Ako riešiť diferenciálne rovnice 3. rádu. Poradie diferenciálnej rovnice a jej riešenie, Cauchyho úloha

Pre hlbšie pochopenie toho, čo sa deje v tomto článku, si môžete prečítať.

Uvažujme o homogénnom systéme diferenciálnych rovníc tretieho rádu

Tu sú x (t), y (t), z (t) požadované funkcie na intervale (a, b) a ij (i, j = 1, 2, 3) sú reálne čísla.

Pôvodný systém zapisujeme v maticovom tvare
,
kde

Vo formulári budeme hľadať riešenie pôvodného systému
,
kde , C 1, C 2, C 3 sú ľubovoľné konštanty.

Na nájdenie fundamentálneho systému riešení je potrebné vyriešiť takzvanú charakteristickú rovnicu

Táto rovnica je algebraickou rovnicou tretieho rádu, preto má 3 korene. V tomto prípade sú možné tieto prípady:

1. Korene (vlastné hodnoty) sú skutočné a rôzne.

2. Medzi koreňmi (vlastnými hodnotami) sú komplexne konjugované, let
- skutočný koreň
=

3. Korene (vlastné hodnoty) sú platné. Jeden z koreňov je viacnásobný.

Aby sme zistili, ako konať v každom z týchto prípadov, potrebujeme:
Veta 1.
Nech sú párovo rôzne vlastné hodnoty matice A a zodpovedajúce vlastné vektory. Potom

tvoria základný systém rozhodnutí pôvodného systému.

Komentujte .
Nech je skutočná vlastná hodnota matice A (reálny koreň charakteristickej rovnice), je zodpovedajúci vlastný vektor.
= - komplexné vlastné hodnoty matice А, - zodpovedajúce - vlastný vektor. Potom

(Re je skutočné, ja som imaginárny)
tvoria základný systém rozhodnutí pôvodného systému. (t. j. a = sa posudzujú spolu)

Veta 3.
Nech je koreňom charakteristickej rovnice násobnosti 2. Potom má pôvodný systém 2 lineárne nezávislé riešenia tvaru
,
kde, sú konštantné vektory. Ak však násobnosti 3, potom existujú 3 lineárne nezávislé riešenia tvaru
.
Vektory sa nachádzajú dosadením riešení (*) a (**) do pôvodného systému.
Pre lepšie pochopenie spôsobu hľadania riešení vo forme (*) a (**) si pozrite analyzované typické príklady nižšie.

Pozrime sa teraz podrobnejšie na každý z vyššie uvedených prípadov.

1. Algoritmus riešenia homogénnych systémov diferenciálnych rovníc tretieho rádu v prípade rôznych reálnych koreňov charakteristickej rovnice.
Daný systém

1) Zostavíme charakteristickú rovnicu

sú skutočné a rôzne vlastné hodnoty koreňov tejto rovnice).
2) Staviame, kde

3) Staviame, kde
je vlastný vektor matice A, zodpovedajúci, t.j. - akékoľvek riešenie systému

4) Staviame, kde
je vlastný vektor matice A, zodpovedajúci, t.j. - akékoľvek riešenie systému

5)

tvoria základný systém rozhodnutí. Ďalej do formulára napíšeme všeobecné riešenie pôvodného systému
,
tu C 1, C 2, C 3 sú ľubovoľné konštanty,
,
alebo v súradnicovej forme

Pozrime sa na niekoľko príkladov:
Príklad 1

2) Nájdite

3) Nájdite

4) Vektorové funkcie

alebo v súradnicovom zápise

Príklad 2

1) Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu:

2) Nájdite

3) Nájdite

4) Nájdite

5) Vektorové funkcie

tvoria základný systém. Všeobecné riešenie je

alebo v súradnicovom zápise

2. Algoritmus riešenia homogénnych systémov diferenciálnych rovníc tretieho rádu v prípade komplexne združených koreňov charakteristickej rovnice.

- skutočný koreň,

2) Staviame, kde

3) Staviame

je vlastný vektor matice A, zodpovedajúci, t.j. vyhovuje systému

Tu Re je skutočná časť
Ja som tá imaginárna časť
4) tvoria základný systém rozhodovania. Ďalej si zapíšeme všeobecné riešenie pôvodného systému:
, kde
С 1, С 2, С 3 sú ľubovoľné konštanty.

