Katika makala hii tutachambua kwa undani thamani kamili ya nambari. Tutatoa ufafanuzi mbalimbali wa moduli ya nambari, kuanzisha nukuu na kutoa vielelezo vya picha. Wakati huo huo, hebu tuzingatie mifano mbalimbali kutafuta moduli ya nambari kwa ufafanuzi. Baada ya hayo, tutaorodhesha na kuhalalisha mali kuu ya moduli. Mwishoni mwa makala, tutazungumzia jinsi moduli inavyofafanuliwa na iko nambari changamano.
Urambazaji wa ukurasa.
Moduli ya nambari - ufafanuzi, nukuu na mifano
Kwanza tunatanguliza uteuzi wa moduli ya nambari. Tutaandika moduli ya nambari a kama , yaani, kushoto na kulia kwa nambari tutaweka vistari wima ili kuunda ishara ya moduli. Hebu tutoe mifano michache. Kwa mfano, moduli −7 inaweza kuandikwa kama ; moduli 4.125 imeandikwa kama , na moduli ina nukuu ya fomu.
Ufafanuzi ufuatao wa moduli unatumika kwa , na kwa hivyo kwa, na kwa nambari kamili, na mantiki, na nambari zisizo na mantiki, kuhusu sehemu za msingi za seti ya nambari halisi. Tutazungumza juu ya moduli ya nambari changamano katika.
Ufafanuzi.
Moduli ya nambari A- hii ni ama nambari a yenyewe, ikiwa - nambari chanya, au nambari −a, kinyume cha nambari a, ikiwa a ni nambari hasi, au 0, ikiwa a=0.
Ufafanuzi ulioonyeshwa wa moduli ya nambari mara nyingi huandikwa ndani fomu ifuatayo 
, ingizo hili linamaanisha kwamba ikiwa a>0 , ikiwa a=0 , na ikiwa a<0
.
Rekodi inaweza kuwasilishwa kwa fomu ngumu zaidi 
. Dokezo hili linamaanisha kwamba ikiwa (a ni kubwa kuliko au sawa na 0), na kama a<0
.
Pia kuna kiingilio 
. Hapa tunapaswa kuelezea kesi kando wakati a=0. Katika kesi hii tunayo , lakini −0=0, kwani sifuri inachukuliwa kuwa nambari ambayo ni kinyume na yenyewe.
Hebu tupe mifano ya kutafuta moduli ya nambari kwa kutumia ufafanuzi uliowekwa. Kwa mfano, hebu tupate moduli za nambari 15 na . Wacha tuanze kwa kutafuta. Kwa kuwa nambari ya 15 ni chanya, moduli yake, kwa ufafanuzi, ni sawa na nambari hii yenyewe, ambayo ni,. Moduli ya nambari ni nini? Kwa kuwa ni nambari hasi, moduli yake ni sawa na nambari iliyo kinyume na nambari, ambayo ni, nambari 
. Hivyo,.
Kuhitimisha hatua hii, tunawasilisha hitimisho moja ambalo ni rahisi sana kutumia katika mazoezi wakati wa kutafuta moduli ya nambari. Kutoka kwa ufafanuzi wa moduli ya nambari inafuata hiyo moduli ya nambari ni sawa na nambari iliyo chini ya ishara ya moduli bila kuzingatia ishara yake, na kutoka kwa mifano iliyojadiliwa hapo juu hii inaonekana wazi sana. Taarifa iliyoelezwa inaelezea kwa nini moduli ya nambari pia inaitwa thamani kamili ya nambari. Kwa hivyo moduli ya nambari na thamani kamili ya nambari ni moja na sawa.
Modulus ya nambari kama umbali
Kijiometri, moduli ya nambari inaweza kufasiriwa kama umbali. Hebu tupe kuamua moduli ya nambari kupitia umbali.
Ufafanuzi.
Moduli ya nambari A- hii ni umbali kutoka kwa asili kwenye mstari wa kuratibu hadi hatua inayolingana na nambari a.
Ufafanuzi huu unalingana na ufafanuzi wa moduli ya nambari iliyotolewa katika aya ya kwanza. Hebu tufafanue jambo hili. Umbali kutoka asili hadi hatua inayolingana na nambari chanya ni sawa na nambari hii. Sifuri inalingana na asili, kwa hivyo umbali kutoka kwa asili hadi kwa uhakika na kuratibu 0 ni sawa na sifuri (huna haja ya kuweka kando sehemu moja ya kitengo na sio sehemu moja ambayo hufanya sehemu yoyote ya sehemu ya kitengo ili kupata kutoka kwa uhakika O hadi hatua na kuratibu 0). Umbali kutoka kwa asili hadi hatua iliyo na uratibu hasi ni sawa na nambari iliyo kinyume na uratibu wa hatua hii, kwani ni sawa na umbali kutoka kwa asili hadi hatua ambayo uratibu wake ni. nambari kinyume.
Kwa mfano, moduli ya nambari 9 ni sawa na 9, kwa kuwa umbali kutoka kwa asili hadi kwa uhakika na kuratibu 9 ni sawa na tisa. Hebu tutoe mfano mwingine. Sehemu iliyo na kuratibu -3.25 iko katika umbali wa 3.25 kutoka kwa hatua O, kwa hivyo. 
.
Ufafanuzi uliobainishwa wa moduli ya nambari ni kesi maalum ya ufafanuzi wa moduli ya tofauti ya nambari mbili.
Ufafanuzi.
Modulus ya tofauti ya nambari mbili a na b ni sawa na umbali kati ya pointi za mstari wa kuratibu na kuratibu a na b.
Hiyo ni, ikiwa pointi kwenye mstari wa kuratibu A (a) na B (b) hutolewa, basi umbali kutoka kwa uhakika A hadi hatua B ni sawa na moduli ya tofauti kati ya namba a na b. Ikiwa tutachukua nukta O (asili) kama nukta B, basi tunapata ufafanuzi wa moduli ya nambari iliyotolewa mwanzoni mwa aya hii.
Kubainisha moduli ya nambari kwa kutumia mzizi wa mraba wa hesabu
Mara kwa mara hutokea kuamua moduli kupitia mzizi wa mraba wa hesabu.
Kwa mfano, hebu tuhesabu moduli ya nambari -30 na kulingana na ufafanuzi huu. Tuna. Vile vile, tunahesabu moduli ya theluthi mbili: 
.
Ufafanuzi wa moduli ya nambari kupitia mzizi wa mraba wa hesabu pia unalingana na ufafanuzi uliotolewa katika aya ya kwanza ya kifungu hiki. Hebu tuonyeshe. Hebu iwe nambari chanya, na −a iwe nambari hasi. Kisha 
Na 
, ikiwa a=0 , basi 
.
Tabia za moduli
Moduli ina idadi ya matokeo ya tabia - mali ya moduli. Sasa tutawasilisha kuu na inayotumiwa mara nyingi zaidi. Wakati wa kuhalalisha mali hizi, tutategemea ufafanuzi wa moduli ya nambari kwa suala la umbali.
Wacha tuanze na mali dhahiri zaidi ya moduli - Moduli ya nambari haiwezi kuwa nambari hasi. Kwa fomu halisi, mali hii ina fomu ya nambari yoyote a. Sifa hii ni rahisi sana kuhalalisha: moduli ya nambari ni umbali, na umbali hauwezi kuonyeshwa kama nambari hasi.
Wacha tuendelee kwenye mali ya moduli inayofuata. Moduli ya nambari ni sifuri ikiwa tu ikiwa nambari hii ni sifuri. Moduli ya sifuri ni sifuri kwa ufafanuzi. Sifuri inalingana na asili; hakuna hatua nyingine kwenye mstari wa kuratibu inalingana na sifuri, kwani kila nambari halisi inahusishwa na nukta moja kwenye mstari wa kuratibu. Kwa sababu hiyo hiyo, nambari yoyote isipokuwa sifuri inalingana na nukta tofauti na asili. Na umbali kutoka kwa asili hadi hatua yoyote isipokuwa hatua O sio sifuri, kwani umbali kati ya nukta mbili ni sifuri ikiwa na tu ikiwa alama hizi zinapatana. Hoja iliyo hapo juu inathibitisha kuwa moduli tu ya sifuri ni sawa na sifuri.
Endelea. Nambari pinzani zina moduli sawa, ambayo ni, kwa nambari yoyote a. Hakika, pointi mbili kwenye mstari wa kuratibu, kuratibu ambazo ni namba kinyume, ziko katika umbali sawa kutoka kwa asili, ambayo ina maana moduli za nambari za kinyume ni sawa.
Mali ifuatayo ya moduli ni: Moduli ya bidhaa ya nambari mbili ni sawa na bidhaa ya moduli ya nambari hizi, hiyo ni, . Kwa ufafanuzi, moduli ya bidhaa ya nambari a na b ni sawa na a·b if , au −(a·b) ikiwa . Kutoka kwa kanuni za kuzidisha nambari halisi inafuata kwamba bidhaa ya moduli ya nambari a na b ni sawa na a·b, , au −(a·b) if , ambayo inathibitisha sifa inayohusika.
Moduli ya mgawo wa mgawo wa b iliyogawanywa na b ni sawa na mgawo wa moduli ya nambari iliyogawanywa na moduli ya b., hiyo ni, . Hebu tuhalalishe mali hii ya moduli. Kwa kuwa mgawo ni sawa na bidhaa, basi. Kwa mujibu wa mali ya awali tuliyo nayo 
. Kilichosalia ni kutumia equality , ambayo ni halali kwa mujibu wa ufafanuzi wa moduli ya nambari.
Sifa ifuatayo ya moduli imeandikwa kama ukosefu wa usawa: 
, a , b na c ni nambari halisi za kiholela. Ukosefu wa usawa ulioandikwa sio zaidi ya usawa wa pembetatu. Ili kufanya hili wazi, hebu tuchukue pointi A (a), B (b), C (c) kwenye mstari wa kuratibu, na fikiria pembetatu iliyoharibika ABC, ambayo wima ziko kwenye mstari huo huo. Kwa ufafanuzi, moduli ya tofauti ni sawa na urefu wa sehemu ya AB, - urefu wa sehemu ya AC, na - urefu wa sehemu ya CB. Kwa kuwa urefu wa upande wowote wa pembetatu hauzidi jumla ya urefu wa pande zingine mbili, basi ukosefu wa usawa ni kweli. 
, kwa hiyo, ukosefu wa usawa pia ni kweli.
Ukosefu wa usawa uliothibitishwa ni wa kawaida zaidi katika fomu 
. Ukosefu wa usawa ulioandikwa kawaida huzingatiwa kama mali tofauti ya moduli na uundaji: " Moduli ya jumla ya nambari mbili haizidi jumla ya moduli ya nambari hizi" Lakini ukosefu wa usawa unafuata moja kwa moja kutoka kwa ukosefu wa usawa ikiwa tutaweka -b badala ya b na kuchukua c=0.
Moduli ya nambari changamano
Hebu tupe ufafanuzi wa moduli ya nambari changamano. Na tupewe nambari changamano, iliyoandikwa kwa umbo la aljebra, ambapo x na y ni baadhi ya nambari halisi, zinazowakilisha, mtawalia, sehemu halisi na za kuwaziwa za nambari changamano z, na ndicho kitengo cha kiwazo.
Mojawapo ya mada ngumu zaidi kwa wanafunzi ni kusuluhisha milinganyo iliyo na kigezo chini ya ishara ya moduli. Hebu kwanza tuone hii inaunganishwa na nini? Kwa nini, kwa mfano, watoto wengi hupasua milinganyo ya quadratic kama karanga, lakini wana matatizo mengi sana na dhana iliyo mbali na changamano kama moduli?
Kwa maoni yangu, shida hizi zote zinahusishwa na ukosefu wa sheria zilizowekwa wazi za kutatua equations na moduli. Kwa hivyo, kuamua mlinganyo wa quadratic, mwanafunzi anajua kwa hakika kwamba anahitaji kwanza kutumia fomula ya kibaguzi, na kisha kanuni za mizizi ya mlingano wa quadratic. Nini cha kufanya ikiwa moduli inapatikana katika equation? Tutajaribu kuelezea kwa uwazi mpango wa hatua muhimu kwa kesi wakati equation ina haijulikani chini ya ishara ya moduli. Tutatoa mifano kadhaa kwa kila kesi.
Lakini kwanza, tukumbuke ufafanuzi wa moduli. Kwa hivyo, modulo nambari a nambari hii yenyewe inaitwa kama a zisizo hasi na -a, ikiwa nambari a chini ya sifuri. Unaweza kuiandika kama hii:
|a| = a kama ≥ 0 na |a| = -a ikiwa a< 0
Kuzungumza juu ya maana ya kijiometri ya moduli, ikumbukwe kwamba kila nambari halisi inalingana na hatua fulani kwenye mhimili wa nambari - yake. 
kuratibu. Kwa hivyo, moduli au thamani kamili ya nambari ni umbali kutoka kwa hatua hii hadi asili ya mhimili wa nambari. Umbali hubainishwa kila mara kama nambari chanya. Kwa hivyo, moduli ya nambari yoyote hasi ni nambari chanya. Kwa njia, hata katika hatua hii, wanafunzi wengi huanza kuchanganyikiwa. Moduli inaweza kuwa na nambari yoyote, lakini matokeo ya kutumia moduli daima ni nambari chanya.
Sasa hebu tuende moja kwa moja ili kutatua equations.
1. Fikiria mlingano wa fomu |x| = c, ambapo c ni nambari halisi. Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia ufafanuzi wa moduli.
Tunagawanya nambari zote za kweli katika vikundi vitatu: zile ambazo ni kubwa kuliko sifuri, zile ambazo ni chini ya sifuri, na kundi la tatu ni nambari 0. Tunaandika suluhisho kwa namna ya mchoro:
(±c, ikiwa c> 0
Ikiwa |x| = c, kisha x = (0, ikiwa c = 0
(hakuna mizizi ikiwa na< 0
1) |x| = 5, kwa sababu 5 > 0, kisha x = ±5;
2) |x| = -5, kwa sababu -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, kisha x = 0.
2. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = b, ambapo b > 0. Ili kutatua equation hii ni muhimu kuondokana na moduli. Tunafanya hivi: f(x) = b au f(x) = -b. Sasa unahitaji kutatua kila equations zinazosababisha tofauti. Ikiwa katika mlinganyo wa asili b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, kwa sababu 4 > 0, basi
x + 2 = 4 au x + 2 = -4
2) |x 2 - 5| = 11, kwa sababu 11 > 0, basi
x 2 – 5 = 11 au x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 hakuna mizizi
3) |x 2 - 5x| = -8, kwa sababu -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = g (x). Kulingana na maana ya moduli, equation kama hiyo itakuwa na suluhisho ikiwa itakuwa sehemu ya kulia kubwa kuliko au sawa na sifuri, i.e. g(x) ≥ 0. Kisha tutakuwa na:
f(x) = g(x) au f(x) = -g(x).
1) | 2x - 1| = 5x - 10. Equation hii itakuwa na mizizi ikiwa 5x - 10 ≥ 0. Hapa ndipo ufumbuzi wa equations vile huanza.
1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0
2. Suluhisho:
2x – 1 = 5x – 10 au 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Tunaunganisha O.D.Z. na suluhisho, tunapata:
Mzizi x = 11/7 haifai O.D.Z., ni chini ya 2, lakini x = 3 inakidhi hali hii.
Jibu: x = 3
2) |x - 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Hebu tusuluhishe ukosefu huu wa usawa kwa kutumia mbinu ya muda:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Suluhisho:
x – 1 = 1 – x 2 au x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 au x = 1 x = 0 au x = 1
3. Tunachanganya suluhisho na O.D.Z.:
Mizizi x = 1 na x = 0 pekee ndiyo inayofaa.
Jibu: x = 0, x = 1.
4. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = |g(x)|. Mlinganyo kama huo ni sawa na milinganyo miwili ifuatayo f(x) = g(x) au f(x) = -g(x).
1) |x 2 - 5x + 7| = |2x - 5|. Equation hii ni sawa na mbili zifuatazo:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 au x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 au x = 4 x = 2 au x = 1
Jibu: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Milinganyo kutatuliwa kwa njia mbadala (ubadilisho wa kigezo). Njia hii ya suluhisho inaelezewa kwa urahisi zaidi ndani mfano maalum. Kwa hivyo, wacha tupewe equation ya quadratic na moduli:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Kwa sifa ya moduli x 2 = |x| 2, kwa hivyo equation inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Hebu tufanye badala |x| = t ≥ 0, basi tutakuwa na:
t 2 - 6t + 5 = 0. Kutatua equation hii, tunaona kwamba t = 1 au t = 5. Hebu turudi kwenye uingizwaji:
|x| = 1 au |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Jibu: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Hebu tuangalie mfano mwingine:
x 2 + |x| – 2 = 0. Kwa sifa ya moduli x 2 = |x| 2, kwa hivyo
|x| 2 + |x| - 2 = 0. Wacha tufanye uingizwaji |x| = t ≥ 0, kisha:
t 2 + t - 2 = 0. Kutatua equation hii, tunapata t = -2 au t = 1. Hebu turudi kwenye uingizwaji:
|x| = -2 au |x| = 1
Hakuna mizizi x = ± 1
Jibu: x = -1, x = 1.
6. Aina nyingine ya milinganyo ni milinganyo yenye moduli "changamano". Milinganyo kama hii ni pamoja na milinganyo ambayo ina "module ndani ya moduli." Equations ya aina hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia mali ya moduli.
1) |3 - |x|| = 4. Tutafanya kwa njia sawa na katika milinganyo ya aina ya pili. Kwa sababu 4 > 0, kisha tunapata milinganyo miwili:
3 - |x| = 4 au 3 – |x| = -4.
Sasa hebu tueleze moduli x katika kila mlinganyo, kisha |x| = -1 au |x| = 7.
Tunatatua kila moja ya milinganyo inayotokana. Hakuna mizizi katika equation ya kwanza, kwa sababu -1< 0, а во втором x = ±7.
Jibu x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Tunatatua mlingano huu kwa njia sawa:
3 + |x + 1| = 5 au 3 + |x + 1| = -5
|x +1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 au x + 1 = -2. Hakuna mizizi.
Jibu: x = -3, x = 1.
Kuna pia mbinu ya ulimwengu wote kutatua milinganyo na moduli. Hii ndio njia ya muda. Lakini tutaiangalia baadaye.
tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.
Tochilkina Yulia
Kazi inatoa njia mbalimbali za kutatua equations na moduli.
Pakua:
Hakiki:
Taasisi ya elimu ya bajeti ya manispaa
"Wastani shule ya kina Nambari 59"
Milinganyo na moduli
Kazi ya mukhtasari
Imetekelezwa 9 Mwanafunzi wa darasa
MBOU "Shule ya Sekondari No. 59" Barnaul
Tochilkina Yulia
Msimamizi
Zakharova Lyudmila Vladimirovna,
mwalimu wa hisabati
MBOU "Shule ya Sekondari No. 59" Barnaul
Barnaul 2015
Utangulizi
Niko darasa la tisa. Mwaka huu wa masomo nitalazimika kuchukua cheti cha mwisho cha kozi ya shule ya msingi. Ili kujiandaa kwa ajili ya mtihani, tulinunua mkusanyiko wa D. A. Maltsev Hisabati. daraja la 9. Kuangalia kupitia mkusanyiko, niligundua hesabu zilizo na sio moja tu, bali pia moduli kadhaa. Mwalimu alinieleza mimi na wanafunzi wenzangu kwamba milinganyo kama hii inaitwa milinganyo ya "moduli iliyoorodheshwa". Jina hili lilionekana kuwa la kawaida kwetu, na suluhisho, kwa mtazamo wa kwanza, lilikuwa ngumu sana. Hivi ndivyo mada ya kazi yangu "Equations with modulus" ilionekana. Niliamua kusoma mada hii kwa undani zaidi, haswa kwa kuwa itakuwa muhimu kwangu wakati wa kufanya mitihani mwishoni mwa mwaka wa shule na nadhani itahitajika katika darasa la 10 na 11. Yote hapo juu huamua umuhimu wa mada niliyochagua.
Lengo la kazi:
- Fikiria mbinu mbalimbali kutatua milinganyo na moduli.
- Jifunze kutatua milinganyo iliyo na ishara thamani kamili, mbinu mbalimbali
Ili kufanya kazi kwenye mada, kazi zifuatazo ziliundwa:
Kazi:
- Chunguza nyenzo za kinadharia kwenye mada "Modulus ya nambari halisi".
- Fikiria njia za kutatua milinganyo na ujumuishe maarifa uliyopata kwa kutatua matatizo.
- Tumia maarifa uliyopata wakati wa kutatua milinganyo mbalimbali iliyo na ishara ya moduli katika shule ya upili
Lengo la utafiti:njia za kutatua equations na moduli
Mada ya masomo:milinganyo na moduli
Mbinu za utafiti:
Kinadharia : utafiti wa fasihi juu ya mada ya utafiti;
Mtandao - habari.
Uchambuzi habari iliyopatikana kwa kusoma fasihi; matokeo yaliyopatikana wakati wa kutatua milinganyo na moduli njia tofauti.
Kulinganisha Njia za kutatua equations ni somo la busara ya matumizi yao wakati wa kutatua equations mbalimbali na moduli.
"Tunaanza kufikiria tunapopiga kitu." Paul Valery.
1. Dhana na ufafanuzi.
Dhana ya "moduli" inatumiwa sana katika sehemu nyingi za kozi ya hisabati ya shule, kwa mfano, katika utafiti wa makosa kamili na ya jamaa ya idadi ya takriban; katika jiometri na fizikia dhana za vekta na urefu wake (moduli ya vekta) husomwa. Dhana za moduli zinazotumika katika kozi hisabati ya juu, fizikia na sayansi ya kiufundi alisoma katika taasisi za elimu ya juu.
Neno "moduli" linatokana na neno la Kilatini "modulus", ambalo linamaanisha "kipimo". Neno hili lina maana nyingi na hutumiwa sio tu katika hisabati, fizikia na teknolojia, lakini pia katika usanifu, programu na sayansi nyingine halisi.
Inaaminika kuwa neno hilo lilipendekezwa na Cotes, mwanafunzi wa Newton. Ishara ya modulus ilianzishwa katika karne ya 19 na Weierstrass.
Katika usanifu, moduli ni kitengo cha awali cha kipimo kilichoanzishwa kwa muundo fulani wa usanifu.
Katika teknolojia, hili ni neno linalotumiwa katika nyanja mbalimbali za teknolojia, linalotumiwa kuteua coefficients mbalimbali na kiasi, kwa mfano, moduli elastic, moduli ya ushiriki ...
Katika hisabati, modulus ina maana kadhaa, lakini nitaiona kama thamani kamili ya nambari.
Ufafanuzi 1: Modulus (thamani kamili) ya nambari halisi A nambari hii yenyewe inaitwa kama A ≥0, au nambari tofauti - na kama A moduli ya sifuri ni sifuri.
Wakati wa kutatua equations na moduli, ni rahisi kutumia mali ya moduli.
Hebu fikiria ushahidi wa mali 5,6,7.
Taarifa 5. Usawa │ a+b │=│ a │+│ b │ ni kweli ikiwa av ≥0.
Ushahidi. Hakika, baada ya kugonga pande zote mbili za usawa huu, tunapata │ a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,
a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², kutoka wapi │ ab │= ab
Na usawa wa mwisho utakuwa kweli lini av ≥0.
Taarifa 6. Usawa │ a-c │=│ a │+│ c │ ni kweli wakati av ≤0.
Ushahidi. Ili kuthibitisha hilo, inatosha katika usawa
│ а+в │=│ а │+│ в │ badilisha в na - в, kisha а· (- в ) ≥0, wapi ав ≤0.
Taarifa 7. Usawa │ a │+│ b │= a+b kutekelezwa saa a ≥0 na b ≥0.
Ushahidi . Baada ya kuzingatia kesi nne a ≥0 na b ≥0; a ≥0 na c A katika ≥0; A V a ≥0 na b ≥0.
(a-c) katika ≥0.
Tafsiri ya kijiometri
|a| - hii ni umbali kwenye mstari wa kuratibu kutoka kwa uhakika na kuratibu A , kwa asili.
|-a| |a|
A 0 a x
Tafsiri ya kijiometri ya maana ya |a| inathibitisha wazi kwamba |-a|=|a|
Ikiwa a 0, kisha kwenye mstari wa kuratibu kuna pointi mbili a na -a, equidistant kutoka sifuri, modules ambazo ni sawa.
Ikiwa a=0, basi kwenye mstari wa kuratibu |a| inawakilishwa na pointi 0.
Ufafanuzi wa 2: Mlinganyo wenye moduli ni mlinganyo ulio na kigezo chini ya ishara ya thamani kamili (chini ya ishara ya moduli). Kwa mfano: |x +3|=1
Ufafanuzi wa 3: Kutatua equation kunamaanisha kupata mizizi yake yote, au kuthibitisha kwamba hakuna mizizi.
2. Mbinu za ufumbuzi
Kutoka kwa ufafanuzi na mali ya moduli, njia kuu za kutatua equations na moduli zifuatazo:
- "Kupanua" moduli (yaani kutumia ufafanuzi);
- Kutumia maana ya kijiometri ya moduli (mali 2);
- njia ya ufumbuzi wa picha;
- Kutumia mabadiliko sawa (mali 4.6);
- Uingizwaji wa kutofautisha (hii hutumia mali 5).
- Mbinu ya muda.
Nimeamua vya kutosha idadi kubwa ya mifano, lakini katika kazi ninayowasilisha kwa mawazo yako machache tu, kwa maoni yangu, mifano ya kawaida, iliyotatuliwa kwa njia mbalimbali, kwa sababu iliyobaki inarudia kila mmoja na ili kuelewa jinsi ya kutatua equations na moduli hakuna haja ya. fikiria mifano yote iliyotatuliwa.
KUTATUA EQUATIONS | f(x)| = a
Fikiria mlinganyo | f(x)| = a, R
Equation ya aina hii inaweza kutatuliwa kwa ufafanuzi wa moduli:
Kama A basi equation haina mizizi.
Ikiwa a= 0, basi equation ni sawa na f(x)=0.
Ikiwa a> 0, basi equation ni sawa na seti
Mfano. Tatua mlingano |3x+2|=4.
Suluhisho.
|3x+2|=4, kisha 3x+2=4,
3x+2= -4;
X=-2,
X=2/3
JIBU: -2;2/3.
KUTATUA EQUATIONS KWA KUTUMIA TABIA ZA KIJIOMETRICAL ZA MODULI.
