Prvá úroveň

Kvadratické rovnice. Komplexný sprievodca (2019)

V termíne „kvadratický“ je kľúčové slovo „kvadratický“. To znamená, že rovnica musí nevyhnutne obsahovať premennú (rovnaké x) na druhú a v treťom (alebo väčšom) stupni nesmie byť x.

Riešenie mnohých rovníc sa redukuje na riešenie kvadratických rovníc.

Naučme sa určiť, že máme kvadratickú rovnicu a nie nejakú inú.

Príklad 1

Zbavme sa menovateľa a vynásobme každý člen v rovnici

Presuňte všetko na ľavú stranu a usporiadajte pojmy v zostupnom poradí stupňov x

Teraz môžeme s istotou povedať, že táto rovnica je kvadratická!

Príklad 2

Vynásobme ľavú a pravú stranu:

Táto rovnica, hoci v nej pôvodne bola, nie je štvorcová!

Príklad 3

Všetko vynásobme:

Strašne? Štvrtý a druhý stupeň ... Ak však urobíme substitúciu, uvidíme, že máme jednoduchú kvadratickú rovnicu:

Príklad 4

Zdá sa, že tam je, ale poďme sa na to pozrieť bližšie. Presuňme všetko na ľavú stranu:

Vidíte, zmenšil sa - a teraz je to jednoduchá lineárna rovnica!

Teraz skúste sami zistiť, ktoré z nasledujúcich rovníc sú kvadratické a ktoré nie:

Príklady:

odpovede:

1. námestie;
2. námestie;
3. nie štvorcový;
4. nie štvorcový;
5. nie štvorcový;
6. námestie;
7. nie štvorcový;
8. námestie.

Matematici podmienečne rozdeľujú všetky kvadratické rovnice do nasledujúceho tvaru:

• Kompletné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých koeficienty a aj voľný člen c sa nerovnajú nule (ako v príklade). Okrem toho medzi úplnými kvadratickými rovnicami sú daný- sú to rovnice, v ktorých je koeficient (rovnica z príkladu 1 nielen úplný, ale aj redukovaný!)

• Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, v ktorých sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

  Sú neúplné, pretože im chýba nejaký prvok. Ale rovnica musí mať vždy x na druhú !!! Inak to už nebude štvorec, ale nejaká iná rovnica.

Prečo ste vymysleli takéto rozdelenie? Zdalo by sa, že existuje X na druhú a v poriadku. Toto rozdelenie je spôsobené metódami riešenia. Uvažujme o každom z nich podrobnejšie.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Najprv sa zastavme pri riešení neúplných kvadratických rovníc – sú oveľa jednoduchšie!

Neúplné kvadratické rovnice sú nasledujúcich typov:

1. , v tejto rovnici je koeficient.
2. , v tejto rovnici je voľný člen.
3. , v tejto rovnici sú koeficient a priesečník rovnaké.

1.a. Keďže vieme odmocninu, vyjadrime sa z tejto rovnice

Výraz môže byť negatívny alebo pozitívny. Druhá mocnina nemôže byť záporná, pretože pri vynásobení dvoch záporných alebo dvoch kladných čísel bude výsledkom vždy kladné číslo, takže: ak, potom rovnica nemá riešenia.

A ak, potom dostaneme dva korene. Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec je, že musíte vedieť a vždy pamätať na to, že menej nemôže byť.

Skúsme vyriešiť niekoľko príkladov.

Príklad 5:

Vyriešte rovnicu

Teraz zostáva extrahovať koreň z ľavej a pravej strany. Pamätáte si, ako extrahovať korene?

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na negatívne korene!!!

Príklad 6:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 7:

Vyriešte rovnicu

Ou! Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene!

Pre rovnice, ktoré nemajú korene, matematici vymysleli špeciálnu ikonu - (prázdna množina). A odpoveď môže byť napísaná takto:

odpoveď:

Táto kvadratická rovnica má teda dva korene. Neexistujú žiadne obmedzenia, pretože sme nevyťažili koreň.
Príklad 8:

Vyriešte rovnicu

Vyberme spoločný faktor zo zátvoriek:

Touto cestou,

Táto rovnica má dva korene.

odpoveď:

Najjednoduchší typ neúplných kvadratických rovníc (hoci sú všetky jednoduché, však?). Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Tu sa zaobídeme bez príkladov.

Riešenie úplných kvadratických rovníc

Pripomíname, že úplná kvadratická rovnica je rovnica tvaru rovnice kde

Riešenie úplných kvadratických rovníc je o niečo náročnejšie (len o trochu) ako tie, ktoré sú uvedené.

zapamätaj si, pomocou diskriminantu je možné vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu! Dokonca neúplné.

Ostatné metódy vám to pomôžu rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, najprv sa naučte riešenie pomocou diskriminantu.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminantu.

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov.

Ak, potom rovnica má koreň. Musíte venovať zvláštnu pozornosť kroku. Diskriminant () nám udáva počet koreňov rovnice.

• Ak, vzorec v kroku sa zredukuje na. Rovnica teda bude mať celý koreň.
• Ak, potom nebudeme môcť extrahovať koreň z diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Vráťme sa k našim rovniciam a pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklad 9:

Vyriešte rovnicu

Krok 1 preskočiť.

Krok 2.

Nájdeme diskriminačné:

Takže rovnica má dva korene.

Krok 3

odpoveď:

Príklad 10:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je teda prezentovaná v štandardnej forme Krok 1 preskočiť.

Krok 2.

Nájdeme diskriminačné:

Takže rovnica má jeden koreň.

odpoveď:

Príklad 11:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je teda prezentovaná v štandardnej forme Krok 1 preskočiť.

Krok 2.

Nájdeme diskriminačné:

Preto nebudeme môcť extrahovať koreň z diskriminantu. Neexistujú žiadne korene rovnice.

Teraz už vieme, ako si takéto odpovede správne zapísať.

odpoveď:Žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Ak si pamätáte, existuje typ rovníc, ktoré sa nazývajú redukované (keď sa koeficient a rovná):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica je a súčin koreňov je.

Príklad 12:

Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, od r ...

Súčet koreňov rovnice sa rovná, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

A produkt sa rovná:

Poďme zostaviť a vyriešiť systém:

• a Suma je rovnaká;
• a Suma je rovnaká;
• a Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

odpoveď: ; .

Príklad 13:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 14:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

odpoveď:

KVADRATICKÉ ROVNICE. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáma, sú nejaké čísla a.

Číslo sa nazýva najstarší resp prvý kurz kvadratická rovnica, - druhý koeficient, a - voľný člen.

prečo? Pretože ak, rovnica sa okamžite stane lineárnou, pretože zmiznúť.

Navyše a môže sa rovnať nule. V tejto stoličke sa rovnica nazýva neúplná. Ak sú všetky pojmy na mieste, to znamená, že rovnica je úplná.

Riešenie rôznych typov kvadratických rovníc

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc:

Na začiatok si rozoberme metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc – sú jednoduchšie.

Je možné rozlíšiť nasledujúce typy rovníc:

I., v tejto rovnici sú koeficient a priesečník rovnaké.

II. , v tejto rovnici je koeficient.

III. , v tejto rovnici je voľný člen.

Teraz sa pozrime na riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Druhé číslo nemôže byť záporné, pretože keď vynásobíte dve záporné alebo dve kladné čísla, výsledkom bude vždy kladné číslo. Takže:

ak, potom rovnica nemá riešenia;

ak, máme dva korene

Tieto vzorce sa netreba učiť naspamäť. Hlavná vec na zapamätanie je, že to nemôže byť menej.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na negatívne korene!

Druhá mocnina čísla nemôže byť záporná, čo znamená, že rovnica

žiadne korene.

Na stručné zaznamenanie, že problém nemá žiadne riešenia, použijeme ikonu prázdnej sady.

odpoveď:

Takže táto rovnica má dva korene: a.

odpoveď:

Vytiahnite spoločný faktor zo zátvoriek:

Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Takže táto kvadratická rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Faktorujte ľavú stranu rovnice a nájdite korene:

odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc:

1. Diskriminačný

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je jednoduché, hlavnou vecou je zapamätať si postupnosť akcií a niekoľko vzorcov. Pamätajte, že každá kvadratická rovnica môže byť vyriešená pomocou diskriminantu! Dokonca neúplné.

Všimli ste si koreň diskriminantu v koreňovom vzorci? Ale diskriminant môže byť negatívny. Čo robiť? Osobitnú pozornosť je potrebné venovať kroku 2. Diskriminant nám udáva počet koreňov rovnice.

• Ak, potom rovnica má koreň:
• Ak, potom má rovnica rovnaký koreň, ale v skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité korene.

• Ak, potom koreň diskriminantu nie je extrahovaný. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo existuje rôzny počet koreňov? Prejdime ku geometrickému významu kvadratickej rovnice. Funkčný graf je parabola:

V špeciálnom prípade, ktorým je kvadratická rovnica,. A to znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou x (os). Parabola nemusí vôbec pretínať os, alebo ju pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom vetvy paraboly smerujú nahor a ak - potom nadol.

Príklady:

Riešenia:

odpoveď:

Odpoveď: .

odpoveď:

Neexistujú teda žiadne riešenia.

Odpoveď: .

2. Vietova veta

Je veľmi jednoduché použiť Vietovu vetu: stačí si vybrať pár čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému členu rovnice a súčet je druhý koeficient s opačným znamienkom.

Je dôležité mať na pamäti, že Vietovu vetu možno použiť iba v redukované kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad č. 1:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, od r ... Iné koeficienty:; ...

Súčet koreňov rovnice je:

A produkt sa rovná:

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná, a skontrolujeme, či sa ich súčet rovná:

• a Suma je rovnaká;
• a Suma je rovnaká;
• a Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, a sú korene našej rovnice.

Odpoveď: ; ...

Príklad č. 2:

Riešenie:

Vyberme také dvojice čísel, ktoré dávajú súčin, a potom skontrolujte, či sa ich súčet rovná:

a: sčítať.

a: sčítať. Ak chcete získať, stačí zmeniť znaky údajných koreňov: a koniec koncov aj produkt.

odpoveď:

Príklad č. 3:

Riešenie:

Voľný člen rovnice je záporný, čo znamená, že súčin koreňov je záporné číslo. To je možné len vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Preto súčet koreňov je rozdiel ich modulov.

Vyberme také dvojice čísel, ktoré dávajú súčinu a ktorých rozdiel sa rovná:

a: ich rozdiel je rovnaký - nesedí;

a: - nesedí;

a: - nesedí;

a: - sedí. Zostáva len pripomenúť, že jeden z koreňov je negatívny. Keďže ich súčet sa musí rovnať, potom odmocnina najmenšej absolútnej hodnoty musí byť záporná:. Kontrolujeme:

odpoveď:

Príklad č. 4:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Voľný termín je záporný, čo znamená, že súčin koreňov je záporný. A to je možné len vtedy, keď je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná, a potom určme, ktoré korene by mali mať záporné znamienko:

Je zrejmé, že iba korene a sú vhodné pre prvý stav:

odpoveď:

Príklad č. 5:

Vyriešte rovnicu.

Riešenie:

Rovnica je redukovaná, čo znamená:

Súčet koreňov je záporný, čo znamená, že aspoň jeden z koreňov je záporný. Ale keďže ich produkt je pozitívny, potom sú oba korene so znamienkom mínus.

Vyberme také dvojice čísel, ktorých súčin sa rovná:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

odpoveď:

Priznajte sa, že je veľmi vhodné prísť s koreňmi ústne, namiesto počítania tohto škaredého diskriminátora. Pokúste sa čo najčastejšie používať Vietovu vetu.

Ale Vietin teorém je potrebný na uľahčenie a urýchlenie hľadania koreňov. Ak chcete, aby bolo pre vás jeho používanie rentabilné, musíte akcie zautomatizovať. A preto sa rozhodnite pre ďalších päť príkladov. Ale nepodvádzajte: nemôžete použiť diskriminant! Iba Vietova veta:

Riešenia úloh pre samostatnú prácu:

Úloha 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle, výber začíname kúskom:

Nevhodné, pretože množstvo;

: množstvo je to, čo potrebujete.

Odpoveď: ; ...

Úloha 2.

A opäť naša obľúbená Vietova veta: súčet by mal vyjsť, ale súčin sa rovná.

Ale keďže by to nemalo byť, ale, meníme znamienka koreňov: a (v súčte).

Odpoveď: ; ...

Úloha 3.

Hmm... kde to je?

Je potrebné preniesť všetky pojmy do jednej časti:

Súčet koreňov sa rovná súčinu.

Tak prestaň! Rovnica nie je daná. Ale Vietov teorém je použiteľný iba vo vyššie uvedených rovniciach. Takže najprv musíte priniesť rovnicu. Ak to nevieš vychovať, zanechaj tento podnik a rieš to inak (napríklad cez diskriminant). Dovoľte mi pripomenúť, že uviesť kvadratickú rovnicu znamená, že vedúci koeficient bude rovný:

Dobre. Potom sa súčet koreňov rovná a súčin.

Tu je ľahké vyzdvihnúť: predsa - prvočíslo (prepáčte za tautológiu).

Odpoveď: ; ...

Úloha 4.

Voľný termín je záporný. Čo je na ňom také zvláštne? A skutočnosť, že korene budú rôznych znamení. A teraz, pri výbere, nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel ich modulov: tento rozdiel je rovnaký, ale súčin.

Korene sú teda rovnaké a, ale jeden z nich je s mínusom. Vietova veta nám hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, tzn. To znamená, že menší koreň bude mať mínus: a od.

Odpoveď: ; ...

Úloha 5.

Čo treba urobiť ako prvé? Správne, uveďte rovnicu:

Opäť: vyberieme faktory čísla a ich rozdiel by sa mal rovnať:

Korene sú rovnaké a, ale jeden z nich je s mínusom. ktoré? Ich súčet sa musí rovnať, čo znamená, že s mínusom bude väčší koreň.

Odpoveď: ; ...

Zhrnúť:

1. Vietova veta sa používa iba v daných kvadratických rovniciach.
2. Pomocou Vietovej vety môžete nájsť korene výberom, ústne.
3. Ak rovnica nie je daná alebo neexistuje jediný vhodný pár voľných násobiteľov, potom neexistujú celé korene a je potrebné riešiť iným spôsobom (napríklad cez diskriminant).

3. Spôsob výberu úplného štvorca

Ak sú všetky členy obsahujúce neznámu reprezentované vo forme členov zo skrátených vzorcov násobenia - štvorca súčtu alebo rozdielu - potom po zmene premenných môže byť rovnica reprezentovaná ako neúplná kvadratická rovnica typu.

Napríklad:

Príklad 1:

Vyriešte rovnicu:.

Riešenie:

odpoveď:

Príklad 2:

Vyriešte rovnicu:.

Riešenie:

odpoveď:

Vo všeobecnosti bude transformácia vyzerať takto:

To znamená: .

Nevyzerá to na nič? Toto je diskriminácia! Správne, dostali sme diskriminačný vzorec.

KVADRATICKÉ ROVNICE. STRUČNE O HLAVNOM

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde je neznáma, sú koeficienty kvadratickej rovnice, je voľný člen.

Úplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficienty nerovnajú nule.

Redukovaná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej je koeficient, teda:.

Neúplná kvadratická rovnica- rovnica, v ktorej sa koeficient alebo voľný člen c rovnajú nule:

• ak koeficient, rovnica má tvar:,
• ak je voľný člen, rovnica má tvar:,
• ak a, rovnica má tvar:.

1. Algoritmus riešenia neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrime neznáme:,

2) Skontrolujte znamienko výrazu:

• ak, potom rovnica nemá riešenia,
• ak, tak rovnica má dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vytiahnite spoločný faktor zo zátvoriek:,

2) Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto má rovnica dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy len jeden koreň:.

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc v tvare kde

2.1. Rozhodnutie s použitím diskriminantu

1) Zredukujeme rovnicu na štandardný tvar:,

2) Diskriminant vypočítame podľa vzorca:, ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak, potom rovnica má korene, ktoré sa nachádzajú podľa vzorca:
• ak, potom rovnica má koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou Vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnice tvaru, kde) sa rovná a súčin koreňov sa rovná, t.j. , a.

2.3. Úplné štvorcové riešenie

Vidiecka stredná škola Kopyevskaya

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Galina Anatolyevna Patrikeyeva,

učiteľ matematiky

dedina Kopyevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

1.2 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice od al-Khorezmiho

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Záver

Literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starovekom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa už v staroveku bola vyvolaná potrebou riešenia problémov spojených s hľadaním oblastí zemských a zemných prác vojenského charakteru, ako aj s rozvojom astronómie, resp. samotnú matematiku. Okolo roku 2000 pred Kristom dokázali vyriešiť kvadratické rovnice. e. Babylončania.

Ak použijeme modernú algebraickú notáciu, môžeme povedať, že v ich klinopisných textoch sú okrem neúplných aj napríklad úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravidlo riešenia týchto rovníc uvedené v babylonských textoch sa v podstate zhoduje s tým moderným, ale nie je známe, ako sa Babylončania k tomuto pravidlu dostali. Takmer všetky doteraz nájdené klinové texty dávajú problémy len s riešeniami uvedenými vo forme receptov, bez návodu, ako sa našli.

Napriek vysokému stupňu rozvoja algebry v Babylone chýba v klinopisných textoch koncept záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus zostavoval a riešil kvadratické rovnice.

V „Aritmetike“ Diophantusa nie je systematická prezentácia algebry, ale obsahuje systematizovaný rad problémov sprevádzaných vysvetleniami a riešených zostavovaním rovníc rôznych stupňov.

Pri zostavovaní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby zjednodušil riešenie.

Tu je napríklad jedna z jeho úloh.

Problém 11."Nájdi dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a súčin je 96"

Diophantus argumentuje nasledovne: z výroku o úlohe vyplýva, že hľadané čísla sa nerovnajú, pretože ak by boli rovnaké, ich súčin by sa nerovnal 96, ale 100. Jedno z nich teda bude viac ako polovica ich súčtu, tj... 10 + x, druhý je menej, t.j. 10 - x... Rozdiel medzi nimi 2x .

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 – 4 = 0 (1)

Odtiaľ x = 2... Jedným z požadovaných čísel je 12 , iné 8 ... Riešenie x = -2 lebo Diophantus neexistuje, keďže grécka matematika poznala len kladné čísla.

Ak vyriešime tento problém a vyberieme jedno z požadovaných čísel ako neznáme, dostaneme sa k riešeniu rovnice

y (20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

Je jasné, že výberom polovičného rozdielu hľadaných čísel ako neznámeho Diophantus riešenie zjednodušuje; podarí sa mu problém zredukovať na riešenie neúplnej kvadratickej rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

S problémami pre kvadratické rovnice sa už stretávame v astronomickom trakte „Aryabhattiam“, ktorý v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Aryabhatta. Ďalší indický učenec, Brahmagupta (VII. storočie), načrtol všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc, zredukované na jedinú kanonickú formu:

ach 2 + b x = c, a> 0. (1)

V rovnici (1) sú koeficienty okrem a, môže byť negatívny. Pravidlo Brahmagupta je v podstate rovnaké ako naše.

V starovekej Indii bola verejná súťaž v riešení zložitých problémov bežná. Jedna zo starých indických kníh o takýchto súťažiach hovorí toto: „Ako slnko zatieňuje hviezdy svojou žiarou, tak učený človek zatmí slávu iného v populárnych zhromaždeniach, navrhujúc a riešiť algebraické problémy.“ Úlohy mali často poetickú podobu.

Tu je jedna z úloh slávneho indického matematika XII. Bhaskaras.

Problém 13.

„Nebezpečný kŕdeľ opíc a dvanásť nad viničom...

Po zjedení sily sa bavte. Začali skákať, visieť ...

V štvorci je ich ôsma časť Koľko tam bolo opíc,

Zabával som sa na čistinke. Povieš mi, v tomto balíku?"

Bhaskarovo riešenie naznačuje, že vedel o dvojhodnotových koreňoch kvadratických rovníc (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara pod rúškom píše:

x 2 - 64x = -768

a na doplnenie ľavej strany tejto rovnice na štvorec sčítaním oboch strán 32 2 , potom dostanete:

x 2 – 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratické rovnice pre al - Khorezmi

V algebraickom pojednaní al - Khorezmi je uvedená klasifikácia lineárnych a kvadratických rovníc. Autor počíta 6 typov rovníc a vyjadruje ich takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t.j. ax 2 + c = b X.

2) „Štvorce sa rovnajú číslu“, t.j. ax 2 = c.

3) "Korene sa rovnajú číslu", t.j. ah = c.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú odmocninám“, tzn ax 2 + c = b X.

5) „Štvorce a odmocniny sa rovnajú číslu“, t.j. ach 2 + bx = s.

6) „Odmocniny a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx + c = ax 2.

Pre al - Khorezmiho, ktorý sa vyhýbal používaniu záporných čísel, sú členy každej z týchto rovníc súčtom, nie odčítaním. V tomto prípade sa určite neberú do úvahy rovnice, ktoré nemajú kladné riešenia. Autor načrtáva spôsoby riešenia týchto rovníc pomocou techník al - jabr a al - muqabal. Jeho rozhodnutie sa, samozrejme, úplne nezhoduje s naším. Okrem toho, že je to čisto rétorické, treba si napríklad uvedomiť, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého typu

al - Khorezmi, ako všetci matematici do 17. storočia, neberie do úvahy nulové riešenie, zrejme preto, že v konkrétnych praktických problémoch na ňom nezáleží. Pri riešení úplných kvadratických rovníc al - Khorezmi pomocou konkrétnych numerických príkladov stanovuje pravidlá riešenia a potom geometrické dôkazy.

Problém 14.„Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 odmocninám. Nájdite koreň " (implikuje koreň rovnice x 2 + 21 = 10x).

Autorské riešenie znie asi takto: vydeľte počet koreňov na polovicu, dostanete 5, vynásobte 5 samým sebou, odčítajte 21 od súčinu, budú 4. Vytiahnite odmocninu zo 4, dostanete 2. Odčítajte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 k 5, čo dáva 7, to je tiež koreň.

Pojednanie al - Khorezmi je prvou knihou, ktorá sa k nám dostala, v ktorej je systematicky prezentovaná klasifikácia kvadratických rovníc a uvedené vzorce na ich riešenie.

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - Xvii cc

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc na modeli al - Khorezmi v Európe boli prvýkrát predstavené v „Knihe počítadla“, ktorú v roku 1202 napísal taliansky matematik Leonardo Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky v krajinách islamu aj v starovekom Grécku, sa vyznačuje úplnosťou a jasnosťou prezentácie. Autor nezávisle vyvinul niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe pristúpil k zavedeniu záporných čísel. Jeho kniha prispela k šíreniu algebraických poznatkov nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnohé problémy z „Knihy počítadla“ sa preniesli takmer do všetkých európskych učebníc 16. – 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukované na jednu kanonickú formu:

x 2 + bx = s,

so všetkými možnými kombináciami kurzových znakov b , S sformuloval v Európe až v roku 1544 M. Stiefel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice vo všeobecnom tvare je dostupné vo Viet, Viet však rozpoznal iba kladné korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli boli medzi prvými v 16. storočí. Zvážte okrem pozitívnych aj negatívne korene. Až v 17. storočí. Vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov dostáva metóda riešenia kvadratických rovníc modernú podobu.

1.6 O Vietovej vete

Vetu vyjadrujúcu vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi s názvom Vieta prvýkrát sformuloval v roku 1591 takto: „Ak B + D vynásobeny A - A 2 , rovná sa BD, potom A rovná sa V a rovní D ».

Aby sme porozumeli Viete, mali by sme si to pamätať A, ako každá samohláska, pre neho znamenalo neznáme (náš X), samohlásky V, D- koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry vyššie uvedená formulácia Vieta znamená: ak

(a + b ) x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc všeobecnými vzorcami napísanými pomocou symbolov Viet zaviedol jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Viety má však k modernej podobe ešte ďaleko. Nepoznal záporné čísla, a preto pri riešení rovníc zvažoval iba prípady, keď sú všetky odmocniny kladné.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva veľkolepá stavba algebry. Kvadratické rovnice sú široko používané pri riešení goniometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovníc. Všetci vieme, ako riešiť kvadratické rovnice od školy (8. ročník), až po maturitu.

S týmto matematickým programom môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale zobrazuje aj proces riešenia dvoma spôsobmi:
- pomocou diskriminantu
- pomocou Vietovej vety (ak je to možné).

Okrem toho sa odpoveď zobrazuje presná, nie približná.
Napríklad pre rovnicu \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) sa odpoveď zobrazí v tomto tvare:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ a nie takto: \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Tento program môže byť užitočný pre študentov vyšších ročníkov stredných škôl pri príprave na testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred skúškou, pre rodičov pri ovládaní riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať domácu úlohu z matematiky či algebry hotovú čo najrýchlejšie? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s detailným riešením.

Môžete tak viesť vlastnú výučbu a/alebo výučbu svojich mladších súrodencov, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešených problémov.

Ak nepoznáte pravidlá zadávania štvorcového polynómu, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie štvorcového polynómu

Ako premennú možno použiť akékoľvek latinské písmeno.
Napríklad: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) atď.

Čísla je možné zadať ako celé alebo zlomkové čísla.
Okrem toho je možné zadávať zlomkové čísla nielen vo forme desatinných miest, ale aj vo forme obyčajného zlomku.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch možno zlomkovú časť od celku oddeliť buď bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné zlomky takto: 2,5x – 3,5x ^ 2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku možno použiť iba celé číslo.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znakom: /
Celá časť je oddelená od zlomku ampersandom: &
Vstup: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Výsledok: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Pri zadávaní výrazu možno použiť zátvorky... V tomto prípade sa pri riešení kvadratickej rovnice najskôr zjednoduší zavedený výraz.
Napríklad: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Rozhodnite sa

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša požiadavka je vo fronte.
Po niekoľkých sekundách sa riešenie zobrazí nižšie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v rozhodnutí, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš a čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Kvadratická rovnica a jej korene. Neúplné kvadratické rovnice

Každá z rovníc
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
má formu
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
kde x je premenná, a, b a c sú čísla.
V prvej rovnici a = -1, b = 6 a c = 1,4, v druhej a = 8, b = -7 a c = 0, v tretej a = 1, b = 0 a c = 4/9. Takéto rovnice sa nazývajú kvadratické rovnice.

Definícia.
Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \ (a \ neq 0 \).

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice. Číslo a sa nazýva prvý koeficient, číslo b - druhý koeficient a číslo c - voľný člen.

V každej z rovníc tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde \ (a \ neq 0 \), je najväčšia mocnina premennej x druhá mocnina. Odtiaľ názov: kvadratická rovnica.

Všimnite si, že kvadratická rovnica sa tiež nazýva rovnica druhého stupňa, pretože jej ľavá strana je polynómom druhého stupňa.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej koeficient v x 2 je 1 redukovaná kvadratická rovnica... Napríklad redukované kvadratické rovnice sú rovnice
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Ak v kvadratickej rovnici ax 2 + bx + c = 0 je aspoň jeden z koeficientov b alebo c rovný nule, potom sa takáto rovnica nazýva neúplná kvadratická rovnica... Takže rovnice -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 sú neúplné kvadratické rovnice. V prvom z nich b = 0, v druhom c = 0, v treťom b = 0 a c = 0.

Neúplné kvadratické rovnice sú troch typov:
1) ax 2 + c = 0, kde \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, kde \ (b \ neq 0 \);
3) os 2 = 0.

Uvažujme o riešení rovníc každého z týchto typov.

Ak chcete vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0 pre \ (c \ neq 0 \), preneste jej voľný člen na pravú stranu a vydeľte obe strany rovnice a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Šípka doprava x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Pretože \ (c \ neq 0 \), potom \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Ak \ (- \ frac (c) (a) > 0 \), potom má rovnica dva korene.

Ak \ (- \ frac (c) (a) Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice tvaru ax 2 + bx = 0 s \ (b \ neq 0 \) vynásobte jej ľavú stranu do faktorov a získajte rovnicu
\ (x (ax + b) = 0 \ Šípka vpravo \ vľavo \ (\ začiatok (pole) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ koniec (pole) \ vpravo. \ Šípka vpravo \ vľavo \ (\ začiatok (pole) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ koniec (pole) \ vpravo. \)

To znamená, že neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 + bx = 0 pre \ (b \ neq 0 \) má vždy dva korene.

Neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, a preto má jedinečný koreň 0.

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Uvažujme teraz, ako sa riešia kvadratické rovnice, v ktorých sú koeficienty neznámych aj voľný člen nenulové.

Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu vo všeobecnom tvare a ako výsledok dostaneme vzorec pre korene. Potom sa tento vzorec môže použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vyriešte kvadratickú rovnicu ax 2 + bx + c = 0

Vydelením oboch jej častí a získame ekvivalentnú redukovanú kvadratickú rovnicu
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Túto rovnicu transformujeme výberom štvorca binomu:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ vľavo (\ frac (b) (2a) \ vpravo) ^ 2- \ vľavo (\ frac (b) (2a) \ vpravo) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ šípka doprava \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ vľavo (\ frac (b) (2a) \ vpravo) ^ 2 = \ vľavo (\ frac (b) (2a) \ vpravo) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ šípka doprava \) \ (\ vľavo (x + \ frac (b) (2a) \ vpravo) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Šípka doprava \ doľava (x + \ frac (b) (2a) \ doprava) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Šípka doprava \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Šípka doprava x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ šípka doprava \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Radikálny výraz je tzv diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 + bx + c = 0 (latinsky „diskriminant“ je diskriminátor). Označuje sa písmenom D, t.j.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Teraz pomocou zápisu diskriminantu prepíšeme vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), kde \ (D = b ^ 2-4ac \)

Je zrejmé, že:
1) Ak D> 0, potom má kvadratická rovnica dva korene.
2) Ak D = 0, potom má kvadratická rovnica jeden koreň \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Ak D Teda v závislosti od hodnoty diskriminantu môže mať kvadratická rovnica dva korene (pre D> 0), jeden koreň (pre D = 0) alebo nemôže mať korene (pre D Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca, je vhodné postupovať takto:
1) vypočítajte diskriminant a porovnajte ho s nulou;
2) ak je diskriminant kladný alebo rovný nule, potom použite koreňový vzorec, ak je diskriminant záporný, napíšte, že neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Daná kvadratická rovnica ax 2 -7x + 10 = 0 má korene 2 a 5. Súčet koreňov je 7 a súčin je 10. Vidíme, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu prijatému s opačným znak a súčin koreňov sa rovná voľnému termínu. Každá daná kvadratická rovnica s koreňmi má túto vlastnosť.

Súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Tie. Vietova veta hovorí, že korene x 1 a x 2 redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + px + q = 0 majú vlastnosť:
\ (\ vľavo \ (\ začiatok (pole) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ koniec (pole) \ vpravo. \)

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič ťažké. Schopnosť ich vyriešiť je absolútne nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno podmienečne rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Mať presne jeden koreň;
3. Majú dva odlišné korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako zistíte, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom práve číslo D = b 2 - 4ac.

Tento vzorec musíte vedieť naspamäť. Odkiaľ pochádza - na tom teraz nezáleží. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D> 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako sa z nejakého dôvodu mnohí domnievajú. Pozrite sa na príklady - a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Zapíšme si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdime diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Ostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminant je nula - bude jeden koreň.

Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to nudné - ale nebudete si miešať koeficienty a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po vyriešení 50-70 rovníc - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Kvadratické odmocniny

Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť podľa vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D> 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Nájdi ich

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo)) = 3. \\ \ koniec (zarovnanie) \]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Je možné použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri nahrádzaní záporných koeficientov vo vzorci. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, popíšte každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že jeden z výrazov v týchto rovniciach chýba. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani počítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnicu ax 2 + bx + c = 0 nazývame neúplnou kvadratickou rovnicou, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient pri premennej x alebo voľnom prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.

Pozrime sa na ostatné prípady. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0. Poďme si to trochu transformovať:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c / a) ≥ 0. Záver:

1. Ak v neúplnej kvadratickej rovnici v tvare ax 2 + c = 0 platí nerovnosť (−c / a) ≥ 0, budú korene dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (−c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný - v neúplných kvadratických rovniciach nie sú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo stojí na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Stačí vylúčiť polynóm:

Bracketing spoločný faktor

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Odtiaľto sú korene. Na záver analyzujeme niekoľko takýchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, tk. štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

V modernej spoločnosti môže byť schopnosť vykonávať akcie s rovnicami obsahujúcimi premennú druhú mocninu užitočná v mnohých oblastiach činnosti a je široko používaná v praxi vo vedeckom a technickom rozvoji. Svedčí o tom dizajn námorných a riečnych plavidiel, lietadiel a rakiet. Pomocou takýchto výpočtov sa určujú trajektórie pohybu rôznych telies vrátane vesmírnych objektov. Príklady s riešením kvadratických rovníc sa využívajú nielen v ekonomických prognózach, pri projektovaní a výstavbe budov, ale aj v najbežnejších každodenných podmienkach. Môžu byť potrebné pri kempovaní, na športových podujatiach, v obchodoch pri nakupovaní a v iných veľmi bežných situáciách.

Rozložme výraz na jednotlivé faktory

Stupeň rovnice je určený maximálnou hodnotou stupňa premennej, ktorú daný výraz obsahuje. Ak sa rovná 2, potom sa takáto rovnica nazýva štvorec.

Ak použijeme jazyk vzorcov, potom tieto výrazy, bez ohľadu na to, ako vyzerajú, sa dajú vždy zredukovať do tvaru, keď ľavú stranu výrazu tvoria tri výrazy. Medzi nimi: ax 2 (to znamená premenná na druhú so svojím koeficientom), bx (neznáma bez druhej mocniny s koeficientom) a c (voľná zložka, teda obyčajné číslo). To všetko na pravej strane sa rovná 0. V prípade, že v podobnom polynóme chýba jeden z členov, s výnimkou osi 2, nazýva sa to neúplná kvadratická rovnica. Najprv by sa mali zvážiť príklady s riešením takýchto problémov, v ktorých je ľahké nájsť hodnotu premenných.

Ak výraz vyzerá tak, že na pravej strane výrazu sú dva členy, presnejšie ax 2 a bx, najjednoduchšie je nájsť x umiestnením premennej mimo zátvorky. Teraz bude naša rovnica vyzerať takto: x (ax + b). Ďalej je zrejmé, že buď x = 0, alebo je problém zredukovaný na nájdenie premennej z nasledujúceho výrazu: ax + b = 0. Je to dané jednou z vlastností násobenia. Pravidlom je, že súčin dvoch faktorov má za následok 0 len vtedy, ak sa jeden z nich rovná nule.

Príklad

x = 0 alebo 8x - 3 = 0

Výsledkom je, že dostaneme dva korene rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohto druhu môžu opísať pohyb telies pôsobením gravitácie, ktoré sa začali pohybovať od určitého bodu braného ako počiatok. Tu má matematický zápis nasledujúci tvar: y = v 0 t + gt 2/2. Nahradením potrebných hodnôt, prirovnaním pravej strany k 0 a nájdením možných neznámych môžete zistiť čas, ktorý uplynie od okamihu, keď sa telo zdvihne do okamihu, keď klesne, ako aj mnohé ďalšie veličiny. Ale o tom si povieme neskôr.

Faktorizácia výrazu

Vyššie popísané pravidlo umožňuje riešiť tieto problémy v zložitejších prípadoch. Uvažujme príklady s riešením kvadratických rovníc tohto typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Táto štvorcová trojčlenka je dokončená. Najprv transformujme výraz a rozložme ho. Sú dva z nich: (x-8) a (x-25) = 0. V dôsledku toho máme dva korene 8 a 25.

Príklady s riešením kvadratických rovníc v 9. ročníku umožňujú touto metódou nájsť premennú vo vyjadreniach nielen druhého, ale dokonca aj tretieho a štvrtého rádu.

Napríklad: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri rozklade pravej strany na faktory s premennou sú tri z nich, teda (x + 1), (x-3) a (x + 3).

V dôsledku toho je zrejmé, že táto rovnica má tri korene: -3; - jeden; 3.

Extrakcia druhej odmocniny

Ďalším prípadom neúplnej rovnice druhého rádu je výraz vyjadrený v reči písmen tak, že pravá strana je zostrojená zo zložiek ax 2 a c. Tu, aby sa získala hodnota premennej, sa voľný člen prenesie na pravú stranu a potom sa z oboch strán rovnosti extrahuje druhá odmocnina. Treba poznamenať, že v tomto prípade sú zvyčajne dva korene rovnice. Výnimkou sú len rovnosti, ktoré vôbec neobsahujú výraz c, kde sa premenná rovná nule, ako aj varianty výrazov, keď je pravá strana záporná. V druhom prípade neexistujú žiadne riešenia, pretože vyššie uvedené akcie nemožno vykonať s koreňmi. Mali by sa zvážiť príklady riešení kvadratických rovníc tohto typu.

V tomto prípade budú koreňmi rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet plochy pozemku

Potreba tohto druhu výpočtov sa objavila v staroveku, pretože rozvoj matematiky v mnohých ohľadoch v tých vzdialených časoch bol spôsobený potrebou určiť s najväčšou presnosťou oblasti a obvody pozemkov.

Príklady s riešením kvadratických rovníc, zostavené na základe problémov tohto druhu, by sme mali zvážiť.

Povedzme teda, že ide o obdĺžnikový pozemok, ktorého dĺžka je o 16 metrov väčšia ako šírka. Nájdite dĺžku, šírku a obvod pozemku, ak je známe, že jeho plocha je 612 m 2 .

Keď sa pustíme do práce, najprv si zostavme potrebnú rovnicu. Označme x šírku úseku, potom jeho dĺžka bude (x + 16). Z napísaného vyplýva, že oblasť je určená výrazom x (x + 16), čo je podľa podmienky našej úlohy 612. To znamená, že x (x + 16) = 612.

Riešenie úplných kvadratických rovníc, a tento výraz je práve to, nemožno urobiť rovnakým spôsobom. prečo? Hoci ľavá strana stále obsahuje dva faktory, súčin sa vôbec nerovná 0, takže tu platia iné metódy.

Diskriminačný

Najprv urobíme potrebné transformácie, potom bude vzhľad tohto výrazu vyzerať takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že sme dostali výraz vo forme zodpovedajúcej predtým naznačenej norme, kde a = 1, b = 16, c = -612.

Toto môže byť príklad riešenia kvadratických rovníc cez diskriminant. Tu sa vykonávajú potrebné výpočty podľa schémy: D = b 2 - 4ac. Táto pomocná veličina nielenže umožňuje nájsť požadované veličiny v rovnici druhého rádu, ale určuje aj počet možných možností. Ak D > 0, sú dve; pre D = 0 je jeden koreň. Ak D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreňoch a ich vzorci

V našom prípade je diskriminant: 256 - 4 (-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpoveď. Ak viete, k, riešenie kvadratických rovníc musí pokračovať pomocou nižšie uvedeného vzorca. Umožňuje vám vypočítať korene.

To znamená, že v prezentovanom prípade: x 1 = 18, x 2 = -34. Druhá možnosť v tejto dileme nemôže byť riešením, pretože rozmery pozemku nemožno merať v záporných hodnotách, takže x (čiže šírka pozemku) je 18 m. Odtiaľ vypočítame dĺžku: 18 + 16 = 34 a obvod 2 (34 + 18) = 104 (m2).

Príklady a úlohy

Pokračujeme v štúdiu kvadratických rovníc. Príklady a podrobné riešenie niekoľkých z nich budú uvedené nižšie.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Všetko prenesieme na ľavú stranu rovnosti, urobíme transformáciu, to znamená, že dostaneme tvar rovnice, ktorá sa zvyčajne nazýva štandardná, a prirovnáme ju k nule.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sčítaním podobných definujeme diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znamená, že naša rovnica bude mať dva korene. Vypočítajme ich podľa vyššie uvedeného vzorca, čo znamená, že prvý z nich sa bude rovnať 4/3 a druhý 1.

2) Teraz odhalíme hádanky iného druhu.

Poďme zistiť, či tu vôbec nejaké korene sú x 2 - 4x + 5 = 1? Aby sme dostali vyčerpávajúcu odpoveď, uveďme polynóm do vhodnej známej formy a vypočítajme diskriminant. V tomto príklade riešenie kvadratickej rovnice nie je potrebné, pretože podstata problému v tom vôbec nie je. V tomto prípade D = 16 - 20 = -4, čo znamená, že v skutočnosti neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Je vhodné riešiť kvadratické rovnice pomocou vyššie uvedených vzorcov a diskriminantu, keď sa z jeho hodnoty extrahuje druhá odmocnina. Ale nie vždy to tak je. V tomto prípade však existuje veľa spôsobov, ako získať hodnoty premenných. Príklad: riešenie kvadratických rovníc Vietovou vetou. Je pomenovaná po mužovi, ktorý žil vo Francúzsku v 16. storočí a vďaka svojmu matematickému talentu a konexiám na dvore urobil skvelú kariéru. Jeho portrét si môžete pozrieť v článku.

Vzor, ktorý si všimol slávny Francúz, bol nasledovný. Dokázal, že korene rovnice v súčte sa číselne rovnajú -p = b / a a ich súčin zodpovedá q = c / a.

Teraz sa pozrime na konkrétne úlohy.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pre jednoduchosť transformujme výraz:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Použijeme Vietovu vetu, to nám dá nasledovné: súčet koreňov je -7 a ich súčin je -18. Z toho dostaneme, že koreňmi rovnice sú čísla -9 a 2. Po vykonaní kontroly sa presvedčíme, že tieto hodnoty premenných skutočne zapadajú do výrazu.

Parabolový graf a rovnica

Pojmy kvadratická funkcia a kvadratické rovnice spolu úzko súvisia. Príklady toho už boli uvedené skôr. Teraz sa pozrime na niektoré matematické hádanky trochu podrobnejšie. Každá rovnica opísaného typu môže byť vizualizovaná. Takýto vzťah nakreslený vo forme grafu sa nazýva parabola. Jeho rôzne typy sú znázornené na obrázku nižšie.

Každá parabola má vrchol, teda bod, z ktorého vychádzajú jej vetvy. Ak a> 0, idú vysoko do nekonečna a keď a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuálne znázornenia funkcií pomáhajú riešiť akékoľvek rovnice, vrátane kvadratických. Táto metóda sa nazýva grafická. A hodnota premennej x je súradnica x v bodoch, kde sa čiara grafu pretína s 0x. Súradnice vrcholu sa dajú zistiť podľa práve uvedeného vzorca x 0 = -b / 2a. A dosadením výslednej hodnoty do pôvodnej rovnice funkcie môžete zistiť y 0, teda druhú súradnicu vrcholu paraboly, ktorá patrí k ordinátnej osi.

Priesečník vetiev paraboly s osou x

Existuje veľa príkladov s riešením kvadratických rovníc, ale existujú aj všeobecné vzorce. Zvážme ich. Je jasné, že priesečník grafu s osou 0x pre a> 0 je možný len vtedy, ak y 0 nadobúda záporné hodnoty. A pre a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Korene možno určiť aj z grafu paraboly. Opak je tiež pravdou. To znamená, že ak nie je ľahké získať vizuálny obraz kvadratickej funkcie, môžete prirovnať pravú stranu výrazu k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu. A ak poznáme priesečníky s osou 0x, je jednoduchšie zostaviť graf.

Z histórie

Pomocou rovníc obsahujúcich premennú na druhú, za starých čias robili nielen matematické výpočty a určovali plochy geometrických útvarov. Starovekí potrebovali takéto výpočty na veľkolepé objavy v oblasti fyziky a astronómie, ako aj na vytváranie astrologických predpovedí.

Ako predpokladajú moderní vedci, obyvatelia Babylonu boli medzi prvými, ktorí riešili kvadratické rovnice. Stalo sa to štyri storočia pred naším letopočtom. Samozrejme, ich výpočty sa zásadne líšili od tých, ktoré sú v súčasnosti akceptované a ukázali sa ako oveľa primitívnejšie. Mezopotámski matematici napríklad netušili o existencii záporných čísel. Nepoznali ani iné jemnosti od tých, ktoré pozná každý školák našej doby.

Možno ešte skôr ako vedci z Babylonu sa mudrc z Indie Baudhayama chopil riešenia kvadratických rovníc. Stalo sa to asi osem storočí pred príchodom Kristovej éry. Je pravda, že rovnice druhého rádu, metódy riešenia, ktoré dal, boli najjednoduchšie. Okrem neho sa o podobné otázky za starých čias zaujímali aj čínski matematici. V Európe sa kvadratické rovnice začali riešiť až začiatkom 13. storočia, no neskôr ich vo svojich prácach začali používať takí veľkí vedci ako Newton, Descartes a mnohí ďalší.

Návrat