KATIKA jamii ya kisasa uwezo wa kufanya shughuli na milinganyo iliyo na mraba tofauti inaweza kuwa muhimu katika maeneo mengi ya shughuli na hutumiwa sana katika mazoezi katika maendeleo ya kisayansi na kiufundi. Ushahidi wa hili unaweza kupatikana katika kubuni ya baharini na boti za mto, ndege na makombora. Kutumia mahesabu hayo, trajectories ya harakati ya aina mbalimbali za miili, ikiwa ni pamoja na vitu vya nafasi, imedhamiriwa. Mifano na kutatua equations quadratic hutumiwa si tu katika utabiri wa kiuchumi, wakati wa kubuni na ujenzi wa majengo, lakini pia katika hali ya kawaida ya kila siku. Wanaweza kuhitajika ndani safari za kupanda mlima, katika matukio ya michezo, katika maduka wakati wa ununuzi, na katika hali nyingine za kawaida sana.
Wacha tuvunje usemi huo katika vipengele vyake vya vipengele
Kiwango cha mlingano hubainishwa na thamani ya juu zaidi ya kiwango cha kigezo ambacho usemi huwa. Ikiwa ni sawa na 2, basi equation kama hiyo inaitwa quadratic.
Ikiwa tunazungumza kwa lugha ya fomula, basi maneno yaliyoonyeshwa, haijalishi yanaonekanaje, yanaweza kuletwa kwa fomu wakati upande wa kushoto wa usemi una maneno matatu. Miongoni mwao: shoka 2 (yaani, kutofautisha kwa mraba na mgawo wake), bx (isiyojulikana bila mraba na mgawo wake) na c (sehemu ya bure, ambayo ni, nambari ya kawaida). Yote hii upande wa kulia ni sawa na 0. Katika kesi wakati polynomial kama hiyo inakosa moja ya masharti yake ya msingi, isipokuwa shoka 2, inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili. Mifano na suluhisho la shida kama hizo, maadili ya anuwai ambayo ni rahisi kupata, inapaswa kuzingatiwa kwanza.
Ikiwa usemi unaonekana kama una istilahi mbili upande wa kulia, kwa usahihi zaidi shoka 2 na bx, njia rahisi zaidi ya kupata x ni kwa kuweka utofautishaji nje ya mabano. Sasa equation yetu itaonekana kama hii: x(ax+b). Ifuatayo, inakuwa dhahiri kuwa ama x=0, au shida inakuja kupata kigezo kutoka kwa usemi ufuatao: ax+b=0. Hii inaagizwa na moja ya sifa za kuzidisha. Sheria inasema kuwa bidhaa ya mambo mawili husababisha 0 tu ikiwa moja yao ni sifuri.
Mfano
x=0 au 8x - 3 = 0
Kama matokeo, tunapata mizizi miwili ya equation: 0 na 0.375.
Equations za aina hii zinaweza kuelezea harakati za miili chini ya ushawishi wa mvuto, ambayo ilianza kusonga kutoka kwa hatua fulani kuchukuliwa kama asili ya kuratibu. Hapa nukuu ya hisabati inachukua fomu ifuatayo: y = v 0 t + gt 2 /2. Kubadilisha maadili muhimu, kusawazisha upande wa kulia 0 na baada ya kupata haijulikani iwezekanavyo, unaweza kujua wakati ambao hupita kutoka wakati mwili unainuka hadi wakati unapoanguka, na vile vile idadi nyingine nyingi. Lakini tutazungumza juu ya hili baadaye.
Kuanzisha Kujieleza
Sheria iliyoelezwa hapo juu inafanya uwezekano wa kutatua matatizo haya kwa zaidi kesi ngumu. Wacha tuangalie mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic ya aina hii.
X 2 - 33x + 200 = 0
Utatu huu wa quadratic umekamilika. Kwanza, hebu tubadilishe usemi huo na kuuzingatia. Kuna mbili kati yao: (x-8) na (x-25) = 0. Matokeo yake, tuna mizizi miwili 8 na 25.
Mifano na kutatua equations za quadratic katika daraja la 9 kuruhusu njia hii kupata kutofautiana kwa maneno sio tu ya pili, lakini hata ya amri ya tatu na ya nne.
Kwa mfano: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wakati wa kuzingatia upande wa kulia katika vipengele na kutofautiana, kuna tatu kati yao, yaani, (x+1), (x-3) na (x+) 3).
Matokeo yake, inakuwa dhahiri kwamba equation hii ina mizizi mitatu: -3; -1; 3.
Kipeo
Kesi nyingine mlinganyo usio kamili mpangilio wa pili ni usemi unaowakilishwa katika lugha ya herufi kwa namna ambayo upande wa kulia umejengwa kutoka kwa viambajengo shoka 2 na c. Hapa, ili kupata thamani ya kutofautisha, neno la bure huhamishiwa upande wa kulia, na baada ya hapo, hutolewa kutoka pande zote mbili za usawa. Kipeo. Ikumbukwe kwamba katika kwa kesi hii Kawaida kuna mizizi miwili ya equation. Vighairi pekee vinaweza kuwa usawa ambao hauna neno na neno kabisa, ambapo kigezo ni sawa na sufuri, pamoja na vibadala vya misemo wakati upande wa kulia unageuka kuwa hasi. Katika kesi ya mwisho, hakuna ufumbuzi kabisa, kwani vitendo hapo juu haviwezi kufanywa na mizizi. Mifano ya ufumbuzi wa equations ya quadratic ya aina hii inapaswa kuzingatiwa.
Katika kesi hii, mizizi ya equation itakuwa nambari -4 na 4.
Uhesabuji wa eneo la ardhi
Haja ya aina hii ya mahesabu ilionekana katika nyakati za zamani, kwa sababu maendeleo ya hisabati yalikuwa kwa kiasi kikubwa katika hizo. nyakati za mbali ilitokana na hitaji la kuamua kwa usahihi mkubwa maeneo na mizunguko ya viwanja vya ardhi.
Tunapaswa pia kuzingatia mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic kulingana na matatizo ya aina hii.
Kwa hiyo, hebu sema kuna njama ya mstatili wa ardhi, ambayo urefu wake ni mita 16 zaidi ya upana. Unapaswa kupata urefu, upana na mzunguko wa tovuti ikiwa unajua kuwa eneo lake ni 612 m2.
Ili kuanza, hebu kwanza tutengeneze mlinganyo unaohitajika. Hebu tuonyeshe kwa x upana wa eneo hilo, basi urefu wake utakuwa (x + 16). Kutoka kwa kile kilichoandikwa inafuata kwamba eneo hilo limedhamiriwa na msemo x(x+16), ambayo, kwa mujibu wa masharti ya tatizo letu, ni 612. Hii ina maana kwamba x(x+16) = 612.
Kutatua milinganyo kamili ya quadratic, na usemi huu ndio hasa, hauwezi kufanywa kwa njia sawa. Kwa nini? Ingawa upande wa kushoto bado una mambo mawili, bidhaa zao sio sawa na 0 hata kidogo, kwa hivyo njia tofauti hutumiwa hapa.
Mbaguzi
Kwanza kabisa, hebu tufanye mabadiliko muhimu, basi mwonekano ya usemi huu itaonekana hivi: x 2 + 16x - 612 = 0. Hii ina maana kwamba tumepokea usemi katika fomu inayolingana na kiwango kilichotajwa hapo awali, ambapo a=1, b=16, c=-612.
Huu unaweza kuwa mfano wa kusuluhisha milinganyo ya quadratic kwa kutumia kibaguzi. Hapa mahesabu muhimu huzalishwa kulingana na mpango: D = b 2 - 4ac. Kiasi hiki cha msaidizi sio tu hufanya iwezekanavyo kupata kiasi kinachohitajika katika equation ya utaratibu wa pili, huamua wingi. chaguzi zinazowezekana. Ikiwa D>0, kuna mbili kati yao; kwa D=0 kuna mzizi mmoja. Katika kesi ya D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Kuhusu mizizi na muundo wao
Kwa upande wetu, kibaguzi ni sawa na: 256 - 4(-612) = 2704. Hii inaonyesha kwamba tatizo letu lina jibu. Ikiwa unajua k, suluhu ya milinganyo ya quadratic lazima iendelee kwa kutumia fomula iliyo hapa chini. Inakuwezesha kuhesabu mizizi.
Hii ina maana kwamba katika kesi iliyowasilishwa: x 1 =18, x 2 =-34. Chaguo la pili katika shida hii haiwezi kuwa suluhisho, kwa sababu vipimo vya njama ya ardhi haiwezi kupimwa kwa kiasi hasi, ambayo ina maana x (yaani, upana wa njama) ni m 18. Kutoka hapa tunahesabu urefu: 18 +16=34, na mzunguko 2(34+ 18)=104(m2).
Mifano na kazi
Tunaendelea na utafiti wetu wa milinganyo ya quadratic. Mifano na ufumbuzi wa kina wa kadhaa wao utapewa hapa chini.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Hebu tuhamishe kila kitu kwa upande wa kushoto wa usawa, tufanye mabadiliko, yaani, tutapata aina ya equation ambayo kawaida huitwa kiwango, na kuifananisha na sifuri.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Kuongeza sawa, tunaamua kibaguzi: D = 49 - 48 = 1. Hii inamaanisha kuwa equation yetu itakuwa na mizizi miwili. Wacha tuzihesabu kulingana na fomula hapo juu, ambayo inamaanisha kuwa ya kwanza itakuwa sawa na 4/3, na ya pili hadi 1.
2) Sasa hebu tutatue mafumbo ya aina tofauti.
Wacha tujue ikiwa kuna mizizi yoyote hapa x 2 - 4x + 5 = 1? Ili kupata jibu la kina, hebu tupunguze polynomial kwa fomu inayolingana ya kawaida na tuhesabu kibaguzi. Katika mfano hapo juu, si lazima kutatua equation ya quadratic, kwa sababu hii sio kiini cha tatizo kabisa. Katika kesi hii, D = 16 - 20 = -4, ambayo inamaanisha kuwa hakuna mizizi.
Nadharia ya Vieta
Ni rahisi kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia fomula zilizo hapo juu na kibaguzi, wakati mzizi wa mraba unachukuliwa kutoka kwa thamani ya mwisho. Lakini hii haifanyiki kila wakati. Walakini, kuna njia nyingi za kupata maadili ya anuwai katika kesi hii. Mfano: kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nadharia ya Vieta. Amepewa jina la ambaye aliishi katika karne ya 16 huko Ufaransa na akafanya kazi nzuri sana kutokana na talanta yake ya hisabati na uhusiano mahakamani. Picha yake inaweza kuonekana katika makala.
Mfano ambao Mfaransa huyo maarufu aliona ulikuwa kama ifuatavyo. Alithibitisha kuwa mizizi ya mlinganyo huongezwa kwa nambari hadi -p=b/a, na bidhaa yake inalingana na q=c/a.
Sasa hebu tuangalie kazi maalum.
3x 2 + 21x - 54 = 0
Kwa unyenyekevu, wacha tubadilishe usemi:
x 2 + 7x - 18 = 0
Hebu tumia nadharia ya Vieta, hii itatupa zifuatazo: jumla ya mizizi ni -7, na bidhaa zao ni -18. Kuanzia hapa tunapata kwamba mizizi ya equation ni nambari -9 na 2. Baada ya kuangalia, tutahakikisha kwamba maadili haya ya kutofautiana yanafaa kabisa katika usemi.
Parabola grafu na equation
Dhana za utendakazi wa quadratic na milinganyo ya quadratic zinahusiana kwa karibu. Mifano ya hii tayari imetolewa mapema. Sasa hebu tuangalie baadhi ya mafumbo ya hisabati kwa undani zaidi. Equation yoyote ya aina iliyoelezwa inaweza kuwakilishwa kwa macho. Uhusiano kama huo, unaotolewa kama grafu, unaitwa parabola. Aina zake mbalimbali zinawasilishwa kwenye takwimu hapa chini.
Parabola yoyote ina vertex, yaani, hatua ambayo matawi yake yanatoka. Ikiwa a>0, huenda juu hadi isiyo na mwisho, na wakati a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Uwasilishaji unaoonekana wa chaguo za kukokotoa husaidia kutatua milinganyo yoyote, ikijumuisha zile za quadratic. Njia hii inaitwa graphical. Na thamani ya utofauti wa x ni uratibu wa abscissa katika sehemu ambazo mstari wa grafu huingiliana na 0x. Viwianishi vya kipeo vinaweza kupatikana kwa kutumia fomula iliyotolewa hivi punde x 0 = -b/2a. Na kwa kubadilisha thamani inayosababisha katika equation ya awali ya kazi, unaweza kujua y 0, yaani, uratibu wa pili wa vertex ya parabola, ambayo ni ya mhimili wa kuratibu.
Makutano ya matawi ya parabola na mhimili wa abscissa
Kuna mifano mingi ya kusuluhisha hesabu za quadratic, lakini pia kuna mifumo ya jumla. Hebu tuwaangalie. Ni wazi kwamba makutano ya grafu na mhimili 0x kwa a>0 inawezekana tu ikiwa 0 inachukua maadili hasi. Na kwa a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Vinginevyo D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Kutoka kwenye grafu ya parabola unaweza pia kuamua mizizi. Kinyume chake pia ni kweli. Hiyo ni, ikiwa si rahisi kupata uwakilishi wa kuona wa kazi ya quadratic, unaweza kusawazisha upande wa kulia wa kujieleza kwa 0 na kutatua equation inayosababisha. Na kujua pointi za makutano na mhimili wa 0x, ni rahisi zaidi kuunda grafu.
Kutoka kwa historia
Kwa kutumia equations zenye kutofautiana kwa mraba, katika siku za zamani hawakufanya tu mahesabu ya hisabati na kuamua maeneo ya takwimu za kijiometri. Wazee walihitaji hesabu kama hizo kwa uvumbuzi mkubwa katika nyanja za fizikia na unajimu, na vile vile kufanya utabiri wa unajimu.
Kama wanasayansi wa kisasa wanavyopendekeza, wakaaji wa Babeli walikuwa kati ya wa kwanza kutatua milinganyo ya quadratic. Hii ilitokea karne nne kabla ya zama zetu. Kwa kweli, mahesabu yao yalikuwa tofauti kabisa na yale yaliyokubaliwa kwa sasa na yaligeuka kuwa ya zamani zaidi. Kwa mfano, wanahisabati wa Mesopotamia hawakujua kuhusu kuwepo kwa nambari hasi. Pia hawakujua hila zingine ambazo mtoto yeyote wa kisasa wa shule anajua.
Labda hata mapema zaidi ya wanasayansi wa Babeli, mwenye hekima kutoka India Baudhayama alianza kutatua milinganyo ya roboduara. Hii ilitokea karibu karne nane kabla ya enzi ya Kristo. Kweli, hesabu za mpangilio wa pili, njia za kusuluhisha ambazo alitoa, zilikuwa rahisi zaidi. Mbali na yeye, wanahisabati wa China pia walipendezwa na maswali kama hayo katika siku za zamani. Huko Uropa, hesabu za quadratic zilianza kutatuliwa tu mwanzoni mwa karne ya 13, lakini baadaye zilitumiwa katika kazi zao na wanasayansi wakubwa kama Newton, Descartes na wengine wengi.
Kuendeleza mada "Kutatua Milinganyo," nyenzo katika nakala hii itakujulisha hesabu za quadratic.
Wacha tuangalie kila kitu kwa undani: kiini na nukuu ya equation ya quadratic, fafanua masharti yanayoambatana, chambua mpango wa kutatua hesabu zisizo kamili na kamili, ujue na fomula ya mizizi na kibaguzi, anzisha miunganisho kati ya mizizi na coefficients, na bila shaka tutatoa suluhisho la kuona kwa mifano ya vitendo.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Quadratic equation, aina zake
Ufafanuzi 1Mlinganyo wa Quadratic ni mlinganyo ulioandikwa kama a x 2 + b x + c = 0, Wapi x- kubadilika, a, b na c- nambari zingine, wakati a sio sifuri.
Mara nyingi, usawa wa quadratic pia huitwa equations ya shahada ya pili, kwa kuwa kwa asili equation ya quadratic ni equation ya algebraic ya shahada ya pili.
Hebu tutoe mfano ili kuonyesha ufafanuzi uliotolewa: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, nk. Hizi ni milinganyo ya quadratic.
Ufafanuzi 2
Nambari a, b na c ni mgawo wa mlinganyo wa quadratic a x 2 + b x + c = 0, wakati mgawo a inaitwa kwanza, au mwandamizi, au mgawo katika x 2, b - mgawo wa pili, au mgawo katika x, A c kuitwa mwanachama huru.
Kwa mfano, katika equation ya quadratic 6 x 2 − 2 x - 11 = 0 mgawo wa kuongoza ni 6, mgawo wa pili ni − 2 , na neno huru ni sawa na − 11 . Hebu makini na ukweli kwamba wakati coefficients b na / au c ni hasi, basi fomu fupi ya fomu hutumiwa 6 x 2 − 2 x - 11 = 0, lakini sivyo 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Hebu pia tufafanue kipengele hiki: ikiwa coefficients a na/au b sawa 1 au − 1 , basi hawawezi kuchukua sehemu ya wazi katika kuandika equation ya quadratic, ambayo inaelezwa na upekee wa kuandika coefficients ya nambari iliyoonyeshwa. Kwa mfano, katika equation ya quadratic y 2 − y + 7 = 0 mgawo unaoongoza ni 1, na mgawo wa pili ni − 1 .
Milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa
Kulingana na thamani ya mgawo wa kwanza, milinganyo ya quadratic imegawanywa katika kupunguzwa na isiyopunguzwa.
Ufafanuzi 3
Ilipunguza equation ya quadratic ni mlinganyo wa quadratic ambapo mgawo unaoongoza ni 1. Kwa maadili mengine ya mgawo unaoongoza, equation ya quadratic haijapunguzwa.
Wacha tutoe mifano: milinganyo ya quadratic x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 − x - 4 5 = 0 imepunguzwa, katika kila moja ambayo mgawo unaoongoza ni 1.
9 x 2 − x − 2 = 0- equation ya quadratic isiyopunguzwa, ambapo mgawo wa kwanza ni tofauti na 1 .
Mlinganyo wowote wa quadratic ambao haujapunguzwa unaweza kubadilishwa kuwa mlinganyo uliopunguzwa kwa kugawanya pande zote mbili kwa mgawo wa kwanza (mabadiliko sawa). Mlinganyo uliobadilishwa utakuwa na mizizi sawa na mlinganyo uliotolewa ambao haujapunguzwa au pia hautakuwa na mizizi kabisa.
Kuzingatia mfano mahususi kutaturuhusu kuonyesha kwa uwazi mpito kutoka kwa mlinganyo wa quadratic ambao haujapunguzwa hadi uliopunguzwa.
Mfano 1
Kwa kuzingatia mlinganyo 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Ni muhimu kubadili equation ya awali katika fomu iliyopunguzwa.
Suluhisho
Kulingana na mpango ulio hapo juu, tunagawanya pande zote mbili za mlinganyo wa asili kwa mgawo unaoongoza 6. Kisha tunapata: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, na hii ni sawa na: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 na zaidi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Kutoka hapa: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Kwa hivyo, equation sawa na ile iliyotolewa hupatikana.
Jibu: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic
Wacha tugeukie ufafanuzi wa equation ya quadratic. Ndani yake tulibainisha hilo a ≠ 0. Hali kama hiyo inahitajika kwa equation a x 2 + b x + c = 0 ilikuwa mraba haswa, kwani saa a = 0 kimsingi inabadilika kuwa mlinganyo wa mstari b x + c = 0.
Katika kesi wakati coefficients b Na c ni sawa na sifuri (ambayo inawezekana, kibinafsi na kwa pamoja), equation ya quadratic inaitwa haijakamilika.
Ufafanuzi 4
Mlinganyo wa quadratic usio kamili- equation kama hiyo ya quadratic a x 2 + b x + c = 0, ambapo angalau moja ya mgawo b Na c(au zote mbili) ni sifuri.
Mlinganyo kamili wa quadratic- mlinganyo wa quadratic ambapo coefficients zote za nambari si sawa na sifuri.
Wacha tujadili kwanini aina za hesabu za quadratic zinapewa majina haya haswa.
Wakati b = 0, equation ya quadratic inachukua fomu a x 2 + 0 x + c = 0, ambayo ni sawa na a x 2 + c = 0. Katika c = 0 equation ya quadratic imeandikwa kama a x 2 + b x + 0 = 0, ambayo ni sawa a x 2 + b x = 0. Katika b = 0 Na c = 0 equation itachukua fomu x 2 = 0. Milinganyo tuliyopata inatofautiana na mlinganyo kamili wa quadratic kwa kuwa pande zake za mkono wa kushoto hazina neno lenye mabadiliko ya x, au neno lisilolipishwa, au zote mbili. Kweli, ukweli huu ulitoa jina kwa aina hii ya equation - haijakamilika.
Kwa mfano, x 2 + 3 x + 4 = 0 na - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 ni milinganyo kamili ya quadratic; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - milinganyo ya quadratic isiyo kamili.
Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika
Ufafanuzi uliotolewa hapo juu unawezesha kutofautisha aina zifuatazo za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:
- x 2 = 0, equation hii inalingana na coefficients b = 0 na c = 0;
- a · x 2 + c = 0 saa b = 0;
- a · x 2 + b · x = 0 kwa c = 0.
Wacha tuzingatie kwa mpangilio suluhisho la kila aina ya equation ya quadratic isiyo kamili.
Suluhisho la equation a x 2 =0
Kama ilivyoelezwa hapo juu, equation hii inalingana na coefficients b Na c, sawa na sifuri. Mlinganyo x 2 = 0 inaweza kubadilishwa kuwa equation sawa x 2 = 0, ambayo tunapata kwa kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa asili kwa nambari a, si sawa na sifuri. Ukweli ulio wazi ni kwamba mzizi wa equation x 2 = 0 hii ni sifuri kwa sababu 0 2 = 0 . Equation hii haina mizizi mingine, ambayo inaweza kuelezewa na mali ya shahada: kwa nambari yoyote p, si sawa na sifuri, ukosefu wa usawa ni kweli uk 2 > 0, ambayo inafuata kwamba lini p ≠ 0 usawa p 2 = 0 haitapatikana kamwe.
Ufafanuzi wa 5
Kwa hivyo, kwa equation ya quadratic isiyo kamili x 2 = 0 kuna mzizi mmoja x = 0.
Mfano 2
Kwa mfano, hebu tutatue equation isiyokamilika ya quadratic − 3 x 2 = 0. Ni sawa na equation x 2 = 0, mzizi wake pekee ni x = 0, basi equation ya awali ina mzizi mmoja - sifuri.
Kwa kifupi, suluhisho limeandikwa kama ifuatavyo:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Kutatua equation a x 2 + c = 0
Ifuatayo katika mstari ni suluhisho la milinganyo ya quadratic isiyokamilika, ambapo b = 0, c ≠ 0, ambayo ni, milinganyo ya fomu. a x 2 + c = 0. Wacha tubadilishe mlingano huu kwa kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa equation hadi mwingine, kubadilisha ishara hadi moja kinyume na kugawanya pande zote mbili za equation na nambari ambayo si sawa na sifuri:
- uhamisho c kwa upande wa kulia, ambayo inatoa equation a x 2 = - c;
- gawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa a, tunamalizia na x = - c a .
Mabadiliko yetu ni sawa; ipasavyo, equation inayosababishwa pia ni sawa na ile ya asili, na ukweli huu hufanya iwezekane kufikia hitimisho juu ya mizizi ya equation. Kutoka kwa maadili ni nini a Na c thamani ya usemi - c a inategemea: inaweza kuwa na ishara ya kuondoa (kwa mfano, ikiwa a = 1 Na c = 2, basi - c a = - 2 1 = - 2) au ishara ya kuongeza (kwa mfano, ikiwa a = - 2 Na c = 6, basi - c a = - 6 - 2 = 3); sio sifuri kwa sababu c ≠ 0. Wacha tukae kwa undani zaidi juu ya hali wakati - c a< 0 и - c a > 0 .
Katika kesi wakati - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа uk usawa p 2 = - c a haiwezi kuwa kweli.
Kila kitu ni tofauti wakati - c a > 0: kumbuka mzizi wa mraba, na itakuwa dhahiri kuwa mzizi wa equation x 2 = - c a itakuwa nambari - c a, kwani - c a 2 = - c a. Si vigumu kuelewa kwamba nambari - - c a pia ni mzizi wa equation x 2 = - c a: hakika, - - c a 2 = - c a.
Mlinganyo hautakuwa na mizizi mingine. Tunaweza kuonyesha hili kwa kutumia mbinu ya kupingana. Kuanza, hebu tufafanue nukuu za mizizi inayopatikana hapo juu kama x 1 Na − x 1. Wacha tufikirie kuwa equation x 2 = - c a pia ina mzizi x 2, ambayo ni tofauti na mizizi x 1 Na − x 1. Tunajua hilo kwa kubadilisha katika mlinganyo x mizizi yake, tunabadilisha mlinganyo kuwa usawa wa nambari.
Kwa x 1 Na − x 1 tunaandika: x 1 2 = - c a , na kwa x 2- x 2 2 = - c a . Kulingana na sifa za usawa wa nambari, tunaondoa neno moja sahihi la usawa kwa muda kutoka kwa lingine, ambayo itatupa: x 1 2 − x 2 2 = 0. Tunatumia sifa za utendakazi na nambari kuandika upya usawa wa mwisho kama (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Inajulikana kuwa bidhaa ya nambari mbili ni sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja ya nambari ni sifuri. Kutoka hapo juu inafuata hiyo x 1 − x 2 = 0 na/au x 1 + x 2 = 0, ambayo ni sawa x 2 = x 1 na/au x 2 = − x 1. Mkanganyiko wa dhahiri uliibuka, kwa sababu mwanzoni ilikubaliwa kuwa mzizi wa equation x 2 inatofautiana na x 1 Na − x 1. Kwa hivyo, tumethibitisha kwamba equation haina mizizi zaidi ya x = - c a na x = - - c a.
Wacha tufanye muhtasari wa hoja zote hapo juu.
Ufafanuzi 6
Mlinganyo wa quadratic usio kamili a x 2 + c = 0 ni sawa na equation x 2 = - c a, ambayo:
- haitakuwa na mizizi - c a< 0 ;
- itakuwa na mizizi miwili x = - c a na x = - - c a kwa - c a > 0.
Wacha tutoe mifano ya kusuluhisha milinganyo a x 2 + c = 0.
Mfano 3
Imepewa equation ya quadratic 9 x 2 + 7 = 0. Inahitajika kutafuta suluhisho.
Suluhisho
Hebu tuhamishe neno la bure kwa upande wa kulia wa equation, kisha equation itachukua fomu 9 x 2 = − 7.
Wacha tugawanye pande zote mbili za equation inayosababishwa na 9
, tunafika kwa x 2 = - 7 9 . Kwenye upande wa kulia tunaona nambari iliyo na ishara ya kuondoa, ambayo inamaanisha: y kupewa mlinganyo hakuna mizizi. Kisha mlinganyo wa awali wa quadratic haujakamilika 9 x 2 + 7 = 0 haitakuwa na mizizi.
Jibu: mlinganyo 9 x 2 + 7 = 0 haina mizizi.
Mfano 4
Equation inahitaji kutatuliwa − x 2 + 36 = 0.
Suluhisho
Wacha tusogee 36 upande wa kulia: − x 2 = − 36.
Wacha tugawanye sehemu zote mbili − 1
, tunapata x 2 = 36. Kwa upande wa kulia kuna nambari nzuri, ambayo tunaweza kuhitimisha hilo
x = 36 au
x = - 36 .
Wacha tutoe mzizi na tuandike matokeo ya mwisho: equation ya quadratic isiyo kamili − x 2 + 36 = 0 ina mizizi miwili x=6 au x = - 6.
Jibu: x=6 au x = - 6.
Suluhisho la mlinganyo a x 2 +b x=0
Hebu tuchambue aina ya tatu ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika, lini c = 0. Ili kupata suluhisho la equation ya quadratic isiyokamilika a x 2 + b x = 0, tutatumia njia ya factorization. Wacha tuangazie polynomial ambayo iko upande wa kushoto wa equation, tukiondoa sababu ya kawaida kutoka kwa mabano. x. Hatua hii itafanya uwezekano wa kubadilisha mlinganyo wa awali wa quadratic usiokamilika kuwa sawa x (a x + b) = 0. Na mlinganyo huu, kwa upande wake, ni sawa na seti ya milinganyo x = 0 Na a x + b = 0. Mlinganyo a x + b = 0 linear, na mzizi wake: x = − b a.
Ufafanuzi 7
Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyo kamili a x 2 + b x = 0 itakuwa na mizizi miwili x = 0 Na x = − b a.
Hebu tuimarishe nyenzo kwa mfano.
Mfano 5
Ni muhimu kupata suluhisho la equation 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.
Suluhisho
Tutaiondoa x nje ya mabano tunapata equation x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Mlinganyo huu ni sawa na milinganyo x = 0 na 2 3 x - 2 2 7 = 0. Sasa unapaswa kutatua mlingano wa mstari unaotokana: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Andika kwa kifupi suluhisho la equation kama ifuatavyo:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 au 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 au x = 3 3 7
Jibu: x = 0, x = 3 3 7.
Ubaguzi, fomula ya mizizi ya equation ya quadratic
Ili kupata suluhisho la hesabu za quadratic, kuna formula ya mizizi:
Ufafanuzi 8
x = - b ± D 2 · a, wapi D = b 2 - 4 a c- kinachojulikana kama kibaguzi wa equation ya quadratic.
Kuandika x = - b ± D 2 · a kimsingi ina maana kwamba x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Itakuwa muhimu kuelewa jinsi fomula hii ilitolewa na jinsi ya kuitumia.
Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic
Wacha tukabiliane na kazi ya kutatua mlingano wa quadratic a x 2 + b x + c = 0. Wacha tufanye mabadiliko kadhaa sawa:
- gawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari a, tofauti na sifuri, tunapata equation ya quadratic ifuatayo: x 2 + b a · x + c a = 0;
- Wacha tuchague mraba kamili upande wa kushoto wa hesabu inayosababisha:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
Baada ya hayo, equation itachukua fomu: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Sasa inawezekana kuhamisha maneno mawili ya mwisho kwa upande wa kulia, kubadilisha ishara kwa kinyume chake, baada ya hapo tunapata: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
- Hatimaye, tunabadilisha usemi ulioandikwa upande wa kulia wa usawa wa mwisho:
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 · a · c 4 · a 2 .
Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , sawa na mlinganyo wa awali. a x 2 + b x + c = 0.
Tulichunguza suluhisho la milinganyo kama hii katika aya zilizopita (kusuluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika). Uzoefu uliopatikana tayari hufanya iwezekane kutoa hitimisho kuhusu mizizi ya equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:
- na b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- wakati b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 equation ni x + b 2 · a 2 = 0, kisha x + b 2 · a = 0.
Kutoka hapa mzizi pekee x = - b 2 · a ni dhahiri;
- kwa b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, yafuatayo yatakuwa kweli: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 au x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ambayo ni sawa na x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 au x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, i.e. equation ina mizizi miwili.
Inawezekana kuhitimisha kuwa kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (na kwa hiyo equation ya awali) inategemea ishara ya kujieleza b. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 iliyoandikwa upande wa kulia. Na ishara ya usemi huu inatolewa na ishara ya nambari, (denominator 4 ya 2 daima itakuwa chanya), yaani, ishara ya usemi b 2 - 4 a c. Usemi huu b 2 - 4 a c jina limetolewa - kibaguzi cha equation ya quadratic na herufi D inafafanuliwa kama jina lake. Hapa unaweza kuandika kiini cha kibaguzi - kulingana na thamani yake na ishara, wanaweza kuhitimisha ikiwa equation ya quadratic itakuwa na mizizi halisi, na, ikiwa ni hivyo, ni idadi gani ya mizizi - moja au mbili.
Hebu turudi kwenye equation x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Hebu tuiandike upya kwa kutumia nukuu ya kibaguzi: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Wacha tutengeneze mahitimisho yetu tena:
Ufafanuzi 9
- katika D< 0 equation haina mizizi halisi;
- katika D=0 equation ina mzizi mmoja x = - b 2 · a;
- katika D > 0 equation ina mizizi miwili: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 au x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Kulingana na mali ya radicals, mizizi hii inaweza kuandikwa kwa fomu: x = - b 2 · a + D 2 · a au - b 2 · a - D 2 · a. Na, tunapofungua moduli na kuleta sehemu kwa denominator ya kawaida, tunapata: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Kwa hivyo, matokeo ya hoja yetu ilikuwa kupatikana kwa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, kibaguzi D kuhesabiwa kwa formula D = b 2 - 4 a c.
Fomula hizi hufanya iwezekanavyo na kibaguzi Juu ya sifuri kuamua mizizi halisi. Wakati kibaguzi ni sifuri, kutumia fomula zote mbili kutatoa mzizi sawa na suluhu la pekee la mlinganyo wa quadratic. Katika kesi ambapo kibaguzi ni hasi, ikiwa tunajaribu kutumia formula ya mizizi ya quadratic, tutakabiliwa na haja ya kuchukua mizizi ya mraba ya nambari hasi, ambayo itatupeleka zaidi ya upeo wa idadi halisi. Kwa ubaguzi mbaya, equation ya quadratic haitakuwa na mizizi halisi, lakini jozi ya mizizi tata ya conjugate inawezekana, imedhamiriwa na kanuni sawa za mizizi tuliyopata.
Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi
Inawezekana kutatua equation ya quadratic kwa kutumia formula ya mizizi mara moja, lakini kimsingi hii inafanywa wakati unahitaji kupata. mizizi tata.
Katika hali nyingi, kwa kawaida inamaanisha kutafuta sio ngumu, lakini kwa mizizi halisi ya equation ya quadratic. Halafu ni bora, kabla ya kutumia fomula za mizizi ya equation ya quadratic, kwanza kuamua kibaguzi na kuhakikisha kuwa sio mbaya (vinginevyo tutahitimisha kuwa equation haina mizizi halisi), na kisha kuendelea kuhesabu. thamani ya mizizi.
Hoja iliyo hapo juu inafanya uwezekano wa kuunda algoriti ya kutatua mlinganyo wa quadratic.
Ufafanuzi 10
Ili kutatua equation ya quadratic a x 2 + b x + c = 0, lazima:
- kulingana na formula D = b 2 - 4 a c kupata thamani ya kibaguzi;
- katika D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- kwa D = 0, pata mzizi pekee wa equation ukitumia formula x = - b 2 · a ;
- kwa D > 0, tambua mizizi miwili halisi ya equation ya quadratic kwa kutumia fomula x = - b ± D 2 · a.
Kumbuka kwamba wakati kibaguzi ni sifuri, unaweza kutumia formula x = - b ± D 2 · a, itatoa matokeo sawa na formula x = - b 2 · a.
Hebu tuangalie mifano.
Mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic
Wacha tutoe suluhisho kwa mifano maana tofauti kibaguzi.
Mfano 6
Tunahitaji kupata mizizi ya equation x 2 + 2 x − 6 = 0.
Suluhisho
Wacha tuandike mgawo wa nambari wa equation ya quadratic: a = 1, b = 2 na c = - 6. Ifuatayo tunaendelea kulingana na algorithm, i.e. Wacha tuanze kuhesabu kibaguzi, ambacho tutabadilisha coefficients a, b. Na c katika fomula ya kibaguzi: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (-6) = 4 + 24 = 28.
Kwa hivyo tunapata D > 0, ambayo ina maana kwamba equation ya awali itakuwa na mizizi miwili halisi.
Ili kuzipata, tunatumia formula ya mizizi x = - b ± D 2 · a na, tukibadilisha maadili yanayolingana, tunapata: x = - 2 ± 28 2 · 1. Wacha turahisishe usemi unaosababishwa kwa kuchukua sababu kutoka kwa ishara ya mizizi na kisha kupunguza sehemu:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 au x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 au x = - 1 - 7
Jibu: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .
Mfano 7
Haja ya kutatua equation ya quadratic − 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.
Suluhisho
Wacha tufafanue ubaguzi: D = 28 2 − 4 · (- 4) · (- 49) = 784 − 784 = 0. Kwa thamani hii ya kibaguzi, equation ya awali itakuwa na mzizi mmoja tu, iliyoamuliwa na formula x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3.5
Jibu: x = 3.5.
Mfano 8
Equation inahitaji kutatuliwa 5 y 2 + 6 y + 2 = 0
Suluhisho
Mgawo wa nambari wa mlingano huu utakuwa: a = 5, b = 6 na c = 2. Tunatumia maadili haya kutafuta kibaguzi: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Ubaguzi uliokokotolewa ni hasi, kwa hivyo mlinganyo wa awali wa quadratic hauna mizizi halisi.
Katika kesi wakati kazi ni kuonyesha mizizi ngumu, tunatumia formula ya mizizi, kufanya vitendo na nambari ngumu:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 au x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i au x = - 3 5 - 1 5 · i.
Jibu: hakuna mizizi halisi; mizizi tata ni kama ifuatavyo: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
Katika mtaala wa shule, hakuna mahitaji ya kawaida ya kuangalia mizizi tata, kwa hiyo, ikiwa wakati wa ufumbuzi wa kibaguzi umeamua kuwa mbaya, jibu limeandikwa mara moja kuwa hakuna mizizi halisi.
Fomula ya mizizi kwa mgawo wa pili
Fomula ya mzizi x = - b ± D 2 · a (D = b 2 - 4 · a · c) hurahisisha kupata fomula nyingine, iliyoshikana zaidi, inayomruhusu mtu kupata masuluhisho ya milinganyo ya quadratic yenye mgawo sawa wa x ( au kwa mgawo wa fomu 2 · n, kwa mfano, 2 3 au 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Wacha tuonyeshe jinsi fomula hii inavyopatikana.
Hebu tukabiliane na kazi ya kutafuta suluhisho la equation ya quadratic a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Tunaendelea kulingana na algorithm: tunaamua kibaguzi D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), na kisha tumia formula ya mizizi:
x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .
Acha usemi n 2 − a · c ubainishwe kama D 1 (wakati mwingine huashiria D "). Kisha fomula ya mizizi ya mlingano wa quadratic inayozingatiwa na mgawo wa pili 2 · n itachukua fomu:
x = - n ± D 1 a, ambapo D 1 = n 2 - a · c.
Ni rahisi kuona kwamba D = 4 · D 1, au D 1 = D 4. Kwa maneno mengine, D 1 ni robo ya kibaguzi. Kwa wazi, ishara ya D 1 ni sawa na ishara ya D, ambayo ina maana ishara ya D 1 inaweza pia kutumika kama kiashiria cha kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation ya quadratic.
Ufafanuzi 11
Kwa hivyo, ili kupata suluhisho la equation ya quadratic na mgawo wa pili wa 2 n, ni muhimu:
- pata D 1 = n 2 - a · c;
- kwa D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- wakati D 1 = 0, tambua mzizi pekee wa equation kwa kutumia formula x = - n a;
- kwa D 1 > 0, tambua mizizi miwili halisi kwa kutumia formula x = - n ± D 1 a.
Mfano 9
Ni muhimu kutatua equation ya quadratic 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.
Suluhisho
Tunaweza kuwakilisha mgawo wa pili wa mlinganyo uliotolewa kama 2 · (− 3) . Kisha tunaandika tena mlinganyo wa quadratic kama 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, ambapo a = 5, n = - 3 na c = -32.
Hebu tuhesabu sehemu ya nne ya kibaguzi: D 1 = n 2 - a · c = (- 3) 2 - 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169. Thamani inayotokana ni chanya, ambayo ina maana kwamba equation ina mizizi miwili halisi. Wacha tuamue kwa kutumia formula inayolingana ya mizizi:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 au x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 au x = - 2
Inawezekana kufanya mahesabu kwa kutumia formula ya kawaida ya mizizi ya equation ya quadratic, lakini katika kesi hii suluhisho litakuwa gumu zaidi.
Jibu: x = 3 1 5 au x = - 2 .
Kurahisisha namna ya milinganyo ya quadratic
Wakati mwingine inawezekana kuongeza fomu ya equation ya awali, ambayo itarahisisha mchakato wa kuhesabu mizizi.
Kwa mfano, equation ya quadratic 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 ni rahisi zaidi kutatua kuliko 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.
Mara nyingi zaidi, kurahisisha fomu ya equation ya quadratic hufanywa kwa kuzidisha au kugawanya pande zake zote mbili kwa nambari fulani. Kwa mfano, hapo juu tulionyesha uwakilishi uliorahisishwa wa mlingano 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, uliopatikana kwa kugawanya pande zote mbili na 100.
Mabadiliko kama haya yanawezekana wakati coefficients ya equation ya quadratic sio ya kuheshimiana nambari kuu. Kisha kwa kawaida tunagawanya pande zote mbili za equation na kubwa zaidi mgawanyiko wa kawaida maadili kamili mgawo wake.
Kama mfano, tunatumia mlingano wa quadratic 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Wacha tuamue GCD ya maadili kamili ya mgawo wake: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Hebu tugawanye pande zote mbili za mlinganyo wa awali wa quadratic kwa 6 na tupate mlingano wa quadratic sawa 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.
Kwa kuzidisha pande zote mbili za equation ya quadratic, kwa kawaida huondoa mgawo wa sehemu. Katika kesi hii, huzidisha kwa idadi ndogo ya kawaida ya madhehebu ya coefficients yake. Kwa mfano, ikiwa kila sehemu ya mlinganyo wa quadratic 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 imezidishwa na LCM (6, 3, 1) = 6, basi itaandikwa zaidi. kwa fomu rahisi x 2 + 4 x - 18 = 0 .
Mwishowe, tunaona kuwa karibu kila wakati tunaondoa minus kwenye mgawo wa kwanza wa equation ya quadratic kwa kubadilisha ishara za kila neno la equation, ambayo inafanikiwa kwa kuzidisha (au kugawa) pande zote mbili kwa - 1. Kwa mfano, kutoka kwa equation ya quadratic - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, unaweza kwenda kwa toleo lake lililorahisishwa 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.
Uhusiano kati ya mizizi na coefficients
Fomu ya mizizi ya equations ya quadratic, tayari inajulikana kwetu, x = - b ± D 2 · a, inaelezea mizizi ya equation kupitia coefficients yake ya namba. Kutegemea formula hii, tuna fursa ya kutaja utegemezi mwingine kati ya mizizi na coefficients.
Njia maarufu na zinazotumika ni nadharia ya Vieta:
x 1 + x 2 = - b a na x 2 = c a.
Hasa, kwa usawa uliopewa wa quadratic, jumla ya mizizi ni mgawo wa pili na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Kwa mfano, kwa kuangalia fomu ya equation ya quadratic 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, inawezekana kuamua mara moja kwamba jumla ya mizizi yake ni 7 3 na bidhaa ya mizizi ni 22 3.
Unaweza pia kupata idadi ya miunganisho mingine kati ya mizizi na mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, jumla ya miraba ya mizizi ya equation ya quadratic inaweza kuonyeshwa kwa suala la coefficients:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter
Maelezo ya kibiblia: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Mbinu za kutatua hesabu za quadratic // Mwanasayansi mchanga. 2016. Nambari 6.1. Uk. 17-20..02.2019).
Mradi wetu unahusu njia za kutatua milinganyo ya quadratic. Lengo la mradi: jifunze kusuluhisha milinganyo ya quadratic kwa njia zisizojumuishwa kwenye mtaala wa shule. Kazi: kupata kila kitu njia zinazowezekana kutatua milinganyo ya quadratic na kujifunza jinsi ya kuzitumia wewe mwenyewe na kutambulisha mbinu hizi kwa wanafunzi wenzako.
Je, "quadratic equations" ni nini?
Mlinganyo wa Quadratic- equation ya fomu shoka2 + bx + c = 0, Wapi a, b, c- nambari kadhaa ( a ≠ 0), x- haijulikani.
Nambari a, b, c huitwa coefficients ya equation ya quadratic.
- a inaitwa mgawo wa kwanza;
- b inaitwa mgawo wa pili;
- c - mwanachama huru.
Nani alikuwa wa kwanza "kuvumbua" milinganyo ya quadratic?
Baadhi ya mbinu za aljebra za kutatua milinganyo ya mstari na ya quadratic zilijulikana miaka 4000 iliyopita katika Babeli ya Kale. Ugunduzi wa mabamba ya udongo wa Babeli ya kale, yaliyoanzia mahali fulani kati ya 1800 na 1600 KK, unatoa ushahidi wa mapema zaidi wa utafiti wa milinganyo ya roboduara. Vidonge sawa vina njia za kutatua aina fulani za equations za quadratic.
Uhitaji wa kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili, nyuma katika nyakati za kale, ilisababishwa na haja ya kutatua matatizo yanayohusiana na kutafuta maeneo ya mashamba ya ardhi na. kazi za ardhini ya asili ya kijeshi, pamoja na maendeleo ya unajimu na hisabati yenyewe.
Kanuni ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyowekwa katika maandishi ya Babeli, kimsingi inalingana na ile ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababeli walifika katika kanuni hii. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa matatizo tu na masuluhisho yaliyowekwa katika mfumo wa mapishi, bila dalili ya jinsi yalivyopatikana. Licha ya ngazi ya juu maendeleo ya algebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla kutatua milinganyo ya quadratic.
Wanahisabati wa Babeli kutoka karibu karne ya 4 KK. ilitumia mbinu ya kukamilisha ya mraba kutatua milinganyo yenye mizizi chanya. Karibu 300 BC Euclid alikuja na njia ya jumla zaidi ya suluhisho la kijiometri. Mwanahisabati wa kwanza ambaye alipata suluhu za milinganyo yenye mizizi hasi katika mfumo wa fomula ya algebra alikuwa mwanasayansi wa Kihindi. Brahmagupta(India, karne ya 7 BK).
Brahmagupta aliweka kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:
ax2 + bx = c, a>0
Coefficients katika mlinganyo huu pia inaweza kuwa hasi. Utawala wa Brahmagupta kimsingi ni sawa na wetu.
Mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida nchini India. Kitabu kimojawapo cha zamani cha Wahindi kinasema yafuatayo kuhusu mashindano hayo: “Jinsi jua linavyozifunika nyota kwa mng’ao wake, ndivyo. mtu aliyejifunza itafunika utukufu wake katika makusanyiko ya watu wote kwa kupendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Matatizo mara nyingi yaliwasilishwa kwa njia ya kishairi.
Katika mkataba wa algebraic Al-Khwarizmi uainishaji wa milinganyo ya mstari na quadratic imetolewa. Mwandishi anahesabu aina 6 za equations, akizielezea kama ifuatavyo:
1) "Mraba ni sawa na mizizi," yaani ax2 = bx.
2) "Mraba ni sawa na nambari," yaani ax2 = c.
3) "Mizizi ni sawa na nambari," i.e. ax2 = c.
4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi," yaani ax2 + c = bx.
5) "Mraba na mizizi ni sawa na nambari," yaani ax2 + bx = c.
6) "Mizizi na nambari ni sawa na miraba," yaani bx + c == ax2.
Kwa Al-Khwarizmi, ambaye aliepuka kutumia nambari hasi, masharti ya kila moja ya milinganyo hii ni nyongeza na si vipunguzi. Katika kesi hii, equations ambazo hazina suluhu chanya ni wazi hazizingatiwi. Mwandishi anaweka njia za kutatua milinganyo hii kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-mukabal. Uamuzi wake, bila shaka, haupatani kabisa na wetu. Bila kutaja kuwa ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kusuluhisha equation isiyokamilika ya aina ya kwanza, Al-Khorezmi, kama wanahisabati wote hadi karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu katika vitendo maalum haijalishi katika kazi. Wakati wa kusuluhisha milinganyo kamili ya quadratic, Al-Khwarizmi anaweka sheria za kuzitatua kwa kutumia mifano maalum ya nambari, na kisha uthibitisho wao wa kijiometri.
Njia za kusuluhisha milinganyo ya pembe nne kwa kufuata kielelezo cha Al-Khwarizmi huko Ulaya zilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika “Kitabu cha Abacus,” kilichoandikwa mwaka wa 1202. mwanahisabati wa Italia Leonard Fibonacci. Mwandishi alitengeneza kwa uhuru mifano mipya ya aljebra ya kutatua shida na alikuwa wa kwanza barani Ulaya kukaribia kuanzishwa kwa nambari hasi.
Kitabu hiki kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Matatizo mengi kutoka kwa kitabu hiki yalitumiwa karibu na vitabu vyote vya Ulaya vya karne ya 14-17. Kanuni ya jumla ufumbuzi wa equations quadratic kupunguzwa kwa fomu moja canonical x2 + bх = с kwa mchanganyiko wote iwezekanavyo wa ishara na coefficients b, c iliundwa katika Ulaya mwaka 1544. M. Stiefel.
Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlingano wa quadratic kwa njia ya jumla unapatikana kutoka Viète, lakini Viète alitambua mizizi chanya pekee. wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli kati ya kwanza katika karne ya 16. Mbali na mazuri, mizizi hasi pia huzingatiwa. Tu katika karne ya 17. shukrani kwa juhudi Girard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua equations ya quadratic inachukua fomu ya kisasa.
Hebu tuangalie njia kadhaa za kutatua equations za quadratic.
Mbinu za kawaida za kusuluhisha milinganyo ya quadratic kutoka mtaala wa shule:
- Kuweka upande wa kushoto wa equation.
- Njia ya kuchagua mraba kamili.
- Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia fomula.
- Suluhisho la mchoro la equation ya quadratic.
- Kutatua milinganyo kwa kutumia nadharia ya Vieta.
Wacha tukae kwa undani zaidi juu ya suluhisho la milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa kwa kutumia nadharia ya Vieta.
Kumbuka kwamba ili kutatua equations za quadratic hapo juu, inatosha kupata nambari mbili ambazo bidhaa ni sawa na neno la bure, na ambao jumla ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume.
Mfano.x 2 -5x+6=0
Unahitaji kupata nambari ambazo bidhaa yake ni 6 na jumla yake ni 5. Nambari hizi zitakuwa 3 na 2.
Jibu: x 1 =2, x 2 =3.
Lakini pia unaweza kutumia njia hii kwa milinganyo na mgawo wa kwanza si sawa na moja.
Mfano.3x 2 +2x-5=0
Chukua mgawo wa kwanza na uuzidishe kwa neno lisilolipishwa: x 2 +2x-15=0
Mizizi ya equation hii itakuwa namba ambazo bidhaa ni sawa na - 15, na jumla yake ni sawa na - 2. Nambari hizi ni 5 na 3. Ili kupata mizizi ya equation ya awali, ugawanye mizizi inayotokana na mgawo wa kwanza.
Jibu: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. Kutatua milinganyo kwa kutumia njia ya "kutupa".
Fikiria shoka ya mlinganyo wa quadratic 2 + bx + c = 0, ambapo a≠0.
Kwa kuzidisha pande zote mbili kwa a, tunapata mlinganyo a 2 x 2 + abx + ac = 0.
Acha shoka = y, kutoka wapi x = y/a; kisha tunafika kwenye equation y 2 + by + ac = 0, sawa na ile iliyotolewa. Tunapata mizizi yake kwa 1 na 2 kwa kutumia nadharia ya Vieta.
Hatimaye tunapata x 1 = y 1 /a na x 2 = y 2 /a.
Kwa njia hii, mgawo a huzidishwa na neno la bure, kana kwamba "kutupwa" kwake, ndiyo sababu inaitwa njia ya "kutupa". Njia hii hutumiwa wakati mizizi ya equation inaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Vieta na, muhimu zaidi, wakati kibaguzi ni mraba halisi.
Mfano.2x 2 - 11x + 15 = 0.
Hebu "tutupe" mgawo wa 2 kwa neno lisilolipishwa na ubadilishe na upate mlinganyo y 2 - 11y + 30 = 0.
Kulingana na nadharia ya kinyume cha Vieta
y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.
Jibu: x 1 =2.5; X 2 = 3.
7. Mali ya coefficients ya equation ya quadratic.
Acha mlingano wa quadratic ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 itolewe.
1. Ikiwa a+ b + c = 0 (yaani jumla ya mgawo wa mlinganyo ni sifuri), basi x 1 = 1.
2. Ikiwa a - b + c = 0, au b = a + c, basi x 1 = - 1.
Mfano.345x 2 - 137x - 208 = 0.
Kwa kuwa a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), basi x 1 = 1, x 2 = -208/345.
Jibu: x 1 =1; X 2 = -208/345 .
Mfano.132x 2 + 247x + 115 = 0
Kwa sababu a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), kisha x 1 = - 1, x 2 = - 115/132
Jibu: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132
Kuna sifa zingine za coefficients ya equation ya quadratic. lakini matumizi yao ni magumu zaidi.
8. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nomogram.
Kielelezo 1. Nomogram
Ni ya zamani na kwa sasa mbinu iliyosahaulika suluhu za milinganyo ya quadratic, iliyowekwa kwenye ukurasa wa 83 wa mkusanyiko: Bradis V.M. Jedwali za hesabu za tarakimu nne. - M., Elimu, 1990.
Jedwali la XXII. Nomogram kwa ajili ya kutatua equation z 2 + pz + q = 0. Nomogram hii inaruhusu, bila kutatua equation ya quadratic, kuamua mizizi ya equation kutoka kwa coefficients yake.
Kiwango cha curvilinear cha nomogram kinajengwa kulingana na fomula (Mchoro 1):
Kuamini OS = p, ED = q, OE = a(yote kwa cm), kutoka kwa Mchoro 1 kufanana kwa pembetatu SAN Na CDF tunapata uwiano
ambayo, baada ya vibadala na kurahisisha, hutoa mlingano z 2 + pz + q = 0, na barua z inamaanisha alama ya sehemu yoyote kwenye mizani iliyopinda.
Mchele. 2 Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nomogram
Mifano.
1) Kwa equation z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram inatoa mizizi z 1 = 8.0 na z 2 = 1.0
Jibu:8.0; 1.0.
2) Kwa kutumia nomogram, tunatatua equation
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Gawanya coefficients ya equation hii na 2, tunapata equation z 2 - 4.5z + 1 = 0.
Nomogram inatoa mizizi z 1 = 4 na z 2 = 0.5.
Jibu: 4; 0.5.
9. Mbinu ya kijiometri ya kutatua milinganyo ya quadratic.
Mfano.X 2 + 10x = 39.
Katika asili, shida hii imeundwa kama ifuatavyo: "Mizizi ya mraba na kumi ni sawa na 39."
Fikiria mraba na upande x, mstatili hujengwa kwa pande zake ili upande mwingine wa kila mmoja wao ni 2.5, kwa hivyo eneo la kila moja ni 2.5x. Takwimu inayosababishwa inaongezwa kwa mraba mpya wa ABCD, kujenga mraba nne sawa katika pembe, upande wa kila mmoja wao ni 2.5, na eneo ni 6.25
Mchele. 3 Mbinu ya mchoro ya kutatua mlingano x 2 + 10x = 39
Eneo S la ABCD ya mraba linaweza kuwakilishwa kama jumla ya maeneo ya: mraba asili x 2, mistatili minne (4∙2.5x = 10x) na miraba minne ya ziada (6.25∙4 = 25), i.e. S = x 2 + 10x = 25. Kubadilisha x 2 + 10x na nambari 39, tunapata kwamba S = 39 + 25 = 64, ambayo ina maana kwamba upande wa mraba ni ABCD, i.e. sehemu AB = 8. Kwa upande unaohitajika x wa mraba wa awali tunapata
10. Kutatua milinganyo kwa kutumia nadharia ya Bezout.
Nadharia ya Bezout. Salio la kugawanya P(x) ya polinomia na binomial x - α ni sawa na P(α) (yaani, thamani ya P(x) kwa x = α).
Ikiwa nambari α ndio mzizi wa polynomial P(x), basi polinomia hii inaweza kugawanywa kwa x -α bila salio.
Mfano.x²-4x+3=0
Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Gawanya P(x) kwa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3
x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0
x-1=0; x=1, au x-3=0, x=3; Jibu: x1 =2, x2 =3.
Hitimisho: Uwezo wa kutatua haraka na kwa busara hesabu za quadratic ni muhimu tu kutatua zaidi milinganyo changamano, Kwa mfano, milinganyo ya kimantiki ya sehemu, milinganyo ya digrii za juu, milinganyo miwili, na in sekondari milinganyo ya trigonometric, kielelezo na logarithmic. Baada ya kusoma njia zote zilizopatikana za kutatua hesabu za quadratic, tunaweza kuwashauri wanafunzi wenzetu, isipokuwa mbinu za kawaida, suluhisho kwa njia ya uhamisho (6) na ufumbuzi wa equations kwa kutumia mali ya coefficients (7), kwa kuwa wanapatikana zaidi kwa uelewa.
Fasihi:
- Bradis V.M. Jedwali za hesabu za tarakimu nne. - M., Elimu, 1990.
- Algebra daraja la 8: kitabu cha maandishi kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky toleo la 15, lililorekebishwa. - M.: Elimu, 2015
- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Glazer G.I. Historia ya hisabati shuleni. Mwongozo kwa walimu. / Mh. V.N. Mdogo. - M.: Elimu, 1964.
Malengo:
- Tambulisha dhana ya equation ya quadratic iliyopunguzwa;
- "gundua" uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic iliyotolewa;
- kuendeleza shauku katika hisabati, kuonyesha kupitia mfano wa maisha ya Viet kwamba hisabati inaweza kuwa hobby.
1. Kukagua kazi za nyumbani
Nambari 309(g) x 1 =7, x 2 =
Nambari 311(g) x 1 =2, x 2 =-1
Nambari 312 (d) hakuna mizizi
2. Kurudia nyenzo zilizojifunza
Kila mtu ana meza kwenye meza yake. Tafuta mawasiliano kati ya safu wima za kushoto na kulia za jedwali.
| Uundaji wa maneno | Usemi halisi |
| 1. Utatu wa mraba | A. ah 2 =0 |
| 2. Mbaguzi | B. shoka 2 +c=0, s< 0 |
| 3. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika kuwa na mzizi mmoja sawa na 0. | KATIKA. D > 0 |
| 4. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika, mzizi mmoja ambao ni 0 na mwingine si sawa na 0. | G. D< 0 |
| 5. Sio mlinganyo kamili wa quadratic, mizizi ambayo ni sawa kwa ukubwa lakini kinyume katika ishara. | D. akh 2 +katika+c=0 |
| 6. Sio mlinganyo kamili wa quadratic ambao hauna mizizi halisi. | E. D=v 2 +4ac |
| 7. Fomu ya jumla mlinganyo wa quadratic. | NA. x 2 +px+q=0 |
| 8. Hali ambayo equation ya quadratic ina mizizi miwili | Z. ah 2 +katika+s |
| 9. Hali ambayo equation ya quadratic haina mizizi | NA. shoka 2 +c=0, c > 0 |
| 10. Hali ambayo equation ya quadratic ina mizizi miwili sawa | KWA. akh 2 +katika=0 |
| 11. Mlinganyo wa quadratic uliopunguzwa. | L. D = 0 |
Ingiza majibu sahihi kwenye jedwali.
1-Z; 2-E; 3-A; 4-K; 5 B; 6-mimi; 7-D; 8-B; 9-G; 10-L; 11-F.
3. Kuunganishwa kwa nyenzo zilizojifunza
Tatua milinganyo:
a) -5x 2 + 8x -3=0;
Suluhisho:
D=64 – 4(-5)(-3) = 4,
x 1 = x 2 = = a + b + c = -5+8-3=0
b) 2 x 2 +6x - 8 = 0;
Suluhisho:
D=36 – 4 2 (-8)= 100,
x 1 = = x 2 = a + b + c = 2+6-8=0
c) 2009 x 2 +x - 2010 =0
Suluhisho:
a + b + c = 2009+1 + (-2010) =0, kisha x 1 =1 x 2 =
4. Upanuzi wa kozi ya shule
shoka 2 +katika+c=0, ikiwa a+b+c=0, basi x 1 =1 x 2 =Wacha tufikirie kusuluhisha milinganyo
a) 2x 2 + 5x +3 = 0
Suluhisho:
D = 25 -24 = 1 x 1 = x 2 = a – b + c = 2-5 + 3 = 0
b) -4x 2 -5x -1 =0
Suluhisho:
D = 25 – 16 = 9 x 1 = – 1 x 2 = a – b + c = -4-(-5) – 1 = 0
c) 1150x 2 +1135x -15 = 0
Suluhisho:
a – b+c = 1150-1135 +(-15) = 0 x 1 = – 1 x 2 =
shoka 2 +katika+c=0, ikiwa a-b+c=0, basi x 1 = – 1 x 2 =
5. Mandhari mpya
Hebu tuangalie kukamilika kwako kwa kazi ya kwanza. Umekutana na dhana gani mpya? 11 - f, i.e.
Mlinganyo wa quadratic uliotolewa ni x 2 + px + q = 0.
Mada ya somo letu.
Hebu tujaze jedwali lifuatalo.
Safu wima ya kushoto iko kwenye daftari na mwanafunzi mmoja yuko ubaoni.
Kutatua equation akh 2 +katika+c=0
Safu wima ya kulia, mwanafunzi aliyeandaliwa zaidi ubaoni
Kutatua equation x 2 + px + q = 0, na = 1, b = p, c = q
Mwalimu (ikiwa ni lazima) husaidia, wengine wako kwenye daftari.
6. Sehemu ya vitendo
X 2 - 6 X + 8 = 0,
D = 9 – 8 = 1,
x 1 = 3 – 1 = 2
x 2 = 3 + 1 = 4
X 2 + 6 X + 8 = 0,
D = 9 - 8 = 0,
x 1 = -3 – 1 = -4
x 2 = -3 + 1 = -2
X 2 + 20 X + 51 = 0,
D = 100 - 51 = 49
x 1 = 10 - 7 = 3
x 2 = 10 + 7 = 17
X 2 - 20 X – 69 = 0,
D = 100 - 69 = 31
Kulingana na matokeo ya mahesabu yetu, tutajaza meza.
Nambari ya equation. R x 1+ x 2 q x 1 x 2 1 -6 6 8 8
Hebu tulinganishe matokeo yaliyopatikana na coefficients ya equations quadratic.
Ni hitimisho gani linaweza kutolewa?
7. Asili ya kihistoria
Uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic ilianzishwa kwanza na mwanasayansi maarufu wa Kifaransa Francois Viète (1540-1603).
François Viète alikuwa mwanasheria kitaaluma na alifanya kazi kama mshauri wa mfalme kwa miaka mingi. Na ingawa hisabati ilikuwa hobby yake, au kama wanasema, hobby, shukrani kwa bidii alipata matokeo mazuri ndani yake. Viet mnamo 1591 ilianzisha nukuu ya barua kwa haijulikani na coefficients ya milinganyo. Hii ilifanya iwezekane kuandika mizizi na sifa zingine za equation kwa kutumia fomula za jumla.
Ubaya wa aljebra ya Vieta ni kwamba ilitambuliwa tu nambari chanya. Ili kuepuka maamuzi hasi, alibadilisha equations au kutafuta ufumbuzi wa bandia, ambao ulichukua muda mwingi, ugumu wa ufumbuzi na mara nyingi ulisababisha makosa.
Viète alipata uvumbuzi mwingi tofauti, lakini yeye mwenyewe alithamini sana uanzishwaji wa uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic, ambayo ni, uhusiano unaoitwa "nadharia ya Viète."
Tutazingatia nadharia hii katika somo linalofuata.
8. Ujumla wa maarifa
Maswali:
- Ni mlinganyo upi unaoitwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa?
- Ni fomula gani inayoweza kutumika kupata mizizi ya mlingano wa quadratic uliotolewa?
- Ni nini huamua idadi ya mizizi ya equation ya quadratic iliyotolewa?
- Je, ni kibaguzi gani cha equation ya quadratic iliyopunguzwa?
- Je, mizizi ya mlinganyo wa quadratic hapo juu na migawo yake inahusiana vipi?
- Nani alifanya uhusiano huu?
9. Kazi ya nyumbani
kifungu cha 4.5, Na. 321(b,f) Na.322(a,d,g,h)
Jaza meza.
Mlinganyo Mizizi Jumla ya mizizi Bidhaa ya mizizi X 2 – 8x + 7 = 0 1 na 7 8 7
Fasihi
SENTIMITA. Nikolsky na wengine, kitabu cha maandishi cha "Algebra 8" cha safu ya "MSU-Shule" - M.: Prosveshchenie, 2007.