1.21. 3OSILASI TERDAMPED DAN PAKSA
Persamaan diferensial osilasi teredam dan penyelesaiannya. Koefisien atenuasi. Dek logaritmawaktu peluruhan.Faktor kualitas osilasisistem tubuh.Proses aperiodik. Persamaan diferensial osilasi paksa dan penyelesaiannya.Amplitudo dan fase osilasi paksa. Proses pembentukan osilasi. Kasus resonansi.Osilasi diri.
Redaman osilasi adalah penurunan amplitudo osilasi secara bertahap seiring waktu, karena hilangnya energi oleh sistem osilasi.
Osilasi alami tanpa redaman adalah sebuah idealisasi. Alasan pelemahan mungkin berbeda. Pada sistem mekanis, getaran diredam dengan adanya gesekan. Ketika seluruh energi yang tersimpan dalam sistem osilasi habis, osilasi akan berhenti. Oleh karena itu amplitudonya osilasi teredam berkurang sampai sama dengan nol.
Osilasi teredam, seperti osilasi alami, dalam sistem yang sifatnya berbeda, dapat dilihat dari satu sudut pandang - karakteristik umum. Namun, karakteristik seperti amplitudo dan periode memerlukan definisi ulang, dan karakteristik lainnya memerlukan penambahan dan klarifikasi dibandingkan dengan karakteristik yang sama untuk osilasi alami tak teredam. Ciri-ciri umum dan konsep osilasi teredam adalah sebagai berikut:
Persamaan diferensial harus diperoleh dengan mempertimbangkan penurunan energi getaran selama proses osilasi.
Persamaan osilasi merupakan penyelesaian persamaan diferensial.
Amplitudo osilasi teredam bergantung pada waktu.
Frekuensi dan periode bergantung pada derajat redaman osilasi.
Fase dan fase awal memiliki arti yang sama dengan osilasi kontinu.
Osilasi teredam mekanis.
Sistem mekanis : pendulum pegas dengan memperhitungkan gaya gesekan.
Gaya-gaya yang bekerja pada pendulum :
Kekuatan elastis., dimana k adalah koefisien kekakuan pegas, x adalah perpindahan bandul dari posisi setimbang.
Kekuatan perlawanan. Mari kita pertimbangkan gaya hambatan yang sebanding dengan kecepatan gerak v (ketergantungan ini umum terjadi pada kelas gaya hambatan yang besar): . Tanda minus menunjukkan bahwa arah gaya hambatan berlawanan dengan arah kecepatan benda. Koefisien hambatan r secara numerik sama dengan gaya hambat yang timbul pada satuan kecepatan gerak benda:
Hukum gerak pendulum pegas - ini adalah hukum kedua Newton:
M A = F mantan. + F perlawanan
Mengingat keduanya 
, kita tuliskan hukum kedua Newton dalam bentuk:
. (21.1)
Membagi semua suku persamaan dengan m dan memindahkan semuanya ke ruas kanan, kita peroleh persamaan diferensial osilasi teredam:
Mari kita tunjukkan di mana β – koefisien atenuasi , , Di mana ω 0 – frekuensi osilasi bebas yang tidak teredam tanpa adanya kehilangan energi dalam sistem osilasi.
Dalam notasi baru, persamaan diferensial osilasi teredam berbentuk:
.
(21.2)
Ini adalah persamaan diferensial linier orde dua.
Persamaan diferensial linier ini diselesaikan dengan mengubah variabel. Mari kita nyatakan fungsi x, bergantung pada waktu t, dalam bentuk:
.
Mari kita cari turunan pertama dan kedua dari fungsi ini terhadap waktu, mengingat fungsi z juga merupakan fungsi waktu:
,
.
Mari kita substitusikan ekspresi tersebut ke dalam persamaan diferensial:
Mari kita nyatakan suku-suku serupa dalam persamaan dan kurangi setiap suku dengan , kita mendapatkan persamaannya:
.
Mari kita nyatakan kuantitasnya 
.
Memecahkan persamaan 
adalah fungsinya, .
Kembali ke variabel x, kita memperoleh rumus persamaan osilasi teredam:
Dengan demikian , persamaan osilasi teredam adalah solusi persamaan diferensial (21.2):
Frekuensi teredam :
(Oleh karena itu, hanya akar kata sebenarnya yang memiliki arti fisik).
Periode osilasi teredam :
(21.5)
Makna yang dimasukkan ke dalam konsep periode osilasi tak teredam tidak sesuai untuk osilasi teredam, karena sistem osilasi tidak pernah kembali ke keadaan semula karena hilangnya energi osilasi. Dengan adanya gesekan, getaran menjadi lebih lambat: .
Periode osilasi teredam adalah periode waktu minimum selama sistem melewati posisi setimbang dua kali dalam satu arah.
Untuk sistem mekanis pendulum pegas kita mempunyai:
,
.
Amplitudo osilasi teredam :
Untuk pendulum pegas.
Amplitudo osilasi teredam bukanlah nilai yang konstan, tetapi berubah seiring waktu, semakin cepat semakin besar koefisien β. Oleh karena itu, definisi amplitudo yang diberikan sebelumnya untuk osilasi bebas tak teredam harus diubah untuk osilasi teredam.
Untuk redaman kecil amplitudo osilasi teredam disebut deviasi terbesar dari posisi setimbang selama suatu periode.
Grafik Plot perpindahan versus waktu dan amplitudo versus waktu disajikan pada Gambar 21.1 dan 21.2.
Gambar 21.1 – Ketergantungan perpindahan terhadap waktu untuk osilasi teredam.
Gambar 21.2 – Ketergantungan amplitudo terhadap waktu untuk osilasi teredam
Ciri-ciri osilasi teredam.
1. Koefisien atenuasi β .
Amplitudo osilasi teredam berubah menurut hukum eksponensial:
Biarkan amplitudo osilasi berkurang “e” kali selama waktu τ (“e” adalah basis logaritma natural, e ≈ 2,718). Kemudian, di satu sisi, 
, dan di sisi lain, setelah mendeskripsikan amplitudo A zat. (t) dan A zat. (t+τ), kita punya 
. Dari hubungan ini maka βτ = 1, maka .
Jarak waktu τ , selama amplitudo berkurang sebanyak “e”, disebut waktu relaksasi.
Koefisien atenuasi β – besaran yang berbanding terbalik dengan waktu relaksasi.
2. Penurunan redaman logaritmik δ - besaran fisis yang secara numerik sama dengan logaritma natural dari rasio dua amplitudo berurutan yang dipisahkan dalam waktu dengan suatu periode.
Jika redamannya kecil, mis. nilai β kecil, maka amplitudonya sedikit berubah selama periode tersebut, dan penurunan logaritmik dapat didefinisikan sebagai berikut:
,
dimana A zat. (t) dan A zat. (t+NT) – amplitudo osilasi pada waktu e dan setelah N periode, yaitu pada waktu (t + NT).
3. Faktor kualitas Q sistem osilasi – besaran fisis tak berdimensi yang sama dengan hasil kali besaran (2π) ν dan rasio energi W(t) sistem pada waktu tertentu dengan hilangnya energi selama satu periode osilasi teredam:
.
Karena energi sebanding dengan kuadrat amplitudo, maka
Untuk nilai penurunan logaritmik yang kecil, faktor kualitas sistem osilasi sama dengan
,
di mana N e adalah jumlah osilasi yang amplitudonya berkurang sebanyak “e”.
Jadi faktor kualitas pendulum pegas adalah, semakin tinggi faktor kualitas sistem osilasi, semakin kecil redamannya, semakin lama proses periodik dalam sistem tersebut berlangsung. Faktor kualitas sistem osilasi - kuantitas tak berdimensi yang menjadi ciri disipasi energi seiring waktu.
