Tabuľka základných vlastností elementárnych funkcií. Funkcie a grafy

1) Rozsah funkcií a rozsah funkcií.

Rozsah funkcie je množina všetkých platných platných hodnôt argumentu X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) definované. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt rže funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Nula funkcie je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly znamienkovej stálosti funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú také množiny hodnôt argumentov, na ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo iba záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v nejakom intervale) - funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšej hodnote funkcie.

5) Párne (nepárne) funkcie.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi y.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x . Ak také číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.

Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy

1. Lineárna funkcia.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná a b sú reálne čísla.

číslo a nazývaný sklon priamky, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.

Vlastnosti lineárnych funkcií

1. Doména definície - množina všetkých reálnych čísel: D (y) \u003d R

2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R

3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu pre alebo.

4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.

5. Lineárna funkcia je spojitá na celom definičnom obore, diferencovateľná a .

2. Kvadratická funkcia.

Nazýva sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický.

Vedomosti základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy nemenej dôležité ako poznať násobilku. Sú ako základ, všetko na nich stojí, všetko sa z nich stavia a všetko sa od nich odvíja.

V tomto článku uvádzame všetky hlavné elementárne funkcie, uvádzame ich grafy a uvádzame ich bez odvodzovania a dôkazov. vlastnosti základných elementárnych funkcií podľa schémy:

správanie sa funkcie na hraniciach definičného oboru, vertikálne asymptoty (v prípade potreby pozri článok klasifikácia bodov zlomu funkcie);
párne a nepárne;
konvexnosť (konvexnosť smerom nahor) a konkávnosť (konvexnosť smerom nadol) intervaly, inflexné body (v prípade potreby pozri článok funkcia konvexita, smer konvexnosti, inflexné body, podmienky konvexnosti a inflexie);
šikmé a horizontálne asymptoty;
singulárne body funkcií;
špeciálne vlastnosti niektorých funkcií (napríklad najmenšia kladná perióda pre goniometrické funkcie).

Ak máte záujem alebo, potom môžete prejsť na tieto časti teórie.

Základné elementárne funkcie sú: konštantná funkcia (konštanta), odmocnina n-tého stupňa, mocninná funkcia, exponenciálna, logaritmická funkcia, goniometrické a inverzné goniometrické funkcie.

Navigácia na stránke.

Trvalá funkcia.

Konštantná funkcia je daná na množine všetkých reálnych čísel vzorcom , kde C je nejaké reálne číslo. Konštantná funkcia priraďuje každej reálnej hodnote nezávislej premennej x rovnakú hodnotu závisle premennej y - hodnotu С. Konštantná funkcia sa tiež nazýva konštanta.

Graf konštantnej funkcie je priamka rovnobežná s osou x a prechádzajúca bodom so súradnicami (0,C) . Ukážme si napríklad grafy konštantných funkcií y=5 , y=-2 a , ktoré na obrázku nižšie zodpovedajú čiernej, červenej a modrej čiare.

Vlastnosti konštantnej funkcie.

Oblasť definície: celá množina reálnych čísel.
Konštantná funkcia je rovnomerná.
Rozsah hodnôt: množina pozostávajúca z jedného čísla C .
Konštantná funkcia je nerastúca a neklesajúca (preto je konštantná).
O konvexnosti a konkávnosti konštanty nemá zmysel hovoriť.
Neexistuje žiadna asymptota.
Funkcia prechádza bodom (0,C) súradnicovej roviny.

Koreň n-tého stupňa.

Uvažujme základnú elementárnu funkciu, ktorá je daná vzorcom , kde n je prirodzené číslo väčšie ako jedna.

Odmocnina n-tého stupňa, n je párne číslo.

Začnime s n-tou odmocninou funkciou pre párne hodnoty koreňového exponentu n .

Napríklad dávame obrázok s obrázkami grafov funkcií a , zodpovedajú čiernym, červeným a modrým čiaram.

Grafy funkcií koreňa párneho stupňa majú podobnú formu pre iné hodnoty ukazovateľa.

Vlastnosti koreňa n-tého stupňa pre párne n .

Odmocnina n-tého stupňa, n je nepárne číslo.

Odmocnina n-tého stupňa s nepárnym exponentom odmocniny n je definovaná na celej množine reálnych čísel. Napríklad uvádzame grafy funkcií a korešpondujú s nimi čierne, červené a modré krivky.

Pre ostatné nepárne hodnoty koreňového exponentu budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti koreňa n-tého stupňa pre nepárne n .

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia je daná vzorcom v tvare .

Zvážte typ grafov mocninnej funkcie a vlastnosti mocninnej funkcie v závislosti od hodnoty exponentu.

Začnime mocninnou funkciou s celočíselným exponentom a . V tomto prípade forma grafov mocninných funkcií a vlastnosti funkcií závisia od párneho alebo nepárneho exponentu, ako aj od jeho znamienka. Preto najprv uvažujeme mocninné funkcie pre nepárne kladné hodnoty exponentu a, potom pre párne kladné, potom pre nepárne záporné exponenty a nakoniec pre párne záporné a.

Vlastnosti mocninných funkcií so zlomkovými a iracionálnymi exponentmi (ako aj typ grafov takýchto mocninných funkcií) závisia od hodnoty exponentu a. Budeme ich uvažovať po prvé, keď a je od nuly do jedna, po druhé, keď a je väčšie ako jedna, po tretie, keď a je od mínus jedna do nuly, a po štvrté, keď a je menšie ako mínus jedna.

Na záver tohto pododdielu si pre úplnosť popíšeme mocninnú funkciu s nulovým exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s nepárnym kladným exponentom, teda s a=1,3,5,… .

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninových funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=1 máme lineárna funkcia y=x.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym kladným exponentom.

Uvažujme mocninnú funkciu s párnym kladným exponentom, teda pre a=2,4,6,… .

Ako príklad si zoberme grafy mocninných funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara. Pre a=2 máme kvadratickú funkciu, ktorej graf je kvadratická parabola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym kladným exponentom.

Mocninná funkcia s nepárnym záporným exponentom.

Pozrite sa na grafy exponenciálnej funkcie pre nepárne záporné hodnoty exponentu, to znamená pre \u003d -1, -3, -5, ....

Na obrázku sú príklady grafov exponenciálnych funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara, - zelená čiara. Pre a=-1 máme inverzná úmernosť, ktorej graf je hyperbola.

Vlastnosti mocninnej funkcie s nepárnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s párnym záporným exponentom.

Prejdime na mocninovú funkciu pri a=-2,-4,-6,….

Na obrázku sú znázornené grafy mocninných funkcií - čierna čiara, - modrá čiara, - červená čiara.

Vlastnosti mocninnej funkcie s párnym záporným exponentom.

Mocninná funkcia s racionálnym alebo iracionálnym exponentom, ktorej hodnota je väčšia ako nula a menšia ako jedna.

Poznámka! Ak a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, potom niektorí autori považujú interval za definičný obor mocninnej funkcie. Zároveň je stanovené, že exponent a je nezredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve takého názoru, to znamená, že za množinu budeme považovať oblasti mocninných funkcií s zlomkovými kladnými exponentmi. Odporúčame študentom, aby získali názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Uvažujme mocninnú funkciu s racionálnym alebo iracionálnym exponentom a, a.

Uvádzame grafy mocninných funkcií pre a=11/12 (čierna čiara), a=5/7 (červená čiara), (modrá čiara), a=2/5 (zelená čiara).

Mocninná funkcia s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom väčším ako jedna.

Uvažujme mocninnú funkciu s neceločíselným racionálnym alebo iracionálnym exponentom a , a .

Uveďme grafy mocninných funkcií dané vzorcami (čierne, červené, modré a zelené čiary).

Pre ostatné hodnoty exponentu a budú mať grafy funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti výkonovej funkcie pre .

Mocninná funkcia so skutočným exponentom väčším ako mínus jedna a menším ako nula.

Poznámka! Ak a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, niektorí autori berú do úvahy interval . Zároveň je stanovené, že exponent a je nezredukovateľný zlomok. Teraz autori mnohých učebníc o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Budeme sa držať práve takého pohľadu, teda za množinu mocninových funkcií budeme považovať množiny, resp. Odporúčame študentom, aby získali názor vášho učiteľa na tento jemný bod, aby sa predišlo nezhodám.

Prejdeme k mocninovej funkcii , kde .

Aby ste mali dobrú predstavu o type grafov mocninových funkcií pre , uvádzame príklady grafov funkcií (čierne, červené, modré a zelené krivky).

Vlastnosti mocninnej funkcie s exponentom a , .

Mocninná funkcia s neceločíselným reálnym exponentom, ktorý je menší ako mínus jedna.

Uveďme príklady grafov mocninových funkcií pre , sú zobrazené čiernou, červenou, modrou a zelenou čiarou.

Vlastnosti mocninnej funkcie s neceločíselným záporným exponentom menším ako mínus jedna.

Keď a=0 a máme funkciu - je to priamka, z ktorej je vylúčený bod (0; 1) (výraz 0 0 bol dohodnutý tak, že nepripisuje žiadnu dôležitosť).

Exponenciálna funkcia.

Jednou zo základných elementárnych funkcií je exponenciálna funkcia.

Graf exponenciálnej funkcie, kde a má rôznu podobu v závislosti od hodnoty bázy a. Poďme na to.

Najprv zvážte prípad, keď základ exponenciálnej funkcie nadobudne hodnotu od nuly do jednej, teda .

Napríklad uvádzame grafy exponenciálnej funkcie pre a = 1/2 - modrá čiara, a = 5/6 - červená čiara. Grafy exponenciálnej funkcie majú podobný vzhľad pre ostatné hodnoty základne z intervalu.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základňou menšou ako jedna.

Obrátime sa na prípad, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna, teda .

Pre ilustráciu uvádzame grafy exponenciálnych funkcií - modrá čiara a - červená čiara. Pre ostatné hodnoty základu, väčšie ako jedna, budú mať grafy exponenciálnej funkcie podobný vzhľad.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie so základom väčším ako jedna.

Logaritmická funkcia.

Ďalšou základnou elementárnou funkciou je logaritmická funkcia , kde , . Logaritmická funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu, teda pre .

Graf logaritmickej funkcie nadobúda rôznu podobu v závislosti od hodnoty bázy a.

Základné elementárne funkcie, ich inherentné vlastnosti a príslušné grafy sú jedným zo základov matematických znalostí, podobne ako násobilka. Elementárne funkcie sú základom, podporou pre štúdium všetkých teoretických otázok.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nižšie uvedený článok poskytuje kľúčový materiál na tému základných elementárnych funkcií. Zavedieme pojmy, dáme im definície; Pozrime sa podrobne na každý typ elementárnych funkcií a analyzujme ich vlastnosti.

Rozlišujú sa tieto typy základných elementárnych funkcií:

Definícia 1

konštantná funkcia (konštantná);
koreň n-tého stupňa;
výkonová funkcia;
exponenciálna funkcia;
logaritmická funkcia;
goniometrické funkcie;
bratské goniometrické funkcie.

Konštantná funkcia je definovaná vzorcom: y = C (C je nejaké reálne číslo) a má aj názov: konštanta. Táto funkcia zisťuje, či nejaká reálna hodnota nezávisle premennej x zodpovedá rovnakej hodnote premennej y – hodnote C .

Graf konštanty je priamka, ktorá je rovnobežná s osou x a prechádza bodom so súradnicami (0, C). Pre názornosť uvádzame grafy konštantných funkcií y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na výkrese označené čiernou, červenou a modrou farbou).

Definícia 2

Táto elementárna funkcia je definovaná vzorcom y = x n (n je prirodzené číslo väčšie ako jedna).

Uvažujme o dvoch variantoch funkcie.

Odmocnina n-tého stupňa, n je párne číslo

Pre prehľadnosť uvádzame výkres, ktorý zobrazuje grafy takýchto funkcií: y = x, y = x 4 a y = x 8. Tieto funkcie sú farebne odlíšené: čierna, červená a modrá.

Podobný pohľad na grafy funkcie párneho stupňa pre iné hodnoty ukazovateľa.

Definícia 3

Vlastnosti koreňa funkcie n-tého stupňa, n je párne číslo

definičný obor je množina všetkých nezáporných reálnych čísel [ 0 , + ∞) ;
keď x = 0, funkcia y = x n má hodnotu rovnú nule;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani párna, ani nepárna);
rozsah: [ 0 , + ∞) ;
táto funkcia y = x n s párnymi exponentmi odmocniny narastá v celom definičnom obore;
funkcia má konvexnosť so smerom nahor v celej oblasti definície;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
graf funkcie pre párne n prechádza bodmi (0 ; 0) a (1 ; 1) .

Odmocnina n-tého stupňa, n je nepárne číslo

Takáto funkcia je definovaná na celej množine reálnych čísel. Pre prehľadnosť zvážte grafy funkcií y = x 3, y = x 5 a x 9. Na výkrese sú označené farbami: čierna, červená a modrá farba kriviek, resp.

Ostatné nepárne hodnoty exponentu koreňa funkcie y = x n poskytnú graf podobného tvaru.

Definícia 4

Vlastnosti koreňa funkcie n-tého stupňa, n je nepárne číslo

definičný obor je množina všetkých reálnych čísel;
táto funkcia je nepárna;
rozsah hodnôt je množina všetkých reálnych čísel;
funkcia y = x n s nepárnymi exponentmi odmocniny narastá v celom definičnom obore;
funkcia má konkávnosť na intervale (- ∞ ; 0 ] a konvexnosť na intervale [ 0 , + ∞) ;
inflexný bod má súradnice (0 ; 0) ;
nie sú žiadne asymptoty;
graf funkcie pre nepárne n prechádza bodmi (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) a (1 ; 1) .

Funkcia napájania

Definícia 5

Mocninná funkcia je definovaná vzorcom y = x a .

Typ grafov a vlastnosti funkcie závisia od hodnoty exponentu.

keď má mocninová funkcia celočíselný exponent a, potom tvar grafu mocninnej funkcie a jej vlastnosti závisia od toho, či je exponent párny alebo nepárny, a tiež aké znamienko má exponent. Uvažujme o všetkých týchto špeciálnych prípadoch podrobnejšie nižšie;
exponent môže byť zlomkový alebo iracionálny - v závislosti od toho sa líši aj typ grafov a vlastnosti funkcie. Budeme analyzovať špeciálne prípady nastavením niekoľkých podmienok: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
mocninná funkcia môže mať nulový exponent, aj tento prípad rozoberieme podrobnejšie nižšie.

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď a je nepárne kladné číslo, napríklad a = 1 , 3 , 5 …

Pre názornosť uvádzame grafy takýchto mocninových funkcií: y = x (čierna farba grafu), y = x 3 (modrá farba tabuľky), y = x 5 (červená farba grafu), y = x 7 (zelený graf). Keď a = 1, dostaneme lineárnu funkciu y = x.

Definícia 6

Vlastnosti mocninnej funkcie, keď je exponent nepárny kladný

funkcia je rastúca pre x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcia je konvexná pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] a konkávna pre x ∈ [ 0 ; + ∞) (okrem lineárnej funkcie);
inflexný bod má súradnice (0 ; 0) (okrem lineárnej funkcie);
nie sú žiadne asymptoty;
body prechodu funkcie: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0), (1 ; 1) .

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď a je párne kladné číslo, napríklad a = 2 , 4 , 6 ...

Pre prehľadnosť uvádzame grafy takýchto výkonových funkcií: y \u003d x 2 (čierna farba grafu), y = x 4 (modrá farba grafu), y = x 8 (červená farba grafu). Keď a = 2, dostaneme kvadratickú funkciu, ktorej grafom je kvadratická parabola.

Definícia 7

Vlastnosti mocninovej funkcie, keď je exponent dokonca kladný:

doména definície: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
klesajúce pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcia je konkávna pre x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
body prechodu funkcie: (- 1 ; 1) , (0 ; 0), (1 ; 1) .

Obrázok nižšie ukazuje príklady grafov exponenciálnych funkcií y = x a, keď a je nepárne záporné číslo: y = x - 9 (čierna farba grafu); y = x - 5 (modrá farba grafu); y = x - 3 (červená farba grafu); y = x - 1 (zelený graf). Keď a \u003d - 1, dostaneme inverznú úmernosť, ktorej graf je hyperbola.

Definícia 8

Vlastnosti mocninovej funkcie, keď je exponent nepárny záporný:

Keď x \u003d 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, pretože lim x → 0 - 0 xa \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ pre \u003d - 1, - 3, - 5, .... Teda priamka x = 0 je vertikálna asymptota;

rozsah: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcia je nepárna, pretože y (- x) = - y (x) ;
funkcia je klesajúca pre x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞);
funkcia je konvexná pre x ∈ (- ∞ ; 0) a konkávna pre x ∈ (0 ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, keď a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

body prechodu funkcie: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Obrázok nižšie ukazuje príklady grafov mocninných funkcií y = x a, keď a je párne záporné číslo: y = x - 8 (graf v čiernej farbe); y = x - 4 (modrá farba grafu); y = x - 2 (červená farba grafu).

Definícia 9

Vlastnosti mocninnej funkcie, keď je exponent dokonca záporný:

doména definície: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Keď x \u003d 0, dostaneme diskontinuitu druhého druhu, pretože lim x → 0 - 0 xa \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 xa \u003d + ∞ pre \u003d - 2, - 4, - 6, .... Teda priamka x = 0 je vertikálna asymptota;

funkcia je párna, pretože y (- x) = y (x) ;
funkcia je rastúca pre x ∈ (- ∞ ; 0) a klesajúca pre x ∈ 0 ; +∞;
funkcia je konkávna pre x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota je priamka y = 0, pretože:

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, keď a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

body prechodu funkcie: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Hneď na začiatku dbajte na nasledovné hľadisko: v prípade, že a je kladný zlomok s nepárnym menovateľom, niektorí autori berú ako definičný obor tejto mocninnej funkcie interval - ∞; + ∞ , pričom exponent a je neredukovateľný zlomok. V súčasnosti autori mnohých vzdelávacích publikácií o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie, kde exponent je zlomok s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Ďalej sa budeme držať práve takejto polohy: vezmeme množinu [ 0 ; +∞). Odporúčanie pre žiakov: zistite si v tomto bode názor učiteľa, aby ste predišli nezhodám.

Poďme sa teda pozrieť na funkciu napájania y = x a, keď je exponentom racionálne alebo iracionálne číslo za predpokladu, že je 0< a < 1 .

Znázornime si pomocou grafov mocninné funkcie y = x a, keď a = 11 12 (graf v čiernej farbe); a = 5 7 (červená farba grafu); a = 1 3 (modrá farba grafu); a = 2 5 (zelená farba grafu).

Ostatné hodnoty exponentu a (za predpokladu 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definícia 10

Vlastnosti mocninovej funkcie pri 0< a < 1:

rozsah: y ∈ [ 0 ; +∞);
funkcia je rastúca pre x ∈ [ 0 ; +∞);
funkcia má konvexnosť pre x ∈ (0 ; + ∞) ;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;

Poďme analyzovať výkonovú funkciu y = x a, keď exponent je necelé racionálne alebo iracionálne číslo za predpokladu, že a > 1 .

Znázorníme grafy mocninnej funkcie y = xa za daných podmienok na príklade takých funkcií: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (čierna, červená, modrá, zelená farba grafov, resp.) .

Ostatné hodnoty exponentu a pod podmienkou a > 1 poskytnú podobný pohľad na graf.

Definícia 11

Vlastnosti mocninovej funkcie pre a > 1:

doména definície: x ∈ [ 0 ; +∞);
rozsah: y ∈ [ 0 ; +∞);
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
funkcia je rastúca pre x ∈ [ 0 ; +∞);
funkcia je konkávna pre x ∈ (0 ; + ∞) (keď 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
body prechodu funkcie: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Upozorňujeme, že keď a je záporný zlomok s nepárnym menovateľom, v prácach niektorých autorov existuje názor, že doménou definície je v tomto prípade interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) s podmienkou, že exponent a je neredukovateľný zlomok. V súčasnosti autori vzdelávacích materiálov o algebre a začiatkoch analýzy NEDEFINUJÚ mocninné funkcie s exponentom vo forme zlomku s nepárnym menovateľom pre záporné hodnoty argumentu. Ďalej sa držíme práve takého názoru: množinu (0 ; + ∞) berieme ako doménu mocninných funkcií so zlomkovými zápornými exponentmi. Návrh pre študentov: V tomto bode objasnite víziu svojho učiteľa, aby ste sa vyhli nezhodám.

Pokračujeme v téme a analyzujeme mocenskú funkciu y = x a za predpokladu: - 1< a < 0 .

Tu je nákres grafov nasledujúcich funkcií: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (čierne, červené, modré, zelené čiary, resp. ).

Definícia 12

Vlastnosti výkonovej funkcie pri - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ keď - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rozsah: y ∈ 0 ; +∞;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
neexistujú žiadne inflexné body;

Na obrázku nižšie sú znázornené grafy mocninných funkcií y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (čierne, červené, modré, zelené farby kriviek).

Definícia 13

Vlastnosti výkonovej funkcie pre a< - 1:

doména definície: x ∈ 0 ; +∞;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ keď a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
funkcia je klesajúca pre x ∈ 0; +∞;
funkcia je konkávna pre x ∈ 0; +∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
vodorovná asymptota - priamka y = 0 ;
bod prechodu funkcie: (1 ; 1) .

Keď a \u003d 0 a x ≠ 0, dostaneme funkciu y \u003d x 0 \u003d 1, ktorá určuje čiaru, z ktorej je vylúčený bod (0; 1) (dohodli sme sa, že výraz 0 0 nebude daný akúkoľvek hodnotu).

Exponenciálna funkcia má tvar y = a x , kde a > 0 a a ≠ 1 a graf tejto funkcie vyzerá inak podľa hodnoty bázy a . Uvažujme o špeciálnych prípadoch.

Najprv analyzujme situáciu, keď má základ exponenciálnej funkcie hodnotu od nuly do jednej (0< a < 1) . Názorným príkladom sú grafy funkcií pre a = 1 2 (modrá farba krivky) a a = 5 6 (červená farba krivky).

Grafy exponenciálnej funkcie budú mať podobný tvar pre ostatné hodnoty základne za predpokladu, že 0< a < 1 .

Definícia 14

Vlastnosti exponenciálnej funkcie, keď je základňa menšia ako jedna:

rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
exponenciálna funkcia, ktorej základ je menší ako jedna, klesá v celom definičnom obore;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota je priamka y = 0 s premennou x smerujúcou k + ∞ ;

Teraz zvážte prípad, keď je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna (a > 1).

Ilustrujme tento špeciálny prípad na grafe exponenciálnych funkcií y = 3 2 x (modrá farba krivky) a y = e x (červená farba grafu).

Ostatné hodnoty bázy, väčšie ako jedna, poskytnú podobný pohľad na graf exponenciálnej funkcie.

Definícia 15

Vlastnosti exponenciálnej funkcie, keď je základ väčší ako jedna:

doménou definície je celá množina reálnych čísel;
rozsah: y ∈ (0 ; + ∞) ;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
exponenciálna funkcia, ktorej základ je väčší ako jedna, je rastúca pre x ∈ - ∞ ; +∞;
funkcia je konkávna pre x ∈ - ∞ ; +∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
horizontálna asymptota - priamka y = 0 s premennou x smerujúcou k - ∞;
bod prechodu funkcie: (0 ; 1) .

Logaritmická funkcia má tvar y = log a (x) , kde a > 0 , a ≠ 1 .

Takáto funkcia je definovaná iba pre kladné hodnoty argumentu: for x ∈ 0 ; +∞ .

Graf logaritmickej funkcie má rôznu formu podľa hodnoty základu a.

Najprv zvážte situáciu, keď 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Ostatné hodnoty základne, nie väčšie ako jedna, poskytnú podobný pohľad na graf.

Definícia 16

Vlastnosti logaritmickej funkcie, keď je základ menší ako jedna:

doména definície: x ∈ 0 ; +∞ . Keďže x smeruje sprava k nule, hodnoty funkcie majú sklon k + ∞;
rozsah: y ∈ - ∞ ; +∞;
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
logaritmický
funkcia je konkávna pre x ∈ 0; +∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;

Teraz analyzujme špeciálny prípad, keď je základ logaritmickej funkcie väčší ako jedna: a > 1 . Na obrázku nižšie sú grafy logaritmických funkcií y = log 3 2 x a y = ln x (modrá a červená farba grafov).

Ostatné hodnoty základne väčšie ako jedna poskytnú podobný pohľad na graf.

Definícia 17

Vlastnosti logaritmickej funkcie, keď je základ väčší ako jedna:

doména definície: x ∈ 0 ; +∞ . Keďže x smeruje sprava k nule, hodnoty funkcie majú sklon k - ∞;
rozsah: y ∈ - ∞ ; + ∞ (celá množina reálnych čísel);
táto funkcia je funkciou všeobecného tvaru (nie je ani nepárna, ani párna);
logaritmická funkcia je rastúca pre x ∈ 0; +∞;
funkcia má konvexnosť pre x ∈ 0; +∞;
neexistujú žiadne inflexné body;
nie sú žiadne asymptoty;
bod prechodu funkcie: (1 ; 0) .

Goniometrické funkcie sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Poďme analyzovať vlastnosti každého z nich a príslušné grafy.

Vo všeobecnosti sa všetky goniometrické funkcie vyznačujú vlastnosťou periodicity, t.j. keď sa hodnoty funkcií opakujú pre rôzne hodnoty argumentu, ktoré sa navzájom líšia hodnotou periódy f (x + T) = f (x) (T je perióda). Do zoznamu vlastností goniometrických funkcií sa tak pridáva položka „najmenej kladné obdobie“. Okrem toho uvedieme také hodnoty argumentu, pre ktoré príslušná funkcia zmizne.

Sínusová funkcia: y = sin(x)

Graf tejto funkcie sa nazýva sínusová vlna.

Definícia 18

Vlastnosti funkcie sínus:

doména definície: celá množina reálnych čísel x ∈ - ∞ ; +∞;
funkcia zaniká, keď x = π k , kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
funkcia je rastúca pre x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z a klesajúce pre x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
sínusová funkcia má lokálne maximá v bodoch π 2 + 2 π · k ; 1 a lokálne minimá v bodoch - π 2 + 2 π · k ; -1, k∈Z;
funkcia sínus je konkávna, keď x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z a konvexné, keď x ∈ 2 π k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
nie sú žiadne asymptoty.

kosínusová funkcia: y=cos(x)

Graf tejto funkcie sa nazýva kosínusová vlna.

Definícia 19

Vlastnosti kosínusovej funkcie:

doména definície: x ∈ - ∞ ; +∞;
najmenšia kladná perióda: T \u003d 2 π;
rozsah: y ∈ - 1; jeden ;
táto funkcia je párna, pretože y (- x) = y (x) ;
funkcia je rastúca pre x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z a klesajúce pre x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosínusová funkcia má lokálne maximá v bodoch 2 π · k ; 1 , k ∈ Z a lokálne minimá v bodoch π + 2 π · k ; -1, k∈z;
kosínusová funkcia je konkávna, keď x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k, k ∈ Z a konvexné, keď x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
inflexné body majú súradnice π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
nie sú žiadne asymptoty.

Funkcia dotyčnice: y = t g (x)

Graf tejto funkcie sa nazýva tangentoida.

Definícia 20

Vlastnosti funkcie dotyčnice:

doména definície: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
Správanie sa funkcie dotyčnice na hranici definičného oboru lim x → π 2 + π · k + 0 tg (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 tg (x) = + ∞ . Čiary x = π 2 + π · k k ∈ Z sú teda vertikálne asymptoty;
funkcia zanikne, keď x = π k pre k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
rozsah: y ∈ - ∞ ; +∞;
táto funkcia je nepárna, pretože y (- x) = - y (x) ;
funkcia je rastúca pri - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
funkcia dotyčnice je pre x ∈ [ π · k konkávna; π 2 + π k), k ∈ Z a konvexné pre x ∈ (- π 2 + π k ; π k ] , k ∈ Z ;
inflexné body majú súradnice π k; 0, k∈Z;

Funkcia kotangens: y = c t g (x)

Graf tejto funkcie sa nazýva kotangentoid. .

Definícia 21

Vlastnosti kotangens funkcie:

doména definície: x ∈ (π k ; π + π k), kde k ∈ Z (Z je množina celých čísel);

Správanie funkcie kotangens na hranici definičného definičného oboru lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Čiary x = π k k ∈ Z sú teda zvislé asymptoty;

najmenšia kladná perióda: T \u003d π;
funkcia zanikne, keď x = π 2 + π k pre k ∈ Z (Z je množina celých čísel);
rozsah: y ∈ - ∞ ; +∞;
táto funkcia je nepárna, pretože y (- x) = - y (x) ;
funkcia je klesajúca pre x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
funkcia kotangens je konkávna pre x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z a konvexná pre x ∈ [ - π 2 + π k ; π k), k ∈ Z ;
inflexné body majú súradnice π 2 + π · k ; 0, k∈Z;
neexistujú žiadne šikmé a horizontálne asymptoty.

Inverzné goniometrické funkcie sú arksínus, arkkozín, arktangens a arkkotangens. V dôsledku prítomnosti predpony „oblúk“ v názve sa inverzné goniometrické funkcie často nazývajú oblúkové funkcie. .

Funkcia Arcsine: y = a rc sin (x)

Definícia 22

Vlastnosti funkcie arcsínus:

táto funkcia je nepárna, pretože y (- x) = - y (x) ;
funkcia arcsínus je konkávna pre x ∈ 0; 1 a konvexnosť pre x ∈ - 1; 0;
inflexné body majú súradnice (0 ; 0) , je to zároveň nula funkcie;
nie sú žiadne asymptoty.

Funkcia Arcosine: y = a rc cos (x)

Definícia 23

Vlastnosti funkcie arkkozín:

doména definície: x ∈ - 1 ; jeden ;
rozsah: y ∈ 0 ; π;
táto funkcia má všeobecnú formu (ani párna, ani nepárna);
funkcia klesá na celom definičnom obore;
funkcia arkkozínu je konkávna pre x ∈ - 1 ; 0 a konvexnosť pre x ∈ 0 ; jeden ;
inflexné body majú súradnice 0 ; π2;
nie sú žiadne asymptoty.

Arktangens funkcia: y = a r c t g (x)

Definícia 24

Vlastnosti funkcie arctangens:

doména definície: x ∈ - ∞ ; +∞;
rozsah: y ∈ - π 2 ; π2;
táto funkcia je nepárna, pretože y (- x) = - y (x) ;
funkcia sa zvyšuje v celej oblasti definície;
funkcia arkustangens je konkávna pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] a konvexná pre x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
inflexný bod má súradnice (0; 0), je zároveň nulou funkcie;
vodorovné asymptoty sú priame čiary y = - π 2 pre x → - ∞ a y = π 2 pre x → + ∞ (asymptoty na obrázku sú zelené čiary).

Oblúková kotangens funkcia: y = a r c c t g (x)

Definícia 25

Vlastnosti funkcie kotangens oblúka:

doména definície: x ∈ - ∞ ; +∞;
rozsah: y ∈ (0 ; π) ;
táto funkcia je všeobecného typu;
funkcia klesá na celom definičnom obore;
funkcia kotangens oblúka je konkávna pre x ∈ [ 0 ; + ∞) a konvexnosť pre x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
inflexný bod má súradnice 0 ; π2;
vodorovné asymptoty sú priame čiary y = π v bode x → - ∞ (zelená čiara na výkrese) a y = 0 v bode x → + ∞.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter