Wakati wa kutatua shida mbali mbali za jiometri, mechanics, fizikia na matawi mengine ya maarifa, hitaji liliibuka kwa kutumia mchakato huo wa uchambuzi kutoka kwa kazi hii. y=f(x) pata kitendakazi kipya kinachoitwa kazi ya derivative(au kwa urahisi derivative) ya chaguo za kukokotoa f(x) na huteuliwa na ishara
Mchakato ambao kutoka kwa kitendakazi ulichopewa f(x) pata kipengele kipya f" (x), kuitwa utofautishaji na lina hatua tatu zifuatazo: 1) toa hoja x ongezeko
x na kuamua nyongeza inayolingana ya chaguo za kukokotoa
y = f(x+
x) -f(x); 2) kuunda uhusiano 
3) kuhesabu x mara kwa mara na
x0, tunapata 
, ambayo tunaashiria nayo f" (x), kana kwamba inasisitiza kwamba kazi inayotokana inategemea tu thamani x, ambayo tunaenda hadi kikomo. Ufafanuzi:
Nyingi y " =f" (x)
kukokotoa y=f(x)
kwa x iliyotolewa inaitwa kikomo cha uwiano wa ongezeko la kazi kwa ongezeko la hoja, isipokuwa kwamba ongezeko la hoja huwa na sifuri, ikiwa, bila shaka, kikomo hiki kipo, i.e. yenye mwisho. Hivyo, 
, au 
Kumbuka kwamba ikiwa kwa thamani fulani x, kwa mfano wakati x=a, mtazamo 
katika
x0 haielekei kikomo cha mwisho, basi katika kesi hii wanasema kwamba kazi f(x) katika x=a(au kwa uhakika x=a) haina derivative au haiwezi kutofautishwa katika uhakika x=a.
2. Maana ya kijiometri ya derivative.
Fikiria grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x), inayoweza kutofautishwa katika eneo la nukta x 0
f(x)
Wacha tuchunguze mstari wa moja kwa moja wa kiholela unaopita kwenye nukta kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa - nukta A(x 0 , f (x 0)) na kukatiza grafu wakati fulani B(x;f(x)). Mstari kama huo (AB) unaitwa secant. Kutoka ∆ABC: AC = ∆x; BC =∆у; tgβ=∆y/∆x.
Tangu AC | Ng'ombe, kisha ALO = BAC = β (kama inavyolingana kwa sambamba). Lakini ALO ni pembe ya mwelekeo wa secant AB hadi mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox. Hii ina maana tanβ = k - mteremko moja kwa moja AB.
Sasa tutapunguza ∆x, i.e. ∆х→ 0. Katika kesi hii, hatua B itakaribia hatua A kulingana na grafu, na secant AB itazunguka. Nafasi ya kuzuia ya sekanti AB katika ∆x→ 0 itakuwa mstari ulionyooka (a), unaoitwa tanjenti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa y = f (x) katika hatua A.
Ikiwa tutaenda kwa kikomo kama ∆x → 0 katika usawa tgβ =∆y/∆x, tunapata 
ortg =f "(x 0), tangu 
-pembe ya mwelekeo wa tangent kwa mwelekeo chanya wa mhimili wa Ox 
, kwa ufafanuzi wa derivative. Lakini tg = k ni mgawo wa angular wa tangent, ambayo ina maana k = tg = f "(x 0).
Kwa hivyo, maana ya kijiometri ya derivative ni kama ifuatavyo.
Nyingine ya chaguo za kukokotoa katika nukta x 0 sawa na mteremko wa tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa iliyochorwa kwenye hatua na abscissa x 0 .
3. Maana ya kimwili ya derivative.
Fikiria harakati ya hatua kwenye mstari wa moja kwa moja. Acha uratibu wa nukta wakati wowote x(t) itolewe. Inajulikana (kutoka kwa kozi ya fizikia) kwamba kasi ya wastani katika kipindi cha muda ni sawa na uwiano wa umbali uliosafirishwa katika kipindi hiki cha muda hadi wakati, i.e.
Vav = ∆x/∆t. Wacha tufikie kikomo katika usawa wa mwisho kama ∆t → 0.
lim Vav (t) = (t 0) - kasi ya papo hapo kwa wakati t 0, ∆t → 0.
na lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (kwa ufafanuzi wa derivative).
Kwa hivyo, (t) =x"(t).
Maana ya kimwili ya derivative ni kama ifuatavyo: derivative ya kaziy = f(x) kwa uhakikax 0 ni kiwango cha mabadiliko ya chaguo la kukokotoaf(x) kwa uhakikax 0
Derivative hutumiwa katika fizikia kupata kasi kutoka kwa kazi inayojulikana ya kuratibu dhidi ya wakati, kuongeza kasi kutoka kwa kazi inayojulikana ya kasi dhidi ya wakati.
(t) = x"(t) - kasi,
a(f) = "(t) - kuongeza kasi, au
Ikiwa sheria ya mwendo wa hatua ya nyenzo kwenye mduara inajulikana, basi mtu anaweza kupata kasi ya angular na kuongeza kasi ya angular wakati wa mzunguko wa mzunguko:
φ = φ(t) - mabadiliko ya pembe kwa wakati,
ω = φ"(t) - kasi ya angular,
ε = φ"(t) - kuongeza kasi ya angular, au ε = φ"(t).
Ikiwa sheria ya usambazaji wa wingi wa fimbo ya inhomogeneous inajulikana, basi wiani wa mstari wa fimbo ya inhomogeneous inaweza kupatikana:
m = m(x) - wingi,
x , l - urefu wa fimbo,
p = m"(x) - msongamano wa mstari.
Kutumia derivative, matatizo kutoka kwa nadharia ya elasticity na vibrations harmonic ni kutatuliwa. Kwa hivyo, kulingana na sheria ya Hooke
F = -kx, x - kuratibu kutofautiana, k - mgawo wa elasticity ya spring. Kuweka ω 2 = k/m, tunapata usawa wa tofauti wa pendulum ya spring x"(t) + ω 2 x(t) = 0,
ambapo ω = √k/√m mzunguko wa oscillation (l/c), k - ugumu wa spring (H/m).
Equation ya fomu y" + ω 2 y = 0 inaitwa equation ya oscillations harmonic (mitambo, umeme, sumakuumeme). Suluhisho la milinganyo hiyo ni kazi.
y = Asin(ωt + φ 0) au y = Acos(ωt + φ 0), ambapo
A - amplitude ya oscillations, ω - mzunguko wa mzunguko,
φ 0 - awamu ya awali.
Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa tofauti.
Kama matokeo ya kutatua shida za kupata derivatives ya kazi rahisi zaidi (na sio rahisi sana) kwa kufafanua derivative kama kikomo cha uwiano wa nyongeza na ongezeko la hoja, jedwali la derivatives lilionekana na haswa. sheria fulani utofautishaji. Wa kwanza kufanya kazi katika uwanja wa kutafuta derivatives walikuwa Isaac Newton (1643-1727) na Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Kwa hiyo, katika wakati wetu, ili kupata derivative ya kazi yoyote, huna haja ya kuhesabu kikomo kilichotajwa hapo juu cha uwiano wa ongezeko la kazi kwa ongezeko la hoja, lakini unahitaji tu kutumia jedwali la derivatives na kanuni za utofautishaji. Algorithm ifuatayo inafaa kwa kutafuta derivative.
Ili kupata derivative, unahitaji kujieleza chini ya ishara kuu kuvunja kazi rahisi katika vipengele na kuamua ni vitendo gani (bidhaa, jumla, mgawo) kazi hizi zinahusiana. Viingilio zaidi kazi za msingi tunapata katika jedwali la derivatives, na kanuni za derivatives ya bidhaa, jumla na quotient ziko katika sheria za kutofautisha. Jedwali la derivative na sheria za utofautishaji hutolewa baada ya mifano miwili ya kwanza.
Mfano 1. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Kutoka kwa sheria za utofautishaji tunapata kwamba derivative ya jumla ya kazi ni jumla ya derivatives ya kazi, i.e.
Kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata kwamba derivative ya "x" ni sawa na moja, na derivative ya sine ni sawa na cosine. Tunabadilisha maadili haya katika jumla ya derivatives na kupata derivative inayohitajika na hali ya tatizo:
Mfano 2. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Tunatofautisha kama derivative ya jumla ambayo muhula wa pili una sababu isiyobadilika; inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara ya derivative:
Ikiwa maswali bado yanatokea juu ya wapi kitu kinatoka, kawaida husafishwa baada ya kujijulisha na jedwali la derivatives na sheria rahisi zaidi za kutofautisha. Tunaendelea nao sasa hivi.
Jedwali la derivatives ya kazi rahisi
| 1. Derivative ya mara kwa mara (idadi). Nambari yoyote (1, 2, 5, 200...) iliyo katika usemi wa chaguo la kukokotoa. Daima ni sawa na sifuri. Hii ni muhimu sana kukumbuka, kwani inahitajika mara nyingi sana | |
| 2. Derivative ya kutofautiana huru. Mara nyingi "X". Daima ni sawa na moja. Hii pia ni muhimu kukumbuka kwa muda mrefu | |
| 3. Derivative ya shahada. Wakati wa kutatua matatizo, unahitaji kubadilisha mizizi isiyo ya mraba kuwa nguvu. | |
| 4. Derivative ya kutofautiana kwa nguvu -1 | |
| 5. Derivative kipeo | |
| 6. Derivative ya sine | |
| 7. Derivative ya cosine |  |
| 8. Derivative ya tangent |  |
| 9. Derivative ya cotangent |  |
| 10. Derivative ya arcsine |  |
| 11. Derivative ya arc cosine |  |
| 12. Derivative ya arctangent |  |
| 13. Derivative ya arc cotangent |  |
| 14. Derivative ya logarithm asili | |
| 15. Inayotokana na kazi ya logarithmic |  |
| 16. Derivative ya kipeo | |
| 17. Nyingi ya chaguo za kukokotoa za kipeo |
Kanuni za kutofautisha
| 1. Inatokana na jumla au tofauti |  |
| 2. Derivative ya bidhaa |  |
| 2a. Nyingine ya usemi unaozidishwa na kipengele kisichobadilika | |
| 3. Derivative ya mgawo |  |
| 4. Derivative ya kazi changamano |  |
Kanuni ya 1.Ikiwa kazi
zinaweza kutofautishwa wakati fulani, basi kazi zinaweza kutofautishwa kwa hatua sawa
na
hizo. derivative ya jumla ya kazi za aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya viasili vya kazi hizi.
Matokeo. Ikiwa kazi mbili zinazoweza kutofautishwa zinatofautiana kwa neno la mara kwa mara, basi derivatives zao ni sawa, i.e.
Kanuni ya 2.Ikiwa kazi
zinaweza kutofautishwa kwa wakati fulani, basi bidhaa zao zinaweza kutofautishwa kwa wakati mmoja
na
hizo. Derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kila moja ya kazi hizi na derivative ya nyingine.
Muhimu 1. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative:
Muhimu 2. Derivative ya bidhaa ya kazi kadhaa zinazoweza kutofautishwa ni sawa na jumla ya bidhaa za derivative ya kila sababu na wengine wote.
Kwa mfano, kwa vizidishi vitatu:
Kanuni ya 3.Ikiwa kazi
kutofautishwa kwa wakati fulani Na , basi katika hatua hii mgawo wao pia unaweza kutofautishwau/v , na
hizo. derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, nambari ambayo ni tofauti kati ya bidhaa za denominator na derivative ya nambari na nambari na derivative ya denominator, na denominator ni mraba wa namba ya zamani.
Mahali pa kutafuta vitu kwenye kurasa zingine
Wakati wa kupata derivative ya bidhaa na mgawo katika shida halisi, kila wakati ni muhimu kutumia sheria kadhaa za kutofautisha mara moja, kwa hivyo. mifano zaidi kwa derivatives hizi - katika makala"Derivative ya bidhaa na mgawo wa kazi".
Maoni. Haupaswi kuchanganya mara kwa mara (yaani, nambari) kama neno katika jumla na kama sababu ya mara kwa mara! Katika kesi ya neno, derivative yake ni sawa na sifuri, na katika kesi ya sababu ya mara kwa mara, inachukuliwa nje ya ishara ya derivatives. Hii kosa la kawaida, ambayo hutokea hatua ya awali kusoma derivatives, lakini wanapotatua mifano kadhaa ya sehemu moja na mbili, mwanafunzi wa kawaida hafanyi tena kosa hili.
Na ikiwa, wakati wa kutofautisha bidhaa au mgawo, una muda u"v, ambamo u- nambari, kwa mfano, 2 au 5, yaani, mara kwa mara, basi derivative ya nambari hii itakuwa sawa na sifuri na, kwa hiyo, neno lote litakuwa sawa na sifuri (kesi hii inajadiliwa kwa mfano 10).
Nyingine kosa la kawaida - ufumbuzi wa mitambo derivative ya kazi changamano kama derivative ya kitendakazi rahisi. Ndiyo maana derivative ya kazi changamano makala tofauti imetolewa. Lakini kwanza tutajifunza kupata derivatives ya kazi rahisi.
Njiani, huwezi kufanya bila kubadilisha maneno. Ili kufanya hivyo, unaweza kuhitaji kufungua mwongozo katika madirisha mapya. Vitendo vyenye nguvu na mizizi Na Uendeshaji na sehemu .
Ikiwa unatafuta suluhisho la derivatives ya sehemu zilizo na nguvu na mizizi, ambayo ni, wakati kazi inaonekana kama 
, kisha fuata somo “Linatokana na hesabu za sehemu zenye nguvu na mizizi.”
Kama una kazi kama 
, basi utachukua somo "Derivatives ya kazi rahisi za trigonometric".
Mifano ya hatua kwa hatua - jinsi ya kupata derivative
Mfano 3. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Tunafafanua sehemu za usemi wa kazi: usemi mzima unawakilisha bidhaa, na sababu zake ni hesabu, katika pili ambayo moja ya istilahi ina sababu ya kila wakati. Tunatumia sheria ya utofautishaji wa bidhaa: derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kila moja ya kazi hizi na derivative ya nyingine:
Ifuatayo, tunatumia kanuni ya upambanuzi wa jumla: derivative ya jumla ya kazi za aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya vinyago vya kazi hizi. Kwa upande wetu, katika kila jumla neno la pili lina ishara ya kuondoa. Katika kila jumla tunaona tofauti huru, derivative ambayo ni sawa na moja, na mara kwa mara (idadi), derivative ambayo ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, "X" inageuka kuwa moja, na minus 5 inageuka kuwa sifuri. Katika usemi wa pili, "x" inazidishwa na 2, kwa hivyo tunazidisha mbili kwa kitengo sawa na derivative ya "x". Tunapata maadili derivative yafuatayo:
Tunabadilisha derivatives zilizopatikana kwa jumla ya bidhaa na kupata derivative ya kazi nzima inayohitajika na hali ya shida:
Mfano 4. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Tunatakiwa kupata derivative ya mgawo. Tunatumia fomula ya kutofautisha mgawo: derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, nambari ambayo ni tofauti kati ya bidhaa za denominator na derivative ya nambari na nambari na derivative ya nambari. denominator, na denominator ni mraba wa nambari ya zamani. Tunapata:
Tayari tumepata derivative ya mambo katika nambari katika mfano 2. Pia tusisahau kwamba bidhaa, ambayo ni sababu ya pili katika nambari katika mfano wa sasa, inachukuliwa na ishara ya minus:
Ikiwa unatafuta suluhisho la shida ambazo unahitaji kupata derivative ya kazi, ambapo kuna rundo la mizizi na nguvu zinazoendelea, kama vile, kwa mfano, 
, basi karibu darasani "Inayotokana na jumla ya sehemu zilizo na nguvu na mizizi" .
Ikiwa unahitaji kujifunza zaidi kuhusu derivatives ya sines, cosines, tangents na wengine kazi za trigonometric, yaani, wakati kazi inaonekana kama , basi somo kwako "Derivatives ya kazi rahisi za trigonometric" .
Mfano 5. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Katika kazi hii tunaona bidhaa, mojawapo ya mambo ambayo ni mzizi wa mraba wa kutofautiana huru, derivative ambayo tulijitambulisha nayo katika jedwali la derivatives. Kutumia sheria ya kutofautisha bidhaa na thamani ya jedwali ya derivative ya mzizi wa mraba, tunapata:
Mfano 6. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa
Suluhisho. Katika chaguo hili la kukokotoa tunaona mgawo ambao mgao wake ni mzizi wa mraba wa kigezo huru. Kutumia kanuni ya utofautishaji wa nukuu, ambayo tulirudia na kutumia katika mfano wa 4, na thamani iliyoonyeshwa ya derivative ya mzizi wa mraba, tunapata:
Ili kuondoa sehemu katika nambari, zidisha nambari na denominator kwa .
Nyingi ya kitendakazi cha kigezo kimoja.
Utangulizi.
Kweli maendeleo ya mbinu iliyokusudiwa kwa wanafunzi wa Kitivo cha Uhandisi wa Viwanda na Kiraia. Zilikusanywa kuhusiana na mpango wa kozi ya hisabati katika sehemu ya "Kokotoo tofauti la kazi za kigezo kimoja."
Maendeleo yanawakilisha mwongozo mmoja wa mbinu, ikiwa ni pamoja na: maelezo mafupi ya kinadharia; shida na mazoezi "ya kawaida" yenye suluhisho la kina na maelezo ya suluhisho hizi; chaguzi za mtihani.
Kuna mazoezi ya ziada mwishoni mwa kila aya. Muundo huu wa maendeleo unawafanya kufaa kwa ustadi wa kujitegemea wa sehemu na usaidizi mdogo kutoka kwa mwalimu.
§1. Ufafanuzi wa derivative.
Maana ya mitambo na kijiometri
derivative.
Dhana ya derivative ni mojawapo ya dhana muhimu zaidi ya uchanganuzi wa hisabati.Iliibuka nyuma katika karne ya 17. Uundaji wa dhana ya derivative kihistoria inahusishwa na matatizo mawili: tatizo la kasi ya mwendo wa kubadilishana na tatizo la tangent kwa curve.
Matatizo haya, licha ya maudhui yao tofauti, husababisha operesheni sawa ya hisabati ambayo lazima ifanyike kwenye kazi.Operesheni hii ilipata jina maalum katika hisabati. Inaitwa operesheni ya utofautishaji wa kazi. Matokeo ya operesheni ya kutofautisha inaitwa derivative.
Kwa hivyo, derivative ya chaguo la kukokotoa y=f(x) katika nukta x0 ni kikomo (ikiwa kipo) cha uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa hadi nyongeza ya hoja. 
katika 
.
Derivative kawaida huonyeshwa kama ifuatavyo: 
.
Kwa hivyo, kwa ufafanuzi
Alama pia hutumiwa kuashiria derivatives 
.
Maana ya mitambo ya derivative.
Ikiwa s=s(t) ni sheria ya mwendo wa mstatili wa sehemu ya nyenzo, basi 
ni kasi ya hatua hii kwa wakati t.
Maana ya kijiometri derivative.
Ikiwa chaguo la kukokotoa y=f(x) lina derivative katika uhakika 
, kisha mgawo wa angular wa tangent kwa grafu ya kazi kwenye hatua 
sawa 
.
Mfano.
Pata derivative ya chaguo za kukokotoa 
kwa uhakika 
=2:
1) Hebu tutoe hoja 
= 2 nyongeza 
. Angalia, hilo.
2) Pata ongezeko la chaguo la kukokotoa kwenye hatua 
=2:
3) Wacha tuunde uwiano wa nyongeza ya chaguo la kukokotoa na uongezaji wa hoja:
Wacha tupate kikomo cha uwiano 
:
.
Hivyo, 
.
§ 2. Derivatives ya baadhi
kazi rahisi zaidi.
Mwanafunzi anahitaji kujifunza jinsi ya kukokotoa viasili vya vitendakazi mahususi: y=x,y= 
na kwa ujumla= 
.
Hebu tutafute derivative ya chaguo za kukokotoa y=x.
hizo. (x)′=1.
Wacha tupate derivative ya chaguo la kukokotoa
Derivative 
Hebu 
Kisha
Ni rahisi kutambua mchoro katika misemo ya viambajengo vya utendaji kazi wa nguvu 
na n=1,2,3.
Kwa hivyo,
. (1)
Njia hii ni halali kwa n yoyote halisi.
Hasa, kwa kutumia formula (1), tunayo:
;
.
Mfano.
Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
.
.
Kazi hii ni kesi maalum ya kazi ya fomu
katika 
.
Kwa kutumia fomula (1), tunayo
.
Viini vya chaguo za kukokotoa y=sin x na y=cos x.
Acha y=sinx.
Gawanya kwa ∆x, tunapata
Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0, tunayo
Acha y=cosx.
Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0, tunapata
;
.
(2)
§3. Kanuni za msingi za kutofautisha.
Wacha tuzingatie sheria za kutofautisha.
Nadharia1 . Ikiwa kazi u=u(x) na v=v(x) zinaweza kutofautishwa kwa pointx fulani, basi katika hatua hii jumla yao pia inaweza kutofautishwa, na derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives ya masharti. : (u+v)"=u"+v".(3)
Uthibitisho: zingatia chaguo za kukokotoa y=f(x)=u(x)+v(x).
Nyongeza ∆x ya hoja x inalingana na nyongeza ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) ya chaguo za kukokotoa u na v. Kisha kazi y itaongezeka
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Kwa hivyo,
Kwa hivyo, (u+v)"=u"+v".
Nadharia2. Ikiwa vitendakazi u=u(x) na v=v(x) vinaweza kutofautishwa katika nukta fulani, basi bidhaa zao zinaweza kutofautishwa katika hatua sawa.Katika hali hii, kitokaji cha bidhaa kinapatikana kwa fomula ifuatayo: ( uv)"=u"v+uv". (4)
Uthibitisho: Acha y=uv, ambapo u na v ni baadhi ya kazi zinazoweza kutofautishwa za x. Wacha tutoe x nyongeza ya ∆x; kisha utapokea nyongeza ya ∆u, v utapokea nyongeza ya ∆v, na y utapokea nyongeza ya ∆y.
Tuna y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), au
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Kwa hivyo, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Kutoka hapa 
Kupita hadi kikomo kwa ∆x→0 na kwa kuzingatia kwamba wewe na v hazitegemei ∆x, tutakuwa na
Nadharia 3. Derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, denominator ambayo ni sawa na mraba wa kigawanyiko, na nambari ni tofauti kati ya bidhaa ya derivative ya gawio na kigawanyiko na bidhaa ya mgawanyiko. gawio na derivative ya kigawanyiko, i.e.
Kama 
Hiyo 
(5)
Nadharia 4. Derivative ya mara kwa mara ni sifuri, i.e. ikiwa y=C, ambapo C=const, basi y"=0.
Nadharia 5. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative, i.e. ikiwa y=Cu(x), ambapo С=const, basi y"=Cu"(x).
Mfano 1.
Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
.
Kitendaji hiki kina fomu 
, wapi=x,v=cosx. Kutumia kanuni ya kutofautisha (4), tunapata
.
Mfano 2.
Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
.
Wacha tutumie fomula (5).
Hapa 
;
.
Kazi.
Pata derivatives ya kazi zifuatazo:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
Derivative ni nini?
Ufafanuzi na maana ya kazi ya derivative
Wengi watashangazwa na uwekaji usiotarajiwa wa makala hii katika kozi ya mwandishi wangu juu ya derivative ya kazi ya kutofautiana moja na matumizi yake. Baada ya yote, kama ilivyokuwa tangu shuleni: kitabu cha kawaida cha kwanza kinatoa ufafanuzi wa derivative, kijiometri, maana ya mitambo. Ifuatayo, wanafunzi hupata derivatives ya kazi kwa ufafanuzi, na, kwa kweli, ndipo tu wanakamilisha mbinu ya upambanuzi kwa kutumia. meza derivative.
Lakini kwa maoni yangu, njia ifuatayo ni ya kisayansi zaidi: kwanza kabisa, inashauriwa KUELEWA VIZURI. kikomo cha chaguo la kukokotoa, na hasa, wingi usio na kikomo. Ukweli ni kwamba ufafanuzi wa derivative inategemea dhana ya kikomo, ambayo inazingatiwa vibaya katika kozi ya shule. Ndio maana sehemu kubwa ya watumiaji wachanga wa granite ya maarifa hawaelewi kiini cha derivative. Kwa hivyo, ikiwa una ujuzi mdogo wa calculus tofauti au ubongo wenye busara kwa miaka mingi kwa mafanikio kuondoa mzigo huu, tafadhali anza na mipaka ya kazi. Wakati huo huo, bwana / kumbuka ufumbuzi wao.
Maana sawa ya vitendo inaamuru kwamba ni faida kwanza jifunze kutafuta derivatives, ikiwa ni pamoja na derivatives ya kazi ngumu. Nadharia ni nadharia, lakini, kama wanasema, daima unataka kutofautisha. Katika suala hili, ni bora kufanya kazi kupitia masomo ya msingi yaliyoorodheshwa, na labda bwana wa kutofautisha bila hata kutambua kiini cha matendo yao.
Ninapendekeza kuanza na nyenzo kwenye ukurasa huu baada ya kusoma nakala hiyo. Matatizo rahisi zaidi na derivatives, ambapo, hasa, tatizo la tangent kwa grafu ya kazi inazingatiwa. Lakini unaweza kusubiri. Ukweli ni kwamba matumizi mengi ya derivative hayahitaji kuielewa, na haishangazi kwamba somo la kinadharia lilionekana kuchelewa sana - wakati nilihitaji kuelezea. kutafuta kuongezeka/kupungua kwa vipindi na kukithiri kazi. Kwa kuongezea, alikuwa kwenye mada kwa muda mrefu sana. Kazi na grafu”, hadi mwishowe niliamua kuiweka mapema.
Kwa hivyo, wapendwa teapots, usikimbilie kunyonya kiini cha derivative kama wanyama wenye njaa, kwa sababu kueneza hakutakuwa na ladha na pungufu.
Dhana ya kuongeza, kupunguza, upeo, kiwango cha chini cha chaguo la kukokotoa
Nyingi vifaa vya kufundishia kusababisha dhana ya derivative kutumia baadhi ya matatizo ya vitendo, na mimi pia kuja na mfano wa kuvutia. Hebu wazia kwamba tunakaribia kusafiri hadi jiji ambalo linaweza kufikiwa kwa njia tofauti-tofauti. Hebu tutupe mara moja njia zilizopinda na tuzingatie barabara kuu zilizonyooka tu. Walakini, maelekezo ya mstari wa moja kwa moja pia ni tofauti: unaweza kupata jiji kwenye barabara kuu ya gorofa. Au kando ya barabara kuu ya vilima - juu na chini, juu na chini. Barabara nyingine inapanda tu, na nyingine inateremka kila wakati. Wapenzi wa hali ya juu watachagua njia kupitia korongo lenye mwamba mwinuko na mteremko mkali.
Lakini chochote upendeleo wako, inashauriwa kujua eneo hilo au angalau kuipata ramani ya topografia. Je, ikiwa habari kama hiyo haipo? Baada ya yote, unaweza kuchagua, kwa mfano, njia laini, lakini matokeo yake hujikwaa kwenye mteremko wa ski na Finns za furaha. Sio ukweli kwamba navigator au hata picha ya satelaiti itatoa data ya kuaminika. Kwa hivyo, itakuwa nzuri kurasimisha unafuu wa njia kwa kutumia hisabati.
Wacha tuangalie barabara fulani (mtazamo wa kando): 
Ikiwezekana, nakukumbusha ukweli wa kimsingi: kusafiri hufanyika kutoka kushoto kwenda kulia. Kwa unyenyekevu, tunadhani kwamba kazi kuendelea katika eneo linalozingatiwa.
Je, ni sifa za wa ratiba hii?
Kwa vipindi 
kazi huongezeka, yaani, kila thamani yake inayofuata zaidi uliopita. Kwa ufupi, ratiba iko tayari chini juu(tunapanda kilima). Na kwa muda kazi hupungua- kila thamani inayofuata kidogo uliopita, na ratiba yetu inaendelea Juu chini(tunashuka kwenye mteremko).
Hebu pia makini na pointi maalum. Katika hatua tunayofikia upeo, hiyo ni ipo sehemu kama hiyo ya njia ambapo thamani itakuwa kubwa zaidi (juu). Wakati huo huo ni mafanikio kiwango cha chini, Na ipo kitongoji chake ambacho thamani yake ni ndogo zaidi (chini kabisa).
Tutaangalia istilahi kali zaidi na ufafanuzi darasani. kuhusu mwisho wa kazi, lakini kwa sasa tujifunze moja zaidi kipengele muhimu: kwa vipindi 
kazi huongezeka, lakini huongezeka kwa kasi tofauti. Na jambo la kwanza linalovutia jicho lako ni kwamba grafu hupanda juu wakati wa muda baridi zaidi, kuliko kwa muda. Je, inawezekana kupima mwinuko wa barabara kwa kutumia zana za hisabati?
Kiwango cha mabadiliko ya utendaji
Wazo ni hili: wacha tuchukue thamani fulani (soma "delta x"), ambayo tutaita ongezeko la hoja, na wacha tuanze "kuijaribu" kwa vidokezo tofauti kwenye njia yetu: 
1) Hebu tuangalie hatua ya kushoto zaidi: kupita umbali, tunapanda mteremko hadi urefu (mstari wa kijani). Kiasi kinaitwa ongezeko la kazi, na katika kwa kesi hii ongezeko hili ni chanya (tofauti ya maadili kando ya mhimili ni Juu ya sifuri) Wacha tutengeneze uwiano ambao utakuwa kipimo cha mwinuko wa barabara yetu. Kwa wazi, hii ni nambari maalum sana, na kwa kuwa nyongeza zote mbili ni nzuri, basi.
Makini! Uteuzi ni MOJA ishara, yaani, huwezi "kung'oa" "delta" kutoka "X" na kuzingatia barua hizi tofauti. Bila shaka, maoni pia yanahusu ishara ya ongezeko la kazi.
Hebu tuchunguze asili ya sehemu inayotokana kwa maana zaidi. Hebu mwanzoni tuwe kwenye urefu wa mita 20 (kwenye hatua nyeusi ya kushoto). Baada ya kufunika umbali wa mita (mstari mwekundu wa kushoto), tutajikuta kwenye mwinuko wa mita 60. Kisha ongezeko la kazi litakuwa 
mita (mstari wa kijani) na:. Hivyo, kwa kila mita sehemu hii ya barabara urefu huongezeka wastani kwa mita 4...umesahau vifaa vyako vya kupanda? =) Kwa maneno mengine, uhusiano uliojengwa una sifa ya WASTANI WA KIWANGO CHA MABADILIKO (katika kesi hii, ukuaji) wa kazi.
Kumbuka : Nambari za nambari za mfano katika swali zinalingana tu na idadi ya mchoro.
2) Sasa hebu tuende umbali sawa kutoka kwa sehemu nyeusi ya kulia. Hapa kupanda ni polepole zaidi, kwa hivyo ongezeko (mstari wa bendera) ni ndogo, na uwiano ikilinganishwa na kesi ya awali itakuwa ya kawaida sana. Kwa ulinganifu, 
mita na kiwango cha ukuaji wa kazi ni . Hiyo ni, hapa kwa kila mita ya njia kuna wastani nusu mita ya kupanda.
3) Matukio kidogo kwenye mlima. Hebu tuangalie juu nukta nyeusi, iko kwenye mhimili wa kuratibu. Wacha tufikirie kuwa hii ni alama ya mita 50. Tunashinda umbali tena, kama matokeo ambayo tunajikuta chini - kwa kiwango cha mita 30. Kwa kuwa harakati inafanywa Juu chini(katika mwelekeo wa "counter" wa mhimili), kisha mwisho ongezeko la kazi (urefu) itakuwa mbaya: 
mita (sehemu ya kahawia kwenye mchoro). Na katika kesi hii tayari tunazungumza kiwango cha kupungua vipengele: 
, yaani, kwa kila mita ya njia ya sehemu hii, urefu hupungua wastani kwa mita 2. Jihadharini na nguo zako katika hatua ya tano.
Sasa hebu tujiulize swali: ni thamani gani ya "kiwango cha kupimia" ni bora kutumia? Inaeleweka kabisa, mita 10 ni mbaya sana. Hummocks kadhaa nzuri zinaweza kutoshea kwa urahisi juu yao. Kwa nini kuna matuta, kunaweza kuwa na huko chini? korongo lenye kina kirefu, na baada ya mita chache - upande wake mwingine na kupanda kwa kasi zaidi. Kwa hivyo, kwa mita kumi hatutapata maelezo ya kueleweka ya sehemu kama hizo za njia kupitia uwiano.
Kutokana na mjadala hapo juu hitimisho lifuatalo ni: vipi thamani ndogo , kwa usahihi zaidi tunaelezea topografia ya barabara. Zaidi ya hayo, mambo yafuatayo ni kweli:
– Kwa mtu yeyote pointi za kuinua 
unaweza kuchagua thamani (hata ikiwa ndogo sana) ambayo inafaa ndani ya mipaka ya ongezeko fulani. Hii inamaanisha kuwa nyongeza ya urefu inayolingana itahakikishwa kuwa chanya, na usawa utaonyesha kwa usahihi ukuaji wa kazi katika kila hatua ya vipindi hivi.
- Vivyo hivyo, kwa yoyote hatua ya mteremko kuna thamani ambayo itafaa kabisa kwenye mteremko huu. Kwa hivyo, ongezeko linalolingana la urefu ni wazi hasi, na usawa utaonyesha kwa usahihi kupungua kwa kazi katika kila hatua ya muda uliopewa.
- Kesi ya kuvutia sana ni wakati kiwango cha mabadiliko ya chaguo la kukokotoa ni sifuri: . Kwanza, ongezeko la urefu wa sifuri () ni ishara ya njia laini. Na pili, kuna hali zingine za kupendeza, mifano ambayo unaona kwenye takwimu. Hebu wazia kwamba hatima imetufikisha kwenye kilele cha kilima chenye tai wanaopaa au chini ya bonde lenye vyura wanaolia. Ikiwa unachukua hatua ndogo katika mwelekeo wowote, mabadiliko ya urefu hayatakuwa na maana, na tunaweza kusema kwamba kiwango cha mabadiliko ya kazi ni kweli sifuri. Hii ndio picha inayozingatiwa kwenye alama.
Kwa hivyo, tumekuja kwa fursa ya kushangaza ya kuashiria kwa usahihi kiwango cha mabadiliko ya kazi. Baada ya yote uchambuzi wa hisabati inakuwezesha kuelekeza ongezeko la hoja hadi sifuri:, yaani, kuifanya usio na kikomo.
Matokeo yake, swali lingine la mantiki linatokea: inawezekana kupata barabara na ratiba yake kazi nyingine, ambayo ungetufahamisha kuhusu sehemu zote tambarare, miinuko, miteremko, vilele, mabonde, pamoja na kasi ya ukuaji/kupungua kwa kila sehemu ya njia?
Derivative ni nini? Ufafanuzi wa derivative.
Maana ya kijiometri ya derivative na tofauti
Tafadhali soma kwa uangalifu na si haraka sana - nyenzo ni rahisi na inapatikana kwa kila mtu! Ni sawa ikiwa katika baadhi ya maeneo kitu hakionekani wazi sana, unaweza kurudi kwenye makala baadaye. Nitasema zaidi, ni muhimu kusoma nadharia mara kadhaa ili kuelewa kabisa vidokezo vyote (ushauri ni muhimu sana kwa wanafunzi wa "techie" ambao wana. hisabati ya juu ina jukumu muhimu katika mchakato wa elimu).
Kwa kawaida, katika ufafanuzi kabisa wa derivative kwa uhakika tunaibadilisha na:
Tumefika nini? Na tukafikia hitimisho kwamba kwa kazi kulingana na sheria 
imewekwa kwa mujibu kazi nyingine, ambayo inaitwa kazi ya derivative(au kwa urahisi derivative).
sifa derivative kiwango cha mabadiliko kazi Vipi? Wazo linaendeshwa kama uzi mwekundu tangu mwanzo wa kifungu. Hebu tuchunguze jambo fulani uwanja wa ufafanuzi kazi Acha kazi iweze kutofautishwa katika hatua fulani. Kisha:
1) Ikiwa , basi kazi huongezeka kwa uhakika. Na ni wazi kuna muda(hata ndogo sana), yenye hatua ambayo kazi inakua, na grafu yake inakwenda "kutoka chini hadi juu".
2) Ikiwa , basi kazi inapungua kwa uhakika. Na kuna muda ulio na hatua ambayo kazi inapungua (grafu inakwenda "juu hadi chini").
3) Ikiwa, basi karibu sana karibu na hatua kitendakazi hudumisha kasi yake mara kwa mara. Hii hutokea, kama ilivyoelezwa, na kazi ya mara kwa mara na katika pointi muhimu za kazi, hasa kwa kiwango cha chini na cha juu.
Semantiki kidogo. Je, kitenzi "tofautisha" kinamaanisha nini katika maana pana? Kutofautisha kunamaanisha kuangazia kipengele. Kwa kutofautisha kazi, "tunatenga" kiwango cha mabadiliko yake kwa namna ya derivative ya kazi. Nini, kwa njia, ina maana gani na neno "derivative"? Kazi kilichotokea kutoka kwa kazi.
Masharti yanafasiriwa kwa ufanisi sana na maana ya mitambo ya derivative
:
Hebu tuzingatie sheria ya mabadiliko katika kuratibu za mwili, kulingana na wakati, na kazi ya kasi ya harakati ya mwili uliopewa. Kazi ina sifa ya kiwango cha mabadiliko ya kuratibu za mwili, kwa hiyo ni derivative ya kwanza ya kazi kwa heshima na wakati:. Ikiwa dhana ya "harakati ya mwili" haikuwepo katika asili, basi hakutakuwa na derivative dhana ya "kasi ya mwili".
Kuongeza kasi ya mwili ni kiwango cha mabadiliko ya kasi, kwa hivyo: 
. Ikiwa dhana za awali za "mwendo wa mwili" na "kasi ya mwili" hazikuwepo katika asili, basi kusingekuwapo derivative dhana ya "kuongeza kasi ya mwili".