Оптимальные системы – это системы, в которых заданное качество работы достигается за счет максимального использования возможностей объекта, иными словами это системы, в которых объект работает на пределе своих возможностей.
Оптимальная СУ – система управления, выбранная тем или иным способом и имеет наилучшие качества.
Оценка функции СУ производится по критерию оптимальности. Задачей теории оптимальности СУ является определение в общем виде законов управления объектом. По этим законам можно судить, что можно и чего нельзя достигнуть в реальных условиях. Классической постановкой задачи является задача определения оптимального алгоритма управления при наличии априорной информации (математического описания включающее ограничения наложенные на любые координаты системы) об объекте управления.
Рассмотрим апериодическое звено первого порядка
W (p) = K/(Tp+1) (1)
│u │≤ A, (2)
для которого необходимо обеспечить минимальное время перехода у из начального состояния y (0) в конечноеy k . Переходная функция такой системы приK =1 выглядит следующим образом
Рис. 1.1. Переходная функция системы при U= const .
Рассмотрим ситуацию, когда на вход объекта подаем максимально возможное управляющее воздействие.
Рис.1.2. Переходная функция системы при U=A= const .
t 1 - минимально возможное время перехода y из нулевого состояния в конечное для данного объекта.
Для получения такого перехода существует два закона управления:
программное управление
A, t < t 1
y k , t ≥ t 1 ;
закон управления типа обратной связи
A, y < y k
y = (4)
y k , y ≥ y k ;
Второй закон более предпочтителен и позволяет обеспечить управление при помехах.
Рис. 1.3. Структурная схема системы с законом управления типа обратной связи.
Цель управления - требования, предъявленные к СУ.
ограничения на входные параметры, например, допуски на изготовляемую продукцию, ошибки стабилизации управляемой величины,
экстремальные условия (мах мощности или кпд, мин потери энергии),
некоторые показатели качества (содержание вредных компонентов в конечном продукте)
Строгая формализация цели управления очень сложна из-за наличия подсистем
При формализации критерия необходимо учитывать факторы, влияющие на поведение СУ более высокого уровня. Например, при добыче полезного ископаемого – мах выхода товара. Но при этом ухудшается качество, т.е. необходимо учитывать заданное качество.
Таким образом, при выборе формализованного (математического) выражения критерия оптимальности необходимо учитывать:
1) критерий оптимальности должен отражать экономические показатели или величины с ними связанные.
2) для конкретной СУ учитывается только 1 критерий (если многокретериальная задачах то глобальный критерий- функция от частных критериев.
3) критерий должен быть связан с управляющими воздействиями, иначе он бесполезен.
4) критериальная функция иметь подходящую форму, желательно, чтоб критерий имел 1 экстремум,
5) информация, необходимая для критерия не должна быть избыточной. Это позволяет мах упростить систему измерительных устройств. И повысить надежность функционирования системы в целом.
Тестовые задания для самоконтроля
1. Управление это -
А) достижение избранных целей в практической деятельности
Б) достижение избранных целей в научной деятельности
В) достижение избранных целей в реальной действительности
Г) достижение избранных целей в теоретической деятельности
Д) достижение избранных целей в психологической деятельности
2. В теории управления возможна постановка скольких задач
3. Суть задачи управления заключается
А) в управлении объектом в процессе его функционирования без нашего непосредственного соучастия в процессе
Б) в управлении объектом в процессе его функционирования с нашим
непосредственном участии в процессе
Д) в управлении объектом в процессе его функционирования с помощью датчиков
4. Суть задачи самоуправления заключается
А) в управлении объектом в процессе его функционирования без нашего непосредственного соучастия в процессе
Б) в управлении объектом в процессе его функционирования с помощью датчиков
В) в управлении объектом в процессе его функционирования с помощью программы
Г) в управлении объектом в процессе его функционирования с помощью ЭВМ
Д) все ответы верны
5. На основании выбранного критерия оптимальности составляется
А) целевая функция
Б) зависимость параметров
В) целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение
Г) зависимость параметров, влияющих на ее значение
Д) все ответы верны
Автоматические системы, обеспечивающие наилучшие технические или технико-экономические показатели качества при заданных реальных условиях работы и ограничениях, называются оптимальными системами
.
Оптимальные системы делятся на два класса:
- системы с "жесткой" настройкой, в которых неполнота информации не мешает достижению цели управления;
- адаптивные системы, в которых неполнота информации не позволяет достичь цели управления без автоматического приспособления системы в условиях неопределенности.
Цель оптимизации - математически выражается как требование обеспечения минимума или максимума некоторого показателя качества, называемого критерием оптимальности или целевой функцией. Основными критериями качества автоматических систем являются: стоимость разработки, изготовления и эксплуатации системы; качество функционирования (точность и быстродействие); надежность; потребляемая энергия; масса; объем и т.д.
Качество функционирования описывается функциональными зависимостями вида:
где u - координаты управления; x - фазовые координаты; f в - возмущения; t о и t к - начало и конец процесса.
При разработке оптимальных САУ необходимо учитывать ограничения, накладываемые на систему, которые бывают двух типов:
- естественные, обусловленные принципом работы объекта, например, скорость работы гидравлического сервомотора не может быть больше, чем при полностью открытых заслонках, скорость АД не может быть больше синхронной и т.д.;
- искусственные (условные), которые вводят сознательно, например, ограничения тока в ДПТ для нормальной коммутации, нагрева, ускорения для нормального самочувствия в лифте и т.д.
Критерии оптимальности могут быть скалярными, если представляются только одним частным критерием, и векторными (многокритериальными), если представляются рядом частных.
В качестве критерия оптимальности может быть принято время переходного процесса 
т.е. САУ оптимальная по быстродействию, если обеспечивается минимум этого интеграла с учетом ограничений. Принимаются также известные в ТАУ интегральные оценки качества переходного процесса, например, квадратичный. В качестве критерия оптимальности систем при случайных воздействиях используют среднее значение квадрата ошибки системы 
При управлении от источников с ограниченной мощностью берут функционал, характеризующий расход энергии на управление 
где u(t) и i(t) - напряжение и ток цепи управления. Иногда в качестве критерия оптимальности сложных САУ принимают максимум прибыли технологического процесса I= g i П i - S, где g i - цена продукта; П i - производительность; S - затраты.
По сравнению с менее строгими методами проектирования замкнутых САУ преимущества теории оптимизации состоят в следующем:
1). процедура проектирования является более четкой, т.к. включает в едином показателе проектирования все существенные аспекты качества;
2). очевидно проектировщик может ожидать получения наилучшего результата в соответствии с данным показателем качества. Поэтому для рассматриваемой задачи указывается область ограничений;
3). можно обнаружить несовместимость ряда требований качества;
4). процедура непосредственно включает в себя предсказание, т.к. оценка показателя качества производится по будущим значениям времени управления;
5). результирующая система управления будет адаптивной, если в процессе работы показатель проектирования переформулируется и попутно снова вычисляются параметры регулятора;
6). определение оптимальных нестационарных процессов не вносит каких-либо дополнительных трудностей;
7). непосредственно рассматриваются и нелинейные объекты, правда, при этом возрастает сложность вычислений.
Трудности, присущие теории оптимизации, состоят в следующем:
1). превращение различных требований проектирования в значимый на языке математики показатель качества непростая задача; здесь возможны пробы и ошибки;
2). существующие алгоритмы оптимального управления в случае нелинейных систем требуют сложных программ вычислений и, в ряде случаев, большого количества машинного времени;
3). показатель качества результирующей системы управления очень чувствителен к разного рода ошибочным предположениям и к изменениям параметров объекта управления.
Задача оптимизации решается в три этапа:
1). построение математических моделей физического процесса, а также требований качества. Математическая модель требований качества является показателем качества системы;
2). вычисление оптимальных управляющих воздействий;
3). синтез регулятора, формирующего оптимальные сигналы управления.
На рис.10.1 представлена классификация оптимальных систем.
В широком значении слово «оптимальный» означает наилучший в смысле некоторого критерия эффективности. При таком толковании любая научно обоснованная система является оптимальной, так как при выборе какой-либо системы подразумевается, что она в каком-либо отношении лучше других систем. Критерии, с помощью которых осуществляется выбор (критерии оптимальности), могут быть различными. Этими критериями могут являться качество динамики процессов управления, надежность системы, энергопотребление, ее вес и габариты, стоимость и т. п., либо совокупность этих критериев с некоторыми весовыми коэффициентами.
Ниже термин «оптимальный» используется в узком смысле, когда система автоматического управления оценивается лишь качеством динамических процессов и при этом критерием (мерой) этого качества выступает интегральный показатель качества. Такое описание критериев качества позволяет использовать для нахождения оптимального управления хорошо разработанный в математике аппарат вариационного исчисления.
Далее рассматривается два класса систем: системы программного управления, управляющее воздействие в которых не использует информацию о текущем состоянии объекта, и системы автоматического регулирования (системы стабилизации программного движения), действующие по принципу обратной связи.
Вариационные задачи, возникающие при построении оптимальных систем программного и стабилизирующего управления, формулируются в первой главе. Во второй главе излагается математическая теория оптимального управления (принцип максимума Л. С. Понтрягина и метод динамического программирования Р. Веллмана). Эта теория является фундаментом для построения оптимальных систем. Она доставляет большой объем информации о структуре оптимального управления. Свидетельством последнего являются оптимальные по быстродействию управления, которым посвящена третья глава. Вместе с тем практическое применение теории сталкивается с трудностями вычислительного характера. Дело в том, что математическая теория оптимального управления позволяет свести процесс построения оптимального управления к решению краевой задачи для дифференциальных уравнений (обыкновенных либо в частных производных).
Трудности численного решения краевых задач приводят к тому, что построение оптимальных управлений для каждого класса объектов управления является самостоятельной творческой задачей, решение которой требует учета специфических особенностей объекта, опыта и интуиции разработчика.
Эти обстоятельства побудили к отысканию классов объектов, для которых при построении оптимального управления краевая задача легко решается численно. Такими объектами управления оказались объекты, описываемые линейными дифференциальными уравнениями. Эти результаты, полученные А. М. Летовым и Р. Калманом, явились основой нового направления синтеза систем оптимальной стабилизации, называемого аналитическим конструированием регуляторов.
Аналитическому конструированию регуляторов, широко используемому при проектировании современных сложных систем стабилизации, посвящены четвертая и пятая главы.
В общем случае система автоматического управления состоит из объекта управления ОУ с рабочим параметром Y, регулятора Р и программатора (задатчика) П (рис. 6.3), вырабатывающего задающее воздействие (программу) для достижения целей управления при условии выполнения качественных и количественных требований. Программатор учитывает совокупность внешней информации (сигнал И).
Рис. 6.3. Структура оптимального управления
Задача создания оптимальной системы состоит в том, чтобы для заданного объекта управления синтезировать регулятор и программатор, которые наилучшим образом решают требуемую цель управления.
В теории автоматического управления рассматриваются две родственные задачи: синтез оптимального программатора и синтез оптимального регулятора. Математически они формулируются одинаково и решаются одними и теми же методами. В то же время задачи имеют специфические особенности, которые на определенном этапе требуют дифференцированного подхода.
Система с оптимальным программатором (оптимальное программное управление) получила название оптимальной по режиму управления. Систему с оптимальным регулятором называют оптимальной по переходному режиму. Система автоматического управления называется оптимальной, если оптимальными являются регулятор и программатор.
В ряде случаев считается, что программатор задан и требуется определить только оптимальный регулятор.
Задача синтеза оптимальных систем формулируется как вариационная задача или задача математического программирования. При этом, кроме передаточной функции объекта управления, задаются ограничения на управляющие воздействия и рабочие параметры объекта управления, краевые условия и критерий оптимальности. Краевые (граничные) условия определяют состояние объекта в начальный и конечный момент времени. Критерий оптимальности, который является числовым показателем качества системы, обычно задается в виде функционала
J = J [u (t ), y (t )],
где u (t ) – управляющие воздействия; y (t ) – параметры объекта управления.
Задача оптимального управления формулируется следующим образом: при заданном объекте управления, ограничениях и краевых условиях найти такое управление (программатор или регулятор), при котором критерий оптимальности принимает минимальное (или максимальное) значение.
28. Обработка информации в АСУ ТП. Связь интервала корреляции с частотой опроса первичных измерительных преобразователей. Выбор частоты опроса первичных измерительных преобразователей.
Оптимальное управление - это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы .
Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств .
Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: вариационное исчисление , принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана .
Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств (Нечёткое управление). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные.
Задача оптимального управления
Сформулируем задачу оптимального управления:
здесь - вектор состояния - управление, - начальный и конечный моменты времени.
Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния и управления для времени , которые минимизируют функционал.
Вариационное исчисление
Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления . Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа . Функция Лагранжа имеет вид: , где - граничные условия. Лагранжиан имеет вид: , где , , - n-мерные вектора множителей Лагранжа .
Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:
Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть - в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге
Принцип максимума Понтрягина
Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно .
В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):
(6)В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона Н, определяемой соотношением . Из уравнений следует, что функция Гамильтона H связана с функцией Лагранжа L следующим образом: . Подставляя L из последнего уравнения в уравнения (3-5) получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:
Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге .
Где применяется
Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.
История
За разработку теории оптимального управления Л.С. Понтрягину и его сотрудникам В.Г. Болтянскому , Р.В. Гамкрелидзе и Е.Ф. Мищенко в 1962 г была присуждена Ленинская премия .
Метод динамического программирования
Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности Беллмана, который формулируется следующим образом: оптимальная стратегия управления обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса последующие управления должны составлять оптимальную стратегию управления относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса . Более подробно метод динамического программирования изложен в книге
Примечания
Литература
- Растригин Л.А. Современные принципы управления сложными объектами. - М.: Сов. радио, 1980. - 232 с., ББК 32.815, тир. 12000 экз.
- Алексеев В.М., Тихомиров В.М. , Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979, УДК 519.6, - 223 c., тир. 24000 экз.
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Оптимальное управление" в других словарях:
Оптимальное управление - ОУ Управление, обеспечивающее наивыгоднейшее значение определенного критерия оптимальности (КО), характеризующего эффективность управления при заданных ограничениях. В качестве КО могут быть выбраны различные технические или экономические… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
оптимальное управление - Управление, цель которого заключается в обеспечении экстремального значения показателя качества управления. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 107. Теория управления. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1984 г.]… … Справочник технического переводчика
Оптимальное управление - 1. Основное понятие математической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: «О.у.»); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее с точки… … Экономико-математический словарь
Позволяет при заданных условиях (часто противоречивых) достичь поставленной цели наилучшим образом, напр. за минимальное время, с наибольшим экономическим эффектом, с максимальной точностью … Большой Энциклопедический словарь
Летательным аппаратом раздел динамики полёта, посвящённый развитию и использованию методов оптимизации для определения законов управления движением летательного аппарата и его траекторий, обеспечивающих максимум или минимум выбранного критерия… … Энциклопедия техники
Раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи. Объекты, с которыми имеет дело техника, обычно снабжены «рулями» с их помощью человек управляет движением. Математически поведение такого объекта описывается… … Большая советская энциклопедия
Позволяет при заданных условиях (часто противоречивых) достичь поставленной цели наилучшим образом, например за минимальное время, с наибольшим экономическим эффектом, с максимальной точностью. * * * ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ … Энциклопедический словарь