Kuratibu za Cartesian. Mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege na katika nafasi

Ikiwa tutaanzisha mfumo wa kuratibu kwenye ndege au katika nafasi ya tatu-dimensional, tutaweza kuelezea takwimu za kijiometri na mali zao kwa kutumia equations na kutofautiana, yaani, tutaweza kutumia njia za algebra. Kwa hiyo, dhana ya mfumo wa kuratibu ni muhimu sana.

Katika makala hii tutaonyesha jinsi mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian unavyofafanuliwa kwenye ndege na katika nafasi ya tatu-dimensional na kujua jinsi kuratibu za pointi zimeamua. Kwa uwazi, tunatoa vielelezo vya picha.

Urambazaji wa ukurasa.

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili kwenye ndege.

Hebu tuanzishe mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege.

Ili kufanya hivyo, chora mistari miwili ya pande zote kwenye ndege na uchague kwenye kila moja yao mwelekeo chanya, ikionyesha kwa mshale, na uchague kwenye kila moja yao mizani(kitengo cha urefu). Hebu tuonyeshe hatua ya makutano ya mistari hii kwa barua O na kuizingatia pa kuanzia. Kwa hivyo tulipata mfumo wa kuratibu wa mstatili juu ya uso.

Kila moja ya mistari ya moja kwa moja yenye asili iliyochaguliwa O, mwelekeo na kiwango huitwa mstari wa kuratibu au mhimili wa kuratibu.

Mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege kawaida huonyeshwa na Oxy, ambapo Ox na Oy ni shoka zake za kuratibu. Mhimili wa Ox unaitwa mhimili wa x, na mhimili wa Oy - mhimili y.

Sasa hebu tukubaliane juu ya picha ya mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege.

Kwa kawaida, kitengo cha kipimo cha urefu kwenye shoka za Ng'ombe na Oy huchaguliwa kuwa sawa na hupangwa kutoka asili kwenye kila mhimili wa kuratibu katika mwelekeo chanya (iliyowekwa alama ya dashi kwenye shoka za kuratibu na kitengo kimeandikwa karibu na it), mhimili wa abscissa unaelekezwa kulia, na mhimili wa kuratibu unaelekezwa juu. Chaguzi zingine zote za mwelekeo wa mhimili wa kuratibu hupunguzwa hadi iliyoonyeshwa (Mhimili wa Ox - kulia, mhimili wa Oy - juu) kwa kuzungusha mfumo wa kuratibu kwa pembe fulani inayohusiana na asili na kuiangalia kutoka upande mwingine. ya ndege (ikiwa ni lazima).

Mfumo wa kuratibu wa mstatili mara nyingi huitwa Cartesian, kwani ilianzishwa kwanza kwenye ndege na Rene Descartes. Hata kawaida zaidi, mfumo wa kuratibu wa mstatili unaitwa mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian, ukiweka yote pamoja.

Mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi ya tatu-dimensional.

Mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz umewekwa kwa njia sawa katika nafasi ya Euclidean ya pande tatu, sio mbili tu, lakini mistari mitatu ya perpendicular inachukuliwa. Kwa maneno mengine, mhimili wa kuratibu Oz huongezwa kwa shoka za kuratibu Ox na Oy, inayoitwa. mhimili unafaa.

Kulingana na mwelekeo wa axes za kuratibu, mifumo ya kuratibu ya mstatili wa kulia na wa kushoto katika nafasi ya tatu-dimensional wanajulikana.

Ikiwa inatazamwa kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa Oz na mzunguko mfupi zaidi kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa Ox hadi mwelekeo mzuri wa mhimili wa Oy hutokea kinyume cha saa, basi mfumo wa kuratibu unaitwa. haki.

Ikiwa inatazamwa kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa Oz na mzunguko mfupi zaidi kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa Ox hadi mwelekeo mzuri wa mhimili wa Oy hutokea kwa saa, basi mfumo wa kuratibu unaitwa. kushoto.

Kuratibu za hatua katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian kwenye ndege.

Kwanza, fikiria mstari wa kuratibu Ox na uchukue hatua M juu yake.

Kila nambari halisi inalingana na hatua moja M kwenye mstari huu wa kuratibu. Kwa mfano, hatua iko kwenye mstari wa kuratibu kwa umbali kutoka kwa asili katika mwelekeo mzuri inafanana na nambari , na nambari -3 inafanana na hatua iko umbali wa 3 kutoka kwa asili katika mwelekeo mbaya. Nambari 0 inalingana na mahali pa kuanzia.

Kwa upande mwingine, kila hatua M kwenye mstari wa kuratibu Ox inalingana na nambari halisi. Nambari hii halisi ni sifuri ikiwa nukta M inalingana na asili (pointi O). Nambari hii halisi ni chanya na ni sawa na urefu wa sehemu ya OM kwenye mizani fulani ikiwa nukta M itaondolewa kwenye asili katika mwelekeo chanya. Nambari hii halisi ni hasi na ni sawa na urefu wa sehemu ya OM yenye ishara ya kutoa ikiwa nukta M imeondolewa kutoka kwa asili katika mwelekeo hasi.

Nambari inaitwa kuratibu pointi M kwenye mstari wa kuratibu.

Sasa fikiria ndege iliyo na mfumo wa kuratibu wa mstatili wa mstatili wa Cartesian. Wacha tuweke alama ya alama ya kiholela M kwenye ndege hii.

