Utangulizi ………………………………………………………………………………
1. Thamani ya vekta na scalar…………………………………….4
2. Ufafanuzi wa makadirio, mhimili na uratibu wa nukta …………………...5
3. Makadirio ya vekta kwenye mhimili ………………………………………………………….6
4. Fomula ya msingi ya aljebra ya vekta……………………………..8
5. Uhesabuji wa moduli ya vekta kutoka kwa makadirio yake…………………….9
Hitimisho ……………………………………………………………………………….11
Fasihi……………………………………………………………………………….12
Utangulizi:
Fizikia ina uhusiano usioweza kutenganishwa na hisabati. Hisabati huipa fizikia njia na mbinu za usemi wa jumla na sahihi wa uhusiano kati ya kiasi halisi ambacho hugunduliwa kutokana na majaribio au utafiti wa kinadharia.Baada ya yote, njia kuu ya utafiti katika fizikia ni ya majaribio. Hii ina maana kwamba mwanasayansi hufunua mahesabu kwa kutumia vipimo. Inaashiria uhusiano kati ya kiasi tofauti cha kimwili. Kisha, kila kitu kinatafsiriwa kwa lugha ya hisabati. Imeundwa mfano wa hisabati. Fizikia ni sayansi ambayo inasoma rahisi zaidi na wakati huo huo zaidi mifumo ya jumla. Kazi ya fizikia ni kuunda katika akili zetu picha ya ulimwengu wa kimwili ambayo inaonyesha kikamilifu mali yake na kuhakikisha uhusiano huo kati ya vipengele vya mfano vilivyopo kati ya vipengele.
Kwa hivyo, fizikia huunda mfano wa ulimwengu unaotuzunguka na kusoma mali zake. Lakini mfano wowote ni mdogo. Wakati wa kuunda mifano ya jambo fulani, mali tu na viunganisho ambavyo ni muhimu kwa anuwai fulani ya matukio huzingatiwa. Hii ni sanaa ya mwanasayansi - kuchagua jambo kuu kutoka kwa utofauti wote.
Mifano ya kimwili ni hisabati, lakini hisabati sio msingi wao. Uhusiano wa kiasi kati ya kiasi cha kimwili huamuliwa kutokana na vipimo, uchunguzi na masomo ya majaribio na huonyeshwa tu katika lugha ya hisabati. Hata hivyo, hakuna lugha nyingine ya kujenga nadharia za kimwili.
1. Maana ya vector na scalar.
Katika fizikia na hisabati, vekta ni kiasi ambacho kina sifa ya thamani yake ya nambari na mwelekeo. Katika fizikia, kuna vitu vingi muhimu ambavyo ni vekta, kwa mfano, nguvu, msimamo, kasi, kuongeza kasi, torque, kasi, nguvu ya shamba la umeme na sumaku. Wanaweza kulinganishwa na idadi nyingine kama vile wingi, kiasi, shinikizo, joto na wiani, ambayo inaweza kuelezewa na nambari ya kawaida, na inaitwa " makovu" .
Zimeandikwa ama kwa herufi za fonti za kawaida au kwa nambari (a, b, t, G, 5, -7....). Kiasi cha scalar kinaweza kuwa chanya au hasi. Wakati huo huo, vitu vingine vya masomo vinaweza kuwa na mali kama hizo maelezo kamili Kwa ujuzi gani wa kipimo cha nambari tu hugeuka kuwa haitoshi, ni muhimu pia kuashiria mali hizi kwa mwelekeo katika nafasi. Tabia kama hizo zinaonyeshwa na idadi ya vector (vekta). Vekta, tofauti na scalars, huonyeshwa kwa herufi nzito: a, b, g, F, C....
Mara nyingi vekta inaonyeshwa na herufi katika fonti ya kawaida (isiyo ya ujasiri), lakini kwa mshale juu yake:
Kwa kuongeza, vector mara nyingi huonyeshwa na jozi ya barua (kwa kawaida ni kubwa), na barua ya kwanza inayoonyesha mwanzo wa vector na ya pili mwisho wake.
Moduli ya vekta, ambayo ni, urefu wa sehemu iliyoelekezwa moja kwa moja, inaonyeshwa na herufi sawa na vekta yenyewe, lakini kwa uandishi wa kawaida (sio ujasiri) na bila mshale juu yao, au kwa njia ile ile. kama vekta (hiyo ni, kwa herufi nzito au ya kawaida, lakini kwa mshale), lakini basi jina la vekta limefungwa kwa dashi wima.
Vekta ni kitu changamano ambacho wakati huo huo kina sifa ya ukubwa na mwelekeo.
Pia hakuna vekta chanya na hasi. Lakini vekta zinaweza kuwa sawa kwa kila mmoja. Huu ndio wakati, kwa mfano, a na b wana moduli sawa na huelekezwa kwa mwelekeo sawa. Katika kesi hii, nukuu ni kweli a= b. Inapaswa pia kukumbushwa katika akili kwamba ishara ya vector inaweza kutanguliwa na ishara ya minus, kwa mfano - c, hata hivyo, ishara hii inaonyesha ishara kwamba vector -c ina moduli sawa na vector c, lakini inaelekezwa kinyume chake. mwelekeo.
Vector -c inaitwa kinyume (au inverse) ya vector c.
Katika fizikia, kila vector imejazwa na maudhui maalum, na wakati wa kulinganisha vectors ya aina moja (kwa mfano, vikosi), pointi za maombi yao pia zinaweza kuwa muhimu.
2. Uamuzi wa makadirio, mhimili na uratibu wa uhakika.
Mhimili- Huu ni mstari ulionyooka ambao unapewa mwelekeo fulani.
Mhimili huteuliwa na barua fulani: X, Y, Z, s, t... Kawaida hatua huchaguliwa (kiholela) kwenye mhimili, unaoitwa asili na, kama sheria, huteuliwa na barua O. Kutoka hatua hii umbali wa pointi nyingine za maslahi kwetu hupimwa.
Makadirio ya uhakika juu ya mhimili ni msingi wa perpendicular inayotolewa kutoka hatua hii kwenye mhimili fulani. Hiyo ni, makadirio ya uhakika kwenye mhimili ni hatua.
Uratibu wa pointi kwenye mhimili huu inaitwa nambari, thamani kamili ambayo ni sawa na urefu wa sehemu ya mhimili (kwenye mizani iliyochaguliwa) iliyofungwa kati ya asili ya mhimili na makadirio ya uhakika kwenye mhimili huu. Nambari hii inachukuliwa na ishara ya kuongeza ikiwa makadirio ya uhakika iko katika mwelekeo wa mhimili kutoka kwa asili yake na kwa ishara ya minus ikiwa katika mwelekeo tofauti.
3. Makadirio ya vekta kwenye mhimili.
Makadirio ya vekta kwenye mhimili ni vekta ambayo hupatikana kwa kuzidisha makadirio ya scalar ya vekta kwenye mhimili huu na vekta ya kitengo cha mhimili huu. Kwa mfano, ikiwa x ni makadirio ya scalar ya vekta a kwenye mhimili wa X, basi x ·i ni makadirio yake ya vekta kwenye mhimili huu.
Hebu tuonyeshe makadirio ya vector kwa njia sawa na vector yenyewe, lakini kwa index ya mhimili ambayo vector inakadiriwa. Kwa hivyo, tunaashiria makadirio ya vekta ya vekta kwenye mhimili wa X kama x (herufi nzito inayoashiria vekta na usajili wa jina la mhimili) au
(barua ya herufi ndogo inayoashiria vekta, lakini yenye mshale juu (!) na usajili wa jina la mhimili).
Makadirio ya scalar vekta kwa mhimili inaitwa nambari, thamani kamili ambayo ni sawa na urefu wa sehemu ya mhimili (kwenye kiwango kilichochaguliwa) kilichofungwa kati ya makadirio ya hatua ya kuanza na hatua ya mwisho ya vector. Kawaida badala ya usemi makadirio ya scalar wanasema tu - makadirio. Makadirio yanaonyeshwa kwa barua sawa na vector iliyopangwa (kwa maandishi ya kawaida, yasiyo ya ujasiri), na index ya chini (kama sheria) ya jina la mhimili ambao vector hii inakadiriwa. Kwa mfano, ikiwa vekta inakadiriwa kwenye mhimili wa X A, basi makadirio yake yanaonyeshwa na x. Wakati wa kuonyesha vekta sawa kwenye mhimili mwingine, ikiwa mhimili ni Y, makadirio yake yataashiria y.
Ili kuhesabu makadirio vekta kwenye mhimili (kwa mfano, mhimili wa X), inahitajika kutoa uratibu wa mahali pa kuanzia kutoka kwa uratibu wa hatua yake ya mwisho, ambayo ni.
a x = x k − x n.
Makadirio ya vekta kwenye mhimili ni nambari. Zaidi ya hayo, makadirio yanaweza kuwa chanya ikiwa thamani x k ni kubwa kuliko thamani x n,
hasi ikiwa thamani x k ni chini ya thamani x n
na sawa na sifuri ikiwa x k ni sawa na x n.
Makadirio ya vekta kwenye mhimili pia yanaweza kupatikana kwa kujua moduli ya vekta na pembe inayofanya na mhimili huu.
Kutoka kwa takwimu ni wazi kwamba x = a Cos α
Hiyo ni, makadirio ya vekta kwenye mhimili ni sawa na bidhaa ya moduli ya vekta na cosine ya pembe kati ya mwelekeo wa mhimili na. mwelekeo wa vector. Ikiwa pembe ni ya papo hapo, basi
Cos α > 0 na x > 0, na, ikiwa ni butu, basi cosine ya angle ya obtuse ni hasi, na makadirio ya vekta kwenye mhimili pia itakuwa mbaya.
Pembe zilizopimwa kutoka kwa mhimili kinyume cha saa huchukuliwa kuwa chanya, na pembe zilizopimwa kwenye mhimili ni hasi. Hata hivyo, kwa kuwa cosine ni kazi hata, yaani, Cos α = Cos (- α), wakati wa kuhesabu makadirio, pembe zinaweza kuhesabiwa kwa saa na kinyume.
Ili kupata makadirio ya vector kwenye mhimili, moduli ya vector hii lazima iongezwe na cosine ya pembe kati ya mwelekeo wa mhimili na mwelekeo wa vector.
4. Msingi wa msingi wa algebra ya vector.
Wacha tuweke vekta a kwenye shoka za X na Y za mfumo wa kuratibu wa mstatili. Wacha tupate makadirio ya vekta a kwenye shoka hizi:
a x = a x ·i, na y = a y ·j.
Lakini kwa mujibu wa utawala wa kuongeza vector
a = a x + a y.
a = a x i + a y j.
Kwa hivyo, tulionyesha vector kwa mujibu wa makadirio yake na vectors ya mfumo wa kuratibu mstatili (au kwa mujibu wa makadirio yake ya vector).
Makadirio ya vekta a x na y huitwa vipengele au vipengele vya vekta a. Operesheni tuliyofanya inaitwa mtengano wa vekta kando ya axes ya mfumo wa kuratibu wa mstatili.
Ikiwa vector inatolewa katika nafasi, basi
a = a x i + a y j + a z k.
Fomula hii inaitwa formula ya msingi ya algebra ya vekta. Bila shaka, inaweza kuandikwa kama hii.
Idadi nyingi za kimwili zimedhamiriwa kabisa kwa kutaja nambari fulani. Hizi ni, kwa mfano, kiasi, wingi, wiani, joto la mwili, nk Kiasi hicho huitwa scalar. Kwa sababu hii, nambari wakati mwingine huitwa scalar. Lakini pia kuna idadi ambayo imedhamiriwa kwa kutaja sio nambari tu, bali pia mwelekeo fulani. Kwa mfano, wakati mwili unaposonga, unapaswa kuonyesha sio kasi tu ambayo mwili unasonga, lakini pia mwelekeo wa harakati. Kwa njia hiyo hiyo, wakati wa kujifunza hatua ya nguvu yoyote, ni muhimu kuonyesha si tu thamani ya nguvu hii, lakini pia mwelekeo wa hatua yake. Kiasi kama hicho huitwa vekta. Ili kuwaelezea, dhana ya vekta ilianzishwa, ambayo iligeuka kuwa muhimu kwa hisabati.
Ufafanuzi wa Vector
Jozi yoyote iliyoagizwa ya pointi A hadi B katika nafasi inafafanua sehemu iliyoelekezwa, i.e. sehemu pamoja na mwelekeo ulioainishwa juu yake. Ikiwa hatua A ni ya kwanza, basi inaitwa mwanzo wa sehemu iliyoelekezwa, na hatua B ni mwisho wake. Mwelekeo wa sehemu unachukuliwa kuwa mwelekeo kutoka mwanzo hadi mwisho.
Ufafanuzi
Sehemu iliyoelekezwa inaitwa vector.
Tutaashiria vector kwa ishara \(\overrightarrow(AB) \), na barua ya kwanza inayoonyesha mwanzo wa vector, na pili - mwisho wake.
Vekta ambayo mwanzo na mwisho wake vinapatana inaitwa sufuri na inaashiria \(\vec(0)\) au kwa urahisi 0.
Umbali kati ya mwanzo na mwisho wa vekta inaitwa yake urefu na inaashiriwa na \(|\overrightarrow(AB)| \) au \(|\vec(a)| \).
Vekta \(\vec(a) \) na \(\vec(b) \) huitwa colinear, ikiwa wanalala kwenye mstari mmoja au kwenye mistari inayofanana. Vekta za Collinear zinaweza kuwa na mwelekeo sawa au kinyume.
Sasa tunaweza kuunda dhana muhimu ya usawa wa vekta mbili.
Ufafanuzi
Vekta \(\vec(a) \) na \(\vec(b) \) zinasemekana kuwa sawa (\(\vec(a) = \vec(b) \)) ikiwa ni collinear, zina sawa. mwelekeo na urefu wao ni sawa.
Katika Mtini. 1 inaonyesha vekta zisizo sawa upande wa kushoto na vekta sawa \(\vec(a) \) na \(\vec(b) \) upande wa kulia. Kutoka kwa ufafanuzi wa usawa wa vector inafuata kwamba ikiwa vector iliyotolewa inahamishwa sambamba na yenyewe, basi matokeo yatakuwa vector sawa na iliyotolewa. Katika suala hili, vectors katika jiometri ya uchambuzi huitwa bure.
Makadirio ya vekta kwenye mhimili
Acha mhimili \(u\) na vekta \(\overrightarrow(AB)\) itolewe kwenye nafasi. Wacha tuchore ndege zinazoendana na mhimili wa \(u\) kupitia alama A na B. Hebu tuonyeshe kwa A" na B" pointi za makutano ya ndege hizi na mhimili (ona Mchoro 2).
Makadirio ya vekta \(\arrowoverright(AB) \) kwenye mhimili \(u\) ni thamani A"B" ya sehemu iliyoelekezwa A"B" kwenye mhimili \(u\). Hebu tuwakumbushe hilo
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , ikiwa mwelekeo \(\overrightarrow(A"B") \) unapatana na mwelekeo wa mhimili \(u\),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) , ikiwa mwelekeo \(\overrightarrow(A"B") \) ni kinyume na mwelekeo wa mhimili \(u\),
Makadirio ya vekta \(\arrowoverrightarrow(AB)\) kwenye mhimili \(u\) yanabainishwa kama ifuatavyo: \(Pr_u \overrightarrow(AB)\).
Nadharia
Makadirio ya vekta \(\ overrightarrow(AB) \) kwenye mhimili \(u\) ni sawa na urefu wa vekta \(\overrightarrow(AB) \) iliyozidishwa na kosine ya pembe kati ya vekta \ (\overrightarrow(AB) \) na mhimili \( u\) , i.e.
Maoni
Acha \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) na baadhi ya mhimili \(u\) ibainishwe. Kutumia formula ya theorem kwa kila moja ya vekta hizi, tunapata
Makadirio ya vekta kwenye shoka za kuratibu
Wacha tupewe nafasi mfumo wa mstatili inaratibu Oxyz na vekta ya kiholela \(\overrightarrow(AB)\). Acha, zaidi, \(X = Pr_u \mshale uliopitiliza(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Makadirio ya X, Y, Z vector \(\overrightarrow(AB)\) kwenye shoka za kuratibu huitwa. kuratibu. Wakati huo huo wanaandika
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)
Nadharia
Vyovyote vile pointi mbili A(x 1 ; y 1 ; z 1) na B(x 2 ; y 2); z 2), viwianishi vya vekta \(\overrightarrow(AB) \) huamuliwa na fomula zifuatazo. :
X = x 2 -x 1 , Y = y 2 -y 1 , Z = z 2 -z 1
Maoni
Ikiwa vekta \(\overrightarrow(AB) \) itaacha asili, i.e. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, basi kuratibu X, Y, Z ya vekta \(\overrightarrow(AB) \) ni sawa na kuratibu za mwisho wake:
X = x, Y = y, Z = z.
Kosini za mwelekeo wa vekta
Acha vekta ya kiholela \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); tutadhani kwamba \(\vec(a) \) inatoka kwenye asili na haiko katika ndege yoyote ya kuratibu. Wacha tuchore ndege zilizo sawa kwa shoka kupitia nukta A. Pamoja na ndege za kuratibu, huunda parallelepiped ya mstatili, diagonal ambayo ni sehemu ya OA (angalia takwimu).
Kutoka kwa jiometri ya msingi inajulikana kuwa mraba wa urefu wa diagonal parallelepiped ya mstatili sawa na jumla ya miraba ya urefu wa vipimo vyake vitatu. Kwa hivyo,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Lakini \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); hivyo tunapata
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
au
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Fomula hii inaonyesha urefu wa vekta ya kiholela kupitia viwianishi vyake.
Wacha tuonyeshe kwa \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) pembe kati ya vekta \(\vec(a) \) na mihimili ya kuratibu. Kutoka kwa fomula za makadirio ya vekta kwenye mhimili na urefu wa vekta tunayopata
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) zinaitwa mwelekeo wa cosine za vekta \(\vec(a) \).
Kuweka pande za kushoto na kulia za kila usawa uliopita na muhtasari wa matokeo yaliyopatikana, tunayo
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
hizo. jumla ya mraba wa cosines mwelekeo wa vector yoyote ni sawa na moja.
Uendeshaji wa mstari kwenye vekta na mali zao za msingi
Uendeshaji wa mstari kwenye vekta ni shughuli za kuongeza na kutoa vekta na kuzidisha vekta kwa nambari.Ongezeko la vekta mbili
Acha vekta mbili \(\vec(a) \) na \(\vec(b) \) zipewe. Jumla \(\vec(a) + \vec(b) \) ni vekta ambayo huenda kutoka mwanzo wa vekta \(\vec(a) \) hadi mwisho wa vekta \(\vec(b) \) mradi vekta \(\vec(b) \) imeambatishwa hadi mwisho wa vekta \(\vec(a) \) (angalia takwimu).Maoni
Hatua ya kuondoa vectors ni kinyume na hatua ya kuongeza, i.e. tofauti \(\vec(b) - \vec(a) \) vekta \(\vec(b) \) na \(\vec(a) \) ni vekta ambayo, kwa jumla na vekta \(\ vec(a ) \) inatoa vekta \(\vec(b) \) (angalia takwimu).
Maoni
Kwa kuamua jumla ya vekta mbili, unaweza kupata jumla ya idadi yoyote ya vekta uliyopewa. Wacha, kwa mfano, wapewe vekta tatu \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Kuongeza \(\vec(a) \) na \(\vec(b) \), tunapata vekta \(\vec(a) + \vec(b) \). Sasa tukiongeza ndani yake vekta \(\vec(c) \), tunapata vekta \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \) 
Bidhaa ya vekta na nambari
Acha vekta \(\vec(a) \neq \vec(0) \) na nambari \(\lambda \neq 0 \) itolewe. Bidhaa \(\lambda \vec(a) \) ni vekta ambayo ni collinear kwa vekta \(\vec(a) \), ina urefu sawa na \(|\lambda| |\vec(a)|\ ), na mwelekeo sawa na vekta \(\vec(a) \) ikiwa \(\lambda > 0 \), na kinyume ikiwa \(\lambda Maana ya kijiometri shughuli za kuzidisha vekta \(\vec(a) \neq \vec(0) \) kwa nambari \(\lambda \neq 0 \) zinaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo: ikiwa \(|\lambda| >1 \ ), basi wakati wa kuzidisha vekta \(\vec(a) \) kwa nambari \(\lambda \) vekta \(\vec(a) \) "imenyoshwa" \(\lambda \) mara, na ikiwa \ (|\lambda| 1 \ ).Ikiwa \(\lambda =0 \) au \(\vec(a) = \vec(0) \), basi bidhaa \(\lambda \vec(a) \) inachukuliwa kuwa sawa na vector sifuri.
Maoni
Kutumia ufafanuzi wa kuzidisha vekta kwa nambari, ni rahisi kudhibitisha kuwa ikiwa vekta \(\vec(a) \) na \(\vec(b) \) ni collinear na \(\vec(a) \) neq \vec(0) \), basi kuna (na moja tu) nambari \(\lambda \) kiasi kwamba \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)
Sifa za kimsingi za shughuli za mstari
1. Mali ya ubadilishaji ya nyongeza
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)
2. Mali ya pamoja ya kuongeza
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)
3. Mali ya pamoja ya kuzidisha
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)
4. Mali ya usambazaji kuhusiana na jumla ya nambari
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)
5. Mali ya usambazaji kwa heshima na jumla ya vectors
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)
Maoni
Sifa hizi za shughuli za mstari ni za umuhimu wa kimsingi, kwani zinawezesha kufanya shughuli za kawaida za algebra kwenye vekta. Kwa mfano, kutokana na mali 4 na 5, unaweza kuzidisha polynomial ya scalar na vector polynomial "muda kwa muda".
Nadharia za makadirio ya Vekta
Nadharia
Makadirio ya jumla ya vekta mbili kwenye mhimili ni sawa na jumla ya makadirio yao kwenye mhimili huu, i.e.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)
Nadharia inaweza kuwa ya jumla kwa kesi ya idadi yoyote ya masharti.
Nadharia
Wakati vector \(\vec(a) \) inapozidishwa na nambari \(\lambda \), makadirio yake kwenye mhimili pia yanazidishwa na nambari hii, i.e. \(Pr_u \lambda \vec(a) = \lambda Pr_u \vec(a) \)
Matokeo
Ikiwa \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) na \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), basi
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)
Matokeo
Ikiwa \(\vec(a) = (x;y;z) \), basi \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) kwa nambari yoyote \(\lambda \)
Kutoka hapa ni rahisi kuamua hali ya collinearity ya vekta mbili katika kuratibu.
Hakika, usawa \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) ni sawa na usawa \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) au
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) i.e. vekta \(\vec(a) \) na \(\vec(b) \) ni collinear ikiwa na tu ikiwa viwianishi vyake ni sawia.
Mtengano wa vekta katika msingi
Acha vekta \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ziwe vekta za kitengo cha axes za kuratibu, i.e. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), na kila moja yao inaelekezwa kwa usawa na mhimili wa kuratibu unaofanana (angalia takwimu). Mara tatu ya vekta \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) inaitwa msingi.
Nadharia ifuatayo inashikilia.
Nadharia
Vekta yoyote \(\vec(a) \) inaweza kupanuliwa kipekee kwa msingi \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), i.e. iliyowasilishwa kama
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
ambapo \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) ni baadhi ya nambari. 
Mhimili ni mwelekeo. Hii ina maana kwamba makadirio kwenye mhimili au kwenye mstari ulioelekezwa inachukuliwa kuwa sawa. Makadirio yanaweza kuwa algebraic au kijiometri. Kwa maneno ya kijiometri, makadirio ya vekta kwenye mhimili hueleweka kama vekta, na kwa maneno ya aljebra, inaeleweka kama nambari. Hiyo ni, dhana za makadirio ya vekta kwenye mhimili na makadirio ya nambari ya vekta kwenye mhimili hutumiwa.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ikiwa tuna mhimili wa L na vekta isiyo ya sifuri A B →, basi tunaweza kuunda vekta A 1 B 1 ⇀, inayoashiria makadirio ya alama zake A 1 na B 1.
A 1 B → 1 itakuwa makadirio ya vekta A B → kwenye L.
Ufafanuzi 1
Makadirio ya vekta kwenye mhimili ni vekta ambayo mwanzo na mwisho wake ni makadirio ya mwanzo na mwisho zaidi vector iliyotolewa. n p L A B → → ni desturi kuashiria makadirio A B → kwenye L. Ili kuunda makadirio kwenye L, perpendiculars hutupwa kwenye L.
Mfano 1
Mfano wa makadirio ya vekta kwenye mhimili.
Kwenye ndege ya kuratibu O x y, hatua ya M 1 (x 1, y 1) imeelezwa. Inahitajika kuunda makadirio kwenye O x na O y ili kuweka picha ya vekta ya radius ya uhakika M 1. Tunapata kuratibu za vectors (x 1, 0) na (0, y 1).
Ikiwa tunazungumza juu ya makadirio ya → kwenye b isiyo ya sifuri → au makadirio ya → kwenye mwelekeo b → , basi tunamaanisha makadirio ya → kwenye mhimili ambao mwelekeo b → unaambatana. Makadirio ya → kwenye mstari unaofafanuliwa na b → imeteuliwa n p b → a → → . Inajulikana kuwa wakati pembe kati ya → na b → , n p b → a → → na b → inaweza kuchukuliwa kuwa ya mwelekeo. Katika hali ambapo pembe ni butu, n p b → a → → na b → ziko katika mwelekeo tofauti. Katika hali ya perpendicularity a → na b →, na → ni sifuri, makadirio ya → katika mwelekeo b → ni vekta sifuri.
Tabia ya nambari ya makadirio ya vekta kwenye mhimili ni makadirio ya nambari ya vekta kwenye mhimili fulani.
Ufafanuzi 2
Makadirio ya nambari ya vekta kwenye mhimili ni nambari ambayo ni sawa na bidhaa ya urefu wa vekta iliyotolewa na cosine ya pembe kati ya vector iliyotolewa na vector ambayo huamua mwelekeo wa mhimili.
Makadirio ya nambari ya A B → kwenye L yanaashiria n p L A B → , na a → kwenye b → - n p b → a → .
Kulingana na fomula, tunapata n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , kutoka ambapo → ni urefu wa vekta a → , a ⇀ , b → ^ ni pembe kati ya vekta a → na b → .
