Równanie kwadratowe i jego formy. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą dyskryminatora

Wpisz równanie

Wyrażenie D= b 2 - 4ac nazywa dyskryminujący równanie kwadratowe. JeśliD = 0, to równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty; jeśli D> 0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.
W przypadku, gdy D = 0 czasami mówi się, że równanie kwadratowe ma dwa identyczne pierwiastki.
Korzystanie z notacji D= b 2 - 4ac, wzór (2) można przepisać jako

Jeśli b= 2 k, to formuła (2) przyjmuje postać:

gdzie k= b / 2 .
Ostatnia formuła jest szczególnie wygodna, gdy b / 2 jest liczbą całkowitą, tj. współczynnik b- Liczba parzysta.
Przykład 1: Rozwiązać równanie 2 x 2 - 5x + 2 = 0 . Tutaj a=2, b=-5, c=2. Mamy D= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Bo D > 0 , to równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je według wzoru (2)

więc x 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
to jest x 1 = 2 oraz x 2 = 1 / 2 są pierwiastkami danego równania.
Przykład 2: Rozwiązać równanie 2 x 2 - 3x + 5 = 0 . Tutaj a=2, b=-3, c=5. Znalezienie dyskryminatora D= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Bo D 0 , to równanie nie ma prawdziwych pierwiastków.

Niepełne równania kwadratowe. Jeśli w równaniu kwadratowym topór 2 +bx+c =0 drugi czynnik b lub wolny członek C równa się zero, to równanie kwadratowe nazywa się niekompletny. Równania niepełne są rozróżniane, ponieważ aby znaleźć ich pierwiastki, nie można użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego - łatwiej jest rozwiązać równanie, rozkładając jego lewą stronę na czynniki.
Przykład 1: Rozwiązać równanie 2 x 2 - 5x = 0 .
Mamy x(2x - 5) = 0 . Więc albo x = 0 , lub 2 x - 5 = 0 , to jest x = 2.5 . Zatem równanie ma dwa pierwiastki: 0 oraz 2.5
Przykład 2: Rozwiązać równanie 3 x 2 - 27 = 0 .
Mamy 3 x 2 = 27 . Dlatego korzeniami tego równania są 3 oraz -3 .

Twierdzenie Viety. Jeśli podane równanie kwadratowe x 2 +px+ q =0 ma pierwiastki rzeczywiste, to ich suma jest równa - P, a produkt jest Q, to jest

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(suma pierwiastków danego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi, przyjętemu ze znakiem przeciwnym, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi wolnemu).

Ten temat może początkowo wydawać się skomplikowany ze względu na wiele nie tak prostych formuł. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie wpisy, ale także pierwiastki można znaleźć poprzez wyróżnik. W sumie dostępne są trzy nowe formuły. Niezbyt łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe dopiero po częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane same.

Ogólny widok równania kwadratowego

Tutaj proponuje się ich wyraźną notację, kiedy najpierw zapisywany jest najwyższy stopień, a następnie - w porządku malejącym. Często zdarzają się sytuacje, w których terminy różnią się od siebie. Wtedy lepiej jest przepisać równanie w porządku malejącym według stopnia zmiennej.

Wprowadźmy notację. Przedstawiono je w poniższej tabeli.

Jeśli przyjmiemy te zapisy, wszystkie równania kwadratowe zostaną zredukowane do następującej notacji.

Ponadto współczynnik a ≠ 0. Niech ten wzór oznaczymy liczbą jeden.

Gdy podane jest równanie, nie jest jasne, ile pierwiastków będzie w odpowiedzi. Ponieważ zawsze możliwa jest jedna z trzech opcji:

rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
odpowiedzią będzie jedna liczba;
Równanie w ogóle nie ma korzeni.

I choć decyzja nie jest zakończona, trudno zrozumieć, która z opcji wypadnie w konkretnym przypadku.

Rodzaje zapisów równań kwadratowych

Zadania mogą mieć różne wpisy. Nie zawsze będą wyglądać jak ogólna formuła równania kwadratowego. Czasami zabraknie niektórych określeń. To, co zostało napisane powyżej, to pełne równanie. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci termin, otrzymasz coś innego. Te zapisy są również nazywane równaniami kwadratowymi, tylko niekompletnymi.