Mfano 1. Tatua mlingano /x-1/+/x-3/=6.
Suluhisho.
Kutatua equation hii inamaanisha kupata alama zote kama hizo kwenye mhimili wa nambari Ox, kwa kila moja ambayo jumla ya umbali kutoka kwake hadi kwa alama zilizo na kuratibu 1 na 3 ni sawa na 6.
Hakuna pointi moja kutoka kwa sehemuhalikidhi hali hii, kwa sababu jumla ya umbali ulioonyeshwa ni 2. Nje ya sehemu hii kuna pointi mbili: 5 na -1.
1 1 3 5
Jibu: -1;5
Mfano 2. Tatua mlingano |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.
Suluhisho.
Hebu tuonyeshe x 2 +x-5= a, kisha / a /+/ a-4 /=10. Wacha tupate alama kwenye mhimili wa Ox ili kwa kila mmoja wao jumla ya umbali wa vidokezo na viwianishi 0 na 4 ni sawa na 10. Hali hii imeridhika na -4 na 7.
3 0 4 7
Kwa hivyo x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7
X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0
X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 Jibu: -4;-2; 1; 3.
KUTATUA EQUATIONS | f(x)| = | g(x)|.
- Tangu | a |=|katika |, ikiwa a= ndani, kisha mlinganyo wa fomu | f(x)| = | g(x )| sawa na jumla
Mfano 1.
Tatua mlinganyo | x -2| = |3 – x |.
Suluhisho.
Mlinganyo huu ni sawa na milinganyo miwili:
x – 2 = 3 – x (1) na x – 2 = –3 + x (2)
2 x = 5 –2 = –3 – si sahihi
X = 2.5 mlinganyo hauna suluhu.
JIBU: 2.5.
Mfano 2.
Tatua mlingano |x 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.
Suluhisho.
Kwa kuwa pande zote mbili za equation sio hasi, basisquaring ni mabadiliko sawa:
(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2
(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,
(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,
(6x-22) (2x 2 -18)=0,
6x-22=0 au 2x 2 -18=0;
X=22/6, x=3, x=-3.
X=11/3
Jibu: -3; 3; 11/3.
SULUHISHO LA EQUATIONS YA MTAZAMO | f(x)| = g (x).
Tofauti kati ya milinganyo hii na| f(x)| = a ukweli kwamba upande wa kulia pia ni kutofautiana. Na inaweza kuwa chanya na hasi. Kwa hivyo, unahitaji kuthibitisha hasa kutokuwa na hasi, kwa sababu moduli haiwezi kuwa sawa na nambari hasi(mali№1 )
1 njia
Suluhisho la equation | f(x)| = g(x ) hupunguza hadi seti ya suluhu za milinganyona kuangalia usawa wa usawa g(x )>0 kwa maadili yaliyopatikana ya haijulikani.
Njia ya 2 (kwa ufafanuzi wa moduli)
Tangu | f(x)| = g(x) ikiwa f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) ikiwa f(x)
Mfano.
Tatua mlingano |3 x -10| = x - 2.
Suluhisho.
Equation hii ni sawa na mchanganyiko wa mifumo miwili:
JIBU: 3; 4.
SULUHISHO LA MILIngano WA FOMU |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)
Suluhisho la equations ya aina hii inategemea ufafanuzi wa moduli. Kwa kila kipengele f 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x) ni muhimu kupata kikoa cha ufafanuzi, sufuri zake na nukta za kutoendelea, ikigawanya kikoa cha jumla cha ufafanuzi katika vipindi, ambavyo kila kazi f. 1 (x), f 2 (x), ..., f n (x) kuhifadhi alama zao. Ifuatayo, kwa kutumia ufafanuzi wa moduli, kwa kila moja ya maeneo yaliyopatikana tunapata equation ambayo inapaswa kutatuliwa kwa muda huu. Mbinu hii inaitwa "njia ya muda»
Mfano.
Tatua mlingano |x-2|-3|x+4|=1.
Suluhisho.
Wacha tupate alama ambazo misemo ya submodular ni sawa na sifuri
x-2=0, x+4=0,
x=2; x=-4.
Hebu tugawanye mstari wa nambari katika vipindi x
Kutatua equation kunakuja kwa kutatua mifumo mitatu:
JIBU: -15, -1.8.
NJIA YA MCHORO YA KUTATUA MLINGANIFU ULIOPO ISHARA YA MODULI.
Njia ya graphical ya kutatua equations ni takriban, kwa kuwa usahihi hutegemea sehemu ya kitengo kilichochaguliwa, unene wa penseli, pembe ambazo mistari huingiliana, nk. Lakini njia hii hukuruhusu kukadiria ni suluhisho ngapi equation fulani ina.
Mfano. Tatua kwa mchoro mlinganyo |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9
Suluhisho. Wacha tuunda grafu za kazi katika mfumo mmoja wa kuratibu
y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| na y=9.
Ili kuunda grafu, unahitaji kuzingatia kipengele hiki kwa kila muda (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞ )
Jibu: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2; ∞ )
Pia tulitumia mbinu ya mabadiliko sawa wakati wa kutatua milinganyo | f(x)| = | g(x)|.
EQUATIONS NA MODULI TATA
Aina nyingine ya milinganyo ni milinganyo yenye moduli "changamano". Milinganyo kama hii ni pamoja na milinganyo ambayo ina "module ndani ya moduli." Equations ya aina hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia mbinu mbalimbali.
Mfano 1.
Tatua mlingano ||||x| | -2| -1| -2| = 2.
Suluhisho.
Kwa ufafanuzi wa moduli, tunayo:
Wacha tusuluhishe equation ya kwanza.
- ||| x |–2| -1| = 4
| x | - 2 = 5;
| x | = 7;
x = 7.
Wacha tusuluhishe equation ya pili.
- ||| x | -2| -1| = 0,
| x | -2| = 1,
| x | -2 = 1,
| x | = 3 na | x | = 1,
x = 3; x = 1.
Jibu: 1; 3; 7.
Mfano 2.
Tatua mlingano |2 – |x + 1|| = 3.
Suluhisho.
Wacha tusuluhishe mlinganyo kwa kuanzisha kigezo kipya.
Acha | x + 1| = y, kisha |2 - y | = 3, kutoka hapa
Wacha tufanye uingizwaji wa nyuma:
(1) | x + 1| = -1 - hakuna masuluhisho.
(2) | x + 1| = 5
JIBU: –6; 4.
Mfano3.
Je equation ina mizizi mingapi | 2 | x | -6 | = 5 - x?
Suluhisho. Wacha tusuluhishe equation kwa kutumia mifumo ya usawa.
Mlinganyo | 2 | x | -6 | = 5 ni sawa na mfumo:
Kutatua milinganyo na usawa kwa kutumia moduli mara nyingi husababisha matatizo. Walakini, ikiwa unaelewa vizuri ni nini thamani kamili ya nambari, Na jinsi ya kupanua misemo iliyo na ishara ya moduli kwa usahihi, basi uwepo katika equation kujieleza chini ya ishara ya moduli, huacha kuwa kikwazo kwa suluhisho lake.
Nadharia kidogo. Kila nambari ina sifa mbili: thamani kamili ya nambari na ishara yake.
Kwa mfano, nambari +5, au 5 tu, ina ishara "+" na thamani kamili ya 5.
Nambari -5 ina ishara "-" na thamani kamili ya 5.
Thamani kamili za nambari 5 na -5 ni 5.
Thamani kamili ya nambari x inaitwa moduli ya nambari na inaonyeshwa na |x|.
Kama tunavyoona, moduli ya nambari ni sawa na nambari yenyewe ikiwa nambari hii ni kubwa kuliko au sawa na sifuri, na kwa nambari hii iliyo na ishara tofauti ikiwa nambari hii ni hasi.
Vile vile hutumika kwa misemo yoyote inayoonekana chini ya ishara ya moduli.
Sheria ya upanuzi wa moduli inaonekana kama hii:
|f(x)|= f(x) ikiwa f(x) ≥ 0, na
|f(x)|= - f(x), ikiwa f(x)< 0
Kwa mfano |x-3|=x-3, ikiwa x-3≥0 na |x-3|=-(x-3)=3-x, ikiwa x-3<0.
Ili kutatua equation iliyo na usemi chini ya ishara ya moduli, lazima kwanza panua moduli kulingana na kanuni ya upanuzi wa moduli.
Kisha usawa wetu au usawa unakuwa katika milinganyo miwili tofauti iliyopo kwenye vipindi viwili tofauti vya nambari.
Mlinganyo mmoja upo kwenye muda wa nambari ambapo usemi chini ya ishara ya moduli sio hasi.
Na mlinganyo wa pili upo kwenye muda ambao usemi chini ya ishara ya moduli ni hasi.
Hebu tuangalie mfano rahisi.
Wacha tusuluhishe equation:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Hebu tufungue moduli.
|x-3|=x-3, ikiwa x-3≥0, i.e. ikiwa x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x ikiwa x-3<0, т.е. если х<3
2. Tulipokea vipindi viwili vya nambari: x≥3 na x<3.
Wacha tuchunguze ni milinganyo gani ambayo equation asili inabadilishwa kwa kila kipindi:
A) Kwa x≥3 |x-3|=x-3, na kujeruhiwa kwetu kuna namna:
Makini! Mlinganyo huu unapatikana tu kwenye muda wa x≥3!
Wacha tufungue mabano na tuwasilishe maneno sawa:
na kutatua equation hii.
Equation hii ina mizizi:
x 1 =0, x 2 =3
Makini! kwa kuwa equation x-3=-x 2 +4x-3 ipo tu kwenye muda wa x≥3, tunavutiwa tu na mizizi ambayo ni ya muda huu. Hali hii inatimizwa tu na x 2 =3.
B) Katika x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Makini! Mlinganyo huu unapatikana tu kwenye muda wa x<3!
Hebu tufungue mabano na tuwasilishe masharti sawa. Tunapata equation:
x 1 =2, x 2 =3
Makini! kwa kuwa mlinganyo 3-x=-x 2 +4x-3 upo tu kwenye muda wa x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Kwa hiyo: kutoka kwa muda wa kwanza tunachukua tu mizizi x = 3, kutoka kwa pili - mizizi x = 2.
Miongoni mwa mifano kwa kila moduli Mara nyingi kuna equations ambapo unahitaji kupata mizizi ya moduli kwenye moduli, yaani, mlinganyo wa fomu
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Ikiwa k = 0, yaani, upande wa kulia ni sawa na mara kwa mara (m), basi ni rahisi kutafuta suluhisho. milinganyo na moduli graphically. Chini ni mbinu ufunguzi wa moduli mbili kwa kutumia mifano ya kawaida katika mazoezi. Kuelewa algorithm ya kuhesabu milinganyo na moduli vizuri, ili usiwe na shida kwenye maswali, majaribio, na kujua tu.
