Tabela podstawowych własności funkcji elementarnych. Funkcje i wykresy

1) Zakres funkcji i zakres funkcji.

Zakres funkcji to zbiór wszystkich poprawnych poprawnych wartości argumentu x(zmienny x) dla której funkcja y = f(x) zdefiniowane. Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych także funkcja akceptuje.

W elementarnej matematyce funkcje są badane tylko na zbiorze liczb rzeczywistych.

2) Funkcja zera.

Zero funkcji to wartość argumentu, przy którym wartość funkcji jest równa zero.

3) Przedziały stałości znaku funkcji.

Przedziały stałe-znakowe funkcji to takie zestawy wartości argumentów, na których wartości funkcji są tylko dodatnie lub tylko ujemne.

4) Monotoniczność funkcji.

Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji.

Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) - funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada mniejsza wartość funkcji.

5) Funkcje parzyste (nieparzyste).

Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y.

Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem początku i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość f(-x) = - f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.

6) Ograniczone i nieograniczone funkcje.

Funkcja jest nazywana ograniczoną, jeśli istnieje liczba dodatnia M taka, że |f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x . Jeśli nie ma takiej liczby, funkcja jest nieograniczona.

7) Okresowość funkcji.

Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że dla dowolnego x z dziedziny funkcji f(x+T) = f(x). Ta najmniejsza liczba nazywana jest okresem funkcji. Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. (Wzory trygonometryczne).

19. Podstawowe funkcje elementarne, ich własności i wykresy. Zastosowanie funkcji w gospodarce.

Podstawowe funkcje elementarne. Ich właściwości i wykresy

1. Funkcja liniowa.

Funkcja liniowa nazywana jest funkcją postaci , gdzie x jest zmienną, a b są liczbami rzeczywistymi.

Numer a zwany nachyleniem prostej, jest równy stycznej kąta nachylenia tej prostej do dodatniego kierunku osi x. Wykres funkcji liniowej jest linią prostą. Określają go dwa punkty.

Właściwości funkcji liniowej

1. Domena definicji - zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: D (y) \u003d R

2. Zbiór wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych: E(y)=R

3. Funkcja przyjmuje wartość zerową dla lub.

4. Funkcja rośnie (maleje) w całej dziedzinie definicji.

5. Funkcja liniowa jest ciągła w całej dziedzinie definicji, różniczkowalna i .

2. Funkcja kwadratowa.

Funkcję postaci, gdzie x jest zmienną, a współczynniki a, b, c są liczbami rzeczywistymi, nazywamy kwadratowy.

Wiedza, umiejętności podstawowe funkcje elementarne, ich własności i wykresy nie mniej ważne niż znajomość tabliczki mnożenia. Są jak fundament, wszystko jest na nich oparte, wszystko jest zbudowane na nich i wszystko sprowadza się do nich.

W tym artykule wymienimy wszystkie główne funkcje elementarne, podajemy ich wykresy i podajemy bez wyprowadzania i dowodów. własności podstawowych funkcji elementarnych według schematu:

zachowanie funkcji na granicach dziedziny definicji, asymptoty pionowe (jeśli to konieczne, patrz artykuł klasyfikacja punktów przerwania funkcji);
parzyste i nieparzyste;
przedziały wypukłości (wypukłość ku górze) i wklęsłości (wypukłość ku dołowi), punkty przegięcia (jeśli to konieczne, patrz funkcja wypukłości, kierunek wypukłości, punkty przegięcia, wypukłość i warunki przegięcia);
asymptoty ukośne i poziome;
osobliwe punkty funkcji;
specjalne właściwości niektórych funkcji (na przykład najmniejszy dodatni okres dla funkcji trygonometrycznych).

Jeśli jesteś zainteresowany lub, możesz przejść do tych sekcji teorii.

Podstawowe funkcje podstawowe to: funkcja stała (stała), pierwiastek n-tego stopnia, funkcja potęgowa, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczna i odwrotna funkcja trygonometryczna.

Nawigacja po stronach.

Funkcja stała.

Stałą funkcję na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych podaje wzór , gdzie C jest pewną liczbą rzeczywistą. Funkcja stałej przypisuje każdej rzeczywistej wartości zmiennej niezależnej x taką samą wartość zmiennej zależnej y - wartość С. Funkcja stała jest również nazywana stałą.

Wykres funkcji stałej jest linią prostą równoległą do osi x i przechodzącą przez punkt o współrzędnych (0,C) . Na przykład pokażmy wykresy funkcji stałych y=5 , y=-2 i , które na poniższym rysunku odpowiadają odpowiednio czarnym, czerwonym i niebieskim liniom.