Co więcej, mogą zniknąć tylko te terminy, dla których współczynniki „b” i „c” mogą zniknąć. Liczba „a” w żadnym wypadku nie może być równa zero. Ponieważ w tym przypadku formuła zamienia się w równanie liniowe. Wzory na niepełną postać równań będą następujące:

Tak więc istnieją tylko dwa typy, oprócz kompletnych, istnieją również niepełne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie liczbą dwa, a drugą liczbą trzy.

Dyskryminator i zależność liczby pierwiastków od jego wartości

Ta liczba musi być znana, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można go obliczyć, bez względu na wzór równania kwadratowego. Aby obliczyć dyskryminator, musisz użyć poniższej równości, która będzie miała liczbę cztery.

Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru można uzyskać liczby o różnych znakach. Jeśli odpowiedź brzmi tak, to odpowiedzią na równanie będą dwa różne pierwiastki. Przy liczbie ujemnej pierwiastki równania kwadratowego będą nieobecne. Jeśli jest równy zero, odpowiedź będzie jedna.

Jak rozwiązywane jest pełne równanie kwadratowe?

W rzeczywistości rozważanie tej kwestii już się rozpoczęło. Ponieważ najpierw musisz znaleźć wyróżnik. Po wyjaśnieniu, że istnieją pierwiastki równania kwadratowego, a ich liczba jest znana, należy użyć wzorów na zmienne. Jeśli są dwa korzenie, musisz zastosować taką formułę.

Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Wyrażenie pod znakiem pierwiastka kwadratowego jest wyróżnikiem. Dlatego formułę można przepisać w inny sposób.

Formuła piąta. Z tego samego zapisu wynika, że jeśli dyskryminator ma wartość zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.

Jeśli rozwiązanie równań kwadratowych nie zostało jeszcze opracowane, lepiej zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem formuł dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ta chwila nie sprawi trudności. Ale na samym początku panuje zamieszanie.

Jak rozwiązywane jest niepełne równanie kwadratowe?

Tutaj wszystko jest o wiele prostsze. Nawet nie ma potrzeby stosowania dodatkowych formuł. I nie będziesz potrzebować tych, które zostały już napisane dla dyskryminującego i nieznanego.

Najpierw rozważ niekompletne równanie numer dwa. W tej równości ma ona wyjąć nieznaną wielkość z nawiasów i rozwiązać równanie liniowe, które pozostanie w nawiasach. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza z nich jest z konieczności równa zero, ponieważ istnieje czynnik składający się z samej zmiennej. Drugi uzyskuje się, rozwiązując równanie liniowe.

Niekompletne równanie pod numerem trzy rozwiązuje się, przenosząc liczbę z lewej strony równania na prawą. Następnie musisz podzielić przez współczynnik przed niewiadomą. Pozostaje tylko wydobyć pierwiastek kwadratowy i nie zapomnij zapisać go dwukrotnie z przeciwstawnymi znakami.

Poniżej przedstawiono niektóre czynności, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywania wszelkiego rodzaju równości, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć błędów wynikających z nieuwagi. Te niedociągnięcia są przyczyną słabych ocen podczas studiowania obszernego tematu „Równania kwadratowe (klasa 8)”. Następnie te czynności nie będą musiały być stale wykonywane. Ponieważ będzie stabilny nawyk.

Najpierw musisz napisać równanie w standardowej formie. Czyli najpierw wyraz o największym stopniu zmiennej, a następnie - bez stopnia, a na końcu - tylko liczba.

Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującemu w badaniu równań kwadratowych. Lepiej się go pozbyć. W tym celu wszelką równość należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie warunki zmienią znak na przeciwny.

W ten sam sposób zaleca się pozbycie się frakcji. Po prostu pomnóż równanie przez odpowiedni współczynnik, tak aby mianowniki zniknęły.

Przykłady

Wymagane jest rozwiązanie następujących równań kwadratowych:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Pierwsze równanie: x 2 - 7x \u003d 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je zgodnie z opisem dla wzoru numer dwa.

Po nawiasach okazuje się: x (x - 7) \u003d 0.

Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 \u003d 0. Drugi zostanie znaleziony z równania liniowego: x - 7 \u003d 0. Łatwo zauważyć, że x 2 \u003d 7.

Drugie równanie: 5x2 + 30 = 0. Ponownie niekompletne. Tylko to jest rozwiązane tak, jak opisano dla trzeciego wzoru.

Po przeniesieniu 30 na prawą stronę równania: 5x 2 = 30. Teraz trzeba podzielić przez 5. Okazuje się: x 2 = 6. Odpowiedzi będą liczbami: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trzecie równanie: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tutaj i poniżej rozwiązanie równań kwadratowych rozpocznie się od przepisania ich do standardowej postaci: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Teraz czas na użycie drugiego przydatna wskazówka i pomnóż wszystko przez minus jeden . Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Zgodnie z czwartą formułą należy obliczyć dyskryminator: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Jest to Liczba dodatnia. Z tego, co zostało powiedziane powyżej, wynika, że równanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć zgodnie z piątą formułą. Zgodnie z nim okazuje się, że x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Następnie x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x \u003d 0 jest konwertowane na to: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jego wyróżnik jest równy tej wartości: -23. Ponieważ liczba ta jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie następujący wpis: „Nie ma pierwiastków”.

Piąte równanie 12x + x 2 + 36 = 0 należy przepisać następująco: x 2 + 12x + 36 = 0. Po zastosowaniu wzoru na wyróżnik otrzymujemy liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden korzeń, a mianowicie: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Szóste równanie (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że przed otwarciem nawiasów trzeba wprowadzić podobne wyrażenia. W miejsce pierwszego będzie takie wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po zrównaniu pojawi się ten wpis: x 2 + 3x + 2. Po policzeniu podobnych wyrazów równanie przyjmie postać: x 2 - x \u003d 0. Stał się niekompletny . Podobny do tego został już uznany za nieco wyższy. Korzeniem tego będą liczby 0 i 1.

Kontynuujemy badanie tematu rozwiązywanie równań”. Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi, a teraz zapoznamy się z równania kwadratowe.

Najpierw omówimy, czym jest równanie kwadratowe, jak jest napisane w ogólnej formie i podamy powiązane definicje. Następnie, korzystając z przykładów, szczegółowo przeanalizujemy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe. Następnie przechodzimy do rozwiązywania pełnych równań, otrzymujemy wzór na pierwiastki, zapoznajemy się z wyróżnikiem równania kwadratowego i rozważamy rozwiązania typowych przykładów. Na koniec śledzimy powiązania między pierwiastkami a współczynnikami.

Nawigacja po stronach.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest, aby zacząć mówić o równaniach kwadratowych od definicji równania kwadratowego, a także definicji z nim związanych. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: zredukowane i niezredukowane, a także kompletne i niekompletne.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 +b x+c=0, gdzie x jest zmienną, a , b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. Dzieje się tak, ponieważ równanie kwadratowe to równanie algebraiczne drugi stopień.

Wybrzmiewająca definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Czyli 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. są równaniami kwadratowymi.

Definicja.

Liczby a , b i c są nazywane współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c \u003d 0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b jest drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, a c jest wolnym członkiem.

Na przykład weźmy równanie kwadratowe postaci 5 x 2 -2 x−3=0, tutaj wiodący współczynnik wynosi 5, drugi współczynnik to -2, a wyraz wolny -3. Zauważ, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym właśnie przykładzie, używana jest skrócona postać równania kwadratowego o postaci 5 x 2 −2 x−3=0, a nie 5 x 2 +(− 2)x+(-3)=0.

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i / lub b są równe 1 lub -1, to zwykle nie są one wyraźnie obecne w zapisie równania kwadratowego, co wynika ze specyfiki zapisu takiego . Na przykład, w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0, wiodący współczynnik wynosi jeden, a współczynnik przy y wynosi −1.

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

W zależności od wartości wiodącego współczynnika rozróżnia się zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Wywoływane jest równanie kwadratowe, w którym wiodący współczynnik wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe. W przeciwnym razie równanie kwadratowe to niezredukowany.

Zgodnie z tą definicją równania kwadratowe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 itd. - zredukowany, w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. Oraz 5 x 2 −x−1=0 itd. - niezredukowane równania kwadratowe, ich wiodące współczynniki są różne od 1 .

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie jego części przez wiodący współczynnik, można przejść do zredukowanego. To działanie jest przekształceniem równoważnym, to znaczy, że uzyskane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma te same pierwiastki, co pierwotne niezredukowane równanie kwadratowe lub, podobnie jak ono, nie ma pierwiastków.

Weźmy przykład, jak przebiega przejście z równania kwadratowego niezredukowanego do równania zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Wystarczy, że dokonamy podziału obu części pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on niezerowy, więc możemy wykonać tę czynność. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , czyli to samo co (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , i tak dalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , skąd . Więc otrzymaliśmy zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Pełne i niepełne równania kwadratowe

W definicji równania kwadratowego występuje warunek a≠0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 +b x+c=0 było dokładnie kwadratowe, ponieważ przy a=0 w rzeczywistości staje się równaniem liniowym postaci b x+c=0 .

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno osobno, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niekompletnym.

Definicja.

Wywołujemy równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeśli co najmniej jeden ze współczynników b , c jest równy zero.

Z kolei

Definicja.

Pełne równanie kwadratowe to równanie, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Nazwy te nie są przypadkowe. Stanie się to jasne z poniższej dyskusji.

Jeżeli współczynnik b jest równy zero, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 +0 x+c=0 i jest równoważne równaniu a x 2 +c=0 . Jeśli c=0 , czyli równanie kwadratowe ma postać a x 2 +b x+0=0 , to można je przepisać jako x 2 +b x=0 . A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x 2 =0. Otrzymane równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, albo obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 =0, −2 x 2 =0,5 x 2 +3 =0 , -x 2 -5 x=0 są niekompletnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niekompletnych równań kwadratowych

Z informacji zawartych w poprzednim akapicie wynika, że istnieje: trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

a x 2 = 0 , odpowiadają mu współczynniki b=0 i c=0;
a x 2 +c=0 gdy b=0 ;
oraz ax2+bx=0, gdy c=0 .

Przeanalizujmy, jak rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe każdego z tych typów.

x 2 \u003d 0

Zacznijmy od rozwiązania niepełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań postaci a x 2 =0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymuje się z oryginału przez podzielenie jego obu części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co zostało wyjaśnione, w rzeczywistości dla każdej niezerowej liczby p zachodzi nierówność p 2 >0, co implikuje, że dla p≠0 równość p 2 =0 nigdy nie jest osiągana.

Tak więc niekompletne równanie kwadratowe a x 2 \u003d 0 ma pojedynczy pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego -4·x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 \u003d 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x \u003d 0, dlatego oryginalne równanie ma jeden pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku może być wydane w następujący sposób:
-4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Rozważmy teraz, jak rozwiązywane są niepełne równania kwadratowe, w których współczynnik b jest równy zero, a c≠0, czyli równania postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą o przeciwnym znaku, a także podział obu stron równania przez liczbę niezerową daje równoważne równanie. W związku z tym można przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

przesuń c na prawą stronę, co daje równanie a x 2 =−c,
i dzielimy obie jego części przez a , otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego korzeni. W zależności od wartości a i c, wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2 , to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6 , to ) nie jest równe zero , ponieważ z warunku c≠0 . Osobno przeanalizujemy przypadki i .

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. Stwierdzenie to wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli sobie przypomnimy, pierwiastek równania natychmiast staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ. Łatwo się domyślić, że liczba jest również pierwiastkiem równania , rzeczywiście . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wykazać np. przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy właśnie dźwięczne pierwiastki równania jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma inny pierwiastek x 2 różny od wskazanych pierwiastków x 1 i −x 1 . Wiadomo, że podstawienie do równania zamiast x jego pierwiastków zamienia równanie w prawdziwą równość liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Własności równości liczbowych pozwalają nam na odejmowanie wyraz po wyrazie prawdziwych równości liczbowych, więc odjęcie odpowiednich części równości daje x 1 2 − x 2 2 =0. Własności operacji na liczbach pozwalają nam przepisać wynikową równość jako (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zeru. Zatem z otrzymanej równości wynika, że x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0 , czyli to samo, x 2 =x 1 i/lub x 2 = −x 1 . Doszliśmy więc do sprzeczności, ponieważ na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1 . To dowodzi, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niepełne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu , które

nie ma korzeni, jeśli ,
ma dwa pierwiastki i jeśli .

Rozważ przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0 .

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0 . Po przeniesieniu wyrazu wolnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9·x 2 =−7. Dzieląc obie strony otrzymanego równania przez 9 , otrzymujemy . Ponieważ po prawej stronie otrzymujemy liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, dlatego oryginalne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 +7=0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy jeszcze jedno niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Przenosimy dziewięć na prawą stronę: -x 2 \u003d -9. Teraz dzielimy obie części przez −1, otrzymujemy x 2 =9. Prawa strona zawiera liczbę dodatnią, z której wnioskujemy, że lub . Po zapisaniu odpowiedzi końcowej: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

a x 2 +b x=0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niepełnych równań kwadratowych dla c=0 . Niepełne równania kwadratowe postaci a x 2 +b x=0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdujący się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wziąć dzielnik wspólny x z nawiasów. To pozwala nam przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania postaci x·(a·x+b)=0 . A to równanie jest równoważne układowi dwóch równań x=0 i a x+b=0 , z których ostatnie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a .

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 +b x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretnego przykładu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Wyciągamy x z nawiasów, to daje równanie. Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy powstałe równanie liniowe: , a po podzieleniu liczby mieszanej przez zwykły ułamek znajdujemy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po zdobyciu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można krótko pisać:

Odpowiedź:

x=0 , .

Wyróżnik, wzór pierwiastków równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy wzór pierwiastków równania kwadratowego: , gdzie D=b 2 −4 a c- tak zwane dyskryminator równania kwadratowego. Notacja zasadniczo oznacza, że .

Warto wiedzieć, w jaki sposób uzyskano wzór pierwiastka i jak go stosuje się do znajdowania pierwiastków równań kwadratowych. Zajmijmy się tym.

Wyprowadzenie wzoru pierwiastków równania kwadratowego

Rozwiążmy równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0 . Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

Możemy podzielić obie części tego równania przez niezerową liczbę a, w wyniku czego otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe.
Ale już wybierz pełny kwadrat po lewej stronie: . Następnie równanie przyjmie postać .
Na tym etapie można przeprowadzić przeniesienie dwóch ostatnich terminów na prawą stronę z przeciwnym znakiem mamy .
Przekształćmy też wyrażenie po prawej stronie: .

W rezultacie otrzymujemy równanie , które jest równoważne pierwotnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0 .

Rozwiązaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach, kiedy analizowaliśmy . Pozwala to na wyciągnięcie następujących wniosków dotyczących pierwiastków równania:

jeśli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
jeśli , to równanie ma postać , a więc , z którego widoczny jest jego jedyny pierwiastek;
if , then lub , czyli to samo co lub , czyli równanie ma dwa pierwiastki.

Tak więc obecność lub brak pierwiastków równania, a więc oryginalnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika, ponieważ mianownik 4 a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 -4 a c . To wyrażenie b 2 -4 a c nazywa się dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą D. Stąd istota wyróżnika jest jasna - po jego wartości i znaku wnioskuje się, czy równanie kwadratowe ma pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden czy dwa.

Wracamy do równania , przepisujemy je używając notacji dyskryminatora: . I konkludujemy:

jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
w końcu, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub , które można przepisać w postaci lub , a po rozwinięciu i skróceniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy .

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki z równania kwadratowego, które wyglądają tak , gdzie dyskryminator D jest obliczany ze wzoru D=b 2 -4 a c .

Z ich pomocą, z dodatnim wyróżnikiem, możesz obliczyć oba rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zero, obie formuły dają tę samą wartość pierwiastka odpowiadającą jedynemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A z ujemnym wyróżnikiem, gdy próbujemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyciągnięciem pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej, co wyprowadza nas poza ramy szkolnego programu nauczania. W przypadku ujemnego wyróżnika równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć za pomocą tych samych formuł, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce, rozwiązując równanie kwadratowe, można od razu użyć wzoru pierwiastka, za pomocą którego oblicza się ich wartości. Ale chodzi bardziej o znalezienie złożonych korzeni.

Jednak na szkolnym kursie algebry zwykle mówimy nie o złożonych, ale o rzeczywistych pierwiastkach równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby najpierw znaleźć dyskryminator przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, upewnić się, że jest nieujemny (w przeciwnym razie możemy wywnioskować, że równanie nie ma prawdziwych pierwiastków), a następnie obliczyć wartości korzeni.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, potrzebujesz:

korzystając ze wzoru dyskryminacyjnego D=b 2 -4 a c oblicz jego wartość;
wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków, jeśli dyskryminator jest ujemny;
obliczyć jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru, jeśli D=0 ;
znajdź dwa rzeczywiste pierwiastki równania kwadratowego, używając wzoru na pierwiastek, jeśli dyskryminator jest dodatni.

Tutaj tylko zauważamy, że jeśli dyskryminator jest równy zero, wzór może być również użyty, da taką samą wartość jak .

Możesz przejść do przykładów zastosowania algorytmu rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważ rozwiązania trzech równań kwadratowych z dyskryminacją dodatnią, ujemną i zerową. Zajmując się ich rozwiązaniem, przez analogię będzie można rozwiązać dowolne inne równanie kwadratowe. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki z równania x 2 +2 x−6=0 .

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1 , b=2 i c=−6 . Zgodnie z algorytmem najpierw musisz obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru na dyskryminację, mamy D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli dyskryminator jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je ze wzoru na pierwiastki , otrzymujemy , tutaj możemy uprościć wyrażenia otrzymane przez wykonanie wyodrębnianie znaku korzenia następnie redukcja frakcji:

Odpowiedź:

Przejdźmy do kolejnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe -4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia wyróżnika: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , czyli

Odpowiedź:

x=3,5.

Pozostaje do rozważenia rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5 y 2 +6 y+2=0 .

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5 , b=6 ic=2 . Podstawiając te wartości do formuły dyskryminacyjnej, mamy D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Dyskryminator jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma prawdziwych pierwiastków.

Jeśli musisz określić złożone pierwiastki, używamy dobrze znanego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Po raz kolejny zauważamy, że jeśli wyróżnik równania kwadratowego jest ujemny, to szkoła zwykle od razu zapisuje odpowiedź, w której wskazują, że nie ma prawdziwych pierwiastków i nie znajdują złożonych pierwiastków.

Wzór pierwiastka dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego , gdzie D=b 2 -4 ac pozwala na uzyskanie bardziej zwartego wzoru, który pozwala rozwiązywać równania kwadratowe z parzystym współczynnikiem przy x (lub po prostu ze współczynnikiem wyglądającym jak 2 n na przykład, lub 14 ln5=2 7 ln5). Zabierzmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe postaci a x 2 +2 n x + c=0 . Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanej nam formuły. Aby to zrobić, obliczamy wyróżnik D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), a następnie używamy formuły root:

Oznaczmy wyrażenie n 2 − a c jako D 1 (czasami oznacza się je jako D "). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n przyjmuje postać , gdzie D 1 =n 2 −a c .

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1 , lub D 1 =D/4 . Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią dyskryminatora. Jasne jest, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Tak więc, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

Oblicz D 1 =n 2 −a·c ;
Jeśli D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Jeśli D 1 = 0, oblicz jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru;
Jeśli D 1 > 0, to za pomocą wzoru znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste.

Rozważ rozwiązanie przykładu za pomocą wzoru na pierwiastek otrzymanego w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 -6 x−32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . To znaczy, możesz przepisać oryginalne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tutaj a=5 , n=−3 i c=−32 , i obliczyć czwartą część wyróżnik: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdujemy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:

Zauważ, że można było użyć zwykłego wzoru dla pierwiastków równania kwadratowego, ale w tym przypadku trzeba by wykonać więcej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Uproszczenie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą formuł nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć formę tego równania”? Zgadzam się, że pod względem obliczeń łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 -4 x -6=0 niż 1100 x 2 -400 x−600=0 .

Zwykle uproszczenie postaci równania kwadratowego uzyskuje się przez pomnożenie lub podzielenie obu jego stron przez pewną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie udało nam się uprościć równanie 1100 x 2 -400 x -600=0 dzieląc obie strony przez 100 .

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W takim przypadku obie części równania są zwykle dzielone przez bezwzględne wartości jego współczynników. Na przykład weźmy równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. wartości bezwzględne jego współczynników: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dzieląc obie części pierwotnego równania kwadratowego przez 6 , otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 -7 x+8=0 .

A mnożenie obu części równania kwadratowego jest zwykle wykonywane, aby pozbyć się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się na mianownikach jego współczynników. Na przykład, jeśli obie części równania kwadratowego są pomnożone przez LCM(6, 3, 1)=6 , to przyjmie prostszą postać x 2 +4 x−18=0 .

Podsumowując ten akapit, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy najwyższym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez -1. Na przykład zwykle z równania kwadratowego −2·x 2 −3·x+7=0 przechodzimy do rozwiązania 2·x 2 +3·x−7=0 .

Związek między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania w postaci jego współczynników. Na podstawie wzoru pierwiastków można uzyskać inne relacje między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i mające zastosowanie formuły z twierdzenia Vieta o postaci i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest wyrazem swobodnym. Na przykład za pomocą postaci równania kwadratowego 3 x 2 -7 x+22=0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22/3.

Korzystając z już napisanych formuł, można uzyskać szereg innych relacji między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład możesz wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego w postaci jego współczynników: .

Bibliografia.

Algebra: podręcznik na 8 ogniw. ogólne wykształcenie instytucje / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; wyd. S. A. Teliakowski. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich AG Algebra. 8 klasa. 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A.G. Mordkovich. - 11. ed., skasowane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ch. ISBN 978-5-346-01155-2.

Równania kwadratowe. Informacje ogólne.

V równanie kwadratowe w kwadracie musi być x (dlatego nazywa się to

"kwadrat"). Oprócz tego w równaniu może być (lub może nie być!) po prostu x (do pierwszego stopnia) i

tylko liczba (Wolny Członek). A w stopniu nie powinno być iksów, więcej niż dwa.

Równanie algebraiczne postaci ogólnej.

gdzie x jest zmienną swobodną, a, b, C są współczynnikami, a a≠0 .

na przykład:

Wyrażenie nazywa trójmian kwadratowy.

Elementy równania kwadratowego mają swoje nazwy:

zwany pierwszym lub starszym współczynnikiem,

nazywa się drugim lub współczynnikiem w ,

nazywa się wolnym członkiem.

Pełne równanie kwadratowe.

Te równania kwadratowe mają po lewej stronie pełny zestaw terminów. x do kwadratu

współczynnik a, x do pierwszej potęgi o współczynniku b oraz wolny członekZ. V wszystkie współczynniki

musi być różna od zera.

Niekompletny jest równaniem kwadratowym, w którym co najmniej jeden ze współczynników, z wyjątkiem

senior (drugi współczynnik lub termin wolny) jest równy zero.

Udawajmy, że b\u003d 0, - x zniknie w pierwszym stopniu. Okazuje się na przykład:

2x 2 -6x=0,

Itp. A jeśli oba współczynniki b oraz C są równe zero, to jest jeszcze prostsze, Na przykład:

2x 2 \u003d 0,

Zauważ, że x do kwadratu występuje we wszystkich równaniach.

Czemu a nie może być zero? Wtedy x do kwadratu znika, a równanie staje się liniowy .

A robi się to inaczej...

”, czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji będziemy badać co to jest równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe

Ważny!

Stopień równania jest określony przez najwyższy stopień, w jakim stoi niewiadoma.

Jeśli maksymalny stopień, w jakim niewiadoma stoi, wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Ważny! Ogólna postać równania kwadratowego wygląda tak:

A x 2 + b x + c = 0

„a”, „b” i „c” - podane liczby.

„a” - pierwszy lub starszy współczynnik;
„b” - drugi współczynnik;
„c” jest wolnym członkiem.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c” Musisz porównać swoje równanie z ogólną postacią równania kwadratowego „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Przećwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

5x2 - 14x + 17 = 0 -7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Równanie	Szanse
a=5 b = −14 c = 17
a = -7 b = −13 c = 8

= 0

a = -1
b = 1
c =
1
3

x2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = -8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

W przeciwieństwie do równań liniowych do rozwiązywania równań kwadratowych używane jest specjalne równanie. formuła wyszukiwania korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

sprowadzić równanie kwadratowe do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c \u003d 0”. Oznacza to, że po prawej stronie powinno pozostać tylko „0”;
użyj wzoru na korzenie:

Użyjmy przykładu, aby dowiedzieć się, jak zastosować wzór do znalezienia pierwiastków równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0

Równanie „x 2 – 3x – 4 = 0” zostało już zredukowane do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, wystarczy złożyć wniosek wzór do znajdowania pierwiastków równania kwadratowego.

Zdefiniujmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =

Z jego pomocą rozwiązuje się dowolne równanie kwadratowe.

W formule „x 1; 2 \u003d” wyrażenie root jest często zastępowane
„b 2 − 4ac” na literę „D” i nazywamy dyskryminatorem. Pojęcie dyskryminatora zostało szerzej omówione w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Rozważ inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci raczej trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do ogólnej postaci „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć formuły dla korzeni.

X 1;2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x 1,2 =
x=

x=3
Odpowiedź: x = 3

Są chwile, kiedy w równaniach kwadratowych nie ma pierwiastków. Taka sytuacja ma miejsce, gdy w formule pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna.