Vlastnosti konštrukcie grafu periodických funkcií
Graf periodickej funkcie sa zvyčajne najskôr vykreslí na intervale [ X 0 ; X 0 + T). Vykonajte paralelný prenos bodov grafu na celú oblasť definície.
Príklady periodických funkcií a ich grafy.
Príkladmi periodických funkcií sú goniometrické funkcie. Pozrime sa na tie hlavné.
Funkcia F(x) =sin(x)
a) Definičná oblasť: D (sin x) = R .
b) Množina hodnôt: E (sin x) = [– 1 , 1] .
c) Párne, nepárne: funkcia je nepárna.
d) Periodicita: periodická funkcia s hlavnou periódou.
e) Nuly funkcie: sin x = 0 pre , n Z.
f) Intervaly konštantného znamienka funkcie:
g) Intervaly monotónnosti: funkcia sa zvyšuje ako ;
funkcia klesá,
h) Extrémy funkcie:
; .
Graf funkcie y= sin x je znázornený na obrázku.
Funkcia F(x) = cos(x)
a) Rozsah definície.
b) Viacnásobné hodnoty: E (cos X) = [ – 1 , 1 ] .
c) Párne, nepárne: funkcia je párna.
G ) Periodicita: funkcia je periodická s hlavnou periódou.
d) Nuly funkcie: pri .
e) Intervaly stálosti znamienka:
g) Intervaly monotónnosti:
funkcia sa zvyšuje ako ;
funkcia klesá ako
h) extrémy:
Graf funkcie r=cos X znázornené na obrázku.
Funkcia F(x) = tan(x)
a) Rozsah definície:
b) Množina hodnôt: E()
c) Párne, nepárne. Funkcia je nepárna.
d) Frekvencia. Periodická funkcia s hlavnou periódou
e) Nuly funkcie: tan x = 0 pre x = n, n Z.
f) Intervaly stálosti znakov:
g) Intervaly monotónnosti: funkcia sa zvyšuje na každom intervale, ktorý úplne patrí do jej definície.
h) Extrémy: nie.
Graf funkcie r= tg X znázornené na obrázku.
Funkcia F(x) = detská postieľka(x)
a) Definičná oblasť: D (ctg x) = R\ ( n(n Z)).
b) Viacnásobné hodnoty: E (ctg x) = R .
c) Párne, nepárne je nepárna funkcia.
d) Periodicita: periodická funkcia s hlavnou periódou T = .
e) Nuly funkcie: cot x = 0 pri x = /2 + n, n Z.
f) intervaly stálosti znamienka;
g) Intervaly monotónnosti: funkcia klesá na každom intervale, ktorý úplne patrí do jej definičnej oblasti.
h) Extrémy: nie.
Graf funkcie y = ctg x je znázornený na obrázku.
Zaujímavé grafy sa získavajú pomocou superpozície – tvorby komplexných funkcií na základe goniometrických periodických funkcií.
Graf periodickej funkcie
II. Aplikácie periodických funkcií. Periodické výkyvy.
Oscilácie.
Oscilácie sú procesy, ktoré sa líšia rôznymi stupňami opakovateľnosti. Oscilácie sú procesy, ktoré sa opakujú v pravidelných intervaloch (nie všetky opakujúce sa procesy sú však oscilácie). V závislosti od fyzikálnej povahy opakujúceho sa procesu sa vibrácie rozlišujú na mechanické, elektromagnetické, elektromechanické atď. Počas mechanických vibrácií sa polohy a súradnice telies periodicky menia. Pre elektrické - napätie a prúd. Podľa charakteru dopadu na kmitajúci systém sa rozlišujú voľné kmity, vynútené kmity, vlastné kmity a parametrické kmity.
Opakujúce sa procesy sa neustále vyskytujú vo vnútri akéhokoľvek živého organizmu, napríklad: srdcové kontrakcie, funkcia pľúc; trasieme sa, keď je nám zima; počujeme a hovoríme vďaka vibráciám ušných bubienkov a hlasiviek; Keď kráčame, naše nohy robia oscilačné pohyby. Atómy, z ktorých sme stvorení, vibrujú. Svet, v ktorom žijeme, je náchylný na výkyvy.
Periodické výkyvy.
Pravidelné sa nazývajú také kmity, pri ktorých sa po určitom čase opakujú všetky charakteristiky pohybu.
Pre periodické oscilácie sa používajú tieto charakteristiky:
perióda oscilácie T, rovná času, počas ktorého dôjde k jednej úplnej oscilácii;
frekvencia osciláciíν sa rovná počtu kmitov vykonaných za jednu sekundu (ν = 1/T);
Parametrické oscilácie sa vykonávajú, keď sa pravidelne menia parametre oscilačného systému (osoba, ktorá sa hojdá na hojdačke, pravidelne zdvíha a znižuje svoje ťažisko, čím sa menia parametre systému). Za určitých podmienok sa systém stáva nestabilným - náhodná odchýlka od rovnovážnej polohy vedie k vzniku a zvýšeniu kmitov. Tento jav sa nazýva parametrické budenie kmitov (t.j. kmity sú vybudené zmenou parametrov systému) a samotné kmity sa nazývajú parametrické. Napriek svojej odlišnej fyzikálnej povahe sú vibrácie charakterizované rovnakými vzormi, ktoré sú študované všeobecnými metódami. Dôležitou kinematickou charakteristikou je tvar vibrácií. Je určená typom časovej funkcie, ktorá popisuje zmenu tej či onej fyzikálnej veličiny počas kmitov. Najdôležitejšie sú tie oscilácie, pri ktorých sa kolísavá veličina v čase mení podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Nazývajú sa harmonické. Tento typ kmitania je obzvlášť dôležitý z nasledujúcich dôvodov. Po prvé, vibrácie v prírode a technike majú často charakter veľmi blízky harmonickému. Po druhé, periodické procesy rôznej formy (s inou časovou závislosťou) môžu byť reprezentované ako uloženie alebo superpozícia harmonických kmitov.