Tunapata formula ya kuhesabu makadirio ya nambari: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Inatumika kwa urefu unaojulikana a → na b → na pembe kati yao. Fomula inatumika kwa viwianishi vinavyojulikana a → na b →, lakini kuna fomu iliyorahisishwa.
Mfano 2
Jua makadirio ya nambari ya → kwenye mstari ulionyooka katika mwelekeo b → na urefu a → sawa na 8 na pembe kati yao ya digrii 60. Kwa hali tunayo ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Hii ina maana kwamba tunabadilisha thamani za nambari katika fomula n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .
Jibu: 4.
Na cos inayojulikana (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , tuna → , b → kama bidhaa ya scalar a → na b → . Kufuatia kutoka kwa fomula n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , tunaweza kupata makadirio ya nambari a → iliyoelekezwa kando ya vekta b → na kupata n p b → a → = a → , b → b → . Fomula ni sawa na ufafanuzi uliotolewa mwanzoni mwa aya.
Ufafanuzi 3
Makadirio ya nambari ya vekta a → kwenye mhimili unaofanana katika mwelekeo na b → ni uwiano wa bidhaa ya scalar ya vekta a → na b → kwa urefu b → . Fomula n p b → a → = a → , b → b → inatumika kupata makadirio ya nambari ya → kwenye mstari unaolingana katika mwelekeo na b → , na viwianishi a → na b → vinavyojulikana.
Mfano 3
Imetolewa b → = (- 3, 4) . Pata makadirio ya nambari a → = (1, 7) kwenye L.
Suluhisho
Kwenye ndege ya kuratibu n p b → a → = a → , b → b → ina fomu n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 na → = (a x , a y ) na b → = b x , b y . Ili kupata makadirio ya nambari ya vekta a → kwenye mhimili wa L, unahitaji: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.
Jibu: 5.
Mfano 4
Pata makadirio ya → kwenye L, sanjari na mwelekeo b →, ambapo kuna → = - 2, 3, 1 na b → = (3, - 2, 6). Nafasi ya pande tatu imebainishwa.
Suluhisho
Kutokana na → = a x , a y , a z na b → = b x , b y , b z , tunahesabu bidhaa ya scalar: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Urefu b → hupatikana kwa kutumia formula b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Inafuata kwamba fomula ya kuamua makadirio ya nambari a → itakuwa: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .
Badilisha maadili ya nambari: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .
Jibu: - 6 7.
Wacha tuangalie unganisho kati ya → kwenye L na urefu wa makadirio a → kwenye L. Wacha tuchore mhimili L, na kuongeza → na b → kutoka kwa hatua kwenye L, baada ya hapo tunachora mstari wa pembeni kutoka mwisho a → hadi L na kuchora makadirio kwenye L. Kuna tofauti 5 za picha:
Kwanza kesi na → = n p b → a → → ina maana a → = n p b → a → → , hivyo n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .
Pili kesi ina maana ya matumizi ya n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , ambayo ina maana n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .
Cha tatu kesi inaeleza kwamba wakati n p b → a → → = 0 → tunapata n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , basi n p b → a → → = 0 na n p b → a → = 0 = n p b → a → → .
Nne kesi inaonyesha n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , ifuatavyo n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .
Tano kesi inaonyesha → = n p b → a → → , ambayo ina maana a → = n p b → a → → , kwa hiyo tuna n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .
Ufafanuzi 4
Makadirio ya nambari ya vekta a → kwenye mhimili wa L, ambayo imeelekezwa kwa njia sawa na b →, ina thamani ifuatayo:
- urefu wa makadirio ya vekta a → hadi L, mradi pembe kati ya → na b → ni chini ya digrii 90 au sawa na 0: n p b → a → = n p b → a → → na hali 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
- sifuri mradi a → na b → ni perpendicular: n p b → a → = 0, wakati (a → , b → ^) = 90 °;
- urefu wa makadirio a → kwenye L, ikizidishwa na -1, wakati kuna pembe iliyofifia au iliyonyooka ya vekta a → na b →: n p b → a → = - n p b → a → → na hali ya 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .
Mfano 5
Kwa kuzingatia urefu wa makadirio a → hadi L, sawa na 2. Tafuta makadirio ya nambari a → mradi pembe ni 5 π 6 radiani.
Suluhisho
Kutokana na hali ni wazi kuwa pembe hii ni butu: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .
Jibu: - 2.
Mfano 6
Imepewa ndege O x y z yenye urefu wa vekta a → sawa na 6 3, b → (- 2, 1, 2) yenye pembe ya digrii 30. Tafuta viwianishi vya makadirio a → kwenye mhimili wa L.
Suluhisho
Kwanza, tunahesabu makadirio ya nambari ya vekta a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .
Kwa hali, pembe ni ya papo hapo, basi makadirio ya nambari → = urefu wa makadirio ya vekta a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Kesi hii inaonyesha kwamba vekta n p L a → → na b → zimeelekezwa kwa pamoja, ambayo ina maana kuna nambari t ambayo usawa ni kweli: n p L a → → = t · b → . Kuanzia hapa tunaona kwamba n p L a → → = t · b → , ambayo ina maana tunaweza kupata thamani ya parameter t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .
Kisha n p L a → → = 3 · b → na kuratibu za makadirio ya vekta a → kwenye mhimili wa L sawa na b → = (- 2 , 1 , 2) , ambapo ni muhimu kuzidisha maadili kwa 3. Tuna n p L a → → = (- 6, 3, 6) . Jibu: (- 6, 3, 6).
