Definisi. Suatu bentuk kuadrat disebut pasti positif jika semua nilainya untuk nilai riil variabel-variabel yang tidak sekaligus nol adalah positif. Jelasnya, bentuk kuadrat adalah pasti positif.

Definisi. Suatu bentuk kuadrat disebut pasti negatif jika semua nilainya negatif, kecuali nilai bukan nol untuk nilai variabel yang bukan nol.

Definisi. Suatu bentuk kuadrat dikatakan semidefinite positif (negatif) jika tidak bernilai negatif (positif).

Bentuk kuadrat, mengambil nilai positif dan negatif disebut tidak terdefinisi.

Pada N=1, bentuk kuadratnya adalah pasti positif (at ), atau pasti negatif (at ). Bentuk tak tentu muncul ketika .

Dalil(Uji Sylvester untuk kepastian positif bentuk kuadrat). Agar berbentuk kuadrat

didefinisikan secara positif, maka perlu dan cukup untuk memenuhi syarat-syarat berikut:

Bukti. Kami menggunakan induksi pada jumlah variabel yang dimasukkan dalam . Untuk bentuk kuadrat yang bergantung pada satu variabel, dan pernyataan teoremanya jelas. Mari kita asumsikan bahwa teorema ini benar untuk bentuk kuadrat bergantung pada N-1 variabel.

1. Bukti keharusan. Membiarkan

pasti positif. Kemudian bentuk kuadrat

akan menjadi pasti positif, karena jika , maka di .

Berdasarkan hipotesis induksi, semua minor mayor dari bentuk tersebut adalah positif, yaitu.

Hal itu masih harus dibuktikan.

Bentuk kuadrat pasti positif dengan transformasi linier tak merosot X= OLEH direduksi menjadi bentuk kanonik

Bentuk kuadrat sesuai dengan matriks diagonal

dengan determinan.

Transformasi linier ditentukan oleh matriks non-tunggal DI DALAM, mengubah matriks DENGAN bentuk kuadrat menjadi matriks. Tapi sejak itu Itu .

2. Bukti kecukupan. Misalkan semua minor utama bentuk kuadrat adalah positif: .

Mari kita buktikan bahwa bentuk kuadrat adalah pasti positif. Asumsi induksi menyiratkan kepastian positif dari bentuk kuadrat . Itu sebabnya oleh transformasi linier tak merosot direduksi menjadi bentuk normal. Membuat perubahan variabel dan menempatkan yang sesuai, kita dapatkan

Di mana - beberapa koefisien baru.

Dengan melakukan perubahan variabel, kita peroleh

Penentu matriks bentuk kuadrat ini sama dengan , dan karena tandanya berimpit dengan tanda , maka , dan oleh karena itu, bentuk kuadrat - pasti positif. Teorema tersebut telah terbukti.

Agar bentuk kuadrat menjadi pasti negatif, maka perlu dan cukup

adalah pasti positif, artinya semua minor utama matriks

positif. Tapi ini berarti itu

itu. bahwa tanda-tanda minor utama matriks C bergantian, dimulai dengan tanda minus.

Contoh. Hitung apakah suatu bentuk kuadrat pasti positif (negatif) atau tidak tentu.

Larutan. Matriks berbentuk kuadrat mempunyai bentuk:

Mari kita hitung minor utama matriks tersebut DENGAN:

Bentuk kuadratnya pasti positif.

Larutan. Mari kita hitung minor utama matriks tersebut

Bentuk kuadratnya tidak dapat ditentukan.

Kesimpulannya, kami merumuskan teorema berikut.

Dalil(hukum inersia bentuk kuadrat). Banyaknya kuadrat positif dan banyaknya kuadrat negatif dalam bentuk normal, yang bentuk kuadratnya direduksi dengan transformasi linier tak berdegenerasi, tidak bergantung pada pilihan transformasi tersebut.

7.5. Tugas untuk pekerjaan mandiri pada bab 7

7.1. Buktikan jika suatu bentuk kuadrat dengan matriks A adalah pasti positif, maka bentuk kuadrat dengan matriks terbalik pasti positif.

7.2. Menemukan tampilan biasa di bidang bilangan real

7.3. Temukan bentuk normal dalam domain bilangan real

Definisi: Bentuk kuadrat, sesuai dengan bentuk bilinear simetris pada ruang linier V , disebut fungsi dari satu argumen vektor .

Misalkan diberikan suatu bentuk kuadrat dan menjadi bentuk bilinear simetris yang bersesuaian. Kemudian

Oleh karena itu, jika diberikan bentuk kuadrat, bentuk bilinear simetris yang bersesuaian juga ditentukan secara unik. Jadi, antara bentuk bilinear simetris dan bentuk kuadrat pada ruang linear V korespondensi satu-satu terjalin, sehingga bentuk kuadrat dapat dipelajari dengan menggunakan bentuk bilinear simetris.

Mari kita pertimbangkan N ruang linier -dimensi. Matriks bentuk kuadrat dalam basis tertentu dari ruang linier adalah matriks dari bentuk bilinear simetris yang bersesuaian dalam basis yang sama. Matriks berbentuk kuadrat selalu simetris.

Mari kita nyatakan matriks berbentuk kuadrat pada suatu basis ruang. Kalau seperti biasa kita tunjuk X kolom koordinat vektor tersebut dengan basis yang sama, maka dari persamaan 5.5 diperoleh bentuk penulisan matriks bentuk kuadrat:

Teorema 5.4. Misalkan dua basa diberikan dalam ruang linier

(5.10)

, (5.11)

dan misalkan dan menjadi matriks berbentuk kuadrat masing-masing dengan basis (5.10) dan (5.11). Lalu dimana T– matriks transisi dari (5.10) ke (5.11).

Pembuktiannya mengikuti Teorema 5.2 dan definisi matriks berbentuk kuadrat.

Karena kenyataan bahwa matriks transisi T tidak merosot, maka ketika berpindah ke basis baru, pangkat matriks berbentuk kuadrat tidak berubah. Oleh karena itu, kita dapat merumuskan definisi berikut.

Definisi. Pangkat suatu bentuk kuadrat yang didefinisikan pada suatu ruang linier adalah pangkat matriksnya dalam suatu basis ruang tertentu, dan oleh karena itu, dalam basis ruang mana pun (dilambangkan dengan ).

Sekarang mari kita tuliskan bentuk kuadrat dalam bentuk koordinat. Untuk melakukan ini, kita perluas vektor menjadi basis (5.10): . Jika merupakan matriks berbentuk kuadrat dengan basis yang sama, maka sesuai dengan persamaan (5.4) yang kita miliki

– (5.12)

notasi koordinat bentuk kuadrat. Mari kita tulis (5.12) secara detail untuk N= 3, mengingat itu

Jadi, jika diberikan suatu basis, maka bentuk kuadrat dalam notasi koordinat tampak seperti polinomial homogen derajat kedua di N variabel – koordinat vektor dalam basis tertentu. Polinomial ini disebut melihat bentuk kuadrat dalam basis tertentu. Namun dalam penerapannya, polinomial seperti itu sering kali muncul secara independen, tanpa hubungan yang terlihat dengan ruang linier (misalnya, diferensial fungsi kedua), jadi kami akan merumuskan definisi lain dari bentuk kuadrat.

Definisi. Bentuk kuadrat dari N variabel disebut polinomial homogen derajat kedua dalam variabel-variabel ini, yaitu fungsi berbentuk (5.12). Matriks berbentuk kuadrat (5.12) adalah matriks simetris.

Contoh menyusun matriks berbentuk kuadrat. Membiarkan

Dari (5.12) dan (5.13) jelas bahwa koefisien pada bertepatan dengan , yaitu. Elemen diagonal suatu matriks berbentuk kuadrat adalah koefisien kuadrat. Dengan cara yang sama, kita melihat bahwa - setengah koefisien produk. Jadi, matriks bentuk kuadrat (5.14) terlihat seperti ini:

Sekarang mari kita pilih lagi dua basis (5.10) dan (5.11) dalam ruang dan tunjukkan, seperti biasa, adalah kolom koordinat vektor masing-masing dalam basis (5.10) dan (5.11). Ketika berpindah dari basis (5.10) ke basis (5.11), koordinat vektor berubah menurut hukum:

dimana adalah matriks transisi dari (5.10) ke (5.11). Perhatikan bahwa matriksnya tidak merosot. Mari kita tulis persamaan (5.15) dalam bentuk koordinat:

atau secara rinci:

(5.17)

Dengan menggunakan persamaan (5.17) (atau (5.16), yang merupakan hal yang sama), kita berpindah dari variabel ke variabel.

Definisi. Transformasi variabel linier non-degenerasi adalah transformasi variabel yang ditentukan oleh sistem persamaan (5.16) atau (5.17), atau persamaan matriks tunggal (5.15), dengan syarat matriks non-singular. Matriks T disebut matriks transformasi variabel ini.

Jika dalam (5.12) alih-alih variabel kita mengganti ekspresinya melalui variabel sesuai dengan rumus (5.17), buka tanda kurung dan bawa yang serupa, maka kita memperoleh polinomial homogen derajat kedua lainnya:

Dalam hal ini, transformasi variabel linier nondegenerasi (5.17) dikatakan mengubah bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat. Nilai-nilai variabel dan dihubungkan dengan relasi (5.15) (atau relasi (5.16) atau (5.17)) disebut relevan untuk transformasi variabel linier non-degenerasi tertentu.

Definisi. Himpunan variabel disebut tidak sepele , jika nilai paling sedikit salah satu variabelnya berbeda dari nol. Jika tidak, himpunan variabel dipanggil remeh .

Lemma 5.2. Dengan transformasi variabel linier non-degenerasi, himpunan variabel sepele berkorespondensi dengan himpunan sepele.

Dari persamaan (5.15) jelas berikut: jika , maka . Di sisi lain, menggunakan matriks non-degenerasi T, sekali lagi dari (5.15) kita memperoleh , yang darinya jelas bahwa untuk , juga .◄

Konsekuensi. Dengan transformasi variabel non-degenerasi linier, himpunan variabel non-trivial berkorespondensi dengan himpunan non-trivial.

Teorema 5.5. Jika transformasi linier non-degenerasi (5.15) berbentuk kuadrat dengan matriks A menjadi bentuk kuadrat dengan matriks A", lalu (rumusan lain dari Teorema 5.4).

Konsekuensi. Dengan transformasi variabel linier non-degenerasi, determinan matriks berbentuk kuadrat tidak berubah tanda.

Komentar. Berbeda dengan matriks transisi dan matriks operator linier, matriks transformasi variabel linier non-degenerasi ditulis bukan dalam kolom, tetapi dalam baris.

Misalkan diberikan dua transformasi variabel linier tak berdegenerasi:

Mari kita terapkan secara berurutan:

Komposisi transformasi variabel linier non-degenerasi(5.18) dan (5.19) disebut penerapan sekuensialnya, yaitu transformasi variabel Dari (5.20) terlihat jelas bahwa susunan dua transformasi variabel linier non-degenerasi juga merupakan transformasi variabel linier non-degenerasi.

Definisi. Bentuk kuadrat disebut setara , jika ada transformasi variabel linier non-degenerasi yang memindahkan salah satu variabel ke variabel lainnya.

Bentuk kuadrat f(x 1, x 2,...,x n) dari n variabel adalah penjumlahan yang masing-masing sukunya merupakan kuadrat salah satu variabel, atau hasil kali dua variabel berbeda, diambil dengan koefisien tertentu: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Matriks A yang tersusun dari koefisien-koefisien ini disebut matriks berbentuk kuadrat. Selalu simetris matriks (yaitu matriks yang simetris terhadap diagonal utama, a ij =a ji).

Dalam notasi matriks, bentuk kuadratnya adalah f(X) = X T AX, dimana

Memang

Misalnya kita menulis bentuk kuadrat dalam bentuk matriks.

Untuk melakukan ini, kita menemukan matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien variabel kuadrat, dan elemen sisanya sama dengan setengah koefisien bentuk kuadrat yang bersesuaian. Itu sebabnya

Misalkan kolom-matriks variabel X diperoleh dengan transformasi linier tak-degenerasi dari kolom-matriks Y, yaitu. X = CY, dimana C adalah matriks nonsingular orde ke-n. Maka bentuk kuadratnya f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Jadi, dengan transformasi linier tak berdegenerasi C, matriks berbentuk kuadrat berbentuk: A * =C T AC.

Misalnya, cari bentuk kuadrat f(y 1, y 2), yang diperoleh dari bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 melalui transformasi linier.

Bentuk kuadrat disebut resmi(Memiliki pandangan kanonik), jika semua koefisiennyasa ij = 0 untuk i≠j, yaitu f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matriksnya berbentuk diagonal.

Dalil(bukti tidak diberikan di sini). Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier tak merosot.