Mfano 1. Tatua moduli ya mlingano |3|x|-5|=-2x-2.
Suluhisho: Anza kufungua milinganyo kutoka kwa moduli ya ndani kila wakati
|x|=0 <->x=0.
Katika hatua x=0, equation na moduli imegawanywa na 2.
Katika x< 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Kwa x>0 au sawa, kupanua moduli tunayopata
|3x-5|=-2x-2 .
Wacha tusuluhishe equation kwa vigezo hasi (x< 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata kwamba suluhisho haipaswi kuzidi (-1), i.e.
Kizuizi hiki ni cha eneo ambalo tunatatua. Wacha tuhamishe vigeu na viunzi kwa pande tofauti za usawa katika mifumo ya kwanza na ya pili
na kutafuta suluhu 
Thamani zote mbili ni za muda unaozingatiwa, ambayo ni, ni mizizi.
Fikiria mlingano na moduli kwa vigeu vyema
|3x-5|=-2x-2.
Kupanua moduli tunapata mifumo miwili ya milinganyo 
Kutoka kwa equation ya kwanza, ambayo ni ya kawaida kwa mifumo miwili, tunapata hali inayojulikana
ambayo, katika makutano na seti ambayo tunatafuta suluhisho, inatoa seti tupu (hakuna pointi za makutano). Kwa hivyo mizizi pekee ya moduli iliyo na moduli ni maadili
x=-3; x=-1.4.
Mfano 2. Tatua mlingano kwa moduli ||x-1|-2|=3x-4.
Suluhisho: Wacha tuanze kwa kufungua moduli ya ndani
|x-1|=0 <=>x=1.
Kitendaji cha moduli ndogo hubadilisha ishara moja. Kwa maadili madogo ni hasi, kwa maadili makubwa ni chanya. Kwa mujibu wa hili, wakati wa kupanua moduli ya ndani, tunapata equations mbili na moduli
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Hakikisha umeangalia upande wa kulia wa mlinganyo wa moduli; lazima iwe kubwa kuliko sifuri.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Hii inamaanisha kuwa hakuna haja ya kutatua equation ya kwanza, kwani iliandikwa kwa x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 au x-3=4-3x;
4-3=3x-x au x+3x=4+3;
2x=1 au 4x=7;
x=1/2 au x=7/4.
Tulipokea maadili mawili, ya kwanza ambayo yamekataliwa kwa sababu sio ya muda unaohitajika. Mwishowe, equation ina suluhisho moja x=7/4.
Mfano 3. Tatua mlingano kwa moduli ||2x-5|-1|=x+3.
Suluhisho: Wacha tufungue moduli ya ndani
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5.
Pointi x=2.5 inagawanya mstari wa nambari katika vipindi viwili. Kwa mtiririko huo, kazi ya submodular mabadiliko ya ishara wakati wa kupita 2.5. Wacha tuandike hali ya suluhisho upande wa kulia wa equation na moduli.
x+3>=0 -> x>=-3.
Kwa hivyo suluhisho linaweza kuwa maadili sio chini ya (-3) . Wacha tupanue moduli kwa thamani hasi ya moduli ya ndani
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Moduli hii pia itatoa milinganyo 2 ikipanuliwa
-2x+4=x+3 au 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 au 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 au x=7 .
Tunakataa thamani x=7, kwa kuwa tulikuwa tunatafuta suluhu katika muda [-3;2.5]. Sasa tunafungua moduli ya ndani ya x> 2.5. Tunapata equation na moduli moja
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Wakati wa kupanua moduli tunapata zifuatazo milinganyo ya mstari
-2x+6=x+3 au 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 au 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 au x=9 .
Thamani ya kwanza x=1 haikidhi masharti x>2.5. Kwa hivyo katika kipindi hiki tuna mzizi mmoja wa mlinganyo na modulus x=9, na kuna mbili kwa jumla (x=1/3). Kwa kubadilisha unaweza kuangalia usahihi wa hesabu zilizofanywa.
Jibu: x=1/3; x=9.
Mfano 4. Pata suluhu za moduli mbili ||3x-1|-5|=2x-3.
Suluhisho: Wacha tupanue moduli ya ndani ya equation
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
Hatua x = 2.5 inagawanya mstari wa nambari katika vipindi viwili, na kupewa mlinganyo kwa kesi mbili. Tunaandika hali ya suluhisho kulingana na fomu ya equation upande wa kulia
2x-3>=0 -> x>=3/2=1.5.
Inafuata kwamba tunavutiwa na maadili>=1.5. Hivyo mlingano wa msimu fikiria kwa vipindi viwili
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Moduli inayotokana, ikipanuliwa, imegawanywa katika hesabu 2
-3x-4=2x-3 au 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 au 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 au x=-7 .
Thamani zote mbili haziingii kwenye muda, ambayo ni, sio suluhisho la equation na moduli. Ifuatayo, tutapanua moduli ya x>2.5. Tunapata equation ifuatayo
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Kupanua moduli, tunapata milinganyo 2 ya mstari
3x-6=2x-3 au –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 au 2x+3x=6+3;
x=3 au 5x=9; x=9/5=1.8.
Thamani ya pili iliyopatikana hailingani na hali x>2.5, tunaikataa.
Hatimaye tuna mzizi mmoja wa equation na moduli x=3.
Kufanya ukaguzi
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Mzizi wa equation na moduli ulihesabiwa kwa usahihi.
Jibu: x=1/3; x=9.