Jednym z najtrudniejszych tematów dla studentów jest rozwiązywanie równań zawierających zmienną pod znakiem modułu. Zastanówmy się na początek, z czym to się wiąże? Dlaczego, na przykład, równania kwadratowe większość dzieci klika jak orzechy, a przy tak dalekiej od skomplikowanej koncepcji jak moduł, ma tak wiele problemów?
Moim zdaniem wszystkie te trudności wiążą się z brakiem jasno sformułowanych reguł rozwiązywania równań z modułem. Tak więc, rozwiązując równanie kwadratowe, uczeń wie na pewno, że musi najpierw zastosować wzór na dyskryminację, a następnie wzór na pierwiastki równania kwadratowego. Ale co, jeśli w równaniu jest moduł? Postaramy się jasno opisać niezbędny plan działania w przypadku, gdy równanie zawiera niewiadomą pod znakiem modułu. Oto kilka przykładów dla każdego przypadku.
Ale najpierw pamiętajmy definicja modułu... Tak więc moduł liczby a sam ten numer nazywa się if a nieujemna i -a jeśli liczba a mniej niż zero. Możesz napisać to tak:
| a | = a jeśli a ≥ 0 oraz | a | = -a jeśli a< 0
Mówiąc o sensie geometrycznym modułu, należy pamiętać, że każdej liczbie rzeczywistej odpowiada pewien punkt na osi liczbowej – jej k 
koordynować. Tak więc moduł lub wartość bezwzględna liczby to odległość od tego punktu do początku osi liczbowej. Odległość jest zawsze podawana jako liczba dodatnia. Zatem wartość bezwzględna dowolnej liczby ujemnej jest liczbą dodatnią. Nawiasem mówiąc, nawet na tym etapie wielu uczniów zaczyna się mylić. W module może znajdować się dowolna liczba, ale wynik zastosowania modułu jest zawsze liczbą dodatnią.
Przejdźmy teraz bezpośrednio do rozwiązywania równań.
1. Rozważ równanie postaci |x | = c, gdzie c jest liczbą rzeczywistą. Równanie to można rozwiązać za pomocą definicji modułu.
Wszystkie liczby rzeczywiste dzielimy na trzy grupy: większe od zera, mniejsze od zera, a trzecia grupa to liczba 0. Zapiszmy rozwiązanie w postaci diagramu:
(± c jeśli c> 0
Jeżeli |x | = c, to x = (0, jeśli c = 0
(bez korzeni, jeśli z< 0
1) |x | = 5, ponieważ 5> 0, to x = ± 5;
2) |x | = -5, ponieważ -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x | = 0, następnie x = 0.
2. Równanie postaci |f(x) | = b, gdzie b> 0. Aby rozwiązać to równanie, należy pozbyć się modułu. Robimy to tak: f (x) = b lub f (x) = -b. Teraz konieczne jest rozwiązanie każdego z otrzymanych równań osobno. Jeśli w pierwotnym równaniu b< 0, решений не будет.
1) |x + 2 | = 4, ponieważ 4>0, to
x + 2 = 4 lub x + 2 = -4
2) |x 2 - 5 | = 11, ponieważ 11>0, to
x 2 - 5 = 11 lub x 2 - 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 bez pierwiastków
3) |x 2 - 5x | = -8, ponieważ -osiem< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Równanie postaci |f(x) | = g (x). W rozumieniu modułu takie równanie będzie miało rozwiązania, jeśli jego prawa strona jest większa lub równa zero, tj. g (x) ≥ 0. Wtedy będziemy mieli:
f (x) = g (x) lub f (x) = -g (x).
1) | 2x - 1 | = 5x - 10. To równanie będzie miało pierwiastki, jeśli 5x - 10 ≥ 0. Od tego zaczyna się rozwiązanie takich równań.
1.O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0
2. Rozwiązanie:
2x - 1 = 5x - 10 lub 2x - 1 = - (5x - 10)
3. Łączymy ODZ. a rozwiązanie otrzymujemy:
Pierwiastek x = 11/7 nie pasuje do ODZ, jest mniejszy niż 2, a x = 3 spełnia ten warunek.
Odpowiedź: x = 3
2) |x-1 | = 1 - x 2.
1.O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Nierówność tę rozwiązujemy metodą przedziałów:
(1 - x) (1 + x) ≥ 0
2. Rozwiązanie:
x - 1 = 1 - x 2 lub x - 1 = - (1 - x 2)
x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0
x = -2 lub x = 1 x = 0 lub x = 1
3. Łączymy rozwiązanie i ODZ:
Tylko pierwiastki x = 1 i x = 0 są odpowiednie.
Odpowiedź: x = 0, x = 1.
4. Równanie postaci |f(x) | = |g(x) |. To równanie jest równoważne następującym dwóm równaniom f (x) = g (x) lub f (x) = -g (x).
1) |x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. To równanie jest równoważne dwóm następującym:
x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 lub x 2 - 5x +7 = -2x + 5
x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0
x = 3 lub x = 4 x = 2 lub x = 1
Odpowiedź: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Równania rozwiązane metodą substytucji (zmiana zmiennej). Ten sposób rozwiązania najłatwiej wyjaśnić na konkretnym przykładzie. Niech więc będzie podane równanie kwadratowe z modułem:
x 2 - 6 | x | + 5 = 0. Według właściwości modułu x 2 = | x | 2, więc równanie można przepisać w następujący sposób:
|x | 2 - 6 | x | + 5 = 0. Zamieńmy | x | = t ≥ 0, wtedy będziemy mieli:
t 2 - 6t + 5 = 0. Rozwiązując to równanie, stwierdzamy, że t = 1 lub t = 5. Wróćmy do zamiany:
|x | = 1 lub | x | = 5
x = ± 1 x = ± 5
Odpowiedź: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Weźmy inny przykład:
x 2 + | x | - 2 = 0. Według właściwości modułu x 2 = | x | 2, zatem
|x | 2 + | x | - 2 = 0. Zamieńmy | x | = t ≥ 0, wtedy:
t 2 + t - 2 = 0. Rozwiązując to równanie, otrzymujemy t = -2 lub t = 1. Wróćmy do zamiany:
|x | = -2 lub | x | = 1
Brak pierwiastków x = ± 1
Odpowiedź: x = -1, x = 1.
6. Innym rodzajem równań są równania o „złożonym” module. Równania te obejmują równania, które mają „moduły w module”. Tego rodzaju równania można rozwiązywać za pomocą właściwości modułu.
1) | 3 - | x || = 4. Postępujemy tak samo, jak w równaniach drugiego typu. Bo 4>0, to otrzymujemy dwa równania:
3 - | x | = 4 lub 3 - | x | = -4.
Teraz wyrażamy w każdym równaniu moduł x, wtedy | x | = -1 lub |x | = 7.
Rozwiązujemy każde z otrzymanych równań. W pierwszym równaniu nie ma pierwiastków, ponieważ -jeden< 0, а во втором x = ±7.
Odpowiedź brzmi: x = -7, x = 7.
2) | 3 + | x + 1 || = 5. Rozwiązujemy to równanie w ten sam sposób:
3 + | x + 1 | = 5 lub 3 + | x + 1 | = -5
| x + 1 | = 2 | x + 1 | = -8
x + 1 = 2 lub x + 1 = -2. Bez korzeni.
Odpowiedź: x = -3, x = 1.
Istnieje również uniwersalna metoda rozwiązywania równań z modułem. To jest metoda odstępów. Ale rozważymy to później.
strony, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Wartość bezwzględna liczby a Czy odległość od początku do punktu? A(a).
Aby zrozumieć tę definicję, zastąp zmienną a dowolna liczba, na przykład 3 i spróbuj ją przeczytać ponownie:
Wartość bezwzględna liczby 3 Czy odległość od początku do punktu? A(3 ).
Staje się jasne, że moduł to nic innego jak normalna odległość. Spróbujmy zobaczyć odległość od początku do punktu A ( 3 )
Odległość od początku do punktu A ( 3 ) jest równe 3 (trzy jednostki lub trzy kroki).
Moduł liczby wskazują dwie pionowe linie, na przykład:
Moduł liczby 3 oznaczamy następująco: | 3 |
Moduł liczby 4 oznaczamy następująco: | 4 |
Moduł liczby 5 oznaczamy następująco: | 5 |
Szukaliśmy modułu liczby 3 i stwierdziliśmy, że jest on równy 3. Więc piszemy:
Brzmi to tak: „Moduł liczby trzy to trzy”
Spróbujmy teraz znaleźć moduł liczby -3. Ponownie wróć do definicji i wstaw do niej liczbę -3. Tylko zamiast punktu A użyj nowego punktu b... Punkt A wykorzystaliśmy już w pierwszym przykładzie.
Numery modulo - 3 to odległość od początku do punktu b(—3 ).
Odległość od jednego punktu do drugiego nie może być ujemna. Dlatego moduł dowolnej liczby ujemnej, będącej odległością, również nie będzie ujemny. Moduł liczby -3 będzie liczbą 3. Odległość od początku do punktu B (-3) również wynosi trzy jednostki:
Brzmi to tak: „Moduł liczby minus trzy jest równy trzem”
Wartość bezwzględna liczby 0 wynosi 0, ponieważ punkt o współrzędnej 0 pokrywa się z początkiem, tj. odległość od początku do punktu (0) jest równy zero:
„Zerowy moduł to zero”
Wyciągamy wnioski:
- Moduł liczby nie może być ujemny;
- Dla liczby dodatniej i zera moduł jest równy samej liczbie, a dla liczby ujemnej - przeciwnej;
- Liczby przeciwne mają równe moduły.
Liczby przeciwne
Liczby różniące się tylko znakami nazywamy odwrotny... Na przykład liczby -2 i 2 są przeciwne. Różnią się tylko znakami. Liczba -2 ma znak minus, a 2 ma znak plus, ale tego nie widzimy, ponieważ plus, jak powiedzieliśmy wcześniej, tradycyjnie nie jest pisany.
Więcej przykładów liczb przeciwnych:
Liczby przeciwne mają równe moduły. Na przykład znajdźmy moduły dla −2 i 2
Rysunek pokazuje, że odległość od początku do punktów A (−2) oraz B (2) jest równy dwóm krokom.
Podobała Ci się lekcja?
Dołącz do naszej nowej grupy Vkontakte i zacznij otrzymywać powiadomienia o nowych lekcjach
Rozwiązywanie równań i nierówności z modułem jest często trudne. Jeśli jednak dobrze rozumiesz, co to jest wartość bezwzględna liczby, oraz jak poprawnie rozwinąć wyrażenia zawierające znak modułu, to obecność w równaniu wyrażenie pod znakiem modułu przestaje być przeszkodą w jego rozwiązaniu.
Trochę teorii. Każda liczba ma dwie cechy: wartość bezwzględną liczby i jej znak.
Na przykład liczba +5 lub po prostu 5 ma znak „+” i wartość bezwzględną 5.
Liczba -5 ma znak „-” i wartość bezwzględną 5.
Wartości bezwzględne 5 i -5 to 5.
Wartość bezwzględna liczby x nazywana jest modułem liczby i jest oznaczana przez | x |.
Jak widać, moduł liczby jest równy samej liczbie, jeśli ta liczba jest większa lub równa zero, oraz tej liczbie ze znakiem przeciwnym, jeśli ta liczba jest ujemna.
To samo dotyczy wszelkich wyrażeń znajdujących się pod znakiem modułu.
Zasada rozbudowy modułów wygląda tak:
| f (x) | = f (x) jeśli f (x) ≥ 0, oraz
| f (x) | = - f (x) jeśli f (x)< 0
Na przykład | x-3 | = x-3, jeśli x-3≥0 i | x-3 | = - (x-3) = 3-x, jeśli x-3<0.
Aby rozwiązać równanie zawierające wyrażenie pod znakiem modułu, musisz najpierw: rozbudować moduł zgodnie z zasadą rozbudowy modułu.
Następnie przekształca się nasze równanie lub nierówność na dwa różne równania istniejące w dwóch różnych zakresach liczbowych.
Na przedziale liczbowym istnieje jedno równanie, w którym wyrażenie pod znakiem modułu jest nieujemne.
Drugie równanie istnieje na przedziale, na którym wyrażenie pod znakiem modułu jest ujemne.
Spójrzmy na prosty przykład.
Rozwiążmy równanie:
| x-3 | = -x 2 + 4x-3
1. Rozwińmy moduł.
|x-3|=x-3, jeśli x-3≥0, tj. jeśli x≥3
| x-3 | = - (x-3) = 3-x jeśli x-3<0, т.е. если х<3
2. Otrzymaliśmy dwa zakresy liczbowe: x≥3 i x<3.
Zastanów się, na jakie równania jest przekształcane oryginalne równanie w każdym przedziale:
A) Dla x≥3|x-3|=x-3, a nasze równanie ma postać:
Uwaga! Równanie to istnieje tylko w przedziale x≥3!
Rozwińmy nawiasy, podamy podobne terminy:
i rozwiąż to równanie.
To równanie ma pierwiastki:
x 1 = 0, x 2 = 3
Uwaga! ponieważ równanie x-3 = -x 2 + 4x-3 istnieje tylko w przedziale x≥3, interesują nas tylko pierwiastki należące do tego przedziału. Warunek ten jest spełniony tylko przez x 2 = 3.
B) Dla x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Uwaga! To równanie istnieje tylko w przedziale x<3!
Rozwińmy nawiasy i podajmy podobne terminy. Otrzymujemy równanie:
x 1 = 2, x 2 = 3
Uwaga! ponieważ równanie 3-x = -x 2 + 4x-3 istnieje tylko w przedziale x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Czyli: z pierwszego przedziału bierzemy tylko pierwiastek x = 3, z drugiego - pierwiastek x = 2.
Nie wybieramy matematyki jej zawód i wybiera nas.
Rosyjski matematyk Yu.I. Manin
Równania z modułem
Najtrudniejszymi do rozwiązania problemami matematyki szkolnej są równania zawierające zmienne pod znakiem modułu. Aby skutecznie rozwiązywać takie równania, musisz znać definicję i podstawowe właściwości modułu. Oczywiście studenci powinni posiadać umiejętności rozwiązywania tego typu równań.
Podstawowe pojęcia i właściwości
Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej oznaczone i jest zdefiniowany w następujący sposób:
Proste właściwości modułu obejmują następujące proporcje:
Notatka, że dwie ostatnie właściwości są ważne w dowolnym stopniu.
Ponadto, jeśli, gdzie, to
Bardziej złożone właściwości modułu, które można skutecznie wykorzystać do rozwiązywania równań za pomocą modułów, formułuje się za pomocą następujących twierdzeń:
Twierdzenie 1.Dla wszelkich funkcji analitycznych oraz nierówność jest prawdziwa
Twierdzenie 2. Równość jest równoznaczna z nierównością.
Twierdzenie 3. Równość równoznaczne z nierównością.
Rozważmy typowe przykłady rozwiązywania problemów na temat „Równania, zawierające zmienne pod znakiem modułu ".
Rozwiązywanie równań z modułem
Najpopularniejszą metodą w matematyce szkolnej do rozwiązywania równań za pomocą modułu jest metoda, w oparciu o rozbudowę modułów. Ta metoda jest wszechstronna, jednak generalnie jego zastosowanie może prowadzić do bardzo kłopotliwych obliczeń. W związku z tym uczniowie powinni być świadomi innych, bardziej efektywne metody i techniki rozwiązywania takich równań. W szczególności, musisz mieć umiejętności stosowania twierdzeń, podane w tym artykule.
Przykład 1. Rozwiązać równanie. (jeden)
Rozwiązanie. Równanie (1) zostanie rozwiązane metodą „klasyczną” – metodą rozbudowy modułów. W tym celu dzielimy oś liczbową punkty i na interwały i rozważ trzy przypadki.
1. Jeśli, wtedy, i równanie (1) przyjmuje postać. Stąd wynika. Jednak tutaj znaleziona wartość nie jest zatem pierwiastkiem równania (1).
2. Jeśli, to z równania (1) otrzymujemy lub .
Od tego czasu pierwiastek równania (1).
3. Jeśli, wtedy równanie (1) przyjmuje postać lub . Zauważ to.
Odpowiedź: , .
Rozwiązując kolejne równania z modułem, będziemy aktywnie wykorzystywać właściwości modułów w celu zwiększenia efektywności rozwiązywania takich równań.
Przykład 2. Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie. Ponieważ i, to równanie implikuje... Pod tym względem,,, a równanie przyjmuje postać... Z tego otrzymujemy... Ale , dlatego oryginalne równanie nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: nie ma korzeni.
Przykład 3. Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie. Od tego czasu. Jeśli następnie, a równanie przyjmuje postać.
Stąd otrzymujemy.
Przykład 4. Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie.Przepiszmy równanie w postaci równoważnej. (2)
Otrzymane równanie należy do równań typu.
Biorąc pod uwagę Twierdzenie 2, można argumentować, że równanie (2) jest równoznaczne z nierównością. Stąd otrzymujemy.
Odpowiedź: .
Przykład 5. Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie. To równanie ma postać... Więc , zgodnie z twierdzeniem 3, tutaj mamy nierówność lub .
Przykład 6. Rozwiązać równanie.
Rozwiązanie. Przypuszczam, że. Bo , wtedy dane równanie przyjmuje postać równania kwadratowego, (3)
gdzie ... Ponieważ równanie (3) ma jeden pierwiastek dodatni i wtedy ... Stąd otrzymujemy dwa pierwiastki pierwotnego równania: oraz .
Przykład 7. Rozwiązać równanie. (4)
Rozwiązanie. Ponieważ równaniejest równoważne kombinacji dwóch równań: oraz , wtedy przy rozwiązywaniu równania (4) należy wziąć pod uwagę dwa przypadki.
1. Jeśli, to lub.
Stąd otrzymujemy, i.
2. Jeśli, to lub.
Od tego czasu.
Odpowiedź: , , , .
Przykład 8.Rozwiązać równanie . (5)
Rozwiązanie. Od i wtedy. Z tego iz równania (5) wynika, że i, tj. tutaj mamy układ równań
Jednak ten układ równań jest niespójny.
Odpowiedź: nie ma korzeni.
Przykład 9. Rozwiązać równanie. (6)
Rozwiązanie. Jeśli oznaczamy, to a z równania (6) otrzymujemy
Lub . (7)
Ponieważ równanie (7) ma postać, równanie to jest równoważne nierówności. Stąd otrzymujemy. Od tego czasu lub.
Odpowiedź: .
Przykład 10.Rozwiązać równanie. (8)
Rozwiązanie.Zgodnie z Twierdzeniem 1 możemy pisać
(9)
Uwzględniając równanie (8) dochodzimy do wniosku, że obie nierówności (9) zamieniają się w równości, tj. układ równań utrzymuje się
Jednak według Twierdzenia 3 powyższy układ równań jest równoważny układowi nierówności
(10)
Rozwiązując system nierówności (10), otrzymujemy. Ponieważ układ nierówności (10) jest równoważny równaniu (8), pierwotne równanie ma jeden pierwiastek.
Odpowiedź: .
Przykład 11. Rozwiązać równanie. (11)
Rozwiązanie. Niech i wtedy równość wynika z równania (11).
Stąd wynika, że i. Mamy więc tutaj system nierówności
Rozwiązaniem tego systemu nierówności jest: oraz .
Odpowiedź: , .
Przykład 12.Rozwiązać równanie. (12)
Rozwiązanie. Równanie (12) zostanie rozwiązane metodą sekwencyjnego rozszerzania modułów. Aby to zrobić, rozważ kilka przypadków.
1. Jeśli, to.
1.1. Jeśli, to i.
1.2. Jeśli następnie. Ale , dlatego w tym przypadku równanie (12) nie ma pierwiastków.
2. Jeśli, to.
2.1. Jeśli, to i.
2.2. Jeśli, to i.
Odpowiedź: , , , , .
Przykład 13.Rozwiązać równanie. (13)
Rozwiązanie. Ponieważ lewa strona równania (13) jest nieujemna, to i. W związku z tym równanie (13)
przyjmuje formę lub.
Wiadomo, że równanie jest równoważne połączeniu dwóch równań oraz , decydując, co otrzymamy,. Bo , wtedy równanie (13) ma jeden pierwiastek.
Odpowiedź: .
Przykład 14. Rozwiąż układ równań (14)
Rozwiązanie. Od i wtedy i. Dlatego z układu równań (14) otrzymujemy cztery układy równań:
Pierwiastki powyższych układów równań są pierwiastkami układu równań (14).
Odpowiedź: ,, , , , , , .