Príklad 1

1) Poskladáme a vyriešime charakteristickú rovnicu

2) Staviame

3) Staviame
, kde

Zredukme prvú rovnicu o 2. Potom pripočítajme prvú vynásobenú 2i k druhej rovnici a odpočítajte prvú vynásobenú 2 od tretej rovnice.

Ďalej

teda

4) je základným systémom rozhodovania. Zapíšme si všeobecné riešenie pôvodného systému:

Príklad 2

1) Poskladáme a vyriešime charakteristickú rovnicu

2) Staviame

(t. j. uvažujeme spolu), kde

Druhá rovnica sa vynásobí (1-i) a zníži 2.

teda

3)
Všeobecné riešenie pôvodného systému

alebo

2. Algoritmus riešenia homogénnych systémov diferenciálnych rovníc tretieho rádu v prípade viacerých koreňov charakteristickej rovnice.
Poskladáme a vyriešime charakteristickú rovnicu

Možné sú dva prípady:

Zvážte prípad a) 1), kde

je vlastný vektor matice A, zodpovedajúci, t.j. vyhovuje systému

2) Odvolávame sa na vetu 3, z ktorej vyplýva, že existujú dve lineárne nezávislé riešenia tvaru
,
kde, sú konštantné vektory. Zoberme si ich za.
3) je základným systémom rozhodovania. Ďalej si zapíšeme všeobecné riešenie pôvodného systému:

Zvážte prípad b):
1) Pozrime sa na vetu 3, z ktorej vyplýva, že existujú tri lineárne nezávislé riešenia tvaru
,
kde,, sú konštantné vektory. Zoberme si ich za.
2) je základným systémom rozhodovania. Ďalej si zapíšeme všeobecné riešenie pôvodného systému.

Aby ste lepšie pochopili, ako nájsť riešenia vo formulári (*), zvážte niekoľko typických príkladov.

Príklad 1

Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu:

Máme prípad a)
1) Staviame
, kde

Odčítajte prvú z druhej rovnice:

? tretí riadok je podobný druhému, vymažeme ho. Odčítajte druhú od prvej rovnice:

2) = 1 (násobok 2)
Podľa T.3 musí tento koreň zodpovedať dvom lineárne nezávislým riešeniam tvaru.
Skúsme nájsť všetky lineárne nezávislé riešenia, pre ktoré, t.j. riešenia formulára
.
Takýto vektor bude riešením práve vtedy, ak je vlastný vektor zodpovedajúci = 1, t.j.
, alebo
, druhý a tretí riadok sú podobné prvému, vyhodíme ich.

Systém sa zredukoval na jednu rovnicu. Preto existujú dve voľné neznáme, napríklad a. Najprv im dajme hodnoty 1, 0; potom hodnoty 0, 1. Získame nasledujúce riešenia:
.
teda .
3) je základným systémom rozhodovania. Zostáva napísať všeobecné riešenie pôvodného systému:
... .. Existuje teda len jedno riešenie tvaru Dosaďte X 3 do tejto sústavy: Vymažte tretí riadok (je podobný druhému). Systém je kompatibilný (má riešenie) pre akúkoľvek s. Nech c = 1.
alebo

Uvádzame hlavné typy obyčajných diferenciálnych rovníc vyššieho rádu (DE), ktoré je možné vyriešiť. Stručne sú načrtnuté spôsoby ich riešenia. Sú tam odkazy na stránky s podrobným popisom spôsobov riešenia a príkladmi.