4. Dengan bertambahnya koefisien, frekuensi osilasi teredam berkurang dan periode bertambah. Pada ω 0 = β, frekuensi osilasi teredam menjadi sama dengan nol ω zat. = 0, dan T zat. = ∞. Dalam hal ini, osilasi kehilangan sifat periodiknya dan disebut aperiodik.
Pada ω 0 = β, parameter sistem yang bertanggung jawab atas penurunan energi getaran mengambil nilai yang disebut kritis . Untuk pendulum pegas, kondisi ω 0 = β akan ditulis sebagai berikut: dari mana kita mencari besarannya koefisien resistensi kritis:
.
Beras. 21.3. Ketergantungan amplitudo osilasi aperiodik terhadap waktu
Getaran paksa.
Semua osilasi nyata teredam. Agar osilasi nyata terjadi cukup lama, perlu untuk mengisi kembali energi sistem osilasi secara berkala dengan bekerja padanya dengan gaya eksternal yang berubah secara berkala.
Mari kita perhatikan fenomena osilasi jika bersifat eksternal (memaksa) kekuatan berubah terhadap waktu menurut hukum harmonik. Dalam hal ini, osilasi akan muncul dalam sistem, yang sifatnya, pada tingkat tertentu, akan mengulangi sifat kekuatan pendorongnya. Getaran seperti ini disebut dipaksa .
Tanda-tanda umum getaran mekanis paksa.
1. Mari kita perhatikan osilasi mekanis paksa dari pendulum pegas, yang dipengaruhi oleh gaya eksternal (memaksa
)
kekuatan periodik 
. Gaya-gaya yang bekerja pada pendulum, setelah dipindahkan dari posisi setimbangnya, berkembang dalam sistem osilasi itu sendiri. Ini adalah gaya elastis dan gaya resistensi.
Hukum gerak (Hukum kedua Newton) akan ditulis sebagai berikut:
(21.6)
Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan m, perhatikan bahwa , dan dapatkan persamaan diferensial osilasi paksa:
Mari kita nyatakan ( β – koefisien atenuasi ), (ω 0 – frekuensi osilasi bebas tak teredam), gaya yang bekerja pada satuan massa. Dalam notasi ini persamaan diferensial osilasi paksa akan berbentuk:
(21.7)
Ini adalah persamaan diferensial orde dua dengan ruas kanan bukan nol. Penyelesaian persamaan tersebut adalah penjumlahan dari dua penyelesaian
.
– solusi umum persamaan diferensial homogen, mis. persamaan diferensial tanpa ruas kanan padahal sama dengan nol. Kita tahu solusi seperti itu - ini adalah persamaan osilasi teredam, ditulis akurat hingga konstanta, yang nilainya ditentukan oleh kondisi awal sistem osilasi:
Di mana 
.
Telah kita bahas sebelumnya bahwa solusinya dapat ditulis dalam fungsi sinus.
Jika kita perhatikan proses osilasi pendulum setelah selang waktu yang cukup lama Δt setelah gaya penggerak dihidupkan (Gambar 21.2), maka osilasi teredam dalam sistem praktis akan berhenti. Dan kemudian menyelesaikan persamaan diferensial dengan sisi kanan akan ada solusi.
Solusinya adalah solusi khusus dari persamaan diferensial tak homogen, yaitu. persamaan dengan ruas kanan. Dari teori persamaan diferensial diketahui bahwa dengan perubahan ruas kanan menurut hukum harmonik, penyelesaiannya adalah fungsi harmonik (sin atau cos) dengan frekuensi perubahan yang sesuai dengan frekuensi perubahan ruas kanan:
dimana A amp. – amplitudo osilasi paksa, φ 0 – pergeseran fasa , itu. perbedaan fasa antara fasa gaya penggerak dan fasa osilasi paksa. Dan amplitudo A amp. , dan pergeseran fasa φ 0 bergantung pada parameter sistem (β, ω 0) dan frekuensi gaya penggerak Ω.
Periode osilasi paksa sama (21.9)
Grafik getaran paksa pada Gambar 4.1.
Gambar 21.3. Grafik osilasi paksa
Osilasi paksa dalam kondisi tunak juga harmonis.
Ketergantungan amplitudo osilasi paksa dan pergeseran fasa pada frekuensi pengaruh eksternal. Resonansi.
1. Mari kita kembali ke sistem mekanis pendulum pegas, yang dipengaruhi oleh gaya eksternal yang bervariasi menurut hukum harmonik. Untuk sistem seperti itu, persamaan diferensial dan penyelesaiannya masing-masing berbentuk:
,
.
Mari kita menganalisis ketergantungan amplitudo osilasi dan pergeseran fasa pada frekuensi gaya penggerak eksternal, untuk melakukan ini, kita akan mencari turunan pertama dan kedua dari x dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan diferensial.
Ayo gunakan metode ini diagram vektor. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa jumlah ketiga getaran pada ruas kiri persamaan (Gambar 4.1) harus sama dengan getaran pada ruas kanan. Diagram vektor dibuat untuk waktu sembarang t. Dari situ Anda bisa menentukan.
Gambar 21.4.
, (21.10)
. (21.11)
Dengan mempertimbangkan nilai , ,, kita memperoleh rumus untuk φ 0 dan A ampl. sistem mekanis:
,
.
2. Kita mempelajari ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak dan besarnya gaya hambatan dalam sistem mekanik osilasi, dengan menggunakan data ini kita membuat grafik 
. Hasil penelitian tercermin pada Gambar 21.5 yang menunjukkan bahwa pada frekuensi gaya penggerak tertentu 
amplitudo osilasi meningkat tajam. Dan peningkatan ini semakin besar, semakin rendah koefisien atenuasi β. Ketika amplitudo osilasi menjadi sangat besar.
Fenomena peningkatan amplitudo yang tajam osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak sama dengan , disebut resonansi.
(21.12)
Kurva pada Gambar 21.5 mencerminkan hubungan tersebut 
dan dipanggil kurva resonansi amplitudo
.
Gambar 21.5 – Grafik ketergantungan amplitudo osilasi paksa pada frekuensi gaya penggerak.
Amplitudo osilasi resonansi akan berbentuk:
Getaran paksa adalah tidak teredam fluktuasi. Hilangnya energi yang tak terhindarkan akibat gesekan dikompensasi oleh pasokan energi dari sumber eksternal yang bekerja secara berkala. Ada sistem di mana osilasi tak teredam muncul bukan karena pengaruh eksternal berkala, namun karena kemampuan sistem tersebut untuk mengatur pasokan energi dari sumber konstan. Sistem seperti ini disebut berosilasi sendiri, dan proses osilasi yang tidak teredam dalam sistem tersebut adalah osilasi diri.
Dalam sistem osilasi mandiri, tiga elemen karakteristik dapat dibedakan - sistem osilasi, sumber energi, dan perangkat umpan balik antara sistem osilasi dan sumber. Sistem mekanis apa pun yang mampu melakukan osilasi teredamnya sendiri (misalnya pendulum jam dinding) dapat digunakan sebagai sistem osilasi.
Sumber energi dapat berupa energi deformasi pegas atau energi potensial suatu beban dalam medan gravitasi. Perangkat umpan balik adalah mekanisme dimana sistem berosilasi sendiri mengatur aliran energi dari suatu sumber. Pada Gambar. Gambar 21.6 menunjukkan diagram interaksi berbagai elemen sistem osilasi mandiri.
