Wanahisabati wa zamani tayari walijua juu ya sehemu ya urefu wa kitengo: walijua, kwa mfano, kutoweza kulinganishwa kwa diagonal na upande wa mraba, ambayo ni sawa na kutokuwa na maana kwa nambari.
Isiyo na akili ni:
Mifano ya uthibitisho wa kutokuwa na mantiki
Mzizi wa 2
Hebu tuchukue kinyume chake: ni busara, yaani, inawakilishwa kwa namna ya sehemu isiyoweza kupunguzwa, wapi na ni integers. Wacha tuweke usawa unaodhaniwa:
.Inafuata kwamba hata ni sawa na . Wacha iwe mahali nzima. Kisha
Kwa hiyo, hata ina maana hata na. Tulipata kuwa na ni sawa, ambayo inapingana na kutoweza kubadilika kwa sehemu . Hii ina maana kwamba dhana ya awali haikuwa sahihi, na ni nambari isiyo na mantiki.
Logarithm binary ya nambari 3
Wacha tuchukue kinyume: ni busara, ambayo ni, inawakilishwa kama sehemu, wapi na ni nambari kamili. Tangu , na inaweza kuchaguliwa kuwa chanya. Kisha
Lakini hata na isiyo ya kawaida. Tunapata utata.
e
Hadithi
Wazo la nambari zisizo na mantiki lilikubaliwa na wanahisabati wa Kihindi katika karne ya 7 KK, wakati Manava (c. 750 KK - 690 hivi KK) aligundua kwamba mizizi ya mraba ya baadhi ya watu. nambari za asili, kama vile 2 na 61, haiwezi kuonyeshwa kwa uwazi.
Uthibitisho wa kwanza wa kuwepo kwa nambari zisizo na maana kawaida huhusishwa na Hippasus wa Metapontus (c. 500 BC), Pythagorean ambaye alipata uthibitisho huu kwa kuchunguza urefu wa pande za pentagram. Wakati wa Pythagoreans, iliaminika kuwa kulikuwa na kitengo kimoja cha urefu, cha kutosha kidogo na kisichoweza kugawanyika, ambacho kiliingia sehemu yoyote idadi kamili ya nyakati. Walakini, Hippasus alisema kuwa hakuna kitengo kimoja cha urefu, kwani dhana ya uwepo wake husababisha mkanganyiko. Alionyesha kuwa ikiwa hypotenuse ya pembetatu ya kulia ya isosceles ina idadi kamili ya sehemu za kitengo, basi nambari hii lazima iwe sawa na isiyo ya kawaida. Uthibitisho ulionekana kama hii:
- Uwiano wa urefu wa hypotenuse na urefu wa mguu wa pembetatu ya kulia ya isosceles unaweza kuonyeshwa kama a:b, Wapi a Na b iliyochaguliwa kama ndogo iwezekanavyo.
- Kulingana na nadharia ya Pythagorean: a² = 2 b².
- Kwa sababu a-sawa, a lazima iwe sawa (kwani mraba wa nambari isiyo ya kawaida itakuwa isiyo ya kawaida).
- Kwa sababu ya a:b isiyoweza kupunguzwa b lazima iwe isiyo ya kawaida.
- Kwa sababu a hata, tunaashiria a = 2y.
- Kisha a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², kwa hivyo b- hata, basi b hata.
- Hata hivyo, imethibitishwa hivyo b isiyo ya kawaida. Utata.
Wanahisabati wa Uigiriki waliita uwiano huu wa wingi usio na kifani alama(isiyoelezeka), lakini kulingana na hadithi hawakulipa heshima inayofaa kwa Hippasus. Kuna hekaya kwamba Hippasus aligundua ugunduzi huo alipokuwa katika safari ya baharini na kutupwa baharini na Wana-Pythagoreans wengine “kwa ajili ya kuunda sehemu ya ulimwengu ambayo inapinga fundisho la kwamba viumbe vyote katika ulimwengu vinaweza kupunguzwa hadi nambari kamili na uwiano wao.” Ugunduzi wa Hippasus ulileta shida kubwa kwa hisabati ya Pythagorean, na kuharibu dhana ya msingi kwamba nambari na vitu vya kijiometri vilikuwa moja na haviwezi kutenganishwa.
Angalia pia
Vidokezo
| Mifumo ya nambari | |
|---|---|
| Kuhesabu seti |
Nambari asilia () Nambari kamili () |
Wote nambari za busara inaweza kuwakilishwa katika fomu sehemu ya kawaida. Hii inatumika kwa nambari nzima (kwa mfano, 12, -6, 0), na sehemu za desimali zenye kikomo (kwa mfano, 0.5; -3.8921), na sehemu za desimali zisizo na kikomo za muda (kwa mfano, 0.11(23); -3 ,(87) )).
Hata hivyo desimali zisizo na kikomo zisizo za muda haiwezi kuwakilishwa kama sehemu za kawaida. Ndivyo walivyo nambari zisizo na mantiki(yaani, isiyo na akili). Mfano wa nambari kama hiyo ni nambari π, ambayo ni takriban sawa na 3.14. Walakini, ni sawa na nini haiwezi kuamua, kwani baada ya nambari 4 kuna safu isiyo na mwisho ya nambari zingine ambazo vipindi vya kurudia haziwezi kutofautishwa. Zaidi ya hayo, ingawa nambari π haiwezi kuonyeshwa kwa usahihi, ina maalum maana ya kijiometri. Nambari π ni uwiano wa urefu wa duara yoyote kwa urefu wa kipenyo chake. Kwa hivyo, nambari zisizo na mantiki zipo katika maumbile, kama nambari za busara.
Mfano mwingine wa nambari zisizo na maana ni mizizi ya mraba ya nambari chanya. Kuchimba mizizi kutoka kwa nambari pekee kunatoa maadili ya busara, kutoka kwa wengine - irrational. Kwa mfano, √4 = 2, yaani mzizi wa 4 ni nambari ya busara. Lakini √2, √5, √7 na nyingine nyingi husababisha nambari zisizo na mantiki, yaani, zinaweza kutolewa tu kwa kukadiria, kuzungushwa kwa sehemu fulani ya desimali. Katika kesi hii, sehemu inakuwa isiyo ya mara kwa mara. Hiyo ni, haiwezekani kusema hasa na kwa hakika nini mzizi wa nambari hizi ni.
Kwa hivyo √5 ni nambari iliyo kati ya nambari 2 na 3, kwani √4 = 2, na √9 = 3. Tunaweza pia kuhitimisha kuwa √5 iko karibu na 2 kuliko 3, kwani √4 iko karibu na √5 kuliko √9 hadi √5. Hakika, √5 ≈ 2.23 au √5 ≈ 2.24.
Nambari zisizo na maana pia zinapatikana katika mahesabu mengine (na si tu wakati wa kuchimba mizizi), na inaweza kuwa mbaya.
Kuhusiana na nambari zisizo na maana, tunaweza kusema kwamba haijalishi ni sehemu gani ya kitengo tunachochukua ili kupima urefu ulioonyeshwa na nambari kama hiyo, hatutaweza kuipima kwa hakika.
Katika shughuli za hesabu, nambari zisizo na mantiki zinaweza kushiriki pamoja na nambari za busara. Wakati huo huo, kuna idadi ya mara kwa mara. Kwa mfano, ikiwa tu nambari za busara zinahusika katika operesheni ya hesabu, basi matokeo ni nambari ya busara kila wakati. Ikiwa tu wasio na akili wanashiriki katika operesheni, basi haiwezekani kusema bila shaka ikiwa matokeo yatakuwa nambari ya busara au isiyo na maana.
Kwa mfano, ikiwa unazidisha nambari mbili zisizo na maana √2 * √2, unapata 2 - hii ni nambari ya busara. Kwa upande mwingine, √2 * √3 = √6 ni nambari isiyo na mantiki.
Ikiwa operesheni ya hesabu inahusisha nambari za busara na zisizo na maana, basi matokeo yatakuwa yasiyo ya maana. Kwa mfano, 1 + 3.14... = 4.14... ; √17 – 4.
Kwa nini √17 - 4 ni nambari isiyo na mantiki? Wacha tufikirie kuwa tunapata nambari ya busara x. Kisha √17 = x + 4. Lakini x + 4 ni nambari ya busara, kwa sababu tulidhani kwamba x ni mantiki. Nambari ya 4 pia ni ya busara, kwa hivyo x + 4 ni ya busara. Hata hivyo, nambari ya kimantiki haiwezi kuwa sawa na nambari isiyo na mantiki √17. Kwa hiyo, dhana kwamba √17 - 4 inatoa matokeo ya busara sio sahihi. Matokeo ya operesheni ya hesabu itakuwa isiyo na maana.
Walakini, kuna ubaguzi kwa sheria hii. Ikiwa tunazidisha nambari isiyo na mantiki kwa 0, tunapata nambari ya busara 0.
Kuelewa nambari, haswa nambari asilia, ni moja ya "ujuzi" wa zamani zaidi wa hesabu. Ustaarabu mwingi, hata wa kisasa, umehusisha fulani mali za fumbo kwa sababu ya umuhimu wao mkubwa katika maelezo ya maumbile. Ingawa sayansi ya kisasa na hisabati haithibitishi sifa hizi za "kichawi", umuhimu wa nadharia ya nambari hauwezi kupingwa.
Kihistoria, anuwai ya nambari za asili zilionekana kwanza, kisha sehemu za haraka na nambari chanya zisizo na mantiki ziliongezwa kwao. Nambari sifuri na hasi zilianzishwa baada ya vijisehemu hivi vya seti ya nambari halisi. Seti ya mwisho, seti ya nambari ngumu, ilionekana tu na maendeleo ya sayansi ya kisasa.
Katika hisabati ya kisasa, nambari hazitambuliwi kwa mpangilio wa kihistoria, ingawa karibu nayo.
Nambari za asili $\mathbb(N)$
Seti ya nambari asilia mara nyingi huashiriwa kama $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, na mara nyingi huwekwa sufuri kuashiria $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ inafafanua utendakazi wa kujumlisha (+) na kuzidisha ($\cdot$) na sifa zifuatazo kwa $a,b,c\in \mathbb(N)$ yoyote:
1. $a+b\katika \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ seti $\mathbb(N)$ imefungwa chini ya shughuli za kuongeza na kuzidisha.
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ commutativity
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ associativity
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ usambazaji
5. $a\cdot 1=a$ ni kipengele kisichoegemea upande wowote cha kuzidisha
Kwa kuwa seti ya $\mathbb(N)$ ina kipengele cha upande wowote cha kuzidisha lakini si cha kuongezwa, kuongeza sufuri kwenye seti hii huhakikisha kwamba inajumuisha kipengele cha upande wowote cha kuongezwa.
Mbali na shughuli hizi mbili, mahusiano ya "chini ya" ($
1. $a b$ trichotomy
2. ikiwa $a\leq b$ na $b\leq a$, basi $a=b$ antisymmetry
3. ikiwa $a\leq b$ na $b\leq c$, basi $a\leq c$ ni mpito
4. ikiwa $a\leq b$ basi $a+c\leq b+c$
5. ikiwa $a\leq b$ basi $a\cdot c\leq b\cdot c$
Nambari kamili $\mathbb(Z)$
Mifano ya nambari kamili:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Kutatua mlinganyo $a+x=b$, ambapo $a$ na $b$ zinajulikana nambari asilia, na $x$ ni nambari asilia isiyojulikana, inahitaji kuanzishwa kwa operesheni mpya - kutoa(-). Ikiwa kuna nambari asilia $x$ inayotosheleza mlingano huu, basi $x=b-a$. Hata hivyo, hii equation maalum sio lazima iwe na suluhisho kwenye seti $\mathbb(N)$, kwa hivyo mazingatio ya vitendo yanahitaji kupanua seti ya nambari asili ili kujumuisha suluhisho kwa mlinganyo kama huo. Hii inasababisha kuanzishwa kwa seti ya nambari kamili: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Kwa kuwa $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, ni jambo la busara kudhani kwamba shughuli zilizoanzishwa hapo awali $+$ na $\cdot$ na mahusiano $ 1. $0+a=a+0=a$ kuna kipengele cha neutral kwa kuongeza
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ ipo nambari kinyume$-a$ kwa $a$
Mali 5:
5. ikiwa $0\leq a$ na $0\leq b$, basi $0\leq a\cdot b$
Seti $\mathbb(Z)$ pia imefungwa chini ya operesheni ya kutoa, yaani, $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Nambari za busara $\mathbb(Q)$
Mifano ya nambari za busara:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Sasa fikiria milinganyo ya fomu $a\cdot x=b$, ambapo $a$ na $b$ zinajulikana nambari kamili, na $x$ haijulikani. Ili suluhisho liwezekane, inahitajika kuanzisha operesheni ya mgawanyiko ($:$), na suluhisho inachukua fomu $x=b:a$, ambayo ni, $x=\frac(b)(a)$. . Tena shida inatokea kwamba $x$ sio kila wakati $\mathbb(Z)$, kwa hivyo seti ya nambari zinahitaji kupanuliwa. Hii inatanguliza seti ya nambari za mantiki $\mathbb(Q)$ zenye vipengele $\frac(p)(q)$, ambapo $p\in \mathbb(Z)$ na $q\in \mathbb(N)$. Seti ya $\mathbb(Z)$ ni sehemu ndogo ambayo kila kipengele $q=1$, kwa hivyo $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ na shughuli za kuongeza na kuzidisha zinaenea hadi seti hii kulingana na sheria zifuatazo, ambayo huhifadhi mali zote hapo juu kwenye seti $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Mgawanyiko umeanzishwa kama ifuatavyo:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Kwenye seti $\mathbb(Q)$, equation $a\cdot x=b$ ina suluhu la kipekee kwa kila $a\neq 0$ (mgawanyiko kwa sifuri haujafafanuliwa). Hii ina maana kwamba kuna kipengele kinyume$\frac(1)(a)$ au $a^(-1)$:
$(\forall a\katika \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\lipo \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Agizo la seti $\mathbb(Q)$ linaweza kupanuliwa kama ifuatavyo:
$\frac(p_1)(q_1)
Seti $\mathbb(Q)$ ina moja mali muhimu: Kati ya nambari zozote mbili za busara kuna nambari zingine nyingi za busara, kwa hivyo hakuna nambari mbili za kimantiki zilizo karibu, tofauti na seti za nambari asilia na nambari kamili.
Nambari zisizo na mantiki $\mathbb(I)$
Mifano ya nambari zisizo na mantiki:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \takriban 1.41422135...$
$\pi\takriban 3.1415926535...$
Kwa kuwa kati ya nambari zozote mbili za busara kuna nambari zingine nyingi za busara, ni rahisi kuhitimisha kimakosa kwamba seti ya nambari za busara ni mnene sana kwamba hakuna haja ya kuipanua zaidi. Hata Pythagoras alifanya makosa kama hayo wakati wake. Walakini, watu wa wakati wake tayari walikanusha hitimisho hili wakati wa kusoma masuluhisho ya equation $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) kwenye seti ya nambari za busara. Ili kutatua equation hiyo, ni muhimu kuanzisha dhana ya mizizi ya mraba, na kisha suluhisho la equation hii ina fomu $x=\sqrt(2)$. Mlinganyo kama $x^2=a$, ambapo $a$ ni nambari ya kimantiki inayojulikana na $x$ ni nambari isiyojulikana, huwa haina suluhu katika seti ya nambari za mantiki, na tena hitaji linatokea la kupanua wigo. kuweka. Seti ya nambari zisizo na mantiki hutokea, na nambari kama vile $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... ni za seti hii.
Nambari halisi $\mathbb(R)$
Muungano wa seti za nambari za busara na zisizo na maana ni seti ya nambari halisi. Kwa kuwa $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, ni busara tena kudhani kuwa shughuli na mahusiano ya hesabu yaliyoletwa huhifadhi mali zao kwenye seti mpya. Uthibitisho rasmi wa hii ni ngumu sana, kwa hivyo mali zilizotajwa hapo juu za shughuli za hesabu na uhusiano kwenye seti ya nambari halisi huletwa kama axioms. Katika algebra, kitu kama hicho huitwa uwanja, kwa hivyo seti ya nambari halisi inasemekana kuwa uwanja ulioamuru.
Ili ufafanuzi wa seti ya nambari halisi ikamilike, ni muhimu kuanzisha axiom ya ziada ambayo inatofautisha seti $\mathbb(Q)$ na $\mathbb(R)$. Tuseme kwamba $S$ ni sehemu ndogo isiyo tupu ya seti ya nambari halisi. Kipengele $b\in \mathbb(R)$ kinaitwa kikomo cha juu cha seti $S$ ikiwa $\forall x\in S$ inashikilia $x\leq b$. Kisha tunasema kwamba seti ya $S $ imefungwa hapo juu. Upeo mdogo zaidi wa juu wa seti $S$ unaitwa supremum na unaashiria $\sup S$. Dhana za ufungaji wa chini, zilizowekwa chini, na infinum $\inf S$ zinaletwa vile vile. Sasa axiom inayokosekana imeundwa kama ifuatavyo:
Seti ndogo yoyote isiyo tupu na yenye mipaka ya juu ya seti ya nambari halisi ina kiwango cha juu zaidi.
Inaweza pia kuthibitishwa kuwa uwanja wa nambari halisi zilizofafanuliwa kwa njia iliyo hapo juu ni ya kipekee.
Nambari tata$\mathbb(C)$
Mifano ya nambari changamano:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ ambapo $i = \sqrt(-1)$ au $i^2 = -1$
Seti ya nambari changamano inawakilisha jozi zote zilizopangwa za nambari halisi, ambayo ni, $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, ambayo shughuli za kuongeza na kuzidisha hufafanuliwa kama ifuatavyo:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Kuna aina kadhaa za kuandika nambari changamano, ambazo zinazojulikana zaidi ni $z=a+ib$, ambapo $(a,b)$ ni jozi ya nambari halisi, na nambari $i=(0,1)$ inaitwa kitengo cha kufikiria.
Ni rahisi kuonyesha kuwa $i^2=-1$. Kupanua seti $\mathbb(R)$ kwa seti $\mathbb(C)$ huturuhusu kufafanua Kipeo kutoka nambari hasi, ambayo ilikuwa sababu ya kuanzishwa kwa seti ya nambari ngumu. Pia ni rahisi kuonyesha kuwa sehemu ndogo ya seti $\mathbb(C)$, iliyotolewa na $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, hutosheleza axioms zote za nambari halisi, kwa hivyo $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, au $R\subset\mathbb(C)$.
Muundo wa aljebra wa seti $\mathbb(C)$ kuhusiana na utendakazi wa kujumlisha na kuzidisha una sifa zifuatazo:
1. kubadilika kwa kujumlisha na kuzidisha
2. ushirikiano wa kujumlisha na kuzidisha
3. $0+i0$ - kipengele cha upande wowote cha kuongeza
4. $1+i0$ - kipengele cha upande wowote cha kuzidisha
5. Kuzidisha ni kusambaza kwa heshima na kuongeza
6. Kuna kinyume kimoja cha kujumlisha na kuzidisha.
Seti ya nambari zote za asili inaonyeshwa na herufi N. Nambari za asili ni nambari tunazotumia kuhesabu vitu: 1,2,3,4, ... Katika vyanzo vingine, nambari 0 pia inachukuliwa kuwa nambari ya asili.
Seti ya nambari zote kamili inaonyeshwa na herufi Z. Nambari zote ni nambari asilia, nambari sifuri na hasi:
1,-2,-3, -4, …
Sasa hebu tuongeze kwenye seti ya nambari zote seti ya sehemu zote za kawaida: 2/3, 18/17, -4/5 na kadhalika. Kisha tunapata seti ya nambari zote za busara.
Seti ya nambari za busara
Seti ya nambari zote za busara inaonyeshwa na herufi Q. Seti ya nambari zote za busara (Q) ni seti inayojumuisha nambari za fomu m/n, -m/n na nambari 0. kama n,m inaweza kuwa nambari yoyote ya asili. Ikumbukwe kwamba nambari zote za busara zinaweza kuwakilishwa kama PERIODIC yenye kikomo au isiyo na mwisho. Nukta. Mwongozo pia ni kweli kwamba sehemu yoyote ya desimali yenye kikomo au isiyo na kipimo inaweza kuandikwa kama nambari ya kimantiki.
Lakini vipi kuhusu, kwa mfano, nambari 2.0100100010...? Ni sehemu ya desimali NON-PERIODIC kabisa. Na haitumiki kwa nambari za busara.
Katika kozi ya algebra ya shule, nambari halisi (au halisi) pekee ndizo zinazosomwa. Seti ya nambari zote halisi inaonyeshwa na herufi R. Seti ya R ina nambari zote za busara na zisizo na mantiki.
Wazo la nambari zisizo na maana
Nambari zisizo na ukomo zote ni sehemu za desimali zisizo za muda. Nambari zisizo na maana hazina sifa maalum.
Kwa mfano, nambari zote zinazopatikana kwa kutoa mzizi wa mraba wa nambari asilia ambazo si miraba ya nambari asilia zitakuwa zisizo na mantiki. (√2, √3, √5, √6, n.k.).
Lakini haupaswi kufikiria kuwa nambari zisizo na maana zinapatikana tu kwa kuchimba mizizi ya mraba. Kwa mfano, nambari "pi" pia haina maana, na inapatikana kwa mgawanyiko. Na haijalishi unajaribu sana, huwezi kuipata kwa kuchukua mzizi wa mraba wa nambari yoyote asili.
Nyenzo katika kifungu hiki hutoa habari ya awali kuhusu nambari zisizo na mantiki. Kwanza tutatoa ufafanuzi wa nambari zisizo na maana na kuielezea. Hapo chini tunatoa mifano ya nambari zisizo na maana. Mwishowe, wacha tuangalie baadhi ya mbinu za kubaini kama nambari fulani haina mantiki au la.
Urambazaji wa ukurasa.
Ufafanuzi na mifano ya nambari zisizo na maana
Wakati wa kusoma desimali, tulizingatia kando desimali zisizo na kikomo zisizo za muda. Sehemu kama hizo huibuka wakati wa kupima urefu wa desimali wa sehemu ambazo haziwezi kulinganishwa na sehemu ya kitengo. Pia tulibaini kuwa sehemu zisizo na kikomo za decimal haziwezi kubadilishwa kuwa sehemu za kawaida (tazama kubadilisha sehemu za kawaida kuwa desimali na kinyume chake), kwa hivyo, nambari hizi sio nambari za busara, zinawakilisha kinachojulikana nambari zisizo na mantiki.
Kwa hivyo tunakuja ufafanuzi wa nambari zisizo na maana.
Ufafanuzi.
Nambari zinazowakilisha sehemu za decimal zisizo za muda katika nukuu za desimali huitwa nambari zisizo na mantiki.
Ufafanuzi wa sauti unaturuhusu kutoa mifano ya nambari zisizo na maana. Kwa mfano, sehemu ya desimali isiyo ya muda isiyo na kikomo 4.10110011100011110000... (idadi ya zile na sufuri huongezeka kwa moja kila wakati) ni nambari isiyo na mantiki. Hebu tutoe mfano mwingine wa nambari isiyo na mantiki: -22.353335333335... (idadi ya tatu zinazotenganisha nane huongezeka kwa mbili kila wakati).
Ikumbukwe kwamba nambari zisizo na mantiki hazipatikani kabisa katika mfumo wa sehemu za decimal zisizo za muda. Kawaida hupatikana katika fomu , nk, na pia kwa namna ya barua zilizoingia maalum. wengi zaidi mifano maarufu Nambari zisizo na mantiki katika nukuu hii ni mzizi wa mraba wa hesabu wa mbili, nambari "pi" π=3.141592..., nambari e=2.718281... na nambari ya dhahabu.
Nambari zisizo na mantiki pia zinaweza kufafanuliwa kwa suala la nambari halisi, ambazo huchanganya nambari za busara na zisizo na maana.
Ufafanuzi.
Nambari zisizo na mantiki ni nambari halisi ambazo sio nambari za busara.
Je, nambari hii haina mantiki?
Wakati nambari haijatolewa kama sehemu ya desimali, lakini kama mzizi fulani, logarithm, n.k., basi kujibu swali la ikiwa haina mantiki ni ngumu sana katika hali nyingi.
Bila shaka, wakati wa kujibu swali lililoulizwa, ni muhimu sana kujua ni nambari gani ambazo sio za busara. Kutoka kwa ufafanuzi wa nambari zisizo na maana inafuata kwamba nambari zisizo na maana sio nambari za busara. Kwa hivyo, nambari zisizo na maana SI:
- sehemu za desimali zenye mwisho na zisizo na kikomo.
Pia, muundo wowote wa nambari za busara zilizounganishwa na ishara za shughuli za hesabu (+, -, ·, :) sio nambari isiyo na maana. Hii ni kwa sababu jumla, tofauti, bidhaa na mgawo wa nambari mbili za busara ni nambari ya kimantiki. Kwa mfano, maadili ya misemo na ni nambari za busara. Hapa tunaona kwamba ikiwa misemo kama hiyo ina nambari moja isiyo na mantiki kati ya nambari za busara, basi thamani ya usemi mzima itakuwa nambari isiyo na mantiki. Kwa mfano, katika usemi nambari haina mantiki, na nambari zilizobaki ni za busara, kwa hivyo ni nambari isiyo na maana. Ikiwa ingekuwa nambari ya busara, basi mantiki ya nambari ingefuata, lakini sio busara.
Ikiwa usemi unaobainisha nambari una nambari kadhaa zisizo na mantiki, ishara za mizizi, logariti, kazi za trigonometric, nambari π, e, n.k., basi inahitajika kuthibitisha kutokuwa na mantiki au mantiki ya nambari fulani katika kila kesi mahususi. Hata hivyo, kuna idadi ya matokeo tayari kupatikana ambayo inaweza kutumika. Wacha tuorodheshe kuu.
Imethibitishwa kuwa mzizi wa kth wa nambari kamili ni nambari ya busara ikiwa tu nambari iliyo chini ya mzizi ni nguvu ya kth ya nambari nyingine kamili; katika hali zingine, mzizi kama huo hubainisha nambari isiyo na mantiki. Kwa mfano, nambari na hazina maana, kwani hakuna nambari kamili ambayo mraba wake ni 7, na hakuna nambari ambayo kuinua kwa nguvu ya tano kunatoa nambari 15. Na nambari sio zisizo na maana, kwani na.
Kama kwa logarithms, wakati mwingine inawezekana kudhibitisha kutokuwa na akili kwa kutumia njia ya kupingana. Kama mfano, wacha tuthibitishe kuwa logi 2 3 ni nambari isiyo na maana.
Wacha tuchukue kuwa logi 2 3 ni nambari ya busara, sio isiyo na maana, ambayo ni, inaweza kuwakilishwa kama sehemu ya kawaida ya m/n. na uturuhusu kuandika mlolongo ufuatao wa usawa: . Usawa wa mwisho hauwezekani, kwa kuwa upande wake wa kushoto nambari isiyo ya kawaida, na upande wa kulia - hata. Kwa hivyo tulikuja kwa mkanganyiko, ambayo inamaanisha kuwa dhana yetu iligeuka kuwa sio sahihi, na hii ilithibitisha kuwa logi 2 3 ni nambari isiyo na maana.
Kumbuka kuwa lna kwa mantiki yoyote chanya na isiyo ya moja a ni nambari isiyo na mantiki. Kwa mfano, na ni nambari zisizo na maana.
Pia inathibitishwa kuwa nambari e a kwa mantiki yoyote isiyo ya sifuri a haina mantiki, na kwamba nambari π z kwa nambari yoyote isiyo sifuri z haina mantiki. Kwa mfano, nambari hazina mantiki.
Nambari zisizo na mantiki pia ni kazi za trigonometriki sin, cos, tg na ctg kwa thamani yoyote ya kimantiki na isiyo ya sufuri ya hoja. Kwa mfano, sin1 , tan(−4) , cos5,7 ni nambari zisizo na mantiki.
Kuna matokeo mengine yaliyothibitishwa, lakini tutajiwekea kikomo kwa yale ambayo tayari yameorodheshwa. Inapaswa pia kusema kwamba wakati wa kuthibitisha matokeo ya juu, nadharia inayohusishwa na nambari za algebra Na nambari za kupita maumbile.
Kwa kumalizia, tunaona kwamba hatupaswi kufanya hitimisho la haraka kuhusu kutokuwa na maana kwa nambari zilizotolewa. Kwa mfano, inaonekana wazi kwamba nambari isiyo na mantiki kwa kiwango kisicho na maana ni nambari isiyo na mantiki. Hata hivyo, hii sio wakati wote. Ili kuthibitisha ukweli uliotajwa, tunawasilisha shahada. Inajulikana kuwa - ni nambari isiyo na mantiki, na pia imethibitishwa kuwa - ni nambari isiyo na mantiki, lakini ni nambari ya kimantiki. Unaweza pia kutoa mifano ya nambari zisizo na maana, jumla, tofauti, bidhaa na mgawo ambao ni nambari za busara. Zaidi ya hayo, mantiki au kutokuwa na mantiki kwa nambari π+e, π−e, π·e, π π, π e na zingine nyingi bado hazijathibitishwa.
Bibliografia.
- Hisabati. Daraja la 6: elimu. kwa elimu ya jumla taasisi / [N. Ya. Vilenkin na wengine]. - Toleo la 22., Mch. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Hisabati (mwongozo kwa wale wanaoingia shule za ufundi): Proc. posho.- M.; Juu zaidi shule, 1984.-351 p., mgonjwa.