Príloha č.7
Mestská vzdelávacia inštitúcia
Stredná škola č.3
učiteľ
Korotkovej
Asya Edikovna
Kurganinsk
2008
OBSAH
Úvod……………………………………………………………………… 2-3
Periodické funkcie a ich vlastnosti …………………. 4-6
Problémy………………………………………………………………………… 7-14
Úvod
Pripomeňme, že problémy periodicity v náučnej a metodickej literatúre nemajú ľahký osud. Vysvetľuje sa to zvláštnou tradíciou pripúšťania určitej nedbanlivosti pri určovaní periodických funkcií, ktoré vedú ku kontroverzným rozhodnutiam a vyvolávajú incidenty pri skúškach.
Napríklad v knihe „Vysvetľujúci slovník matematických pojmov“ - M, 1965 je uvedená nasledujúca definícia: „periodická funkcia je funkcia
y = f(x), pre ktoré existuje číslo t > 0, ktoré pre všetky x a x+t z oblasti f(x + t) = f(x).
Uveďme protipríklad ukazujúci nesprávnosť tejto definície. Podľa tejto definície bude funkcia periodická s periódou t = 2π
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 s obmedzenou doménou definície, čo je v rozpore so všeobecne akceptovaným názorom na periodické funkcie.
Mnohé z novších alternatívnych školských učebníc čelia podobným problémom.
V učebnici A. N. Kolmogorova je uvedená nasledujúca definícia: „Keď hovoríme o periodicite funkcie f, predpokladá sa, že existuje také číslo T ≠ 0, že definičný obor D (f) spolu s každým bodom x, obsahuje aj body získané z x paralelným posunom pozdĺž osi Ox (vpravo a vľavo) vo vzdialenosti T. Funkcia f sa nazýva periodické s periódou T ≠ 0, ak pre ktorýkoľvek z definičných oborov sú hodnoty tejto funkcie v bodoch x, x – T, x + T rovnaké, t.j. f (x + T) = f (x) = f (x – T).“ Ďalej v učebnici je napísané: „Keďže sínus a kosínus sú definované na celej číselnej osi a Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Cos x pre ľubovoľné x, sínus a kosínus sú periódou funkcie s periódou 2π.
V tomto príklade sa z nejakého dôvodu požadovaná podmienka v definícii nekontroluje:
Sin (x – 2π) = Sin x. Čo sa deje? Faktom je, že táto podmienka v definícii je nadbytočná. Ak je T > 0 periódou funkcie f(x), potom T bude tiež periódou tejto funkcie.
Chcel by som uviesť ešte jednu definíciu z učebnice M.I. Bashmakova „Algebra a začiatky analýzy ročníkov 10-11“. „Funkcia y = f(x) sa nazýva periodická, ak existuje číslo T ≠ 0 také, že rovnosť
f (x + T) = f (x) platí rovnako pre všetky hodnoty x."
Vyššie uvedená definícia nehovorí nič o definičnom obore funkcie, hoci znamená x v definičnom obore, nie akékoľvek reálne x. Podľa tejto definície môže byť funkcia y = Sin (√x) periodická 2 , definované len pre x ≥ 0, čo je nesprávne.
V Jednotnej štátnej skúške sú úlohy na periodicitu. V jednom vedeckom časopise ako školenie pre sekciu C Jednotnej štátnej skúšky bolo uvedené riešenie problému: „je funkcia y (x) = hriech? 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) periodicky?“
Riešenie ukazuje, že y (x – π) = y (x) v odpovedi je položka navyše
„T = π“ (napokon, otázka nájdenia najmenšej kladnej periódy nie je nastolená). Je skutočne potrebné na vyriešenie tohto problému vykonávať komplexné trigonometrické vzdelávanie? Koniec koncov, tu sa môžete zamerať na koncept periodicity, ako kľúčový v stave problému.
Riešenie.
f 1 (x) = Sin x – periodická funkcia s periódou T = 2π
f 2 (x) = Cos x je periodická funkcia s periódou T = 2π, potom 2π je perióda pre funkcie f 3 (x) = Sin (2 + x) a f 4 (x) = Cos (2 + x), (vyplýva to z definície periodicity)
f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, jeho perióda je ľubovoľné číslo vrátane 2π.
Pretože súčet a súčin periodických funkcií so spoločnou periódou T je tiež T-periodický, potom je táto funkcia periodická.
Dúfam, že materiál uvedený v tejto práci pomôže pri príprave na jednotnú štátnu skúšku pri riešení problémov s periodicitou.
Periodické funkcie a ich vlastnosti
Definícia: funkcia f(t) sa nazýva periodická, ak pre ľubovoľné t z oblasti definície tejto funkcie D f existuje číslo ω ≠ 0 také, že:
1) čísla (t ± ω) є D f ;
2) f(t + co) = f(t).
1. Ak číslo ω = perióda funkcie f (t), potom číslo kω, kde k = ±1, ±2, ±3, ... sú tiež periódy funkcie f(t).
PRÍKLAD f (t) = Sin t. Číslo T = 2π je najmenšia kladná perióda tejto funkcie. Nech T 1 = 4π. Ukážme, že T 1 je aj obdobie tejto funkcie.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Takže T1 – perióda funkcie f (t) = Sin t.
2. Ak je funkcia f(t) – ω periodická, potom sú periodické aj funkcie f (аt), kde а є R, a f (t + с), kde с je ľubovoľná konštanta.
Nájdite periódu funkcie f (аt).
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), t.j. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Preto perióda funkcie f(аt) – ω 1 = co/a.
Príklad 1. Nájdite periódu funkcie y = Sin t/2.
Príklad 2. Nájdite periódu funkcie y = Sin (t + π/3).
Nech f(t) = Sin t; yo = Sin (to + π/3).
Potom funkcia f(t) = Sin t nadobudne rovnakú hodnotu 0 pri t = t0 + π/3.
Tie. všetky hodnoty, ktoré má funkcia y, preberá aj funkcia f(t). Ak sa t interpretuje ako čas, potom každá hodnota y 0 funkcia y = Sin (t + π/3) je akceptovaná o π/3 časových jednotiek skôr ako funkcia f(t) „posunutá“ doľava o π/3. Je zrejmé, že obdobie funkcie sa vďaka tomu nezmení, t.j. T y = T1.
3. Ak F(x) je nejaká funkcia a f(t) je periodická funkcia a taká, že f(t) patrí do definičného oboru funkcie F(x) – D F , potom funkcia F(f (t)) je periodická funkcia.
Nech F(f (t)) = φ.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) pre ľubovoľné t є D f.
PRÍKLAD Preskúmajte periodicitu funkcie: F(x) = ℓ sinx.
Doména tejto funkcie D f sa zhoduje s množinou reálnych čísel R. f (x) = Sin x.
Množina hodnôt pre túto funkciu je [-1; 1]. Pretože segment [-1; 1] patrí D f , potom je funkcia F(x) periodická.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – perióda tejto funkcie.
4. Ak funkcie f 1 (t) a f 2 (t) periodické s periódami ω 1 a co2 a coi/co2 = r, kde r je racionálne číslo, potom funkcie
C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) a f 1 (t) f 2 (t) sú periodické (C 1 a C2 sú konštanty).
Poznámka: 1) Ak r = ω 1/co 2 = p/q, pretože r je teda racionálne číslo
ω 1 q = ω 2 p = ω, kde ω je najmenší spoločný násobok ω 1 a co2 (NOC).
Zvážte funkciu C 1 f1 (t) + C2f2 (t).
V skutočnosti ω = LCM (ω 1, co2 ) - obdobie tejto funkcie
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .
2) ω – perióda funkcie f 1 (t) f 2 (t), pretože
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω = f 1 (t + ω 1 q) f 2 (t = ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).
Definícia: Nech f 1 (t) a f (t) sú periodické funkcie s periódami ω 1 a ω 2 , potom sa hovorí, že dve obdobia sú úmerné, akω 1 /ω 2 = r je racionálne číslo.
3) Ak periódy ω 1 a ω 2 nie sú porovnateľné, potom funkcie f 1 (t) + f2 (t) a
f 1 (t) f 2 t) nie sú periodické. To znamená, ak f 1 (t) a f 2 (t) sú odlišné od konštanty, periodické, spojité, ich periódy nie sú úmerné, potom f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 t) nie sú periodické.
4) Nech f(t) = C, kde C je ľubovoľná konštanta. Táto funkcia je periodická. Jeho perióda je ľubovoľné racionálne číslo, čo znamená, že nemá najmenšiu kladnú periódu.
5) Tvrdenie platí aj pre väčší počet funkcií.
Príklad 1. Preskúmajte periodicitu funkcie
F(x) = Sin x + Cos x.
Riešenie. Nech f 1 (x) = Sin x, potom ω 1 = 2πk, kde k є Z.
T 1 = 2π – najmenšia kladná perióda.
f2 (x) = Cos x, T2 = 2π.
Pomer T 1 / T 2 = 2π/2π = 1 – racionálne číslo, t.j. funkčné obdobia f 1 (x) a f 2 x) sú primerané. To znamená, že táto funkcia je periodická. Nájdime jej obdobie. Podľa definície periodickej funkcie máme
Sin (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Sin (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2,
Sin T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) = 0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, teda,
Sin Т/2 = 0, potom Т = 2πk.
Pretože (х ± 2πk) є D f , kde f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x), potom je funkcia f(x) periodická s najmenšou kladnou periódou 2π.
Príklad 2. Je funkcia f(x) = Cos 2x · Sin x periodická, akú má periódu?
Riešenie. Nech f 1 (x) = Cos 2x, potom T 1 = 2π: 2 = π (pozri 2)
Nech f 2 (x) = Sin x, potom T 2 = 2π. Pretože π/2π = ½ je racionálne číslo, potom je táto funkcia periodická. Jeho perióda T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Táto funkcia je teda periodická s periódou 2π.
5. Nech je funkcia f(t), ktorá nie je zhodne rovná konštante, spojitá a periodická, potom má najmenšiu kladnú periódu ω 0 , akákoľvek iná perióda jeho ω má tvar: ω= kω 0, kde k є Z.
Poznámka: 1) V tejto vlastnosti sú veľmi dôležité dve podmienky:
f(t) je spojitá, f(t) ≠ C, kde C je konštanta.
2) Opačné tvrdenie nie je pravdivé. To znamená, že ak sú všetky obdobia porovnateľné, potom z toho nevyplýva, že existuje najmenšie kladné obdobie. Tie. periodická funkcia nemusí mať najmenšiu kladnú periódu.
Príklad 1. f(t) = C, periodické. Jeho perióda je akékoľvek reálne číslo, neexistuje žiadna najmenšia perióda.
Príklad 2. Dirichletova funkcia:
D(x) =
Každé racionálne číslo je jeho perióda, neexistuje žiadna najmenšia kladná perióda.
6. Ak f(t) je spojitá periodická funkcia a ω 0 je jej najmenšia kladná perióda, potom funkcia f(αt + β) má najmenšiu kladnú periódu ω 0 //α/. Toto vyhlásenie vyplýva z odseku 2.
Príklad 1. Nájdite periódu funkcie y = Sin (2x – 5).
Riešenie. y = hriech (2x – 5) = hriech (2(x – 5/2)).
Graf funkcie y sa získa z grafu funkcie Sin x, najprv „stlačením“ o 2 krát, potom „posunutím“ doprava o 2,5. „Posun neovplyvňuje periodicitu, T = π je perióda tejto funkcie.
Je ľahké získať periódu tejto funkcie pomocou vlastnosti kroku 6:
Т = 2π/2 = π.
7. Ak f(t) – ω je periodická funkcia a má spojitú deriváciu f"(t), potom f"(t) je tiež periodická funkcia, Т = ω
Príklad 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Jeho derivácia f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
Príklad 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Jeho derivát
F"(t) = - Sin t, Т = 2πk, k є Z.
Príklad 3. f(t) =tg t, jeho perióda T = πk.
F"(t) = 1/ Cos 2 t je tiež periodické podľa vlastnosti kroku 7 a má periódu Т = πk. Jeho najmenšia kladná perióda je T = π.
ÚLOHY.
№ 1
Je funkcia f(t) = Sin t + Sin πt periodická?
Riešenie. Pre porovnanie, tento problém riešime dvoma spôsobmi.
Po prvé, podľa definície periodickej funkcie. Predpokladajme, že f(t) je periodické, potom pre ľubovoľné t є D f máme:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Pretože to platí pre akékoľvek t є D f , potom najmä pre t 0 , v ktorom sa ľavá strana poslednej rovnosti stáva nulou.
Potom máme: 1) Cos 2t 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Vyriešme relatívne k T.
Sin Т/2 = 0 pri Т = 2 πk, kde k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πТ/2 = 0. Vyriešme relatívne k T.
Sin πТ/2 = 0, potom Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, kde n є Z.
Pretože máme identitu, potom 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, čo nemôže byť, pretože π je iracionálne číslo a n/k je racionálne číslo. To znamená, že náš predpoklad, že funkcia f(t) je periodická, bol nesprávny.
Po druhé, riešenie je oveľa jednoduchšie, ak použijete vyššie uvedené vlastnosti periodických funkcií:
Nech f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Potom T 1 / T 2 = 2π/2 = π je iracionálne číslo, t.j. obdobia T 1, T2 nie sú úmerné, čo znamená, že f(t) nie je periodické.
odpoveď: nie.
№ 2
Ukážte, že ak α je iracionálne číslo, potom funkcia
F(t) = Cos t + Cos αt
nie je periodická.
Riešenie. Nech f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt.
Potom sú ich obdobia T 1 = 2π, T2 = 2π//α/ - najmenšie kladné periódy. Poďme nájsť, T 1/T 2 = 2π/α//2π = /α/ je iracionálne číslo. Takže T 1 a T2 sú nekombinovateľné, a funkcia
f(t) nie je periodické.
№ 3
Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(t) = Sin 5t.
Riešenie. Podľa položky vlastnosti 2 máme:
f(t) – periodické; T = 2π/5.
Odpoveď: 2π/5.
№ 4
Je funkcia F(x) = arccos x + arcsin x periodická?
Riešenie. Zoberme si túto funkciu
F(x) = arcsin x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
tie. F(x) je periodická funkcia (pozri vlastnosť odseku 5, príklad 1.).
odpoveď: áno.
№ 5
Je funkcia periodická?
F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?
Riešenie. Nech f 1 (x) = Sin 2x, potom T 1 = π;
F2 (x) = Cos 4x, potom T2 = 2π/4 = π/2;
F3 (x) = 5, T3 – akékoľvek reálne číslo, najmä T 3 môžeme predpokladať, že sa rovná T 1 alebo T2 . Potom perióda tejto funkcie T = LCM (π, π/2) = π. To znamená, že f(x) je periodické s periódou T = π.
odpoveď: áno.
№ 6
Je funkcia f(x) = x – E(x) periodická, kde E(x) je funkcia, ktorá priradí argument x najmenšiemu celému číslu nepresahujúcemu dané číslo.
Riešenie. Často sa funkcia f(x) označuje (x) – zlomková časť čísla x, t.j.
F(x) = (x) = x – E(x).
Nech f(x) je periodická funkcia, t.j. existuje číslo T > 0 také, že x – E(x) = x + T – E(x + T). Zapíšme si túto rovnosť
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – platí pre ľubovoľné x z domény D f, za predpokladu, že T ≠ 0 a T є Z. Najmenší kladný z nich je T = 1, t.j. T = 1 tak, že
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Navyše (x ± Tk) є D f, kde k є Z.
Odpoveď: Táto funkcia je periodická.
№ 7
Je funkcia f(x) = Sin x periodická? 2 .
Riešenie. Predpokladajme, že f(x) = Sin x 2 periodická funkcia. Potom podľa definície periodickej funkcie existuje číslo T ≠ 0 také, že: Sin x 2 = Sin (x + T) 2 pre ľubovoľné x є D f.
hriech x 2 = hriech (x + T) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 hriech x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, potom
Cos x2 + (x+T)2/2 = 0 alebo Sin x2-(x+T)2/2 = 0.
Zvážte prvú rovnicu:
Cos x 2 + (x + T) 2 / 2 = 0,
X2 + (x+T)2/2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
Zvážte druhú rovnicu:
Hriech x 2 -(x+T) 2 /2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
Т = √х 2 - 2πk – x. (2)
Z výrazov (1) a (2) je zrejmé, že zistené hodnoty T závisia od x, t.j. neexistuje T>0 také, že
Hriech x 2 = hriech (x + T) 2
Pre ľubovoľné x z oblasti definície tejto funkcie. f(x) nie je periodické.
odpoveď: nie
№ 8
Preskúmajte periodicitu funkcie f(x) = Cos 2 x.
Riešenie. Predstavme f(x) pomocou vzorca dvojitého uhla kosínus
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
Nech f 1 (x) = ½, potom T 1 – môže to byť akékoľvek reálne číslo; f 2 (x) = ½ Cos 2x je periodická funkcia, pretože súčin dvoch periodických funkcií so spoločnou periódou T 2 = π. Potom najmenšia kladná perióda tejto funkcie
T = LOC (Ti, T2) =π.
Takže funkcia f(x) = Cos 2 x – π – periodické.
Odpoveď: π je periodické.
№ 9
Môže byť doména periodickej funkcie:
A) polpriamka [a, ∞),
B) segment?
Riešenie. Nie, pretože
A) podľa definície periodickej funkcie, ak x є D f, potom aj x ± ω
Musí patriť do domény funkcie. Nech x = a
X1 = (a – ω) є [a, ∞);
B) nech x = 1, potom x 1 = (1 + T) є .
№ 10
Môže byť periodická funkcia:
A) prísne monotónne;
B) párne;
C) ani nie?
Riešenie. a) Nech f(x) je periodická funkcia, t.j. existuje Т≠0 tak, že pre ľubovoľné x z oblasti definície funkcií D f prečo
(x ±T) є Df af (x±T) = f(x).
Opravme ľubovoľné x 0 є D f , pretože f(x) je periodické, potom (x 0 + T) є D f a f (x 0) = f (x 0 + T).
Predpokladajme, že f(x) je striktne monotónne a v celej doméne definície D f , napríklad zvyšuje. Potom podľa definície rastúcej funkcie pre ľubovoľné x 1 a x 2 z domény definície D f z nerovnosti x 1 2 vyplýva, že f(x 1) 2 ). Najmä z podmienky x 0 0 + T, z toho vyplýva
F(x 0) 0 +T), čo je v rozpore s podmienkou.
To znamená, že periodická funkcia nemôže byť striktne monotónna.
b) Áno, periodická funkcia môže byť párna. Uveďme si pár príkladov.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) je párna periodická funkcia.
0, ak x je racionálne číslo;
D(x) =
1, ak x je iracionálne číslo.
D(x) = D(-x), definičný obor funkcie D(x) je symetrický.
Direchletova funkcia D(x) je párna periodická funkcia.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Táto funkcia nie je rovnomerná.
c) Periodická funkcia môže byť nepárna.
f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)
f(x) je nepárna periodická funkcia.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – nepárne a periodické.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) nie je nepárne.
f(x) = tan x – nepárna periodická funkcia.
Odpoveď: nie; Áno; Áno.
№ 11
Koľko núl môže mať periodická funkcia na:
1); 2) na celej číselnej osi, ak sa perióda funkcie rovná T?
Riešenie: 1. a) Na segmente [a, b] nemusí mať periodická funkcia nuly, napríklad f(x) = C, C≠0; f(x) = cos x + 2.
b) Na intervale [a, b] môže mať periodická funkcia nekonečný počet núl, napríklad Direchletova funkcia
0, ak x je racionálne číslo,
D(x) =
1, ak x je iracionálne číslo.
c) Na intervale [a, b] môže mať periodická funkcia konečný počet núl. Poďme nájsť toto číslo.
Nech T je perióda funkcie. Označme
X 0 = (min x є(a,b), takže f(x) = 0).
Potom počet núl na segmente [a, b]: N = 1 + E (c-x 0/T).
Príklad 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – periodická funkcia s periódou T = π; X 0 = -π/2; potom počet núl funkcie f(x) na danom intervale
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
Príklad 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8,5]. f(x) – periodická funkcia, T + 1,
x 0 = -2. Potom počet núl funkcie f(x) na danom intervale
N = 1 + E (8,5 – (-2)/1) = 1 + E (10,5/1) = 1 + 10 = 11.
Príklad 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], T 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.
Potom počet núl tejto funkcie na danom intervale
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. a) Nekonečný počet núl, pretože X 0 є D f a f (x 0 ) = 0, potom pre všetky čísla
Х 0 + Тk, kde k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0 ) =0 a body tvaru x 0 ± Tk je nekonečná množina;
b) nemajú nuly; ak f(x) je periodické a pre ľubovoľné
x є D f funkcia f(x) >0 alebo f(x)
F(x) = Sin x +3,6; f(x) = C, C < 0;
F(x) = Sin x – 8 + Cos x;
F(x) = hriech x cos x + 5.
№ 12
Môže byť súčet neperiodických funkcií periodický?
Riešenie. Áno možno. Napríklad:
- f 1 (x) = x – neperiodické, f 2 (x) = E(x) – neperiodické
F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – periodické.
- f 1 (x) = x – neperiodické, f(x) = Sin x + x – neperiodické
F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – periodické.
odpoveď: áno.
№ 13
Funkcie f(x) a φ(x) sú periodické s periódami T 1 a T2 resp. Má ich produkt vždy periodickú funkciu?
Riešenie. Nie, iba keď T 1 a T2 – sú úmerné. Napríklad,
F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T2 = 2; potom T1/T2 = 2π/2 = π je iracionálne číslo, čo znamená, že f(x) nie je periodické.
f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. Nech f 1 (x) = x – E(x), Ti = 1;
f2 (x) = Cos (x), T2 = 2π. T 2 / T 1 = 2π/1 = 2π, čo znamená, že f(x) nie je periodické.
odpoveď: Nie.
Problémy riešiť samostatne
Ktoré z funkcií sú periodické, nájdite periódu?
1. f(x) = hriech 2x, 10. f(x) = hriech x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2 x + 1,
4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πх + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),
7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9. f(x) = Sin 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, ak n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
Nech f(x) – T je periodická funkcia. Ktoré z funkcií sú periodické (nájdite T)?
- φ(x) = f(x + λ) – periodické, pretože „posun“ pozdĺž osi Ox neovplyvňuje ω; jeho perióda ω = T.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – periodická funkcia s periódou ω = T.
- φ(х) = f(kh) – periodická funkcia s periódou ω = Т/k.
- φ(x) = f(ax + b) je periodická funkcia s periódou ω = T/a.
- φ(x) = f(√x) nie je periodické, pretože jeho doména definície Dφ = (x/x ≥ 0) a periodická funkcia nemôže mať doménu definovanú poloosou.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) je periodická funkcia, pretože
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- φ(x) = a f 2 (x) + v f(x) + c.
Nech φ 1 (x) = a f 2 (x) – periodické, ω 1 = t/2;
φ 2 (x) = v f(x) – periodické, ω 2 = T/T = T;
φ 3 (x) = с – periodické, ω 3 – ľubovoľné číslo;
potom ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) je periodické.
V opačnom prípade, pretože doménou definície tejto funkcie je celý číselný rad, potom množina hodnôt funkcie f – E f є D φ , čo znamená funkciu
φ(x) je periodické a ω = T.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – periodický s periódou ω = T, pretože pre ľubovoľné x má funkcia f(x) hodnoty f(x) ≥ 0, t.j. jeho súbor hodnôt E f є D φ , kde
Dφ – definičný obor funkcie φ(z) = √z.
№ 15
Je funkcia f(x) = x 2 periodicky?
Riešenie. Uvažujme x ≥ 0, potom pre f(x) existuje inverzná funkcia √x, čo znamená, že na tomto intervale je f(x) monotónna funkcia, potom nemôže byť periodická (pozri č. 10).
№ 16
Daný polynóm P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.
Je P(x) periodická funkcia?
Riešenie. 1. Ak sa identita rovná konštante, potom P(x) je periodická funkcia, t.j. Ak i = 0, kde i ≥ 1.
2. Nech P(x) ≠ с, kde с je nejaká konštanta. Povedzme, že P(x) je periodická funkcia a P(x) má reálne korene, teda odvtedy P(x) je periodická funkcia, potom ich musí byť nekonečný počet. A podľa základnej vety algebry je ich počet k taký, že k ≤ n. To znamená, že P(x) nie je periodická funkcia.
3. Nech P(x) je identicky nenulový polynóm a nemá žiadne reálne korene. Povedzme, že P(x) je periodická funkcia. Zavedme polynóm q(x) = a 0 , q(x) je periodická funkcia. Uvažujme rozdiel P(x) - q(x) = a 1 x 2 + … +a n x n.
Pretože Na ľavej strane rovnosti je periodická funkcia, potom funkcia na pravej strane je tiež periodická a má aspoň jeden reálny koreň, x = 0. Pretože Ak je funkcia periodická, potom musí existovať nekonečný počet núl. Máme rozpor.
P(x) nie je periodická funkcia.
№ 17
Daná funkcia f(t) – T – periodická. Je funkcia f do (t), kde
k є Z, periodická funkcia, ako súvisia ich periódy?
Riešenie. Dôkaz vykonáme metódou matematických funkcií. Nechaj
f 1 = f(t), potom f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F3 = f3 (t) = f (t) f2 je periodická funkcia podľa vlastnosti kroku 4.
………………………………………………………………………….
Nech f k-1 = f k-1 (t) – periodická funkcia a jej perióda T k-1 porovnateľné s periódou T. Vynásobením oboch strán poslednej rovnosti f(t) dostaneme f k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F k = f k (t) je periodická funkcia podľa vlastnosti kroku 4. ω ≤ T.
№ 18
Nech f(x) je ľubovoľná funkcia definovaná na . Je funkcia f((x)) periodická?
Odpoveď: áno, pretože množina hodnôt funkcie (x) patrí do oblasti definície funkcie f(x), potom vlastnosťou položky 3 f((x)) je periodická funkcia, jej perióda ω = Т = 1 .
№ 19
F(x) je ľubovoľná funkcia definovaná na [-1; 1], je funkcia f(sinx) periodická?
Odpoveď: áno, jeho perióda je ω = T = 2π (dôkaz podobný č. 18).
HARMONICKÁ ANALÝZA
Úvod.
Moderný vývoj techniky kladie zvýšené nároky na matematickú prípravu inžinierov. V dôsledku formulovania a štúdia množstva špecifických problémov z mechaniky a fyziky vznikla teória trigonometrických radov. Fourierove rady hrajú zásadnú úlohu vo všetkých oblastiach technológie založenej na teórii oscilácií a teórii spektrálnej analýzy. Napríklad v systémoch prenosu údajov na popis signálov praktické použitie spektrálnych zobrazení vždy vedie k potrebe experimentálnej implementácie Fourierovho rozkladu. Úloha trigonometrických radov v elektrotechnike je obzvlášť veľká pri štúdiu periodických nesínusových prúdov: amplitúdové spektrum funkcie sa nachádza pomocou Fourierovho radu v komplexnej forme. Fourierov integrál sa používa na reprezentáciu neperiodických procesov.
Trigonometrické rady nachádzajú dôležité aplikácie v mnohých odvetviach matematiky a poskytujú obzvlášť vhodné metódy na riešenie zložitých problémov v matematickej fyzike, napríklad problému kmitania struny a problému šírenia tepla v tyči.
Periodické funkcie.
Mnohé problémy vo vede a technike zahŕňajú periodické funkcie, ktoré odrážajú cyklické procesy.
Definícia 1. Periodické javy sú také javy, ktoré sa opakujú v rovnakom poradí a v rovnakej forme v určitých intervaloch.
Príklad. V spektrálnej analýze - spektrá.
Definícia 2. Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodický s bodkou T, Ak f(x + T) = f(X) pred všetkými X A x + T z domény funkcie.
Na obrázku obdobie zobrazenej funkcie T = 2.
Definícia 3. Najmenšia kladná perióda funkcie sa nazýva základná perióda.
Tam, kde sa musíme zaoberať periodickými javmi, sa takmer vždy stretneme s goniometrickými funkciami.
Funkčné obdobie 
sa rovná , perióde funkcií 
rovná .
Obdobie goniometrických funkcií s argumentom ( Oh) sa zistí podľa vzorca:
.
Príklad. Nájdite základné obdobie funkcií 1) 
.
Riešenie. 1) . 2) .
Lemma. Ak f(X) má bodku T, potom integrál tejto funkcie, braný v medziach líšiacich sa o T, nezávisí od voľby spodnej hranice integrácie, t.j. = .
Hlavné obdobie je ťažké periodická funkcia pri = f(X) (pozostávajúci zo súčtu periodických funkcií) je najmenší spoločný násobok periód komponentných funkcií.
Teda ak f(X) = f 1 (X) + f 2 (X), T 1 – funkčné obdobie f 1 (X), T 2 – obdobie funkcie f 2 (X), potom najmenšie kladné obdobie T musí spĺňať podmienku:
T = nT 1 + kT 2 kde(*) –
Pri bežných školských úlohách preukázať periodicitu jednej alebo druhej funkcie zvyčajne nie je ťažké: takže, aby ste sa uistili, že funkcia $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ je periodická, stačí jednoducho poznamenať, že súčin $T=4\times7\ krát 2\pi$ je jeho bodka: ak k x pripočítame číslo T, tak tento súčin „zožerie“ oba menovatele a pod sínusovým znamienkom budú nadbytočné iba celé násobky $2\pi$, čo bude „ zožratý“ samotným sínusom.
ale dôkaz o neperiodickosti jednej alebo druhej funkcie priamo z definície nemusí byť vôbec jednoduché. Aby ste teda dokázali neperiodicitu funkcie $y=\sin x^2$ uvažovanej vyššie, môžete napísať rovnosť $sin(x+T)^2=\sin x^2$, ale neriešiť túto trigonometrickú rovnicu zo zvyku, ale hádajte a dosaďte ju do nej x=0, po čom sa takmer automaticky stane nasledovné: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, kde k je nejaké celé číslo väčšie ako 0, t.j. $T=\sqrt (k\pi)$, a ak teraz uhádneme, že do neho dosadíme $x=\sqrt (\pi)$, ukáže sa, že $\sin(\sqrt(\pi)+\sqrt( k\ pi))=0$, odkiaľ pochádza $\sqrt(\pi)+\sqrt(k\pi)=n\pi$, $1+\sqrt(k)=n\sqrt(\pi)$, $1+ k+ 2\sqrt(k)=n^2\pi$, $2\sqrt(k)=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4(\pi ) ^2+2mn^2x+m^2$, a teda číslo p je koreňom rovnice $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, t.j. je algebraické, čo nie je pravda: $\pi$ je, ako vieme, transcendentálne, t.j. nie je koreňom žiadnej algebraickej rovnice s celočíselnými koeficientmi. V budúcnosti však dostaneme oveľa jednoduchší dôkaz tohto tvrdenia – avšak s pomocou matematického rozboru.
Pri dokazovaní neperiodickosti funkcií často pomáha elementárny logický trik: ak všetky periodické funkcie majú nejakú vlastnosť, ale daná funkcia ju nemá, tak prirodzene nie je periodická. Periodická funkcia teda nadobúda ľubovoľnú hodnotu nekonečne veľakrát, a preto napríklad funkcia $y=\frac(3x^2-5x+7)(4x^3-x+2)$ nie je periodická, keďže hodnota je 7, ktorú akceptuje iba v dvoch bodoch. Na preukázanie neperiodicity je často vhodné použiť jeho funkcie doména definície a na nájdenie požadovanej vlastnosti periodických funkcií musíte niekedy ukázať predstavivosť.
Všimnime si tiež, že veľmi často na otázku, čo je to neperiodická funkcia, počujeme odpoveď v štýle, o ktorom sme hovorili v súvislosti s párne a nepárne funkcie, je, keď $f(x+T)\neq f(x)$, čo je, samozrejme, neprijateľné.
A správna odpoveď závisí od konkrétnej definície periodickej funkcie a na základe definície uvedenej vyššie môžeme samozrejme povedať, že funkcia je neperiodická, ak nemá jedinú periódu, ale bude to „zlá“ definícia, ktorá neudáva smer dôkaz o neperiodickosti. A ak to dešifrujeme ďalej, opíšeme, čo znamená veta „funkcia f nemá jedinú bodku“, alebo, čo je to isté, „žiadne číslo $T \neq 0$ nie je bodkou funkcie f“, potom dostaneme, že funkcia f nie je periodická vtedy a len vtedy, ak pre každé $T \neq 0$ existuje číslo $x\in D(f)$ také, že buď aspoň jedno z čísel $x+T$ a $ x-T$ nepatrí do D(f) alebo $f(x+T)\neq f(x)$.
Dá sa to povedať aj inak: „Existuje číslo $x\v D(f)$ také, že neplatí rovnosť $f(x+T) = f(x)$“ – táto rovnosť nemusí platiť pre dvoch dôvody: alebo to nedáva zmysel, t.j. jedna z jeho častí nie je definovaná, alebo - inak je nesprávna. Pre zaujímavosť dodávame, že sa tu prejavuje aj jazykový efekt, o ktorom sme hovorili vyššie: pretože rovnosť „nebyť pravda“ a „byť nepravda“ nie je to isté – rovnosť ešte nemusí mať význam.
Podrobné objasnenie príčin a dôsledkov tohto jazykového účinku je v skutočnosti predmetom nie matematiky, ale teórie jazyka, lingvistiky, presnejšie jej špeciálnej sekcie: sémantika - veda o význame, kde však tieto otázky sú veľmi zložité a nemajú jednoznačné riešenie. A matematika, vrátane školskej matematiky, je nútená znášať tieto ťažkosti a prekonávať jazykové „problémy“ – pričom a pretože spolu so symbolickým jazykom používa prirodzený jazyk.
Cieľ: zhrnúť a systematizovať vedomosti študentov na tému „Periodika funkcií“; rozvíjať zručnosti pri uplatňovaní vlastností periodickej funkcie, hľadaní najmenšej kladnej periódy funkcie, zostrojovaní grafov periodických funkcií; podporovať záujem o štúdium matematiky; kultivovať pozorovanie a presnosť.
Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, karty úloh, diapozitívy, hodiny, tabuľky ozdôb, prvky ľudových remesiel
"Matematika je to, čo ľudia používajú na ovládanie prírody a seba."
A.N. Kolmogorov
Počas vyučovania
I. Organizačná etapa.
Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Oznámte tému a ciele lekcie.
II. Kontrola domácich úloh.
Kontrolujeme domáce úlohy pomocou vzoriek a diskutujeme o najťažších bodoch.
III. Zovšeobecňovanie a systematizácia poznatkov.
1. Ústna frontálna práca.
Problémy teórie.
1) Vytvorte definíciu periódy funkcie
2) Pomenujte najmenšiu kladnú periódu funkcií y=sin(x), y=cos(x)
3). Aká je najmenšia kladná perióda funkcií y=tg(x), y=ctg(x)
4) Pomocou kruhu dokážte správnosť vzťahov:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Ako vykresliť periodickú funkciu?
Ústne cvičenia.
1) Dokážte nasledujúce vzťahy
a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)
2. Dokážte, že uhol 540º je jednou z periód funkcie y= cos(2x)
3. Dokážte, že uhol 360º je jednou z periód funkcie y=tg(x)
4. Transformujte tieto výrazy tak, aby uhly v nich obsiahnuté nepresiahli 90º v absolútnej hodnote.
a) tg375º
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)
5. Kde ste sa stretli so slovami OBDOBIE, PERIODICITA?
Študent odpovedá: Obdobie v hudbe je štruktúra, v ktorej je prezentovaná viac-menej úplná hudobná myšlienka. Geologické obdobie je súčasťou éry a delí sa na epochy s obdobím od 35 do 90 miliónov rokov.
Polčas rozpadu rádioaktívnej látky. Periodický zlomok. Periodiká sú tlačené publikácie, ktoré vychádzajú v presne stanovených termínoch. Mendelejevov periodický systém.
6. Obrázky znázorňujú časti grafov periodických funkcií. Určte periódu funkcie. Určte periódu funkcie.
Odpoveď T = 2; T = 2; T = 4; T = 8.
7. Kde ste sa v živote stretli s konštrukciou opakujúcich sa prvkov?
Odpoveď žiaka: Prvky ornamentov, ľudové umenie.
IV. Kolektívne riešenie problémov.
(Riešenie problémov na snímkach.)
Uvažujme o jednom zo spôsobov, ako študovať funkciu pre periodicitu.
Táto metóda sa vyhýba ťažkostiam spojeným s dokazovaním, že určitá perióda je najmenšia, a tiež eliminuje potrebu dotýkať sa otázok o aritmetických operáciách s periodickými funkciami a periodicitou komplexnej funkcie. Úvaha je založená len na definícii periodickej funkcie a na nasledujúcej skutočnosti: ak T je perióda funkcie, potom nT(n?0) je jej perióda.
Úloha 1. Nájdite najmenšiu kladnú periódu funkcie f(x)=1+3(x+q>5)
Riešenie: Predpokladajme, že T-perióda tejto funkcie. Potom f(x+T)=f(x) pre všetky x € D(f), t.j.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
Dostaneme x=-0,25
(T) = 0<=>T=n, n € Z
Zistili sme, že všetky periódy príslušnej funkcie (ak existujú) patria medzi celé čísla. Z týchto čísel vyberme najmenšie kladné číslo. Toto 1 . Overme si, či to bude vlastne obdobie 1 .
f(x+1) = 3(x+1+0,25)+1
Keďže (T+1)=(T) pre ľubovoľné T, potom f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), t.j. 1 – obdobie f. Keďže 1 je najmenšie zo všetkých kladných celých čísel, potom T=1.
Úloha 2. Ukážte, že funkcia f(x)=cos 2 (x) je periodická a nájdite jej hlavnú periódu.
Úloha 3. Nájdite hlavnú periódu funkcie
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Predpokladajme T-periódu funkcie, potom pre ľubovoľnú X pomer platí
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Ak x = 0, potom
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Ak x=-T, potom
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Keď to spočítame, dostaneme:
10 cos (0,75 T) = 10
2π n, n € Z
Vyberme najmenšie kladné číslo zo všetkých „podozrivých“ čísel pre periódu a skontrolujeme, či ide o bodku pre f. Toto číslo
f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
To znamená, že ide o hlavné obdobie funkcie f.
Úloha 4. Skontrolujeme, či je funkcia f(x)=sin(x) periodická
Nech T je perióda funkcie f. Potom pre ľubovoľné x
sin|x+Т|=sin|x|
Ak x=0, potom sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
Predpokladajme. Že pre niektoré n je číslo π n periódou
uvažovaná funkcia π n>0. Potom sin|π n+x|=sin|x|
To znamená, že n musí byť párne aj nepárne číslo, ale to nie je možné. Preto táto funkcia nie je periodická.
Úloha 5. Skontrolujte, či je funkcia periodická
f(x)= 
Nech T je obdobie f
, teda sinT=0, Т=π n, n € Z. Predpokladajme, že pre nejaké n je číslo π n skutočne periódou tejto funkcie. Potom číslo 2π n bude bodka
Keďže čitatelia sú si rovní, ich menovatelia sú si rovní
To znamená, že funkcia f nie je periodická.
Pracovať v skupinách.
Úlohy pre skupinu 1.
Úlohy pre skupinu 2.
Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej základnú periódu (ak existuje).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Úlohy pre skupinu 3.
Na konci svojej práce skupiny prezentujú svoje riešenia.
VI. Zhrnutie lekcie.
Reflexia.
Učiteľ rozdá študentom kartičky s kresbami a požiada ich, aby vyfarbili časť prvej kresby v súlade s tým, do akej miery si myslia, že zvládli metódy štúdia funkcie pre periodicitu, a časť druhej kresby - v súlade s ich príspevok k práci na vyučovacej hodine.
VII. Domáca úloha
1). Skontrolujte, či je funkcia f periodická a nájdite jej základnú periódu (ak existuje)
b). f(x)=x2-2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Funkcia y=f(x) má periódu T=2 a f(x)=x 2 +2x pre x € [-2; 0]. Nájdite hodnotu výrazu -2f(-3)-4f(3,5)
Literatúra/
- Mordkovich A.G. Algebra a začiatky analýzy s hĺbkovým štúdiom.
- Matematika. Príprava na jednotnú štátnu skúšku. Ed. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
- Šeremetěva T.G. , Tarasová E.A. Algebra a počiatočná analýza pre ročníky 10-11.