Contoh sistem osilasi mandiri mekanis adalah mekanisme jam dengan jangkar kemajuan (Gbr. 21.7.). Roda lari dengan gigi miring dipasang secara kaku pada drum bergigi, di mana rantai dengan beban dilemparkan. Pada ujung atas bandul terdapat sebuah jangkar (jangkar) dengan dua buah pelat dari bahan keras, ditekuk membentuk busur lingkaran dengan pusat pada sumbu bandul. Pada jam tangan, beban digantikan oleh pegas, dan pendulum digantikan oleh penyeimbang - roda tangan yang terhubung ke pegas spiral.
|
|
|
Gambar 21.7. Mekanisme jam dengan pendulum. |
Penyeimbang melakukan getaran puntir di sekitar porosnya. Sistem osilasi pada jam adalah pendulum atau penyeimbang. Sumber energinya adalah beban yang diangkat atau pegas yang luka. Alat yang digunakan untuk memberikan umpan balik adalah jangkar, yang memungkinkan roda berjalan memutar satu gigi dalam satu setengah siklus.
Umpan balik diberikan melalui interaksi jangkar dengan roda yang sedang berjalan. Dengan setiap osilasi pendulum, gigi roda yang sedang berjalan mendorong garpu jangkar ke arah pergerakan pendulum, mentransfer sejumlah energi tertentu ke sana, yang mengkompensasi kehilangan energi akibat gesekan. Dengan demikian, energi potensial dari beban (atau pegas yang dipelintir) secara bertahap, dalam bagian-bagian terpisah, dipindahkan ke pendulum.
Sistem osilasi mandiri mekanis tersebar luas dalam kehidupan di sekitar kita dan dalam teknologi. Osilasi sendiri terjadi pada mesin uap, mesin pembakaran dalam, bel listrik, dawai alat musik membungkuk, kolom udara pada pipa alat musik tiup, pita suara saat berbicara atau bernyanyi, dll.
Gerakan mekanis selalu disertai gesekan. Gesekan menyebabkan hilangnya energi mekanik. Disipasi energi terjadi pada sistem osilasi yang tidak ideal; hal ini menyebabkan redaman osilasi alami.
Definisi
Osilasi teredam disebut osilasi, yang amplitudonya berangsur-angsur berkurang seiring waktu karena hilangnya energi oleh sistem osilasi.
Persamaan osilasi bandul pegas dengan redaman
Kadang-kadang, jika suatu benda bergerak dalam suatu zat, gaya tarik ($(\overline(F))_(tr)$), yang bekerja pada benda tersebut, pada kecepatan pergerakan rendah, dianggap berbanding lurus dengan kecepatan ($\overline(v)$ ):
\[(\overline(F))_(tr)=-\beta \overline(v)\left(1\right),\]
dimana $\beta$ adalah koefisien resistensi.
Gaya ini diperhitungkan dalam persamaan hukum kedua Newton ketika menggambarkan gerak. Jadi, persamaan yang menggambarkan osilasi vertikal linier (osilasi sepanjang sumbu X) bandul pegas, dengan memperhitungkan gaya gesekan, berbentuk:
dimana $\dot(x)=v_x.$ Dengan mempertimbangkan persamaan:
\[(\omega )^2_0=\frac(k)(m);;2\gamma =\frac(\beta )(m)\kiri(3\kanan),\]
(di mana $(\omega )_0$ adalah frekuensi siklik osilasi bebas tak teredam (frekuensi alami osilasi pada $\gamma $=0) dari sistem osilasi yang sama; $\gamma $ adalah koefisien redaman) kita ubah persamaannya menjadi osilasi bandul pegas dengan redaman (2) berbentuk:
\[\ddot(x)+2\gamma \dot(x)+(\omega )^2_0x=0\ \kiri(4\kanan).\]
Osilasi alami kecil, teredam karena hambatan medium dalam sistem fisik apa pun (pendulum matematika, pendulum fisik, osilasi listrik...) dijelaskan menggunakan persamaan bentuk (4).
Persamaan osilasi teredam mempunyai solusi eksak:
dimana $\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\gamma )^2)$; $A_0$ adalah amplitudo awal osilasi yang ditentukan oleh kondisi awal; $\varphi $ - konstan dari kondisi awal. Pada $\gamma \ll (\omega )_0$, $\omega \approx (\omega )_0$, parameter $A_0e^(-\gamma t)$ dapat dianggap sebagai amplitudo osilasi yang perlahan berubah seiring waktu.
Redaman osilasi secara eksponensial disebabkan oleh fakta bahwa kita menganggap gaya hambatan sebanding dengan kecepatan. Jika kita menggunakan ketergantungan gaya gesekan yang berbeda pada kecepatan, hukum redaman akan berubah.
Disipasi energi selama osilasi teredam
Biarlah redamannya kecil, tetapi energi yang hilang dari sistem osilasi dalam satu periode jauh lebih kecil daripada energi osilasi.
Disipasi energi selama periode osilasi tidak terjadi secara seragam akibat osilasi energi kinetik($E_k$). Persamaan penurunan energi pada osilasi teredam akan berbentuk:
\[\frac(dE)(dt)=-\frac(2\beta )(m)\left\langle E_k\right\rangle \left(6\right),\]
dimana $\frac(dE)(dt)$ adalah laju perubahan energi getaran; $\kiri\langle E_k\kanan\rangle $ - nilai rata-rata energi kinetik selama periode osilasi. Persamaan (6) tidak berlaku untuk periode waktu yang lebih kecil dari periode osilasi.
Karena kita menganggap redamannya kecil, $\left\langle E_k\right\rangle $ dapat dianggap sama (seperti dalam osilasi bebas) dengan setengah energi total osilator:
\[\kiri\langle E_k\kanan\rangle =\frac(E)(2)\kiri(7\kanan).\]
Dalam hal ini persamaan (6) dapat ditulis sebagai:
\[\frac(dE)(dt)=-2\gamma E\ \kiri(8\kanan).\]
Ekspresi (8) mencerminkan perilaku energi osilasi yang “dihaluskan” (jika detail perubahan energi selama satu periode osilasi tidak menarik). Hal ini menunjukkan bahwa laju perubahan energi sebanding dengan energi itu sendiri. Solusi persamaan (8) adalah fungsi:
di mana $E_0$ adalah nilai energi sistem osilasi pada momen awal.
Karena energi osilasi sebanding dengan kuadrat amplitudo ($E\sim A^2$), kita tuliskan perubahan amplitudo osilasi selama periode waktu yang lama (dibandingkan dengan periode osilasi) sebagai fungsi:
$A_0$ adalah amplitudo awal osilasi.
Osilasi seumur hidup. Periode osilasi teredam. Penurunan redaman
Dari rumus (10) jelas bahwa amplitudo osilasi teredam berkurang secara eksponensial. Selama $\tau =\frac(1)(\gamma )$ amplitudo berkurang $e$ kali dan ini tidak bergantung pada $A_0$. Waktu $\tau $ dalam hal ini disebut masa osilasi (atau waktu relaksasi) (terlepas dari kenyataan bahwa, sesuai dengan ekspresi (9), osilasi harus berlangsung tanpa batas). Tesis tentang kecilnya redaman berarti bahwa umur osilasi tidak terbatas, tetapi lebih lama dari periodenya ($\tau \gg T$). Selama hidup, banyak terjadi gerakan osilasi.
Sebenarnya, osilasi teredam bukanlah gerakan periodik. Periode masuk pada kasus ini Interval waktu antara dua deviasi maksimum berturut-turut dari posisi kesetimbangan dipertimbangkan.
