Ťažisko systému je bod s vektorom polomeru
Pre spojitú distribúciu hmoty s hustotou 
... Ak sú gravitačné sily pôsobiace na každú časticu systému smerované jednosmerka, potom sa ťažisko zhoduje s ťažiskom. Ale ak 
nie paralelne, potom sa ťažisko a ťažisko nezhodujú.
Ak vezmeme časovú deriváciu 
, dostaneme:
tie. celkový impulz systému sa rovná súčinu jeho hmotnosti rýchlosťou ťažiska.
Nahradením tohto výrazu do zákona o zmene celkového impulzu zistíme:
Ťažisko sústavy sa pohybuje ako častica, v ktorej je sústredená celá hmota sústavy a ku ktorej je výsledkom externé sily.
o progresívny Pri pohybe sa všetky body tuhého telesa pohybujú rovnako ako ťažisko (po tých istých trajektóriách), preto na opísanie translačného pohybu stačí zapísať a vyriešiť pohybovú rovnicu pre ťažisko omša.
Pretože 
, potom ťažisko uzavretý systém musí udržiavať pokojový stav alebo rovnomerný priamočiary pohyb, t.j. 
= konšt. Ale zároveň sa celý systém môže otáčať, rozhadzovať, explodovať atď. v dôsledku akcie vnútorné sily.
Prúdový pohon. Meshcherského rovnica
Reaktívny sa nazýva pohyb tela, v ktorom je pristúpenie alebo vyhadzovanie omši. V procese pohybu dochádza k zmene hmotnosti tela: teleso s hmotnosťou m v priebehu času dt pridáva (absorbuje) alebo odvádza (vydáva) hmotnosť dm rýchlosťou. 
ohľadom tela; v prvom prípade dm> 0, v druhom dm<0.
Zoberme si takýto pohyb pomocou rakety ako príklad. Prejdime k inerciálnej vzťažnej sústave K ", ktorá sa v danom čase t pohybuje rovnakou rýchlosťou 
, ako sa raketa - taká ISO volá sprevádzajúci- v tomto vzťažnom rámci raketa v momente t odpočíva(raketová rýchlosť v tomto systéme 
= 0). Ak sa súčet vonkajších síl pôsobiacich na raketu nerovná nule, potom pohybová rovnica rakety v systéme K, ale keďže všetky IFR sú ekvivalentné, potom v systéme K bude mať rovnica rovnaký tvar:
toto - Meshcherského rovnica popisujúci pohyb akékoľvek telo s premenlivou hmotnosťou).
V rovnici je hmotnosť m premenlivá veličina a nemožno ju zadať pod znamienkom derivácie. Druhý člen na pravej strane rovnice sa nazýva reaktívna sila
Pre raketu reaktívna sila zohráva úlohu ťahovej sily, ale v prípade pridania hmoty je dm / dt> 0 a reaktívna sila bude brzdnou silou (napríklad keď sa raketa pohybuje v oblaku kozmického prach).
Energia časticového systému
Energia časticového systému pozostáva z kinetickej a potenciálnej. Kinetická energia systému je súčtom kinetických energií všetkých častíc v systéme
a je podľa definície množstvo aditívum(rovnako ako impulz).
Iná situácia je s potenciálnou energiou systému. Po prvé, interakčné sily pôsobia medzi časticami systému 
... Preto A ij = -dU ij, kde U ij je potenciálna energia interakcie i-tej a j-tej častice. Sčítaním U ij cez všetky častice sústavy nájdeme tzv vlastnú potenciálnu energiu systémy:
Podstatné je, že vlastná potenciálna energia systému závisí len od jeho konfigurácie. Navyše táto hodnota nie je aditívna.
Po druhé, vonkajšie sily pôsobia na každú časticu systému, všeobecne povedané. Ak sú tieto sily konzervatívne, ich práca sa bude rovnať poklesu vonkajšej potenciálnej energie A = -dU extern, kde
kde U i je potenciálna energia i-tej častice vo vonkajšom poli. Závisí od polôh všetkých častíc vo vonkajšom poli a je aditívny.
Celková mechanická energia systému častíc vo vonkajšom potenciálnom poli je teda definovaná ako
E syst = K syst + U sob + U ext
MECHANICKÝ SYSTÉM je ľubovoľný vopred zvolený súbor hmotných telies, ktorých správanie sa analyzuje.
V budúcnosti sa bude používať toto pravidlo: V MATEMATICKÝCH ZOBRAZENIACH BUDÚ VLASTNOSTI HMOTNÝCH BODOV, ODLIŠNÝCH OD CHARAKTERISTÍK HMOTNÝCH TELES, Mať INDEX.
HMOTNOSŤ TELA je súčet hmotností všetkých hmotných bodov, ktoré tvoria dané teleso
VONKAJŠIE SILY sú sily vzájomného pôsobenia hmotných bodov, ktoré sú súčasťou mechanického systému a nie sú zahrnuté.
VNÚTORNÉ SILY sú sily vzájomného pôsobenia hmotných bodov obsiahnutých v mechanickom systéme.
TEÓZA D1. Súčet vnútorných síl mechanického systému je vždy nulový..
Dôkaz... Podľa axiómy D5 je pre každú dvojicu hmotných bodov mechanického systému súčet síl ich vzájomného pôsobenia vždy rovný nule. Ale všetky interagujúce body patria do systému, a preto každá z vnútorných síl vždy nájde opačnú vnútornú silu. Preto je celkový súčet všetkých vnútorných síl nutne nulový. Ch.t.d.
VETA D2.Súčet momentov vnútorných síl mechanického systému je vždy nulový.