Przykład 15. Rozwiąż układ równań (15)
Rozwiązanie. Od tego czasu. W związku z tym z układu równań (15) otrzymujemy dwa układy równań
Pierwiastkami pierwszego układu równań są i, az drugiego układu równań otrzymujemy i.
Odpowiedź: , , , .
Przykład 16. Rozwiąż układ równań (16)
Rozwiązanie. Z pierwszego równania układu (16) wynika to.
Od tego czasu ... Rozważ drugie równanie systemu. O ile, następnie , a równanie przyjmuje postać, , lub .
Jeśli zastąpisz wartośćdo pierwszego równania układu (16), wtedy lub.
Odpowiedź: , .
Do głębszego zbadania metod rozwiązywania problemów, związane z rozwiązywaniem równań, zawierające zmienne pod znakiem modułu, możesz polecić tutoriale z listy polecanych lektur.
1. Zbiór problemów matematycznych dla kandydatów na uczelnie techniczne / wyd. MI. Skanawi. - M.: Pokój i edukacja, 2013 .-- 608 s.
2. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół średnich: problemy o zwiększonej złożoności. - M.: KD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 200 pkt.
3. Suprun V.P. Matematyka dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych: niestandardowe metody rozwiązywania problemów. - M.: KD "Librokom" / URSS, 2017 .-- 296 s.
Masz pytania?
Aby uzyskać pomoc od korepetytora -.
blog, z pełnym lub częściowym skopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Wśród przykłady modułów często są równania, w których musisz znaleźć korzenie modułu w module, czyli równanie postaci
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Jeśli k = 0, czyli prawa strona jest równa stałej (m), to łatwiej jest poszukać rozwiązania równania z modułami graficznie. Poniżej znajduje się technika wdrażanie podwójnych modułów na przykładach wspólnych dla praktyki. Dobrze przeanalizuj algorytm obliczania równań z modułami, aby nie mieć problemów ze sterowaniem, testami i po prostu wiedzą.
Przykład 1. Rozwiąż równanie modułu w module | 3 | x | -5 | = -2x-2.
Rozwiązanie: Zawsze zaczynaj ujawniać równania z modułu wewnętrznego
| x | = 0 <->x = 0.
W punkcie x = 0 równanie modułu dzieli się przez 2.
Dla x< 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
| -3x-5 | = -2x-2.
Dla x> 0 lub równego, rozszerzając otrzymany moduł
| 3x-5 | = -2x-2.
Rozwiążmy równanie dla zmiennych ujemnych (x< 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Z pierwszego równania otrzymujemy, że rozwiązanie nie powinno przekraczać (-1), czyli
To ograniczenie należy w całości do obszaru, w którym się rozwiązujemy. Przenosimy zmienne i stałe po przeciwnych stronach równości w pierwszym i drugim systemie
i znajdź rozwiązanie 
Obie wartości należą do rozważanego przedziału, to znaczy są pierwiastkami.
Rozważ równanie z modułami dla zmiennych dodatnich
| 3x-5 | = -2x-2.
Rozbudowując moduł otrzymujemy dwa układy równań 
Z pierwszego równania, które jest wspólne dla obu układów, otrzymujemy znany warunek
co na przecięciu ze zbiorem na którym szukamy rozwiązania daje zbiór pusty (nie ma punktów przecięcia). Zatem jedynymi korzeniami modułu z modułem są wartości
x = -3; x = -1,4.
Przykład 2. Rozwiąż równanie z modułem ||x-1|-2|=3x-4.
Rozwiązanie: Zacznijmy od rozbudowy modułu wewnętrznego
| x-1 | = 0 <=>x = 1.
Funkcja submodułu zmienia znak o jeden. Przy niższych wartościach jest ujemny, przy wyższych jest dodatni. Zgodnie z tym otwierając moduł wewnętrzny otrzymujemy dwa równania z modułem
x|-(x-1) -2 |= 3x-4;
x> = 1 -> | x-1-2 | = 3x-4.
Pamiętaj, aby sprawdzić prawą stronę równania z modułem, musi być większy od zera.
3x-4> = 0 -> x> = 4/3.
Oznacza to, że nie ma potrzeby rozwiązywania pierwszego z równań, ponieważ jest napisane dla x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
| x-3 | = 3x-4 ->
x-3 = 3x-4 lub x-3 = 4-3x;
4-3 = 3x-x lub x + 3x = 4 + 3;
2x = 1 lub 4x = 7;
x = 1/2 lub x = 7/4.
Otrzymaliśmy dwie wartości, z których pierwsza została odrzucona, ponieważ nie należy do wymaganego przedziału. Wreszcie równanie ma jedno rozwiązanie x = 7/4.
Przykład 3. Rozwiąż równanie za pomocą modułu || 2x-5 | -1 | = x + 3.
Rozwiązanie: Otwórzmy moduł wewnętrzny
| 2x-5 | = 0 <=>x = 5/2 = 2,5.
Punkt x = 2,5 dzieli oś liczbową na dwa przedziały. Odpowiednio, funkcja podmodułu zmienia znak przy przejściu przez 2.5. Zapiszmy warunek rozwiązania po prawej stronie równania z modułem.
x + 3> = 0 -> x> = - 3.
Tak więc rozwiązaniem mogą być wartości nie mniejsze niż (-3). Otwórzmy moduł na ujemną wartość modułu wewnętrznego
|-(2x-5)-1 |=x+3;
| -2x + 4 | = x + 3.
Ten moduł, po rozwinięciu, poda również 2 równania
-2x + 4 = x + 3 lub 2x-4 = x + 3;
2x + x = 4-3 lub 2x-x = 3 + 4;
3x = 1; x = 1/3 lub x = 7.
Odrzucamy wartość x = 7, ponieważ szukaliśmy rozwiązania w przedziale [-3;2,5]. Teraz otwieramy wewnętrzny moduł dla x>2,5. Otrzymujemy równanie z jednym modułem
| 2x-5-1 | = x + 3;
| 2x-6 | = x + 3.
Rozbudowując moduł otrzymujemy następujące równania liniowe
-2x + 6 = x + 3 lub 2x-6 = x + 3;
2x + x = 6-3 lub 2x-x = 3 + 6;
3x = 3; x = 1 lub x = 9.
Pierwsza wartość x = 1 nie spełnia warunku x>2,5. Czyli na tym przedziale mamy jeden pierwiastek równania o module x = 9, a są tylko dwa (x = 1/3).Podstawienie może sprawdzić poprawność obliczeń
Odpowiedź: x = 1/3; x = 9.
Przykład 4. Znajdź rozwiązania dla podwójnego modułu || 3x-1 | -5 | = 2x-3.
Rozwiązanie: Otwórzmy wewnętrzny moduł równania
| 3x-1 | = 0 <=>x = 1/3.
Punkt x = 2,5 dzieli oś liczbową na dwa przedziały, a dane równanie na dwa przypadki. Zapisujemy warunek rozwiązania w oparciu o postać równania po prawej stronie
2x-3> = 0 -> x> = 3/2 = 1,5.
Wynika z tego, że interesują nas wartości >=1,5. W ten sposób równanie modułowe rozpatrywane w dwóch odstępach czasu
,
|-(3x-1) -5 |=2x-3;
| -3x-4 | = 2x-3.
Otrzymany moduł po otwarciu dzieli się na 2 równania
-3x-4 = 2x-3 lub 3x + 4 = 2x-3;
2x + 3x = -4 + 3 lub 3x-2x = -3-4;
5x = -1; x = -1 / 5 lub x = -7.
Obie wartości nie mieszczą się w przedziale, to znaczy nie są rozwiązaniami równania z modułami. Następnie rozszerzamy moduł dla x>2,5. Otrzymujemy następujące równanie
|3x-1-5 |=2x-3;
| 3x-6 | = 2x-3.
Rozbudowując moduł otrzymujemy 2 równania liniowe
3x-6 = 2x-3 lub - (3x-6) = 2x-3;
3x-2x = -3 + 6 lub 2x + 3x = 6 + 3;
x = 3 lub 5x = 9; x = 9/5 = 1,8.
Druga wartość z tych znalezionych nie spełnia warunku x>2,5, odrzucamy ją.
Wreszcie mamy jeden pierwiastek równania z modułami x = 3.
Kontrola
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Pierwiastek równania z modułem jest obliczany poprawnie.
Odpowiedź: x = 1/3; x = 9.