Periode osilasi teredam dianggap sama dengan:
Misalkan $A\left(t\right)\ dan\ A(t+T)$ adalah amplitudo dari dua osilasi berturut-turut, yang waktunya berbeda dalam satu periode. Rasio amplitudo berikut (10) adalah:
\[\frac(A\kiri(t\kanan))(A(t+T))=e^(\gamma T)(12)\]
disebut penurunan redaman. Logaritma natural penurunan redaman ($\theta$):
\[\theta =(\ln \left(\frac(A\left(t\right))(A\left(t+T\right))\right)\ )=\gamma T=\frac(T) (\tau )=\frac(1)(N_e)(13)\]
disebut penurunan redaman logaritmik. Untuk sistem osilasi $\theta $ adalah nilai konstan.
Contoh permasalahan yang ada solusinya
Contoh 1
Latihan. Berapakah koefisien redaman pendulum ($\gamma $), jika untuk $\Delta t$ amplitudo osilasinya berkurang $n$ kali?
Larutan. Sebagai dasar penyelesaian masalah, kita ambil persamaan osilasi teredam dalam bentuk:
Menurut kondisi masalah yang kita hadapi:
\[\frac(A_1)(A_2)=n.\]
Di sisi lain:
dimana $t_2-t_1=\Delta t$. Mari kita cari logaritma natural dari ruas kanan dan kiri ekspresi (1.2), kita peroleh:
\[(\ln \kiri(\frac(A_1)(A_2)\kanan)\ )=\gamma \Delta t\kiri(1,3\kanan).\]
Mari kita nyatakan $\gamma $ dari (1.3) dan memperhitungkan bahwa $\frac(A_1)(A_2)=n$:
\[\gamma =\frac((\ln \kiri(\frac(A_1)(A_2)\kanan)\ ))(\Delta t)=\gamma =\frac((\ln n\ ))(\Delta T).\]
Menjawab.$\gamma =\frac((\ln\ ))(\Delta t)$
Contoh 2
Latihan. Berapakah lintasan fase osilasi teredam?
Larutan. Lintasan fase adalah lintasan gerak pada bidang $\left(x;;v\right).$ Deviasi $x$ diplot sepanjang sumbu absis, dan kecepatan $v$ diplot sepanjang sumbu ordinat. Setiap pergerakan pada waktu $t$ berhubungan dengan titik yang mewakili; pada bidang tertentu, koordinatnya $\left(x,v\right),$ ditentukan secara unik oleh nilai deviasi dan kecepatan sesaat. Titik tersebut bergerak seiring waktu dan menggambarkan suatu lintasan (Gbr. 1). Dalam hal ini waktu berperan sebagai parameter, persamaan lintasan fasa dipengaruhi oleh fungsi:
Lintasan fasa osilasi teredam, jika
\[(\overline(F))_(tr)=-\beta \overline(v)\left(2.2\right),\]
adalah spiral terbuka yang berputar di sekitar titik asal koordinat (Gbr. 1). Jika redaman osilasinya kecil, yaitu selama masa pakainya sistem osilasi melakukan banyak osilasi, maka jumlah lilitan spiral pada bidang fasa akan sama.
Osilasi teredam
Osilasi pendulum pegas teredam
Osilasi teredam- getaran yang energinya berkurang seiring waktu. Proses spesies yang berlangsung tanpa akhir tidak mungkin terjadi di alam. Osilasi bebas dari osilator apa pun cepat atau lambat memudar dan berhenti. Oleh karena itu, dalam praktiknya kita biasanya menghadapi osilasi teredam. Mereka dicirikan oleh fakta bahwa amplitudo osilasi A adalah fungsi menurun. Biasanya, redaman terjadi di bawah pengaruh gaya resistansi medium, paling sering dinyatakan sebagai ketergantungan linier pada kecepatan osilasi atau kuadratnya.
Dalam akustik: redaman - penurunan level sinyal hingga tidak terdengar sama sekali.
Osilasi pendulum pegas teredam
Misalkan ada suatu sistem yang terdiri dari pegas (sesuai dengan hukum Hooke), yang salah satu ujungnya dipasang secara kaku, dan di ujung lainnya terdapat benda bermassa. M. Osilasi terjadi pada medium yang gaya hambatannya sebanding dengan kecepatan dengan koefisien C(lihat gesekan kental).
Akar-akarnya dihitung menggunakan rumus berikut
Solusi
Bergantung pada nilai koefisien atenuasi, solusinya dibagi menjadi tiga opsi yang memungkinkan.
- Aperiodisitas
Jika , maka terdapat dua akar real, dan penyelesaian persamaan diferensial berbentuk:
Dalam hal ini, osilasinya berkurang secara eksponensial sejak awal.
- Batas aperiodisitas
Jika , dua akar real berimpit, maka penyelesaian persamaannya adalah:
Dalam kasus ini, mungkin ada peningkatan sementara, namun kemudian terjadi penurunan eksponensial.
- Atenuasi yang lemah
Jika , maka penyelesaian persamaan karakteristiknya adalah dua akar konjugasi kompleks
Maka solusi persamaan diferensial aslinya adalah
Dimana frekuensi alami getaran teredam.
Konstanta dan dalam setiap kasus ditentukan dari kondisi awal:
Lihat juga
- Penurunan redaman
literatur
Lit.: Savelyev I.V., Mata kuliah Fisika Umum: Mekanika, 2001.
Yayasan Wikimedia. 2010.
Lihat apa yang dimaksud dengan "osilasi teredam" di kamus lain:
Osilasi teredam- Osilasi teredam. GETARAN TEREDAM, osilasi yang amplitudonya A berkurang seiring waktu karena kehilangan energi: konversi energi osilasi menjadi panas akibat gesekan dalam sistem mekanis(misalnya, pada titik suspensi... ... Kamus Ensiklopedis Bergambar
Osilasi alami, amplitudo A yang berkurang terhadap waktu t menurut hukum eksponensial A(t) = Аоexp (?t) (? indikator redaman akibat disipasi energi akibat gaya gesekan viskos untuk osilasi teredam mekanis dan ohmik. .. ... Kamus Ensiklopedis Besar
Osilasi yang amplitudonya menurun secara bertahap, mis. osilasi bandul yang mengalami hambatan udara dan gesekan pada suspensi. Semua getaran bebas yang terjadi di alam, pada tingkat yang lebih besar atau lebih kecil, adalah Z.K. Listrik Z.K.... ...Kamus Kelautan
osilasi teredam- Osilasi mekanis dengan penurunan nilai rentang koordinat umum atau turunannya terhadap waktu. [Kumpulan istilah yang direkomendasikan. Edisi 106. Getaran mekanis. Akademi Ilmu Pengetahuan Uni Soviet. Komite Ilmiah dan Teknis... ... Panduan Penerjemah Teknis
Osilasi teredam- (VIBRASI) osilasi (getaran) dengan menurunnya nilai ayunan... Ensiklopedia Rusia tentang perlindungan tenaga kerja
Osilasi alami suatu sistem, amplitudo A yang berkurang terhadap waktu t menurut hukum eksponensial A(t) = A0exp(?α t) (α adalah indeks redaman) karena disipasi energi akibat gaya gesekan viskos untuk redaman mekanis osilasi dan ohmik... ... kamus ensiklopedis
Osilasi teredam- 31. Osilasi teredam Osilasi dengan nilai ayunan yang menurun Sumber... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis
Osilasi alami sistem, amplitudo A hingga ryx berkurang seiring waktu t menurut hukum eksponensial A(t) = = Aoeхр(at) (indeks redaman) akibat disipasi energi akibat gaya gesekan viskos untuk mekanis. 3. to.dan hambatan ohmik untuk listrik... Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis
osilasi teredam- silpstantieji virpesiai statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. osilasi teredam vok. gedämpfte Schwingung, f rus. osilasi teredam, n pranc. osilasi amortisasi, f; osilasi décroissantes, f … Automatikos terminų žodynas
osilasi teredam- slopinamieji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. osilasi teredam; getaran teredam; osilasi sekarat vok. abklingende Schwingungen, f; gedämpfte Schwingungen, dari rus. osilasi teredam, n pranc. osilasi amortisasi, f… Fizikos terminų žodynas
Penurunan energi sistem osilasi menyebabkan penurunan amplitudo osilasi secara bertahap, karena
Dalam hal ini mereka mengatakan demikian getarannya padam .
Situasi serupa terjadi pada rangkaian osilasi. Kumparan nyata yang merupakan bagian dari suatu rangkaian selalu mempunyai hambatan aktif. Ketika arus mengalir melalui resistansi aktif kumparan, panas Joule akan dilepaskan. Energi rangkaian akan berkurang, yang akan menyebabkan penurunan amplitudo osilasi muatan, tegangan dan arus.
Tugas kita– cari tahu berdasarkan hukum apa amplitudo osilasi berkurang, berdasarkan hukum apa besaran osilasi itu sendiri berubah, dengan frekuensi berapa osilasi teredam terjadi, berapa lama osilasi “padam”.
§1 Redaman osilasi dalam sistem dengan gesekan kental
Mari kita perhatikan sistem osilasi di mana gaya gesekan viskos bekerja. Contoh sistem osilasi tersebut adalah pendulum matematika yang berosilasi di udara.
Dalam hal ini, ketika sistem dipindahkan dari posisi setimbang sebesar
pendulum akan dikenai dua gaya yaitu gaya kuasi elastis dan gaya hambatan (gaya gesek viskos).
Hukum kedua Newton akan ditulis sebagai berikut:
(1)
Kita tahu bahwa pada kecepatan rendah gaya gesekan viskos sebanding dengan kecepatan gerak:
Mari kita perhatikan bahwa proyeksi kecepatan adalah turunan pertama dari koordinat benda, dan proyeksi percepatan adalah turunan kedua dari koordinat tersebut:
Maka persamaan (2) akan berbentuk:
kita memperoleh persamaan gerak masuk bentuk berikut:
(3)
dimana d adalah koefisien redaman, bergantung pada koefisien gesekan r,
w 0 - frekuensi siklik osilasi ideal (tanpa adanya gesekan).
Sebelum menyelesaikan persamaan (3), perhatikan rangkaian osilasi. Resistansi aktif kumparan dihubungkan seri dengan kapasitansi C dan induktansi L.
Mari kita tuliskan hukum kedua Kirchhoff
Mari kita pertimbangkan itu, 
, .
Maka hukum kedua Kirchhoff akan berbentuk:
Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan:
Mari kita perkenalkan notasinya
Akhirnya kita dapatkan
Perhatikan identitas matematis persamaan diferensial (3) dan (3’). Tidak ada yang mengejutkan. Kita telah menunjukkan identitas matematis absolut dari proses osilasi pendulum dan osilasi elektromagnetik pada rangkaian. Jelasnya, proses redaman getaran pada suatu rangkaian dan sistem dengan gesekan viskos juga terjadi dengan cara yang sama.
Dengan menyelesaikan persamaan (3), kita akan mendapatkan jawaban atas semua pertanyaan di atas.
Kami tahu solusi persamaan ini
Kemudian untuk persamaan yang diinginkan (3) kita memperoleh hasil akhir
Sangat mudah untuk melihat bahwa muatan kapasitor dalam rangkaian osilasi nyata akan berubah sesuai dengan hukum
Analisis hasil yang diperoleh:
1 Sebagai hasil dari aksi gabungan gaya kuasi-elastis dan gaya hambatan, sistem Mungkin melakukan gerakan berosilasi. Untuk itu syarat w 0 2 - d 2 > 0 harus dipenuhi, dengan kata lain gesekan pada sistem harus kecil.
2 Frekuensi osilasi teredam w tidak sesuai dengan frekuensi osilasi sistem tanpa adanya gesekan w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . Seiring waktu, frekuensi osilasi teredam tetap tidak berubah.
Jika koefisien redaman d kecil, maka frekuensi osilasi teredam mendekati frekuensi natural w 0 .
Penurunan amplitudo ini terjadi menurut hukum eksponensial.
4 Jika w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида
(4)
Di mana 
.
Dengan substitusi langsung, mudah untuk memverifikasi bahwa fungsi (4) memang merupakan solusi persamaan (3). Jelasnya, jumlah dua fungsi eksponensial bukanlah fungsi periodik. Dari segi fisika berarti tidak akan terjadi osilasi pada sistem. Setelah sistem dipindahkan dari posisi setimbang, perlahan-lahan sistem akan kembali ke posisi semula. Proses ini disebut aperiodik
.
§2 Seberapa cepat osilasi meluruh dalam sistem dengan gesekan kental?
Penurunan redaman
nilai kuantitas. Dapat dilihat bahwa nilai d mencirikan laju peluruhan osilasi. Oleh karena itu, d disebut koefisien redaman.
Untuk getaran listrik dalam rangkaian, koefisien atenuasi bergantung pada parameter kumparan: semakin besar resistansi aktif kumparan, semakin cepat amplitudo muatan pada kapasitor, tegangan, dan arus berkurang.
Fungsi tersebut merupakan hasil kali fungsi eksponensial menurun dan fungsi harmonik, jadi fungsinya tidak harmonis.
Tetapi ia memiliki tingkat “pengulangan” tertentu, yang terdiri dari fakta bahwa maksimum, minimum, dan nol dari fungsi tersebut terjadi pada interval waktu yang sama. Grafik fungsinya adalah sinusoidal yang dibatasi oleh dua eksponensial.
 |
Mari kita cari perbandingan dua amplitudo berurutan yang dipisahkan oleh selang waktu satu periode. Hubungan ini disebut penurunan redaman
Perhatikan bahwa hasilnya tidak bergantung pada dua periode berturut-turut yang Anda pertimbangkan - di awal gerak osilasi atau setelah beberapa waktu berlalu. Untuk setiap periode, amplitudo osilasi berubah tidak dengan jumlah yang sama, tapi beberapa kali yang sama !!
Tidak sulit untuk melihatnya untuk periode waktu yang berbeda, amplitudo osilasi teredam berkurang dengan jumlah yang sama.
Waktu relaksasi
Waktu relaksasi disebut waktu selama amplitudo osilasi teredam berkurang e kali:
Kemudian 
.
Dari sini mudah untuk menginstalnya arti fisik koefisien atenuasi:
Jadi, koefisien redaman berbanding terbalik dengan waktu relaksasi. Misalkan, dalam rangkaian osilasi, koefisien redaman sama dengan . Artinya setelah waktu c amplitudo osilasi akan berkurang sebesar e sekali.
Penurunan redaman logaritmik
Seringkali, laju redaman osilasi ditandai dengan penurunan redaman logaritmik. Untuk melakukannya, ambil logaritma natural dari rasio amplitudo yang dipisahkan oleh periode waktu dalam suatu periode.
 |
Mari kita cari tahu arti fisis dari penurunan redaman logaritmik.
Misalkan N adalah banyaknya osilasi yang dilakukan oleh sistem selama waktu relaksasi, yaitu jumlah osilasi yang selama itu amplitudo osilasi berkurang sebesar e sekali. Jelas sekali, .
Dapat dilihat bahwa penurunan redaman logaritmik adalah besarannya kebalikan dari suatu bilangan osilasi, setelah itu amplitudo berkurang e sekali.
Katakanlah ini berarti setelah 100 osilasi, amplitudonya akan berkurang sebesar e sekali.