Własności funkcji stałej.

Dziedzina definicji: cały zbiór liczb rzeczywistych.
Funkcja stała jest parzysta.
Zakres wartości: zbiór składający się z jednej liczby C .
Funkcja stała jest nierosnąca i niemalejąca (dlatego jest stała).
Nie ma sensu mówić o wypukłości i wklęsłości stałej.
Nie ma asymptoty.
Funkcja przechodzi przez punkt (0,C) na płaszczyźnie współrzędnych.

Korzeń n-tego stopnia.

Rozważmy podstawową funkcję elementarną, którą wyraża wzór , gdzie n jest liczbą naturalną większą od jeden.

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą parzystą.

Zacznijmy od n-tej funkcji pierwiastka dla parzystych wartości wykładnika pierwiastka n .

Na przykład podajemy obrazek z obrazami wykresów funkcji i odpowiadają one liniom czarnym, czerwonym i niebieskim.

Wykresy funkcji pierwiastka parzystego stopnia mają podobną postać dla innych wartości wskaźnika.

Własności pierwiastka n-tego stopnia dla parzystego n .

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą nieparzystą.

Funkcja pierwiastka n-tego stopnia z nieparzystym wykładnikiem pierwiastka n jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Na przykład przedstawiamy wykresy funkcji i odpowiadają im krzywe czarnej, czerwonej i niebieskiej.

Dla innych nieparzystych wartości wykładnika pierwiastka wykresy funkcji będą miały podobny wygląd.

Własności pierwiastka n-tego stopnia dla nieparzystego n .

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgowa dana jest wzorem postaci .

Rozważ rodzaj wykresów funkcji potęgowej i właściwości funkcji potęgowej w zależności od wartości wykładnika.

Zacznijmy od funkcji potęgowej z wykładnikiem całkowitym a . W tym przypadku postać wykresów funkcji potęgowych i własności funkcji zależą od wykładnika parzystego lub nieparzystego, a także od jego znaku. Dlatego najpierw rozpatrujemy funkcje potęgowe dla nieparzystych dodatnich wartości wykładnika a , następnie dla parzystych dodatnich, potem dla nieparzystych ujemnych wykładników i wreszcie dla parzystych ujemnych a .

Własności funkcji potęgowych z wykładnikami ułamkowymi i niewymiernymi (a także rodzaj wykresów takich funkcji potęgowych) zależą od wartości wykładnika a. Rozważymy je, po pierwsze, gdy a wynosi od zera do jednego, po drugie, gdy a jest większe niż jeden, po trzecie, gdy a wynosi od minus jeden do zera, a po czwarte, gdy a jest mniejsze niż minus jeden.

Na zakończenie tego podrozdziału, dla kompletności, opisujemy funkcję potęgową z wykładnikiem zerowym.

Funkcja potęgowa z nieparzystym wykładnikiem dodatnim.

Rozważ funkcję potęgową z nieparzystym wykładnikiem dodatnim, to znaczy z a=1,3,5,… .

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji potęgowych - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona, - linia zielona. Dla a=1 mamy funkcja liniowa y=x .

Własności funkcji potęgowej z nieparzystym wykładnikiem dodatnim.

Funkcja potęgowa z nawet dodatnim wykładnikiem.

Rozważmy funkcję potęgową z wykładnikiem parzystym dodatnim, czyli dla a=2,4,6,… .

Jako przykład weźmy wykresy funkcji potęgowych - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona. Dla a=2 mamy funkcję kwadratową, której wykres to parabola kwadratowa.

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem parzystym dodatnim.

Funkcja potęgowa z nieparzystym ujemnym wykładnikiem.

Spójrz na wykresy funkcji wykładniczej dla nieparzystych ujemnych wartości wykładnika, to znaczy dla \u003d -1, -3, -5, ....

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji wykładniczych jako przykłady - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona, - linia zielona. Dla a=-1 mamy odwrotna proporcjonalność, którego wykres to hiperbola.

Własności funkcji potęgowej z nieparzystym wykładnikiem ujemnym.

Funkcja potęgowa z ujemnym wykładnikiem parzystym.

Przejdźmy do funkcji potęgowej przy a=-2,-4,-6,….

Rysunek przedstawia wykresy funkcji potęgowych - linia czarna, - linia niebieska, - linia czerwona.

Własności funkcji potęgowej z ujemnym wykładnikiem parzystym.

Funkcja potęgowa z wykładnikiem wymiernym lub nieracjonalnym, której wartość jest większa od zera i mniejsza od jednego.

Notatka! Jeśli a jest ułamkiem dodatnim z nieparzystym mianownikiem, to niektórzy autorzy uważają przedział za dziedzinę funkcji potęgowej. Jednocześnie zastrzega się, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Obecnie autorzy wielu podręczników z algebry i początków analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka z nieparzystym mianownikiem dla ujemnych wartości argumentu. Będziemy trzymać się właśnie takiego poglądu, to znaczy, że domeny funkcji potęgowych z ułamkowymi dodatnimi wykładnikami będziemy uważać za zbiór . Zachęcamy uczniów do poznania punktu widzenia nauczyciela na ten subtelny punkt, aby uniknąć nieporozumień.

Rozważmy funkcję potęgową z wymiernym lub irracjonalnym wykładnikiem a , i .

Przedstawiamy wykresy funkcji potęgowych dla a=11/12 (linia czarna), a=5/7 (linia czerwona), (linia niebieska), a=2/5 (linia zielona).

Funkcja potęgowa z niecałkowitym wykładnikiem wymiernym lub niewymiernym większym niż jeden.

Rozważmy funkcję potęgową z niecałkowitym, wymiernym lub niewymiernym wykładnikiem a , i .

Przedstawmy wykresy funkcji potęgowych podanych wzorami (odpowiednio czarne, czerwone, niebieskie i zielone linie).

Dla innych wartości wykładnika a wykresy funkcji będą miały podobny wygląd.

Właściwości funkcji potęgowej dla .

Funkcja potęgowa z wykładnikiem rzeczywistym, który jest większy niż minus jeden i mniejszy niż zero.

Notatka! Jeśli a jest ułamkiem ujemnym z nieparzystym mianownikiem, to niektórzy autorzy biorą pod uwagę przedział . Jednocześnie zastrzega się, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. Obecnie autorzy wielu podręczników z algebry i początków analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka z nieparzystym mianownikiem dla ujemnych wartości argumentu. Będziemy trzymać się właśnie takiego poglądu, to znaczy, że dziedziny funkcji potęgowych z ułamkowymi ułamkowymi ujemnymi wykładnikami będziemy rozpatrywać odpowiednio jako zbiór. Zachęcamy uczniów do poznania punktu widzenia nauczyciela na ten subtelny punkt, aby uniknąć nieporozumień.

Przechodzimy do funkcji potęgowej , gdzie .

Aby mieć dobre pojęcie o typie wykresów funkcji potęgowych dla , podajemy przykłady wykresów funkcji (odpowiednio krzywe czarne, czerwone, niebieskie i zielone).

Własności funkcji potęgowej z wykładnikiem a , .

Funkcja potęgowa z niecałkowitym wykładnikiem rzeczywistym, który jest mniejszy niż minus jeden.

Podajmy przykłady wykresów funkcji potęgowych dla , są one przedstawione odpowiednio za pomocą czarnych, czerwonych, niebieskich i zielonych linii.

Własności funkcji potęgowej o niecałkowitym ujemnym wykładniku mniejszym niż minus jeden.

Gdy a=0 i mamy funkcję - jest to linia prosta, z której wykluczony jest punkt (0; 1) (wyrażenie 0 0 zostało uzgodnione, aby nie przywiązywać żadnej wagi).

Funkcja wykładnicza.

Jedną z podstawowych funkcji elementarnych jest funkcja wykładnicza.

Wykres funkcji wykładniczej, gdzie i przyjmuje różną postać w zależności od wartości podstawy a. Rozwiążmy to.

Najpierw rozważmy przypadek, w którym podstawa funkcji wykładniczej przyjmuje wartość od zera do jednego, czyli .

Na przykład przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczej dla a = 1/2 - linia niebieska, a = 5/6 - linia czerwona. Wykresy funkcji wykładniczej mają podobny wygląd dla innych wartości podstawy z przedziału.

Własności funkcji wykładniczej o podstawie mniejszej niż jeden.

Przechodzimy do przypadku, gdy podstawa funkcji wykładniczej jest większa niż jeden, czyli .

Jako ilustrację przedstawiamy wykresy funkcji wykładniczych - linia niebieska i - linia czerwona. Dla innych wartości podstawy, większych niż jeden, wykresy funkcji wykładniczej będą miały podobny wygląd.

Własności funkcji wykładniczej o podstawie większej niż jeden.

Funkcja logarytmiczna.

Następną podstawową funkcją elementarną jest funkcja logarytmiczna , gdzie , . Funkcja logarytmiczna jest zdefiniowana tylko dla dodatnich wartości argumentu, czyli dla .

Wykres funkcji logarytmicznej przybiera inną postać w zależności od wartości podstawy a.

Podstawowe funkcje elementarne, ich nieodłączne własności i odpowiadające im wykresy są jedną z podstaw wiedzy matematycznej, podobną wagą do tabliczki mnożenia. Funkcje elementarne są podstawą, wsparciem przy badaniu wszelkich zagadnień teoretycznych.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Poniższy artykuł zawiera kluczowy materiał na temat podstawowych funkcji elementarnych. Wprowadzimy terminy, nadamy im definicje; Przeanalizujmy szczegółowo każdy rodzaj funkcji elementarnych i przeanalizujmy ich właściwości.

Wyróżnia się następujące typy podstawowych funkcji elementarnych:

Definicja 1

funkcja stała (stała);
korzeń n-tego stopnia;
funkcja zasilania;
funkcja wykładnicza;
funkcja logarytmiczna;
funkcje trygonometryczne;
braterskie funkcje trygonometryczne.

Funkcja stała jest zdefiniowana wzorem: y = C (C to jakaś liczba rzeczywista) i ma również nazwę: stała. Funkcja ta określa, czy jakakolwiek wartość rzeczywista zmiennej niezależnej x odpowiada tej samej wartości zmiennej y – wartości C .

Wykres stałej to linia prosta, która jest równoległa do osi x i przechodzi przez punkt o współrzędnych (0, C). Dla jasności przedstawiamy wykresy funkcji stałych y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (oznaczonych na rysunku odpowiednio kolorem czarnym, czerwonym i niebieskim).

Definicja 2

Ta elementarna funkcja jest określona wzorem y = x n (n jest liczbą naturalną większą od jeden).

Rozważmy dwie odmiany tej funkcji.

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą parzystą

Dla jasności wskazujemy rysunek, który pokazuje wykresy takich funkcji: y = x , y = x 4 i y = x 8 . Funkcje te są oznaczone kolorami: odpowiednio czarnym, czerwonym i niebieskim.

Podobny widok wykresów funkcji parzystego stopnia dla innych wartości wskaźnika.

Definicja 3

Własności pierwiastka funkcji n-tego stopnia, n jest liczbą parzystą

dziedziną definicji jest zbiór wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych [ 0 , + ∞) ;
gdy x = 0 , funkcja y = x n ma wartość równą zero;
ta funkcja jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani parzysta, ani nieparzysta);
zakres: [ 0 , + ∞) ;
ta funkcja y = x n z parzystymi wykładnikami pierwiastka rośnie w całej dziedzinie definicji;
funkcja ma wypukłość z kierunkiem do góry na całej domenie definicji;
nie ma punktów przegięcia;
nie ma asymptot;
wykres funkcji dla parzystego n przechodzi przez punkty (0 ; 0) i (1 ; 1 ).

Pierwiastek n-tego stopnia, n jest liczbą nieparzystą

Taka funkcja jest zdefiniowana na całym zbiorze liczb rzeczywistych. Dla jasności rozważ wykresy funkcji y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na rysunku oznaczono je kolorami: odpowiednio czarnym, czerwonym i niebieskim kolorem krzywych.

Inne nieparzyste wartości wykładnika pierwiastka funkcji y = x n dadzą wykres o podobnej postaci.

Definicja 4

Własności pierwiastka funkcji n-tego stopnia, n jest liczbą nieparzystą

dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych;
ta funkcja jest dziwna;
zakres wartości to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych;
funkcja y = x n z nieparzystymi wykładnikami pierwiastka rośnie w całej dziedzinie definicji;
funkcja ma wklęsłość na przedziale (- ∞ ; 0 ] i wypukłość na przedziale [ 0 , + ∞) ;
punkt przegięcia ma współrzędne (0 ; 0) ;
nie ma asymptot;
wykres funkcji dla nieparzystego n przechodzi przez punkty (-1 ; - 1) , (0 ; 0) i (1 ; 1) .

Funkcja zasilania

Definicja 5

Funkcja potęgowa jest określona wzorem y = x a .

Rodzaj wykresu i właściwości funkcji zależą od wartości wykładnika.

gdy funkcja potęgowa ma wykładnik całkowity a, to postać wykresu funkcji potęgowej i jej własności zależą od tego, czy wykładnik jest parzysty, czy nieparzysty, a także od tego, jaki znak ma wykładnik. Rozważmy wszystkie te szczególne przypadki poniżej bardziej szczegółowo;
wykładnik może być ułamkowy lub nieracjonalny – w zależności od tego zmienia się również rodzaj wykresu i właściwości funkcji. Przeanalizujemy przypadki szczególne, ustawiając kilka warunków: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funkcja potęgowa może mieć wykładnik zerowy, ten przypadek również przeanalizujemy bardziej szczegółowo poniżej.