Ni muhimu kurudia habari iliyojifunza hapo awali kuhusu hali ya collinearity ya vectors.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Katika michoro, picha za miili ya kijiometri hujengwa kwa kutumia njia ya makadirio. Lakini kwa picha hii moja haitoshi; angalau makadirio mawili yanahitajika. Kwa msaada wao, pointi katika nafasi zimeamua. Kwa hivyo, unahitaji kujua jinsi ya kupata makadirio ya uhakika.
Makadirio ya uhakika
Ili kufanya hivyo, utahitaji kuzingatia nafasi ya angle ya dihedral, na uhakika (A) iko ndani. Hapa ndege za makadirio ya P1 ya usawa na wima ya P2 hutumiwa. Pointi (A) inakadiriwa kwa mpangilio kwenye ndege za makadirio. Kama ilivyo kwa miale inayojitokeza ya perpendicular, imeunganishwa kuwa ndege inayojitokeza, perpendicular kwa ndege makadirio. Kwa hivyo, wakati wa kuchanganya ndege za P1 za usawa na za mbele za P2 kwa kuzunguka kando ya mhimili wa P2 / P1, tunapata mchoro wa gorofa.
Kisha mstari ulio na pointi za makadirio ziko juu yake huonyeshwa perpendicular kwa mhimili. Hii inaunda kuchora ngumu. Shukrani kwa makundi yaliyojengwa juu yake na mstari wa uunganisho wa wima, unaweza kuamua kwa urahisi nafasi ya uhakika kuhusiana na ndege za makadirio.
Ili iwe rahisi kuelewa jinsi ya kupata makadirio, unahitaji kuzingatia pembetatu sahihi. Upande wake mfupi ni mguu, na upande wake mrefu ni hypotenuse. Ikiwa utaweka mguu kwenye hypotenuse, itagawanywa katika sehemu mbili. Kuamua thamani yao, unahitaji kuhesabu seti ya data ya awali. Hebu fikiria juu ya pembetatu hii jinsi ya kuhesabu makadirio kuu.
Kama sheria, katika shida hii zinaonyesha urefu wa mguu N na urefu wa hypotenuse D, ambao makadirio yake yanahitajika kupatikana. Ili kufanya hivyo, tutajua jinsi ya kupata makadirio ya mguu.
Hebu fikiria njia ya kupata urefu wa mguu (A). Kwa kuzingatia kwamba maana ya kijiometri ya makadirio ya mguu na urefu wa hypotenuse ni sawa na thamani ya mguu tunayotafuta: N = √(D*Nd).
Jinsi ya kupata urefu wa makadirio
Mzizi wa bidhaa unaweza kupatikana kwa kugawanya urefu wa mguu unaotaka (N), na kisha kuigawanya kwa urefu wa hypotenuse: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Wakati wa kubainisha maadili ya miguu D na N pekee katika data ya chanzo, makadirio ya urefu yanapaswa kupatikana kwa kutumia nadharia ya Pythagorean.
Wacha tupate urefu wa hypotenuse D. Ili kufanya hivyo, unahitaji kutumia maadili ya miguu √ (N² + T²), na kisha ubadilishe thamani inayosababishwa katika fomula ifuatayo ya kupata makadirio: Nd = N² / √ (N² + T²).
Wakati data ya chanzo ina data juu ya urefu wa makadirio ya mguu RD, pamoja na data juu ya thamani ya hypotenuse D, urefu wa makadirio ya mguu wa pili ND inapaswa kuhesabiwa kwa kutumia formula rahisi ya kutoa: ND = D - RD.
Makadirio ya kasi
Wacha tuangalie jinsi ya kupata makadirio ya kasi. Ili vekta iliyotolewa kuwakilisha maelezo ya mwendo, inapaswa kuwekwa katika makadirio kwenye shoka za kuratibu. Kuna mhimili mmoja wa kuratibu (ray), shoka mbili za kuratibu (ndege) na shoka tatu za kuratibu (nafasi). Wakati wa kupata makadirio, ni muhimu kupunguza perpendiculars kutoka mwisho wa vector kwenye mhimili.
Ili kuelewa maana ya makadirio, unahitaji kujua jinsi ya kupata makadirio ya vector.
Makadirio ya Vector
Mwili unaposogea kwa mhimili, makadirio yatawakilishwa kama nukta na kuwa na thamani sawa na sifuri. Ikiwa harakati inafanywa sambamba na mhimili wa kuratibu, basi makadirio yatafanana na moduli ya vector. Katika kesi wakati mwili unasonga kwa njia ambayo vekta ya kasi inaelekezwa kwa pembe φ kuhusiana na mhimili (x), makadirio kwenye mhimili huu itakuwa sehemu: V (x) = V cos (φ), ambapo V ni kielelezo cha vekta ya kasi Wakati maelekezo ya vekta ya kasi na mhimili wa kuratibu sanjari, basi makadirio ni chanya, na kinyume chake.
Hebu tuchukue mlinganyo ufuatao wa kuratibu: x = x(t), y = y(t), z = z(t). KATIKA kwa kesi hii kazi ya kasi itakadiriwa kwenye shoka tatu na itakuwa na mtazamo unaofuata: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V(z) = dz / dt = z"(t). Inafuata kwamba pata kasi ambayo ni muhimu kuchukua derivatives.Vekta ya kasi yenyewe inaonyeshwa kwa usawa wa fomu ifuatayo: V = V (x) i + V (y) j + V (z) k. Hapa i, j, k ni vekta za kitengo cha x, y kuratibu shoka , z kwa mtiririko huo. Kwa hivyo, moduli ya kasi huhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).
Wacha tuonyeshe kwa pembe kati ya vekta na mhimili wa makadirio na uhamishe vekta
ili asili yake sanjari na hatua fulani kwenye mhimili. Ikiwa maelekezo ya sehemu ya vector na mhimili ni sawa, basi angle a itakuwa ya papo hapo na, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa Mtini. 24, a,
ambapo a ni moduli ya vekta a. Ikiwa maelekezo ya vector na mhimili ni kinyume, basi, kwa kuzingatia ishara ya makadirio, tutakuwa na (tazama Mchoro 24, b)
i.e. usemi uliotangulia (lazima ukumbuke kuwa katika kesi hii pembe a ni butu na
Kwa hivyo, makadirio ya vekta kwenye mhimili ni sawa na bidhaa ya moduli ya vekta na cosine ya pembe kati ya vekta na mhimili:
Mbali na hii kuwa na pekee muhimu fomula za makadirio ya vekta kwenye mhimili, unaweza kutoa moja zaidi formula rahisi. Wacha tuweke asili kwenye mhimili na uchague kiwango ambacho ni kawaida kwa kiwango cha veta. Kama inavyojulikana, uratibu wa nukta ni nambari inayoonyesha, kwa kiwango kilichochaguliwa, umbali kutoka kwa asili ya mhimili hadi makadirio ya hatua fulani kwenye mhimili, na nambari hii inachukuliwa na ishara ya kuongeza ikiwa makadirio ya uhakika ni kuondolewa kutoka asili katika mwelekeo wa mhimili, na kwa ishara minus vinginevyo kesi. Kwa hivyo, kwa mfano, uratibu wa hatua A (Mchoro 23, b) itakuwa nambari iliyosainiwa inayoonyesha urefu wa sehemu, na uratibu wa hatua B itakuwa nambari iliyosainiwa ambayo huamua urefu wa sehemu (tunafanya). usizingatie hili
kwa undani zaidi, ikizingatiwa kuwa msomaji anafahamu wazo la kuratibu za hatua kutoka kwa kozi ya hisabati ya msingi).
Wacha tuonyeshe kwa uratibu wa mwanzo, na kwa uratibu wa mwisho wa vekta kwenye mhimili wa x. Kisha, kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa Mtini. 23, ah, tutakuwa na
Makadirio ya vekta kwenye mhimili wa x yatakuwa sawa na
au, kwa kuzingatia usawa wa hapo awali,
Ni rahisi kuona kwamba formula hii ina tabia ya jumla na haitegemei eneo la vekta inayohusiana na mhimili na asili. Kwa kweli, fikiria kesi iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 23, b. Kutoka kwa ufafanuzi wa kuratibu za pointi na makadirio ya vector sisi kupata mfululizo
(msomaji anaweza kuangalia kwa urahisi uhalali wa formula na na katika eneo tofauti la vector kuhusiana na mhimili na asili).
Kutoka (6.11) inafuata kwamba makadirio ya vector kwenye mhimili ni sawa na tofauti kati ya kuratibu za mwisho na mwanzo wa vector.
Kuhesabu makadirio ya vekta kwenye mhimili hutokea mara nyingi katika masuala mbalimbali. Kwa hiyo, ni muhimu kuendeleza ujuzi imara katika kuhesabu makadirio. Unaweza kuonyesha baadhi ya mbinu zinazowezesha mchakato wa kuhesabu makadirio.
1. Ishara ya makadirio ya vekta kwenye mhimili, kama sheria, inaweza kuamua moja kwa moja kutoka kwa mchoro, na moduli ya makadirio inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula.
iko wapi pembe ya papo hapo kati ya vekta na mhimili wa makadirio - ikiwa na ikiwa Mbinu hii, bila kuanzisha kitu chochote kipya, ni kiasi fulani.
huwezesha hesabu ya makadirio kwa kuwa hauhitaji mabadiliko ya trigonometric.
2. Ikiwa unahitaji kuamua makadirio ya vekta kwenye shoka mbili za pande zote za x na y (inadhaniwa kuwa vekta iko kwenye ndege ya shoka hizi) na ni pembe ya papo hapo kati ya vekta na mhimili wa x, basi.
(ishara ya makadirio imedhamiriwa kutoka kwa kuchora).
Mfano. Tafuta makadirio kwenye mihimili ya x na y ya kuratibu ya nguvu iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 25. Kutoka kwa kuchora ni wazi kwamba makadirio yote mawili yatakuwa mabaya. Kwa hivyo,
3. Wakati mwingine sheria ya kubuni mara mbili hutumiwa, ambayo ni kama ifuatavyo. Hebu vector itolewe na mhimili amelala katika ndege Hebu tuacha perpendiculars kutoka mwisho wa vector kwenye ndege na mstari wa moja kwa moja na kisha kuunganisha besi za perpendiculars na sehemu ya mstari wa moja kwa moja (Mchoro 26). Hebu tuonyeshe angle kati ya vector na ndege kwa pembe kati na kwa na angle kati ya vector na mhimili wa makadirio na a. Kwa kuwa pembe ni sawa (kwa ujenzi), basi