Faktor kualitas sistem osilasi
Selain penurunan redaman logaritmik dan waktu relaksasi, kecepatan redaman osilasi dapat dicirikan dengan nilai seperti faktor kualitas sistem osilasi . Di bawah faktor kualitas
Hal ini dapat ditunjukkan bahwa untuk osilasi teredam lemah
Energi sistem osilasi pada waktu yang berubah-ubah adalah . Hilangnya energi selama suatu periode dapat ditentukan sebagai selisih antara energi pada suatu waktu dan energi setelah suatu waktu yang sama dengan periode:
Kemudian
Fungsi eksponensial dapat diperluas menjadi deret 
pada<< 1. после подстановки получаем .
Kami memberlakukan pembatasan penarikan<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.
Rumus yang kami peroleh untuk faktor kualitas sistem belum menjelaskan apa pun. Katakanlah perhitungan memberikan nilai faktor kualitas Q = 10. Apa maksudnya? Seberapa cepat getaran mereda? Apakah ini baik atau buruk?
 |
Biasanya diyakini secara konvensional bahwa osilasi praktis berhenti jika energinya berkurang 100 kali lipat (amplitudo sebesar 10). Mari kita cari tahu berapa banyak osilasi yang dilakukan sistem hingga saat ini:
Kita dapat menjawab pertanyaan yang diajukan sebelumnya: N = 8.
Sistem osilasi mana yang lebih baik - dengan faktor kualitas tinggi atau rendah? Jawaban atas pertanyaan ini tergantung pada apa yang ingin Anda dapatkan dari sistem osilasi.
Jika ingin sistem melakukan osilasi sebanyak mungkin sebelum berhenti, maka faktor kualitas sistem harus ditingkatkan. Bagaimana? Karena faktor kualitas ditentukan oleh parameter sistem osilasi itu sendiri, maka parameter ini perlu dipilih dengan benar.
Misalnya, pendulum Foucault yang dipasang di Katedral St. Isaac seharusnya menghasilkan osilasi teredam lemah. Kemudian
Cara termudah untuk meningkatkan faktor kualitas pendulum adalah dengan membuatnya lebih berat.
Dalam prakteknya sering timbul permasalahan yang berbanding terbalik: perlunya meredam getaran yang timbul secepat mungkin (misalnya getaran jarum alat ukur, getaran badan mobil, getaran kapal, dan lain-lain). yang memungkinkan peningkatan redaman dalam sistem disebut peredam (atau peredam kejut). Misalnya, peredam kejut mobil, jika dikira-kira, adalah sebuah silinder berisi oli (cairan kental), di mana piston dengan sejumlah lubang kecil dapat bergerak. Batang piston dihubungkan ke bodi, dan silinder dihubungkan ke poros roda. Getaran yang dihasilkan pada bodi dengan cepat padam, karena piston yang bergerak menghadapi hambatan besar dalam perjalanannya dari cairan kental yang mengisi silinder.
§ 3 Peredam getaran pada sistem dengan gesekan kering
Redaman osilasi terjadi dengan cara yang berbeda secara mendasar jika gaya gesekan geser bekerja pada sistem. Hal inilah yang menyebabkan pendulum pegas, yang berosilasi di sepanjang permukaan apa pun, berhenti.
 |
Misalkan pendulum pegas yang terletak pada permukaan horizontal digerakkan osilasi dengan menekan pegas dan melepaskan beban, yaitu dari posisi ekstrimnya. Selama pergerakan suatu beban dari satu posisi ekstrim ke posisi ekstrim lainnya, beban tersebut dipengaruhi oleh gaya gravitasi dan gaya reaksi tumpuan (vertikal), gaya elastis dan gaya gesek geser (sepanjang permukaan).
Perhatikan bahwa selama pergerakan dari kiri ke kanan, gaya gesekan adalah konstan dalam arah dan besarnya.
Hal ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa selama paruh pertama periode pendulum pegas berada dalam medan gaya konstan.
Perpindahan posisi setimbang dapat dihitung dengan syarat resultan sama dengan nol pada posisi setimbang:
 |
Penting bahwa selama paruh pertama periode osilasi pendulum harmonis !
Ketika bergerak ke arah yang berlawanan - dari kanan ke kiri - gaya gesekan akan berubah arah, tetapi selama seluruh transisi, besar dan arahnya akan tetap konstan. Situasi ini sekali lagi berhubungan dengan osilasi pendulum dalam medan gaya konstan. Hanya sekarang bidang ini berbeda! Itu mengubah arah. Akibatnya, posisi keseimbangan saat bergerak dari kanan ke kiri pun berubah. Sekarang telah bergeser ke kanan sebesar D aku 0 .
Mari kita gambarkan ketergantungan koordinat benda terhadap waktu. Karena untuk setiap setengah periode pergerakannya merupakan osilasi harmonik, grafik akan mewakili separuh sinusoid, yang masing-masing diplot relatif terhadap posisi kesetimbangannya. Kami akan melakukan operasi “menjahit solusi bersama”.
Mari kita tunjukkan bagaimana hal ini dilakukan dengan contoh spesifik.
Misalkan massa beban yang diikatkan pada pegas adalah 200 g, kekakuan pegas adalah 20 N/m, dan koefisien gesekan antara beban dan permukaan meja adalah 0,1. Pendulum diatur ke dalam gerakan osilasi, meregangkan pegas
 |
6,5 cm.
Berbeda dengan sistem osilasi dengan gesekan viskos, dalam sistem dengan gesekan kering, amplitudo osilasi berkurang seiring waktu sesuai dengan hukum linier - untuk setiap periode berkurang dua lebar zona stagnasi.
Ciri khas lainnya adalah osilasi pada sistem dengan gesekan kering, bahkan secara teoritis, tidak dapat terjadi tanpa batas waktu. Mereka berhenti segera setelah tubuh berhenti di “zona stagnasi”.
§4 Contoh pemecahan masalah
Soal 1 Sifat perubahan amplitudo osilasi teredam pada sistem dengan gesekan viskos
Amplitudo osilasi bandul teredam selama waktu t 1 = 5 menit berkurang 2 kali lipat. Pada jam berapa t 2 amplitudo osilasi akan berkurang 8 kali lipat? Setelah jam berapa t 3 kita dapat menganggap bandul berhenti berosilasi?
Larutan:
Amplitudo osilasi dalam sistem dengan gesekan viskos terhadap waktu
tidak ada yang berkurang secara eksponensial, dimana adalah amplitudo osilasi pada momen awal, dan merupakan koefisien redaman.
1 Kami menulis hukum perubahan amplitudo dua kali
2 Kami memecahkan persamaan bersama-sama. Kami mencatat logaritma setiap persamaan dan mendapatkan
Bagilah persamaan kedua bukan persamaan pertama dan cari waktu t 2
4
Setelah transformasi kita dapatkan
Bagilah persamaan terakhir dengan persamaan (*)
Soal 2 Periode osilasi teredam pada sistem dengan gesekan viskos
Tentukan periode osilasi teredam sistem T, jika periode osilasi alami adalah T 0 = 1 s, dan penurunan redaman logaritmik adalah . Berapa banyak osilasi yang akan dilakukan sistem ini sebelum berhenti total?
Larutan:
1 Periode osilasi teredam pada sistem yang mengalami gesekan viskos lebih besar daripada periode osilasi alami (tanpa adanya gesekan pada sistem). Sebaliknya, frekuensi osilasi teredam lebih kecil dari frekuensi alami dan sama dengan 
, di mana adalah koefisien atenuasi.
2 Mari kita nyatakan frekuensi siklik dalam suatu periode. dan perhatikan bahwa penurunan redaman logaritmik sama dengan:
3 Setelah transformasi kita dapatkan 
.
Energi sistem sama dengan energi potensial maksimum bandul
Setelah transformasi kita dapatkan
5 Kami menyatakan koefisien atenuasi melalui penurunan logaritmik, kami memperolehnya
Banyaknya osilasi yang dilakukan sistem sebelum berhenti adalah sama dengan 
Soal 3 Banyaknya osilasi yang dilakukan bandul hingga amplitudonya menjadi setengahnya
Penurunan redaman logaritmik bandul adalah q = 3×10 -3. Tentukan banyaknya osilasi penuh yang harus dilakukan bandul agar amplitudo osilasinya berkurang setengahnya.
Larutan:
3 Sangat mudah untuk melihat bahwa ini adalah penurunan redaman logaritmik. Kita mendapatkan
Menemukan jumlah osilasi 
Tugas 4 Faktor kualitas sistem osilasi
Tentukan faktor kualitas bandul jika selama 10 kali osilasi dilakukan, amplitudonya berkurang 2 kali lipat. Berapa lama waktu yang diperlukan hingga pendulum berhenti?
Larutan:
1 Amplitudo osilasi pada sistem dengan gesekan viskos berkurang secara eksponensial terhadap waktu, dimana adalah amplitudo osilasi pada saat awal, dan merupakan koefisien redaman.
Karena amplitudo osilasi berkurang 2 kali lipat, kita peroleh
2 Waktu osilasi dapat direpresentasikan sebagai produk periode osilasi dan jumlahnya:
Gantikan nilai waktu yang dihasilkan ke dalam ekspresi (*)
3 Sangat mudah untuk melihat bahwa ini adalah penurunan redaman logaritmik. Kami mendapatkan pengurangan atenuasi logaritmik sama dengan
4 Faktor kualitas sistem osilasi
Energi sistem sama dengan energi potensial maksimum bandul
Setelah transformasi kita dapatkan
Temukan waktu setelah osilasi akan berhenti 
.
Soal 5 Osilasi magnet
Vasya Lisichkin, seorang peneliti terkenal di seluruh sekolah, memutuskan untuk membuat patung magnetis karakter sastra favoritnya Kolobok bergetar di sepanjang dinding lemari es. Dia mengikatkan bangun tersebut pada sebuah pegas dengan kekakuan k = 10 N/m, merenggangkannya sejauh 10 cm dan melepaskannya. Berapa banyak getaran yang dilakukan Kolobok jika massa patung m = 10 g, koefisien gesekan antara patung dengan dinding = 0,4, dan dapat terlepas dari dinding dengan gaya F = 0,5 N.
Larutan:
1 Ketika berpindah dari posisi terendah ke posisi tertinggi, ketika kecepatan beban diarahkan ke atas, gaya gesekan geser diarahkan ke bawah dan secara numerik sama 
. Dengan demikian, pendulum pegas berada dalam medan gaya konstan yang diciptakan oleh gaya gravitasi dan gesekan. Dalam medan gaya konstan, posisi kesetimbangan pendulum bergeser:
dimana adalah bentangan pegas pada “posisi keseimbangan” yang baru.
2 Ketika berpindah dari posisi tertinggi ke posisi terendah, ketika kecepatan beban diarahkan ke bawah, gaya gesekan geser diarahkan ke atas dan secara numerik sama 
. Dengan demikian, pendulum pegas kembali berada dalam medan gaya konstan yang diciptakan oleh gaya gravitasi dan gesekan. Dalam medan gaya konstan, posisi kesetimbangan pendulum bergeser:
dimana terjadi deformasi pegas pada “posisi kesetimbangan” yang baru, tanda “-” menunjukkan bahwa pada posisi tersebut pegas mengalami kompresi.
3 Zona stagnasi dibatasi oleh deformasi pegas dari - 1 cm sampai 3 cm dan berjumlah 4 cm Bagian tengah zona stagnasi yang deformasi pegasnya 1 cm sesuai dengan posisi beban yang tidak ada gaya gesek. Di zona stagnasi, gaya elastis pegas lebih kecil dari gaya resultan dalam modulus gaya gesek statis maksimum dan gravitasi. Jika pendulum berhenti di zona stagnasi, osilasi akan berhenti.
4 Untuk setiap periode, deformasi pegas berkurang dua lebar zona stagnasi, yaitu. sebesar 8 cm, setelah satu kali osilasi, deformasi pegas menjadi 10 cm - 8 cm = 2 cm, artinya setelah satu kali osilasi, patung Kolobok memasuki daerah stagnasi dan osilasinya berhenti.
§5 Tugas untuk solusi mandiri
Uji "Osilasi Teredam"
1 Yang kami maksud dengan meredam osilasi adalah...
A) penurunan frekuensi osilasi; B) penurunan periode osilasi;
B) penurunan amplitudo osilasi; D) penurunan fase osilasi.
2 Penyebab redaman getaran bebas adalah
A) pengaruh faktor acak pada sistem yang menghambat fluktuasi;
B) aksi kekuatan eksternal yang berubah secara berkala;
C) adanya gaya gesekan dalam sistem;
D) penurunan gaya kuasi-elastis secara bertahap yang cenderung mengembalikan pendulum ke posisi setimbang.
?A) 5 cm; B) 4cm; B) 3cm;
D) Tidak mungkin memberikan jawaban, karena waktunya tidak diketahui.
6 Dua pendulum identik, berada pada media kental yang berbeda, berosilasi. Amplitudo osilasi ini berubah seiring waktu seperti yang ditunjukkan pada gambar. Pada medium manakah gesekan paling banyak terjadi?
7 Dua pendulum, berada pada lingkungan yang sama, berosilasi. Amplitudo osilasi ini berubah seiring waktu seperti yang ditunjukkan pada gambar. Bandul manakah yang mempunyai massa paling besar?
C) Tidak mungkin memberikan jawaban, karena sumbu koordinat tidak berskala dan perhitungan tidak dapat dilakukan.
8 Gambar manakah yang dengan tepat menunjukkan ketergantungan waktu dari koordinat osilasi teredam dalam sistem dengan gesekan viskos?
A) 1; B) 2; DI 3; D) Semua grafik benar.
9 Tetapkan korespondensi antara besaran fisis yang mencirikan redaman osilasi dalam sistem dengan gesekan viskos, dan definisi serta makna fisisnya. Isi meja
A) Ini adalah rasio amplitudo osilasi setelah waktu yang sama dengan periode;
B) Ini adalah logaritma natural dari rasio amplitudo osilasi setelah waktu yang sama dengan periode;
B) Ini adalah waktu di mana amplitudo osilasi berkurang e sekali;
G) 
D) 
E) 
G) Nilai ini adalah kebalikan dari jumlah osilasi selama amplitudo osilasi berkurang e sekali;
H) Nilai ini menunjukkan berapa kali amplitudo osilasi berkurang dalam waktu yang sama dengan periode osilasi.
10 Buatlah pernyataan yang benar.
Kualitas yang baik berarti...
A) rasio energi total sistem E terhadap energi W yang dihamburkan selama periode tersebut meningkat sebesar 2p kali;
B) perbandingan amplitudo setelah jangka waktu tertentu sama dengan periode;
C) banyaknya osilasi yang dilakukan sistem pada saat amplitudo berkurang e kali.
Faktor kualitas dihitung dengan menggunakan rumus...
A) B)C)
Faktor kualitas sistem osilasi bergantung pada...
A) energi sistem;
B) kehilangan energi untuk periode tersebut;
C) parameter sistem osilasi dan gesekan di dalamnya.
Semakin tinggi faktor kualitas sistem osilasi, maka...
A) getaran meluruh lebih lambat;
B) getaran mereda lebih cepat.
11 Sebuah pendulum matematika diatur ke dalam gerak osilasi, membelokkan suspensi dari posisi setimbang pada kasus pertama sebesar 15°, pada kasus kedua sebesar 10°. Dalam keadaan manakah pendulum akan bergetar lebih banyak sebelum berhenti?
A) Saat gimbal dimiringkan 15°;
B) Saat gimbal dimiringkan 10°;
C) Dalam kedua kasus tersebut bandul akan melakukan jumlah osilasi yang sama.
12 Bola dengan radius yang sama - aluminium dan tembaga - diikatkan pada dua benang dengan panjang yang sama. Pendulum diatur ke dalam gerakan osilasi dengan membelokkannya pada sudut yang sama. Bandul manakah yang paling banyak bergetar sebelum berhenti?
A) Aluminium; B) Tembaga;
C) Kedua pendulum akan melakukan getaran yang sama besarnya.
13 Sebuah bandul pegas yang terletak pada permukaan mendatar diayunkan sehingga pegas diregangkan sebesar 9 cm.Setelah melakukan tiga kali osilasi penuh, bandul tersebut berada pada jarak 6 cm dari posisi pegas yang tidak berubah bentuk. Pada jarak berapa bandul akan berada dari posisi pegas yang tidak berubah bentuk setelah tiga kali osilasi berikutnya?
A) 5 cm; B) 4cm; B) 3cm.
§6 Osilasi teredam
Penurunan redaman. Penurunan redaman logaritmik.
Getaran bebas sistem teknis dalam kondisi nyata terjadi ketika gaya resistensi bekerja padanya. Aksi gaya-gaya ini menyebabkan penurunan amplitudo besaran osilasi.
Osilasi, yang amplitudonya berkurang seiring waktu karena hilangnya energi dari sistem osilasi nyata, disebut kabur.
Kasus yang paling umum adalah ketika gaya hambatan sebanding dengan kecepatan gerakan
Di mana R- koefisien resistensi medium. Tanda minus menunjukkan hal ituF Cdiarahkan ke arah yang berlawanan dengan kecepatan.
Mari kita tuliskan persamaan osilasi pada suatu titik yang berosilasi dalam medium yang koefisien hambatannya adalahR. Menurut hukum kedua Newton
di mana β adalah koefisien atenuasi. Koefisien ini mencirikan laju redaman osilasi.Dengan adanya gaya resistensi, energi sistem osilasi secara bertahap akan berkurang, dan osilasi akan padam.
- persamaan diferensial osilasi teredam.
kamu pemerataan osilasi teredam.
ω - frekuensi osilasi teredam:
Periode osilasi teredam:
Osilasi teredam, jika dipertimbangkan dengan cermat, tidak bersifat periodik. Oleh karena itu, kita dapat membicarakan periode osilasi teredam ketika β kecil.
Jika redaman dinyatakan lemah (β→0), maka. Osilasi teredam bisa saja terjadi
dianggap sebagai osilasi harmonik, yang amplitudonya bervariasi menurut hukum eksponensial
Dalam persamaan (1) SEBUAH 0 dan φ 0 adalah konstanta sembarang yang bergantung pada pilihan momen waktu, mulai dari mana kita mempertimbangkan osilasi
Mari kita perhatikan osilasi selama beberapa waktu τ, yang selama itu amplitudonya akan berkurang sebesar e sekali
τ - waktu relaksasi.
Koefisien redaman β berbanding terbalik dengan waktu penurunan amplitudo e sekali. Namun, koefisien redaman tidak cukup untuk mengkarakterisasi redaman osilasi. Oleh karena itu, perlu diperkenalkan ciri-ciri redaman osilasi, yang meliputi waktu satu kali osilasi. Karakteristik ini adalah pengurangan(dalam bahasa Rusia: berkurang) redaman D, yang sama dengan rasio amplitudo yang dipisahkan waktu dengan suatu periode:
Penurunan redaman logaritmik sama dengan logaritma D:
Penurunan redaman logaritmik berbanding terbalik dengan jumlah osilasi, akibatnya amplitudo osilasi berkurang sebesar e sekali. Penurunan redaman logaritmik adalah nilai konstan untuk sistem tertentu.
Ciri lain dari sistem osilasi adalah faktor kualitasQ.
Faktor kualitas sebanding dengan jumlah osilasi yang dilakukan sistem selama waktu relaksasi τ.
Qsistem osilasi adalah ukuran disipasi relatif (disipasi) energi.
Qsistem osilasi adalah bilangan yang menunjukkan berapa kali gaya elastis lebih besar dari gaya hambatan.
§7 Getaran paksa.
Resonansi
Dalam beberapa kasus, ada kebutuhan untuk menciptakan sistem yang melakukan osilasi terus menerus. Osilasi yang tidak teredam dalam sistem dapat diperoleh dengan mengkompensasi kehilangan energi dengan bekerja pada sistem dengan gaya yang berubah secara berkala.
Membiarkan
Mari kita tuliskan ekspresi persamaan gerak suatu titik material yang mengalami gerak osilasi harmonik di bawah aksi gaya penggerak.
Menurut hukum kedua Newton:
(1)
Persamaan diferensial osilasi paksa.
Persamaan diferensial ini linier tidak homogen.
Penyelesaiannya sama dengan jumlah penyelesaian umum persamaan homogen dan penyelesaian khusus persamaan tak homogen:
Mari kita cari solusi khusus untuk persamaan tak homogen tersebut. Untuk melakukan ini, kita menulis ulang persamaan (1) dalam bentuk berikut:
(2)
Kami akan mencari solusi khusus untuk persamaan ini dalam bentuk:
Kemudian
Mari kita substitusikan ke (2):
Karena bekerja untuk siapa punT, maka persamaan γ = ω harus dipenuhi, oleh karena itu,
Lebih mudah untuk merepresentasikan bilangan kompleks ini dalam bentuk
Di mana A ditentukan oleh rumus (3 di bawah), dan φ - dengan rumus (4), oleh karena itu, solusi (2), dalam bentuk kompleks, memiliki bentuk
Bagian riilnya yang merupakan penyelesaian persamaan (1) sama dengan:
Di mana
(3)
(4)
Istilah X o.o. memainkan peran penting hanya pada tahap awal, ketika osilasi terjadi hingga amplitudo osilasi paksa mencapai nilai yang ditentukan oleh persamaan (3). Dalam keadaan tunak, osilasi paksa terjadi dengan frekuensi ω dan bersifat harmonik. Amplitudo (3) dan fase (4) osilasi paksa bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Pada frekuensi gaya penggerak tertentu, amplitudonya dapat mencapai nilai yang sangat besar. Peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa ketika frekuensi gaya penggerak mendekati frekuensi alami sistem mekanik disebut resonansi.
Frekuensi gaya penggerak di mana resonansi diamati disebut resonansi. Untuk mencari nilai ω res, perlu dicari kondisi amplitudo maksimum. Untuk melakukan ini, Anda perlu menentukan kondisi penyebut minimum pada (3) (yaitu, periksa (3) untuk mencari ekstrem).
Ketergantungan amplitudo besaran osilasi pada frekuensi gaya penggerak disebut kurva resonansi. Semakin rendah koefisien redaman β, semakin tinggi kurva resonansi, dan jika β menurun, kurva resonansi maksimum akan bergeser ke kanan. Jika β = 0, maka
ω res = ω 0 .
Ketika ω→0 semua kurva mencapai nilainya- deviasi statis.
Resonansi parametrik terjadi ketika perubahan periodik pada salah satu parameter sistem menyebabkan peningkatan tajam dalam amplitudo sistem yang berosilasi. Misalnya, kabin yang menciptakan “matahari” dengan mengubah posisi pusat gravitasi sistem (Hal yang sama juga terjadi pada “perahu.”) Lihat §61.t. 1 Savelyev I.V.
Osilasi diri adalah osilasi yang energinya terisi kembali secara berkala sebagai akibat dari pengaruh sistem itu sendiri karena sumber energi yang terletak di sistem yang sama. Lihat §59 t.1 Savelyev I.V.