Wazo la mlolongo wa nambari linamaanisha kwamba kila nambari asilia inalingana na thamani fulani halisi. Msururu kama huo wa nambari unaweza kuwa wa kiholela au kuwa na mali fulani - maendeleo. Katika kesi ya mwisho, kila kipengele kinachofuata (mwanachama) cha mlolongo kinaweza kuhesabiwa kwa kutumia uliopita.
Ukuaji wa hesabu ni mlolongo wa maadili ya nambari ambayo maneno ya jirani hutofautiana kutoka kwa kila mmoja. nambari sawa(vitu vyote vya safu, kuanzia ya 2, vina mali sawa). Nambari hii - tofauti kati ya maneno ya awali na yafuatayo - ni mara kwa mara na inaitwa tofauti ya maendeleo.
Tofauti ya maendeleo: ufafanuzi
Fikiria mlolongo unaojumuisha j thamani A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ni ya seti. nambari za asili N. Uendelezaji wa hesabu, kulingana na ufafanuzi wake, ni mfuatano ambao a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) - a(j-1) = d. Thamani d ndiyo tofauti inayotakikana ya mwendelezo huu.
d = a(j) – a(j-1).
Kuonyesha:
- Mwendelezo unaoongezeka, ambapo d > 0. Mfano: 4, 8, 12, 16, 20, ...
- Kupungua kwa maendeleo, basi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Maendeleo ya tofauti na vipengele vyake vya kiholela
Ikiwa masharti 2 ya kiholela ya maendeleo yanajulikana (i-th, k-th), basi tofauti ya mlolongo fulani inaweza kuamua kulingana na uhusiano:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, ambayo ina maana d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Tofauti ya maendeleo na muhula wake wa kwanza
Usemi huu utasaidia kuamua thamani isiyojulikana tu katika hali ambapo nambari ya kipengele cha mlolongo inajulikana.
Tofauti ya maendeleo na jumla yake
Jumla ya mwendelezo ni jumla ya masharti yake. Ili kuhesabu jumla ya thamani ya vipengele vyake vya kwanza vya j, tumia fomula inayofaa:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, lakini tangu a(j) = a(1) + d(j – 1), kisha S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.
Kwa mfano, mlolongo \(2\); \(5\); \(8\); \(kumi na moja\); \(14\)... ni mwendelezo wa hesabu, kwa sababu kila kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia kwa tatu (kinaweza kupatikana kutoka kwa kilichotangulia kwa kuongeza tatu):
Katika mwendelezo huu, tofauti \(d\) ni chanya (sawa na \(3\)), na kwa hivyo kila muhula unaofuata ni mkubwa kuliko uliopita. Maendeleo kama haya yanaitwa kuongezeka.
Walakini, \(d\) pia inaweza kuwa nambari hasi. Kwa mfano, katika maendeleo ya hesabu \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... tofauti ya uendelezaji \(d\) ni sawa na minus sita.
Na katika kesi hii, kila kipengele kinachofuata kitakuwa kidogo kuliko kilichotangulia. Maendeleo haya yanaitwa kupungua.
Nukuu ya maendeleo ya hesabu
Maendeleo yanaonyeshwa kwa herufi ndogo ya Kilatini.
Nambari zinazounda mwendelezo huitwa wanachama(au vipengele).
Zinaonyeshwa kwa herufi sawa na maendeleo ya hesabu, lakini kwa faharisi ya nambari sawa na nambari ya kitu kwa mpangilio.
Kwa mfano, maendeleo ya hesabu\(a_n = \kushoto\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) inajumuisha vipengele \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) na kadhalika.
Kwa maneno mengine, kwa mwendelezo \(a_n = \kushoto\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Kutatua matatizo ya maendeleo ya hesabu
Kimsingi, habari iliyowasilishwa hapo juu tayari inatosha kutatua karibu shida yoyote ya maendeleo ya hesabu (pamoja na zile zinazotolewa katika OGE).
Mfano (OGE).
Ukuaji wa hesabu hubainishwa na masharti \(b_1=7; d=4\). Tafuta \(b_5\).
Suluhisho:
Jibu: \(b_5=23\)
Mfano (OGE).
Masharti matatu ya kwanza ya mwendelezo wa hesabu yametolewa: \(62; 49; 36…\) Tafuta thamani ya neno hasi la kwanza la mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
Tunapewa vipengele vya kwanza vya mlolongo na tunajua kwamba ni maendeleo ya hesabu. Hiyo ni, kila kipengele hutofautiana na jirani yake kwa idadi sawa. Wacha tujue ni ipi kwa kutoa iliyotangulia kutoka kwa kipengele kinachofuata: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sasa tunaweza kurejesha uendelezaji wetu kwa kipengele (cha kwanza hasi) tunachohitaji. |
|
|
Tayari. Unaweza kuandika jibu. |
Jibu: \(-3\)
Mfano (OGE).
Kwa kuzingatia vipengele kadhaa mfululizo vya maendeleo ya hesabu: \(…5; x; 10; 12.5...\) Tafuta thamani ya kipengele kilichoteuliwa na herufi \(x\).
Suluhisho:
|
|
Ili kupata \(x\), tunahitaji kujua ni kiasi gani kipengele kinachofuata kinatofautiana na kilichotangulia, kwa maneno mengine, tofauti ya maendeleo. Hebu tutafute kutoka kwa vipengele viwili vinavyojulikana jirani: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Na sasa tunaweza kupata kile tunachotafuta kwa urahisi: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Tayari. Unaweza kuandika jibu. |
Jibu: \(7,5\).
Mfano (OGE).
Uendelezaji wa hesabu hufafanuliwa na masharti yafuatayo: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Tafuta jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
Tunahitaji kupata jumla ya masharti sita ya kwanza ya mwendelezo. Lakini hatujui maana zao, tumepewa tu kipengele cha kwanza. Kwa hivyo, kwanza tunahesabu maadili moja baada ya nyingine, kwa kutumia kile tulichopewa: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Kiasi kinachohitajika kimepatikana. |
Jibu: \(S_6=9\).
Mfano (OGE).
Katika maendeleo ya hesabu \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Tafuta tofauti ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
Jibu: \(d=7\).
Fomula muhimu za maendeleo ya hesabu
Kama unaweza kuona, shida nyingi juu ya maendeleo ya hesabu zinaweza kutatuliwa kwa kuelewa jambo kuu - kwamba maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa nambari, na kila kipengele kinachofuata kwenye mlolongo huu kinapatikana kwa kuongeza nambari sawa kwa ile iliyotangulia ( tofauti ya maendeleo).
Hata hivyo, wakati mwingine kuna hali wakati kuamua "kichwa-juu" ni mbaya sana. Kwa mfano, fikiria kwamba katika mfano wa kwanza kabisa hatuhitaji kupata kipengele cha tano \(b_5\), lakini mia tatu na themanini na sita \(b_(386)\). Je, tuongeze mara nne \(385\)? Au fikiria kuwa katika mfano wa mwisho unahitaji kupata jumla ya vitu sabini na tatu vya kwanza. Utakuwa umechoka kuhesabu ...
Kwa hivyo, katika hali kama hizi hazisuluhishi vitu "kichwa-juu", lakini hutumia fomula maalum zinazotokana na maendeleo ya hesabu. Na kuu ni fomula ya muhula wa nth wa kuendelea na fomula ya jumla ya \(n\) maneno ya kwanza.
Mfumo wa neno \(n\)th: \(a_n=a_1+(n-1)d\), ambapo \(a_1\) ni muhula wa kwanza wa mwendelezo;
\(n\) - nambari ya kipengele kinachohitajika;
\(a_n\) - muda wa kuendelea na nambari \(n\).
Njia hii inaruhusu sisi kupata haraka hata kipengele cha mia tatu au milioni, tukijua tu ya kwanza na tofauti ya maendeleo.
Mfano.
Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Tafuta \(b_(246)\).
Suluhisho:
Jibu: \(b_(246)=1850\).
Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), ambapo
\(a_n\) - muhtasari wa mwisho;
Mfano (OGE).
Mwendelezo wa hesabu hubainishwa na masharti \(a_n=3.4n-0.6\). Tafuta jumla ya masharti ya \(25\) ya kwanza ya mwendelezo huu.
Suluhisho:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\) |
Ili kuhesabu jumla ya maneno ishirini na tano ya kwanza, tunahitaji kujua thamani ya maneno ya kwanza na ishirini na tano. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
Sasa hebu tutafute muhula wa ishirini na tano kwa kubadilisha ishirini na tano badala ya \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
Naam, sasa tunaweza kuhesabu kwa urahisi kiasi kinachohitajika. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jibu liko tayari. |
Jibu: \(S_(25)=1090\).
Kwa jumla \(n\) ya maneno ya kwanza, unaweza kupata fomula nyingine: unahitaji tu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\)\ (\cdot 25\ ) badala ya \(a_n\) badilisha fomula yake \(a_n=a_1+(n-1)d\). Tunapata:
Fomula ya jumla ya maneno n ya kwanza: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), ambapo
\(S_n\) - jumla inayohitajika ya \(n\) vipengele vya kwanza;
\(a_1\) - muhtasari wa kwanza;
\(d\) - tofauti ya maendeleo;
\(n\) - idadi ya vipengele kwa jumla.
Mfano.
Pata jumla ya masharti ya kwanza \(33\)-ex ya maendeleo ya hesabu: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
Suluhisho:
Jibu: \(S_(33)=-231\).
Matatizo magumu zaidi ya maendeleo ya hesabu
Sasa una kila kitu taarifa muhimu kwa kutatua karibu tatizo lolote la maendeleo ya hesabu. Wacha tumalizie mada kwa kuzingatia shida ambazo hauitaji tu kutumia fomula, lakini pia fikiria kidogo (katika hisabati hii inaweza kuwa muhimu ☺)
Mfano (OGE).
Pata jumla ya masharti yote mabaya ya maendeleo: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Suluhisho:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Kazi ni sawa na ile iliyopita. Tunaanza kutatua kitu kimoja: kwanza tunapata \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sasa ningependa kubadilisha \(d\) katika fomula ya jumla... na hapa inakuja nuance ndogo- hatujui \(n\). Kwa maneno mengine, hatujui ni maneno mangapi yatahitaji kuongezwa. Jinsi ya kujua? Hebu fikiria. Tutaacha kuongeza vipengele tutakapofikia kipengele chanya cha kwanza. Hiyo ni, unahitaji kujua idadi ya kipengele hiki. Vipi? Hebu tuandike fomula ya kukokotoa kipengele chochote cha maendeleo ya hesabu: \(a_n=a_1+(n-1)d\) kwa kesi yetu. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
Tunahitaji \(a_n\) ili kuwa Juu ya sifuri. Wacha tujue ni nini \(n\) hii itatokea. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Tunagawanya pande zote mbili za ukosefu wa usawa kwa \(0.3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
Tunahamisha minus moja, bila kusahau kubadilisha ishara |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
Hebu tuhesabu... |
|
|
\(n>65,333…\) |
...na inabadilika kuwa kipengele cha kwanza chanya kitakuwa na nambari \(66\). Ipasavyo, hasi ya mwisho ina \(n=65\). Ikiwezekana, wacha tuangalie hii. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
Kwa hivyo tunahitaji kuongeza vitu \(65\) vya kwanza. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdoti (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jibu liko tayari. |
Jibu: \(S_(65)=-630.5\).
Mfano (OGE).
Maendeleo ya hesabu yanabainishwa na masharti: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Pata jumla kutoka \(26\)th hadi \(42\) kipengele kikiwa pamoja.
Suluhisho:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Katika tatizo hili unahitaji pia kupata jumla ya vipengele, lakini kuanzia si kutoka kwa kwanza, lakini kutoka \(26\)th. Kwa kesi kama hiyo hatuna fomula. Jinsi ya kuamua? |
|
|
Kwa maendeleo yetu \(a_1=-33\), na tofauti \(d=4\) (baada ya yote, ni nne ambazo tunaongeza kwenye kipengele kilichotangulia ili kupata kinachofuata). Kujua hili, tunapata jumla ya vipengele vya kwanza \(42\)-y. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdoti 42=\) |
Sasa jumla ya vipengele \(25\) vya kwanza. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdoti (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Na hatimaye, tunahesabu jibu. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Jibu: \(S=1683\).
Kwa maendeleo ya hesabu, kuna fomula kadhaa zaidi ambazo hatukuzingatia katika nakala hii kwa sababu ya matumizi yao ya chini ya vitendo. Hata hivyo, unaweza kupata yao kwa urahisi.
Kabla hatujaanza kuamua matatizo ya maendeleo ya hesabu, tuangalie ni nini mlolongo wa nambari, kwa kuwa maendeleo ya hesabu ni kesi maalum mlolongo wa nambari.
Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, kila kipengele ambacho kina yake nambari ya serial . Vipengele vya seti hii huitwa washiriki wa mlolongo. Nambari ya serial ya kipengele cha mlolongo inaonyeshwa na faharisi:
Kipengele cha kwanza cha mlolongo;
Kipengele cha tano cha mlolongo;
- kipengele cha "nth" cha mlolongo, i.e. kipengele "kusimama kwenye foleni" kwa nambari n.
Kuna uhusiano kati ya thamani ya kipengele cha mfuatano na nambari yake ya mfuatano. Kwa hivyo, tunaweza kuzingatia mfuatano kama chaguo la kukokotoa ambalo hoja yake ni nambari ya mpangilio wa kipengele cha mfuatano. Kwa maneno mengine, tunaweza kusema hivyo mlolongo ni kazi ya hoja asilia:
Mlolongo unaweza kuweka kwa njia tatu:
1 . Mlolongo unaweza kubainishwa kwa kutumia meza. Katika kesi hii, tunaweka tu thamani ya kila mwanachama wa mlolongo.
Kwa mfano, Mtu aliamua kuchukua usimamizi wa wakati wa kibinafsi, na kwa kuanzia, hesabu muda gani anatumia kwenye VKontakte wakati wa wiki. Kwa kurekodi wakati kwenye jedwali, atapokea mlolongo unaojumuisha vitu saba:
Mstari wa kwanza wa meza unaonyesha idadi ya siku ya juma, ya pili - wakati katika dakika. Tunaona kwamba, yaani, Jumatatu Mtu alitumia dakika 125 kwenye VKontakte, yaani, Alhamisi - dakika 248, na, yaani, Ijumaa 15 tu.
2 . Mfuatano unaweza kubainishwa kwa kutumia fomula ya neno la nth.
Katika kesi hii, utegemezi wa thamani ya kipengele cha mlolongo kwenye nambari yake huonyeshwa moja kwa moja kwa namna ya fomula.
Kwa mfano, ikiwa, basi
Ili kupata thamani ya kipengele cha mfuatano na nambari fulani, tunabadilisha nambari ya kipengele kwenye fomula ya neno la nth.
Tunafanya vivyo hivyo ikiwa tunahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa ikiwa thamani ya hoja inajulikana. Tunabadilisha thamani ya hoja katika mlinganyo wa kukokotoa:
Ikiwa, kwa mfano, 
, Hiyo
Napenda kumbuka tena kwamba katika mlolongo, tofauti na kazi ya nambari ya kiholela, hoja inaweza tu kuwa nambari ya asili.
3 . Mlolongo unaweza kubainishwa kwa kutumia fomula inayoonyesha utegemezi wa thamani ya nambari ya mfuatano wa nambari n kwa maadili ya washiriki waliotangulia. Katika kesi hii, haitoshi kwetu kujua tu nambari ya mwanachama wa mlolongo ili kupata thamani yake. Tunahitaji kubainisha mshiriki wa kwanza au washiriki wachache wa kwanza wa mfuatano huo.
Kwa mfano, fikiria mlolongo 
, 
Tunaweza kupata maadili ya washiriki wa mlolongo kwa mfuatano, kuanzia ya tatu:
Hiyo ni, kila wakati, ili kupata thamani ya muda wa nth wa mlolongo, tunarudi kwa mbili zilizopita. Njia hii ya kutaja mlolongo inaitwa mara kwa mara, kutoka kwa neno la Kilatini kujirudia- kurudi.
Sasa tunaweza kufafanua maendeleo ya hesabu. Ukuaji wa hesabu ni kesi maalum rahisi ya mlolongo wa nambari.
Maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa nambari, kila mwanachama ambayo, kuanzia ya pili, ni sawa na ya awali iliyoongezwa kwa nambari sawa.
Nambari inaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu. Tofauti ya maendeleo ya hesabu inaweza kuwa chanya, hasi, au sawa na sifuri.
Ikiwa title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} kuongezeka.
Kwa mfano, 2; 5; 8; kumi na moja;...
Ikiwa , basi kila muda wa maendeleo ya hesabu ni chini ya uliopita, na maendeleo ni kupungua.
Kwa mfano, 2; -1; -4; -7;...
Ikiwa , basi masharti yote ya maendeleo ni sawa na nambari sawa, na maendeleo ni stationary.
Kwa mfano, 2;2;2;2;...
Sifa kuu ya maendeleo ya hesabu:
Hebu tuangalie mchoro.
Tunaona hilo
, na wakati huo huo
Kuongeza usawa hizi mbili, tunapata:
.
Wacha tugawanye pande zote mbili za usawa kwa 2:
Kwa hivyo, kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na maana ya hesabu ya hizo mbili jirani:
Aidha, tangu
, na wakati huo huo
, Hiyo
, na kwa hiyo
Kila neno la mwendelezo wa hesabu, kuanzia title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Mfumo wa muhula.
Tunaona kwamba masharti ya maendeleo ya hesabu yanakidhi mahusiano yafuatayo:
na hatimaye
Tumepata fomula ya muhula wa nth.
MUHIMU! Mwanachama yeyote wa maendeleo ya hesabu anaweza kuonyeshwa kupitia na. Kujua muda wa kwanza na tofauti ya maendeleo ya hesabu, unaweza kupata masharti yake yoyote.
Jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu.
Katika mwendelezo wa hesabu wa kiholela, hesabu za istilahi zinazolingana na zile zilizokithiri ni sawa kwa kila moja:
Fikiria mwendelezo wa hesabu na istilahi n. Wacha jumla ya masharti n ya mwendelezo huu iwe sawa na .
Wacha tupange masharti ya maendeleo kwanza kwa mpangilio wa nambari, na kisha kwa mpangilio wa kushuka:
Wacha tuongeze kwa jozi:
Jumla katika kila mabano ni , idadi ya jozi ni n.
Tunapata:
Kwa hiyo, jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu yanaweza kupatikana kwa kutumia fomula:
Hebu tuzingatie kutatua matatizo ya maendeleo ya hesabu.
1 . Mlolongo hutolewa na fomula ya neno la nth: . Thibitisha kwamba mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu.
Hebu tuthibitishe kwamba tofauti kati ya maneno mawili ya karibu ya mlolongo ni sawa na idadi sawa.
Tuligundua kuwa tofauti kati ya washiriki wawili wa karibu wa mlolongo haitegemei idadi yao na ni ya kudumu. Kwa hiyo, kwa ufafanuzi, mlolongo huu ni maendeleo ya hesabu.
2 . Kutokana na maendeleo ya hesabu -31; -27;...
a) Tafuta masharti 31 ya mwendelezo.
b) Amua ikiwa nambari 41 imejumuishwa katika mwendelezo huu.
A) Tunaona kwamba;
Wacha tuandike fomula ya muhula wa nth kwa maendeleo yetu.
Kwa ujumla 
Kwa upande wetu 
, Ndiyo maana 
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Kuendelea kwa hesabu ni mfululizo wa nambari ambapo kila nambari ni kubwa (au chini) kuliko ile ya awali kwa kiasi sawa.
Mada hii mara nyingi inaonekana ngumu na isiyoeleweka. Fahirisi za barua muhula wa nth maendeleo, tofauti za maendeleo - yote haya kwa namna fulani yanachanganya, ndiyo... Hebu tuchunguze maana ya maendeleo ya hesabu na kila kitu kitakuwa bora mara moja.)
Dhana ya maendeleo ya hesabu.
Kuendelea kwa hesabu ni dhana rahisi sana na iliyo wazi. Je, una shaka yoyote? Kwa bure.) Jionee mwenyewe.
Nitaandika safu ambazo hazijakamilika:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Je, unaweza kupanua mfululizo huu? Ni nambari gani zitafuata, baada ya zile tano? Kila mtu ... uh ..., kwa kifupi, kila mtu atatambua kwamba nambari 6, 7, 8, 9, nk zitakuja.
Wacha tufanye kazi ngumu. Ninakupa safu ambayo haijakamilika ya nambari:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Utaweza kupata muundo, kupanua mfululizo, na jina ya saba nambari ya safu?
Ikiwa umegundua kuwa nambari hii ni 20, pongezi! Sio tu ulihisi pointi muhimu maendeleo ya hesabu, lakini pia kuzitumia kwa mafanikio katika biashara! Ikiwa haujaelewa, endelea.
Sasa hebu tutafsiri mambo muhimu kutoka kwa hisia hadi hisabati.)
Jambo kuu la kwanza.
Ukuaji wa hesabu huhusika na mfululizo wa nambari. Hii inachanganya mwanzoni. Tumezoea kutatua equations, kuchora grafu na yote ... Lakini hapa tunapanua mfululizo, pata idadi ya mfululizo ...
Ni sawa. Ni kwamba maendeleo ni kufahamiana kwa kwanza na tawi jipya la hisabati. Sehemu hiyo inaitwa "Mfululizo" na inafanya kazi mahsusi na mfululizo wa nambari na misemo. Izoee.)
Jambo kuu la pili.
Katika maendeleo ya hesabu, nambari yoyote ni tofauti na ile iliyopita kwa kiasi sawa.
Katika mfano wa kwanza, tofauti hii ni moja. Nambari yoyote unayochukua, ni moja zaidi ya ile iliyotangulia. Katika pili - tatu. Nambari yoyote ni tatu zaidi ya ile iliyopita. Kwa kweli, ni wakati huu ambao unatupa fursa ya kufahamu muundo na kuhesabu nambari zinazofuata.
Jambo kuu la tatu.
Wakati huu sio wa kushangaza, ndio ... Lakini ni muhimu sana. Huyu hapa: kila mmoja nambari ya maendeleo inasimama mahali pake. Kuna nambari ya kwanza, kuna ya saba, kuna ya arobaini na tano, nk. Ikiwa unawachanganya kwa nasibu, muundo utatoweka. Maendeleo ya hesabu pia yatatoweka. Kilichobaki ni msururu wa nambari.
Hiyo ndiyo hoja nzima.
Bila shaka, katika mada mpya masharti mapya na nyadhifa zinaonekana. Unahitaji kuwajua. Vinginevyo huwezi kuelewa kazi. Kwa mfano, itabidi uamue kitu kama:
Andika masharti sita ya kwanza ya maendeleo ya hesabu (a n), ikiwa 2 = 5, d = -2.5.
Kuhamasisha?) Barua, baadhi ya indexes ... Na kazi, kwa njia, haikuweza kuwa rahisi. Unahitaji tu kuelewa maana ya masharti na uteuzi. Sasa tutasimamia jambo hili na kurudi kwenye kazi.
Masharti na uteuzi.
Maendeleo ya hesabu ni msururu wa nambari ambamo kila nambari ni tofauti na ile iliyotangulia kwa kiasi sawa.
Kiasi hiki kinaitwa . Hebu tuangalie dhana hii kwa undani zaidi.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu ni kiasi ambacho nambari yoyote ya maendeleo zaidi uliopita.
Moja hatua muhimu. Tafadhali makini na neno "zaidi". Kihisabati, hii inamaanisha kuwa kila nambari ya maendeleo ni kwa kuongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu kwa nambari iliyotangulia.
Ili kuhesabu, tuseme pili idadi ya mfululizo, unahitaji kwanza nambari ongeza tofauti hii ya maendeleo ya hesabu. Kwa hesabu tano- tofauti ni muhimu ongeza Kwa nne, vizuri, nk.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu Labda chanya, basi kila nambari kwenye safu itageuka kuwa halisi zaidi ya ile iliyotangulia. Mwendelezo huu unaitwa kuongezeka. Kwa mfano:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Hapa kila nambari inapatikana kwa kuongeza nambari chanya, +5 kwa ile iliyotangulia.
Tofauti inaweza kuwa hasi, basi kila nambari kwenye safu itakuwa chini ya ile ya awali. Mwendelezo huu unaitwa (hutaamini!) kupungua.
Kwa mfano:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Hapa kila nambari pia hupatikana kwa kuongeza kwa ile iliyotangulia, lakini tayari nambari hasi, -5.
Kwa njia, wakati wa kufanya kazi na maendeleo, ni muhimu sana kuamua mara moja asili yake - ikiwa inaongezeka au inapungua. Hii husaidia sana kuabiri uamuzi, kutambua makosa yako na kuyasahihisha kabla haijachelewa.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu kawaida huonyeshwa na barua d.
Jinsi ya kupata d? Rahisi sana. Inahitajika kuondoa nambari yoyote kwenye safu uliopita nambari. Ondoa. Kwa njia, matokeo ya kutoa huitwa "tofauti".)
Hebu tufafanue, kwa mfano, d kwa kuongeza maendeleo ya hesabu:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Tunachukua nambari yoyote katika mfululizo tunayotaka, kwa mfano, 11. Tunaondoa kutoka kwake nambari iliyotangulia hizo. 8:
Hili ndilo jibu sahihi. Kwa maendeleo haya ya hesabu, tofauti ni tatu.
Unaweza kuichukua nambari yoyote ya maendeleo, kwa sababu kwa maendeleo maalum d-daima sawa. Angalau mahali fulani mwanzoni mwa safu, angalau katikati, angalau mahali popote. Huwezi kuchukua nambari ya kwanza tu. Kwa sababu tu nambari ya kwanza hakuna iliyotangulia.)
Kwa njia, kujua hilo d=3, kupata nambari ya saba ya maendeleo haya ni rahisi sana. Hebu tuongeze 3 kwa namba ya tano - tunapata ya sita, itakuwa 17. Hebu tuongeze tatu kwa namba ya sita, tunapata namba ya saba - ishirini.
Hebu tufafanue d kwa kushuka kwa maendeleo ya hesabu:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Ninakukumbusha kwamba, bila kujali ishara, kuamua d hitaji kutoka kwa nambari yoyote ondoa ile iliyotangulia. Chagua nambari yoyote ya maendeleo, kwa mfano -7. Nambari yake ya awali ni -2. Kisha:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Tofauti ya maendeleo ya hesabu inaweza kuwa nambari yoyote: nambari kamili, ya sehemu, isiyo na maana, nambari yoyote.
Masharti na majina mengine.
Kila nambari kwenye safu inaitwa mwanachama wa maendeleo ya hesabu.
Kila mwanachama wa maendeleo ina nambari yake mwenyewe. Nambari ziko kwa mpangilio, bila hila yoyote. Kwanza, pili, tatu, nne, nk. Kwa mfano, katika maendeleo ya 2, 5, 8, 11, 14, ... mbili ni muda wa kwanza, tano ni wa pili, kumi na moja ni ya nne, vizuri, unaelewa ...) Tafadhali elewa wazi - namba zenyewe inaweza kuwa kitu chochote, nzima, sehemu, hasi, chochote, lakini idadi ya nambari- madhubuti kwa utaratibu!
Jinsi ya kuandika maendeleo katika mtazamo wa jumla? Hakuna shida! Kila nambari katika safu imeandikwa kama barua. Ili kuashiria maendeleo ya hesabu, barua hutumiwa kawaida a. Nambari ya mwanachama inaonyeshwa na fahirisi chini kulia. Tunaandika maneno yaliyotenganishwa na koma (au nusukoloni), kama hii:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- hii ndio nambari ya kwanza, a 3- tatu, nk. Hakuna dhana. Mfululizo huu unaweza kuandikwa kwa ufupi kama hii: ( n).
Maendeleo hutokea isiyo na mwisho na isiyo na mwisho.
Mwisho maendeleo yana idadi ndogo ya wanachama. Tano, thelathini na nane, chochote kile. Lakini ni nambari yenye kikomo.
Isiyo na mwisho maendeleo - ina idadi isiyo na kikomo ya washiriki, kama unavyoweza kukisia.)
Unaweza kuandika mwendelezo wa mwisho kupitia mfululizo kama huu, masharti yote na nukta mwishoni:
a 1, 2, 3, 4, 5.
Au kama hii, ikiwa kuna wanachama wengi:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
KATIKA noti fupi itabidi pia uonyeshe idadi ya wanachama. Kwa mfano (kwa washiriki ishirini), kama hii:
(n), n = 20
Mwendelezo usio na kikomo unaweza kutambuliwa na duaradufu mwishoni mwa safu, kama katika mifano katika somo hili.
Sasa unaweza kutatua kazi. Kazi ni rahisi, kwa kuelewa maana ya maendeleo ya hesabu.
Mifano ya kazi juu ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tuangalie kazi iliyopewa hapo juu kwa undani:
1. Andika masharti sita ya kwanza ya maendeleo ya hesabu (a n), ikiwa 2 = 5, d = -2.5.
Tunatafsiri kazi hiyo kwa lugha inayoeleweka. Uendelezaji usio na kikomo wa hesabu hutolewa. Nambari ya pili ya maendeleo haya inajulikana: a 2 = 5. Tofauti ya maendeleo inajulikana: d = -2.5. Tunahitaji kupata muhula wa kwanza, wa tatu, wa nne, wa tano na wa sita wa mwendelezo huu.
Kwa uwazi, nitaandika mfululizo kulingana na hali ya tatizo. Mihula sita ya kwanza, ambapo muhula wa pili ni tano:
1, 5, 3, 4, 5, 6, ...
a 3 = a 2 + d
Badilisha katika kujieleza a 2 = 5 Na d = -2.5. Usisahau kuhusu minus!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Muhula wa tatu uligeuka chini ya mbili. Kila kitu ni mantiki. Ikiwa nambari ni kubwa kuliko ile iliyopita hasi thamani, ambayo ina maana kwamba nambari yenyewe itakuwa chini ya ile ya awali. Maendeleo yanapungua. Sawa, wacha tuizingatie.) Tunahesabu muhula wa nne wa mfululizo wetu:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Kwa hivyo, maneno kutoka kwa tatu hadi ya sita yalihesabiwa. Matokeo yake ni mfululizo ufuatao:
a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....
Inabakia kupata muhula wa kwanza a 1 kulingana na sekunde inayojulikana. Hii ni hatua kwa upande mwingine, upande wa kushoto.) Kwa hiyo, tofauti ya maendeleo ya hesabu d haipaswi kuongezwa a 2, A kuchukua:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Ni hayo tu. Jibu la mgawo:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Kwa kupita, ningependa kutambua kwamba tulitatua kazi hii mara kwa mara njia. Neno hili la kutisha linamaanisha tu utafutaji wa mwanachama wa maendeleo kulingana na nambari iliyotangulia (karibu). Tutaangalia njia zingine za kufanya kazi na maendeleo hapa chini.
Hitimisho moja muhimu linaweza kutolewa kutoka kwa kazi hii rahisi.
Kumbuka:
Ikiwa tunajua angalau muhula mmoja na tofauti ya maendeleo ya hesabu, tunaweza kupata neno lolote la mwendelezo huu.
Unakumbuka? Hitimisho hili rahisi hukuruhusu kutatua shida nyingi za kozi ya shule kwenye mada hii. Kazi zote zinazunguka tatu kuu vigezo: mwanachama wa maendeleo ya hesabu, tofauti ya maendeleo, idadi ya mwanachama wa maendeleo. Wote.
Bila shaka, aljebra zote za awali hazijaghairiwa.) Kutokuwepo kwa usawa, milinganyo, na mambo mengine yameambatanishwa na mwendelezo. Lakini kulingana na mwendelezo wenyewe- kila kitu kinazunguka vigezo vitatu.
Kwa mfano, wacha tuangalie kazi kadhaa maarufu kwenye mada hii.
2. Andika kuendelea kwa hesabu kama mfululizo ikiwa n=5, d = 0.4, na 1 = 3.6.
Kila kitu ni rahisi hapa. Kila kitu tayari kimetolewa. Unahitaji kukumbuka jinsi washiriki wa maendeleo ya hesabu wanavyohesabiwa, kuwahesabu, na kuwaandika. Inashauriwa usikose maneno katika hali ya kazi: "mwisho" na " n=5". Ili usihesabie hadi uwe na rangi ya samawati kabisa usoni.) Kuna washiriki 5 (watano) tu katika mwendelezo huu:
a 2 = a 1 + d = 3.6 + 0.4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0.4 = 4.4
a 4 = a 3 + d = 4.4 + 0.4 = 4.8
a 5 = a 4 + d = 4.8 + 0.4 = 5.2
Inabakia kuandika jibu:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Kazi nyingine:
3. Amua ikiwa nambari 7 itakuwa mwanachama wa maendeleo ya hesabu (a n), ikiwa a 1 = 4.1; d = 1.2.
Hmm... Nani anajua? Jinsi ya kuamua kitu?
Jinsi-vipi... Andika maendeleo katika mfumo wa mfululizo na uone kama kutakuwa na saba hapo au la! Tunahesabu:
a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3
a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5
a 4 = a 3 + d = 6.5 + 1.2 = 7.7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sasa inaonekana wazi kwamba sisi ni saba tu slipped kupitia kati ya 6.5 na 7.7! Saba haikuanguka katika safu yetu ya nambari, na, kwa hivyo, saba haitakuwa mwanachama wa maendeleo yaliyotolewa.
Jibu: hapana.
Hapa kuna shida kulingana na chaguo halisi GIA:
4. Masharti kadhaa mfululizo ya maendeleo ya hesabu yameandikwa:
...; 15; X; 9; 6; ...
Hapa kuna mfululizo ulioandikwa bila mwisho na mwanzo. Hakuna nambari za wanachama, hakuna tofauti d. Ni sawa. Ili kutatua tatizo, inatosha kuelewa maana ya maendeleo ya hesabu. Wacha tuangalie na tuone kinachowezekana kujua kutoka kwa mfululizo huu? Je, ni vigezo gani vitatu kuu?
Nambari za wanachama? Hakuna nambari moja hapa.
Lakini kuna nambari tatu na - tahadhari! - neno "thabiti" katika hali. Hii ina maana kwamba idadi ni madhubuti kwa utaratibu, bila mapungufu. Je, kuna mbili katika safu hii? jirani nambari zinazojulikana? Ndio ninayo! Hizi ni 9 na 6. Kwa hiyo, tunaweza kuhesabu tofauti ya maendeleo ya hesabu! Ondoa kutoka sita uliopita nambari, i.e. tisa:
Yamebaki mambo madogo madogo tu. Je, ni nambari gani iliyotangulia itakuwa ya X? Kumi na tano. Hii inamaanisha kuwa X inaweza kupatikana kwa urahisi kwa kuongeza rahisi. Ongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu hadi 15:
Ni hayo tu. Jibu: x=12
Tunatatua matatizo yafuatayo sisi wenyewe. Kumbuka: matatizo haya hayatokani na kanuni. Kuelewa kabisa maana ya maendeleo ya hesabu.) Tunaandika tu mfululizo wa nambari na barua, angalia na uihesabu.
5. Pata muda wa kwanza mzuri wa maendeleo ya hesabu ikiwa 5 = -3; d = 1.1.
6. Inajulikana kuwa nambari 5.5 ni mwanachama wa maendeleo ya hesabu (a n), ambapo 1 = 1.6; d = 1.3. Bainisha nambari n ya neno hili.
7. Inajulikana kuwa katika maendeleo ya hesabu 2 = 4; a 5 = 15.1. Tafuta 3.
8. Masharti kadhaa mfululizo ya maendeleo ya hesabu yameandikwa:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Tafuta muda wa mwendelezo ulioonyeshwa na herufi x.
9. Treni ilianza kusonga kutoka kwa kituo, ikiongeza kasi kwa mita 30 kwa dakika. Je, itakuwa kasi ya treni katika dakika tano? Toa jibu lako kwa km/saa.
10. Inajulikana kuwa katika maendeleo ya hesabu 2 = 5; a 6 = -5. Tafuta 1.
Majibu (katika mkanganyiko): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.
Kila kitu kilifanyika? Inashangaza! Unaweza kujua maendeleo ya hesabu kwa zaidi ngazi ya juu, katika masomo yafuatayo.
Je! kila kitu kilifanikiwa? Hakuna shida. Katika Sehemu Maalum ya 555, matatizo haya yote yanapangwa kipande kwa kipande.) Na, bila shaka, mbinu rahisi ya vitendo inaelezwa ambayo mara moja inaonyesha ufumbuzi wa kazi hizo kwa uwazi, kwa uwazi, kwa mtazamo!
Kwa njia, katika puzzle ya treni kuna matatizo mawili ambayo mara nyingi watu hujikwaa. Moja ni katika suala la maendeleo, na ya pili ni ya jumla kwa shida zozote za hisabati, na fizikia pia. Hii ni tafsiri ya vipimo kutoka moja hadi nyingine. Inaonyesha jinsi matatizo haya yanapaswa kutatuliwa.
Katika somo hili tuliangalia maana ya msingi ya maendeleo ya hesabu na vigezo vyake kuu. Hii ni ya kutosha kutatua karibu matatizo yote juu ya mada hii. Ongeza d kwa nambari, andika mfululizo, kila kitu kitatatuliwa.
Suluhisho la vidole hufanya kazi vizuri kwa vipande vifupi sana vya safu, kama katika mifano katika somo hili. Ikiwa mfululizo ni mrefu, mahesabu yanakuwa magumu zaidi. Kwa mfano, ikiwa katika tatizo la 9 katika swali tunabadilisha "dakika tano" juu "dakika thelathini na tano" tatizo litakuwa mbaya zaidi.)
Na pia kuna kazi ambazo ni rahisi kwa asili, lakini upuuzi katika suala la mahesabu, kwa mfano:
Maendeleo ya hesabu (a n) hutolewa. Tafuta 121 ikiwa 1 =3 na d=1/6.
Kwa hivyo ni nini, tutaongeza 1/6 mara nyingi?! Unaweza kujiua!?
Unaweza.) Ikiwa hujui formula rahisi, ambayo inakuwezesha kutatua kazi hizo kwa dakika. Fomula hii itakuwa katika somo linalofuata. Na tatizo hili linatatuliwa hapo. Katika dakika.)
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Watu wengine huchukulia neno "maendeleo" kwa tahadhari, kama neno ngumu sana kutoka kwa sehemu hisabati ya juu. Wakati huo huo, maendeleo rahisi zaidi ya hesabu ni kazi ya mita ya teksi (ambapo bado ipo). Na kuelewa kiini (na katika hisabati hakuna kitu muhimu zaidi kuliko "kuelewa kiini") cha mlolongo wa hesabu sio ngumu sana, baada ya kuchambua dhana chache za kimsingi.
Mlolongo wa nambari za hisabati
Mlolongo wa nambari kawaida huitwa safu ya nambari, ambayo kila moja ina nambari yake.
a 1 ni mwanachama wa kwanza wa mlolongo;
na 2 ni muda wa pili wa mlolongo;
na 7 ni mshiriki wa saba wa mfuatano huo;
na n ni mwanachama wa nth wa mlolongo;
Walakini, sio seti yoyote ya nambari na nambari inayotuvutia. Tutazingatia mfuatano wa nambari ambapo thamani ya neno la nth inahusiana na nambari yake ya kawaida kwa uhusiano ambao unaweza kutengenezwa kwa uwazi kimahesabu. Kwa maneno mengine: thamani ya nambari ya nambari ya nth ni kazi fulani ya n.
a ni thamani ya mwanachama wa mlolongo wa nambari;
n ni nambari yake ya serial;
f(n) ni chaguo la kukokotoa, ambapo nambari ya mpangilio katika mfuatano wa nambari n ndiyo hoja.
Ufafanuzi
Kuendelea kwa hesabu kwa kawaida huitwa mfuatano wa nambari ambapo kila neno linalofuata ni kubwa (chini) kuliko la awali kwa nambari sawa. Fomula ya muhula wa nth wa mlolongo wa hesabu ni kama ifuatavyo:
a n - thamani ya mwanachama wa sasa wa maendeleo ya hesabu;
n+1 - formula ya nambari inayofuata;
d - tofauti (idadi fulani).
Ni rahisi kuamua kwamba ikiwa tofauti ni chanya (d>0), basi kila mwanachama anayefuata wa mfululizo unaozingatiwa atakuwa mkubwa zaidi kuliko uliopita na maendeleo hayo ya hesabu yatakuwa yanaongezeka.
Katika grafu hapa chini ni rahisi kuona kwa nini mlolongo wa nambari inaitwa "kuongezeka".
Katika hali ambapo tofauti ni hasi (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Thamani ya mwanachama iliyobainishwa
Wakati mwingine ni muhimu kuamua thamani ya neno lolote la kiholela a n ya maendeleo ya hesabu. Hii inaweza kufanywa kwa kuhesabu sequentially maadili ya wanachama wote wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya kwanza hadi ya taka. Hata hivyo, njia hii haikubaliki kila wakati ikiwa, kwa mfano, ni muhimu kupata thamani ya muda wa elfu tano au milioni nane. Mahesabu ya jadi yatachukua muda mwingi. Hata hivyo, maendeleo maalum ya hesabu yanaweza kusomwa kwa kutumia fomula fulani. Pia kuna fomula ya muhula wa nth: thamani ya neno lolote la kuendelea kwa hesabu inaweza kuamuliwa kama jumla ya muhula wa kwanza wa mwendelezo na tofauti ya mwendelezo, ikizidishwa na idadi ya muhula unaotaka, kupunguzwa kwa moja.
Fomula ni ya ulimwengu wote kwa ajili ya kuongeza na kupunguza maendeleo.
Mfano wa kuhesabu thamani ya neno fulani
Wacha tutatue shida ifuatayo ya kupata thamani ya muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu.
Hali: kuna maendeleo ya hesabu na vigezo:
Muda wa kwanza wa mlolongo ni 3;
Tofauti katika safu ya nambari ni 1.2.
Kazi: unahitaji kupata thamani ya maneno 214
Suluhisho: kuamua thamani ya neno fulani, tunatumia fomula:
a(n) = a1 + d(n-1)
Kubadilisha data kutoka kwa taarifa ya shida hadi usemi, tunayo:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
Jibu: Muda wa 214 wa mlolongo ni sawa na 258.6.
Faida za njia hii ya hesabu ni dhahiri - suluhisho lote huchukua si zaidi ya mistari 2.
Jumla ya idadi fulani ya masharti
Mara nyingi sana, katika safu fulani ya hesabu, inahitajika kuamua jumla ya maadili ya baadhi ya sehemu zake. Ili kufanya hivyo, pia hakuna haja ya kuhesabu maadili ya kila neno na kisha kuziongeza. Njia hii inatumika ikiwa idadi ya maneno ambayo jumla yake inahitaji kupatikana ni ndogo. Katika hali nyingine, ni rahisi zaidi kutumia formula ifuatayo.
Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu kutoka 1 hadi n ni sawa na jumla ya maneno ya kwanza na ya nth, yanayozidishwa na idadi ya neno n na kugawanywa na mbili. Ikiwa katika fomula thamani ya neno la nth inabadilishwa na usemi kutoka kwa aya iliyotangulia ya kifungu, tunapata:
Mfano wa hesabu
Kwa mfano, wacha tutatue shida na hali zifuatazo:
Muda wa kwanza wa mlolongo ni sifuri;
Tofauti ni 0.5.
Shida inahitaji kuamua jumla ya masharti ya safu kutoka 56 hadi 101.
Suluhisho. Wacha tutumie fomula ya kuamua kiwango cha maendeleo:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Kwanza, tunaamua jumla ya maadili ya masharti 101 ya maendeleo kwa kubadilisha masharti tuliyopewa ya shida yetu kwenye fomula:
s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Ni wazi, ili kujua jumla ya masharti ya maendeleo kutoka 56 hadi 101, ni muhimu kutoa S 55 kutoka S 101.
s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
Kwa hivyo, jumla ya maendeleo ya hesabu kwa mfano huu ni:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5
Mfano wa matumizi ya vitendo ya maendeleo ya hesabu
Mwishoni mwa makala, hebu turudi kwa mfano wa mlolongo wa hesabu iliyotolewa katika aya ya kwanza - taximeter (mita ya gari la teksi). Hebu tufikirie mfano huu.
Kupanda teksi (ambayo ni pamoja na kilomita 3 za kusafiri) hugharimu rubles 50. Kila kilomita inayofuata inalipwa kwa kiwango cha rubles 22 / km. Umbali wa kusafiri ni kilomita 30. Kuhesabu gharama ya safari.
1. Hebu tuondoe kilomita 3 za kwanza, bei ambayo ni pamoja na gharama ya kutua.
30 - 3 = 27 km.
2. Hesabu zaidi si chochote zaidi ya kuchanganua mfululizo wa nambari za hesabu.
Nambari ya mwanachama - idadi ya kilomita zilizosafiri (ondoa tatu za kwanza).
Thamani ya mwanachama ni jumla.
Neno la kwanza katika tatizo hili litakuwa sawa na 1 = 50 rubles.
Tofauti ya maendeleo d = 22 r.
nambari tunayopendezwa nayo ni thamani ya muda wa (27+1) wa maendeleo ya hesabu - usomaji wa mita mwishoni mwa kilomita 27 ni 27.999 ... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Mahesabu ya data ya kalenda kwa muda mrefu bila mpangilio yanategemea fomula zinazoelezea mfuatano fulani wa nambari. Katika astronomia, urefu wa obiti inategemea kijiometri kwa umbali wa mwili wa mbinguni hadi nyota. Kwa kuongezea, safu kadhaa za nambari hutumiwa kwa mafanikio katika takwimu na maeneo mengine yaliyotumika ya hesabu.
Aina nyingine ya mlolongo wa nambari ni kijiometri
Uendelezaji wa kijiometri una sifa ya viwango vikubwa vya mabadiliko ikilinganishwa na maendeleo ya hesabu. Sio bahati mbaya kwamba katika siasa, sosholojia, na dawa, ili kuonyesha kasi kubwa ya kuenea kwa jambo fulani, kwa mfano, ugonjwa wakati wa janga, wanasema kwamba mchakato unaendelea katika maendeleo ya kijiometri.
Neno la Nth la safu ya nambari za kijiometri hutofautiana na ile ya awali kwa kuwa inazidishwa na nambari fulani ya mara kwa mara - dhehebu, kwa mfano, neno la kwanza ni 1, denominator ni sawa na 2, basi:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - thamani ya muda wa sasa wa maendeleo ya kijiometri;
b n + 1 - formula ya muda unaofuata wa maendeleo ya kijiometri;
q ni denominator ya maendeleo ya kijiometri (idadi ya mara kwa mara).
Ikiwa grafu ya maendeleo ya hesabu ni mstari wa moja kwa moja, basi maendeleo ya kijiometri huchora picha tofauti kidogo:
Kama ilivyo kwa hesabu, kuendelea kwa kijiometri kuna fomula ya thamani ya neno la kiholela. Muhula wowote wa nth wa maendeleo ya kijiometri ni sawa na bidhaa ya muhula wa kwanza na denominator ya kuendelea kwa nguvu ya n kupunguzwa kwa moja:
Mfano. Tuna maendeleo ya kijiometri na muhula wa kwanza sawa na 3 na denominator ya maendeleo sawa na 1.5. Wacha tupate muhula wa 5 wa mwendelezo
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
Jumla ya idadi fulani ya maneno pia huhesabiwa kwa kutumia fomula maalum. Jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya kijiometri ni sawa na tofauti kati ya bidhaa ya muhula wa nth wa maendeleo na denominator yake na muda wa kwanza wa maendeleo, umegawanywa na denominator iliyopunguzwa na moja:
Ikiwa b n itabadilishwa kwa kutumia fomula iliyojadiliwa hapo juu, thamani ya jumla ya masharti ya n ya safu ya nambari inayozingatiwa itachukua fomu:
Mfano. Mwendelezo wa kijiometri huanza na muhula wa kwanza sawa na 1. Kiashiria kimewekwa kuwa 3. Hebu tutafute jumla ya maneno nane ya kwanza.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280