W tej lekcji dowiesz się, jak przekonwertować wyrażenie zawierające nawiasy na wyrażenie niezawierające nawiasów. Dowiesz się, jak rozwijać nawiasy, które są poprzedzone znakiem plus i minus. Przypomnijmy, jak rozwinąć nawiasy za pomocą prawa mnożenia rozdzielczego. Rozważane przykłady pozwolą połączyć nowy i wcześniej zbadany materiał w jedną całość.
Temat: Rozwiązywanie równań
Lekcja: Rozszerzanie nawiasów
Jak rozwinąć nawiasy poprzedzone znakiem „+”. Zastosowanie prawa kombinacji dodawania.
Jeśli chcesz dodać sumę dwóch liczb do liczby, możesz najpierw dodać do tej liczby pierwszy wyraz, a następnie drugi.
Po lewej stronie znaku znajduje się wyrażenie z nawiasami, a po prawej wyrażenie bez nawiasów. Oznacza to, że przy przejściu z lewej strony równości na prawą, nawiasy zostały rozszerzone.
Spójrzmy na kilka przykładów.
Przykład 1. 
Rozwijając nawiasy zmieniliśmy kolejność działań. Liczenie stało się wygodniejsze.
Przykład 2. 
Przykład 3.
Zauważ, że we wszystkich trzech przykładach właśnie usunęliśmy nawiasy. Sformułujmy regułę:
Komentarz.
Jeżeli pierwszy termin w nawiasach jest niepodpisany, to musi być napisany ze znakiem plus.
Możesz podążać za przykładem krok po kroku. Najpierw dodaj 445 do 889. To działanie można wykonać w umyśle, ale nie jest to bardzo proste. Rozwińmy nawiasy i zobaczmy, że zmieniona kolejność czynności znacznie uprości obliczenia.
Jeśli zastosujesz się do wskazanej kolejności działań, musisz najpierw odjąć 345 od 512, a następnie dodać do wyniku 1345. Rozwijając nawiasy, zmienimy kolejność działań i znacznie uprościmy obliczenia.
Ilustracyjny przykład i reguła.
Rozważ przykład:. Możesz znaleźć wartość wyrażenia, dodając 2 i 5, a następnie biorąc wynikową liczbę z przeciwnym znakiem. Dostajemy -7.
Z drugiej strony ten sam wynik można uzyskać, sumując przeciwne liczby.
Sformułujmy regułę:
Przykład 1. 
Przykład 2.
Zasada nie zmienia się, jeśli w nawiasach nie ma dwóch, ale trzy lub więcej wyrazów.
Przykład 3. 
Komentarz. Znaki są odwracane tylko przed warunkami.
Aby rozwinąć nawiasy, w tym przypadku musisz pamiętać o właściwości dystrybucji.
Najpierw pomnóż pierwszy nawias przez 2, a drugi przez 3.
Pierwszy nawias poprzedzony jest znakiem „+”, co oznacza, że znaki należy pozostawić bez zmian. Przed drugim znajduje się znak „-”, dlatego wszystkie znaki należy zmienić na przeciwne
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - Moskwa: Mnemosina, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka klasa 6. - Gimnazjum, 2006.
- Depman I. Ya., Vilenkin N. Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - Edukacja, 1989.
- Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania na kurs matematyka klasy 5-6 - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klas VI Szkoły Korespondencyjnej MEPhI. - MEPhI ZSH, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-towarzysz dla klas 5-6 liceum. Biblioteka nauczyciela matematyki. - Edukacja, 1989.
- Testy online z matematyki ().
- Możesz pobrać te określone w punkcie 1.2. książki ().
Praca domowa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M .: Mnemosina, 2012. (link patrz 1.2)
- Praca domowa: nr 1254, nr 1255, nr 1256 (b, d)
- Inne zadania: nr 1258 (v), nr 1248
W tym artykule przyjrzymy się bliżej podstawowym zasadom tak ważnego tematu kursu matematyki, jak otwieranie nawiasów. Znajomość zasad otwierania nawiasów jest niezbędna do prawidłowego rozwiązywania równań, w których są używane.
Jak dodatkowo poprawnie rozwinąć nawiasy
Rozwiń nawiasy poprzedzone znakiem „+”
Jest to najprostszy przypadek, ponieważ jeśli przed nawiasami znajduje się znak dodawania, znaki wewnątrz nawiasów nie zmieniają się po rozwinięciu nawiasów. Przykład:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Jak rozwinąć nawiasy poprzedzone znakiem „-”
W takim przypadku musisz przepisać wszystkie terminy bez nawiasów, ale jednocześnie zmienić wszystkie znaki w nich na przeciwne. Znaki zmieniają się tylko dla terminów z tych nawiasów, przed którymi znajdował się znak „-”. Przykład:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Jak rozwinąć nawiasy w mnożeniu
Nawiasy są poprzedzone mnożnikiem
W takim przypadku każdy wyraz należy pomnożyć przez współczynnik i rozszerzyć nawiasy bez zmiany znaków. Jeśli czynnik ma znak „-”, to mnożenie zmienia znaki wyrazów na przeciwne. Przykład:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Jak rozwinąć dwa nawiasy ze znakiem mnożenia między nimi?
W takim przypadku należy pomnożyć każdy termin z pierwszego nawiasu przez każdy termin z drugiego nawiasu, a następnie dodać wyniki. Przykład:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Jak rozwinąć nawiasy kwadratowe?
Jeżeli suma lub różnica dwóch wyrazów jest podnoszona do kwadratu, nawiasy należy otworzyć według następującego wzoru:
(x + y) ^ 2 = x ^ 2 + 2 * x * y + y ^ 2.
W przypadku minusa w nawiasach formuła nie ulega zmianie. Przykład:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Jak rozszerzyć nawiasy w różnym stopniu
Jeśli suma lub różnica terminów zostanie podniesiona na przykład do trzeciej lub czwartej potęgi, wystarczy podzielić potęgę nawiasu na „kwadraty”. Moce tych samych czynników są dodawane, a podczas dzielenia moc dzielnika jest odejmowana od mocy dywidendy. Przykład:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Jak rozwinąć 3 nawiasy
Istnieją równania, w których mnoży się jednocześnie 3 nawiasy. W takim przypadku musisz najpierw pomnożyć wyrazy z pierwszych dwóch nawiasów, a następnie pomnożyć sumę tego mnożenia przez wyrazy trzeciego nawiasu. Przykład:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Te zasady rozszerzania nawiasów dotyczą w równym stopniu rozwiązywania równań liniowych i trygonometrycznych.
Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0,3a ^ 2 - 4,6a + 8 \)
\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Terminy wielomianu nazywane są terminami wielomianu. Jednomiany są również określane jako wielomiany, ponieważ jednomian jest wielomianem składającym się z jednego wyrazu.
Na przykład wielomian
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 \)
można uprościć.
Wszystkie terminy reprezentujemy w postaci jednomianów postaci standardowej:
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0,25b \ cdot (-12) b + 16 = \)
\ (= 8b ^ 5 - 14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 \)
Przedstawmy podobne terminy w otrzymanym wielomianu:
\ (8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2 -8b -3b ^ 2 + 16 = -6b ^ 5 -8b + 16 \)
Wynikiem jest wielomian, którego wszystkie elementy są jednomianami postaci standardowej i nie ma wśród nich podobnych. Takie wielomiany nazywają się wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu standardowej formy przyjmują największy ze stopni jej członków. Zatem dwumian \ (12a ^ 2b - 7b \) ma trzeci stopień, a trójmian \ (2b ^ 2 -7b + 6 \) - drugi.
Zazwyczaj elementy wielomianów postaci standardowej zawierającej jedną zmienną są ułożone w porządku malejącym wykładników jej wykładnika. Na przykład:
\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 = x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \)
Suma kilku wielomianów może zostać przekształcona (uproszczona) w wielomian standardowy.
Czasami członkowie wielomianu muszą być podzieleni na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy są przeciwieństwem rozwinięcia nawiasów, łatwo je sformułować zasady rozszerzania nawiasów:
Jeżeli znak „+” jest umieszczony przed nawiasem, to człony ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli znak „-” znajduje się przed nawiasami, to elementy ujęte w nawiasy zapisujemy z przeciwstawnymi znakami.
Przekształcenie (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Korzystając z właściwości mnożenia rozkładu, możesz przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) = \)
\ (= 9a ^ 2b \ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \ cdot (-4b ^ 2) = \)
\ (= 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2 - 36a ^ 2b ^ 3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego z członków wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany z reguły.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, musisz pomnożyć ten jednomian przez każdy z członków wielomianu.
Wielokrotnie już stosowaliśmy tę zasadę do pomnożenia przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Przekształcenie (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego elementu jednego wielomianu i każdego elementu drugiego.
Zwykle stosuje się następującą regułę.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy składnik jednego wielomianu przez każdy składnik drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory mnożenia. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Niektóre wyrażenia w przekształceniach algebraicznych muszą być obsługiwane częściej niż inne. Być może najczęstsze wyrażenia \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) i \ (a ^ 2 - b ^ 2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnicy kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, więc na przykład \ ((a + b) ^ 2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy a i b. Jednak kwadrat sumy aib nie jest tak powszechny, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość złożone wyrażenia.
Wyrażenia \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) są łatwe do przekształcenia (uproszczenia) w wielomiany o standardowej postaci, w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie podczas mnożenia wielomianów:
\ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = \)
\ (= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)
Warto zapamiętać i zastosować uzyskane tożsamości bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \) - kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów i iloczynu podwojonego.
\ ((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwojonego.
\ (a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy przez sumę.
Te trzy tożsamości pozwalają w transformacjach zamienić ich lewą stronę na prawą i odwrotnie – prawą stronę na lewą. Najtrudniejszą rzeczą jest zobaczenie odpowiednich wyrażeń i zrozumienie, co zastępuje w nich zmienne aib. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych formuł mnożenia.
Nawiasy są używane do wskazania kolejności wykonywania akcji w wyrażeniach liczbowych, dosłownych i zmiennych. Wygodnie jest przejść z wyrażenia z nawiasami do identycznie równego wyrażenia bez nawiasów. Ta technika nazywana jest ekspansją nawiasów.
Rozwiń nawiasy oznacza pozbycie się wyrażenia z tych nawiasów.
Na szczególną uwagę zasługuje jeszcze jeden punkt, który dotyczy specyfiki rejestrowania decyzji podczas otwierania nawiasów. Wyrażenie początkowe możemy zapisać w nawiasach, a wynik uzyskany po rozwinięciu nawiasów jako równość. Na przykład po rozwinięciu nawiasów zamiast wyrażenia
3− (5−7) otrzymujemy wyrażenie 3−5 + 7. Oba te wyrażenia możemy zapisać jako równość 3− (5−7) = 3−5 + 7.
I jeszcze jeden ważny punkt. W matematyce, aby skrócić rekordy, zwyczajowo nie wpisuje się znaku plus, jeśli pojawia się on jako pierwszy w wyrażeniu lub w nawiasach. Na przykład, jeśli dodamy dwie liczby dodatnie, na przykład siedem i trzy, to piszemy nie + 7 + 3, ale po prostu 7 + 3, mimo że siedem jest również liczbą dodatnią. Podobnie, jeśli widzisz na przykład wyrażenie (5 + x) - wiedz, że przed nawiasem jest plus, który nie jest napisany, a przed piątką jest plus + (+ 5 + x) .
Zasada rozwijania nawiasów dodatkowo
Podczas otwierania nawiasów, jeśli przed nawiasami jest plus, to ten plus jest pomijany razem z nawiasami.
Przykład. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 + (7 + 3) Przed nawiasami plus, aby znaki przed liczbami w nawiasach się nie zmieniały.
2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3
Zasada rozwijania nawiasów podczas odejmowania
Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, to ten minus jest pomijany razem z nawiasami, ale wyrazy, które były w nawiasach, zmieniają swój znak na przeciwny. Brak znaku przed pierwszym terminem w nawiasach oznacza znak +.
Przykład. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 - (7 + 3)
Przed nawiasami znajduje się minus, co oznacza, że musisz zmienić znaki przed liczbami z nawiasów. Nie ma znaku w nawiasie przed liczbą 7, oznacza to, że siódemka jest dodatnia, uważa się, że przed nią znajduje się znak +.
2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)
Rozwijając nawiasy, usuwamy z przykładu minus, który był przed nawiasami, a same nawiasy to 2 - (+ 7 + 3), a znaki, które były w nawiasach, są odwrócone.
2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3
Rozwijanie nawiasów w mnożeniu
Jeśli przed nawiasami znajduje się znak mnożenia, każda liczba w nawiasie jest mnożona przez czynnik przed nawiasami. W tym przypadku pomnożenie minusa przez minus daje plus, a pomnożenie minusa przez plus oraz pomnożenie plusa przez minus daje minus.
W ten sposób nawiasy w pracach są rozszerzone zgodnie z dystrybucyjną własnością mnożenia.
Przykład. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7
Kiedy mnożysz nawias przez nawias, każdy element pierwszego nawiasu jest mnożony przez każdy element drugiego nawiasu.
(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5
Tak naprawdę nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich zasad, wystarczy zapamiętać tylko jedną rzecz, a mianowicie: c (a-b) = ca-cb. Czemu? Bo jeśli podstawisz w nim jeden zamiast c, otrzymasz regułę (a - b) = a - b. A jeśli podstawimy minus jeden, otrzymamy regułę - (a - b) = - a + b. Cóż, jeśli zamiast c wstawisz inny nawias, uzyskasz ostatnią regułę.
Rozwijanie nawiasów podczas dzielenia
Jeśli po nawiasach znajduje się znak dzielenia, to każda liczba w nawiasie jest dzielona przez dzielnik po nawiasach i odwrotnie.
Przykład. (9 + 6): 3 = 9: 3 + 6: 3
Jak rozwinąć nawiasy zagnieżdżone
Jeśli wyrażenie zawiera nawiasy zagnieżdżone, są one rozwijane w kolejności, zaczynając od nawiasów zewnętrznych lub wewnętrznych.
Jednocześnie podczas otwierania jednego z nawiasów ważne jest, aby nie dotykać pozostałych nawiasów, po prostu przepisać je tak, jak są.
Przykład. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b
„Nawiasy otwierające” - Podręcznik do matematyki klasa 6 (Vilenkin)
Krótki opis:
W tej sekcji dowiesz się, jak rozwinąć nawiasy na przykładach. Po co to jest? Wszystko dla tego samego co poprzednio - aby było Ci łatwiej i łatwiej liczyć, aby popełniać mniej błędów, a najlepiej (marzenie Twojego nauczyciela matematyki), aby w ogóle rozwiązywać wszystko bez błędów.
Wiesz już, że nawiasy w notacji matematycznej są umieszczane, jeśli dwa znaki matematyczne idą w rzędzie, jeśli chcemy pokazać sumę liczb, ich przegrupowanie. Rozszerzenie nawiasów oznacza pozbycie się dodatkowych znaków. Na przykład: (-15) + 3 = -15 + 3 = -12, 18 + (-16) = 18-16 = 2. Pamiętasz rozdzielczą własność mnożenia w stosunku do dodawania? W końcu w tym przykładzie pozbyliśmy się również nawiasów, aby uprościć obliczenia. Nazwana właściwość mnożenia może być również zastosowana do czterech, trzech, pięciu lub więcej wyrazów. Na przykład: 15 * (3 + 8 + 9 + 6) = 15 * 3 + 15 * 8 + 15 * 9 + 15 * 6 = 390. Czy zauważyłeś, że podczas rozwijania nawiasów liczby w nich nie zmieniają znaku, jeśli liczba przed nawiasem jest dodatnia? W końcu piętnaście to liczba dodatnia. A jeśli rozwiążesz ten przykład: -15 * (3 + 8 + 9 + 6) = - 15 * 3 + (- 15) * 8 + (- 15) * 9 + (- 15) * 6 = -45 + ( - 120) + (- 135) + (- 90) = - 45-120-135-90 = -390. Przed nawiasami mieliśmy ujemną liczbę minus piętnaście, kiedy otworzyliśmy nawias, wszystkie liczby zaczęły zmieniać swój znak na inny - odwrotnie - z plusa na minus.
Na podstawie powyższych przykładów istnieją dwie podstawowe zasady rozwijania nawiasów:
1. Jeśli masz liczbę dodatnią przed nawiasami, to po rozwinięciu nawiasów wszystkie znaki liczb w nawiasach nie zmieniają się, ale pozostają dokładnie takie same.
2. Jeśli masz liczbę ujemną przed nawiasami, to po otwarciu nawiasów znak minus nie jest już zapisywany, a znaki wszystkich liczb bezwzględnych w nawiasach są ostro odwrócone.
Na przykład: (13 + 8) + (9-8) = 13 + 8 + 9-8 = 22; (13 + 8) - (9-8) = 13 + 8-9 + 8 = 20. Skomplikujmy trochę nasze przykłady: (13 + 8) +2 (9-8) = 13 + 8 + 2 * 9-2 * 8 = 21 + 18-16 = 23. Zauważyłeś, że kiedy rozszerzyliśmy drugi nawias, pomnożyliśmy przez 2, ale znaki pozostały takie same. A oto przykład: (3 + 8) -2 * (9-8) = 3 + 8-2 * 9 + 2 * 8 = 11-18 + 16 = 9, w tym przykładzie liczba dwa jest ujemna, to jest przed nawiasem ze znakiem minus, więc otwierając je odwróciliśmy znaki liczb (dziewięć było z plusem, było z minusem, osiem było z minusem, to był plus).
