Kemajuan geometris, bersama dengan aritmatika, merupakan deret bilangan penting yang dipelajari pada mata pelajaran aljabar sekolah di kelas 9. Pada artikel ini kita akan melihat penyebut suatu barisan geometri dan bagaimana nilainya mempengaruhi sifat-sifatnya.
Pengertian barisan geometri
Pertama, mari kita berikan definisi deret bilangan ini. Deret yang demikian disebut deret geometri angka rasional, yang dibentuk dengan mengalikan elemen pertamanya secara berurutan dengan bilangan konstan yang disebut penyebut.
Misalnya bilangan pada deret 3, 6, 12, 24, ... adalah barisan geometri, karena jika 3 (elemen pertama) dikalikan dengan 2, diperoleh 6. Jika 6 dikalikan dengan 2, diperoleh 12, dan seterusnya.
Anggota barisan yang ditinjau biasanya dilambangkan dengan simbol ai, dimana i adalah bilangan bulat yang menunjukkan banyaknya elemen dalam deret tersebut.
Pengertian barisan di atas dapat ditulis dalam bahasa matematika sebagai berikut: an = bn-1 * a1, dimana b adalah penyebutnya. Sangat mudah untuk memeriksa rumus ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapatkan a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita kembali sampai pada definisi deret bilangan yang dimaksud. Alasan serupa dapat dilanjutkan untuk nilai n yang lebih besar.
Penyebut barisan geometri
Angka b sepenuhnya menentukan karakter apa yang akan dimiliki seluruh rangkaian angka. Penyebut b bisa positif, negatif, atau lebih besar atau kurang dari satu. Semua opsi di atas mengarah ke urutan yang berbeda:
- b > 1. Terdapat deret bilangan rasional yang bertambah. Misalnya 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 negatif, maka seluruh barisan hanya akan bertambah nilai absolutnya, tetapi berkurang tergantung pada tanda bilangan tersebut.
- b = 1. Seringkali kasus ini tidak disebut perkembangan, karena terdapat deret biasa dari bilangan rasional yang identik. Misalnya -4, -4, -4.
Rumus jumlah
Sebelum beralih ke pertimbangan masalah tertentu dengan menggunakan penyebut jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, perlu diberikan rumus penting untuk jumlah n elemen pertamanya. Rumusnya seperti ini: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Anda dapat memperoleh ekspresi ini sendiri jika Anda mempertimbangkan urutan suku-suku perkembangan yang rekursif. Perhatikan juga bahwa dalam rumus di atas, cukup mengetahui elemen pertama dan penyebutnya saja untuk menemukan jumlah sejumlah suku yang berubah-ubah.
Urutan menurun tanpa batas
Penjelasan telah diberikan di atas tentang apa itu. Sekarang, setelah mengetahui rumus Sn, mari kita terapkan pada deret bilangan ini. Karena bilangan apa pun yang modulusnya tidak melebihi 1 cenderung nol jika dipangkatkan besar, yaitu b∞ => 0 jika -1
Karena selisih (1 - b) akan selalu positif, berapa pun nilai penyebutnya, tanda jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga S∞ ditentukan secara unik oleh tanda elemen pertamanya a1.
Sekarang mari kita lihat beberapa soal di mana kami akan menunjukkan bagaimana menerapkan pengetahuan yang diperoleh pada bilangan tertentu.
Tugas No. 1. Perhitungan elemen perkembangan dan jumlah yang tidak diketahui
Diketahui suatu barisan geometri, penyebut barisan tersebut adalah 2, dan unsur pertamanya adalah 3. Berapa suku ke-7 dan ke-10nya, dan berapa jumlah ketujuh unsur awalnya?
Kondisi soalnya cukup sederhana dan melibatkan penggunaan langsung rumus-rumus di atas. Jadi, untuk menghitung nomor elemen n, kita menggunakan ekspresi an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, dengan mensubstitusi data yang diketahui, kita mendapatkan: a7 = 26 * 3 = 192. Kita melakukan hal yang sama untuk suku ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.
Mari kita gunakan rumus penjumlahan yang terkenal dan tentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama deret tersebut. Kita mempunyai: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Soal No. 2. Menentukan jumlah elemen sembarang suatu barisan
Misalkan -2 sama dengan penyebut barisan geometri bn-1 * 4, dengan n adalah bilangan bulat. Penting untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 dari deret ini, inklusif.
Masalah yang diajukan tidak dapat diselesaikan secara langsung dengan menggunakan rumus-rumus yang diketahui. Ini dapat diselesaikan dengan 2 cara berbagai metode. Untuk kelengkapan penyajian topik, kami hadirkan keduanya.
Metode 1. Idenya sederhana: Anda perlu menghitung dua jumlah suku pertama yang bersesuaian, lalu mengurangkan suku lainnya dari satu suku. Kita hitung jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang mari kita hitung jumlah yang besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahwa dalam ekspresi terakhir hanya 4 suku yang dijumlahkan, karena suku ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dihitung sesuai dengan kondisi soal. Terakhir kita ambil selisihnya: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metode 2. Sebelum mensubstitusi bilangan dan berhitung, Anda dapat memperoleh rumus jumlah antara m dan n suku deret yang bersangkutan. Kami melakukan hal yang persis sama seperti pada metode 1, hanya saja kami terlebih dahulu bekerja dengan representasi simbolis dari jumlah tersebut. Kita mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda dapat mengganti angka-angka yang diketahui ke dalam ekspresi yang dihasilkan dan menghitung hasil akhirnya: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Soal No. 3. Berapakah penyebutnya?
Misalkan a1 = 2, tentukan penyebut barisan geometri tersebut, asalkan jumlah tak terhingganya adalah 3, dan diketahui bahwa barisan bilangan tersebut adalah barisan bilangan menurun.
Berdasarkan kondisi permasalahannya, tidak sulit untuk menebak rumus mana yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Tentu saja, jumlah perkembangannya semakin berkurang. Kita mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebutnya: b = 1 - a1 / S∞. Yang tersisa hanyalah penggantinya nilai-nilai yang diketahui dan dapatkan nomor yang diperlukan: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 atau -0,333(3). Kita dapat memeriksa hasil ini secara kualitatif jika kita ingat bahwa untuk jenis barisan ini modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang dapat dilihat, |-1 / 3|
Tugas No. 4. Memulihkan serangkaian angka
Misalkan diberikan 2 elemen suatu deret bilangan, misalnya deret ke-5 sama dengan 30 dan deret ke-10 sama dengan 60. Seluruh deret perlu direkonstruksi dari data ini, karena mengetahui bahwa deret tersebut memenuhi sifat-sifat barisan geometri.
Untuk menyelesaikan soal, pertama-tama Anda harus menuliskan ekspresi yang sesuai untuk setiap suku yang diketahui. Kita mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang bagi ekspresi kedua dengan ekspresi pertama, kita mendapatkan: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebutnya dengan mengambil akar kelima dari perbandingan suku-suku yang diketahui dari rumusan masalah, b = 1,148698. Kita substitusikan bilangan yang dihasilkan ke dalam salah satu ekspresi unsur yang diketahui, kita peroleh: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Jadi, kita menemukan penyebut barisan bn, dan barisan geometri bn-1 * 17.2304966 = an, di mana b = 1.148698.
Di mana perkembangan geometri digunakan?
Jika tidak ada penerapan praktis dari deret bilangan ini, maka kajiannya akan direduksi menjadi kepentingan teoretis belaka. Tapi aplikasi seperti itu ada.
Di bawah ini adalah 3 contoh paling terkenal:
- Paradoks Zeno, di mana Achilles yang gesit tidak dapat mengejar kura-kura yang lambat, diselesaikan dengan menggunakan konsep barisan bilangan yang semakin berkurang.
- Jika untuk setiap sel papan catur letakkan butiran gandum sehingga pada sel pertama Anda menaruh 1 butir, pada sel ke-2 - 2, pada sel ke-3 - 3 dan seterusnya, maka untuk mengisi semua sel papan Anda membutuhkan 18446744073709551615 butir!
- Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk memindahkan disk dari satu batang ke batang lainnya, perlu melakukan operasi 2n - 1, yaitu jumlahnya bertambah secara eksponensial dengan jumlah n disk yang digunakan.
URUTAN NUMERIK VI
§ l48. Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga
Sampai saat ini, jika berbicara tentang penjumlahan, kita selalu berasumsi bahwa banyaknya suku dalam penjumlahan tersebut berhingga (misalnya 2, 15, 1000, dst). Namun ketika memecahkan beberapa masalah (terutama matematika yang lebih tinggi) kita harus berurusan dengan jumlah suku yang jumlahnya tak terhingga
S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)
Berapa jumlah ini? A-priori jumlah suku yang tak terhingga banyaknya A 1 , A 2 , ..., A N , ... disebut limit jumlah S N Pertama P angka kapan P -> ∞ :
S = S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)
Batas (2), tentu saja, mungkin ada atau tidak ada. Oleh karena itu, mereka mengatakan bahwa jumlah (1) ada atau tidak ada.
Bagaimana kita dapat mengetahui apakah jumlah (1) ada pada setiap kasus tertentu? Keputusan bersama Masalah ini jauh melampaui cakupan program kami. Namun, ada satu hal penting kasus spesial, yang sekarang harus kita pertimbangkan. Kita akan membahas tentang menjumlahkan suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga.
Membiarkan A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2, ... adalah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Artinya | Q |< 1. Сумма первых P syarat kemajuan ini adalah sama
Dari teorema dasar tentang limit variabel (lihat § 136) kita peroleh:
Tapi 1 = 1, a qn = 0. Oleh karena itu
Jadi, jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga sama dengan suku pertama barisan tersebut dibagi satu dikurangi penyebut barisan tersebut.
1) Jumlah barisan geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... sama dengan
dan jumlah barisan geometrinya adalah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama
2) Ubah pecahan periodik sederhana 0,454545… menjadi pecahan biasa.
Untuk menyelesaikan soal ini, bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:
Bagian kanan Persamaan ini adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak hingga, suku pertamanya 45/100 dan penyebutnya 1/100. Itu sebabnya
Dengan menggunakan metode yang dijelaskan, itu juga bisa diperoleh peraturan umum konversi pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa (lihat Bab II, § 38):
Untuk mengubah pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa, Anda perlu melakukan hal berikut: masukkan periode ke dalam pembilangnya desimal, dan penyebutnya adalah bilangan yang terdiri dari sembilan yang diambil sebanyak angka-angka pada periode pecahan desimal.
3) Ubah pecahan periodik campuran 0,58333….menjadi pecahan biasa.
Mari kita bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:
Di sisi kanan persamaan ini, semua suku, mulai dari 3/1000, membentuk barisan geometri yang menurun tak terhingga, suku pertamanya sama dengan 3/1000, dan penyebutnya adalah 1/10. Itu sebabnya
Dengan menggunakan metode yang dijelaskan, aturan umum untuk mengubah pecahan periodik campuran menjadi pecahan biasa dapat diperoleh (lihat Bab II, § 38). Kami sengaja tidak menyajikannya di sini. Tidak perlu mengingat aturan rumit ini. Jauh lebih berguna untuk mengetahui bahwa pecahan periodik campuran apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari barisan geometri yang menurun tak terhingga dan suatu bilangan tertentu. Dan rumusnya
untuk jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, tentu saja Anda harus mengingatnya.
Sebagai latihan, kami menyarankan agar Anda, selain soal No. 995-1000 yang diberikan di bawah ini, sekali lagi beralih ke soal No. 301 § 38.
Latihan
995. Apa yang disebut jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga?
996. Temukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga:
997. Pada nilai apa X kemajuan
apakah jumlahnya terus berkurang? Temukan jumlah perkembangan tersebut.
998. Pada segitiga sama sisi yang mempunyai sisi A segitiga baru dibuat dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; segitiga baru dimasukkan ke dalam segitiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya tanpa batas.
a) jumlah keliling semua segitiga tersebut;
b) jumlah luasnya.
999. Persegi dengan sisi A sebuah persegi baru dibuat dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; sebuah persegi dituliskan ke dalam persegi ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Temukan jumlah keliling semua persegi dan jumlah luasnya.
1000. Buatlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga sehingga jumlahnya sama dengan 25/4, dan jumlah kuadrat suku-sukunya sama dengan 625/24.
Perkembangan aritmatika dan geometri
Informasi teoretis
Informasi teoretis
Kemajuan aritmatika |
Kemajuan geometris |
|
Definisi |
Kemajuan aritmatika sebuah adalah barisan yang tiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama D (D- perbedaan perkembangan) |
Kemajuan geometris bn adalah barisan bilangan bukan nol yang tiap sukunya dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan bilangan yang sama Q (Q- penyebut perkembangan) |
Rumus kekambuhan |
Untuk alam apa pun N |
Untuk alam apa pun N |
Rumus suku ke-n |
sebuah = a 1 + d (n – 1) |
b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0 |
| Properti karakteristik |  |
|
| Jumlah n suku pertama |  |
 |
Contoh tugas dengan komentar
Latihan 1
Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2
Menurut rumus suku ke-n:
sebuah 22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21 d
Dengan syarat:
sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21 d .
Penting untuk menemukan perbedaan perkembangan:
d = sebuah 2 – sebuah 1 = -8 – (-6) = -2
sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Menjawab : sebuah 22 = -48.
Tugas 2
Tentukan suku kelima barisan geometri: -3; 6;....
Metode 1 (menggunakan rumus suku n)
Berdasarkan rumus suku ke-n suatu barisan geometri:
b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.
Karena b 1 = -3,
Metode ke-2 (menggunakan rumus berulang)
Karena penyebut barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:
b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Menjawab : b 5 = -48.
Tugas 3
Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah ) sebuah 74 = 34; sebuah 76= 156. Tentukan suku ketujuh puluh lima barisan ini.
Untuk barisan aritmatika, sifat karakteristiknya berbentuk 
.
Karena itu:
.
Mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus:
Jawaban: 95.
Tugas 4
Dalam perkembangan aritmatika ( sebuah ) sebuah n= 3n - 4. Tentukan jumlah tujuh belas suku pertama.
Untuk mencari jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika, digunakan dua rumus:
.
Yang mana yang masuk pada kasus ini lebih nyaman digunakan?
Dengan syarat, diketahui rumus suku ke-n barisan asal ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Anda dapat segera menemukan dan sebuah 1, Dan sebuah 16 tanpa menemukan d. Oleh karena itu, kita akan menggunakan rumus pertama.
Jawaban: 368.
Tugas 5
Dalam perkembangan aritmatika( sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.
Menurut rumus suku ke-n:
a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21d.
Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21d . Penting untuk menemukan perbedaan perkembangan:
d = sebuah 2 – sebuah 1 = -8 – (-6) = -2
sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Menjawab : sebuah 22 = -48.
Tugas 6
Beberapa suku barisan geometri yang berurutan dapat dituliskan:
Tentukan suku barisan yang berlabel x.
Saat menyelesaikannya, kita akan menggunakan rumus suku ke-n b n = b 1 ∙ q n - 1 untuk perkembangan geometri. Istilah pertama dari perkembangan. Untuk mencari penyebut barisan q, Anda perlu mengambil salah satu suku barisan tertentu dan membaginya dengan suku sebelumnya. Dalam contoh kita, kita dapat mengambil dan membaginya. Kita peroleh bahwa q = 3. Alih-alih n, kita substitusikan 3 ke dalam rumus, karena kita perlu mencari suku ketiga suatu barisan geometri tertentu.
Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kita mendapatkan:
.
Menjawab : .
Tugas 7
Dari barisan aritmatika yang diberikan oleh rumus suku ke-n, pilihlah barisan yang kondisinya terpenuhi sebuah 27 > 9:
Karena kondisi yang diberikan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari perkembangan tersebut, kita substitusikan 27 sebagai ganti n pada masing-masing dari empat perkembangan tersebut. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:
.
Jawaban: 4.
Tugas 8
Dalam perkembangan aritmatika sebuah 1= 3, d = -1,5. Menentukan nilai tertinggi n yang berlaku pertidaksamaan sebuah > -6.
instruksi
10, 30, 90, 270...
Anda perlu mencari penyebut suatu barisan geometri.
Larutan:
Pilihan 1. Mari kita ambil suku sembarang dari perkembangan tersebut (misalnya, 90) dan membaginya dengan suku sebelumnya (30): 90/30=3.
Jika diketahui jumlah beberapa suku suatu barisan geometri atau jumlah semua suku suatu barisan geometri menurun, maka untuk mencari penyebut barisan tersebut, gunakan rumus yang sesuai:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dengan Sn adalah jumlah n suku pertama barisan geometri dan
S = b1/(1-q), dengan S adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga (jumlah seluruh suku barisan yang penyebutnya kurang dari satu).
Contoh.
Suku pertama suatu barisan geometri menurun sama dengan satu, dan jumlah semua sukunya sama dengan dua.
Hal ini diperlukan untuk menentukan penyebut perkembangan ini.
Larutan:
Gantikan data dari soal ke dalam rumus. Ternyata:
2=1/(1-q), maka – q=1/2.
Kemajuan adalah urutan angka. Dalam suatu barisan geometri, setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tertentu q, yang disebut penyebut barisan tersebut.
instruksi
Jika dua suku geometri yang berdekatan b(n+1) dan b(n) diketahui, untuk mendapatkan penyebutnya, Anda perlu membagi bilangan yang lebih besar dengan bilangan sebelumnya: q=b(n+1)/b (N). Berikut ini definisi perkembangan dan penyebutnya. Kondisi penting adalah pertidaksamaan suku pertama dan penyebut barisan tersebut ke nol, jika tidak maka dianggap tidak tentu.
Jadi, hubungan berikut terbentuk antara suku-suku barisan: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Dengan menggunakan rumus b(n)=b1 q^(n-1), suku apa pun dari barisan geometri yang penyebutnya q dan suku b1 diketahui dapat dihitung. Selain itu, masing-masing perkembangan mempunyai modulus yang sama dengan rata-rata anggota tetangganya: |b(n)|=√, yang mana perkembangan tersebut mendapatkan .
Analog dari barisan geometri adalah fungsi eksponensial paling sederhana y=a^x, dengan x adalah eksponen, a adalah bilangan tertentu. Dalam hal ini, penyebut barisan tersebut bertepatan dengan suku pertama dan sama dengan bilangan a. Nilai fungsi y dapat dipahami sebagai istilah ke-n perkembangan jika argumen x dianggap bilangan asli n (penghitung).
Lain properti penting perkembangan geometri, yang memberikan perkembangan geometri
Sekarang mari kita perhatikan pertanyaan tentang menjumlahkan barisan geometri tak hingga. Mari kita menyebut jumlah parsial suatu barisan tak terhingga sebagai jumlah suku pertamanya. Mari kita nyatakan jumlah parsial dengan simbol
Untuk setiap kemajuan yang tak terbatas
seseorang dapat menyusun barisan (juga tak terhingga) dari jumlah parsialnya
Biarkan barisan dengan pertambahan tak terbatas mempunyai batas
Dalam hal ini, bilangan S, yaitu limit jumlah parsial suatu barisan, disebut jumlah barisan tak hingga. Kita akan membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak hingga selalu mempunyai jumlah, dan kita akan mendapatkan rumus untuk jumlah ini (kita juga dapat menunjukkan bahwa jika barisan geometri tak hingga tidak mempunyai jumlah, maka barisan tersebut tidak ada).
Mari kita tuliskan ekspresi jumlah parsial sebagai jumlah suku-suku perkembangan menggunakan rumus (91.1) dan pertimbangkan limit jumlah parsial di
Dari Teorema 89 diketahui bahwa untuk perkembangan menurun; oleh karena itu, dengan menerapkan teorema limit selisih, kita temukan
(di sini aturannya juga digunakan: faktor konstanta diambil melampaui tanda batas). Keberadaannya terbukti, dan pada saat yang sama diperoleh rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga:
Kesetaraan (92.1) juga dapat ditulis dalam bentuk
Di sini mungkin tampak paradoks bahwa jumlah suku yang tak terhingga diberi nilai yang sangat pasti.
Anda bisa mengutip ilustrasi visual untuk menjelaskan situasi ini. Misalkan sebuah persegi dengan sisinya sama dengan satu(Gbr. 72). Mari kita bagi persegi ini garis horisontal menjadi dua bagian yang sama besar dan tempelkan bagian atas ke bagian bawah sehingga terbentuk persegi panjang dengan sisi 2 dan . Setelah itu, kita akan membagi lagi bagian kanan persegi panjang ini menjadi dua dengan garis horizontal dan menempelkan bagian atas ke bagian bawah (seperti yang ditunjukkan pada Gambar 72). Melanjutkan proses ini, kami terus mengubah persegi asli dengan luas sama dengan 1 menjadi bangun datar berukuran sama (berbentuk tangga dengan anak tangga yang menipis).
Dengan kelanjutan proses ini yang tak terhingga, seluruh luas persegi didekomposisi menjadi suku-suku yang tak terhingga - luas persegi panjang dengan alas dan tinggi sama dengan 1. Luas persegi panjang justru membentuk perkembangan menurun tak terhingga, jumlahnya
yaitu, seperti yang diharapkan, sama dengan luas persegi.
Contoh. Temukan jumlah perkembangan tak terbatas berikut:
Solusi, a) Kita perhatikan perkembangan ini Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus (92.2) kita temukan
b) Artinya menggunakan rumus yang sama (92.2) yang kita miliki
c) Oleh karena itu, kita mendapati bahwa perkembangan ini tidak mempunyai jumlah.
Paragraf 5 menunjukkan penerapan rumus jumlah suku-suku suatu perkembangan yang menurun tak terhingga untuk mengubah pecahan desimal periodik menjadi pecahan biasa.
Latihan
1. Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga adalah 3/5, dan jumlah empat suku pertamanya adalah 13/27. Temukan suku pertama dan penyebut barisan tersebut.
2. Temukan empat bilangan yang membentuk barisan geometri berselang-seling, yang suku kedua lebih kecil dari suku pertama sebesar 35, dan suku ketiga lebih besar dari suku keempat sebesar 560.
3. Tunjukkan jika barisan tersebut
membentuk barisan geometri yang menurun tak terhingga, lalu barisan tersebut
bagi siapa pun, ia membentuk barisan geometri yang semakin menurun. Akankah pernyataan ini berlaku kapan
Turunkan rumus hasil kali suku-suku suatu barisan geometri.