Wacha iwe makadirio ya uhakika M kwenye mstari wa Ox, na iwe makadirio ya uhakika M kwenye mstari wa kuratibu Oy (ikiwa ni lazima, angalia makala). Hiyo ni, ikiwa kupitia hatua M tunachora mistari inayolingana na shoka za kuratibu Ox na Oy, basi pointi za makutano ya mistari hii na mistari Ox na Oy ni pointi na, kwa mtiririko huo.

Acha nambari ilingane na nukta kwenye mhimili wa kuratibu wa Ox, na nambari kwa uhakika kwenye mhimili wa Oy.

Kila nukta M ya ndege katika mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian inalingana na jozi ya kipekee iliyopangwa ya nambari halisi, inayoitwa. waratibu wa pointi M juu ya uso. Kuratibu inaitwa abscissa ya uhakika M, A - mratibu wa pointi M.

Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli: kila jozi ya nambari halisi iliyoamriwa inalingana na uhakika M kwenye ndege katika mfumo fulani wa kuratibu.

Kuratibu za hatua katika mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi ya tatu-dimensional.

Hebu tuonyeshe jinsi kuratibu za uhakika M zinavyotambuliwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili unaofafanuliwa katika nafasi ya tatu-dimensional.

Wacha na iwe makadirio ya uhakika M kwenye shoka za kuratibu Ox, Oy na Oz, mtawalia. Acha alama hizi kwenye shoka za kuratibu Ox, Oy na Oz zilingane na nambari halisi na.

Katika nafasi ambayo nafasi ya nukta inaweza kufafanuliwa kama makadirio yake kwenye mistari isiyobadilika inayokatiza katika sehemu moja, inayoitwa asili. Makadirio haya huitwa kuratibu za uhakika, na mistari ya moja kwa moja inaitwa axes za kuratibu.

Katika hali ya jumla, kwenye ndege, mfumo wa kuratibu wa Cartesian (mfumo wa kuratibu wa kushikamana) umeainishwa na hatua O (asili) na jozi iliyoamuru ya vekta e 1 na e 2 (vekta za msingi) zilizounganishwa nayo ambazo haziongo. kwenye mstari huo huo. Mistari iliyonyooka inayopitia asili katika mwelekeo wa vekta za msingi huitwa axes za kuratibu za mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Ya kwanza, iliyoamuliwa na vector e 1, inaitwa mhimili wa abscissa (au mhimili wa Ox), pili ni mhimili wa kuratibu (au mhimili wa Oy). Mfumo wa kuratibu wa Cartesian yenyewe unaashiria Oe 1 e 2 au Oxy. Kuratibu za Cartesian za uhakika M (Kielelezo 1) katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oe 1 e 2 huitwa jozi ya namba zilizopangwa (x, y), ambazo ni coefficients ya upanuzi wa vector OM kwa msingi (e 1, e 2), yaani, x na y ni kwamba OM = xe 1 + ue 2. Nambari x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Ikiwa mifumo miwili ya kuratibu ya Cartesian Oe 1 e 2 na 0'e' 1 e' 2 itaanzishwa kwenye ndege ili vekta za msingi (e' 1, e' 2) zionyeshwa kupitia vekta za msingi (e 1, e 2) kwa fomula

e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

na hatua O' ina kuratibu (x 0, y 0) katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oe 1 e 2, kisha kuratibu (x, y) za uhakika M katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oe 1 e2 na kuratibu (x' , y') ya hatua sawa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian O'e 1 e' 2 zinahusiana na mahusiano

x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian unaitwa mstatili ikiwa msingi (e 1, e 2) ni wa kawaida, yaani, vekta e 1 na e 2 ni za pande zote na zina urefu. sawa na moja(vekta e 1 na e 2 huitwa vekta katika kesi hii). Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili, viwianishi vya x na y vya uhakika M ni maadili ya makadirio ya orthogonal ya uhakika M kwenye shoka za Ox na Oy, mtawaliwa. Katika mfumo wa uratibu wa Cartesian wa mstatili Oxy, umbali kati ya pointi M 1 (x 1, y 1) na M 2 (x 2, y 2) ni sawa na √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1) ) 2

Mifumo ya mpito kutoka kwa mfumo mmoja wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili Oxy hadi mfumo mwingine wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili O'x'y', ambao mwanzo wake O' wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oxy ni O'(x0, y0), una umbo.

x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0

x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.

Katika kesi ya kwanza, mfumo wa O'x'y' huundwa kwa kuzunguka vectors msingi e 1 ; e 2 kwa pembe α na uhamisho unaofuata wa asili ya viwianishi O hadi kumweka O’ (Mchoro 2),

na katika kesi ya pili - kwa kuzungusha vekta za msingi e 1, e 2 kwa pembe α, tafakari inayofuata ya mhimili ulio na vekta e 2 inayohusiana na mstari wa moja kwa moja unaobeba vekta e 1, na kuhamisha asili O hadi kumweka O. (Kielelezo 3).

Wakati mwingine mifumo ya kuratibu ya oblique ya Cartesian hutumiwa, ambayo hutofautiana na mstatili kwa kuwa pembe kati ya vectors msingi wa kitengo si sahihi.

Mfumo wa jumla wa kuratibu wa Cartesian (mfumo wa kuratibu wa kuunganishwa) katika nafasi hufafanuliwa vile vile: hatua O imeelezwa - asili ya kuratibu na mara tatu iliyoagizwa ya vectors е 1 , е 2 , е 3 (vekta za msingi) zilizounganishwa nayo na sio uongo. katika ndege hiyo hiyo. Kama ilivyo kwa ndege, mihimili ya kuratibu imedhamiriwa - mhimili wa abscissa (mhimili wa Ox), mhimili wa kuratibu (mhimili wa Oy) na mhimili unaotumika (mhimili wa Oz) (Mchoro 4).

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian katika nafasi unaashiria Oe 1 e 2 e 3 (au Oxyz). Ndege zinazopitia jozi za shoka za kuratibu huitwa ndege za kuratibu. Mfumo wa kuratibu wa Cartesian katika nafasi huitwa mkono wa kulia ikiwa mzunguko kutoka kwa mhimili wa Ox hadi mhimili wa Oy unafanywa kwa mwelekeo kinyume na mwendo wa saa wakati wa kuangalia ndege ya Oxy kutoka hatua fulani kwenye Oz ya nusu-mhimili chanya; , mfumo wa kuratibu wa Cartesian unaitwa mkono wa kushoto. Ikiwa vekta za msingi e 1, e 2, e 3 zina urefu sawa na moja na ni pande mbili za perpendicular, basi mfumo wa kuratibu wa Cartesian unaitwa mstatili. Msimamo wa mfumo mmoja wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili katika nafasi kuhusiana na mfumo mwingine wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian na mwelekeo sawa imedhamiriwa na pembe tatu za Euler.

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian unaitwa baada ya R. Descartes, ingawa katika kazi yake "Jiometri" (1637) mfumo wa kuratibu wa oblique ulizingatiwa, ambapo kuratibu za pointi zinaweza tu kuwa chanya. Katika toleo la 1659-61, kazi ya mwanahisabati wa Uholanzi I. Gudde iliongezwa kwa Jiometri, ambayo kwa mara ya kwanza maadili mazuri na hasi ya kuratibu yaliruhusiwa. Mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa anga ulianzishwa na mwanahisabati wa Kifaransa F. Lahire (1679). Mwanzoni mwa karne ya 18, nukuu x, y, z kwa kuratibu za Cartesian zilianzishwa.

Wizara ya Elimu na Sayansi ya Shirikisho la Urusi

FSBEI HPE "Mari" Chuo Kikuu cha Jimbo»

Idara ya Pedagogy

dhahania

Nidhamu: njia za kufundisha hisabati

juu ya mada: "Mfumo wa kuratibu wa Cartesian"

Imetekelezwa:

Viktorova O.K.

Imechaguliwa:

Ph.D. ped. sayansi, profesa

Borodina M.V.

Yoshkar-Ola

2015

Rene Descartes. Wasifu …………………………………………………………….3
Mchango wa Descartes katika ukuzaji wa hisabati kama sayansi……………………….6
Mbinu inayowezekana kusoma mfumo wa kuratibu wa Cartesian kwa kutumia mfano wa hadithi ya ugunduzi wake …………………………………………………………
Hitimisho……………………………………………………………15
Orodha ya marejeleo………………………………………………………..16

Wasifu

Rene Descartes Mwanafalsafa wa Kifaransa, mwanahisabati, fundi, mwanafizikia na mwanafizikia, muundaji wa jiometri ya uchambuzi na ishara ya kisasa ya algebra, mwandishi wa njia ya shaka kali katika falsafa, utaratibu katika fizikia, mtangulizi wa reflexology.

Descartes alitoka katika familia ya zamani lakini maskini ya de Cartes, kutoka hapa jina lake la Kilatini Cartesius na mwelekeo katika falsafa - Cartesianism - baadaye likaibuka; na alikuwa mtoto wa mwisho (wa tatu) katika familia. Alizaliwa mnamo Machi 31, 1596 huko Lae, Ufaransa. Mama yake alikufa akiwa na umri wa mwaka 1. Baba ya Descartes alikuwa hakimu katika jiji la Rennes na mara chache alionekana Lae; Mvulana alilelewa na bibi yake mzaa mama. Kama mtoto, Rene alitofautishwa na afya dhaifu na udadisi wa ajabu.

Elimu ya msingi Descartes alipata masomo yake katika chuo cha Jesuit La Flèche, ambapo mwalimu wake alikuwa Jean François. Chuoni, Descartes alikutana na Marin Mersenne (wakati huo alikuwa mwanafunzi, baadaye kuhani), mratibu wa baadaye. maisha ya kisayansi Ufaransa. Elimu ya kidini iliimarisha tu mtazamo wa kutilia shaka wa kijana Descartes kuelekea mamlaka za kifalsafa za wakati huo. Baadaye alitengeneza mbinu yake ya utambuzi: mawazo ya kupunguka (ya hisabati) juu ya matokeo ya majaribio yanayoweza kurudiwa.

Mnamo 1612, Descartes alihitimu kutoka chuo kikuu, alisoma sheria kwa muda huko Poitiers, kisha akaenda Paris, ambapo kwa miaka kadhaa alibadilisha maisha ya kutokuwa na akili na masomo ya hesabu. Kisha akaingia huduma ya kijeshi(1617) kwanza katika Uholanzi wa mapinduzi (katika miaka hiyo mshirika wa Ufaransa), kisha Ujerumani, ambako alishiriki katika vita vifupi vya Prague (Vita vya Miaka Thelathini). Huko Uholanzi mnamo 1618, Descartes alikutana na mwanafizikia bora na mwanafalsafa wa asili Isaac Beckmann, ambaye alikuwa na ushawishi mkubwa juu ya malezi yake kama mwanasayansi. Descartes alitumia miaka kadhaa huko Paris, akijishughulisha na kazi ya kisayansi, ambapo, kati ya mambo mengine, aligundua kanuni ya kasi ya kawaida, ambayo wakati huo hakuna mtu aliyekuwa tayari kufahamu.

Kisha miaka kadhaa zaidi ya kushiriki katika vita (kuzingirwa kwa La Rochelle). Aliporudi Ufaransa, ikawa kwamba mawazo huru ya Descartes yalijulikana kwa Wajesuti, nao wakamshtaki kwa uzushi. Kwa hivyo, Descartes alihamia Uholanzi (1628), ambapo alitumia miaka 20 katika masomo ya kisayansi ya peke yake.

Anashikilia mawasiliano ya kina na wanasayansi bora zaidi huko Uropa (kupitia Mersenne waaminifu) na anasoma sayansi anuwai, kutoka kwa dawa hadi hali ya hewa. Hatimaye, mwaka wa 1634, alikamilisha kitabu chake cha kwanza cha programu kilichoitwa "Dunia" (Le Monde), kilichojumuisha sehemu mbili: "Treatise on Light" na "Treatise on Man". Lakini wakati wa kuchapishwa ulikuwa wa bahati mbaya: mwaka mmoja mapema, Baraza la Kuhukumu Wazushi lilikaribia kumtesa Galileo. Kwa hivyo, Descartes aliamua kutochapisha kazi hii wakati wa uhai wake. Alimwandikia Mersenne kuhusu hukumu ya Galileo:

“Jambo hili lilinishangaza sana hadi nikaamua kuchoma karatasi zangu zote, au angalau nisionyeshe mtu yeyote; kwa maana sikuweza kufikiria kwamba yeye, Muitaliano, ambaye alifurahia upendeleo wa hata Papa, angeweza kuhukumiwa, bila shaka, kutaka kuthibitisha harakati za Dunia ... naungama, ikiwa harakati ya Dunia ni uwongo, basi misingi yote ya falsafa yangu ni uwongo, kwa kuwa inaongoza kwa hitimisho sawa.

Hivi karibuni, hata hivyo, moja baada ya nyingine, vitabu vingine vya Descartes vinaonekana:

"Majadiliano juu ya Njia ..." (1637)

"Tafakari juu ya Falsafa ya Kwanza ..." (1641)

"Kanuni za Falsafa" (1644)

Nadharia kuu za Descartes zimeundwa katika "Kanuni za Falsafa":

"Mungu aliumba ulimwengu na sheria za asili, na kisha Ulimwengu unafanya kazi kama utaratibu unaojitegemea."

“Hakuna kitu duniani isipokuwa maada inayosonga aina mbalimbali. Jambo lina chembe za msingi, mwingiliano wa ndani ambao hutoa matukio yote ya asili.

"Hisabati yenye nguvu na mbinu ya ulimwengu wote ujuzi wa asili, mfano wa sayansi nyingine."

Kardinali Richelieu aliitikia vyema kazi za Descartes na kuruhusu kuchapishwa kwake huko Ufaransa, lakini wanatheolojia wa Kiprotestanti wa Uholanzi waliweka laana juu yao (1642); Bila msaada wa Mkuu wa Orange, mwanasayansi angekuwa na wakati mgumu.

Mnamo 1649, Descartes, akiwa amechoka kwa miaka mingi ya mateso kwa fikra huru, alishindwa na ushawishi wa Malkia wa Uswidi Christina (ambaye alishirikiana naye kwa miaka mingi) na kuhamia Stockholm. Mara tu baada ya kuhama, alishikwa na baridi kali na akafa hivi karibuni. Sababu inayoshukiwa ya kifo ilikuwa nimonia. Pia kuna dhana juu ya sumu yake, kwani dalili za ugonjwa wa Descartes zilikuwa sawa na zile zinazotokana na sumu kali ya arseniki. Dhana hii iliwekwa mbele na Ikey Pease, mwanasayansi wa Ujerumani, na kisha kuungwa mkono na Theodor Ebert. Sababu ya kutiwa sumu, kulingana na toleo hili, ilikuwa hofu ya mawakala wa Kikatoliki kwamba mawazo huru ya Descartes yanaweza kuingilia kati juhudi zao za kumgeuza Malkia Christina kuwa Ukatoliki (uongofu huu ulitokea mnamo 1654).

Kuelekea mwisho wa maisha ya Descartes, mtazamo wa kanisa kuelekea mafundisho yake ukawa na uadui mkubwa. Mara tu baada ya kifo chake, kazi kuu za Descartes zilijumuishwa katika "Index", na Louis XIV, kwa amri maalum, alipiga marufuku mafundisho ya falsafa ya Descartes ("Cartesianism") kwa wote. taasisi za elimu Ufaransa.

Mchango wa Descartes katika maendeleo ya hisabati kama sayansi

Mnamo 1637, kazi kuu ya falsafa na hisabati ya Descartes, "Discourse on Method" (kichwa kamili: "Hotuba juu ya njia ambayo hukuruhusu kuelekeza akili yako na kupata ukweli katika sayansi").

Kitabu hiki kiliwasilisha jiometri ya uchanganuzi, na katika matumizi yake matokeo mengi katika aljebra, jiometri, optics (pamoja na maneno sahihi sheria ya kinzani nyepesi) na mengi zaidi.

Ya kumbuka hasa ni ishara ya hisabati ya Vieta, ambayo aliifanya upya, ambayo tangu wakati huo ilikuwa karibu na kisasa. Alitaja viambajengo kama a, b, c..., na visivyojulikana kama x, y, z. Kipengele cha asili kinachukuliwa muonekano wa kisasa(za sehemu na hasi zilianzishwa shukrani kwa Newton). Mstari unaonekana juu ya usemi mkali. Milinganyo imepunguzwa hadi fomu ya kisheria (sifuri upande wa kulia).

Descartes aliita aljebra ya mfano "Hisabati ya Ulimwenguni," na aliandika kwamba inapaswa kuelezea "kila kitu kinachohusiana na mpangilio na kipimo."

Uundaji wa jiometri ya uchanganuzi ilifanya iwezekane kutafsiri masomo ya mali ya kijiometri ya curves na miili katika lugha ya algebra, ambayo ni, kuchambua equation ya curve katika mfumo fulani wa kuratibu. Tafsiri hii ilikuwa na hasara kwamba sasa ilikuwa ni lazima kwa makini kuamua mali ya kweli ya kijiometri ambayo haitegemei mfumo wa kuratibu (invariants). Walakini, faida za njia hiyo mpya zilikuwa kubwa sana, na Descartes alionyesha katika kitabu hicho hicho, akigundua vifungu vingi visivyojulikana kwa wanahisabati wa zamani na wa kisasa.

Kiambatisho cha "Jiometri" kilitoa mbinu za kutatua milinganyo ya aljebra (ikiwa ni pamoja na kijiometri na mitambo) na uainishaji wa mikondo ya aljebra. Njia mpya kufafanua curve kwa kutumia equation ilikuwa hatua madhubuti kuelekea dhana ya utendakazi. Descartes huunda "sheria ya ishara" sahihi ya kuamua idadi ya mizizi chanya ya equation, ingawa haithibitishi.

Descartes alisoma kazi za algebraic (polynomials), pamoja na idadi ya "mitambo" (spirals, cycloids). Kwa kazi za nje, kulingana na Descartes, njia ya jumla utafiti haupo.

Nambari tata bado hazijazingatiwa na Descartes kwa masharti sawa na halisi, lakini aliunda (ingawa hakuthibitisha) nadharia ya msingi ya algebra: jumla ya nambari mizizi halisi na ngumu ya polynomial ni sawa na kiwango chake. Descartes jadi iliita mizizi hasi ya uwongo, lakini ilichanganya na zile chanya chini ya neno nambari halisi, ikizitenganisha na zile za kufikiria (tata). Neno hili liliingia katika hisabati. Hata hivyo, Descartes alionyesha kutofautiana: coefficients a, b, c ... zilizingatiwa kuwa chanya kwake, na kesi ya ishara isiyojulikana ilikuwa na alama maalum na ellipsis upande wa kushoto.

Nambari zote zisizo hasi halisi, bila kujumuisha zisizo na maana, zinazingatiwa na Descartes kuwa sawa; hufafanuliwa kama uwiano wa urefu wa sehemu fulani kwa kiwango cha urefu. Baadaye, Newton na Euler walipitisha ufafanuzi sawa wa nambari. Descartes bado hatenganishi algebra na jiometri, ingawa anabadilisha vipaumbele vyao; anaelewa kutatua equation kama kuunda sehemu yenye urefu sawa na mzizi wa mlinganyo. Anachronism hii hivi karibuni ilitupiliwa mbali na wanafunzi wake, haswa wale wa Kiingereza, ambao ujenzi wa kijiometri ni kifaa cha msaidizi.

Kitabu "Njia" mara moja kilifanya Descartes mamlaka inayotambulika katika hisabati na macho. Ni vyema kutambua kwamba ilichapishwa kwa Kifaransa na si kwa Kilatini. Maombi "Jiometri", hata hivyo, yalitafsiriwa mara moja kwa Kilatini na ilichapishwa kando mara kadhaa, ikikua kutoka kwa maoni na kuwa kitabu rejea Wanasayansi wa Ulaya. Kazi za wanahisabati wa nusu ya pili ya karne ya 17 zinaonyesha ushawishi mkubwa wa Descartes.

Njia inayowezekana ya kusoma mfumo wa kuratibu wa Cartesian kwa kutumia mfano wa hadithi ya ugunduzi wake

Kuna hadithi kadhaa juu ya uvumbuzi wa mfumo wa kuratibu, ambao una jina la Descartes.

Siku moja, Rene Descartes alilala kitandani siku nzima, akifikiria juu ya jambo fulani, na nzi akazunguka na hakumruhusu kuzingatia. Alianza kufikiria jinsi ya kuelezea nafasi ya nzi wakati wowote kimahesabu ili aweze kuipiga bila kukosa. Na ... alikuja na kuratibu za Cartesian, moja ya uvumbuzi mkubwa zaidi katika historia ya wanadamu. Wacha tufuate njia ya kufungua mfumo wa kuratibu kulingana na hadithi hii kwenye picha.

Wakati wa ufunguzi: 1637.

Wahusika:

Onyesho: "ofisi" ya Rene Descartes.

Takwimu inaonyesha takriban kuta tatu za ofisi:

ukuta na mlango

Ndege ya wasifu

sakafu - ndege ya usawa

ukuta na fursa za dirisha

Ndege ya mbele;

Kumbuka!Kila ndege mbili huingiliana kwa mstari ulionyooka

mistari.

Nzi hutua kwenye ndege ya mbele

Hebu kujifanya hivyo

Rene Descartes anaangalia

ndege ya mbele ndani

perpendicular yake

mwelekeo.

Tunamwona huyo nzi

iko

ndege ya mbele.

Lakini jinsi ya kuamua kwa usahihi

msimamo wake?

Eureka!

Unahitaji kuchukua mistari miwili ya nambari ya pande zote. Tunaashiria hatua ya makutano ya mistari kama O - asili ya mfumo wa kuratibu. Wacha tuite moja ya mistari mhimili wa X, nyingine mhimili wa Y.

Katika takwimu yetu, umbali kati ya mgawanyiko kwenye mistari ya nambari

sawa na moja.

Makini! Unaweza kuchagua asili na mwelekeo wa shoka

kwa njia ambayo inafaa kwa kazi maalum.

Wacha tuamue msimamo halisi wa "mwandishi mwenza" - nzi.

Wacha tuchore mistari miwili iliyonyooka kupitia mahali ambapo nzi iko:

Sambamba na mhimili wa X. Mstari wa moja kwa moja hukatiza mhimili wa Y kwa uhakika na nambari.

thamani sawa na 4. Hebu tuite thamani hii "y" kuratibu yetu

Sambamba na mhimili wa Y. Mstari wa moja kwa moja hukatiza mhimili wa X kwa uhakika na nambari.

thamani sawa na (-2). Wacha tuite thamani hii "x" kuratibu ya kitu chetu.

Ni desturi kuandika kuratibu za kitu, kwa kawaida uhakika, kwa fomu (x, y). Kwa nzi wetu, tunaweza kusema kwamba iko katika hatua na kuratibu (-2, 4).

Tatizo la kuamua kwa usahihi nafasi ya kuruka hutatuliwa!

Upya wa wazo ni kwamba nafasi ya nukta au kitu kwenye

Ndege inafafanuliwa kwa kutumia shoka mbili zinazokatiza.

Vile vile vinaweza kufanywa ili kuamua nafasi ya kuruka

dari.

Kuamua nafasi ya beetle na kipepeo kwenye ndege ya kuratibu.

Mifano hizi zote zinaonyesha faida za njia ya kuratibu ya kuamua nafasi ya nzi, beetle na kipepeo kwenye ndege kwa kutumia mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Tunawezaje kuamua kuratibu za wadudu sawa ikiwa wanaruka, kwa sababu katika kesi hii hawana kutambaa kwenye uso wa ukuta au dari.

Kupima nafasi ya vitu katika nafasi mwanzoni mwa karne ya 19

mhimili wa Z umeongezwa, ambao unaelekezwa kwa mhimili wa X na Y.

Katika takwimu, mhimili wa Z unaelekezwa juu.

Fikiria kwamba paka ya Amur imeketi kwenye tawi la mti.

Ikiwa paka ilianguka kwenye ndege ya usawa - ndege ya XOY, uhakika

anguko lake lilikuwa na viwianishi (X1, Y1). Paka huketi kwenye urefu wa Z1 kutoka kwa ndege ya usawa. Kwa hivyo, nafasi ya paka ya Amur katika nafasi

inaweza kuelezewa na kuratibu tatu (X1, Y1 Z1), iko katika baadhi

urefu juu ya ardhi.

Kuratibu kunaweza kuwa na maadili tofauti ya nambari, ikiwa ni pamoja na

sifuri, hii inamaanisha kuwa kitu kiko kwenye mhimili fulani wa kuratibu.

Ikiwa kuratibu zote tatu zina maadili ya sifuri, kitu kiko kwenye asili ya mfumo wa kuratibu.

Wacha tuamue kuratibu za vitu anuwai katika zifuatazo

kuchora.

Parrot iko kwenye hatua na kuratibu(0, 0, Z1).

Beaver upande wa kushoto ni (X1 0 0) . Beaver upande wa kulia - (0 Y1 0) .

Kipanya - (X1 Y1 0) . Paka ya Amur - (X1 Y1 Z1).

Jibu swali:

“Huyu kinyonga anapaswa kukaa wapi?”

Hitimisho

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian ulisukuma sayansi ya hisabati na kuifikisha kabisa ngazi mpya. Jiometri ilianza kukua kwa kasi zaidi. Kazi hii inachunguza mfumo wa kuratibu katika kiwango cha 5-6 ili watoto wawe na hamu na, muhimu zaidi, kuelewa jinsi ya kufanya kazi na mfumo wa kuratibu. Bila shaka, katika siku zijazo utafiti wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian utakuwa wa kina zaidi. Katika darasa la juu tutazungumza juu ya nafasi tatu-dimensional. Kuhusu ujenzi wa takwimu tatu-dimensional, nk Utafiti wa mfumo wa kuratibu Cartesian ni mojawapo ya wengi zaidi. vipengele muhimu hisabati kama sayansi, na kila mwalimu lazima afikishe maarifa yake kwa kila mwanafunzi ili maarifa haya yaweze kujifunza maishani.

Bibliografia

Lyubimov N.A. Falsafa ya Descartes. Petersburg, 1886
Lyat-ker Ya.A. Descartes. M., 1975
Fischer K. Descartes: maisha yake, maandishi na mafundisho. St. Petersburg, 1994
Mamadashvili M.K. Tafakari za Cartesian. M., 1995
Maeneo yaliyotumika: https://ru.wikipedia.org

Kuamua nafasi ya hatua katika nafasi, tutatumia kuratibu za mstatili wa Cartesian (Mchoro 2).

Mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian katika nafasi huundwa na shoka tatu za kuratibu za perpendicular OX, OY, OZ. Axes ya kuratibu huingiliana kwenye hatua ya O, ambayo inaitwa asili, kwenye kila mhimili mwelekeo mzuri huchaguliwa, unaoonyeshwa na mishale, na kitengo cha kipimo kwa makundi kwenye axes. Vipimo vya kipimo ni kawaida (sio lazima) sawa kwa shoka zote. Mhimili wa OX unaitwa mhimili wa abscissa (au tu abscissa), mhimili wa OY ni mhimili wa kuratibu, na mhimili wa OZ ni mhimili unaotumika.

Nafasi ya hatua A katika nafasi imedhamiriwa na kuratibu tatu x, y na z. Uratibu wa x ni sawa na urefu wa sehemu ya OB, uratibu wa y ni urefu wa sehemu ya OC, uratibu wa z ni urefu wa sehemu ya OD katika vitengo vilivyochaguliwa vya kipimo. Sehemu za OB, OC na OD zinafafanuliwa na ndege zinazotolewa kutoka kwa uhakika sambamba na ndege YOZ, XOZ na XOY, kwa mtiririko huo.

Uratibu wa x unaitwa abscissa ya nukta A, uratibu wa y unaitwa mratibu wa nukta A, na uratibu wa z unaitwa applicate ya uhakika A.

Kiishara imeandikwa hivi:

au unganisha rekodi ya kuratibu kwa nukta maalum kwa kutumia faharisi:

x A , y A , z A ,

Kila mhimili huzingatiwa kama mstari wa nambari, ambayo ni, ina mwelekeo mzuri, na vidokezo vilivyo kwenye ray hasi hupewa maadili hasi ya kuratibu (umbali unachukuliwa na ishara ya minus). Hiyo ni, ikiwa, kwa mfano, nukta B haiweke kama kwenye takwimu - kwenye OX ya ray, lakini kwa kuendelea kwake. upande wa nyuma kutoka kwa uhakika O (kwenye sehemu hasi ya mhimili wa OX), basi x abscissa ya uhakika A itakuwa mbaya (ondoa umbali OB). Vivyo hivyo kwa shoka zingine mbili.

Kuratibu shoka OX, OY, OZ, inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 2, kuunda mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia. Hii ina maana kwamba ikiwa unatazama ndege ya YOZ pamoja na mwelekeo mzuri wa mhimili wa OX, basi harakati ya mhimili wa OY kuelekea mhimili wa OZ itakuwa saa. Hali hii inaweza kuelezewa kwa kutumia kanuni ya gimlet: ikiwa gimlet (screw na thread ya mkono wa kulia) inazunguka kwa mwelekeo kutoka kwa mhimili wa OY hadi mhimili wa OZ, basi itasonga kwenye mwelekeo mzuri wa mhimili wa OX.

Vekta za urefu wa kitengo zinazoelekezwa kando ya axes za kuratibu huitwa vekta za kitengo cha kuratibu. Kwa kawaida huteuliwa kama (Mchoro 3). Pia kuna jina Vectors za kitengo huunda msingi wa mfumo wa kuratibu.

Katika kesi ya mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia, fomula zifuatazo zilizo na bidhaa za vekta za vekta za kitengo ni halali:

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM CARTESIAN COORDINATE SYSTEM

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM, mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege au angani (kawaida huwa na shoka zenye pande zote mbili na mizani sawa kwenye shoka). Imetajwa baada ya R. Descartes (sentimita. DESCARTES Rene).
Descartes alikuwa wa kwanza kuanzisha mfumo wa kuratibu, ambao ulikuwa tofauti sana na ule unaokubalika kwa ujumla leo. Alitumia mfumo wa kuratibu wa oblique kwenye ndege, akizingatia curve inayohusiana na mstari wa moja kwa moja na mfumo wa kumbukumbu uliowekwa. Msimamo wa pointi za curve ulibainishwa kwa kutumia mfumo wa sehemu zinazofanana, zilizotegwa au zinazoelekea kwenye mstari wa awali wa moja kwa moja. Descartes haikuanzisha mhimili wa pili wa kuratibu na haikurekebisha mwelekeo wa kumbukumbu kutoka kwa asili ya kuratibu. Tu katika karne ya 18. uelewa wa kisasa wa mfumo wa kuratibu uliundwa, ambao ulipokea jina la Descartes.
***
Ili kufafanua mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian, mistari ya moja kwa moja ya perpendicular, inayoitwa axes, huchaguliwa. Sehemu ya makutano ya Axial O inayoitwa asili. Kwenye kila mhimili, mwelekeo mzuri umeelezwa na kitengo cha kiwango kinachaguliwa. Viratibu vya pointi P huchukuliwa kuwa chanya au hasi kulingana na makadirio ya nusu-mhimili gani yanaangukia P.
Mfumo wa kuratibu wa 2D
P kwenye ndege katika mfumo wa kuratibu wa pande mbili, umbali uliochukuliwa na ishara fulani (iliyoonyeshwa kwa vitengo vya kiwango) ya hatua hii hadi mistari miwili ya pande zote - shoka za kuratibu au makadirio ya vector ya radius - huitwa. r pointi P katika shoka mbili za kuratibu za perpendicular.
Katika mfumo wa kuratibu wa pande mbili, mhimili mlalo unaitwa mhimili wa x OX), mhimili wima ni mhimili wa kuratibu (mhimili wa OY). Maelekezo mazuri yanachaguliwa kwenye mhimili OX- kulia, kwenye mhimili OY-juu. Kuratibu x Na y huitwa abscissa na ordinate ya uhakika, kwa mtiririko huo. Nukuu P(a,b) inamaanisha kuwa alama P kwenye ndege ina abscissa a na kiratibu b.
Mfumo wa kuratibu wa pande tatu
Viwianishi vya mstatili vya Cartesian vya uhakika P katika nafasi ya pande tatu, umbali unaochukuliwa na ishara fulani (iliyoonyeshwa kwa vitengo vya mizani) ya hatua hii hadi ndege tatu za kuratibu za pande zote au makadirio ya vekta ya radius huitwa. (sentimita. RADIUS VECTOR) r pointi P katika shoka tatu za kuratibu zenye kuheshimiana.
Kupitia hatua ya kiholela katika nafasi O- asili ya kuratibu - jozi tatu za mistari ya moja kwa moja ya perpendicular hutolewa: mhimili OX(x mhimili), mhimili OY(mhimili y), mhimili OZ(mhimili wa maombi).
Vekta za kitengo zinaweza kutajwa kwenye shoka za kuratibu i, j, k pamoja na shoka OX,OY, OZ kwa mtiririko huo.
Kulingana na msimamo wa jamaa mwelekeo mzuri wa axes za kuratibu, mifumo ya kuratibu ya kulia na kushoto inawezekana. Kama sheria, mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia hutumiwa. Katika mfumo sahihi wa kuratibu, mwelekeo mzuri huchaguliwa kama ifuatavyo: kando ya mhimili OX- juu ya mwangalizi; kando ya mhimili wa OY - kulia; kando ya mhimili wa OZ - juu. Katika mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia, mzunguko mfupi zaidi kutoka kwa mhimili wa X hadi mhimili wa Y ni kinyume cha saa; ikiwa wakati huo huo na mzunguko huo tunasonga kwenye mwelekeo mzuri wa mhimili Z, basi matokeo yatakuwa harakati kulingana na utawala wa screw sahihi.
Nukuu P(a,b,c) inamaanisha kuwa nukta P ina abscissa a, kiambatanisho b na kiomba c.
Kila nambari tatu (a,b,c) hufafanua nukta moja P. Kwa hiyo, mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili huanzisha mawasiliano ya moja hadi moja kati ya seti ya pointi katika nafasi na seti ya triplets zilizoagizwa za nambari halisi.
Mbali na shoka za kuratibu, pia kuna ndege za kuratibu. Nyuso za kuratibu ambazo moja ya kuratibu zinabaki mara kwa mara ni ndege zinazofanana na ndege za kuratibu, na mistari ya kuratibu ambayo mabadiliko moja tu ya kuratibu ni mistari ya moja kwa moja inayofanana na axes za kuratibu. Nyuso za kuratibu huingiliana kando ya mistari ya kuratibu.
Kuratibu ndege XOY ina shoka OX Na OY, kuratibu ndege YOZ ina shoka OY Na OZ, kuratibu ndege XOZ ina shoka OX Na OZ.

Kamusi ya encyclopedic. 2009 .

Tazama "CARTESIAN COORDINATE SYSTEM" ni nini katika kamusi zingine:

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM- mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege au katika nafasi, ambayo mizani kando ya shoka ni sawa na axes za kuratibu ni za pande zote. D. s. K. inaonyeshwa na herufi x:, y kwa uhakika kwenye ndege au x, y, z kwa nukta katika nafasi. (Sentimita.… …

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM, mfumo ulioanzishwa na Rene DESCARTES, ambapo nafasi ya uhakika imedhamiriwa na umbali kutoka kwayo hadi mistari inayoingiliana (axes). Katika toleo rahisi zaidi la mfumo, shoka (zilizoashiria x na y) ni za kawaida ... .... Kamusi ya ensaiklopidia ya kisayansi na kiufundi

Mfumo wa kuratibu wa mstatili au Cartesian ni mfumo wa kawaida wa kuratibu kwenye ndege na katika nafasi. Yaliyomo 1 Mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege ... Wikipedia

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian

Mfumo wa kuratibu wa mstatili (Angalia Viwianishi) kwenye ndege au angani (kawaida huwa na mizani sawa kwenye shoka). R. Descartes mwenyewe katika "Jiometri" (1637) alitumia tu mfumo wa kuratibu kwenye ndege (kwa ujumla, oblique). Mara nyingi…… Encyclopedia kubwa ya Soviet

Seti ya ufafanuzi ambayo inatekeleza njia ya kuratibu, yaani, njia ya kuamua nafasi ya uhakika au mwili kwa kutumia nambari au alama nyingine. Seti ya nambari zinazoamua nafasi ya hatua fulani inaitwa kuratibu za hatua hii. Katika... ... Wikipedia

mfumo wa cartesian- Dekarto koordinačių hali ya mfumo T sritis fizika atitikmenys: engl. Mfumo wa Cartesian; Mfumo wa Cartesian wa kuratibu vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Mfumo wa Cartesian, f; Mfumo wa Cartesian... ... Fizikos terminų žodynas

MFUMO WA KURATIBU- seti ya masharti ambayo huamua nafasi ya uhakika kwenye mstari wa moja kwa moja, kwenye ndege, katika nafasi. Kuna maumbo mbalimbali ya duara: Cartesian, oblique, cylindrical, spherical, curvilinear, n.k. Idadi ya mstari na angular ambayo huamua nafasi... ... Encyclopedia kubwa ya Polytechnic

Mfumo wa kuratibu wa rectilinear wa kawaida katika nafasi ya Euclidean. D.p.s kwenye ndege imeainishwa na shoka mbili za kuratibu zilizo sawa, ambazo kila moja mwelekeo mzuri huchaguliwa na sehemu ya kitengo ... Encyclopedia ya hisabati

Mfumo wa kuratibu wa mstatili ni mfumo wa kuratibu wa mstatili na shoka za pande zote kwenye ndege au angani. Mfumo wa kuratibu rahisi zaidi na unaotumika sana. Kwa urahisi sana na moja kwa moja muhtasari wa... ... Wikipedia

Vitabu

Mienendo ya maji ya computational. Msingi wa kinadharia. Kitabu cha maandishi, Valery Alekseevich Pavlovsky, Dmitry Vladimirovich Nikushchenko. Kitabu kimejitolea kwa uwasilishaji wa utaratibu misingi ya kinadharia kwa kuweka kazi mfano wa hisabati mtiririko wa maji na gesi. Tahadhari maalum kujishughulisha na masuala ya ujenzi...