Teoretická mechanika- Ide o odvetvie mechaniky, ktoré stanovuje základné zákony mechanického pohybu a mechanickej interakcie hmotných telies.
Teoretická mechanika je veda, v ktorej sa skúmajú pohyby telies v čase (mechanické pohyby). Slúži ako základ pre ďalšie sekcie mechaniky (teória pružnosti, odolnosti materiálov, teória plasticity, teória mechanizmov a strojov, hydroaerodynamika) a mnohé technické disciplíny.
mechanický pohyb- ide o časovú zmenu relatívnej polohy v priestore hmotných telies.
Mechanická interakcia- je to taká interakcia, v dôsledku ktorej sa mení mechanický pohyb alebo sa mení vzájomná poloha častí tela.
Pevná statika tela
Statika- Ide o odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré sa zaoberá problémami rovnováhy pevných telies a premenou jedného systému síl na iný, jemu ekvivalentný.
- Základné pojmy a zákony statiky
- Absolútne tuhé telo(pevné teleso, teleso) je hmotné teleso, vzdialenosť medzi akýmikoľvek bodmi sa nemení.
- Materiálny bod je teleso, ktorého rozmery podľa podmienok problému možno zanedbať.
- uvoľnené telo je teleso, na pohyb ktorého nie sú kladené žiadne obmedzenia.
- Nevoľné (viazané) telo je teleso, ktorého pohyb je obmedzený.
- Spojenia- sú to telesá, ktoré bránia pohybu uvažovaného objektu (telesa alebo sústavy telies).
- Komunikačná reakcia je sila, ktorá charakterizuje pôsobenie väzby na tuhé teleso. Ak silu, ktorou tuhé teleso pôsobí na väzbu, považujeme za akciu, potom je reakcia väzby protiakciou. V tomto prípade sa sila - pôsobenie aplikuje na spojenie a reakcia spojenia sa aplikuje na pevné teleso.
- mechanický systém je súbor vzájomne prepojených telies alebo hmotných bodov.
- Pevné možno považovať za mechanický systém, ktorého polohy a vzdialenosť medzi bodmi sa nemenia.
- Moc je vektorová veličina charakterizujúca mechanické pôsobenie jedného hmotného telesa na druhé.
Sila ako vektor je charakterizovaná bodom pôsobenia, smerom pôsobenia a absolútnou hodnotou. Jednotkou merania modulu sily je Newton. - siločiara je priamka, pozdĺž ktorej smeruje vektor sily.
- Koncentrovaná sila je sila pôsobiaca v jednom bode.
- Rozložené sily (rozložené zaťaženie)- sú to sily pôsobiace na všetky body objemu, povrchu alebo dĺžky telesa.
Rozložené zaťaženie je dané silou pôsobiacou na jednotku objemu (plocha, dĺžka).
Rozmer rozloženého zaťaženia je N / m 3 (N / m 2, N / m). - Vonkajšia sila je sila pôsobiaca od telesa, ktorá nepatrí do uvažovaného mechanického systému.
- vnútorná sila je sila pôsobiaca na hmotný bod mechanického systému z iného hmotného bodu prislúchajúceho do posudzovaného systému.
- Silový systém je súhrn síl pôsobiacich na mechanický systém.
- Plochý systém síl je sústava síl, ktorých akčné línie ležia v rovnakej rovine.
- Priestorový systém síl je sústava síl, ktorých akčné línie neležia v rovnakej rovine.
- Systém konvergujúcich síl je sústava síl, ktorých akčné línie sa pretínajú v jednom bode.
- Svojvoľný systém síl je sústava síl, ktorých akčné línie sa nepretínajú v jednom bode.
- Ekvivalentné sústavy síl- sú to sústavy síl, ktorých výmena jedna za druhú nemení mechanický stav tela.
Akceptované označenie: . - Rovnováha Stav, v ktorom teleso pôsobením síl zostáva nehybné alebo sa pohybuje rovnomerne v priamom smere.
- Vyvážený systém síl- ide o sústavu síl, ktorá pri pôsobení na voľné pevné teleso nemení jeho mechanický stav (nevyvádza ho z rovnováhy).
. - výsledná sila je sila, ktorej pôsobenie na teleso je ekvivalentné pôsobeniu sústavy síl.
. - Moment sily je hodnota, ktorá charakterizuje rotačnú schopnosť sily.
- Mocenský pár je systém dvoch rovnobežných, v absolútnej hodnote rovnakých, opačne smerujúcich síl.
Akceptované označenie: .
Pôsobením niekoľkých síl telo vykoná rotačný pohyb. - Projekcia sily na osi- je to úsečka uzavretá medzi kolmicami vedenými od začiatku a konca vektora sily k tejto osi.
Projekcia je kladná, ak sa smer segmentu zhoduje s kladným smerom osi. - Projekcia sily na rovine je vektor v rovine uzavretej medzi kolmicami vedenými od začiatku a konca vektora sily k tejto rovine.
- Zákon 1 (zákon zotrvačnosti). Izolovaný hmotný bod je v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro.
Rovnomerný a priamočiary pohyb hmotného bodu je pohyb zotrvačnosťou. Rovnovážny stav hmotného bodu a tuhého telesa sa chápe nielen ako stav pokoja, ale aj ako pohyb zotrvačnosťou. Pre tuhé teleso existujú rôzne typy zotrvačného pohybu, napríklad rovnomerné otáčanie tuhého telesa okolo pevnej osi. - Zákon 2. Pevné teleso je v rovnováhe pri pôsobení dvoch síl iba vtedy, ak sú tieto sily rovnako veľké a smerujú v opačných smeroch pozdĺž spoločnej akčnej línie.
Tieto dve sily sa nazývajú vyvážené.
Vo všeobecnosti sa sily považujú za vyrovnané, ak je tuhé teleso, na ktoré tieto sily pôsobia, v pokoji. - Zákon 3. Bez porušenia stavu (slovo „stav“ tu znamená stav pohybu alebo pokoja) tuhého telesa je možné pridávať a uberať vyrovnávacie sily.
Dôsledok. Bez narušenia stavu tuhého telesa môže byť sila prenesená pozdĺž svojej akčnej línie do akéhokoľvek bodu telesa.
Dva systémy síl sa nazývajú ekvivalentné, ak jeden z nich môže byť nahradený iným bez narušenia stavu tuhého telesa. - Zákon 4. Výslednica dvoch síl pôsobiacich v jednom bode pôsobí v tom istom bode, v absolútnej hodnote sa rovná uhlopriečke rovnobežníka postaveného na týchto silách a smeruje pozdĺž tohto
uhlopriečky.
Modul výsledku je: - Zákon 5 (zákon o rovnosti akcie a reakcie). Sily, ktorými na seba dve telesá pôsobia, sú rovnako veľké a smerujú v opačných smeroch pozdĺž jednej priamky.
Treba mať na pamäti, že akcie- sila pôsobiaca na telo B a opozície- sila pôsobiaca na telo A, nie sú vyvážené, pretože sú pripojené k rôznym telám. - Zákon 6 (zákon otužovania). Pri tuhnutí nie je narušená rovnováha nepevného telesa.
Netreba zabúdať, že rovnovážne podmienky, ktoré sú potrebné a postačujúce pre tuhé teleso, sú nevyhnutné, ale nedostatočné pre zodpovedajúce netuhé teleso. - Zákon 7 (zákon o uvoľnení z dlhopisov). Nevoľné pevné teleso možno považovať za slobodné, ak je duševne oslobodené od väzieb, pričom pôsobenie väzieb nahrádza zodpovedajúcimi reakciami väzieb.
- Spojenia a ich reakcie
- Jemný povrch obmedzuje pohyb pozdĺž normály k nosnej ploche. Reakcia smeruje kolmo k povrchu.
- Kĺbová pohyblivá podpera obmedzuje pohyb tela pozdĺž normály k referenčnej rovine. Reakcia smeruje pozdĺž normály k povrchu nosiča.
- Kĺbová pevná podpera pôsobí proti akémukoľvek pohybu v rovine kolmej na os otáčania.
- Kĺbový beztiažový prút pôsobí proti pohybu tela pozdĺž línie tyče. Reakcia bude smerovať pozdĺž línie tyče.
- Slepé ukončenie pôsobí proti akémukoľvek pohybu a rotácii v rovine. Jeho pôsobenie môže byť nahradené silou prezentovanou vo forme dvoch zložiek a dvojice síl s momentom.
Kinematika
Kinematika- oddiel teoretickej mechaniky, ktorý uvažuje o všeobecných geometrických vlastnostiach mechanického pohybu, ako procesu prebiehajúceho v priestore a čase. Pohybujúce sa objekty sa považujú za geometrické body alebo geometrické telesá.
- Základné pojmy kinematiky
- Zákon pohybu bodu (telesa) je závislosť polohy bodu (telesa) v priestore od času.
- Bodová trajektória je ťažisko polôh bodu v priestore počas jeho pohybu.
- Bodová (telesná) rýchlosť- ide o charakteristiku zmeny polohy bodu (telesa) v priestore v čase.
- Bodové (telesné) zrýchlenie- ide o charakteristiku časovej zmeny rýchlosti bodu (telesa).
- Určenie kinematických charakteristík bodu
- Bodová trajektória
Vo vektorovom referenčnom systéme je trajektória opísaná výrazom: .
V súradnicovom referenčnom systéme je dráha určená podľa zákona o pohybe bodu a je opísaná výrazmi z = f(x,y) vo vesmíre, príp y = f(x)- v lietadle.
V prirodzenom referenčnom systéme je trajektória vopred určená. - Určenie rýchlosti bodu vo vektorovom súradnicovom systéme
Pri špecifikácii pohybu bodu vo vektorovom súradnicovom systéme sa pomer pohybu k časovému intervalu nazýva priemerná hodnota rýchlosti v tomto časovom intervale: .
Ak vezmeme časový interval ako nekonečne malú hodnotu, dostaneme hodnotu rýchlosti v danom čase (okamžitú hodnotu rýchlosti):
.
Vektor priemernej rýchlosti smeruje pozdĺž vektora v smere pohybu bodu, vektor okamžitej rýchlosti smeruje tangenciálne k trajektórii v smere pohybu bodu.
záver: rýchlosť bodu je vektorová veličina rovnajúca sa derivácii pohybového zákona vzhľadom na čas.
Odvodená vlastnosť: časová derivácia akejkoľvek hodnoty určuje rýchlosť zmeny tejto hodnoty. - Určenie rýchlosti bodu v súradnicovom referenčnom systéme
Rýchlosť zmeny súradníc bodu:
.
Modul plnej rýchlosti bodu s pravouhlým súradnicovým systémom sa bude rovnať:
.
Smer vektora rýchlosti je určený kosínusom uhlov riadenia:
,
kde sú uhly medzi vektorom rýchlosti a súradnicovými osami. - Určenie rýchlosti bodu v prirodzenom referenčnom systéme
Rýchlosť bodu v prirodzenom referenčnom systéme je definovaná ako derivácia zákona o pohybe bodu: .
Podľa predchádzajúcich záverov vektor rýchlosti smeruje tangenciálne k trajektórii v smere pohybu bodu a v osiach je určený iba jednou projekciou .
- Kinematika tuhého tela
- V kinematike tuhých telies sa riešia dva hlavné problémy:
1) úloha pohybu a určenie kinematických charakteristík tela ako celku;
2) určenie kinematických charakteristík bodov telesa. - Translačný pohyb tuhého telesa
Translačný pohyb je pohyb, pri ktorom priamka vedená dvoma bodmi tela zostáva rovnobežná s jeho pôvodnou polohou.
Veta: pri translačnom pohybe sa všetky body telesa pohybujú po rovnakých trajektóriách a v každom časovom okamihu majú rovnakú rýchlosť a zrýchlenie v absolútnej hodnote a smere.
záver: translačný pohyb tuhého telesa je určený pohybom ktoréhokoľvek z jeho bodov, a preto je úloha a štúdium jeho pohybu redukované na kinematiku bodu.. - Rotačný pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi
Rotačný pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi je pohyb tuhého telesa, pri ktorom dva body patriace telesu zostávajú nehybné počas celej doby pohybu.
Poloha tela je určená uhlom natočenia. Jednotkou merania uhla sú radiány. (Radián je stredový uhol kruhu, ktorého dĺžka oblúka sa rovná polomeru, celý uhol kruhu obsahuje 2π radián.)
Zákon rotačného pohybu telesa okolo pevnej osi.
Uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie telesa budú určené metódou diferenciácie:
— uhlová rýchlosť, rad/s;
— uhlové zrýchlenie, rad/s².
Ak teleso prerežeme o rovinu kolmú na os, zvolíme bod na osi rotácie S a ľubovoľný bod M, potom bod M bude popisovať okolo bodu S polomerový kruh R. Počas dt existuje elementárna rotácia cez uhol , zatiaľ čo bod M sa bude pohybovať pozdĺž trajektórie na určitú vzdialenosť
.
Modul lineárnej rýchlosti:
.
bodové zrýchlenie M so známou trajektóriou je určená jej komponentmi:
,
kde
.
V dôsledku toho dostaneme vzorce
tangenciálne zrýchlenie:
;
normálne zrýchlenie:
.
Dynamika
Dynamika- Ide o odvetvie teoretickej mechaniky, ktoré študuje mechanické pohyby hmotných telies v závislosti od príčin, ktoré ich spôsobujú.
- Základné pojmy dynamiky
- zotrvačnosť- ide o vlastnosť hmotných telies udržiavať stav pokoja alebo rovnomerného priamočiareho pohybu, kým vonkajšie sily tento stav nezmenia.
- Hmotnosť je kvantitatívna miera zotrvačnosti telesa. Jednotkou hmotnosti je kilogram (kg).
- Materiálny bod je teleso s hmotnosťou, ktorej rozmery sa pri riešení tohto problému zanedbávajú.
- Ťažisko mechanického systému je geometrický bod, ktorého súradnice sú určené vzorcami:
kde m k, x k, y k, z k- hmotnosť a súradnice k- ten bod mechanického systému, m je hmotnosť systému.
V rovnomernom ťažisku sa poloha ťažiska zhoduje s polohou ťažiska. - Moment zotrvačnosti hmotného telesa okolo osi je kvantitatívna miera zotrvačnosti počas rotačného pohybu.
Moment zotrvačnosti hmotného bodu okolo osi sa rovná súčinu hmotnosti bodu a druhej mocniny vzdialenosti bodu od osi:
.
Moment zotrvačnosti sústavy (telesa) okolo osi sa rovná aritmetickému súčtu momentov zotrvačnosti všetkých bodov:
- Zotrvačná sila hmotného bodu je vektorová veličina, ktorá sa v absolútnej hodnote rovná súčinu hmotnosti bodu a modulu zrýchlenia a smeruje opačne k vektoru zrýchlenia:
- Zotrvačná sila hmotného telesa je vektorová veličina, ktorá sa v absolútnej hodnote rovná súčinu hmotnosti tela a modulu zrýchlenia ťažiska telesa a smeruje opačne k vektoru zrýchlenia ťažiska: ,
kde je zrýchlenie ťažiska telesa. - Impulz elementárnej sily je vektorová veličina rovnajúca sa súčinu vektora sily o nekonečne malý časový interval dt:
.
Celkový impulz sily pre Δt sa rovná integrálu základných impulzov:
. - Elementárna sila je skalár dA, rovný skalárnemu
Veta o pohybe ťažiska. Diferenciálne pohybové rovnice mechanického systému. Veta o pohybe ťažiska mechanického systému. Zákon zachovania pohybu ťažiska.
Veta o zmene hybnosti. Veľkosť pohybu hmotného bodu. Elementárny impulz sily. Impulz sily v konečnom časovom období a jeho projekcie na súradnicových osiach. Veta o zmene hybnosti hmotného bodu v diferenciálnych a konečných formách.
Množstvo pohybu mechanického systému; jeho vyjadrenie z hľadiska hmotnosti systému a rýchlosti jeho ťažiska. Veta o zmene hybnosti mechanického systému v diferenciálnych a konečných formách. Zákon zachovania mechanickej hybnosti
(Pojem telesa a bodu s premenlivou hmotnosťou. Meščerského rovnica. Ciolkovského vzorec.)
Veta o zmene momentu hybnosti. Moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom k stredu a relatívne k osi. Veta o zmene momentu hybnosti hmotného bodu. Centrálna sila. Zachovanie momentu hybnosti hmotného bodu v prípade centrálnej sily. (Koncept sektorovej rýchlosti. Zákon oblastí.)
Hlavný moment hybnosti alebo kinetický moment mechanického systému okolo stredu a okolo osi. Moment hybnosti rotujúceho tuhého telesa okolo osi rotácie. Veta o zmene kinetického momentu mechanického systému. Zákon zachovania kinetického momentu mechanického systému. (Veta o zmene kinetického momentu mechanického systému pri relatívnom pohybe vzhľadom na ťažisko.)
Veta o zmene kinetickej energie. Kinetická energia hmotného bodu. Základná sila; analytický výraz pre elementárnu prácu. Práca sily na konečnom posunutí bodu jej aplikácie. Práca gravitačnej sily, sila pružnosti a sila gravitácie. Veta o zmene kinetickej energie hmotného bodu v diferenciálnych a konečných formách.
Kinetická energia mechanického systému. Vzorce na výpočet kinetickej energie tuhého telesa pri posuvnom pohybe, pri otáčaní okolo pevnej osi a vo všeobecnom prípade pohybu (najmä pri rovinnoparalelnom pohybe). Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému v diferenciálnych a konečných formách. Rovnosť nuly súčtu práce vnútorných síl v telese. Práca a sila síl pôsobiacich na tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi.
Koncept silového poľa. Potenciálne silové pole a silová funkcia. Vyjadrenie priemetov síl z hľadiska funkcie sily. Povrchy s rovnakým potenciálom. Práca sily na konečnom posunutí bodu v potenciálnom silovom poli. Potenciálna energia. Príklady potenciálnych silových polí: rovnomerné gravitačné pole a gravitačné pole. Zákon zachovania mechanickej energie.
Dynamika tuhého tela. Diferenciálne rovnice translačného pohybu tuhého telesa. Diferenciálna rovnica rotácie tuhého telesa okolo pevnej osi. Fyzické kyvadlo. Diferenciálne rovnice rovinného pohybu tuhého telesa.
d'Alembertov princíp. d'Alembertov princíp pre hmotný bod; sila zotrvačnosti. d'Alembertov princíp pre mechanický systém. Prenesenie síl zotrvačnosti bodov tuhého telesa do stredu; hlavný vektor a hlavný moment zotrvačných síl.
(Stanovenie dynamických reakcií ložísk pri otáčaní tuhého telesa okolo pevnej osi. Prípad, keď os otáčania je hlavnou stredovou osou zotrvačnosti telesa.)
Princíp možných posunov a všeobecná rovnica dynamiky. Vzťahy uložené na mechanickom systéme. Možné (alebo virtuálne) posuny hmotného bodu a mechanického systému. Počet stupňov voľnosti systému. Perfektné spojenia. Princíp možných posunov. Všeobecná rovnica dynamiky.
Pohybové rovnice sústavy vo zovšeobecnených súradniciach (Lagrangeove rovnice). Zovšeobecnené súradnice systému; zovšeobecnené rýchlosti. Vyjadrenie elementárnej práce v zovšeobecnených súradniciach. Zovšeobecnené sily a ich výpočet; prípad síl s potenciálom. Podmienky rovnováhy pre systém vo zovšeobecnených súradniciach. Diferenciálne rovnice pohybu sústavy vo zovšeobecnených súradniciach alebo Lagrangeove rovnice 2. druhu. Lagrangeove rovnice v prípade potenciálnych síl; Lagrangeova funkcia (kinetický potenciál).
Koncept rovnovážnej stability. Malé voľné vibrácie mechanického systému s jedným stupňom voľnosti okolo polohy stabilnej rovnováhy systému a ich vlastnosti.
Prvky teórie nárazu. Nárazový jav. Nárazová sila a nárazový impulz. Pôsobenie nárazovej sily na hmotný bod. Veta o zmene hybnosti mechanického systému pri náraze. Priamy centrálny náraz tela na pevný povrch; elastické a neelastické nárazy. Koeficient zotavenia po náraze a jeho experimentálne stanovenie. Priamy centrálny úder dvoch tiel. Carnotova veta.
BIBLIOGRAFIA
Základné
Butenin N. V., Lunts Ya-L., Merkin D. R. Kurz teoretickej mechaniky. Zväzok 1, 2. M., 1985 a predchádzajúce vydania.
Dobronravov V. V., Nikitin N. N. Kurz teoretickej mechaniky. M., 1983.
Staržinský V.M. Teoretická mechanika. M., 1980.
Targ S. M. Krátky kurz teoretickej mechaniky. M., 1986 a predchádzajúce vydania.
Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Kurz teoretickej mechaniky. Časť 1. M., 1984 a predchádzajúce vydania.
Yablonsky A.A. Kurz teoretickej mechaniky. Časť 2. M., 1984 a predchádzajúce vydania.
Meshchersky I.V. Zbierka úloh z teoretickej mechaniky. M., 1986 a predchádzajúce vydania.
Zbierka úloh z teoretickej mechaniky / Ed. K. S. Kolesníková. M., 1983.
Dodatočné
Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Teoretická mechanika v príkladoch a problémoch. Kap 1, 2. M., 1984 a predchádzajúce vydania.
Zbierka úloh z teoretickej mechaniky / 5raznichen / spol N. A., Kan V. L., Mintsberg B. L. a kol., M., 1987.
Novožilov I. V., Zatsepin M. F.Štandardné výpočty v teoretickej mechanike založené na počítači. M., 1986,
Zbierka úloh k semestrálnym prácam z teoretickej mechaniky / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 a predchádzajúce vydania (obsahuje príklady riešenia problémov).
Používanie OZMS pri riešení problémov je spojené s určitými ťažkosťami. Preto sa medzi charakteristikami pohybu a síl zvyčajne vytvárajú ďalšie vzťahy, ktoré sú pre praktické využitie vhodnejšie. Tieto pomery sú všeobecné teorémy dynamiky. Ako dôsledky OZMS vytvárajú závislosti medzi rýchlosťou zmien niektorých špeciálne zavedených mier pohybu a charakteristikami vonkajších síl.
Veta o zmene hybnosti. Zaveďme si pojem vektor hybnosti (R. Descartes) hmotného bodu (obr. 3.4):
i i = t v G (3.9)
Ryža. 3.4.
Pre systém uvádzame koncept hlavný vektor hybnosti systému ako geometrický súčet:
Q \u003d Y, m "V r
V súlade s OZMS: Xu, - ^ \u003d i), alebo X
R(E) .
Ak vezmeme do úvahy, že /w, = const dostaneme: -Ym,!" = R(E),
alebo v konečnej podobe
do / di \u003d A (E (3.11)
tie. prvá časová derivácia hlavného vektora hybnosti sústavy sa rovná hlavnému vektoru vonkajších síl.
Veta o pohybe ťažiska. Ťažisko systému nazývaný geometrický bod, ktorého poloha závisí od T, a t.j. na rozdelení hmoty /r/, v sústave a je určená vyjadrením vektora polomeru ťažiska (obr. 3.5):
kde g s - vektor polomeru ťažiska.
Ryža. 3.5.
Zavoláme = t s hmotnosťou systému. Po vynásobení výrazu
(3.12) na menovateli a odlíšením oboch častí polo-
cennú rovnosť budeme mať: g s t s = ^t.U. = 0 alebo 0 = t s U s.
Hlavný vektor hybnosti systému sa teda rovná súčinu hmotnosti systému a rýchlosti ťažiska. Pomocou vety o zmene hybnosti (3.11) dostaneme:
t s dU s / dі \u003d A (E), alebo
Vzorec (3.13) vyjadruje vetu o pohybe ťažiska: ťažisko sústavy sa pohybuje ako hmotný bod s hmotnosťou sústavy, na ktorú vplýva hlavný vektor vonkajších síl.
Veta o zmene momentu hybnosti. Predstavme si pojem moment hybnosti hmotného bodu ako vektorový súčin jeho polomeru-vektora a hybnosti:
k o o = bl X že, (3.14)
kde do OI - moment hybnosti hmotného bodu vzhľadom na pevný bod O(obr. 3.6).
Teraz definujeme moment hybnosti mechanického systému ako geometrický súčet:
K () \u003d X ko, \u003d ShchU,? O-15>
Diferencovaním (3.15) dostaneme:
Ґ сік--- X t i w. + g yu X t i
Vzhľadom na to = U G U i X t i u i= 0 a vzorec (3.2), dostaneme:
сіК a /с1ї - ї 0 .
Na základe druhého výrazu v (3.6) budeme mať konečne vetu o zmene momentu hybnosti systému:
Prvá časová derivácia momentu hybnosti mechanického systému vzhľadom na pevný stred O sa rovná hlavnému momentu vonkajších síl pôsobiacich na tento systém vzhľadom na rovnaký stred.
Pri odvodzovaní vzťahu (3.16) sa predpokladalo, že O- pevný bod. Dá sa však ukázať, že v mnohých iných prípadoch sa tvar vzťahu (3.16) nezmení, najmä ak sa v prípade pohybu v rovine zvolí momentový bod v ťažisku, okamžitý stred. rýchlosti alebo zrýchlenia. Okrem toho, ak bod O sa zhoduje s pohyblivým hmotným bodom, rovnosť (3.16) napísaná pre tento bod sa zmení na identitu 0 = 0.
Veta o zmene kinetickej energie. Keď sa mechanický systém pohybuje, mení sa „vonkajšia“ aj vnútorná energia systému. Ak charakteristiky vnútorných síl, hlavný vektor a hlavný moment neovplyvnia zmenu hlavného vektora a hlavného momentu počtu zrýchlení, potom vnútorné sily možno zahrnúť do odhadov procesov energetického stavu sústavy. Preto pri uvažovaní zmien energie sústavy treba brať do úvahy pohyby jednotlivých bodov, na ktoré pôsobia aj vnútorné sily.
Kinetická energia hmotného bodu je definovaná ako veličina
T^myTsg. (3.17)
Kinetická energia mechanického systému sa rovná súčtu kinetických energií hmotných bodov systému:
Všimni si T > 0.
Silový výkon definujeme ako skalárny súčin vektora sily vektorom rýchlosti:
Diferenciálne rovnice pohybu sústavy.
Aplikujeme druhý (hlavný) zákon dynamiky, dostaneme
Analogický typ rovnice získame pre ľubovoľný bod sústavy, t.j. celkovo bude mať uvažovaný systém n takýchto rovníc (k= 1, 2….n). Tento systém rovníc je diferenciálne pohybové rovnice mechanického systému vo vektorovom tvare.
Premietnutím rovnosti (2) na niektoré súradnicové osi získame sústavu diferenciálnych pohybových rovníc sústavy v projekciách na tieto osi.
V dôsledku integrácie systému diferenciálnych rovníc (čo je veľmi ťažké) získať zákony pohybu pre každý bod systému. Oveľa pohodlnejšie je určiť určité sumárne charakteristiky pohybu celej sústavy ako celku a z nich prípadne nájsť zodpovedajúce parametre pohybu jednotlivých bodov sústavy.
Takéto charakteristiky sú mierami pohybu systému: hybnosť, moment hybnosti, kinetická energia.
Okrem toho je každá z týchto mier systému definovaná ako súčet zodpovedajúcich mier pohybu všetkých jeho bodov.
V súlade s tým sa účinky na systém zvažujú celkovo (hlavný vektor a hlavný moment síl pôsobiacich na systém, množstvo práce atď.).
Vzťah medzi mierami pohybu systému a mierami vplyvu naň vyjadruje všeobecné vety sústavy hmotných bodov.
Všeobecné teorémy dynamiky systému sú dôsledkom sústavy rovníc (2).
2) Hmotnosť systému. Stred omše.
Mechanický systém je systém hmotných bodov, z ktorých každý má určitú hmotnosť a zaujíma určitú polohu v priestore v danom časovom okamihu.
Pre pohodlie pri riešení problémov dynamiky mechanických systémov je žiaduce mať nejaké zovšeobecnené (t.j. celkové) charakteristiky, ktoré by odrážali tak hmotnosť systému, ako aj jeho „geometriu hmôt“, t.j. umiestnenie v priestore hmotných bodov systému.
Hmotnosť systému M sa rovná aritmetickému súčtu hmotností všetkých bodov alebo telies, ktoré tvoria systém:
Ťažiskom mechanickej sústavy je geometrický bod C, ktorého vektor polomeru je
kde polomer je vektor bodov, ktoré tvoria systém.
Hmotnosti bodov mechanického systému
M je hmotnosť systému.
Ťažisko sústavy nie je hmotný bod, ale geometrický bod. Nemusí sa zhodovať so žiadnym materiálnym bodom systému. Ťažisko sústavy charakterizuje rozloženie hmôt v sústave.
Veta o pohybe ťažiska mechanického systému.
Veta: Ťažisko sústavy sa pohybuje ako hmotný bod, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti celej sústavy a na ktorý pôsobia všetky vonkajšie sily pôsobiace na sústavu.
Kde je zrýchlenie ťažiska.
Hlavný vektor vonkajších síl.
Premietnutím oboch strán rovnice na súradnicové osi dostaneme:
kde ,, sú súradnice ťažiska.
Z vety o pohybe ťažiska možno získať nasledujúce dôležité dôsledky, ktoré vyjadrujú zákon zachovania ťažiska mechanického systému.
Ak je geometrická sústava všetkých vonkajších síl pôsobiacich na sústavu 0 (), tak to znamená, že alebo, t.j. ťažisko tohto systému sa pohybuje konštantnou rýchlosťou vo veľkosti a smere (inak rovnomerne a priamočiaro). V konkrétnom prípade, ak na začiatku bolo ťažisko v pokoji (), zostane v pokoji, t. j. ().
Ak sú vonkajšie sily pôsobiace na sústavu také, že súčet ich priemetov na niektorú os (napríklad os X je 0 ), potom priemet rýchlosti ťažiska sústavy na túto os je konštantný. V konkrétnom prípade, ak v počiatočnom okamihu, potom v ktoromkoľvek nasledujúcom časovom okamihu bude táto hodnota zachovaná, a preto sa súradnica ťažiska systému nezmení, t.j. = konšt.
Vety o zmene hybnosti bodu a sústavy
Definícia: hybnosť hmotného bodu je vektorová veličina rovnajúca sa súčinu hmotnosti bodu a vektora jeho rýchlosti. Vektor je pripojený k pohyblivému bodu.
Definícia: Hybnosť mechanickej sústavy je vektor rovný geometrickému súčtu hybnosti všetkých bodov sústavy.
Vektor je voľný vektor. Rýchlosti všetkých bodov sústavy sú spravidla rôzne a preto je priama sumarizácia vektorov na pravej strane rovnosti obtiažna.
Na určenie ťažiska mechanického systému používame vzorec (1)
Alebo to môžeme napísať do formulára
diferencovaním oboch častí výrazu vzhľadom na čas dostaneme:
Porovnaním vzorcov (4) a (5) dostaneme, že hybnosť systému sa rovná súčinu hmotnosti celého systému a rýchlosti jeho ťažiska.
Vektor je zovšeobecnený vektor charakteristický pre pohyb celého mechanického systému. Vo všeobecnom prípade možno pohyb sústavy a jej hybnosť považovať za charakteristiku translačnej časti pohybu sústavy spolu s ťažiskom. Ak je počas pohybu sústavy (telesa) ťažisko nehybné, potom bude hybnosť rovná 0. Napríklad hybnosť telesa rotujúceho okolo pevnej osi prechádzajúcej jeho ťažiskom.
Zapíšeme druhý zákon dynamiky pre hmotný bod: za predpokladu, že dostaneme (7)
V každom časovom okamihu sa časová derivácia hybnosti bodu rovná sile pôsobiacej na bod.
Ak sa obe časti rovnosti (7) vynásobia o dt, potom dostaneme vektorovú veličinu, ktorá je na pravej strane tejto rovnosti, charakterizuje pôsobenie sily na teleso v elementárnom časovom úseku dt táto hodnota sa nazýva elementárny impulz sily, t.j.
Všeobecné teorémy dynamiky- je to veta o pohybe ťažiska mechanického systému, veta o zmene hybnosti, veta o zmene hlavného momentu hybnosti (kinetický moment) a veta o zmene hybnosti. kinetická energia mechanického systému.
Veta o pohybe ťažiska mechanického systému
Veta o pohybe ťažiska.
Súčin hmotnosti systému a zrýchlenia jeho ťažiska sa rovná vektorovému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém:
.
Tu je M hmotnosť systému:
;
a C - zrýchlenie ťažiska systému:
;
v C - rýchlosť ťažiska systému:
;
r C - vektor polomeru (súradnice) ťažiska systému:
;
- súradnice (vzhľadom na pevný stred) a hmotnosti bodov, ktoré tvoria systém.
Veta o zmene hybnosti (hybnosti)
Množstvo pohybu (hybnosť) systému sa rovná súčinu hmotnosti celého systému a rýchlosti jeho ťažiska alebo súčtu hybnosti (súčet impulzov) jednotlivých bodov alebo častí, ktoré tvoria systém:
.
Veta o zmene hybnosti v diferenciálnom tvare.
Časová derivácia množstva pohybu (hybnosti) systému sa rovná vektorovému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém:
.
Veta o zmene hybnosti v integrálnom tvare.
Zmena množstva pohybu (hybnosti) systému za určité časové obdobie sa rovná súčtu impulzov vonkajších síl za rovnaké časové obdobie:
.
Zákon zachovania hybnosti (hybnosti).
Ak je súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém nulový, potom vektor hybnosti systému bude konštantný. To znamená, že všetky jeho projekcie na súradnicových osiach si zachovajú konštantné hodnoty.
Ak je súčet priemetov vonkajších síl na ľubovoľnú os rovný nule, potom priemet hybnosti systému na túto os bude konštantný.
Veta o zmene hlavného momentu hybnosti (teorém momentov)
Hlavný moment množstva pohybu systému vzhľadom na daný stred O je hodnota rovnajúca sa vektorovému súčtu momentov veličín pohybu všetkých bodov systému vzhľadom k tomuto stredu:
.
Hranaté zátvorky tu označujú vektorový súčin.
Pevné systémy
Nasledujúca veta sa týka prípadu, keď má mechanický systém pevný bod alebo os, ktorá je pevná vzhľadom na inerciálnu vzťažnú sústavu. Napríklad teleso upevnené guľovým ložiskom. Alebo systém telies pohybujúcich sa okolo pevného stredu. Môže to byť aj pevná os, okolo ktorej sa otáča teleso alebo sústava telies. V tomto prípade by sa momenty mali chápať ako momenty impulzu a sily vzhľadom na pevnú os.
Veta o zmene hlavného momentu hybnosti (teorém momentov)
Časová derivácia hlavného momentu hybnosti sústavy vzhľadom na nejaký pevný stred O sa rovná súčtu momentov všetkých vonkajších síl sústavy vzhľadom na ten istý stred.
Zákon zachovania hlavného momentu hybnosti (momentu hybnosti).
Ak sa súčet momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém vzhľadom na daný pevný stred O rovná nule, potom bude hlavný moment hybnosti systému vzhľadom na tento stred konštantný. To znamená, že všetky jeho projekcie na súradnicových osiach si zachovajú konštantné hodnoty.
Ak je súčet momentov vonkajších síl okolo nejakej pevnej osi rovný nule, tak moment hybnosti systému okolo tejto osi bude konštantný.
Svojvoľné systémy
Nasledujúca veta má univerzálny charakter. Je použiteľný pre pevné aj voľne pohyblivé systémy. V prípade pevných systémov je potrebné brať do úvahy reakcie väzieb v pevných bodoch. Od predchádzajúcej vety sa líši tým, že namiesto pevného bodu O treba brať ťažisko C systému.
Veta o momentoch o ťažisku
Časová derivácia hlavného momentu hybnosti sústavy okolo ťažiska C sa rovná súčtu momentov všetkých vonkajších síl sústavy okolo toho istého stredu.
Zákon zachovania momentu hybnosti.
Ak je súčet momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém okolo ťažiska C rovný nule, potom hlavný moment hybnosti systému okolo tohto stredu bude konštantný. To znamená, že všetky jeho projekcie na súradnicových osiach si zachovajú konštantné hodnoty.
moment zotrvačnosti tela
Ak sa teleso otáča okolo osi z s uhlovou rýchlosťou ω z , potom jeho moment hybnosti (kinetický moment) vzhľadom na os z je určený vzorcom:
L z = J z ω z ,
kde J z je moment zotrvačnosti telesa okolo osi z.
Moment zotrvačnosti telesa okolo osi z sa určuje podľa vzorca:
,
kde h k je vzdialenosť od hmotného bodu m k k osi z.
Pre tenký krúžok s hmotnosťou M a polomerom R alebo valec, ktorého hmotnosť je rozložená pozdĺž jeho okraja,
Jz = M R 2
.
Pre pevný homogénny krúžok alebo valec,
.
Steiner-Huygensova veta.
Nech Cz je os prechádzajúca ťažiskom telesa, Oz je os rovnobežná s ním. Potom sú momenty zotrvačnosti telesa okolo týchto osí spojené vzťahom:
J Oz = J Cz + M a 2
,
kde M je telesná hmotnosť; a - vzdialenosť medzi nápravami.
Viac všeobecne:
,
kde je tenzor zotrvačnosti tela.
Tu je vektor nakreslený z ťažiska telesa do bodu s hmotnosťou m k .
Veta o zmene kinetickej energie
Nech teleso s hmotnosťou M vykoná translačný a rotačný pohyb s uhlovou rýchlosťou ω okolo nejakej osi z. Potom je kinetická energia telesa určená vzorcom:
,
kde v C je rýchlosť pohybu ťažiska telesa;
J Cz - moment zotrvačnosti telesa okolo osi prechádzajúcej ťažiskom telesa rovnobežnej s osou otáčania. Smer osi otáčania sa môže časom meniť. Tento vzorec udáva okamžitú hodnotu kinetickej energie.
Veta o zmene kinetickej energie systému v diferenciálnom tvare.
Rozdiel (prírastok) kinetickej energie systému počas niektorých jeho posunov sa rovná súčtu diferenciálov práce na tomto posune všetkých vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na systém:
.
Veta o zmene kinetickej energie systému v integrálnom tvare.
Zmena kinetickej energie systému počas jeho určitého posunu sa rovná súčtu práce na tomto posune všetkých vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na systém:
.
Práca vykonaná silou, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov sily a nekonečne malému posunutiu bodu jeho pôsobenia:
,
teda súčin modulov vektorov F a ds a kosínus uhla medzi nimi.
Práca vykonaná momentom sily, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov momentu a nekonečne malého uhla natočenia:
.
D'Alembertov princíp
Podstatou d'Alembertovho princípu je zredukovať problémy dynamiky na problémy statiky. Na to sa predpokladá (alebo je to vopred známe), že telesá systému majú určité (uhlové) zrýchlenia. Ďalej sa zavedú zotrvačné sily a (alebo) momenty zotrvačných síl, ktoré sú svojou veľkosťou rovnaké a recipročné v smere silám a momentom síl, ktoré by podľa zákonov mechaniky vytvárali dané zrýchlenia alebo uhlové zrýchlenia.
Pozrime sa na príklad. Teleso vykonáva translačný pohyb a pôsobia naň vonkajšie sily. Ďalej predpokladáme, že tieto sily vytvárajú zrýchlenie ťažiska systému. Podľa vety o pohybe ťažiska by ťažisko telesa malo rovnaké zrýchlenie, ak by na teleso pôsobila sila. Ďalej predstavíme silu zotrvačnosti:
.
Potom je úlohou dynamiky:
.
;
.
Pri rotačnom pohybe postupujte podobne. Nech sa teleso otáča okolo osi z a pôsobia naň vonkajšie momenty síl M e zk. Predpokladáme, že tieto momenty vytvárajú uhlové zrýchlenie ε z . Ďalej zavedieme moment zotrvačných síl M И = - J z ε z . Potom je úlohou dynamiky:
.
Zmení sa na statickú úlohu:
;
.
Princíp možných posunov
Princíp možných posunov sa využíva pri riešení problémov statiky. V niektorých úlohách dáva kratšie riešenie ako písanie rovnováh rovnováhy. Platí to najmä pre sústavy so spojeniami (napríklad sústavy telies spojených závitmi a blokmi), ktoré pozostávajú z mnohých telies
Princíp možných posunov.
Pre rovnováhu mechanickej sústavy s ideálnymi väzbami je potrebné a postačujúce, aby súčet elementárnej práce všetkých aktívnych síl pôsobiacich na ňu pri akomkoľvek možnom posunutí sústavy bol rovný nule.
Možné premiestnenie systému- ide o malé posunutie, pri ktorom nie sú prerušené spojenia uložené v systéme.
Perfektné spojenia- to sú väzby, ktoré nefungujú pri pohybe systému. Presnejšie povedané, súčet práce vykonanej samotnými odkazmi pri pohybe systému je nulový.
Všeobecná rovnica dynamiky (d'Alembert - Lagrangeov princíp)
D'Alembert-Lagrangeov princíp je kombináciou d'Alembertovho princípu s princípom možných posunov. To znamená, že pri riešení úlohy dynamiky zavedieme zotrvačné sily a problém zredukujeme na problém statiky, ktorý riešime na princípe možných posunov.
d'Alembert-Lagrangeov princíp.
Keď sa mechanický systém pohybuje s ideálnymi obmedzeniami v každom časovom okamihu, súčet elementárnych prác všetkých aplikovaných aktívnych síl a všetkých zotrvačných síl na akékoľvek možné posunutie systému je rovný nule:
.
Táto rovnica sa nazýva všeobecná rovnica dynamiky.
Lagrangeove rovnice
Zovšeobecnené súradnice q 1, q2, ..., qn je množina n hodnôt, ktoré jednoznačne určujú polohu systému.
Počet zovšeobecnených súradníc n sa zhoduje s počtom stupňov voľnosti systému.
Všeobecné rýchlosti sú deriváty zovšeobecnených súradníc vzhľadom na čas t.
Zovšeobecnené sily Q 1, Q2, ..., Qn
.
Zvážte možné posunutie systému, v ktorom súradnica q k dostane posunutie δq k . Ostatné súradnice zostávajú nezmenené. Nech δA k je práca vykonaná vonkajšími silami pri takomto posunutí. Potom
δA k = Q k δq k, alebo
.
Ak sa pri možnom posunutí systému zmenia všetky súradnice, potom práca vykonaná vonkajšími silami pri takomto posunutí má tvar:
5A = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Potom sú zovšeobecnené sily čiastočnými deriváciami práce posunutia:
.
Pre potenciálne sily s potenciálom Π,
.
Lagrangeove rovnice sú pohybové rovnice mechanického systému vo všeobecných súradniciach:
Tu je T kinetická energia. Je funkciou zovšeobecnených súradníc, rýchlostí a prípadne času. Preto je jeho parciálna derivácia tiež funkciou zovšeobecnených súradníc, rýchlostí a času. Ďalej musíte vziať do úvahy, že súradnice a rýchlosti sú funkciami času. Preto, aby sme našli deriváciu celkového času, je potrebné použiť pravidlo pre derivovanie komplexnej funkcie:
.
Referencie:
S. M. Targ, Krátky kurz teoretickej mechaniky, Vysoká škola, 2010.