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a gdy a jest nieparzystą liczbą dodatnią, na przykład a = 1 , 3 , 5 …

Dla jasności wskazujemy wykresy takich funkcji potęgowych: y = x (czarny kolor wykresu), y = x 3 (niebieski kolor wykresu), y = x 5 (czerwony kolor wykresu), y = x 7 (zielony wykres). Gdy a = 1 , otrzymujemy funkcję liniową y = x .

Definicja 6

Własności funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nieparzysty dodatni

funkcja rośnie dla x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcja jest wypukła dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] i wklęsła dla x ∈ [ 0 ; + ∞) (wyłączając funkcję liniową);
punkt przegięcia ma współrzędne (0 ; 0) (z wyłączeniem funkcji liniowej);
nie ma asymptot;
funkcja przekazująca punkty: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a gdy a jest parzystą liczbą dodatnią, na przykład a = 2 , 4 , 6 ...

Dla jasności wskazujemy wykresy takich funkcji mocy: y \u003d x 2 (czarny kolor wykresu), y = x 4 (niebieski kolor wykresu), y = x 8 (czerwony kolor wykresu). Gdy a = 2, otrzymujemy funkcję kwadratową, której wykres jest parabolą kwadratową.

Definicja 7

Własności funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nawet dodatni:

dziedzina definicji: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
malejące dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcja jest wklęsła dla x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
nie ma punktów przegięcia;
nie ma asymptot;
funkcja przekazująca punkty: (-1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Poniższy rysunek przedstawia przykłady wykresów funkcji wykładniczej y = x a gdy a jest nieparzystą liczbą ujemną: y = x - 9 (czarny kolor wykresu); y = x - 5 (niebieski kolor wykresu); y = x - 3 (czerwony kolor wykresu); y = x - 1 (zielony wykres). Kiedy a \u003d - 1, otrzymujemy odwrotną proporcjonalność, której wykres jest hiperbolą.

Definicja 8

Właściwości funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nieparzysto ujemny:

Gdy x \u003d 0, otrzymujemy nieciągłość drugiego rodzaju, ponieważ lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ dla a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Zatem prosta x = 0 jest pionową asymptotą;

zakres: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcja jest dziwna, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
funkcja maleje dla x ∈ - ∞ ; 0 (0 ; + ∞) ;
funkcja jest wypukła dla x ∈ (- ∞ ; 0) i wklęsła dla x ∈ (0 ; + ∞) ;
nie ma punktów przegięcia;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 gdy a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

funkcja przekazująca punkty: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Poniższy rysunek przedstawia przykłady wykresów funkcji potęgowych y = x a, gdy a jest parzystą liczbą ujemną: y = x - 8 (wykres w kolorze czarnym); y = x - 4 (niebieski kolor wykresu); y = x - 2 (czerwony kolor wykresu).

Definicja 9

Właściwości funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest nawet ujemny:

dziedzina definicji: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Gdy x \u003d 0, otrzymujemy nieciągłość drugiego rodzaju, ponieważ lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ dla a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Zatem prosta x = 0 jest pionową asymptotą;

funkcja jest parzysta, ponieważ y (- x) = y (x) ;
funkcja rośnie dla x ∈ (- ∞ ; 0) i maleje dla x ∈ 0 ; +∞ ;
funkcja jest wklęsła dla x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
nie ma punktów przegięcia;
asymptota pozioma jest linią prostą y = 0, ponieważ:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 gdy a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

funkcja przekazująca punkty: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samego początku zwróćmy uwagę na następujący aspekt: w przypadku, gdy a jest ułamkiem dodatnim o nieparzystym mianowniku, niektórzy autorzy przyjmują przedział - ∞ jako dziedzinę definicji tej funkcji potęgowej; + ∞ , określając, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. W chwili obecnej autorzy wielu publikacji edukacyjnych z zakresu algebry i początków analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych, gdzie wykładnik jest ułamkiem z nieparzystym mianownikiem dla ujemnych wartości argumentu. Dalej będziemy trzymać się takiego właśnie stanowiska: bierzemy zbiór [ 0 ; +∞) . Zalecenie dla uczniów: poznaj punkt widzenia nauczyciela w tym momencie, aby uniknąć nieporozumień.

Przyjrzyjmy się więc funkcji mocy y = x a gdy wykładnik jest liczbą wymierną lub niewymierną pod warunkiem, że 0< a < 1 .

Zilustrujmy wykresami funkcje potęgowe y = x a gdy a = 11 12 (wykres w kolorze czarnym); a = 5 7 (czerwony kolor wykresu); a = 1 3 (niebieski kolor wykresu); a = 2 5 (zielony kolor wykresu).

Inne wartości wykładnika a (przy założeniu 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicja 10

Właściwości funkcji potęgowej przy 0< a < 1:

zakres: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
funkcja rośnie dla x ∈ [ 0 ; +∞) ;
funkcja ma wypukłość dla x ∈ (0 ; + ∞) ;
nie ma punktów przegięcia;
nie ma asymptot;

Przeanalizujmy funkcję mocy y = x a gdy wykładnik jest niecałkowitą liczbą wymierną lub niewymierną pod warunkiem, że a > 1 .

Ilustrujemy wykresy funkcji potęgowej y \u003d x a w danych warunkach na przykładzie następujących funkcji: y \u003d x 5 4, y \u003d x 4 3, y \u003d x 7 3, y \u003d x 3 π (czarny, czerwony, niebieski, zielony wykresy).

Inne wartości wykładnika a pod warunkiem a > 1 dadzą podobny widok wykresu.

Definicja 11

Właściwości funkcji potęgowej dla a > 1:

dziedzina definicji: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
zakres: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
ta funkcja jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
funkcja rośnie dla x ∈ [ 0 ; +∞) ;
funkcja jest wklęsła dla x ∈ (0 ; + ∞) (gdy 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
nie ma punktów przegięcia;
nie ma asymptot;
funkcja przekazująca punkty: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Zwracamy uwagę, gdy a jest ułamkiem ujemnym z nieparzystym mianownikiem, w pracach niektórych autorów panuje pogląd, że dziedziną definicji jest w tym przypadku przedział - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) z zastrzeżeniem, że wykładnik a jest ułamkiem nieredukowalnym. W chwili obecnej autorzy materiałów edukacyjnych z algebry i początków analizy NIE DEFINIUJĄ funkcji potęgowych z wykładnikiem w postaci ułamka z nieparzystym mianownikiem dla ujemnych wartości argumentu. Dalej trzymamy się takiego właśnie poglądu: przyjmujemy zbiór (0 ; + ∞) jako dziedzinę funkcji potęgowych z ułamkowymi ujemnymi wykładnikami. Sugestia dla uczniów: Wyjaśnij na tym etapie wizję swojego nauczyciela, aby uniknąć nieporozumień.

Kontynuujemy temat i analizujemy funkcję mocy y = x a podano: - 1< a < 0 .

Oto rysunek wykresów następujących funkcji: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (odpowiednio czarne, czerwone, niebieskie, zielone linie ).

Definicja 12

Właściwości funkcji potęgowej przy - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ gdy - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

zakres: y ∈ 0 ; +∞ ;
ta funkcja jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
nie ma punktów przegięcia;

Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji potęgowych y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (odpowiednio kolory krzywych czarny, czerwony, niebieski, zielony).

Definicja 13

Właściwości funkcji potęgowej dla a< - 1:

dziedzina definicji: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ gdy a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

zakres: y (0 ; + ∞) ;
ta funkcja jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
funkcja maleje dla x ∈ 0; +∞ ;
funkcja jest wklęsła dla x ∈ 0; +∞ ;
nie ma punktów przegięcia;
asymptota pozioma - linia prosta y = 0 ;
punkt przejścia funkcji: (1 ; 1) .

Gdy a \u003d 0 i x ≠ 0, otrzymujemy funkcję y \u003d x 0 \u003d 1, która określa linię, z której punkt (0; 1) jest wykluczony (uzgodniliśmy, że wyrażenie 0 0 nie zostanie podane dowolna wartość).

Funkcja wykładnicza ma postać y = a x , gdzie a > 0 i a ≠ 1 , a wykres tej funkcji wygląda inaczej w zależności od wartości podstawy a . Rozważmy przypadki szczególne.

Najpierw przeanalizujmy sytuację, w której podstawa funkcji wykładniczej ma wartość od zera do jedynki (0< a < 1) . Ilustracyjnym przykładem są wykresy funkcji dla a = 1 2 (niebieski kolor krzywej) i a = 5 6 (czerwony kolor krzywej).

Wykresy funkcji wykładniczej będą miały podobną postać dla innych wartości podstawy pod warunkiem, że 0< a < 1 .

Definicja 14

Własności funkcji wykładniczej, gdy podstawa jest mniejsza niż jeden:

zakres: y (0 ; + ∞) ;
ta funkcja jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
funkcja wykładnicza, której podstawa jest mniejsza niż jeden, maleje w całej dziedzinie definicji;
nie ma punktów przegięcia;
asymptotą poziomą jest linia prosta y = 0 ze zmienną x dążącą do + ∞ ;

Rozważmy teraz przypadek, w którym podstawa funkcji wykładniczej jest większa niż jeden (a > 1).