Dôkaz... Podľa axiómy D5 každá vnútorná sila nájde opačnú vnútornú silu. Keďže čiary pôsobenia týchto síl sa zhodujú, ich ramená vzhľadom na akýkoľvek bod v priestore budú rovnaké, a preto ich momenty vzhľadom na vybraný bod v priestore budú rovnaké, ale znamienka sú odlišné, pretože sily smerujú opačne. Preto je celkový súčet momentov všetkých vnútorných síl nutne nulový. Ch.t.d.
VETA D3 Súčin hmotnosti celého mechanického systému zrýchlením jeho ťažiska sa rovná súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém.
Dôkaz... Uvažujme ľubovoľný mechanický systém pozostávajúci z konečného počtu hmotných telies. Na základe Axiómy D2 možno každé teleso rozdeliť na konečný počet hmotných bodov. Nech je všetko prijaté n takéto body. Pre každý takýto bod možno na základe axiómy D4 zostaviť pohybovú rovnicu
Zvažujem to 
(KINEMATIKA strana 3), ako aj prelomenie všetkých síl pôsobiacich na i-tý bod, do vonkajšieho a vnútorného, získame z predchádzajúcej rovnosti
Ak zrátame pohybové rovnice všetkých bodov sústavy, dostaneme
Pomocou komutatívnosti operácií súčtu a diferenciácie (v skutočnosti je možné znamienka súčtu a diferenciácie obrátiť) získame
(40)
Výraz získaný v zátvorkách možno znázorniť pomocou súradníc ťažiska systému (STATIC str. 15)
kde m- hmotnosť celého systému;
Vektor polomeru ťažiska systému.
Ako vyplýva z vety D1, posledný člen vo výraze (40) preto zaniká
alebo 
, atď. (41)
Dôsledok... Ťažisko mechanického systému sa pohybuje, ako keby to bol hmotný bod, ktorý má celú hmotnosť systému a na ktorý sa redukujú všetky vonkajšie sily.
Pohyb mechanického systému v neprítomnosti vonkajších síl
Veta D4. Ak sú vonkajšie sily pôsobiace na mechanický systém vyvážené v určitom smere, potom sa ťažisko systému v tomto smere bude pohybovať konštantnou rýchlosťou.
Dôkaz X sa zhodoval so smerom, v ktorom sú vonkajšie sily vyrovnané, t.j. súčet priemetov vonkajších síl na os X je nula
Potom podľa vety D3
Keďže teda
Ak integrujeme posledný výraz, dostaneme
VETA D5... Ak sú vonkajšie sily pôsobiace na mechanický systém vyvážené v určitom smere a v počiatočnom momente bol systém v pokoji, potom ťažisko systému zostáva počas pohybu nehybné.
Dôkaz... Zopakovaním úvahy uvedenej v dôkaze predchádzajúcej vety zistíme, že rýchlosť ťažiska by mala zostať taká, aká bola v počiatočnom okamihu, t.j. nulový
Integráciou tohto výrazu dostaneme
VETA D6... Ak sú vonkajšie sily pôsobiace na mechanický systém vyvážené v určitom smere a v počiatočnom momente bol systém v pokoji, potom súčet súčinov hmotností každého z telies v systéme a absolútneho posunutia vlastného ťažisko v rovnakom smere sa rovná nule.
Dôkaz... Zvoľme súradnicový systém takým spôsobom, že os X sa zhoduje so smerom, v ktorom sú vonkajšie sily vyvážené alebo chýbajú ( Ž 1, Ž 2, ..., Ž k na obr. 3), t.j. súčet priemetov vonkajších síl na os X je nula
Keď máme do činenia so sústavou častíc, je vhodné nájsť taký bod – ťažisko, ktorý by charakterizoval polohu a pohyb tohto systému ako celku. V systéme dvoch identických častíc taký bod C zjavne leží v strede medzi nimi (obr. 110a). To je zrejmé z úvah o symetrii: v homogénnom a izotropnom priestore sa tento bod odlišuje od všetkých ostatných, pretože pre akýkoľvek iný bod A umiestnený bližšie k jednej z častíc bude existovať bod B symetrický k nemu, ktorý sa nachádza bližšie. k druhej častici.
Ryža. 110. Ťažisko dvoch rovnakých častíc je v bode C s vektorom polomeru; ťažisko dvoch častíc s rôznymi hmotnosťami rozdeľuje segment medzi nimi v pomere nepriamo úmernom k hmotnostiam chitíc (b)
Je zrejmé, že vektor polomeru bodu C sa rovná polovičnému súčtu vektorov polomerov identických častíc (obr. 110a): Inými slovami, je to obvyklá stredná hodnota vektorov.
Stanovenie ťažiska. Ako zovšeobecniť túto definíciu na prípad dvoch častíc s rôznou hmotnosťou Dá sa očakávať, že spolu s geometrickým stredom sústavy, ktorej vektor polomeru sa ešte rovná polovičnému súčtu, bude bod, ktorého poloha je určená distribúciu
jesť masy. Je prirodzené definovať to tak, že príspevok každej častice je úmerný jej hmotnosti:
Vektor polomeru ťažiska určený vzorcom (1) je priemerná vážená hodnota polomerových vektorov častíc, čo je zrejmé, ak (1) prepíšeme do tvaru
Vektor polomeru každej častice vstupuje s hmotnosťou úmernou jej hmotnosti. Je ľahké vidieť, že ťažisko C určené podľa vzorca (1) leží na úsečke priamky spájajúcej častice a delí ju v pomere nepriamo úmernom hmotnostiam častíc: (obr. 110b).
Venujme pozornosť tomu, že tu uvedená definícia ťažiska súvisí so známou podmienkou pre rovnováhu páky. Predstavme si, že bodové hmoty, na ktoré pôsobí rovnomerné tiažové pole, sú spojené tyčou zanedbateľnej hmotnosti. Takáto páka bude v rovnováhe, ak jej oporný bod bude umiestnený v ťažisku C.
Prirodzeným zovšeobecnením vzorca (1) na prípad systému pozostávajúceho z hmotných bodov s vektormi hmôt a polomerov je rovnosť
ktorý slúži ako definícia vektora polomeru ťažiska (alebo ťažiska) systému.
Stred rýchlosti hmoty.Ťažisko charakterizuje nielen polohu, ale aj pohyb časticového systému ako celku. Rýchlosť ťažiska určená rovnosťou podľa (2) je vyjadrená nasledujúcim spôsobom prostredníctvom rýchlostí častíc tvoriacich systém:
V čitateli pravej strany tohto výrazu, ako vyplýva zo vzorca (6) predchádzajúceho odseku, je celková hybnosť sústavy P a v menovateli jej celková hmotnosť M. Preto hybnosť sústavy sústava častíc sa rovná súčinu hmotnosti celej sústavy M rýchlosťou jej ťažiska
Vzorec (4) ukazuje, že hybnosť systému súvisí s rýchlosťou jeho ťažiska rovnakým spôsobom, ako hybnosť jednotlivej častice súvisí s rýchlosťou častice. V tomto zmysle pohyb ťažiska charakterizuje pohyb systému ako celku.
Zákon pohybu ťažiska. Zákon zmeny hybnosti systému častíc, vyjadrený vzorcom (9) z predchádzajúcej časti, je v podstate zákonom pohybu jeho ťažiska. V skutočnosti z (4) s konštantnou celkovou hmotnosťou M systému máme
čo znamená, že rýchlosť zmeny hybnosti sústavy sa rovná súčinu jej hmotnosti a zrýchlenia ťažiska. Porovnaním (5) so vzorcom (6) v § 29 dostaneme
Podľa (6) sa ťažisko systému pohybuje rovnako, ako by sa pohyboval jeden hmotný bod M pri pôsobení sily rovnajúcej sa súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na častice vstupujúce do systému. Najmä ťažisko uzavretého fyzikálneho systému, na ktorý nepôsobia vonkajšie sily, sa pohybuje v inerciálnej vzťažnej sústave rovnomerne a priamočiaro, prípadne je v pokoji.
V mnohých prípadoch koncept ťažiska umožňuje získať odpovede na niektoré otázky dokonca jednoduchšie ako priamo pomocou zákona zachovania hybnosti. Zvážte nasledujúci príklad.
Astronaut mimo lode. Masový kozmonaut je nehybný voči vesmírnej lodi s vypnutým motorom a pomocou ľahkého bezpečnostného lana sa začne približovať k vesmírnej lodi. Aké sú vzdialenosti, ktoré kozmonaut a kozmická loď prekonajú pred stretnutím, ak je na začiatku vzdialenosť medzi nimi
Ťažisko kozmickej lode a astronauta sa nachádza na priamke, ktorá ich spája, a zodpovedajúce vzdialenosti sú nepriamo úmerné hmotnostiam.
okamžite dostaneme
Vo vzdialenom priestore, kde nepôsobia vonkajšie sily, je ťažisko tohto uzavretého systému buď v pokoji, alebo sa pohybuje konštantnou rýchlosťou. V referenčnom rámci, kde je v pokoji, prejdú kozmonaut a kozmická loď vzdialenosti dané vzorcom (7), kým sa nestretnú.
Pre platnosť takejto úvahy je zásadne dôležité použiť inerciálnu vzťažnú sústavu. Ak by sme tu neuvážene spojili referenčný rámec s kozmickou loďou, dospeli by sme k záveru, že keď sa kozmonaut vytiahne, ťažisko systému sa začne pohybovať bez vonkajších síl: priblíži sa k kozmickej lodi. Ťažisko si zachováva svoju rýchlosť iba vo vzťahu k inerciálnej vzťažnej sústave.
Rovnica (6), ktorá určuje zrýchlenie ťažiska sústavy častíc, nezahŕňa vnútorné sily, ktoré v nej pôsobia. Znamená to, že vnútorné sily vôbec neovplyvňujú pohyb ťažiska? Pri absencii vonkajších síl, alebo keď sú tieto sily konštantné, je to skutočne tak. Napríklad v rovnomernom gravitačnom poli sa ťažisko projektilu, ktorý vybuchol počas letu, naďalej pohybuje pozdĺž rovnakej paraboly, až kým žiadny z úlomkov nespadne na zem.
Úloha vnútorných síl. V prípadoch, keď sa vonkajšie sily môžu zmeniť, je situácia o niečo komplikovanejšia. Vonkajšie sily nepôsobia na ťažisko, ale na jednotlivé častice systému. Tieto sily môžu závisieť od polohy častíc a polohu každej častice pri jej pohybe určujú všetky sily, ktoré na ňu pôsobia, vonkajšie aj vnútorné.
Vysvetlime si to na rovnakom jednoduchom príklade strely, ktorá za letu exploduje na malé úlomky pôsobením vnútorných síl. Kým sú všetky úlomky v lete, ťažisko, ako už bolo spomenuté, sa naďalej pohybuje pozdĺž tej istej paraboly. Len čo sa však aspoň jeden z úlomkov dotkne zeme a jeho pohyb sa zastaví, pridá sa nová vonkajšia sila – reakčná sila zemského povrchu, pôsobiaca na padnutý úlomok. V dôsledku toho sa zmení zrýchlenie ťažiska a už sa nebude pohybovať po predchádzajúcej parabole. Samotný vzhľad tejto reakčnej sily je dôsledkom pôsobenia vnútorných síl, ktoré explodovali strelu. Pôsobenie vnútorných síl v momente prasknutia strely teda môže viesť k zmene zrýchlenia, s ktorým sa bude ťažisko pohybovať v neskorších časových okamihoch a následne k zmene jeho trajektórie.
Uveďme ešte nápadnejší príklad vplyvu vnútorných síl na pohyb ťažiska. Predstavme si, že satelit Zeme,
obiehajúci okolo neho po kruhovej dráhe, je pôsobením vnútorných síl rozdelený na dve polovice. Jedna z polovíc sa zastaví a začne klesať k Zemi. Podľa zákona zachovania hybnosti musí druhá polovica v tomto momente zdvojnásobiť svoju rýchlosť, smerujúcu tangenciálne ku kružnici. Ako uvidíme nižšie, pri takejto rýchlosti táto polovica odletí od Zeme do nekonečne veľkej vzdialenosti. V dôsledku toho sa aj ťažisko satelitu, teda jeho dve polovice, vzdiali v nekonečne veľkej vzdialenosti od Zeme. A dôvodom je pôsobenie vnútorných síl pri rozdelení satelitu na dve časti, pretože inak by sa satelit, ktorý nebol rozdelený na časti, naďalej pohyboval po kruhovej dráhe.
Prúdový pohon. Zákon zachovania hybnosti v uzavretom systéme uľahčuje vysvetlenie princípu prúdového pohonu. Pri spaľovaní paliva stúpa teplota a v spaľovacej komore vzniká vysoký tlak, vďaka ktorému vznikajúce plyny vychádzajú vysokou rýchlosťou z trysky raketového motora. Pri absencii vonkajších polí zostáva celkový impulz rakety a plynov emitovaných z dýzy nezmenený. Preto s výronom plynov raketa naberá rýchlosť v opačnom smere.
Meshcherského rovnica. Zoberme si rovnicu popisujúcu pohyb rakety. Nech má v určitom časovom okamihu raketa v nejakej inerciálnej vzťažnej sústave rýchlosť, zaveďme inú inerciálnu vzťažnú sústavu, v ktorej je raketa v danom časovom okamihu nehybná. Nazvime takýto referenčný systém sprievodným. Ak bežiaci raketový motor počas intervalu vypúšťa plyny s hmotnosťou relatívne k rakete, po chvíli bude rýchlosť rakety v tomto sprievodnom systéme iná ako nula a rovná sa
Aplikujme zákon zachovania hybnosti na uvažovanú uzavretú fyzikálnu sústavu rakety plus plyny. V počiatočnom momente sú raketa a plyny v pokoji v sprievodnom referenčnom rámci, takže celková hybnosť je nulová. Po čase sa impulz rakety rovná impulzu vyvrhnutých plynov Preto
Celková hmotnosť systému raketa plus plyny je zachovaná, takže hmotnosť vyvrhnutých plynov sa rovná strate hmotnosti rakety:
Teraz sa rovnica (8) po vydelení časovým intervalom prepíše ako
Prejdením k limitu dostaneme pohybovú rovnicu telesa s premenlivou hmotnosťou (rakety) v neprítomnosti vonkajších síl:
Rovnica (9) má tvar druhého Newtonovho zákona, ak sa jej pravá strana považuje za reaktívnu silu, teda silu, ktorou plyny z nej emitované pôsobia na raketu. Hmotnosť rakety tu nie je konštantná, ale časom klesá v dôsledku straty hmoty, teda reaktívnej sily; smerované v smere opačnom k rýchlosti plynov emitovaných z dýzy vzhľadom na raketu. Je vidieť, že táto sila je tým väčšia, čím väčšia je rýchlosť odtoku plynov a tým vyššia je spotreba paliva za jednotku času.
Rovnica (9) sa získa v určitej inerciálnej vzťažnej sústave - sprievodnej sústave. Vďaka princípu relativity platí aj v akejkoľvek inej inerciálnej vzťažnej sústave. Ak okrem reaktívnej sily pôsobia na raketu aj iné vonkajšie sily, ako je sila gravitácie a sila odporu vzduchu, potom by sa mali pridať na pravú stranu rovnice (9):
Túto rovnicu prvýkrát získal Meshchersky a nesie jeho meno. Pre daný prevádzkový režim motora, keď je hmotnosť určitou známou funkciou času, umožňuje Meshcherského rovnica vypočítať rýchlosť rakety v akomkoľvek časovom okamihu.
Aké fyzikálne faktory naznačujú, že je vhodné určiť ťažisko pomocou vzorca (1)?
V akom zmysle ťažisko charakterizuje pohyb sústavy častíc ako celku?
Čo hovorí zákon pohybu ťažiska sústavy interagujúcich telies? Ovplyvňujú vnútorné sily zrýchlenie ťažiska?
Môžu vnútorné sily ovplyvniť trajektóriu ťažiska systému?
Pri probléme prasknutia projektilu, ktorý sme uvažovali v predchádzajúcej časti, zákon pohybu ťažiska umožňuje okamžite nájsť dosah letu druhého fragmentu, ak je jeho počiatočná rýchlosť horizontálna. Ako to spraviť? Prečo sú tieto úvahy neaplikovateľné v prípade, keď jeho počiatočná rýchlosť má vertikálnu zložku?
V procese zrýchľovania rakety jej motor pracuje v konštantnom režime, takže relatívna rýchlosť výtoku plynov a spotreba paliva za jednotku času sú nezmenené. Bude v tomto prípade zrýchlenie rakety konštantné?
Odvoďte Meshcherského rovnicu, pričom namiesto sprievodnej referenčnej sústavy použite inerciálny systém, v ktorom už má raketa rýchlosť
Ciolkovského vzorec. Predpokladajme, že zrýchlenie rakety prebieha vo voľnom priestore, kde na ňu nepôsobia vonkajšie sily. Keď sa palivo vyčerpá, hmotnosť rakety klesá. Nájdime vzťah medzi hmotnosťou spotrebovaného paliva a rýchlosťou získanou raketou.
Po zapnutí motora začne odpočívajúca raketa naberať rýchlosť a pohybuje sa v priamom smere. Premietnutím vektorovej rovnice (9) na smer pohybu rakety získame
V rovnici (11) budeme uvažovať hmotnosť rakety ako funkciu rýchlosti získanej raketou. Potom rýchlosť zmeny hmotnosti s časom môže byť vyjadrená nasledovne:
Lekcia "Centrum omše"
Časový limit: 2 vyučovacie hodiny
Cieľ: Oboznámiť študentov s pojmom „ťažisko“ a jeho vlastnosťami.
Vybavenie: figúrky z kartónu alebo preglejky, "poháre", vreckový nôž, ceruzky.
Plán lekcie
Kroky lekcie časové metódy a techniky
I Predstavenie žiakov 10 frontálny prieskum, práca žiakov pri tabuli.
do problému lekcie
II. Učenie sa nového príbehu 15-20 učiteľa, riešenie problémov,
materiál: 10 experimentálna úloha
III Vypracovanie nových 10 správ od študentov
materiál: 10-15 riešení problémov,
15 frontálny prieskum
IV.Závery. Domáca úloha 5-10 Ústna syntéza učiva učiteľom.
úloha Písanie na tabuľu
Počas vyučovania.
ja Opakovanie 1. Frontálny prieskum: rameno sily, moment sily, stav rovnováhy, druhy rovnováhy
Epigraf: Ťažisko každého tela je bod, ktorý sa nachádza v jeho vnútri – taký, že ak naň telo v duchu zavesíte, zostane v pokoji a zachová si svoju pôvodnú polohu.
II. Vysvetlenienový materiál
Nech je dané telo alebo sústava tiel. Rozdeľme mentálne telo na ľubovoľne malé časti s hmotnosťou m1, m2, m3 ... Každú z týchto častí môžeme považovať za hmotný bod. Poloha v priestore i-tého hmotného bodu s hmotnosťou mi je určená vektorom polomeru ri(obr. 1.1). Hmotnosť telesa je súčtom hmotností jeho jednotlivých častí: m = ∑ mi.
Ťažiskom telesa (sústavy telies) je bod C, ktorého vektor polomeru je určený vzorcom
r= 1 / m ∙ ∑ mi ri
Dá sa ukázať, že poloha ťažiska vzhľadom na teleso nezávisí od voľby počiatku súradníc O, t.j. vyššie uvedená definícia ťažiska je jednoznačná a správna.
Ťažisko homogénnych symetrických telies sa nachádza v ich geometrickom strede alebo na osi symetrie, ťažisko plochého telesa v tvare ľubovoľného trojuholníka sa nachádza v priesečníku jeho mediánov.
Riešenie problému
ÚLOHA 1. Homogénne gule s hmotnosťou m1 = 3 kg, m2 = 2 kg, m3 = 6 kg a m4 = 3 kg sú upevnené na ľahkej tyči (obr. 1.2). Vzdialenosť medzi stredmi akýchkoľvek blízkych loptičiek
a = 10 cm Nájdite polohu ťažiska a ťažiska konštrukcie.
RIEŠENIE. Poloha vzhľadom na guličky ťažiska konštrukcie nezávisí od orientácie tyče v priestore. Na vyriešenie problému je vhodné umiestniť tyč vodorovne, ako je znázornené na obrázku 2. Ťažisko nech je umiestnené na tyči vo vzdialenosti L od stredu ľavej gule, t.j. z bodu A. V ťažisku pôsobí výslednica všetkých tiažových síl a jej moment okolo osi A sa rovná súčtu momentov tiažových síl guľôčok. Máme r = (m1 + m2 + m3 + m4) g,
RL = m2gα + m3g2a + m4g3a.
Preto L = α (m1 + 2 m3 + 3 m4) / (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 cm
ODPOVEĎ. Ťažisko sa zhoduje s ťažiskom a nachádza sa v bode C vo vzdialenosti L = 16,4 cm od stredu ľavej gule.
Ukazuje sa, že ťažisko telesa (alebo sústavy telies) má množstvo pozoruhodných vlastností. V dynamike sa ukazuje, že impulz ľubovoľne sa pohybujúceho telesa sa rovná súčinu hmotnosti telesa rýchlosťou jeho ťažiska a že ťažisko sa pohybuje tak, ako keby všetky vonkajšie sily pôsobiace na teleso pôsobili pri ťažisko a v ňom sa sústredila hmota celého tela.
Ťažisko telesa umiestneného v gravitačnom poli Zeme je pôsobiskom výslednice všetkých tiažových síl pôsobiacich na všetky časti telesa. Táto výslednica sa nazýva gravitačná sila pôsobiaca na teleso. Tiažová sila pôsobiaca v ťažisku tela pôsobí na telo rovnako ako gravitačné sily pôsobiace na jednotlivé časti tela.
Zaujímavý je prípad, keď je veľkosť telesa oveľa menšia ako veľkosť Zeme. Potom môžeme predpokladať, že na všetky časti tela pôsobia paralelné gravitačné sily, t.j. teleso je v rovnomernom gravitačnom poli. Paralelné a rovnako smerované sily majú vždy výslednicu, ktorú je možné dokázať. Ale pri určitej polohe telesa v priestore možno naznačiť iba pôsobisko výslednice všetkých paralelných gravitačných síl, bod jej aplikácie zatiaľ zostane nedefinovaný, keďže pre tuhé teleso môže byť akákoľvek sila prenášaná pozdĺž línie jeho pôsobenia. A čo bod aplikácie?
Dá sa ukázať, že pri ľubovoľnej polohe telesa v rovnomernom gravitačnom poli línia pôsobenia výslednice všetkých gravitačných síl pôsobiacich na jednotlivé časti tela prechádza tým istým bodom, ktorý sa voči telesu nepohybuje. V tomto bode sa aplikuje rovnočinný a samotný bod bude ťažiskom tela.
Poloha ťažiska voči telesu závisí len od tvaru telesa a rozloženia hmoty v tele a nezávisí od polohy telesa v homogénnom ťažisku. Ťažisko nemusí byť nevyhnutne v tele samotnom. Napríklad pre obruč v rovnomernom gravitačnom poli leží ťažisko v jej geometrickom strede.
V rovnomernom gravitačnom poli sa ťažisko tela zhoduje s jeho ťažiskom.
V drvivej väčšine prípadov sa dá jeden termín bezbolestne nahradiť iným.
Ale: ťažisko telesa existuje bez ohľadu na prítomnosť gravitačného poľa a o ťažisku sa dá hovoriť len za prítomnosti gravitácie.
Umiestnenie ťažiska telesa, a teda ťažiska, je vhodné nájsť, berúc do úvahy symetriu telesa a pomocou konceptu momentu sily.
Ak sa rameno sily rovná nule, potom sa moment sily rovná nule a takáto sila nespôsobuje rotačný pohyb telesa.
V dôsledku toho, ak línia pôsobenia sily prechádza ťažiskom, pohybuje sa dopredu.
Tak je možné určiť ťažisko akéhokoľvek rovinného útvaru. Aby ste to dosiahli, musíte ho opraviť v jednom bode, čo mu dáva možnosť voľne sa otáčať. Bude inštalovaný tak, aby gravitačná sila, ktorá ho otáča, prechádzala cez ťažisko. V mieste upevnenia figúry zavesíme niť so záťažou (maticou), pozdĺž zavesenia nakreslíme čiaru (t. j. čiaru pôsobenia gravitačnej sily). Zopakujme kroky a zaistime tvar v inom bode. Priesečník línií pôsobenia gravitačných síl - ťažisko tela
Experimentálna úloha: určiť ťažisko plochej figúry (podľa figúrok, ktoré si už žiaci pripravili z kartónu alebo preglejky).
Návod: upevnite figúrku na statív. V jednom z rohov postavy zavesíme olovnicu. Nakreslíme čiaru pôsobenia gravitácie. Otočte tvar, zopakujte akciu. Ťažisko leží v priesečníku línií pôsobenia gravitačnej sily.
Študenti, ktorí rýchlo dokončili úlohu, môžu dostať ďalšiu úlohu: pripevniť závažie (kovovú skrutku) na postavu a určiť novú polohu ťažiska. Urobte záver.
Štúdium pozoruhodných vlastností „centier“, ktoré je staré viac ako dvetisíc rokov, sa ukázalo byť užitočné nielen pre mechanikov – napríklad pri konštrukcii vozidiel a vojenskej techniky, výpočte stability konštrukcií. , alebo na odvodenie pohybových rovníc prúdových vozidiel. Je nepravdepodobné, že by si Archimedes vôbec mohol myslieť, že koncept ťažiska by bol veľmi vhodný pre výskum v jadrovej fyzike alebo vo fyzike elementárnych častíc.
Správy študentov:
Archimedes vo svojom diele „O rovnováhe rovinných telies“ použil koncept ťažiska bez toho, aby ho skutočne definoval. Zdá sa, že to prvýkrát predstavil neznámy predchodca Archimedes alebo on sám, ale v staršom diele, ktoré sa k nám nedostalo.
Muselo prejsť dlhých sedemnásť storočí, kým veda pridala k Archimedovmu výskumu ťažísk nové výsledky. Stalo sa tak, keď sa Leonardovi da Vincimu podarilo nájsť ťažisko štvorstenu. Premýšľajúc o stabilite talianskych šikmých veží, vrátane tej v Pise, dospel k „vete o podpornom polygóne“.
Podmienky pre rovnováhu plávajúcich telies, ktoré zistil Archimedes, museli byť neskôr znovu objavené. Zaoberal sa tým koncom 16. storočia: holandský vedec Simon Stevin, ktorý popri koncepte ťažiska aplikoval aj koncept „centra tlaku“ – miesta pôsobenia tlakovej sily voda obklopujúca telo.
Ukázalo sa, že Torricelliho princíp (a vzorce na výpočet ťažiska sú tiež po ňom pomenované) predpokladal jeho učiteľ Galileo. Tento princíp zase tvoril základ Huygensovej klasickej práce o kyvadlových hodinách a bol tiež použitý v Pascalových slávnych hydrostatických štúdiách.
Metóda, ktorá umožnila Eulerovi študovať pohyb tuhého telesa pri pôsobení akýchkoľvek síl, spočívala v rozklade tohto pohybu na premiestnenie ťažiska telesa a rotáciu okolo osí, ktoré ním prechádzajú.
Na zachovanie nezmenenej polohy predmetov pri pohybe ich opory sa už niekoľko storočí používa takzvané kardanové podzávažie - zariadenie, v ktorom je ťažisko tela umiestnené pod osami, okolo ktorých sa môže otáčať. Príkladom je lodná petrolejová lampa.
Hoci je gravitácia na Mesiaci šesťkrát menšia ako na Zemi, rekord v skoku do výšky by bolo možné „len“ zvýšiť štvornásobne. K tomuto záveru vedú výpočty o zmene výšky ťažiska tela športovca.
Okrem dennej rotácie okolo svojej osi a ročnej rotácie okolo Slnka sa Zem zúčastňuje ešte jedného kruhového pohybu. Spolu s Mesiacom sa „točí“ okolo spoločného ťažiska, ktoré sa nachádza približne 4700 kilometrov od stredu Zeme.
Niektoré umelé družice Zeme sú vybavené niekoľko až desiatkami metrov dlhou skladacou tyčou, ktorá je na konci zaťažená (tzv. gravitačný stabilizátor). Faktom je, že podlhovastý satelit má pri pohybe na obežnej dráhe tendenciu otáčať sa okolo svojho ťažiska, takže jeho pozdĺžna os je vertikálna. Potom bude, rovnako ako Mesiac, stále jednou stranou otočený k Zemi.
Pozorovania pohybu niektorých viditeľných hviezd naznačujú, že sú súčasťou binárnych systémov, v ktorých sa „nebeskí partneri“ otáčajú okolo spoločného ťažiska. Jedným z neviditeľných spoločníkov v takomto systéme by mohla byť neutrónová hviezda alebo prípadne čierna diera.
Vysvetlenie učiteľa
Veta o ťažisku: ťažisko telesa môže zmeniť svoju polohu iba pôsobením vonkajších síl.
Dôsledok vety o ťažisku: ťažisko uzavretej sústavy telies zostáva nehybné pre akékoľvek interakcie telies sústavy.
Riešenie problému (na tabuli)
PROBLÉM 2. Loď stojí nehybne v stojatej vode. Osoba v člne sa pohybuje od provy k korme. Ako ďaleko h sa čln posunie, ak hmotnosť človeka je m = 60 kg, hmotnosť člna je M = 120 kg, dĺžka člna je L = 3 m? Odolnosť voči vode zanedbávajte.
RIEŠENIE. Využime podmienku úlohy, že počiatočná rýchlosť ťažiska je nulová (loď a osoba boli pôvodne v pokoji) a neexistuje žiadny odpor vody (na „osobu nepôsobia žiadne vonkajšie sily v horizontálnom smere). "lodný" systém). V dôsledku toho sa súradnice ťažiska systému v horizontálnom smere nezmenili. Obrázok 3 zobrazuje počiatočnú a koncovú polohu člna a osoby. Počiatočná súradnica х0 ťažiska х0 = (mL + ML / 2) / (m + M)
Koncová súradnica x ťažiska x = (mh + M (h + L / 2)) / (m + M)
Ak dávame rovnítko x0 = x, zistíme, že h = ml / (m + M) = 1 m
Okrem toho: zbierka problémov od Stepanova G.N. č. 393
Vysvetlenie učiteľa
Pri pripomenutí podmienok rovnováhy sme zistili, že
Pre telesá s oblasťou podpory sa pozoruje stabilná rovnováha, keď línia pôsobenia gravitačnej sily prechádza cez základňu.
Dôsledok: čím väčšia je plocha opory a čím nižšie je ťažisko, tým stabilnejšia je rovnovážna poloha.
Demonštrácia
Položte detskú hračku tumbler-ku (Vanka - Vstanka) na hrubú dosku a zdvihnite pravý okraj dosky. Akým smerom sa ohne „hlavička“ hračky pri zachovaní rovnováhy?
Vysvetlenie: Ťažisko C stavítka je pod geometrickým stredom O guľovej plochy "telesa". V rovnovážnej polohe by bod C a bod dotyku A hračky s naklonenou rovinou mali byť v rovnakej vertikále; preto sa "hlava" pohára vychýli doľava
Ako vysvetliť udržanie rovnováhy v prípade znázornenom na obrázku?
Vysvetlenie: Ťažisko systému ceruzka-nôž leží pod oporným bodom
IIIUkotvenie. Frontálny prieskum
Otázky a úlohy
1. Keď sa teleso pohybuje od rovníka k pólu, mení sa naň pôsobiaca gravitačná sila. Má to vplyv na polohu ťažiska tela?
Odpoveď je nie, pretože relatívne zmeny gravitačnej sily všetkých prvkov tela sú rovnaké.
2. Je možné nájsť ťažisko „činky“ pozostávajúcej z dvoch masívnych gúľ spojených beztiažovou tyčou za predpokladu, že dĺžka „činky“ je porovnateľná s priemerom Zeme?
Odpoveď je nie. Podmienkou existencie ťažiska je rovnomernosť gravitačného poľa. V nehomogénnom gravitačnom poli vedú rotácie „činky“ okolo jej ťažiska k tomu, že akčné čiary L1 a L2, výsledné gravitačné sily pôsobiace na loptičky, nemajú spoločný bod.
3. Prečo spadne predná časť auta, keď je auto náhle zabrzdené?
Odpoveď: pri brzdení pôsobí na kolesá zo strany vozovky trecia sila, ktorá vytvára krútiaci moment okolo ťažiska auta.
4. Kde je ťažisko bubliny?
Odpoveď: v diere!
5. Voda sa naleje do valcového pohára. Ako sa zmení poloha ťažiska systému sklo-voda?
Odpoveď: Ťažisko systému pôjde najprv dole a potom hore.
6. Ako dlho treba odrezať koniec z homogénnej tyče, aby sa jej ťažisko posunulo o ∆ℓ?
Odpoveď: 2∆ℓ dlhé.
7. Homogénna tyč je v strede ohnutá v pravom uhle. Kde bolo jeho ťažisko teraz?
Odpoveď: v bode O - stred segmentu O1O2 spájajúceho stred AB a BC časti tyče
9. Stacionárna vesmírna stanica je valec. Kozmonaut začína okružnú prechádzku okolo stanice po jej povrchu. Čo bude so stanicou?
odpoveď: S Stanica sa bude otáčať opačným smerom a jej stred bude opisovať kruh okolo ťažiska zdieľaného s kozmonautom.
11. Prečo je ťažké chodiť na chodúľoch?
Odpoveď: ťažisko človeka na chodúľoch sa výrazne zvyšuje a plocha jeho podpory na zemi sa zmenšuje.
12. Kedy je pre povrazolezca jednoduchšie udržať rovnováhu – pri bežnom pohybe po lane alebo pri pohybe silne zakriveného vahadla, zaťaženého vedrami s vodou?
Odpoveď: V druhom prípade, keďže ťažisko povrazochodca s vedrami leží nižšie, t.j. bližšie k podpere - lano.
IVDomáca úloha:(vykonávajú tí, ktorí chcú - úlohy sú ťažké, tí, ktorí ich vyriešili, dostanú "5").
*jeden. Nájdite ťažisko systému guľôčok umiestnených vo vrcholoch rovnostranného beztiažového trojuholníka znázorneného na obrázku
Odpoveď: ťažisko leží v strede osi uhla, na vrchole ktorého je guľa s hmotnosťou 2 m.
* 2. Hĺbka otvoru v doske, do ktorej sa loptička vkladá, je polovica polomeru loptičky. Pod akým uhlom sklonu na doskách k horizontu loptička vyskočí z jamky?
V každej sústave hmotných bodov, a teda aj sústave telies, existuje jeden pozoruhodný bod C, ktorý je tzv ťažisko alebo stred zotrvačnosti systémov. Jeho poloha je určená vektorom polomeru r c:
Pre ťažisko platí nasledujúce tvrdenie: keď sa akýkoľvek systém častíc pohybuje, jeho ťažisko sa pohybuje, ako keby sa celá hmotnosť systému sústredila v tomto bode a všetky externé sily pôsobiace na systém. Podľa formy pohybová rovnica pre ťažisko sa zhoduje s druhým Newtonovým zákonom:
kde je zrýchlenie ťažiska.
Rovnica dynamiky rotačného pohybu
o rotačný pohyb tuhého telesa je analógom druhého Newtonovho zákona základná rovnica dynamiky rotačného pohybu, ktorý vyzerá takto:
kde e- uhlové zrýchlenie, M- celkový moment síl okolo osi otáčania. Ak sa pri pohybe mení moment zotrvačnosti telesa, musí sa tento zákon uplatniť v tejto forme:
kde je moment hybnosti tuhého telesa.
Akýkoľvek pohyb tuhého telesa môže byť reprezentovaný ako superpozícia dvoch hlavných typov pohybu - translačného a rotačného. Napríklad kotúľanie lopty si možno predstaviť ako pohyb so zrýchlením rovným zrýchleniu ťažiska a rotáciu okolo osi prechádzajúcej cez ťažisko. Každý pohyb podlieha, ako je uvedené v tabuľke 5, príslušným zákonom.
Zákony dynamiky v neinerciálnych vzťažných sústavách.
Zotrvačné sily
Nazývajú sa referenčné sústavy pohybujúce sa so zrýchlením vzhľadom na inerciálne sústavy neinerciálny (NISO) a nespĺňajú vyššie uvedené zákony dynamiky: druhý Newtonov zákon, pohybovú rovnicu ťažiska, rovnicu dynamiky rotačného pohybu. Môžu byť však zachované pre neinerciálne sústavy, ak okrem obvyklých interakčných síl F zaviesť viac „síl“ špeciálnej povahy Fv volal zotrvačné sily... Ich zavedenie je spôsobené zrýchlením pohybu neinerciálnej vzťažnej sústavy voči inerciálnej.
Zákony dynamiky Tabuľka 5
| Fyzická situácia | Platné zákony |
| Priamočiary pohyb hmotného bodu, posuvný pohyb tuhého telesa | Druhý Newtonov zákon |
| Pohyb hmotného bodu po kružnici alebo inej zakrivenej dráhe | Druhý Newtonov zákon |
| Rotácia tuhého telesa okolo pevnej osi | Základný zákon dynamiky rotačného pohybu |
| Komplexný pohyb tuhého telesa | Pohybová rovnica ťažiska a rovnica dynamiky rotačného pohybu |
V NISO budú mať zákony dynamiky formu:
druhý Newtonov zákon +;
pohybová rovnica ťažiska +;
rovnica dynamiky rotačného pohybu +.
Existujú dva hlavné typy neinerciálnych systémov. Označme symbolom TO zotrvačný referenčný rámec a - neinerciálny.
1.pohybuje sa relatívne TO s neustálym zrýchľovaním. V tomto prípade by sa do rovníc dynamiky malo zaviesť sila zotrvačnosti rovná sa = - ma c. Zvážte ťažisko ako bod pôsobenia tejto sily.