Obsah

Pozri tiež: Diferenciálne rovnice prvého rádu
Lineárne parciálne diferenciálne rovnice prvého rádu

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu umožňujúce zníženie rádu

Rovnice riešené priamou integráciou

Zvážte diferenciálnu rovnicu nasledujúceho tvaru:
.
Integrujeme n-krát.
;
;
atď. Môžete tiež použiť vzorec:
.
Pozri Priame riešenie diferenciálnych rovníc integrácia >>>

Rovnice, ktoré explicitne neobsahujú závislú premennú y

Substitúcia vedie k zníženiu poradia rovnice o jednu. Tu je funkcia z.
Pozrite si Diferenciálne rovnice vyšších rádov, ktoré neobsahujú explicitnú funkciu >>>

Rovnice neobsahujúce explicitnú nezávislú premennú x

.
Považujeme to za funkciu. Potom
.
Podobne pre zvyšok derivátov. V dôsledku toho sa poradie rovnice zníži o jednu.
Pozrite si diferenciálne rovnice vyšších rádov, ktoré neobsahujú explicitnú premennú>>>

Rovnice homogénne vzhľadom na y, y′, y′′, ...

Na vyriešenie tejto rovnice vykonáme substitúciu
,
kde je funkcia. Potom
.
Podobne transformujeme deriváty atď. V dôsledku toho sa poradie rovnice zníži o jednu.
Pozri Diferenciálne rovnice vyššieho rádu homogénne vzhľadom na funkciu a jej derivácie>>>

Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov

Zvážte lineárna homogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu:
(1) ,
kde sú funkcie nezávislej premennej. Nech existuje n lineárne nezávislých riešení tejto rovnice. Potom má všeobecné riešenie rovnice (1) tvar:
(2) ,
kde sú ľubovoľné konštanty. Samotné funkcie tvoria základný rozhodovací systém.
Základný rozhodovací systém lineárna homogénna rovnica n-tého rádu je n lineárne nezávislých riešení tejto rovnice.

Zvážte lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica n-tého rádu:
.
Nech existuje konkrétne (akékoľvek) riešenie tejto rovnice. Potom je všeobecné riešenie:
,
kde je všeobecné riešenie homogénnej rovnice (1).

Lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi a redukované na ne

Lineárne homogénne rovnice s konštantnými koeficientmi

Toto sú rovnice tvaru:
(3) .
Tu sú reálne čísla. Aby sme našli všeobecné riešenie tejto rovnice, musíme nájsť n lineárne nezávislých riešení, ktoré tvoria základný systém riešení. Potom je všeobecné riešenie určené vzorcom (2):
(2) .

Hľadáme riešenie vo formulári. Dostaneme charakteristická rovnica:
(4) .

Ak má táto rovnica rôzne korene, potom má základný systém riešení tvar:
.

Ak existuje komplexný koreň
,
potom existuje aj komplexný konjugovaný koreň. Tieto dva korene zodpovedajú riešeniam a, ktoré sú zahrnuté v základnom systéme namiesto komplexných riešení a.

Viaceré korene násobnosti zodpovedajú lineárne nezávislým riešeniam:.

Viaceré zložité korene multiplicita a ich komplexne konjugované hodnoty zodpovedajú lineárne nezávislým riešeniam:
.

Lineárne nehomogénne rovnice so špeciálnou nehomogénnou časťou

Zvážte rovnicu tvaru
,
kde sú polynómy stupňov s 1 a s 2 ; - trvalý.

Najprv hľadáme všeobecné riešenie homogénnej rovnice (3). Ak charakteristická rovnica (4) neobsahuje root, potom hľadáme konkrétne riešenie v tvare:
,
kde
;
;
s je najväčší zo s 1 a s 2 .

Ak charakteristická rovnica (4) má koreň multiplicita, potom hľadáme konkrétne riešenie v tvare:
.

Potom dostaneme všeobecné riešenie:
.

Lineárne nehomogénne rovnice s konštantnými koeficientmi

Tu sú tri možné riešenia.

1) Bernoulliho metóda.
Najprv nájdeme akékoľvek nenulové riešenie homogénnej rovnice
.
Potom vykonáme striedanie
,
kde je funkcia premennej x. Získame diferenciálnu rovnicu pre u, ktorá obsahuje iba derivácie u vzhľadom na x. Substitúcia dáva rovnicu n - 1 - prvá objednávka.

2) Lineárna substitučná metóda.
Urobme náhradu
,
kde je jeden z koreňov charakteristickej rovnice (4). V dôsledku toho získame lineárnu nehomogénnu rovnicu s koeficientmi konštantného rádu. Postupným použitím tejto substitúcie zredukujeme pôvodnú rovnicu na rovnicu prvého poriadku.

3) Metóda variácie Lagrangeových konštánt.
Pri tejto metóde najskôr riešime homogénnu rovnicu (3). Jeho riešenie vyzerá takto:
(2) .
Ďalej predpokladáme, že konštanty sú funkciami premennej x. Potom má riešenie pôvodnej rovnice tvar:
,
kde sú neznáme funkcie. Dosadením do pôvodnej rovnice a uložením určitých obmedzení získame rovnice, z ktorých možno nájsť tvar funkcií.

Eulerova rovnica

Redukuje sa na lineárnu rovnicu s konštantnými substitučnými koeficientmi:
.
Na vyriešenie Eulerovej rovnice však nie je potrebné vykonať takúto substitúciu. Je možné okamžite hľadať riešenie homogénnej rovnice vo forme
.
Výsledkom sú rovnaké pravidlá ako pre rovnicu s konštantnými koeficientmi, v ktorej namiesto premennej musíte dosadiť.

Referencie:
V.V. Stepanov, Kurz diferenciálnych rovníc, "LCI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, "Lan", 2003.

Pozri tiež:

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

Základná terminológia pre diferenciálne rovnice vyššieho rádu (DU VP).

Rovnica tvaru, kde n >1 (2)

sa nazýva diferenciálna rovnica vyššieho rádu, t.j. n poradie.

Oblasť určenia diaľkového ovládača, n rádu je región.

V tomto kurze sa budú brať do úvahy nasledujúce typy systémov diaľkového ovládania:

Cauchy problém VP VP:

Nech je daný DU,
a počiatočné podmienky n / a: čísla.

Je potrebné nájsť spojitú a n-krát diferencovateľnú funkciu
:

1)
je riešením daného DE na, t.j.
;

2) spĺňa dané počiatočné podmienky:.

Pre diferenciálne rovnice druhého rádu je geometrická interpretácia riešenia problému nasledovná: hľadá sa integrálna krivka prechádzajúca bodom (X 0 , r 0 ) a dotyčnica k priamke so sklonom k = r 0 ́ .

Veta o existencii a jedinečnosti(riešenia Cauchyho problému pre DE (2)):

Ak 1)
nepretržité (kumulatívne (n+1) argumenty) v oblasti
; 2)
spojité (podľa súboru argumentov
) potom ! riešenie Cauchyho úlohy pre DE, spĺňajúce zadané počiatočné podmienky n / a: .

Región sa nazýva regiónom jedinečnosti DE.

Generálne riešenie DU VP (2) – n - parametrické funkcia,
, kde
- ľubovoľné konštanty, ktoré spĺňajú tieto požiadavky:

1)

- riešenie DE (2) zapnuté;

2) n / a z ríše jedinečnosti!
:
spĺňa dané počiatočné podmienky.

Komentujte.

Pomer zobrazení
, ktorý implicitne určuje všeobecné riešenie DE (2) na sa nazýva spoločný integrál DU.

Súkromné riešenie DE (2) sa získa z jeho všeobecného riešenia pre konkrétnu hodnotu .

Integrácia VP DU.

Diferenciálne rovnice vyšších rádov sa spravidla nedajú riešiť exaktnými analytickými metódami.

Vyberme si určitý typ OWE, pripúšťajúc zníženie rádu a redukciu na kvadratúry. Zhrňme si v tabuľke tieto typy rovníc a spôsoby zníženia ich poradia.

DE VP, pripúšťa zníženie objednávky

		Spôsob, ako znížiť objednávku
	DU je neúplný, neobsahuje ... napr.	Atď. Po n viacnásobná integrácia poskytne všeobecné riešenie DE.
	Rovnica je neúplná; zjavne neobsahuje požadovanú funkciu a jej prvé deriváty. napr.	Substitúcia zníži poradie rovnice o k Jednotky.
	Neúplná rovnica; zjavne neobsahuje argument požadovanú funkciu. napr.	Substitúcia poradie rovnice sa zníži o jednu.
	Presná derivačná rovnica, môže byť úplná alebo neúplná. Takáto rovnica sa dá transformovať do tvaru () ́ = () ́, kde pravá a ľavá strana rovnice sú presné derivácie niektorých funkcií.	Integrácia pravej a ľavej strany rovnice vzhľadom na argument zníži poradie rovnice o jednu.
		Substitúcia zníži poradie rovnice o jednu.

Definícia homogénnej funkcie:

Funkcia
sa nazýva homogénna v premenných
, ak

v ľubovoľnom bode v doméne funkcie
;

- poriadok rovnorodosti.

Napríklad je homogénna funkcia druhého rádu vzhľadom na
, t.j. ...

Príklad 1:

Nájdite všeobecné riešenie riadiaceho systému
.

DE tretieho rádu, neúplné, výslovne neobsahuje
... Rovnicu postupne integrujeme trikrát.

- všeobecné rozhodnutie riadiaceho systému.

Príklad 2:

Vyriešte Cauchyho problém pre DE
pri

.

DE druhého rádu, neúplné, výslovne neobsahuje .

Substitúcia
a jeho derivát
zníži poradie DE o jeden.

... Dostali sme diferenciálnu rovnicu prvého rádu – Bernoulliho rovnicu. Na vyriešenie tejto rovnice použijeme Bernoulliho substitúciu:

a dosaďte ho do rovnice.

V tejto fáze riešime Cauchyho úlohu pre rovnicu
:
.

- rovnica prvého poriadku s oddeliteľnými premennými.

Do poslednej rovnosti dosadíme počiatočné podmienky:

odpoveď:
- riešenie Cauchyho úlohy, ktoré spĺňa počiatočné podmienky.

Príklad 3:

Vyriešte diaľkové ovládanie.

- 2. rád DE, neúplný, neobsahuje explicitne premennú, a preto umožňuje znížiť poradie o jednu pomocou substitúcie resp.
.

Dostaneme rovnicu
(nech
).

- DE 1. rádu s oddelenými premennými. Poďme ich oddeliť.

Je všeobecný integrál DE.

Príklad 4:

Vyriešte diaľkové ovládanie.

Rovnica
je rovnica v presných deriváciách. naozaj,
.

Integrujme ľavú a pravú stranu cez, t.j.
alebo . Dostali sme DE prvého rádu s oddeliteľnými premennými, t.j.
Je všeobecný integrál DE.

Príklad 5:

Vyriešte Cauchyho problém pre
v .

DE 4. rádu, neúplné, výslovne neobsahuje
... Všimli sme si, že ide o rovnicu v presných deriváciách, získame
alebo
,
... Nahradme počiatočné podmienky v tejto rovnici:
... Dostávame diaľkové ovládanie
3. rádu prvého typu (pozri tabuľku). Budeme to trikrát integrovať a po každej integrácii dosadíme počiatočné podmienky do rovnice:

odpoveď:
- riešenie Cauchyho problému pôvodného DE.

Príklad 6:

Vyriešte rovnicu.

- 2. rád DE, úplný, obsahuje homogénnosť vzhľadom na
... Substitúcia
zníži poradie rovnice. Za týmto účelom uvedieme rovnicu do formulára
delením oboch strán pôvodnej rovnice o ... A budeme rozlišovať funkciu p:

Náhradník
a
v DU:
... Toto je separovateľná rovnica prvého poriadku.

Zvažujem to
, dostaneme DE resp
- všeobecné riešenie pôvodného DE.

Teória lineárnych diferenciálnych rovníc vyššieho rádu.

Základná terminológia.

- NLDU -tého rádu, kde sú spojité funkcie na nejakom intervale.

Nazýva sa to interval kontinuity DE (3).

Zavedieme (podmienený) diferenciálny operátor tého rádu

Pri pôsobení na funkciu dostaneme

To je ľavá strana lineárnej diferenciálnej rovnice t. rádu.

V dôsledku toho je možné napísať LDE

Vlastnosti lineárneho operátora
:

1) - aditívna vlastnosť

2)
- číslo - vlastnosť rovnorodosti

Vlastnosti sa dajú ľahko overiť, pretože derivácie týchto funkcií majú podobné vlastnosti (konečný súčet derivácií sa rovná súčtu konečného počtu derivácií; konštantný faktor môže byť mimo znamienka derivácie).

To.
- lineárny operátor.

Zvážte otázku existencie a jedinečnosti riešenia Cauchyho problému pre LDE
.

Poďme vyriešiť LDE s ohľadom na
: ,
, Je interval spojitosti.

Spojitá funkcia v oblasti, derivácie
nepretržite v oblasti

V dôsledku toho doména jedinečnosti, v ktorej má Cauchyho problém LDE (3) jedinečné riešenie a závisí len od výberu bodu
, všetky ostatné hodnoty argumentov
funkcie
možno brať ľubovoľne.

Všeobecná teória OLDU.

- interval spojitosti.

Základné vlastnosti OLDE riešení:

1. Vlastnosť aditívnosti

(
- riešenie OLDE (4) zapnuté)
(
- riešenie OLDE (4) zapnuté).

dôkaz:

- riešenie OLDE (4) zapnuté

Potom

2. Vlastnosť homogenity

(- riešenie OLDE (4) zapnuté) (
(- číselné pole))

- riešenie OLDE (4) zapnuté.

Dôkaz je podobný.

Vlastnosti aditivity a homogenity sa nazývajú lineárne vlastnosti OLDE (4).

Dôsledok:

(
- riešenie OLDE (4) zapnuté) (

- riešenie OLDE (4) zapnuté).

3. (je komplexné riešenie pre OLDE (4) na) (
- reálne hodnotené riešenia OLDE (4) zapnuté).

dôkaz:

Ak je riešenie OLDE (4) zapnuté, potom, keď sa dosadí do rovnice, zmení ju na identitu, t.j.
.

Kvôli linearite operátora môže byť ľavá strana poslednej rovnosti zapísaná takto:
.

To znamená, že ide o reálne hodnotené riešenia OLDE (4) na.

Následné vlastnosti riešení OLDE súvisia s konceptom „ lineárny vzťah”.

Určenie lineárnej závislosti konečného systému funkcií

Systém funkcií sa nazýva lineárne závislý od toho, či existuje netriviálne súbor čísel
taká, že lineárna kombinácia
funkcie
s týmito číslami je zhodne rovný nule na, t.j.
.n čo nie je správne. Veta je dokázaná Diferenciálna rovnicevyššieobjednávky(4 hodiny ...

Pre túto rovnicu máme:

; (5.22)

. (5.23)

Posledný determinant dáva podmienku a 3> 0. Podmienka Δ 2> 0, pre a 0> 0, a 1> 0 a a 3> 0, môže byť splnená len pre a 2> 0.

V dôsledku toho pre rovnicu tretieho rádu už nestačí, aby všetky koeficienty charakteristickej rovnice boli kladné. Vyžaduje sa tiež splnenie určitého vzťahu medzi koeficientmi a 1 a 2 > a 0 a 3.

4. Rovnica štvrtého rádu

Podobne ako to bolo urobené vyššie, je možné získať, že pre rovnicu štvrtého rádu je okrem kladnosti všetkých koeficientov podmienka

Významnou nevýhodou algebraických kritérií, vrátane Hurwitzovho kritéria, je tiež skutočnosť, že pre rovnice vyššieho rádu možno prinajlepšom dostať odpoveď, či je systém automatického riadenia stabilný alebo nie. V prípade nestabilného systému navyše kritérium nedáva odpoveď na to, ako by sa mali zmeniť parametre systému, aby bol stabilný. Táto okolnosť viedla k hľadaniu iných kritérií, ktoré by boli v inžinierskej praxi vhodnejšie.

5.3. Michajlovovo kritérium stability

Uvažujme oddelene ľavú stranu charakteristickej rovnice (5.7), ktorá je charakteristickým polynómom

Dosadíme do tohto polynómu čisto imaginárnu hodnotu p = j, kde je uhlová frekvencia kmitov zodpovedajúca čisto imaginárnej odmocnine charakteristického riešenia. V tomto prípade získame charakteristický komplex

kde skutočná časť bude obsahovať párne stupne frekvencie

a imaginárne - nepárne stupne frekvencie

Ryža. 5.4. Michajlovov Godograf

Ak sú zadané všetky koeficienty a určitá hodnota frekvencie, potom sa hodnota D (j) zobrazí v komplexnej rovine ako bod so súradnicami U a V alebo ako vektor spájajúci tento bod s počiatkom. Ak sa hodnota frekvencie mení plynule od nuly do nekonečna, potom sa vektor bude meniť vo veľkosti a smere, opisujúc svojim koncom určitú krivku (hodograf), ktorá je tzv. Michajlovova krivka (obr. 5.4).

V praxi sa Mikhailovova krivka vykresľuje bod po bode a nastavia sa rôzne hodnoty frekvencie  a U () a V () sa vypočítajú pomocou vzorcov (5.28), (5.29). Výsledky výpočtu sú zhrnuté v tabuľke. 5.1.

Tabuľka 5.1

Konštrukcia Michajlovovej krivky

Z tejto tabuľky je zostrojená samotná krivka (obr. 5.4).

Určme, aký má byť uhol natočenia  vektora D (j) pri zmene frekvencie od nuly do nekonečna. Za týmto účelom napíšeme charakteristický polynóm vo forme súčinu faktorov

kde  1 – n sú korene charakteristickej rovnice.

Charakteristický vektor potom môže byť reprezentovaný takto:

Každá zo zátvoriek predstavuje komplexné číslo. Preto D (j) je súčin n komplexných čísel. Pri násobení sa argumenty komplexných čísel sčítajú. Preto sa výsledný uhol natočenia vektora D (j) bude rovnať súčtu uhlov natočenia jednotlivých faktorov (5.31) pri zmene frekvencie od nuly do nekonečna.

Definujme každý pojem v (5.31) samostatne. Na zovšeobecnenie problému zvážte rôzne typy koreňov.

1. Nech je nejaký koreň, napríklad  1 skutočné a negatívne , teda 1 = – 1. Faktor vo vyjadrení (5.31) určený týmto koreňom bude mať tvar ( 1 + j). Hodograf tohto vektora zostrojíme na komplexnej rovine, keď sa frekvencia mení od nuly do nekonečna (obr. 5.5, a). Pre = 0 je reálna časť U =  1 a imaginárna V = 0. To zodpovedá bodu A ležiacemu na reálnej osi. Pri 0 sa vektor zmení tak, že jeho reálna časť bude stále rovná a imaginárna V =  (bod B na grafe). Keď sa frekvencia zvyšuje do nekonečna, vektor ide do nekonečna a koniec vektora vždy zostáva na zvislej čiare prechádzajúcej bodom A a vektor sa otáča proti smeru hodinových ručičiek.

Ryža. 5.5. Skutočné korene

Výsledný uhol natočenia vektora je  1 = + ( / 2).

2. Teraz nechajte koreň  1 byť materiálne a pozitívne , teda 1 = +  1. Potom koeficient v (5.31) definovaný týmto koreňom bude mať tvar (– 1 + j). Podobné konštrukcie (obr.5.5, b) ukazujú, že výsledný uhol natočenia bude 1 = - ( / 2). Znamienko mínus znamená, že vektor je otočený v smere hodinových ručičiek.

3. Nech sú dva konjugované korene, napríklad  2 a 3 komplex s negatívnou reálnou časťou , teda 2; 3 = – ± j. Podobne faktory vo vyjadrení (5.31) určené týmito koreňmi budú mať tvar ( – j + j) ( + j + j).

Keď  = 0, počiatočné polohy dvoch vektorov sú určené bodmi A 1 a A 2 (obr.5.6, a). Prvý vektor je otočený okolo skutočnej osi v smere hodinových ručičiek o uhol rovný oblúku ( / ) a druhý vektor je otočený proti smeru hodinových ručičiek o rovnaký uhol. Postupným zvyšovaním od nuly do nekonečna smerujú konce oboch vektorov do nekonečna a oba vektory v limite splývajú s imaginárnou osou.

Výsledný uhol natočenia prvého vektora je  2 = ( / 2) + . Výsledný uhol natočenia druhého vektora je 3 = ( / 2) –. Vektor zodpovedajúci súčinu ( – j + j) ( + j + j) sa bude otáčať o uhol 2 +  3 = 2 / 2 = .

Ryža. 5.6. Komplexné korene

4. Nechajte to isté komplexné korene majú pozitívnu skutočnú časť , teda 2; 3 = +  ± j.

Konštrukcia sa vykonáva podobne ako v predchádzajúcom prípade (obrázok 5.6, b), dostaneme výsledný uhol natočenia 2 +  3 = –2 / 2 = –.

Ak teda charakteristická rovnica má f korene s kladnou reálnou časťou, potom nech sú tieto korene akékoľvek (reálne alebo komplexné), budú zodpovedať súčtu uhlov rotácie rovným –f ( / 2). Všetky ostatné (n - f) korene charakteristickej rovnice so zápornými reálnymi časťami budú zodpovedať súčtu uhlov natočenia rovným + (n - f) ( / 2). Výsledkom je, že celkový uhol natočenia vektora D (j) pri zmene frekvencie z nuly na nekonečno podľa vzorca (5.32) bude mať tvar

 = (n - f) ( / 2) –f ( / 2) = n ( / 2) –f . (5,33)

Tento výraz definuje požadované spojenie medzi tvarom Michajlovovej krivky a znakmi skutočných častí koreňov charakteristickej rovnice. V roku 1936 A.V. Michajlov sformuloval nasledujúce kritérium stability pre lineárne systémy akéhokoľvek rádu.

Pre stabilitu systému n-tého rádu je potrebné a postačujúce, aby vektor D (j  ) popisujúci Michajlovovu krivku pri zmene  od nuly do nekonečna mal uhol natočenia  = n (  / 2).

Táto formulácia priamo vyplýva z (5.33). Aby bol systém stabilný, je potrebné, aby všetky korene ležali v ľavej polrovine. Odtiaľ sa určí požadovaný výsledný vektorový uhol natočenia.

Mikhailovovo kritérium stability je formulované takto: aby bol lineárny ACS stabilný, je potrebné a postačujúce, aby michajlovovský hodograf pri zmene frekvencie od nuly do nekonečna, začínajúc v kladnej polrovine a nepretínajúc počiatok, postupne pretínal toľko kvadrantov komplexnej roviny, koľko polynóm charakteristickej rovnice sústavy má.

Ryža. 5.7. Odolné ATS

zdá sa, že Michajlovova krivka pre stabilné systémy má vždy hladký špirálovitý tvar a jej koniec ide do nekonečna v tom kvadrante komplexnej roviny, ktorej počet sa rovná stupňu charakteristickej rovnice (obr. 5.7). Mikhailovova krivka nemôže prejsť viac ako určitým počtom kvadrantov. Nestabilita systému je preto vždy spojená so skutočnosťou, že v Michajlovovej krivke je porušená postupnosť prechodu kvadrantov, v dôsledku čoho je uhol natočenia vektora D (j) menší. ako n ( / 2) (obr. 5.8).

Pre stabilný systém prechádza Michajlovova krivka postupne n kvadrantov komplexnej roviny.

Prítomnosť hranice stability všetkých troch typov možno určiť z Michajlovovej krivky nasledovne.

V prítomnosti hranice stability prvý typ (nulová odmocnina) nie je voľný člen charakteristického polynómu a n = 0 a Michajlovova krivka vychádza z počiatku (obr. 5.9, krivka 1)

Ryža. 5.8. Prchavé ATS

Ryža. 5.9. Limity stability

Na hranici stability druhý typ (hranica oscilačnej stability) ľavá strana charakteristickej rovnice, teda charakteristický polynóm, zaniká, keď p = j 0

D (j 0) = X ( 0) + Y ( 0) = 0. (5,34)

Odtiaľ nasledujú dve rovnosti: X ( 0) = 0; Y ( 0) = 0. To znamená, že bod  =  0 na Michajlovovej krivke spadá do začiatku (obr. 5.9, krivka 2). V tomto prípade je hodnota  0 frekvencia súvislých kmitov sústavy.

Pre hranicu stability tretí typ (nekonečný koreň) sa koniec Michajlovovej krivky vrhá (obr. 5.9, krivka 3) z jedného kvadrantu do druhého cez nekonečno. V tomto prípade koeficient a 0 charakteristického polynómu (5.7) prejde cez nulovú hodnotu a zmení svoje znamienko z plus na mínus.