Sebagai contoh, mari kita bawa ke bentuk kanonik bentuk kuadrat f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, pertama-tama pilih persegi lengkap dengan variabel x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Sekarang kita pilih persegi lengkap dengan variabel x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Kemudian transformasi linier tak berdegenerasi y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 dan y 3 = x 3 membawa bentuk kuadrat ini ke bentuk kanonik f(y 1,y 2, kamu 3) = 2kamu 1 2 - 5kamu 2 2 - (1/20)kamu 3 2 .

Perhatikan bahwa bentuk kanonik dari bentuk kuadrat ditentukan secara ambigu (bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik cara yang berbeda 1). Namun, yang diterima cara yang berbeda bentuk kanonik memiliki sejumlah sifat umum. Secara khusus, jumlah suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada metode pengurangan bentuk menjadi bentuk ini (misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan selalu ada dua koefisien negatif dan satu positif). Properti ini disebut hukum inersia bentuk kuadrat.

Mari kita verifikasi ini dengan membawa bentuk kuadrat yang sama ke bentuk kanonik dengan cara yang berbeda. Mari kita mulai transformasinya dengan variabel x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , dimana y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dan kamu 3 = x 1 . Di sini terdapat koefisien positif 2 untuk y 3 dan dua koefisien negatif (-3) untuk y 1 dan y 2 (dan dengan menggunakan metode lain, kita mendapatkan koefisien positif 2 untuk y 1 dan dua koefisien negatif - (-5) untuk y 2 dan (-1/20) untuk y 3 ).

Perlu juga diperhatikan bahwa pangkat suatu matriks berbentuk kuadrat disebut peringkat bentuk kuadrat, sama dengan jumlah koefisien bukan nol dalam bentuk kanonik dan tidak berubah pada transformasi linier.

Bentuk kuadrat f(X) disebut secara positif(negatif)yakin, jika untuk semua nilai variabel yang tidak sekaligus nol bernilai positif yaitu f(X) > 0 (negatif yaitu f(X)< 0).

Misalnya bentuk kuadrat f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 adalah pasti positif, karena adalah jumlah kuadrat, dan bentuk kuadrat f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 adalah pasti negatif, karena direpresentasikan dapat direpresentasikan dalam bentukf 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Dalam sebagian besar situasi praktis, agak lebih sulit untuk menetapkan tanda pasti suatu bentuk kuadrat, jadi untuk ini kami menggunakan salah satu teorema berikut (kami akan merumuskannya tanpa bukti).

Dalil. Suatu bentuk kuadrat pasti positif (negatif) jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya positif (negatif).

Teorema (kriteria Sylvester). Suatu bentuk kuadrat adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor utama dari matriks bentuk ini adalah positif.

Utama (sudut) minor Matriks orde ke-k dari orde ke-An disebut determinan matriks, terdiri dari k baris dan kolom pertama matriks A().

Perhatikan bahwa untuk bentuk kuadrat pasti negatif, tanda minor utama bergantian, dan minor orde pertama harus negatif.

Sebagai contoh, mari kita periksa bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk mengetahui kepastian tanda.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Metode 2. Minor utama matriks orde pertama A  1 =a 11 = 2 > 0. Minor utama orde kedua  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, kuadrat bentuknya pasti positif.

Kita periksa bentuk kuadrat lain untuk kepastian tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif.

Metode 2. Minor utama matriks orde pertama A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif (tanda-tanda minor utama bergantian, dimulai dengan minus).

Dan sebagai contoh lain, kita periksa bentuk kuadrat bertanda f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Salah satu dari angka-angka ini negatif dan yang lainnya positif. Tanda nilai eigennya berbeda-beda. Oleh karena itu, bentuk kuadrat tidak dapat berdefinisi negatif maupun positif, yaitu. bentuk kuadrat ini tidak pasti tanda (dapat mengambil nilai tanda apa pun).

Cara 2. Minor utama matriks orde pertama A  1 =a 11 = 2 > 0. Minor utama matriks orde kedua 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Metode yang dipertimbangkan untuk mereduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik mudah digunakan ketika koefisien bukan nol ditemukan pada kuadrat variabel. Jika tidak ada, konversi masih dapat dilakukan, tetapi Anda harus menggunakan beberapa teknik lain. Misalnya, f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, dimana y 1 = x 1 + x 2, ay 2 = x 1 – x 2.

Bentuk persegi.
Tanda tangani kepastian bentuk. Kriteria Sylvester

Kata sifat “kuadrat” langsung menunjukkan bahwa sesuatu di sini berhubungan dengan persegi (derajat kedua), dan segera kita akan mengetahui “sesuatu” ini dan apa bentuknya. Ternyata itu twister lidah :)

Selamat datang di pelajaran baru saya, dan sebagai pemanasan langsung kita akan melihat bentuk bergaris linier. Bentuk linier variabel ditelepon homogen Polinomial derajat 1:

- beberapa nomor tertentu * (kami berasumsi bahwa setidaknya satu di antaranya bukan nol), a adalah variabel yang dapat mengambil nilai sewenang-wenang.

* Sebagai bagian dari topik ini, kami hanya akan mempertimbangkannya bilangan real .

Istilah “homogen” telah kita jumpai dalam pelajaran tentang sistem persamaan linear yang homogen, dan masuk pada kasus ini ini menyiratkan bahwa polinomial tidak memiliki konstanta plus.

Misalnya: – bentuk linier dua variabel

Sekarang bentuknya kuadrat. Bentuk kuadrat variabel ditelepon homogen polinomial derajat 2, setiap istilahnya berisi kuadrat variabel atau ganda produk variabel. Misalnya, dua variabel mempunyai bentuk kuadrat tampilan berikutnya:

Perhatian! Ini adalah entri standar dan tidak perlu mengubah apa pun! Meskipun tampilannya "menakutkan", semuanya sederhana di sini - subskrip ganda dari konstanta memberi sinyal variabel mana yang termasuk dalam suku mana:
– istilah ini berisi produk dan (persegi);
- inilah pekerjaannya;
- dan inilah pekerjaannya.

– Saya segera mengantisipasi kesalahan besar ketika mereka kehilangan “minus” suatu koefisien, tanpa memahami bahwa itu mengacu pada suatu istilah:

Terkadang ada pilihan desain “sekolah” dalam semangatnya, tapi hanya kadang-kadang. Ngomong-ngomong, perhatikan bahwa konstanta tidak memberi tahu kita apa pun di sini, dan oleh karena itu lebih sulit untuk mengingat “notasi mudah”. Apalagi jika variabelnya lebih banyak.

Dan kuadrat bentuk tiga variabel sudah berisi enam anggota:

...mengapa “dua” faktor ditempatkan dalam istilah “campuran”? Ini nyaman, dan alasannya akan segera menjadi jelas.

Namun rumus umum Mari kita tuliskan, akan lebih mudah untuk mengaturnya sebagai "lembar":

– kami mempelajari setiap baris dengan cermat – tidak ada yang salah dengan itu!

Bentuk kuadrat berisi suku-suku dengan kuadrat variabel-variabelnya dan suku-suku dengan hasil kali berpasangannya (cm. rumus kombinasi kombinatorial) . Tidak lebih - tidak ada "kesepian X" dan tidak ada konstanta tambahan (maka Anda tidak akan mendapatkan bentuk kuadrat, tapi heterogen polinomial derajat 2).

Notasi matriks bentuk kuadrat

Bergantung pada nilainya, bentuk yang dimaksud dapat bernilai positif dan negatif, dan hal yang sama berlaku untuk bentuk linier apa pun - jika setidaknya salah satu koefisiennya berbeda dari nol, maka koefisiennya bisa positif atau negatif (tergantung pada nilai).

Bentuk ini disebut tanda bergantian. Dan jika semuanya transparan dengan bentuk linier, maka dengan bentuk kuadrat segalanya menjadi lebih menarik:

Jelas sekali bahwa bentuk ini dapat mempunyai arti tanda apa pun bentuk kuadrat juga bisa bergantian.

Ini mungkin bukan:

– selalu, kecuali secara bersamaan sama dengan nol.

- untuk siapa pun vektor kecuali nol.

Dan secara umum, jika untuk siapa pun bukan nol vektor , , maka bentuk kuadratnya disebut pasti positif; jika demikian maka pasti negatif.

Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi kepastian bentuk kuadrat hanya terlihat di contoh sederhana, dan visibilitas ini hilang bahkan dengan sedikit komplikasi:
– ?

Orang mungkin berasumsi bahwa bentuknya mempunyai definisi positif, namun benarkah demikian? Tiba-tiba ada nilai-nilai yang mendasarinya kurang dari nol?

Ada sebuah dalil: Jika semua orang nilai eigen matriks bentuk kuadrat adalah positif * , maka itu pasti positif. Jika semuanya negatif, maka negatif.

* Telah dibuktikan secara teori bahwa semua nilai eigen matriks simetris nyata sah

Mari kita tulis matriks dari bentuk di atas:
dan dari Persamaan. mari kita temukan dia nilai eigen:

Mari kita selesaikan masalah lama yang baik persamaan kuadrat:

, yang artinya bentuk didefinisikan secara positif, yaitu. untuk nilai bukan nol apa pun itu Diatas nol.

Metode yang dipertimbangkan tampaknya berhasil, tetapi ada satu TAPI yang besar. Untuk matriks tiga kali tiga, mencari bilangan yang tepat adalah tugas yang panjang dan tidak menyenangkan; dengan kemungkinan besar Anda akan mendapatkan polinomial derajat 3 dengan akar irasional.

Apa yang harus saya lakukan? Ada cara yang lebih mudah!

Kriteria Sylvester

Bukan, bukan Sylvester Stallone :) Pertama, izinkan saya mengingatkan Anda apa itu sudut anak di bawah umur matriks. Ini kualifikasi yang “tumbuh” dari pojok kiri atas:

dan yang terakhir sama persis dengan determinan matriks.

Sekarang, sebenarnya, kriteria:

1) Bentuk kuadrat didefinisikan secara positif jika dan hanya jika SEMUA minor sudutnya lebih besar dari nol: .

2) Bentuk kuadrat didefinisikan negatif jika dan hanya jika minor sudutnya bergantian tanda, dengan minor pertama kurang dari nol: , , jika – genap atau , jika – ganjil.

Jika paling sedikit satu sudut minor bertanda berlawanan, maka bentuknya tanda bergantian. Jika anak di bawah umur bersudut bertanda "itu", tetapi tidak ada satu pun di antara mereka, maka ini adalah kasus khusus, yang akan saya bahas nanti, setelah kita mengklik contoh yang lebih umum.

Mari kita menganalisis minor sudut matriks :

Dan ini segera memberi tahu kita bahwa bentuk tidak didefinisikan secara negatif.

Kesimpulan: semua minor sudut lebih besar dari nol yang artinya bentuk didefinisikan secara positif.

Apakah ada perbedaan dengan metode nilai eigen? ;)

Mari kita menulis matriks bentuk dari Contoh 1:

yang pertama adalah minor sudutnya, dan yang kedua , yang berarti bahwa bentuknya bergantian tanda, yaitu. tergantung pada nilainya, ini dapat mengambil nilai positif dan negatif. Namun, hal ini sudah jelas.

Mari kita ambil bentuk dan matriksnya Contoh 2:

Tidak ada cara untuk mengetahui hal ini tanpa wawasan. Namun dengan kriteria Sylvester kami tidak peduli:
, oleh karena itu, bentuknya pasti tidak negatif.

, dan jelas tidak positif (karena semua minor sudut harus positif).

Kesimpulan: bentuknya bergantian.

Contoh pemanasan untuk keputusan independen:

Contoh 4

Selidiki bentuk kuadrat untuk kepastian tanda

Dalam contoh-contoh ini semuanya lancar (lihat akhir pelajaran), tetapi pada kenyataannya, untuk menyelesaikan tugas seperti itu Kriteria Sylvester mungkin tidak cukup.

Maksudnya ada kasus “edge” yaitu: if for any bukan nol vektor, maka bentuknya ditentukan non-negatif, jika kemudian negatif. Bentuk-bentuk ini punya bukan nol vektor yang .

Di sini Anda dapat mengutip “akordeon” berikut:

Menyoroti persegi sempurna, kita langsung melihatnya non-negatif bentuk: , dan sama dengan nol untuk sembarang vektor dengan koordinat yang sama, Misalnya: .

Contoh "Cermin". negatif bentuk tertentu:

dan contoh yang lebih sepele lagi:
– di sini bentuknya sama dengan nol untuk vektor apa pun, dengan bilangan sembarang.

Bagaimana cara mengidentifikasi bentuk non-negatif atau non-positif?

Untuk itu diperlukan konsep anak di bawah umur besar matriks. Minor mayor adalah minor yang tersusun atas unsur-unsur yang terletak pada perpotongan baris dan kolom yang bilangannya sama. Jadi, matriks tersebut memiliki dua minor utama orde pertama:
(elemen berada pada perpotongan baris ke-1 dan kolom ke-1);
(elemen berada pada perpotongan baris ke-2 dan kolom ke-2),

dan satu minor mayor orde ke-2:
– terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2, dan kolom ke-1, ke-2.

Matriksnya adalah “tiga kali tiga” Ada tujuh anak di bawah umur utama, dan di sini Anda harus melenturkan otot bisep Anda:
– tiga anak di bawah umur dari urutan pertama,
tiga anak di bawah umur urutan ke-2:
– terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2 dan kolom ke-1, ke-2;
– terdiri dari elemen baris ke-1, ke-3 dan kolom ke-1, ke-3;
– terdiri dari elemen baris ke-2, ke-3 dan kolom ke-2, ke-3,
dan satu minor orde ke-3:
– terdiri dari elemen baris ke-1, ke-2, ke-3, dan kolom ke-1, ke-2, dan ke-3.
Latihan untuk pemahaman: tuliskan semua minor mayor dari matriks tersebut .
Kami memeriksa di akhir pelajaran dan melanjutkan.

Kriteria Schwarzenegger:

1) Bentuk kuadrat bukan nol* ditentukan non-negatif jika dan hanya jika SEMUA minor mayornya non-negatif(lebih besar atau sama dengan nol).

* Bentuk kuadrat nol (merosot) memiliki semua koefisien sama dengan nol.

2) Bentuk kuadrat bukan nol dengan matriks didefinisikan negatif jika dan hanya jika:
– anak di bawah umur besar dari urutan pertama non-positif(kurang dari atau sama dengan nol);
– anak di bawah umur besar dari urutan ke-2 non-negatif;
– anak di bawah umur besar dari urutan ke-3 non-positif(pergantian dimulai);
…
– mayor minor orde ke-th non-positif, jika – ganjil atau non-negatif, jika bahkan.

Jika sekurang-kurangnya satu anak di bawah umur bertanda kebalikannya, maka bentuknya adalah tanda bolak-balik.

Mari kita lihat cara kerja kriteria pada contoh di atas:

Mari kita membuat matriks bentuk, dan Pertama Mari kita hitung sudut minor - bagaimana jika didefinisikan secara positif atau negatif?

Nilai yang diperoleh tidak memenuhi kriteria Sylvester, melainkan minor kedua tidak negatif, dan ini mengharuskan untuk memeriksa kriteria ke-2 (dalam hal kriteria ke-2 tidak akan terpenuhi secara otomatis, yaitu segera diambil kesimpulan tentang pergantian tanda bentuk).

Anak di bawah umur utama dari urutan pertama:
– positif,
mayor minor orde 2:
– tidak negatif.

Jadi, SEMUA minor mayor tidak negatif yang artinya bentuknya non-negatif.

Mari kita tulis matriks bentuknya , yang kriteria Sylvester jelas tidak terpenuhi. Namun kami juga tidak menerima tanda yang berlawanan (karena kedua minor sudut sama dengan nol). Oleh karena itu, kami memeriksa pemenuhan kriteria non-negatif/non-positif. Anak di bawah umur utama dari urutan pertama:
– tidak positif,
mayor minor orde 2:
– tidak negatif.

Jadi, menurut kriteria Schwarzenegger (poin 2), bentuknya terdefinisi secara non-positif.

Sekarang mari kita lihat lebih dekat masalah yang lebih menarik:

Contoh 5

Periksa bentuk kuadrat untuk mengetahui kepastian tanda

Formulir ini dihiasi dengan urutan “alpha”, yang dapat sama dengan bilangan real apa pun. Tapi itu hanya akan lebih menyenangkan kami memutuskan.

Pertama, mari kita tuliskan matriks formulirnya; banyak orang mungkin sudah terbiasa melakukan ini secara lisan: aktif diagonal utama Kami menempatkan koefisien untuk kuadrat, dan di tempat-tempat simetris kami menempatkan setengah koefisien dari produk "campuran" yang sesuai:

Mari kita hitung anak di bawah umur sudut:

Saya akan memperluas determinan ketiga pada baris ke-3:

Bentuk kuadrat

Matriks A yang tersusun dari koefisien-koefisien ini disebut matriks berbentuk kuadrat. Selalu simetris matriks (yaitu matriks yang simetris terhadap diagonal utama, a ij = a ji).

Dalam notasi matriks, bentuk kuadratnya adalah f(X) = X T AX, dimana

Memang

Misalnya kita menulis bentuk kuadrat dalam bentuk matriks.

Misalkan kolom-matriks variabel X diperoleh dengan transformasi linier tak-degenerasi dari kolom-matriks Y, yaitu. X = CY, dimana C adalah matriks nonsingular orde ke-n. Kemudian bentuk kuadrat
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Jadi, dengan transformasi linier tak berdegenerasi C, matriks berbentuk kuadrat berbentuk: A* = C T AC.

Misalnya, cari bentuk kuadrat f(y 1, y 2), yang diperoleh dari bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 melalui transformasi linier.

Bentuk kuadrat disebut resmi(Memiliki pandangan kanonik), jika semua koefisiennya a ij = 0 untuk i ≠ j, yaitu
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Matriksnya berbentuk diagonal.

Dalil(bukti tidak diberikan di sini). Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier tak merosot.

Misalnya, mari kita reduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, pertama-tama pilih persegi lengkap dengan variabel x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Sekarang kita pilih persegi lengkap dengan variabel x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Maka transformasi linier tak berdegenerasi y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 dan y 3 = x 3 menjadikan bentuk kuadrat ini menjadi bentuk kanonik f(y 1, y 2 , kamu 3) = 2kamu 1 2 - 5kamu 2 2 - (1/20)kamu 3 2 .

Perhatikan bahwa bentuk kanonik dari bentuk kuadrat ditentukan secara ambigu (bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan cara yang berbeda). Namun, bentuk kanonik yang diperoleh dengan berbagai metode memiliki sejumlah sifat yang sama. Secara khusus, jumlah suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada metode pengurangan bentuk menjadi bentuk ini (misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan selalu ada dua koefisien negatif dan satu positif). Properti ini disebut hukum inersia bentuk kuadrat.

Mari kita verifikasi ini dengan membawa bentuk kuadrat yang sama ke bentuk kanonik dengan cara yang berbeda. Mari kita mulai transformasi dengan variabel x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (kamu 1 , kamu 2 , kamu 3) = -3kamu 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, dimana y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dan kamu 3 = x 1 . Di sini terdapat koefisien positif 2 pada y 3 dan dua koefisien negatif (-3) pada y 1 dan y 2 (dan dengan menggunakan metode lain kita mendapatkan koefisien positif 2 pada y 1 dan dua koefisien negatif - (-5) pada y 2 dan (-1 /20) pada y 3).

Bentuk kuadrat f(X) disebut secara positif (negatif) yakin, jika untuk semua nilai variabel yang tidak simultan sama dengan nol, bernilai positif, yaitu f(X) > 0 (negatif, mis.
f(x)< 0).

Misalnya bentuk kuadrat f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 adalah pasti positif, karena adalah jumlah kuadrat, dan bentuk kuadrat f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 adalah pasti negatif, karena menyatakannya dapat direpresentasikan sebagai f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Dalil. Suatu bentuk kuadrat pasti positif (negatif) jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya positif (negatif).

Teorema (kriteria Sylvester). Suatu bentuk kuadrat adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor utama dari matriks bentuk ini adalah positif.

Utama (sudut) minor Matriks A orde ke-k dari orde ke-n disebut determinan matriks, terdiri dari k baris dan kolom pertama matriks A().

Perhatikan bahwa untuk bentuk kuadrat pasti negatif, tanda minor utama bergantian, dan minor orde pertama harus negatif.

Sebagai contoh, mari kita periksa bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk mengetahui kepastian tanda.

= (2 - aku)*
*(3 - aku) – 4 = (6 - 2l - 3l + aku 2) – 4 = aku 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Cara 2. Minor utama matriks orde pertama A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama matriks orde kedua D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Kita periksa bentuk kuadrat lain untuk kepastian tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (-2 - aku)*
*(-3 - aku) – 4 = (6 + 2l + 3l + aku 2) – 4 = aku 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif.

Tanda tangani kepastian bentuk. Kriteria Sylvester

Bentuk persegi. Tanda tangani kepastian bentuk. Kriteria Sylvester

Notasi matriks bentuk kuadrat

Kriteria Sylvester

Bentuk kuadrat

Bentuk persegi.
Tanda tangani kepastian bentuk. Kriteria Sylvester