Zilustrujmy ten szczególny przypadek wykresem funkcji wykładniczych y = 3 2 x (niebieski kolor krzywej) i y = e x (czerwony kolor wykresu).

Inne wartości podstawy, większe niż jeden, dadzą podobny widok wykresu funkcji wykładniczej.

Definicja 15

Własności funkcji wykładniczej, gdy podstawa jest większa niż jeden:

domeną definicji jest cały zbiór liczb rzeczywistych;
zakres: y (0 ; + ∞) ;
ta funkcja jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
funkcja wykładnicza o podstawie większej od jedności rośnie dla x ∈ - ∞ ; +∞ ;
funkcja jest wklęsła dla x ∈ - ∞ ; +∞ ;
nie ma punktów przegięcia;
asymptota pozioma - linia prosta y = 0 ze zmienną x zmierzającą do - ∞ ;
punkt przejścia funkcji: (0 ; 1) .

Funkcja logarytmiczna ma postać y = log a (x) , gdzie a > 0 , a ≠ 1 .

Taka funkcja jest zdefiniowana tylko dla dodatnich wartości argumentu: for x ∈ 0 ; +∞ .

Wykres funkcji logarytmicznej ma inną postać, opartą na wartości podstawy a.

Rozważmy najpierw sytuację, kiedy 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Inne wartości podstawy, nie większe niż jeden, dadzą podobny widok wykresu.

Definicja 16

Własności funkcji logarytmicznej, gdy podstawa jest mniejsza niż jeden:

dziedzina definicji: x ∈ 0 ; +∞ . Ponieważ x dąży do zera z prawej strony, wartości funkcji mają tendencję do + ∞;
zakres: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ta funkcja jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
logarytmiczny
funkcja jest wklęsła dla x ∈ 0; +∞ ;
nie ma punktów przegięcia;
nie ma asymptot;

Przeanalizujmy teraz szczególny przypadek, gdy podstawa funkcji logarytmicznej jest większa niż jeden: a > 1 . Na poniższym rysunku przedstawiono wykresy funkcji logarytmicznych y = log 3 2 x i y = ln x (odpowiednio niebieski i czerwony kolor wykresów).

Inne wartości podstawy większe niż jeden dadzą podobny widok wykresu.

Definicja 17

Własności funkcji logarytmicznej, gdy podstawa jest większa niż jeden:

dziedzina definicji: x ∈ 0 ; +∞ . Ponieważ x dąży do zera z prawej strony, wartości funkcji mają tendencję do - ∞;
zakres: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cały zbiór liczb rzeczywistych);
ta funkcja jest funkcją postaci ogólnej (nie jest ani nieparzysta, ani parzysta);
funkcja logarytmiczna rośnie dla x ∈ 0; +∞ ;
funkcja ma wypukłość dla x ∈ 0; +∞ ;
nie ma punktów przegięcia;
nie ma asymptot;
punkt przekazywania funkcji: (1 ; 0) .

Funkcje trygonometryczne to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Przeanalizujmy właściwości każdego z nich i odpowiadające im wykresy.

Ogólnie wszystkie funkcje trygonometryczne charakteryzują się właściwością okresowości, tj. gdy wartości funkcji są powtarzane dla różnych wartości argumentu, które różnią się od siebie wartością okresu f (x + T) = f (x) (T to okres). W ten sposób do listy właściwości funkcji trygonometrycznych dodawana jest pozycja „okres najmniej dodatni”. Dodatkowo wskażemy takie wartości argumentu, dla których znika odpowiednia funkcja.

Funkcja sinus: y = sin(x)

Wykres tej funkcji nazywa się sinusoidą.

Definicja 18

Właściwości funkcji sinus:

dziedzina definicji: cały zbiór liczb rzeczywistych x ∈ - ∞ ; +∞ ;
funkcja znika, gdy x = π k , gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
funkcja rośnie dla x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z i malejące dla x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k € Z ;
funkcja sinus ma lokalne maksima w punktach π 2 + 2 π · k ; 1 i minima lokalne w punktach - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k Z ;
funkcja sinus jest wklęsła, gdy x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z i wypukłe, gdy x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k € Z ;
nie ma asymptot.

funkcja cosinus: y=cos(x)

Wykres tej funkcji nazywa się falą kosinusoidalną.

Definicja 19

Właściwości funkcji cosinus:

dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
najmniejszy dodatni okres: T \u003d 2 π;
zakres: y ∈ - 1 ; jeden ;
ta funkcja jest parzysta, ponieważ y (- x) = y (x) ;
funkcja rośnie dla x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z i malejące dla x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k € Z ;
funkcja cosinus ma lokalne maksima w punktach 2 π · k ; 1 , k ∈ Z i minima lokalne w punktach π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
funkcja cosinus jest wklęsła, gdy x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z i wypukłe gdy x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
punkty przegięcia mają współrzędne π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
nie ma asymptot.

Funkcja styczna: y = t g (x)

Wykres tej funkcji nazywa się styczna.

Definicja 20

Właściwości funkcji stycznej:

dziedzina definicji: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
Zachowanie się funkcji stycznej na granicy dziedziny definicji lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + . Zatem proste x = π 2 + π · k k ∈ Z są pionowymi asymptotami;
funkcja znika, gdy x = π k dla k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
zakres: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ta funkcja jest dziwna, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
funkcja rośnie przy -π 2 + π · k ; π 2 + π k , k € Z ;
funkcja styczna jest wklęsła dla x ∈ [ π · k ; π 2 + π k ), k ∈ Z i wypukłe dla x ∈ ( - π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
punkty przegięcia mają współrzędne π k; 0 , k ∈ Z ;

Funkcja cotangensa: y = c t g (x)

Wykres tej funkcji nazywa się kotangentoidą. .

Definicja 21

Właściwości funkcji cotangensa:

dziedzina definicji: x ∈ (π k ; π + π k) , gdzie k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);

Zachowanie funkcji cotangens na granicy dziedziny definicji lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Zatem proste x = π k k ∈ Z są pionowymi asymptotami;

najmniejszy dodatni okres: T \u003d π;
funkcja znika, gdy x = π 2 + π k dla k ∈ Z (Z jest zbiorem liczb całkowitych);
zakres: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
ta funkcja jest dziwna, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
funkcja maleje dla x ∈ π · k ; π + π k , k € Z ;
funkcja cotangens jest wklęsła dla x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z i wypukła dla x ∈ [ - π 2 + π k ; π k ) , k ∈ Z ;
punkty przegięcia mają współrzędne π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
nie ma asymptot ukośnych i poziomych.

Odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi są arcsine, arccosinus, arcus tangens i arccotangens. Często, ze względu na obecność przedrostka „łuk” w nazwie, odwrotne funkcje trygonometryczne nazywane są funkcjami łukowymi. .

Arcsine funkcja: y = a r c sin (x)

Definicja 22

Właściwości funkcji arcsine:

ta funkcja jest dziwna, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
funkcja arcsine jest wklęsła dla x ∈ 0; 1 i wypukłość dla x ∈ - 1 ; 0;
punkty przegięcia mają współrzędne (0 ; 0) , jest to również zero funkcji;
nie ma asymptot.

Funkcja arccosinus: y = a r c cos (x)

Definicja 23

Właściwości funkcji arccosinus:

dziedzina definicji: x ∈ - 1 ; jeden ;
zakres: y ∈ 0 ; π;
ta funkcja ma formę ogólną (ani parzystą, ani nieparzystą);
funkcja maleje w całej dziedzinie definicji;
funkcja arccosinus jest wklęsła dla x ∈ - 1 ; 0 i wypukłość dla x ∈ 0 ; jeden ;
punkty przegięcia mają współrzędne 0 ; π2;
nie ma asymptot.

Funkcja arcus tangens: y = a r c t g (x)

Definicja 24

Właściwości funkcji arcus tangens:

dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
zakres: y ∈ - π 2 ; π2;
ta funkcja jest dziwna, ponieważ y (- x) = - y (x) ;
funkcja rośnie w całej dziedzinie definicji;
funkcja arcus tangens jest wklęsła dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] i wypukła dla x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
punkt przegięcia ma współrzędne (0; 0), jest też zerem funkcji;
asymptoty poziome to linie proste y = - π 2 dla x → - ∞ i y = π 2 dla x → + ∞ (asymptoty na rysunku to linie zielone).

Funkcja cotangensa łuku: y = a r c c t g (x)

Definicja 25

Właściwości funkcji cotangensa łuku:

dziedzina definicji: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
zakres: y (0 ; π) ;
ta funkcja ma charakter ogólny;
funkcja maleje w całej dziedzinie definicji;
funkcja arc cotangens jest wklęsła dla x ∈ [ 0 ; + ∞) i wypukłości dla x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
punkt przegięcia ma współrzędne 0 ; π2;
asymptoty poziome to linie proste y = π przy x → - ∞ (zielona linia na rysunku) i y = 0 przy x → + ∞.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter