramida? (polihedron?) Di sekeliling polihedron manakah sebuah bola dapat digambarkan?
Bola digambarkan di dekat piramida
Menyimpulkan pelajaran. Apakah mungkin untuk menggambarkan sebuah bola di sekitar piramida segi empat, yang pada dasarnya terdapat belah ketupat yang bukan persegi? Apakah mungkin untuk menggambarkan sebuah bola di sekitar paralelepiped persegi panjang? Kalau iya, dimanakah pusatnya?
Pekerjaan rumah. Buatlah catatan tentang topik “Sebuah bola yang mengelilingi prisma. Sebuah bola tertulis di dalam prisma." (Lihat soal dari buku teks: No. 632.637.638) Selesaikan soal No. 640 dari buku teks Selesaikan masalah dari manual: Opsi No. 3 C12 (1), Opsi No. 4 C12 (1).
Tujuan dari pekerjaan ini adalah untuk mempelajari semua materi teoretis tentang topik “Polihedra Bertulis dan Dibatasi” dan belajar menerapkannya dalam praktik.
Polihedra yang tertulis di dalam bola Sebuah polihedron cembung disebut tertulis jika semua simpulnya terletak pada suatu bola. Bola ini disebut dijelaskan untuk polihedron tertentu. Pusat bola ini adalah sebuah titik yang berjarak sama dari simpul polihedron. Ini adalah titik perpotongan bidang, yang masing-masing melewati titik tengah tepi polihedron yang tegak lurus terhadapnya.
Piramida tertulis di dalam bola Teorema: Sebuah bola dapat digambarkan mengelilingi piramida jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekeliling dasar piramida.
Rumus Mencari Jari-jari Bola Berbatas Misalkan SABC adalah sebuah limas yang sisi-sisinya sama panjang, h adalah tingginya, R adalah jari-jari lingkaran berbatas di sekeliling alasnya. Mari kita cari jari-jari bola yang dibatasi. Perhatikan persamaan segitiga siku-siku SKO 1 dan SAO. Maka SO 1/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Tetapi KS = SA/2. Maka R 1 = SA 2/(2 JADI); R 1 = (jam 2 + R 2)/(2 jam); R 1 = b 2/(2 jam), dengan b adalah sisi samping.
Prisma tertulis di dalam bola Teorema: Bola dapat digambarkan mengelilingi prisma hanya jika prisma tersebut lurus dan terdapat lingkaran di sekeliling alasnya.
Sebuah parallelepiped tertulis dalam sebuah bola Teorema: Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar sebuah parallelepiped jika dan hanya jika parallelepiped tersebut berbentuk persegi panjang, karena dalam hal ini ia lurus dan sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekeliling alasnya - sebuah jajaran genjang (karena alasnya adalah a persegi panjang).
Sebuah kerucut dan sebuah silinder terdapat pada bola Teorema: Sebuah bola dapat dibatasi di sekeliling kerucut apa pun. Teorema: Sebuah bola dapat digambarkan di sekeliling silinder apa pun.
Soal 1 Tentukan jari-jari bola yang dibatasi oleh tetrahedron beraturan dengan rusuk a. tentang Solusi: Pertama, mari kita buat gambar pusat bola berbatas pada gambar SABC tetrahedron beraturan. Mari kita menggambar apotema SD dan AD (SD = AD). Pada segitiga sama kaki ASD, setiap titik median DN berjarak sama dari ujung ruas AS. Oleh karena itu, titik O 1 merupakan perpotongan antara ketinggian SO dan ruas DN. Dengan menggunakan rumus dari R 1 = b 2/(2 jam), kita peroleh: SO 1 = SA 2/(2 SO); JADI = JADI 1 = a 2/(2 a =a =)=a /4. Jawaban: JADI 1 = a /4.
Soal 2 Pada limas segi empat beraturan, sisi alasnya sama dengan a, dan sudut bidang di puncaknya sama dengan α. Temukan jari-jari bola yang dibatasi. Penyelesaian: Dengan menggunakan rumus R 1=b 2/(2 h) untuk mencari jari-jari bola yang dibatasi, kita mencari SC dan SO. SC = a/(2 dosa(α/2)); JADI 2). (a/(2 sin(α/2))2 – (a /2)2 = =). = a 2/(4 sin 2(α/2)) – 2 a 2/4 = = a 2/(4 sin 2(α/2)) (1 – 2 sin 2(α/2)) = = a 2/(4 sin 2(α/2)) · cosα R 1 = a 2/(4 sin 2(α/2)) · 1/(2 a Jawaban: R 1 = a/(4 sin(α/ 2 ) /(2 dosa(α/2))) = a/(4 dosa(α/2)
Polihedra dibatasi pada suatu bola Suatu polihedron cembung disebut dibatasi jika semua mukanya menyentuh suatu bola. Bola ini disebut tertulis untuk polihedron tertentu. Pusat bola bertulisan adalah sebuah titik yang berjarak sama dari semua permukaan polihedron.
Posisi pusat bola bertulis Konsep bidang garis bagi sudut dihedral. Bidang bagi adalah bidang yang membagi sudut dihedral menjadi dua sudut dihedral yang sama besar. Setiap titik pada bidang ini berjarak sama dari permukaan sudut dihedral. Secara umum, pusat bola pada polihedron adalah titik potong bidang bagi semua sudut dihedron polihedron. Itu selalu terletak di dalam polihedron.
Piramida yang dibatasi di sekeliling bola Sebuah bola dikatakan berada di dalam piramida (sewenang-wenang) jika menyentuh seluruh sisi piramida (baik sisi maupun alasnya). Teorema: Jika sisi-sisinya memiliki kemiringan yang sama terhadap alasnya, maka sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida tersebut. Karena sudut dihedral pada alasnya sama besar, maka bagiannya juga sama besar dan garis bagi berpotongan di satu titik pada ketinggian limas. Titik ini milik semua bidang garis bagi di dasar piramida dan berjarak sama dari semua sisi piramida - pusat bola yang tertulis.
Rumus Mencari Jari-jari Bola Bertulisan Misalkan SABC adalah sebuah limas yang sisi-sisinya sama panjang, h adalah tingginya, r adalah jari-jari lingkaran bertulisan tersebut. Mari kita cari jari-jari bola yang dibatasi. Misalkan SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Maka, berdasarkan sifat garis bagi sudut dalam suatu segitiga, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1/r = (h – r 1)/ ; r 1 = rh – rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Jawaban: r 1 = rh/(+ r).
Prisma dibatasi sekeliling bola Teorema: Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam prisma jika dan hanya jika prisma tersebut lurus dan sebuah lingkaran yang diameternya sama dengan tinggi prisma dapat ditulisi pada alasnya.
Sebuah paralelepiped dan sebuah kubus yang dibatasi di sekeliling bola Teorema: Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam sebuah paralelepiped jika dan hanya jika paralelepiped tersebut adalah garis lurus dan alasnya adalah belah ketupat, dan tinggi belah ketupat tersebut adalah diameter bola yang tertulis, yang, pada gilirannya, sama dengan tinggi parallelepiped. (Dari semua jajar genjang, hanya sebuah lingkaran yang dapat dimasukkan ke dalam belah ketupat) Teorema: Sebuah bola selalu dapat dimasukkan ke dalam kubus. Pusat bola adalah titik potong diagonal-diagonal kubus, dan jari-jarinya sama dengan setengah panjang rusuk kubus.
Sebuah silinder dan kerucut dibatasi mengelilingi sebuah bola Teorema: Sebuah bola hanya dapat dimasukkan ke dalam silinder yang tingginya sama dengan diameter alasnya. Teorema: Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam kerucut apa pun.
Gabungan bangun-bangun Prisma bertulis dan berbatas Prisma yang bertulisan pada silinder adalah prisma yang bidang alasnya adalah bidang alas silinder, dan sisi-sisinya adalah generator silinder. Bidang singgung silinder adalah bidang yang melalui generatrix silinder dan tegak lurus terhadap bidang bagian aksial yang memuat generatrix tersebut. Prisma yang dibatasi sekeliling silinder adalah prisma yang bidang alasnya sama dengan bidang alas silinder, dan sisi-sisinya bersentuhan dengan silinder.
Piramida Bertulisan dan Berbatas Piramida bertulisan kerucut adalah piramida yang alasnya berupa poligon pada lingkaran alas kerucut, dan puncaknya adalah titik sudut kerucut. Tepi lateral piramida yang tertulis dalam kerucut membentuk kerucut. Bidang singgung kerucut adalah bidang yang melalui generatrix dan tegak lurus terhadap bidang bagian aksial yang memuat generatrix tersebut. Piramida yang dibatasi keliling kerucut adalah piramida yang alasnya berupa poligon yang dibatasi keliling alas kerucut, dan puncaknya berimpit dengan puncak kerucut. Bidang-bidang sisi sisi piramida yang dijelaskan bersinggungan dengan bidang kerucut.
Jenis konfigurasi lainnya Sebuah silinder dimasukkan ke dalam piramida jika lingkaran salah satu alasnya menyentuh semua sisi lateral piramida, dan alas lainnya terletak pada alas limas. Sebuah kerucut dimasukkan ke dalam prisma jika titik sudutnya terletak pada alas atas prisma, dan alasnya adalah lingkaran pada poligon - alas bawah prisma. Suatu prisma dimasukkan ke dalam kerucut jika semua titik alas prisma atas terletak pada permukaan lateral kerucut, dan alas bawah prisma terletak pada alas kerucut.
Soal 1 Pada limas segi empat beraturan, sisi alasnya sama dengan a, dan sudut bidang di puncaknya sama dengan α. Temukan jari-jari bola yang tertulis di piramida. Penyelesaian: Mari kita nyatakan sisi-sisi ∆SOK dalam bentuk a dan α. Oke = a/2. SK = KC ranjang(α/2); SK = (ranjang bayi(α/2))/2. SO = = (a/2) Dengan menggunakan rumus r 1 = rh/(+ r), kita mencari jari-jari bola yang tertulis: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α/2) + 1) = (a/2) Jawaban: r 1 = (a/2) =
Kesimpulan Topik “Polihedra” dipelajari oleh siswa kelas 10 dan 11, namun dalam kurikulum sangat sedikit materi yang membahas topik “Polihedra bertulis dan terbatas”, meskipun menarik minat yang besar di kalangan siswa, karena mempelajari sifat-sifat Polihedra. polyhedra berkontribusi pada pengembangan pemikiran abstrak dan logis, yang nantinya akan berguna bagi kita dalam belajar, bekerja, kehidupan. Saat mengerjakan esai ini, kami mempelajari semua materi teoretis tentang topik “Polihedra tertulis dan terbatas”, memeriksa kemungkinan kombinasi gambar dan belajar menerapkan semua materi yang dipelajari dalam praktik. Soal penggabungan benda merupakan soal tersulit pada mata pelajaran stereometri kelas XI. Namun sekarang kami dapat mengatakan dengan yakin bahwa kami tidak akan mengalami masalah dalam memecahkan masalah seperti itu, karena selama penelitian kami, kami telah menetapkan dan membuktikan sifat-sifat polihedra tertulis dan terbatas. Seringkali, siswa mengalami kesulitan dalam membuat gambar untuk suatu masalah pada topik ini. Namun, setelah mengetahui bahwa untuk menyelesaikan soal yang melibatkan kombinasi bola dengan polihedron, gambar bola terkadang tidak diperlukan dan cukup menunjukkan pusat dan jari-jarinya, kita dapat yakin bahwa kita tidak akan mengalami kesulitan tersebut. Berkat esai ini, kami dapat memahami topik yang sulit namun sangat menarik ini. Kami berharap saat ini kami tidak mengalami kesulitan dalam menerapkan materi yang dipelajari dalam praktik.
Polihedra yang tertulis di dalam bola Sebuah polihedron cembung disebut tertulis jika semua simpulnya terletak pada suatu bola. Bola ini disebut dijelaskan untuk polihedron tertentu. Pusat bola ini adalah sebuah titik yang berjarak sama dari simpul polihedron. Ini adalah titik perpotongan bidang, yang masing-masing melewati titik tengah tepi polihedron yang tegak lurus terhadapnya.
Rumus Mencari Jari-jari Bola Berbatas Misalkan SABC adalah sebuah limas yang sisi-sisinya sama panjang, h adalah tingginya, R adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi alasnya. Mari kita cari jari-jari bola yang dibatasi. Perhatikan persamaan segitiga siku-siku SKO1 dan SAO. Maka SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Tetapi KS = SA/2. Maka R 1 = SA 2 /(2SO); R 1 = (jam 2 + R 2)/(2jam); R 1 = b 2 /(2h), dimana b adalah sisi samping.
Sebuah parallelepiped tertulis dalam sebuah bola Teorema: Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar sebuah parallelepiped jika dan hanya jika parallelepiped tersebut berbentuk persegi panjang, karena dalam hal ini ia lurus dan sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekeliling alasnya - sebuah jajaran genjang (karena alasnya adalah a persegi panjang) .
Soal 1 Tentukan jari-jari bola yang dibatasi pada tetrahedron beraturan dengan rusuk a. Penyelesaian: JADI 1 = SA 2 /(2JADI); JADI = = = a JADI 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Jawaban: JADI 1 = a /4. Pertama-tama mari kita buat bayangan pusat bola berbatas menggunakan bayangan SABC tetrahedron beraturan. Mari kita menggambar apotema SD dan AD (SD = AD). Pada segitiga sama kaki ASD, setiap titik median DN berjarak sama dari ujung ruas AS. Oleh karena itu, titik O 1 merupakan perpotongan antara ketinggian SO dan ruas DN. Dengan menggunakan rumus dari R 1 = b 2 /(2h), kita peroleh:
Soal 2 Solusi: Dengan menggunakan rumus R 1 =b 2 /(2h) untuk mencari jari-jari bola yang dibatasi, kita mencari SC dan SO. SC = a/(2sin(α /2)); JADI 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α Pada limas segi empat beraturan, sisi alasnya sama dengan a, dan sudut bidang di puncaknya sama dengan α. Tentukan jari-jari bola yang dibatasi tersebut. R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·) Jawaban : R 1 = a/(4sin(α /2) ·).
Polihedra dibatasi pada suatu bola Suatu polihedron cembung disebut dibatasi jika semua mukanya menyentuh suatu bola. Bola ini disebut tertulis untuk polihedron tertentu. Pusat bola bertulisan adalah sebuah titik yang berjarak sama dari semua permukaan polihedron.
Posisi pusat bola bertulis Konsep bidang garis bagi sudut dihedral. Bidang bagi adalah bidang yang membagi sudut dihedral menjadi dua sudut dihedral yang sama besar. Setiap titik pada bidang ini berjarak sama dari permukaan sudut dihedral. Secara umum, pusat bola pada polihedron adalah titik potong bidang bagi semua sudut dihedron polihedron. Itu selalu terletak di dalam polihedron.
Piramida yang dibatasi di sekeliling bola Sebuah bola dikatakan berada di dalam piramida (sewenang-wenang) jika menyentuh seluruh sisi piramida (baik sisi maupun alasnya). Teorema: Jika sisi-sisinya memiliki kemiringan yang sama terhadap alasnya, maka sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida tersebut. Karena sudut dihedral pada alasnya sama besar, maka bagiannya juga sama besar dan garis bagi berpotongan di satu titik pada ketinggian limas. Titik ini milik semua bidang garis bagi di dasar piramida dan berjarak sama dari semua sisi piramida - pusat bola yang tertulis.
Rumus Mencari Jari-jari Bola Bertulisan Misalkan SABC adalah sebuah limas yang sisi-sisinya sama panjang, h adalah tingginya, r adalah jari-jari lingkaran bertulisan tersebut. Mari kita cari jari-jari bola yang dibatasi. Misalkan SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Maka, berdasarkan sifat garis bagi sudut dalam suatu segitiga, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1 ; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Jawaban: r 1 = rh/(+ r).
Sebuah paralelepiped dan sebuah kubus yang dibatasi di sekeliling bola Teorema: Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam sebuah paralelepiped jika dan hanya jika paralelepiped tersebut lurus dan alasnya adalah belah ketupat, dan tinggi belah ketupat ini adalah diameter bola yang tertulis, yang, pada gilirannya, sama dengan tinggi parallelepiped. (Dari semua jajar genjang, hanya sebuah lingkaran yang dapat dimasukkan ke dalam belah ketupat) Teorema: Sebuah bola selalu dapat dimasukkan ke dalam kubus. Pusat bola adalah titik potong diagonal-diagonal kubus, dan jari-jarinya sama dengan setengah panjang rusuk kubus.
Gabungan bangun datar Prisma bertulis dan berbatas Prisma yang dibatasi pada silinder adalah prisma yang bidang alasnya sama dengan bidang alas silinder, dan sisi-sisinya bersentuhan dengan silinder. Prisma yang terdapat pada silinder adalah prisma yang bidang alasnya merupakan bidang alas silinder, dan sisi-sisinya merupakan generator silinder. Bidang singgung silinder adalah bidang yang melalui generatrix silinder dan tegak lurus terhadap bidang bagian aksial yang memuat generatrix tersebut.
Piramida Bertulisan dan Berbatas Piramida bertulisan kerucut adalah piramida yang alasnya berupa poligon pada lingkaran alas kerucut, dan puncaknya adalah titik sudut kerucut. Tepi lateral piramida yang tertulis dalam kerucut membentuk kerucut. Piramida yang dibatasi keliling kerucut adalah piramida yang alasnya berupa poligon yang dibatasi keliling alas kerucut, dan puncaknya berimpit dengan puncak kerucut. Bidang-bidang sisi sisi piramida yang dijelaskan bersinggungan dengan bidang kerucut. Bidang singgung kerucut adalah bidang yang melalui generatrix dan tegak lurus terhadap bidang bagian aksial yang memuat generatrix tersebut.
Jenis konfigurasi lainnya Sebuah silinder dimasukkan ke dalam piramida jika lingkaran salah satu alasnya menyentuh semua sisi lateral piramida, dan alas lainnya terletak pada alas limas. Sebuah kerucut dimasukkan ke dalam prisma jika titik sudutnya terletak pada alas atas prisma, dan alasnya adalah lingkaran pada poligon - alas bawah prisma. Suatu prisma dimasukkan ke dalam kerucut jika semua titik alas prisma atas terletak pada permukaan lateral kerucut, dan alas bawah prisma terletak pada alas kerucut.
Soal 1 Pada limas segi empat beraturan, sisi alasnya sama dengan a, dan sudut bidang di puncaknya sama dengan α. Temukan jari-jari bola yang tertulis di piramida. Penyelesaian: Mari kita nyatakan sisi-sisi SOK dalam bentuk a dan α. Oke = a/2. SK = KC ranjang(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Dengan menggunakan rumus r 1 = rh/(+ r), kita mencari jari-jari bola yang tertulis: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Jawaban: r 1 = (a/2)
Kesimpulan Topik “Polihedra” dipelajari oleh siswa kelas 10 dan 11, namun kurikulumnya hanya memuat sedikit materi tentang topik “Polihedra bertulis dan terbatas”, meskipun sangat menarik bagi siswa, karena mempelajari sifat-sifat polihedra. berkontribusi pada pengembangan pemikiran abstrak dan logis, yang nantinya akan berguna bagi kita dalam belajar, bekerja, kehidupan. Saat mengerjakan esai ini, kami mempelajari semua materi teoretis tentang topik “Polihedra tertulis dan terbatas”, memeriksa kemungkinan kombinasi gambar dan belajar menerapkan semua materi yang dipelajari dalam praktik. Soal penggabungan benda merupakan soal tersulit pada mata pelajaran stereometri kelas XI. Namun sekarang kami dapat mengatakan dengan yakin bahwa kami tidak akan mengalami masalah dalam memecahkan masalah seperti itu, karena selama penelitian kami, kami telah menetapkan dan membuktikan sifat-sifat polihedra tertulis dan terbatas. Seringkali, siswa mengalami kesulitan dalam membuat gambar untuk suatu masalah pada topik ini. Namun, setelah mengetahui bahwa untuk menyelesaikan soal yang melibatkan kombinasi bola dengan polihedron, gambar bola terkadang tidak diperlukan dan cukup menunjukkan pusat dan jari-jarinya, kita dapat yakin bahwa kita tidak akan mengalami kesulitan tersebut. Berkat esai ini, kami dapat memahami topik yang sulit namun sangat menarik ini. Kami berharap saat ini kami tidak mengalami kesulitan dalam menerapkan materi yang dipelajari dalam praktik.
Polihedra yang tertulis di dalam bola Suatu polihedron dikatakan tertulis di dalam bola jika semua titik sudutnya termasuk dalam bola tersebut. Bola itu sendiri dikatakan dibatasi pada polihedron. Dalil. Sebuah bola dapat digambarkan mengelilingi piramida jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekeliling dasar piramida tersebut.
Polyhedra tertulis dalam teorema bola. Sebuah bola dapat digambarkan di dekat prisma lurus jika dan hanya jika sebuah lingkaran dapat digambarkan di dekat alas prisma tersebut. Pusatnya adalah titik O, yang merupakan titik tengah ruas yang menghubungkan pusat-pusat lingkaran di dekat alas prisma. Jari-jari bola R dihitung dengan rumus dimana h adalah tinggi prisma, r adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar alas prisma.
Latihan 3 Alas limas adalah segitiga beraturan yang sisinya sama dengan 3. Salah satu sisi sisinya sama dengan 2 dan tegak lurus terhadap bidang alasnya. Temukan jari-jari bola yang dibatasi. Larutan. Misalkan O adalah pusat bola yang dibatasi, Q adalah pusat lingkaran yang dibatasi keliling alasnya, E adalah titik tengah SC. Segi empat CEOQ adalah persegi panjang yang CE = 1, CQ = Oleh karena itu, R=OC=2. Jawaban: R = 2.
Latihan 4 Gambar menunjukkan piramida SABC, yang rusuk SC sama dengan 2 dan tegak lurus bidang alas ABC, sudut ACB sama dengan 90 o, AC = BC = 1. Bangunlah pusat bola dibatasi di sekitar piramida ini dan tentukan jari-jarinya. Larutan. Melalui titik tengah D tepi AB kita tarik garis sejajar SC. Melalui titik tengah E tepi SC kita tarik garis lurus sejajar CD. Titik perpotongannya O akan menjadi pusat bola yang dibatasi yang diinginkan. Pada segitiga siku-siku OCD kita mempunyai: OD = CD = Dengan teorema Pythagoras, kita temukan
Latihan 5 Tentukan jari-jari bola yang dibatasi pada limas segitiga beraturan, yang rusuk-rusuk sisinya sama dengan 1, dan sudut bidang pada puncaknya sama dengan 90 derajat. Larutan. Dalam SABC tetrahedron kita mempunyai: AB = AE = SE = Dalam segitiga siku-siku OAE kita mempunyai: Selesaikan persamaan ini untuk R, kita temukan
Latihan 4 Carilah jari-jari bola yang dibatasi pada prisma segitiga siku-siku, yang alasnya terdapat segitiga siku-siku dengan kaki-kaki sama dengan 1, dan tinggi prisma sama dengan 2. Jawaban: Penyelesaian. Jari-jari bola sama dengan setengah diagonal A 1 C persegi panjang ACC 1 A 1. Kita mempunyai: AA 1 = 2, AC = Oleh karena itu, R =
Latihan Carilah jari-jari bola yang dibatasi pada piramida 6 persegi beraturan, yang rusuk-rusuknya sama dengan 1, dan rusuk-rusuk sisinya sama dengan 2. Penyelesaian. Segitiga SAD sama sisi dengan sisi 2. Jari-jari R bola yang dibatasi sama dengan jari-jari lingkaran yang dibatasi di sekitar segitiga SAD. Karena itu,
Latihan Carilah jari-jari bola yang dibatasi pada satuan ikosahedron. Larutan. Pada persegi panjang ABCD, AB = CD = 1, BC dan AD adalah diagonal-diagonal segi lima beraturan dengan sisi 1. Oleh karena itu, BC = AD = Berdasarkan teorema Pythagoras, AC = Jari-jari yang diperlukan sama dengan setengah diagonalnya, yaitu
Latihan Carilah jari-jari bola yang dibatasi pada suatu satuan dodecahedron. Larutan. ABCDE adalah segi lima beraturan dengan sisi Pada persegi panjang ACGF AF = CG = 1, AC dan FG adalah diagonal-diagonal segi lima ABCDE dan oleh karena itu, AC = FG = Berdasarkan teorema Pythagoras FC = Jari-jari yang diperlukan sama dengan setengahnya diagonal, yaitu
Latihan Gambar tersebut menunjukkan tetrahedron terpotong yang diperoleh dengan memotong sudut-sudut tetrahedron beraturan dari limas segitiga, yang mukanya berupa segi enam dan segitiga beraturan. Temukan jari-jari bola yang dibatasi di sekitar tetrahedron terpotong yang rusuknya sama dengan 1.
Latihan Gambar tersebut menunjukkan segi delapan terpotong yang diperoleh dengan memotong limas segitiga dari sudut segi delapan, yang mukanya berupa segi enam dan segitiga beraturan. Temukan jari-jari bola yang dibatasi di sekitar oktahedron terpotong yang rusuknya sama dengan 1. Latihan Gambar tersebut menunjukkan ikosahedron terpotong yang diperoleh dengan memotong sudut-sudut ikosahedron dari limas pentagonal, yang permukaannya berbentuk segi enam dan segi lima beraturan. Temukan jari-jari bola yang dibatasi di sekitar ikosahedron terpotong yang rusuknya sama dengan 1.
Latihan Gambar tersebut menunjukkan dodecahedron terpotong yang diperoleh dengan memotong limas segitiga dari sudut-sudut dodecahedron, yang permukaannya merupakan dekagon dan segitiga beraturan. Temukan jari-jari bola yang dibatasi di sekitar dodecahedron terpotong yang rusuknya sama dengan 1.
Latihan Carilah jari-jari bola yang dibatasi pada satuan kuboctahedron. Larutan. Ingatlah bahwa kuboctahedron diperoleh dari sebuah kubus dengan memotong piramida segitiga beraturan dengan simpul pada simpul kubus dan rusuk samping sama dengan setengah rusuk kubus. Jika rusuk segi delapan sama dengan 1, maka rusuk kubus yang bersesuaian sama dengan Jari-jari bola yang dibatasi sama dengan jarak dari pusat kubus ke tengah tepinya, yaitu. sama dengan 1. Jawab : R = 1.
Guru matematika sekolah menengah no.2,
kota Taldykorgan N.Yu.Lozovich
Buka pelajaran geometri
Topik pelajaran: “Bola. TertulisDanmenggambarkan polihedra"
Tujuan pelajaran:
- pendidikan - memastikan selama pelajaran pengulangan, konsolidasi dan pengujian penguasaan definisi siswa bola Dan bola, dan konsep terkait ( pusat, jari-jari, diameter,titik-titik yang berlawanan secara diametral, bidang singgung Dan lurus); konsep polihedra bertulis dan terbatas, pengetahuan tentang teorema penampang bola oleh bidang (20.3), tentang simetri bola (20.4), tentang bidang singgung bola (20.5), tentang perpotongan dua bola (20.6), tentang konstruksi pusat bola yang dibatasi (tertulis) sebuah piramida dan konstruksi pusat bola yang dibatasi di sekitar prisma beraturan;
terus mengembangkan keterampilan untuk secara mandiri menerapkan seluruh pengetahuan ini dalam berbagai situasi berdasarkan model dan non-standar yang memerlukan aktivitas kreatif;
pendidikan - menanamkan dalam diri siswa tanggung jawab terhadap hasil belajarnya, ketekunan dalam mencapai tujuan, rasa percaya diri, keinginan untuk mencapai hasil yang besar, rasa keindahan (keindahan bentuk geometris, penyelesaian suatu masalah yang anggun dan indah).
mengembangkan - mengembangkan pada siswa: kemampuan berpikir spesifik dan umum, imajinasi kreatif dan spasial; asosiatif (kemampuan mengandalkan hubungan yang berbeda: persamaan, analogi, kontras, sebab-akibat), kemampuan mengungkapkan pikiran secara logis dan konsisten, kebutuhan pembelajaran dan pengembangan, menciptakan kondisi dalam pembelajaran untuk perwujudan aktivitas kognitif siswa.
Jenis pelajaran
pelajaran pengujian dan koreksi pengetahuan dan keterampilan.
Metode pengajaran
Percakapan pendahuluan (menetapkan tujuan pembelajaran, memotivasi kegiatan belajar siswa, menciptakan suasana emosional dan moral yang diperlukan, menginstruksikan siswa untuk mengatur pekerjaan dalam pembelajaran).
Survei frontal (tes lisan terhadap pengetahuan siswa tentang konsep dasar, teorema, kemampuan menjelaskan hakikat, dan membenarkan penalaran).
Kerja mandiri bertingkat, berdasarkan prinsip peningkatan tingkat pengetahuan dan keterampilan secara bertahap, yaitu. dari tingkat reproduktif hingga tingkat produktif dan kreatif. Hakikat metode adalah hasil kerja mandiri individu siswa, yang senantiasa dikendalikan dan didorong oleh guru.
Alat bantu visual pendidikan
Model stereometrik benda geometris, poster, gambar, kartu pendidikan untuk pekerjaan mandiri individu.
Memperbarui
a) Pengetahuan dasar.
Perlu untuk mengaktifkan konsep-konsep: bersinggungan dengan lingkaran, poligon cembung yang tertulis dalam lingkaran dan dibatasi di sekitar lingkaran, perhitungan jari-jari lingkaran yang tertulis dan dibatasi untuk poligon beraturan dari planimetri; dari mata kuliah kelas 10, pengertian simetri relatif terhadap bidang, konsep bangun datar simetris terhadap suatu titik, sumbu (garis lurus), dan bidang.
b) Cara membentuk motif dan membangkitkan minat.
Dalam percakapan pendahuluan, pastikan siswa mengetahui tujuan, mengetahui minat pribadinya dalam mencapainya, mengungkapkan makna tujuan bagi siswa itu sendiri, menekankan pentingnya topik tersebut tidak hanya pada dirinya sendiri, tetapi juga pada sifat propaedeutiknya. untuk mempelajari topik selanjutnya, jenuh pelajaran dengan materi yang bersifat emosional (keindahan bentuk geometris, gelembung sabun, Bumi dan Bulan); menekankan sifat tingkat kerja mandiri: di satu sisi, hal ini akan menjamin tingkat keilmuan yang tinggi dari materi yang dipelajari, dan di sisi lain, aksesibilitas, maksud siswa adalah bahwa masing-masing dari mereka berhak atas dukungan pedagogis ( “asuransi”) untuk mengidentifikasi, menganalisis masalah-masalah nyata atau potensial yang dialami anak, merancang bersama kemungkinan jalan keluarnya; Sistem penilaian untuk menilai pengetahuan merupakan insentif tambahan bagi anak-anak.
c) Bentuk pemantauan kemajuan pekerjaan, saling mengontrol. Saling mengontrol (pertukaran buku catatan) dilakukan setelah siswa menyelesaikan bagian pertama kerja mandiri tingkat 1 (siswa) - jawaban tertulis siswa atas pertanyaan lisan guru (dikte matematika).
Setelah bertukar buku catatan, semua jawaban yang benar diucapkan dengan lantang (jika memungkinkan, alat bantu visual digunakan: model benda stereometrik, gambar, poster). Kemudian orang-orang melanjutkan ke penilaian penilaian bagian pertama dari pekerjaan mandiri: jawaban lengkap yang benar diberi skor 1 poin, jika ada komentar kecil, maka - 0,5 poin, jika tidak - 0 poin. Jumlah poin yang diperoleh setiap siswa dicatat di papan tulis oleh guru. Setelah itu orang-orang mulai mengerjakan kartu individu. Mereka yang telah menyelesaikan tugas tingkat 1 dan mendapat izin dari guru melanjutkan untuk menyelesaikan tugas tingkat berikutnya. Keberhasilan penyelesaian Masalah tidak boleh dibiarkan begitu saja tanpa perhatian, dorongan, dan pujian. Pada saat yang sama, guru melakukan pekerjaan pemasyarakatan: memahami kekuatan dan kelemahan siswa, ia membantunya mengandalkan kekuatannya sendiri dan melengkapinya ketika siswa, tidak peduli seberapa keras ia berusaha, masih secara objektif tidak mampu mengatasi sesuatu.
Saat memeriksa operasi, sistem notasi berikut digunakan:
Masalahnya belum terpecahkan;
Masalahnya belum terselesaikan, namun ada beberapa pertimbangan yang masuk akal dalam pengerjaannya;
Hanya jawaban yang diberikan untuk suatu masalah di mana satu jawaban jelas tidak cukup;
± - masalah terpecahkan, tetapi solusinya mengandung sedikit kelalaian dan ketidakakuratan;
Masalahnya telah terpecahkan sepenuhnya;
+! – pemecahan masalah mengandung ide-ide cemerlang yang tidak terduga.
Lembar catatan terbuka tentang kegiatan anak-anak sangat penting, yang diisi ketika mereka menyelesaikan pekerjaan mandiri.
saya menyamakan kedudukan
Tingkat II
Tingkat III
tingkat IV
Alipbaeva A
Akhmetkaliev A.
Hal ini memastikan kondisi yang sangat diperlukan untuk menilai pengetahuan siswa di kelas - objektivitas, efisiensi, niat baik dan transparansi.
saya menyamakan kedudukan
Dikte matematika.
1) saya pilihan. Properti apa yang dimiliki semua simpul polihedron pada bola?
II pilihan. Properti apa yang dimiliki setiap wajah polihedron yang tertulis dalam bola?
2)Saya pilihan. Jika sebuah bola dapat dideskripsikan di sekitar suatu polihedron, lalu bagaimana seseorang dapat membangun pusatnya?
II pilihan. TENTANG Berapa banyak paralelepiped yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan sebuah bola? Jelaskan jawabanmu.
3) saya pilihan. Dimana letak pusat bola digambarkan kira-kira benar P- prisma karbon?
II pilihan. Di manakah pusat bola yang mengelilingi piramida beraturan?
4)Saya pilihan. Bagaimana cara membuat pusat bola pada piramida n-gonal beraturan?
// pilihan. Apakah mungkin untuk memasukkan sebuah bola ke dalam prisma biasa?
Opsi I
saya menyamakan kedudukan
Jari-jari bola adalah 6 cm; sebuah bidang ditarik melalui ujung jari-jari tersebut dengan sudut 60° terhadap bola tersebut. Temukan luas penampang.
Tingkat II
Sebuah prisma segi empat beraturan terletak pada sebuah bola yang berjari-jari 5 cm, rusuk alas prisma adalah 4 cm, tentukan tinggi prisma tersebut.
Tingkat III
Hitung jari-jari bola yang terdapat pada tetrahedron beraturan yang rusuknya 4 cm.
tingkat IV
Sebuah bola berjari-jari R terletak di dalam kerucut yang terpotong. Sudut kemiringan generatrix terhadap bidang alas bawah kerucut adalah sama dengan A. Temukan jari-jari alas dan generatrix kerucut terpotong.
pilihan II
saya menyamakan kedudukan
Sebuah bola berjari-jari 10 cm dipotong oleh sebuah bidang yang berjarak 6 cm dari pusat. Temukan luas penampang.
Tingkat II
Hitunglah jari-jari bola yang dibatasi pada kubus yang panjang sisinya 4 cm.
Tingkat III.
A. Temukan jari-jari bola yang dibatasi.
tingkat IV
Sebuah bola berjari-jari R terletak di dalam kerucut yang terpotong. Sudut kemiringan generatrix terhadap bidang alas bawah kerucut sama dengan a. Temukan jari-jari alas dan generatrix kerucut terpotong.
pilihan
saya menyamakan kedudukan
Sebuah bidang yang tegak lurus ditarik melalui titik tengah jari-jari bola. Bagaimana hubungan luas lingkaran besar dengan luas penampang yang dihasilkan?
Tingkat II
Sebuah prisma segitiga beraturan terletak pada sebuah bola yang berjari-jari 4 cm, rusuk alas prisma adalah 3 cm, tentukan tinggi prisma tersebut.
Tingkat III
Pada limas segi empat beraturan, sisi alasnya adalah 4 cm, dan sudut bidang di puncaknya adalah A. Temukan jari-jari bola yang tertulis.
IV tingkat
Sebuah limas segitiga beraturan dengan sudut bidang terletak pada sebuah bola berjari-jari R A di puncaknya. Temukan tinggi piramida.
IV pilihan
SAYA tingkat
Tiga poin diberikan pada permukaan bola. Jarak garis lurus antara keduanya adalah 6 cm, 8 cm, 10 cm Jari-jari bola adalah 11 cm Tentukan jarak pusat bola ke bidang yang melalui titik-titik tersebut.
II tingkat
Sebuah prisma segi enam beraturan terletak pada sebuah bola yang berjari-jari 5 cm, rusuk alas prisma adalah 3 cm, tentukan tinggi teknik tersebut.
tingkat Ш
Hitunglah jari-jari bola yang dibatasi di sekitar piramida n-gonal beraturan jika sisi alasnya 4 cm dan rusuk sisinya membentuk sudut miring terhadap bidang alas A.
tingkat IV
Sebuah piramida segitiga beraturan dengan sudut datar a pada titik puncaknya dimasukkan ke dalam bola berjari-jari R. Temukan tinggi piramida.
Ringkasan pelajaran
Hasil kerja mandiri diumumkan dan dianalisis. Siswa yang membutuhkan pekerjaan remedial diundang ke kelas remedial.
Pekerjaan rumah diberikan (dengan komentar yang diperlukan), terdiri dari bagian wajib dan variabel.
Bagian wajib: paragraf 187 - 193 - ulangi; Nomor 44,45,39
Bagian variabel No.35