Seti ya nambari kuu inamaanisha nini? Nambari kuu: historia na ukweli

• Tafsiri

Sifa za nambari kuu zilisomwa kwanza na wanahisabati Ugiriki ya Kale. Wanahisabati wa shule ya Pythagorean (500 - 300 KK) walipendezwa kimsingi na sifa za fumbo na nambari za nambari kuu. Walikuwa wa kwanza kuja na mawazo kuhusu nambari kamili na za kirafiki.

Nambari kamili ina jumla ya vigawanyiko vyake sawa na yenyewe. Kwa mfano, wagawanyaji sahihi wa nambari 6 ni 1, 2 na 3. 1 + 2 + 3 = 6. Wagawanyiko wa nambari 28 ni 1, 2, 4, 7 na 14. Zaidi ya hayo, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Nambari huitwa kirafiki ikiwa jumla ya wagawanyiko sahihi wa nambari moja ni sawa na nyingine, na kinyume chake - kwa mfano, 220 na 284. Tunaweza kusema kwamba nambari kamili ni ya kirafiki kwa yenyewe.

Kufikia wakati wa Vipengele vya Euclid mnamo 300 B.K. kadhaa tayari zimethibitishwa mambo muhimu kuhusu nambari kuu. Katika Kitabu cha IX cha Vipengele, Euclid alithibitisha kwamba kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu. Hii, kwa njia, ni moja ya mifano ya kwanza ya kutumia uthibitisho kwa kupingana. Pia anathibitisha Nadharia ya Msingi ya Hesabu - kila nambari kamili inaweza kuwakilishwa kipekee kama bidhaa ya nambari kuu.

Pia alionyesha kwamba ikiwa nambari 2n-1 ni ya msingi, basi nambari 2n-1 * (2n-1) itakuwa kamili. Mtaalamu mwingine wa hisabati, Euler, aliweza kuonyesha mwaka wa 1747 kwamba wote hata nambari kamili inaweza kuandikwa katika fomu hii. Hadi leo haijulikani ikiwa kuna nambari zisizo za kawaida.

Katika mwaka wa 200 BC. Eratosthenes ya Kigiriki ilikuja na algoriti ya kutafuta nambari kuu inayoitwa Ungo wa Eratosthenes.

Na kisha kulikuwa na mapumziko makubwa katika historia ya utafiti wa nambari kuu, zinazohusiana na Zama za Kati.

Ugunduzi ufuatao ulifanywa tayari mwanzoni mwa karne ya 17 na mwanahisabati Fermat. Alithibitisha dhana ya Albert Girard kwamba nambari yoyote kuu ya fomu 4n+1 inaweza kuandikwa kipekee kama jumla ya miraba miwili, na pia akatunga nadharia kwamba nambari yoyote inaweza kuandikwa kama jumla ya miraba minne.

Yeye maendeleo mbinu mpya factorization ya idadi kubwa, na akaionyesha kwenye namba 2027651281 = 44021 × 46061. Pia alithibitisha Theorem Ndogo ya Fermat: ikiwa p ni nambari kuu, basi kwa integer yoyote itakuwa kweli kwamba p = modulo p.

Taarifa hii inathibitisha nusu ya kile kilichojulikana kama "dhahania ya Kichina" na ilianza miaka ya 2000: nambari kamili n ni kuu ikiwa na ikiwa 2 n -2 inaweza kugawanywa na n. Sehemu ya pili ya nadharia iligeuka kuwa ya uwongo - kwa mfano, 2,341 - 2 inaweza kugawanywa na 341, ingawa nambari 341 ni mchanganyiko: 341 = 31 × 11.

Nadharia Ndogo ya Fermat ilitumika kama msingi wa matokeo mengine mengi katika nadharia ya nambari na mbinu za kupima ikiwa nambari ni za kwanza - nyingi ambazo bado zinatumika leo.

Fermat aliwasiliana sana na watu wa wakati wake, haswa na mtawa anayeitwa Maren Mersenne. Katika moja ya barua zake, alidhani kwamba nambari za fomu 2 n +1 zitakuwa za msingi kila wakati ikiwa n ni nguvu ya mbili. Alijaribu hii kwa n = 1, 2, 4, 8 na 16, na alikuwa na hakika kwamba katika kesi ambapo n haikuwa nguvu ya mbili, nambari hiyo haikuwa ya msingi. Nambari hizi zinaitwa nambari za Fermat, na miaka 100 tu baadaye Euler alionyesha kuwa nambari inayofuata, 2 32 + 1 = 4294967297, inaweza kugawanywa na 641, na kwa hivyo sio mkuu.

Nambari za fomu 2 n - 1 pia zimekuwa somo la utafiti, kwa kuwa ni rahisi kuonyesha kwamba ikiwa n ni mchanganyiko, basi nambari yenyewe pia ni mchanganyiko. Nambari hizi zinaitwa nambari za Mersenne kwa sababu alizisoma sana.

Lakini sio nambari zote za fomu 2 n - 1, ambapo n ni mkuu, ni kuu. Kwa mfano, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Hii iligunduliwa kwanza mwaka wa 1536.

Kwa miaka mingi, nambari za aina hii ziliwapa wanahisabati idadi kubwa zaidi inayojulikana. nambari kuu. Kwamba M 19 ilithibitishwa na Cataldi mnamo 1588, na kwa miaka 200 ilikuwa nambari kuu inayojulikana zaidi, hadi Euler alithibitisha kuwa M 31 pia ilikuwa kuu. Rekodi hii ilisimama kwa miaka mia nyingine, na kisha Lucas alionyesha kuwa M 127 ni mkuu (na hii tayari ni nambari ya tarakimu 39), na baada ya utafiti huo uliendelea na ujio wa kompyuta.

Mnamo 1952, ukuu wa nambari M 521, M 607, M 1279, M 2203 na M 2281 ilithibitishwa.

Kufikia 2005, nakala 42 za Mersenne zilikuwa zimepatikana. Kubwa zaidi yao, M 25964951, ina tarakimu 7816230.

Kazi ya Euler ilikuwa na athari kubwa kwa nadharia ya nambari, pamoja na nambari kuu. Alipanua Theorem Ndogo ya Fermat na kuanzisha φ-function. Ilianzisha nambari ya 5 ya Fermat 2 32 +1, ilipata jozi 60 za nambari za kirafiki, na kuunda (lakini haikuweza kuthibitisha) sheria ya usawa wa mara nne.

Alikuwa wa kwanza kuanzisha mbinu za uchanganuzi wa hisabati na kuendeleza nadharia ya nambari ya uchanganuzi. Alithibitisha kwamba sio tu mfululizo wa harmonic ∑ (1/n), lakini pia mfululizo wa fomu

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Matokeo yaliyopatikana kwa jumla ya upatanishi wa nambari kuu pia hutofautiana. Jumla ya maneno n ya safu ya usawa inakua takriban kama logi(n), na safu ya pili inatofautiana polepole zaidi kama log[ log(n)]. Hii ina maana kwamba, kwa mfano, jumla ya uwiano wa nambari zote kuu zilizopatikana hadi sasa zitatoa 4 tu, ingawa mfululizo bado unatofautiana.

Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba nambari kuu zinasambazwa kwa nasibu kati ya nambari kamili. Kwa mfano, kati ya nambari 100 mara moja kabla ya 10000000 kuna primes 9, na kati ya namba 100 mara moja baada ya thamani hii kuna 2 tu. Lakini juu ya makundi makubwa namba kuu zinasambazwa sawasawa. Legendre na Gauss walishughulikia masuala ya usambazaji wao. Gauss mara moja alimwambia rafiki yake kwamba katika dakika 15 za bure yeye huhesabu idadi ya primes katika nambari 1000 zinazofuata. Kufikia mwisho wa maisha yake, alikuwa amehesabu nambari zote kuu hadi milioni 3. Legendre na Gauss walihesabu kwa usawa kwamba kwa n kubwa msongamano mkuu ni 1/logi(n). Legendre alikadiria idadi ya nambari kuu katika safu kutoka 1 hadi n kama

π(n) = n/(logi(n) - 1.08366)

Na Gauss ni kama kiunganishi cha logarithmic

π(n) = ∫ 1/logi(t) dt

Na muda wa kuunganishwa kutoka 2 hadi n.

Taarifa kuhusu msongamano wa primes 1/logi(n) inajulikana kama Nadharia ya Usambazaji Mkuu. Walijaribu kuthibitisha hilo katika karne yote ya 19, na maendeleo yalipatikana na Chebyshev na Riemann. Waliiunganisha na nadharia ya Riemann, dhahania ambayo bado haijathibitishwa kuhusu usambazaji wa sufuri za chaguo za kukokotoa za Riemann zeta. Msongamano wa nambari kuu ulithibitishwa kwa wakati mmoja na Hadamard na Vallée-Poussin mnamo 1896.

Bado kuna maswali mengi ambayo hayajatatuliwa katika nadharia ya nambari kuu, ambayo baadhi yake ni ya mamia ya miaka:

• Nadharia kuu pacha ni kuhusu idadi isiyo na kikomo ya jozi za nambari kuu ambazo hutofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa 2.
• Dhana ya Goldbach: nambari yoyote sawa, kuanzia 4, inaweza kuwakilishwa kama jumla ya nambari kuu mbili.
• Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n 2 + 1?
• Inawezekana kila wakati kupata nambari kuu kati ya n 2 na (n + 1) 2? (ukweli kwamba kila wakati kuna nambari kuu kati ya n na 2n ilithibitishwa na Chebyshev)
• Je, idadi ya matoleo ya awali ya Fermat haina kikomo? Je, kuna chaguzi zozote za Fermat baada ya 4?
• kuna maendeleo ya hesabu ya primes mfululizo kwa urefu wowote? kwa mfano, kwa urefu wa 4: 251, 257, 263, 269. Urefu wa juu uliopatikana ni 26.
• Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya seti za nambari kuu tatu mfululizo katika maendeleo ya hesabu?
• n 2 - n + 41 ni nambari kuu ya 0 ≤ n ≤ 40. Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu kama hizo? Swali sawa kwa fomula n 2 - 79 n + 1601. Nambari hizi ni kuu kwa 0 ≤ n ≤ 79.
• Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n# + 1? (n# ni matokeo ya kuzidisha nambari zote kuu chini ya n)
• Kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n# -1 ?
• Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n? + 1?
• Je, kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu za fomu n? - 1?
• ikiwa p ni mkuu, je 2 p -1 huwa haina miraba kuu kati ya mambo yake?
• mlolongo wa Fibonacci una idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu?

Nambari kuu pacha kubwa zaidi ni 2003663613 × 2 195000 ± 1. Zinajumuisha tarakimu 58711 na ziligunduliwa mwaka wa 2007.

Nambari kuu kubwa ya kiwanda (ya aina n! ± 1) ni 147855! - 1. Ina tarakimu 142891 na ilipatikana mwaka wa 2002.

Nambari kuu kubwa zaidi ya awali (idadi ya fomu n# ± 1) ni 1098133# + 1.

Uhesabuji wa wagawanyaji. Kwa ufafanuzi, nambari n ni kuu ikiwa tu haijagawanywa kwa usawa na 2 na nambari zingine kamili isipokuwa 1 na yenyewe. Fomula iliyo hapo juu huondoa hatua zisizo za lazima na huokoa wakati: kwa mfano, baada ya kuangalia ikiwa nambari inaweza kugawanywa na 3, hakuna haja ya kuangalia ikiwa inaweza kugawanywa na 9.

• Ghorofa(x) hufanya mzunguko wa x hadi nambari kamili iliyo karibu ambayo ni chini ya au sawa na x.

Jifunze kuhusu hesabu za msimu. Operesheni "x mod y" (mod ni ufupisho wa neno la Kilatini "modulo", yaani, "moduli") inamaanisha "gawanya x kwa y na kupata salio." Kwa maneno mengine, katika hesabu ya msimu, juu ya kufikia thamani fulani, ambayo inaitwa moduli, nambari "zinageuka" hadi sufuri tena. Kwa mfano, saa huweka muda na moduli ya 12: inaonyesha 10, 11 na 12 kamili na kisha inarudi kwa 1.

• Vikokotoo vingi vina ufunguo wa mod. Mwisho wa sehemu hii unaonyesha jinsi ya kutathmini utendaji huu kwa idadi kubwa.

Jifunze kuhusu mitego ya Nadharia Ndogo ya Fermat. Nambari zote ambazo hali za mtihani hazijafikiwa ni za mchanganyiko, lakini nambari zilizobaki ni tu pengine zimeainishwa kuwa rahisi. Ikiwa unataka kuepuka matokeo yasiyo sahihi, tafuta n katika orodha ya "nambari za Carmichael" (nambari za mchanganyiko zinazokidhi mtihani huu) na "nambari bandia za Fermat" (nambari hizi zinalingana na masharti ya jaribio kwa baadhi ya maadili pekee a).

Ikiwa inafaa, tumia mtihani wa Miller-Rabin. Ingawa njia hii ni ngumu kuhesabu kwa mkono, mara nyingi hutumiwa katika programu za kompyuta. Inatoa kasi inayokubalika na hutoa makosa machache kuliko njia ya Fermat. Nambari iliyojumuishwa haitakubaliwa kama nambari kuu ikiwa hesabu zitafanywa kwa zaidi ya ¼ ya thamani. a. Ikiwa utachagua kwa nasibu maana tofauti a na kwa wote mtihani utatoa matokeo chanya, tunaweza kudhani kwa kiwango cha juu cha kujiamini kuwa n ni nambari kuu.

Kwa idadi kubwa, tumia hesabu za msimu. Ikiwa huna kikokotoo kilicho na mod mkononi, au kikokotoo chako hakijaundwa kushughulikia idadi kubwa kama hiyo, tumia sifa za nguvu na hesabu za moduli ili kurahisisha hesabu. Chini ni mfano kwa 3 50 (\mtindo wa kuonyesha 3^(50)) Njia ya 50:

• Andika upya usemi kwa zaidi fomu rahisi: mod 50. Kwa hesabu za mikono, kurahisisha zaidi kunaweza kuhitajika.
• (3 25 ∗ 3 25) (\mtindo wa kuonyesha (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Hapa tulizingatia mali ya kuzidisha kwa msimu.
• 3 25 (\mtindo wa kuonyesha 3^(25)) muundo 50 = 43.
• (3 25 (\mtindo wa kuonyesha (3^(25))) muundo 50 ∗ 3 25 (\mtindo wa kuonyesha *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\mtindo wa kuonyesha (43*43)) muundo 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849) muundo 50.
• = 49 (\mtindo wa kuonyesha =49).

Nambari ni tofauti: asili, busara, busara, integer na fractional, chanya na hasi, ngumu na kuu, isiyo ya kawaida na hata, halisi, nk Kutoka kwa makala hii unaweza kujua ni nambari gani kuu.

Ni nambari gani zinazoitwa "rahisi" kwa Kiingereza?

Mara nyingi, watoto wa shule hawajui jinsi ya kujibu moja ya maswali rahisi katika hisabati mwanzoni, juu ya nambari kuu ni nini. Mara nyingi huchanganya nambari kuu na nambari asilia (yaani, nambari ambazo watu hutumia wakati wa kuhesabu vitu, wakati katika vyanzo vingine huanza na sifuri, na kwa zingine na moja). Lakini hizi ni dhana mbili tofauti kabisa. Nambari kuu ni nambari asilia, ambayo ni, nambari kamili na nambari chanya ambazo ni kubwa kuliko moja na ambazo zina vigawanyiko 2 tu vya asili. Zaidi ya hayo, mojawapo ya vigawanyiko hivi ni nambari iliyotolewa, na ya pili ni moja. Kwa mfano, tatu ni nambari kuu kwa sababu haiwezi kugawanywa bila salio na nambari yoyote isipokuwa yenyewe na moja.

Nambari za mchanganyiko

Kinyume cha nambari kuu ni nambari za mchanganyiko. Pia ni ya asili, pia ni kubwa zaidi kuliko moja, lakini hawana mbili, lakini idadi kubwa ya wagawanyiko. Kwa hivyo, kwa mfano, nambari 4, 6, 8, 9, nk ni za asili, zenye mchanganyiko, lakini sio nambari kuu. Kama unaweza kuona, hizi ni nambari hata, lakini sio zote. Lakini "mbili" ni nambari sawa na "nambari ya kwanza" katika safu ya nambari kuu.

Kufuatia

Ili kuunda mfululizo wa nambari kuu, ni muhimu kuchagua kutoka kwa nambari zote za asili, kwa kuzingatia ufafanuzi wao, yaani, unahitaji kutenda kwa kupingana. Inahitajika kuchunguza kila nambari asilia chanya ili kuona ikiwa ina vigawanyiko zaidi ya viwili. Wacha tujaribu kuunda safu (mlolongo) ambao una nambari kuu. Orodha huanza na mbili, ikifuatiwa na tatu, kwani inaweza kugawanywa peke yake na moja. Fikiria nambari ya nne. Je, ina vigawanyiko vingine zaidi ya vinne na kimoja? Ndio, nambari hiyo ni 2. Kwa hivyo nne sio nambari kuu. Tano pia ni ya msingi (haijagawanywa na nambari nyingine yoyote, isipokuwa 1 na 5), ​​lakini sita inaweza kugawanywa. Na kwa ujumla, ukifuata nambari zote hata, utaona kuwa isipokuwa "mbili", hakuna hata mmoja wao aliye mkuu. Kutoka kwa hili tunahitimisha kwamba hata nambari, isipokuwa mbili, sio kuu. Ugunduzi mwingine: nambari zote zinazogawanywa na tatu, isipokuwa zile tatu zenyewe, ziwe sawa au zisizo za kawaida, pia sio kuu (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, nk.). Vile vile hutumika kwa nambari ambazo zinaweza kugawanywa na tano na saba. Wingi wao wote pia si rahisi. Hebu tufanye muhtasari. Kwa hivyo, nambari rahisi za nambari moja zinajumuisha nambari zote zisizo za kawaida isipokuwa moja na tisa, na hata "mbili" ni nambari sawa. Makumi wenyewe (10, 20,... 40, nk) si rahisi. Nambari za nambari mbili, nambari tatu, nk zinaweza kuamua kulingana na kanuni zilizo hapo juu: ikiwa hawana wagawanyiko isipokuwa wao wenyewe na mmoja.

Nadharia juu ya mali ya nambari kuu

Kuna sayansi ambayo inasoma sifa za nambari kamili, pamoja na nambari kuu. Hili ni tawi la hisabati linaloitwa juu. Mbali na mali ya nambari kamili, yeye pia anashughulika na nambari za algebraic na transcendental, pamoja na kazi za asili tofauti zinazohusiana na hesabu ya nambari hizi. Katika masomo haya, pamoja na mbinu za kimsingi na za algebra, zile za uchambuzi na kijiometri pia hutumiwa. Hasa, "Nadharia ya Nambari" inahusika na utafiti wa nambari kuu.

Nambari kuu ni "vizuizi vya ujenzi" vya nambari za asili

Katika hesabu kuna nadharia inayoitwa theorem ya msingi. Kulingana na hilo, nambari yoyote ya asili, isipokuwa moja, inaweza kuwakilishwa kama bidhaa, sababu ambazo ni nambari kuu, na mpangilio wa mambo ni wa kipekee, ambayo inamaanisha kuwa njia ya uwakilishi pia ni ya kipekee. Inaitwa kuhesabu nambari asilia kuwa sababu kuu. Kuna jina lingine la mchakato huu - factorization ya idadi. Kulingana na hili, nambari kuu zinaweza kuitwa "nyenzo za ujenzi", "vitalu" kwa ajili ya kujenga nambari za asili.

Tafuta nambari kuu. Vipimo vya unyenyekevu

Wanasayansi wengi kutoka nyakati tofauti walijaribu kutafuta kanuni (mifumo) ya kutafuta orodha ya nambari kuu. Sayansi inajua mifumo inayoitwa ungo wa Atkin, ungo wa Sundartham, na ungo wa Eratosthenes. Walakini, hazitoi matokeo yoyote muhimu, na mtihani rahisi hutumiwa kupata nambari kuu. Wanahisabati pia waliunda algoriti. Kawaida huitwa vipimo vya ubora. Kwa mfano, kuna mtihani uliotengenezwa na Rabin na Miller. Inatumiwa na waandishi wa maandishi. Pia kuna jaribio la Kayal-Agrawal-Sasquena. Hata hivyo, licha ya usahihi wa kutosha, ni vigumu sana kuhesabu, ambayo inapunguza umuhimu wake wa vitendo.

Je, seti ya nambari kuu ina kikomo?

Mwanasayansi wa kale wa Kigiriki Euclid aliandika katika kitabu chake "Elements" kwamba seti ya primes ni infinity. Alisema hivi: “Wacha tufikirie kwa muda kwamba idadi kuu ina kikomo. Kisha hebu tuwazidishe kwa kila mmoja, na kuongeza moja kwa bidhaa. Nambari iliyopatikana kama matokeo ya vitendo hivi rahisi haiwezi kugawanywa na safu yoyote ya nambari kuu, kwa sababu iliyobaki itakuwa moja kila wakati. Hii inamaanisha kuwa kuna nambari nyingine ambayo bado haijajumuishwa kwenye orodha ya nambari kuu. Kwa hiyo, dhana yetu si ya kweli, na seti hii haiwezi kuwa na kikomo. Kando na uthibitisho wa Euclid, kuna fomula ya kisasa zaidi iliyotolewa na mwanahisabati wa Uswizi wa karne ya kumi na nane Leonhard Euler. Kulingana na hilo, jumla ya kurudishana kwa jumla ya nambari za n za kwanza hukua bila kikomo kadiri nambari n inavyoongezeka. Na hapa kuna fomula ya nadharia kuhusu usambazaji wa nambari kuu: (n) hukua kama n/ln (n).

Nambari kuu kuu ni ipi?

Leonard Euler huyo aliweza kupata idadi kubwa zaidi ya wakati wake. Hii ni 2 31 - 1 = 2147483647. Hata hivyo, kufikia 2013, nyingine sahihi zaidi katika orodha ya nambari kuu ilihesabiwa - 2 57885161 - 1. Inaitwa nambari ya Mersenne. Ina takriban tarakimu milioni 17 za desimali. Kama unaweza kuona, nambari iliyopatikana na mwanasayansi wa karne ya kumi na nane ni ndogo mara kadhaa kuliko hii. Ilipaswa kuwa hivyo, kwa sababu Euler alifanya hesabu hii kwa mikono, ilhali mwana wetu wa kisasa pengine alisaidiwa na kompyuta. Kwa kuongezea, nambari hii ilipatikana katika Kitivo cha Hisabati katika moja ya idara za Amerika. Nambari zilizopewa jina la mwanasayansi huyu hufaulu mtihani wa ubora wa Luc-Lemaire. Walakini, sayansi haitaki kuishia hapo. Wakfu wa Electronic Frontier Foundation, ambao ulianzishwa mwaka 1990 nchini Marekani (EFF), umetoa zawadi ya fedha kwa kupata idadi kubwa ya watu wakuu. Na ikiwa hadi 2013 tuzo hiyo ilitolewa kwa wanasayansi hao ambao wangewapata kutoka kati ya milioni 1 na 10. nambari za desimali, basi leo takwimu hii imefikia kutoka milioni 100 hadi bilioni 1. Zawadi hizo ni kati ya dola 150 hadi 250 elfu za Kimarekani.

Majina ya nambari kuu maalum

Nambari hizo ambazo zilipatikana shukrani kwa algorithms iliyoundwa na wanasayansi fulani na kupitisha mtihani wa unyenyekevu huitwa maalum. Hapa kuna baadhi yao:

1. Merssen.

4. Cullen.

6. Mills et al.

Urahisi wa nambari hizi, zilizopewa jina la wanasayansi hapo juu, huanzishwa kwa kutumia vipimo vifuatavyo:

1. Luc-Lemaire.

2. Pepina.

3. Riesel.

4. Billhart - Lemaire - Selfridge na wengine.

Sayansi ya kisasa haiishii hapo, na labda katika siku za usoni ulimwengu utajifunza majina ya wale ambao waliweza kupokea tuzo ya $ 250,000 kwa kupata nambari kuu kuu.

Mgawanyiko wa nambari za asili katika nambari kuu na za mchanganyiko unahusishwa na mwanahisabati wa zamani wa Uigiriki Pythagoras. Na ukifuata Pythagoras, basi seti ya nambari za asili inaweza kugawanywa katika madarasa matatu: (1) - seti inayojumuisha nambari moja - moja; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) - seti ya nambari kuu; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) - seti ya nambari za mchanganyiko.

Seti ya pili inaficha siri nyingi tofauti. Lakini kwanza, hebu tuone nambari kuu ni nini. Tunafungua "Kamusi ya Encyclopedic ya Hisabati" (Yu. V. Prokhorov, nyumba ya uchapishaji "Soviet Encyclopedia", 1988) na kusoma:

"Nambari kuu ni nambari chanya kubwa kuliko moja, ambayo haina vigawanyiko isipokuwa yenyewe na moja: 2,3,5,7,11,13,

Wazo la nambari kuu ni la msingi katika utafiti wa mgawanyiko wa nambari asilia; yaani, nadharia ya kimsingi ya hesabu inasema kwamba kila nambari chanya isipokuwa 1 inaweza kugawanywa kwa kipekee kuwa bidhaa ya nambari kuu (mpangilio wa sababu hauzingatiwi). Kuna nambari kuu nyingi sana (pendekezo hili, linaloitwa nadharia ya Euclid, lilijulikana kwa wanahisabati wa Ugiriki wa kale; uthibitisho wake unaweza kupatikana katika kitabu cha 9 cha Euclid's Elements). P. Dirichlet (1837) alibainisha kuwa katika maendeleo ya hesabu a + bx kwa x = 1. ,2,c yenye nambari kamili za coprime a na b pia ina nambari kuu nyingi sana.

Ili kupata nambari kuu kutoka 1 hadi x, inajulikana kutoka karne ya 3. BC e. Mbinu ya ungo ya Eratosthenes. Uchunguzi wa mfuatano (*) wa nambari kuu kutoka 1 hadi x unaonyesha kuwa kadiri x inavyoongezeka inakuwa, kwa wastani, adimu. Kuna sehemu ndefu za mfululizo wa nambari asilia, kati ya hizo hakuna nambari kuu moja (Theorem 4). Wakati huo huo, kuna nambari kuu kama hizo, tofauti kati ya ambayo ni sawa na 2 (kinachojulikana kama mapacha). Bado haijulikani (1987) ikiwa seti ya mapacha kama haya ni ya mwisho au isiyo na mwisho. Jedwali la nambari kuu ndani ya nambari za asili milioni 11 zinaonyesha uwepo wa mapacha wakubwa sana (kwa mfano, 10,006,427 na 10,006,429).

Kutafuta usambazaji wa nambari kuu katika safu ya asili ya nambari ni shida ngumu sana katika nadharia ya nambari. Imeundwa kama uchunguzi wa tabia isiyo na dalili ya kitendakazi kinachoashiria idadi ya nambari kuu zisizozidi. nambari chanya X. Kutoka kwa nadharia ya Euclid ni wazi kwamba ni lini. L. Euler alianzisha kazi ya zeta mnamo 1737.

Pia alithibitisha hilo wakati

Ambapo muhtasari unafanywa juu ya nambari zote za asili, na bidhaa inachukuliwa juu ya nambari zote kuu. Utambulisho huu na jumla zake zina jukumu la msingi katika nadharia ya usambazaji wa nambari kuu. Kulingana na hili, L. Euler alithibitisha kuwa mfululizo na bidhaa kwa heshima na p mkuu zinatofautiana. Zaidi ya hayo, L. Euler alianzisha kwamba kuna idadi kubwa "nyingi", kwa sababu

Na wakati huo huo, karibu kila kitu nambari kamili ni mchanganyiko, tangu saa.

na, kwa yoyote (yaani, kile kinachokua kama kazi). Kulingana na wakati, matokeo muhimu yanayofuata ambayo yanaboresha nadharia ya Chebyshev ndio kinachojulikana. sheria isiyo na dalili ya usambazaji wa nambari kuu (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), ambayo ilisema kwamba kikomo cha uwiano wa ni sawa na 1. Baadaye, juhudi kubwa za wanahisabati zilielekezwa kufafanua hali ya kutokuwa na dalili. sheria ya usambazaji wa nambari kuu. Maswali ya usambazaji wa nambari kuu husomwa kwa kutumia njia za kimsingi na njia za uchambuzi wa hesabu.

Hapa ni mantiki kutoa uthibitisho wa baadhi ya nadharia zilizotolewa katika makala.

Lemma 1. Ikiwa gcd(a, b)=1, basi kuna nambari kamili x, y kama hizo.

Ushahidi. Acha a na b ziwe nambari kuu. Fikiria seti ya J ya nambari zote za asili z, zinazowakilishwa katika fomu, na uchague nambari ndogo zaidi d ndani yake.

Hebu tuthibitishe kwamba a inaweza kugawanywa na d. Gawanya a kwa d na salio: na acha. Kwa kuwa ina fomu, kwa hivyo,

Tunaona hilo.

Kwa kuwa tulidhani kuwa d ndio nambari ndogo zaidi katika J, tunapata ukinzani. Hii ina maana a inaweza kugawanywa na d.

Hebu tuthibitishe kwa njia sawa kwamba b inagawanywa na d. Kwa hivyo d=1. Lema imethibitishwa.

Nadharia 1. Ikiwa nambari a na b ni coprime na bidhaa bx inaweza kugawanywa kwa a, basi x inaweza kugawanywa kwa a.

Uthibitisho1. Lazima tuthibitishe kuwa shoka linaweza kugawanywa kwa b na gcd(a,b)=1, kisha x inaweza kugawanywa na b.

Kwa Lemma 1, kuna x, y vile vile. Basi ni wazi inaweza kugawanywa na b.

Uthibitisho 2. Zingatia seti ya J ya nambari zote asilia z ili zc inaweza kugawanywa na b. Hebu d iwe nambari ndogo zaidi katika J. Ni rahisi kuona hilo. Sawa na uthibitisho wa Lemma 1, inathibitishwa kuwa a inagawanywa kwa d na b inaweza kugawanywa na d.

Lemma 2. Ikiwa nambari q,p1,p2,pn ni kuu na bidhaa inaweza kugawanywa kwa q, basi moja ya nambari pi ni sawa na q.

Ushahidi. Kwanza kabisa, kumbuka kuwa ikiwa nambari kuu p inaweza kugawanywa na q, basi p=q. Hii inafuatia mara moja kauli ya lemma ya n=1. Kwa n=2 inafuata moja kwa moja kutoka kwa Nadharia ya 1: ikiwa p1p2 inaweza kugawanywa na nambari kuu q na, basi p2 inaweza kugawanywa na q(i.e).

Tutathibitisha lemma ya n=3 kama ifuatavyo. Acha p1 p2 p3 igawanywe kwa q. Ikiwa p3 = q, basi kila kitu kinathibitishwa. Ikiwa, basi kulingana na Theorem 1, p1 p2 inaweza kugawanywa na q. Kwa hivyo, tulipunguza kesi n = 3 hadi kesi iliyozingatiwa tayari n = 2.

Vivyo hivyo, kutoka n=3 tunaweza kwenda n=4, kisha hadi n=5, na kwa ujumla, tukichukulia kwamba kauli n=k ya lemma imethibitishwa, tunaweza kuithibitisha kwa urahisi kwa n=k+ 1. Hii inatuaminisha kuwa lema ni kweli kwa wote n.

Nadharia ya msingi ya hesabu. Kila nambari ya asili inaweza kuhesabiwa kwa njia ya kipekee.

Ushahidi. Tuseme kuwa kuna mtengano mbili wa nambari a kuwa sababu kuu:

Kwa sababu sehemu ya kulia inagawanywa na q1, kisha upande wa kushoto wa usawa lazima ugawanywe na q1. Kulingana na Lemma 2, moja ya nambari ni sawa na q1. Wacha tughairi pande zote mbili za usawa kufikia q1.

Wacha tutekeleze hoja sawa kwa q2, kisha kwa q3, kwa qi. Mwishoni, mambo yote ya kulia yataghairi na kubaki 1. Kwa kawaida, upande wa kushoto hakutakuwa na chochote isipokuwa moja. Kutokana na hili tunahitimisha kwamba upanuzi mbili na inaweza kutofautiana tu katika utaratibu wa mambo. Nadharia imethibitishwa.

Nadharia ya Euclid. Msururu wa nambari kuu hauna mwisho.

Ushahidi. Tuseme kwamba mfululizo wa nambari kuu ni wa mwisho, na tunaashiria nambari kuu ya mwisho kwa herufi N. Wacha tutunge bidhaa.

Wacha tuongeze 1 kwake. Tunapata:

Nambari hii, ikiwa ni kamili, lazima iwe na angalau kipengele kikuu kimoja, yaani, lazima igawanywe kwa angalau nambari kuu moja. Lakini nambari kuu zote, kwa kudhaniwa, hazizidi N, na nambari M+1 haiwezi kugawanywa bila salio na nambari kuu chini ya au sawa na N - kila wakati salio ni 1. Nadharia imethibitishwa.

Nadharia 4. Sehemu za nambari za mchanganyiko kati ya primes zinaweza kuwa za urefu wowote. Sasa tutathibitisha kuwa mfululizo huo una nambari za mchanganyiko wa n.

Nambari hizi zinakuja moja kwa moja baada ya kila mmoja katika mfululizo wa asili, kwa kuwa kila ijayo ni 1 zaidi kuliko ya awali. Inabakia kuthibitisha kwamba wote ni composite.

Nambari ya kwanza

Hata, kwa kuwa masharti yake yote mawili yana kipengele cha 2. Na kila nambari kubwa kuliko 2 ni composite.

Nambari ya pili ina maneno mawili, ambayo kila moja ni nyingi ya 3. Hii ina maana kwamba nambari hii ni ya mchanganyiko.

Kwa njia hiyo hiyo, tunathibitisha kwamba nambari inayofuata ni kizidishio cha 4, nk. Kwa maneno mengine, kila nambari katika safu yetu ina sababu tofauti na umoja na yenyewe; kwa hiyo ni mchanganyiko. Nadharia imethibitishwa.

Baada ya kusoma uthibitisho wa nadharia, tunaendelea kuzingatia nakala hiyo. Maandishi yake yalitaja njia ya ungo ya Eratosthenes kama njia ya kupata nambari kuu. Hebu tusome kuhusu njia hii kutoka kwa kamusi moja:

“Ungo wa Eratosthenes ni njia iliyotengenezwa na Eratosthenes ambayo hukuruhusu kupepeta nambari za mchanganyiko kutoka kwa anuwai ya asili. Kiini cha ungo wa Eratosthenes ni kama ifuatavyo. Kitengo kimevuka. Nambari ya pili ni kuu. Nambari zote za asili zinazogawanywa na 2 zimevuka.Nambari 3 - nambari ya kwanza ambayo haijavuka itakuwa kuu. Ifuatayo, nambari zote za asili ambazo zinaweza kugawanywa na 3 zinavuka nje. Nambari 5 - nambari inayofuata ambayo haijavuka - itakuwa kuu. Ukiendelea na mahesabu sawa, unaweza kupata sehemu ndefu ya kiholela ya mlolongo wa nambari kuu. Ungo wa Eratosthenes kama mbinu ya kinadharia Utafiti wa nadharia ya nambari ulianzishwa na V. Brun (1919).

Hapa idadi kubwa zaidi, ambayo kwa sasa inajulikana kuwa rahisi:

Nambari hii ina takriban nafasi mia saba za desimali. Mahesabu ambayo ilianzishwa kuwa nambari hii ni kuu yalifanywa kwenye kompyuta za kisasa.

"Kitendakazi cha Riemann zeta, -function, ni kazi ya uchanganuzi ya kigezo changamano, kwa σ>1 kuamuliwa kabisa na kwa usawa na mfululizo wa Dirichlet wa kuunganika:

Kwa σ>1, uwakilishi katika mfumo wa bidhaa ya Euler ni halali:

(2) ambapo p inapitia nambari zote kuu.

Utambulisho wa mfululizo (1) na bidhaa (2) ni mojawapo ya sifa kuu za kazi ya zeta. Inaturuhusu kupata mahusiano mbalimbali yanayounganisha kazi ya zeta na vitendakazi muhimu zaidi vya nadharia ya nambari. Kwa hiyo, kazi ya zeta ina jukumu kubwa katika nadharia ya nambari.

Chaguo za kukokotoa zeta zilianzishwa kama chaguo la kukokotoa halisi na L. Euler (1737, publ. 1744), ambaye alionyesha eneo lake katika bidhaa (2). Kisha kazi ya zeta ilizingatiwa na P. Dirichlet na hasa kwa mafanikio na P. L. Chebyshev kuhusiana na utafiti wa sheria ya usambazaji wa nambari kuu. Walakini, sifa za kina zaidi za kazi ya zeta ziligunduliwa baada ya kazi ya B. Riemann, ambaye kwa mara ya kwanza mnamo 1859 alizingatia kazi ya zeta kama kazi ya tofauti changamano; pia alianzisha jina "kazi ya zeta" na jina "".

Lakini swali linatokea: je! matumizi ya vitendo ipo kwa kazi hii yote kwenye nambari kuu? Hakika, kuna karibu hakuna matumizi kwao, lakini kuna eneo moja ambapo nambari kuu na mali zao hutumiwa hadi leo. Hii ni cryptography. Hapa nambari kuu hutumiwa katika mifumo ya usimbuaji bila funguo za kuhamisha.

Kwa bahati mbaya, hii ndiyo yote inayojulikana kuhusu nambari kuu. Bado kuna siri nyingi zilizobaki. Kwa mfano, haijulikani ikiwa seti ya nambari kuu zinazowakilishwa kama miraba miwili haina kikomo.

"MKUU MAGUMU".

Niliamua kufanya utafiti mdogo ili kupata majibu ya maswali kadhaa kuhusu nambari kuu. Kwanza kabisa, nilitayarisha programu ambayo hutoa nambari kuu zote zinazofuatana chini ya 1,000,000,000. Kwa kuongezea, niliandaa programu ambayo huamua ikiwa nambari iliyoingizwa ni kuu. Ili kusoma shida za nambari kuu, nilijenga grafu inayoonyesha utegemezi wa thamani ya nambari kuu nambari ya serial Kama mpango zaidi wa utafiti, niliamua kutumia makala ya I. S. Zeltser na B. A. Kordemsky "Makundi ya kuvutia ya idadi kuu." Waandishi waligundua njia zifuatazo za utafiti:

1. Nafasi 168 katika nambari za asili elfu za kwanza zinachukuliwa na nambari kuu. Kati ya hizi, nambari 16 ni palindromic - kila moja ni sawa na inverse yake: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929.

Kuna nambari kuu 1061 tu za tarakimu nne, na hakuna hata moja iliyo na palindromic.

Kuna nambari nyingi za palindromic zenye tarakimu tano. Wao ni pamoja na uzuri huo: 13331, 15551, 16661, 19991. Bila shaka, kuna makundi ya aina hii:,. Lakini kuna vielelezo vingapi katika kila kundi kama hilo?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Inaweza kuonekana kuwa jumla ya nambari za nambari zinaweza kugawanywa na 3, kwa hivyo nambari hizi zenyewe pia zinaweza kugawanywa na 3.

Kuhusu nambari za fomu, kati yao nambari kuu ni 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. Katika nambari elfu za kwanza kuna "robo" tano zinazojumuisha nambari kuu zinazofuatana, nambari za mwisho ambazo huunda mlolongo 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103), 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Je, kuna robo ngapi kama hizi kati ya nambari kuu za n›3?

Kutumia programu niliyoandika, quartet ilipatikana ambayo ilikosa na waandishi: (479, 467, 463, 461) na quartets kwa n = 4, 5, 6. Kwa n = 4, kuna quartets 11.

3. Kundi la nambari kuu tisa: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 linavutia sio tu kwa sababu ya kile kinachowakilisha. maendeleo ya hesabu na tofauti ya 210, lakini pia uwezo wa kutoshea ndani ya seli tisa ili kuunda mraba wa uchawi na tofauti ya mara kwa mara ya nambari kuu mbili: 3119 - 2:

Muhula unaofuata, wa kumi wa mwendelezo unaozingatiwa, 2089, pia ni nambari kuu. Ikiwa utaondoa nambari 199 kutoka kwa kundi, lakini ni pamoja na 2089, basi hata katika utungaji huu kundi linaweza kuunda mraba wa uchawi - mada ya kutafuta.

Ikumbukwe kwamba kuna viwanja vingine vya uchawi vinavyojumuisha nambari kuu:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Mraba uliopendekezwa unavutia kwa sababu

1. Ni mraba wa uchawi wa 7x7;

2. Ina mraba wa uchawi wa 5x5;

3. Mraba wa uchawi wa 5x5 una mraba wa uchawi 3x3;

4. Mraba hizi zote zina nambari moja ya kawaida ya kati - 3407;

5. Nambari zote 49 zimejumuishwa katika mwisho wa mraba 7x7 na nambari 7;

6. Nambari zote 49 zilizojumuishwa katika mraba 7x7 ni nambari kuu;

7. Kila moja ya nambari 49 zilizojumuishwa katika mraba 7x7 inaweza kuwakilishwa kama 30n + 17.

Programu zilizotumiwa ziliandikwa na mimi katika lugha ya programu ya Dev-C++ na ninatoa maandishi yao kwenye kiambatisho (tazama faili zilizo na kiendelezi . srr). Mbali na hayo yote hapo juu, niliandika programu ambayo hutenganisha nambari za asili zinazofuatana katika mambo makuu (angalia Vigawanyiko 1. срр) na programu ambayo hutenganisha nambari iliyoingia tu katika mambo makuu (angalia Vigawanyiko 2. срр). Kwa kuwa programu hizi huchukua nafasi nyingi sana katika fomu iliyokusanywa, maandishi yao pekee yanatolewa. Walakini, mtu yeyote anaweza kuzikusanya ikiwa ana programu inayofaa.

WASIFU WA WANAsayansi WANAOJIHUSISHA NA TATIZO LA PRIMES

EUCLIDES

(c. 330 BC - 272 BC)

Taarifa chache sana za kuaminika zimehifadhiwa kuhusu maisha ya mwanahisabati maarufu wa Mambo ya Kale. Inaaminika kuwa alisoma huko Athene, ambayo inaelezea ustadi wake mzuri wa jiometri, uliotengenezwa na shule ya Plato. Walakini, inaonekana, hakujua kazi za Aristotle. Alifundisha huko Alexandria, ambapo alipata sifa kubwa kwa shughuli zake za kufundisha wakati wa utawala wa Ptolemy I Soter. Kuna hadithi kwamba mfalme huyu alidai kwamba agundue njia ya kupata mafanikio ya haraka katika hisabati, ambayo Euclid alijibu kwamba hakuna njia za kifalme katika jiometri (hadithi kama hiyo, hata hivyo, inasimuliwa pia juu ya Menchem, ambaye inadaiwa aliulizwa sawa na Alexander the Great). Mila imehifadhi kumbukumbu ya Euclid kama mtu mkarimu na mnyenyekevu. Euclid ndiye mwandishi wa risala juu ya mada anuwai, lakini jina lake linahusishwa haswa na moja ya riwaya inayoitwa Elements. Ni juu ya mkusanyiko wa kazi za wanahisabati ambao walifanya kazi kabla yake (maarufu zaidi kati yao alikuwa Hippocrates wa Kos), matokeo ambayo alileta kwa ukamilifu shukrani kwa uwezo wake wa kujumlisha na kufanya kazi kwa bidii.

EULER LEONARD

(Basel, Uswisi 1707 - St. Petersburg, 1783)

Mwanahisabati, mekanika na mwanafizikia. Alizaliwa katika familia ya mchungaji maskini, Paul Euler. Alipata elimu yake kwanza kutoka kwa baba yake, na mnamo 1720-24 katika Chuo Kikuu cha Basel, ambapo alihudhuria mihadhara ya hisabati na I. Bernoulli.

Mwishoni mwa 1726, Euler alialikwa kwenye Chuo cha Sayansi cha St. Petersburg na Mei 1727 alifika St. Katika chuo kipya kilichopangwa, Euler alipata hali nzuri kwa shughuli za kisayansi, ambazo zilimruhusu kuanza mara moja kusoma hisabati na mechanics. Katika miaka 14 ya kipindi cha kwanza cha maisha yake St. Petersburg, Euler alitayarisha vitabu 80 hivi vya kuchapishwa na kuchapishwa zaidi ya 50. Huko St. Petersburg, alisoma lugha ya Kirusi.

Euler alishiriki katika maeneo mengi ya shughuli za Chuo cha Sayansi cha St. Alitoa hotuba kwa wanafunzi katika chuo kikuu cha kitaaluma, alishiriki katika mitihani mbalimbali ya kiufundi, alifanya kazi katika kuandaa ramani za Urusi, na aliandika "Mwongozo wa Hesabu" unaopatikana kwa umma (1738-40). Kwa maagizo maalum kutoka kwa Chuo hicho, Euler alitayarisha kuchapishwa "Sayansi ya Nautical" (1749), kazi ya msingi juu ya nadharia ya ujenzi wa meli na urambazaji.

Mnamo 1741, Euler alikubali ombi la mfalme wa Prussia Frederick II kuhamia Berlin, ambapo upangaji upya wa Chuo cha Sayansi ungefanyika. Katika Chuo cha Sayansi cha Berlin, Euler alichukua wadhifa wa mkurugenzi wa darasa la hisabati na mjumbe wa bodi, na baada ya kifo cha rais wake wa kwanza P. Maupertuis, kwa miaka kadhaa (kutoka 1759) aliongoza chuo hicho. Zaidi ya miaka 25 ya maisha yake huko Berlin, alitayarisha kazi zipatazo 300, kutia ndani idadi kubwa ya maandishi.

Wakati akiishi Berlin, Euler hakuacha kufanya kazi kwa bidii kwa Chuo cha Sayansi cha St. Petersburg, akidumisha jina la mwanachama wake wa heshima. Alifanya mawasiliano ya kina ya kisayansi na kisayansi-shirika, haswa aliwasiliana na M. Lomonosov, ambaye alimthamini sana. Euler alihariri idara ya hisabati ya shirika la kisayansi la kisayansi la Urusi, ambapo wakati huu alichapisha nakala nyingi kama katika "Kumbukumbu" za Chuo cha Sayansi cha Berlin. Alishiriki kikamilifu katika mafunzo ya wanahisabati wa Kirusi; Wasomi wa siku zijazo S. Kotelnikov, S. Rumovsky na M. Sofronov walitumwa Berlin kusoma chini ya uongozi wake. Euler alitoa msaada mkubwa kwa Chuo cha Sayansi cha St. Petersburg, akiipata fasihi ya kisayansi na vifaa, kufanya mazungumzo na wagombea wa nafasi katika chuo, nk.

Julai 17 (28), 1766 Euler na familia yake walirudi St. Licha ya uzee wake na upofu karibu kabisa uliompata, alifanya kazi kwa matokeo hadi mwisho wa maisha yake. Katika miaka 17 ya kukaa kwake mara ya pili huko St. Petersburg, alitayarisha vitabu 400 hivi, kutia ndani vitabu kadhaa vikubwa. Euler aliendelea kushiriki kazi ya shirika chuo kikuu. Mnamo 1776, alikuwa mmoja wa wataalam wa mradi wa daraja moja la upinde katika Neva, iliyopendekezwa na I. Kulibin, na kati ya tume nzima, ndiye pekee aliyetoa msaada mkubwa kwa mradi huo.

Ubora wa Euler kama mwanasayansi mkuu na mratibu utafiti wa kisayansi alipata sifa ya hali ya juu enzi za uhai wake. Mbali na shule za St. Petersburg na Berlin, alikuwa mwanachama wa taasisi kubwa zaidi za kisayansi: Chuo cha Sayansi cha Paris, Jumuiya ya Royal ya London na wengine.

Mojawapo ya vipengele bainifu vya kazi ya Euler ni tija yake ya kipekee. Wakati wa uhai wake pekee, takriban vitabu na nakala zake 550 zilichapishwa (orodha ya kazi za Euler ina takriban majina 850). Mnamo 1909, Jumuiya ya Sayansi ya Asili ya Uswizi ilianza kuchapisha kazi kamili za Euler, ambazo zilikamilishwa mnamo 1975; lina juzuu 72. Barua kuu za kisayansi za Euler (karibu herufi 3,000) pia ni za kupendeza sana; hadi sasa zimechapishwa kwa sehemu tu.

Shughuli mbalimbali za Euler zilikuwa pana isivyo kawaida, zikijumuisha idara zote za hisabati na mekanika za kisasa, nadharia ya unyumbufu, fizikia ya hisabati, macho, nadharia ya muziki, nadharia ya mashine, umilisi, sayansi ya baharini, bima, n.k. Takriban 3/5 ya kazi za Euler zinahusiana. kwa hisabati, iliyobaki 2/5 hasa kwa matumizi yake. Mwanasayansi alipanga matokeo yake na matokeo yaliyopatikana na wengine katika idadi ya monographs ya classic, iliyoandikwa kwa uwazi wa kushangaza na vifaa. mifano ya thamani. Hizi ni, kwa mfano, “Mekaniki, au Sayansi ya Mwendo, Imeelezwa Kichanganuzi” (1736), “Utangulizi wa Uchanganuzi” (1748), “Differential Calculus” (1755), “Nadharia ya Mwendo. imara"(1765), "Universal Arithmetic" (1768-69), ambayo ilipitia takriban matoleo 30 katika lugha 6, "Integral Calculus" (1768-94), nk Katika karne ya 18. , na kwa sehemu katika karne ya 19. “Barua zinazopatikana hadharani kuhusu mambo mbalimbali ya kimwili na kifalsafa, zilizoandikwa kwa binti mfalme fulani wa Ujerumani,” zikawa maarufu sana. "(1768-74), ambayo ilipitia zaidi ya matoleo 40 katika lugha 10. Sehemu kubwa ya maandishi ya Euler yalijumuishwa katika miongozo ya elimu ya elimu ya juu na kwa sehemu. sekondari. Haiwezekani kuorodhesha nadharia zote za Euler, mbinu na fomula ambazo bado zinatumika, ambazo ni chache tu zinazoonekana katika fasihi chini ya jina lake [kwa mfano, njia ya mstari iliyovunjika ya Euler, uingizwaji wa Euler, Euler's constant, Euler's equations, formula za Euler, Kazi ya Euler, nambari za Euler, fomula ya Euler - Maclaurin, fomula za Euler-Fourer, tabia ya Euler, viambatanisho vya Euler, pembe za Euler].

Katika Mechanics, Euler alielezea kwanza mienendo ya nukta kwa kutumia uchanganuzi wa hisabati: harakati huru ya nukta chini ya ushawishi wa nguvu mbalimbali katika utupu na kati yenye upinzani; harakati ya hatua kwenye mstari au uso fulani; harakati chini ya ushawishi wa nguvu za kati. Mnamo 1744, aliunda kwa usahihi kanuni ya mitambo ya hatua ndogo na alionyesha matumizi yake ya kwanza. Katika Nadharia ya Mwendo Mgumu wa Mwili, Euler aliendeleza kinematiki na mienendo ya mwili mgumu na akatoa milinganyo ya kuzunguka kwake kuzunguka sehemu isiyobadilika, akiweka msingi wa nadharia ya gyroscopes. Katika nadharia yake ya meli, Euler alitoa mchango muhimu kwa nadharia ya utulivu. Ugunduzi wa Euler ulikuwa muhimu katika mechanics ya mbinguni (kwa mfano, katika nadharia ya mwendo wa Mwezi), mechanics ya kuendelea (milinganyo ya msingi ya mwendo wa maji bora katika umbo la Euler na katika kinachojulikana kama vigeu vya Lagrange, oscillations ya gesi kwenye mabomba. , na kadhalika.). Katika macho, Euler alitoa (1747) fomula ya lenzi ya biconvex na akapendekeza mbinu ya kukokotoa fahirisi ya refractive ya kati. Euler alishikilia nadharia ya wimbi la mwanga. Aliamini hivyo rangi tofauti yanahusiana urefu tofauti mawimbi ya mwanga. Euler alipendekeza njia za kuondoa upotovu wa chromatic wa lensi na akatoa njia za kuhesabu vifaa vya macho vya darubini. Euler alitoa mfululizo wa kina wa kazi, zilizoanza mwaka wa 1748, kwa fizikia ya hisabati: matatizo ya vibration ya kamba, sahani, membrane, nk. Masomo haya yote yalichochea maendeleo ya nadharia ya equations tofauti, mbinu takriban za uchambuzi, na mbinu maalum. . kazi, jiometri tofauti, n.k. Ugunduzi mwingi wa hisabati wa Euler unapatikana katika kazi hizi.

Kazi kuu ya Euler kama mwanahisabati ilikuwa maendeleo ya uchambuzi wa hisabati. Aliweka misingi ya taaluma kadhaa za hisabati, ambazo zilikuwa tu katika hali ya kawaida au hazikuwepo kabisa katika calculus ya infinitesimals na I. Newton, G. Leibniz, na ndugu wa Bernoulli. Kwa hivyo, Euler alikuwa wa kwanza kuanzisha utendakazi wa hoja changamano na kuchunguza sifa za kazi za kimsingi za kigezo changamano (kipeo, logarithmic na trigonometric); hasa, alitoa kanuni za kuunganisha kazi za trigonometric pamoja na maandamano. Kazi ya Euler katika mwelekeo huu iliweka msingi wa nadharia ya utendakazi wa tofauti changamano.

Euler ndiye muundaji wa hesabu za tofauti zilizowekwa katika kazi "Njia ya kupata mistari iliyopindika ambayo ina sifa ya kiwango cha juu au cha chini. "(1744). Njia ambayo Euler mnamo 1744 alipata hali ya lazima kwa mwisho wa kazi - equation ya Euler - ilikuwa mfano wa njia za moja kwa moja za hesabu za tofauti za karne ya 20. Euler aliunda nadharia ya milinganyo ya kawaida ya tofauti kama taaluma inayojitegemea na akaweka misingi ya nadharia ya milinganyo ya sehemu tofauti. Hapa anamiliki idadi kubwa ya uvumbuzi: njia ya classic ufumbuzi milinganyo ya mstari na coefficients ya mara kwa mara, njia ya utofauti wa viunga vya kiholela, ufafanuzi wa mali ya msingi ya equation ya Riccati, ujumuishaji wa hesabu za mstari na coefficients tofauti kwa kutumia mfululizo usio na kipimo, vigezo vya ufumbuzi maalum, mafundisho ya kipengele cha kuunganisha, mbinu mbalimbali za takriban na a idadi ya mbinu za kutatua milinganyo ya sehemu tofauti. Euler alikusanya sehemu kubwa ya matokeo haya katika "Integral Calculus" yake.

Euler pia aliboresha hesabu tofauti na muhimu kwa maana finyu ya neno (kwa mfano, fundisho la mabadiliko ya anuwai, nadharia juu ya kazi zenye usawa, wazo la ujumuishaji mara mbili na hesabu ya viunga vingi maalum). Katika "Differential Calculus," Euler alionyesha na kuunga mkono kwa mifano imani yake katika ushauri wa kutumia mfululizo tofauti na mbinu zilizopendekezwa kwa majumuisho ya jumla ya mfululizo, akitarajia mawazo ya nadharia kali ya kisasa ya mfululizo tofauti, iliyoundwa mwanzoni mwa 19 na. Karne za 20. Kwa kuongezea, Euler alipata matokeo mengi madhubuti katika nadharia ya mfululizo. Aligundua kinachojulikana. formula ya jumla ya Euler-Maclaurin, ilipendekeza mabadiliko ya safu ambayo ina jina lake, iliamua hesabu za idadi kubwa ya safu na kuanzisha mpya katika hisabati. aina muhimu mfululizo (kwa mfano, mfululizo wa trigonometric). Hii pia inajumuisha utafiti wa Euler juu ya nadharia ya sehemu zinazoendelea na michakato mingine isiyo na kikomo.

Euler ndiye mwanzilishi wa nadharia ya kazi maalum. Alikuwa wa kwanza kuzingatia sine na cosine kama kazi, na sio kama sehemu kwenye duara. Alipata karibu upanuzi wote wa classical wa kazi za kimsingi katika safu na bidhaa zisizo na kikomo. Kazi zake ziliunda nadharia ya γ-kazi. Alisoma sifa za viambatanisho vya duaradufu, vitendaji vya hyperbolic na silinda, ζ-kazi, baadhi ya θ-kazi, logariti muhimu, na madarasa muhimu ya polynomia maalum.

Kulingana na P. Chebyshev, Euler aliweka msingi wa utafiti wote unaounda sehemu ya jumla ya nadharia ya nambari. Kwa hivyo, Euler alithibitisha idadi ya kauli zilizotolewa na P. Fermat (kwa mfano, nadharia ndogo ya Fermat), ilikuza misingi ya nadharia ya mabaki ya nguvu na nadharia. fomu za quadratic, iligundua (lakini haikuthibitisha) sheria ya usawa wa quadratic na kuchunguza idadi ya matatizo katika uchambuzi wa Diophantine. Katika kazi zake juu ya mgawanyiko wa nambari kwa masharti na nadharia ya nambari kuu, Euler alikuwa wa kwanza kutumia njia za uchanganuzi, na hivyo kuwa muundaji wa nadharia ya uchanganuzi wa nambari. Hasa, alianzisha ζ-kazi na kuthibitisha kinachojulikana. Utambulisho wa Euler unaounganisha nambari kuu na nambari zote asili.

Euler pia alipata mafanikio makubwa katika maeneo mengine ya hisabati. Katika algebra, aliandika kazi za kutatua milinganyo ya digrii za juu katika radicals na juu ya equations na mbili haijulikani, pamoja na kile kinachojulikana. Utambulisho wa Euler wa miraba minne. Euler aliendeleza sana jiometri ya uchanganuzi, haswa fundisho la nyuso za mpangilio wa pili. Katika jiometri tofauti, alisoma kwa undani mali ya mistari ya kijiografia, alikuwa wa kwanza kutumia equations za asili za curves, na muhimu zaidi, aliweka misingi ya nadharia ya nyuso. Alianzisha dhana ya maelekezo kuu katika hatua ya juu ya uso, imeonekana orthogonality yao, inayotokana formula kwa ajili ya curvature ya sehemu yoyote ya kawaida, alianza utafiti wa nyuso zinazoendelea, nk; katika kazi moja iliyochapishwa baada ya kifo (1862), alitarajia kwa kiasi utafiti wa K. Gauss juu ya jiometri ya ndani ya nyuso. Euler pia alishughulikia maswali fulani ya topolojia na akathibitisha, kwa mfano, nadharia muhimu juu ya polihedra mbonyeo. Euler mwanahisabati mara nyingi hujulikana kama "kikokotoo" mahiri. Hakika, alikuwa bwana asiye na kifani wa mpangilio rasmi na mabadiliko; katika kazi zake nyingi fomula za hisabati na kupokea alama muonekano wa kisasa(kwa mfano, anamiliki nukuu ya e na π). Walakini, Euler pia alianzisha idadi ya maoni ya kina katika sayansi, ambayo sasa yamethibitishwa kabisa na hutumika kama mfano wa kina cha kupenya katika somo la utafiti.

Kulingana na P. Laplace, Euler alikuwa mwalimu wa wanahisabati wa pili nusu ya XVIII V.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, sasa Ujerumani, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Alisoma huko Paris na kudumisha uhusiano wa kirafiki na wanahisabati bora, haswa na Fourier. Alipopokea digrii yake ya kitaaluma, alikuwa profesa katika vyuo vikuu vya Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) na Göttingen, ambapo alikua mkuu wa idara ya hesabu baada ya kifo cha mwanasayansi Carl Friedrich Gauss. Mchango wake bora zaidi kwa sayansi unahusu nadharia ya nambari, haswa utafiti wa safu. Hii ilimruhusu kukuza nadharia ya mfululizo iliyopendekezwa na Fourier. Aliunda toleo lake mwenyewe la uthibitisho wa nadharia ya Fermat, akatumia vipengele vya uchanganuzi kutatua matatizo ya hesabu, na akaanzisha vigezo vya muunganisho wa mfululizo. Katika uwanja wa uchambuzi wa hisabati, aliboresha ufafanuzi na dhana ya kazi; katika uwanja wa mechanics ya kinadharia, alizingatia utafiti wa utulivu wa mifumo na dhana ya Newton ya uwezo.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Mwanahisabati wa Kirusi, mwanzilishi wa shule ya kisayansi ya St. Petersburg, msomi wa Chuo cha Sayansi cha St. Petersburg (1856). Kazi za Chebyshev ziliweka msingi wa maendeleo ya matawi mengi mapya ya hisabati.

Kazi nyingi zaidi za Chebyshev zilikuwa katika uwanja wa uchambuzi wa hisabati. Hasa, tasnifu ya haki ya kutoa mihadhara ilitolewa kwake, ambayo Chebyshev alichunguza ujumuishaji wa misemo fulani isiyo na maana katika kazi za algebraic na logarithms. Chebyshev pia alijitolea kazi zingine kadhaa kwa ujumuishaji wa kazi za algebra. Katika mmoja wao (1853) nadharia inayojulikana ilipatikana kwa masharti ya kuunganishwa kazi za msingi tofauti ya binomial. Eneo muhimu la utafiti uchambuzi wa hisabati kujumuisha kazi yake katika ujenzi nadharia ya jumla othogonal polynomials. Sababu ya kuundwa kwake ilikuwa tafsiri ya kimfano kwa kutumia njia ya miraba ndogo zaidi. Utafiti wa Chebyshev juu ya shida ya wakati na fomula za quadrature ni karibu na anuwai hii ya maoni. Kwa lengo la kupunguza mahesabu, Chebyshev alipendekeza (1873) kuzingatia fomula za quadrature na coefficients sawa (takriban ushirikiano). Utafiti juu ya fomula za quadrature na nadharia ya tafsiri zilihusiana sana na kazi ambazo ziliwekwa kwa Chebyshev katika idara ya ufundi ya kamati ya kisayansi ya kijeshi.

Katika nadharia ya uwezekano, Chebyshev ana sifa ya kuanzisha utaratibu vigezo random na kuundwa kwa mbinu mpya ya kuthibitisha nadharia za kikomo katika nadharia ya uwezekano - kinachojulikana. njia ya muda mfupi (1845, 1846, 1867, 1887). Alithibitisha sheria ya idadi kubwa katika fomu ya jumla sana; Isitoshe, uthibitisho wake unashangaza katika urahisi wake na msingi. Chebyshev hakuleta utafiti wa masharti ya muunganisho wa kazi za usambazaji wa hesabu za vijiti huru vya nasibu kwa sheria ya kawaida ili kukamilisha. Walakini, kupitia nyongeza ya njia za Chebyshev, A. A. Markov aliweza kufanya hivi. Bila hitimisho kali, Chebyshev pia alielezea uwezekano wa kufafanua nadharia hii ya kikomo kwa namna ya upanuzi wa asymptotic wa kazi ya usambazaji wa jumla ya masharti ya kujitegemea katika mamlaka ya n21 / 2, ambapo n ni idadi ya masharti. Kazi za Chebyshev juu ya nadharia ya uwezekano ni kiasi cha hatua muhimu katika maendeleo yake; Kwa kuongezea, walikuwa msingi ambao shule ya Kirusi ya nadharia ya uwezekano ilikua, ambayo hapo awali ilikuwa na wanafunzi wa moja kwa moja wa Chebyshev.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selaska, karibu na Intra, Italia 66)

Mwanahisabati wa Ujerumani. Mnamo 1846 aliingia Chuo Kikuu cha Göttingen: alisikiliza mihadhara ya K. Gauss, ambaye mawazo mengi yalitengenezwa naye baadaye. Mnamo 1847-49 alihudhuria mihadhara katika Chuo Kikuu cha Berlin; mwaka wa 1849 alirudi Göttingen, ambako akawa karibu na mshiriki wa Gauss, mwanafizikia W. Weber, ambaye aliamsha ndani yake shauku kubwa katika maswali ya sayansi ya hisabati.

Mnamo 1851 alitetea tasnifu yake ya udaktari "Misingi ya nadharia ya jumla ya utendaji wa kigezo kimoja changamani." Kuanzia 1854 alikuwa profesa msaidizi wa kibinafsi, na kutoka 1857 alikuwa profesa katika Chuo Kikuu cha Göttingen.

Kazi ya Riemann ilikuwa na ushawishi mkubwa juu ya maendeleo ya 2 ya hisabati nusu ya karne ya 19 V. na katika karne ya 20. Katika tasnifu yake ya udaktari, Riemann aliweka msingi wa mwelekeo wa kijiometri wa nadharia ya kazi za uchanganuzi; alianzisha kinachojulikana kama nyuso za Riemann, ambazo ni muhimu katika utafiti wa kazi za thamani nyingi, aliendeleza nadharia ya ramani za conformal na, kuhusiana na hili, alitoa mawazo ya msingi ya topolojia, alisoma masharti ya kuwepo kwa kazi za uchambuzi. ndani ya vikoa aina mbalimbali(kinachojulikana kanuni ya Dirichlet), n.k. Mbinu zilizobuniwa na Riemann zilitumika sana katika kazi zake zaidi juu ya nadharia ya kazi za aljebra na viambatanisho, kwenye nadharia ya uchanganuzi ya milinganyo tofauti (haswa, milinganyo inayofafanua kazi za haipajiometri), Nadharia ya nambari ya uchanganuzi (kwa mfano, Riemann alionyesha uhusiano kati ya usambazaji wa nambari kuu na mali ya ζ-kazi, haswa na usambazaji wa zero zake katika eneo ngumu - kinachojulikana kama nadharia ya Riemann, uhalali wa ambayo bado haijathibitishwa), nk.

Katika kazi kadhaa, Riemann alisoma mtengano wa kazi katika safu ya trigonometric na, kuhusiana na hili, aliamua hali muhimu na za kutosha za kuunganishwa kwa maana ya Riemannian, ambayo ilikuwa muhimu kwa nadharia ya seti na kazi za kutofautisha halisi. Riemann pia alipendekeza mbinu za kujumuisha milinganyo ya sehemu tofauti (kwa mfano, kwa kutumia kinachojulikana kama vibadilishi vya Riemann na kazi ya Riemann).

Katika hotuba yake maarufu ya 1854 "Juu ya nadharia ya jiometri ya msingi" (1867), Riemann alitoa. wazo la jumla nafasi ya hisabati (kwa maneno yake, "manifolds"), ikiwa ni pamoja na nafasi za kazi na topolojia. Hapa alizingatia jiometri kwa maana pana kama utafiti wa aina nyingi za n-dimensional, i.e., makusanyo ya vitu vyovyote vyenye homogeneous na, akijumuisha matokeo ya Gauss kwenye jiometri ya ndani ya uso, alitoa. dhana ya jumla kipengee cha mstari (tofauti ya umbali kati ya vidokezo vya anuwai), na hivyo kufafanua kile kinachoitwa nafasi za Finsler. Kwa undani zaidi, Riemann alichunguza zile zinazoitwa nafasi za Riemannian, akifanya jumla ya nafasi za Euclidean, Lobachevsky na Riemannian elliptic jiometri, inayojulikana na aina maalum linear kipengele, na kuendeleza mafundisho ya curvature yao. Akijadili matumizi ya mawazo yake kwa nafasi ya kimwili, Riemann aliuliza swali la "sababu za sifa za metriki" yake, kana kwamba anatarajia kile kilichofanywa katika nadharia ya jumla ya uhusiano.

Mawazo na mbinu zilizopendekezwa na Riemann zilifungua njia mpya katika ukuzaji wa hisabati na kupata matumizi katika mechanics na nadharia ya jumla ya uhusiano. Mwanasayansi alikufa mnamo 1866 kutokana na kifua kikuu.

Nambari kuu ni nambari asilia ambayo inaweza kugawanywa peke yake na moja.

Nambari zilizobaki zinaitwa nambari za mchanganyiko.

Nambari kuu za asili

Lakini sio nambari zote za asili ni nambari kuu.

Nambari kuu za asili ni zile tu ambazo zinaweza kugawanywa peke yao na moja.

Mifano ya nambari kuu:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Nambari Kuu

Inafuata kwamba nambari za asili tu ndizo nambari kuu.

Hii inamaanisha kuwa nambari kuu ni nambari asilia.

Lakini nambari zote za asili pia ni nambari kamili.

Kwa hivyo, nambari zote kuu ni nambari kamili.

Mifano ya nambari kuu:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Hata nambari kuu

Kuna nambari moja tu kuu - nambari mbili.

Nambari zingine zote kuu ni zisizo za kawaida.

Kwa nini nambari kubwa kuliko mbili haiwezi kuwa nambari kuu?

Lakini kwa sababu nambari yoyote hata kubwa kuliko mbili itagawanywa peke yake, sio kwa moja na mbili, ambayo ni, nambari kama hiyo itakuwa na vigawanyiko vitatu kila wakati, na ikiwezekana zaidi.

Rudi