Kwa uwakilishi wa picha zaidi ya kuona ya mashamba, pamoja na mistari ya mvutano, nyuso za uwezo sawa au nyuso za equipotential hutumiwa. Kama jina linavyopendekeza, uso wa usawa ni uso ambao alama zote zina uwezo sawa. Ikiwa uwezo umetolewa kama kazi ya x, y, z, basi equation ya uso wa equipotential ina fomu:
Mistari ya nguvu ya shamba ni ya usawa kwa nyuso za equipotential.
Hebu thibitisha kauli hii.
Hebu mstari na mstari wa nguvu ufanye angle fulani (Mchoro 1.5).
Wacha tuhamishe malipo ya jaribio kutoka kwa hatua ya 1 hadi ya 2 kwenye mstari. Katika kesi hii, vikosi vya shamba hufanya kazi:
. (1.5)
Hiyo ni, kazi iliyofanywa kwa kuhamisha malipo ya mtihani kwenye uso wa equipotential ni sifuri. Kazi hiyo hiyo inaweza kufafanuliwa kwa njia nyingine - kama bidhaa ya malipo kwa moduli ya nguvu ya shamba inayofanya kazi kwenye malipo ya mtihani, kwa kiasi cha uhamisho na kwa cosine ya pembe kati ya vector na vector ya uhamisho, i.e. cosine ya pembe (tazama Mchoro 1.5):
.
Kiasi cha kazi haitegemei njia ya hesabu yake; kulingana na (1.5), ni sawa na sifuri. Inafuata kutoka kwa hili kwamba na, ipasavyo, ambayo ndiyo inahitajika kuthibitishwa.
Uso wa equipotential unaweza kuchorwa kupitia sehemu yoyote kwenye uwanja. Kwa hivyo, idadi isiyo na kikomo ya nyuso kama hizo zinaweza kujengwa. Ilikubaliwa, hata hivyo, kuchora nyuso kwa njia ambayo tofauti inayoweza kutokea kwa nyuso mbili zilizo karibu itakuwa sawa kila mahali. Kisha, kwa wiani wa nyuso za equipotential, mtu anaweza kuhukumu ukubwa wa nguvu za shamba. Hakika, denser nyuso za equipotential ni, kasi ya mabadiliko ya uwezo wakati wa kusonga pamoja na kawaida kwa uso.
Mchoro 1.6a unaonyesha nyuso za usawa (kwa usahihi zaidi, makutano yao na ndege ya kuchora) kwa uwanja. malipo ya uhakika. Kwa mujibu wa hali ya mabadiliko, nyuso za equipotential zinakuwa mnene wakati zinakaribia malipo. Kielelezo 1.6b kinaonyesha nyuso za usawa na mistari ya mvutano kwa uga wa dipole. Kutoka kwa Mchoro 1.6 ni wazi kwamba kwa matumizi ya wakati mmoja ya nyuso za equipotential na mistari ya mvutano, picha ya shamba ni wazi hasa.
Kwa uwanja sare nyuso za equipotential ni wazi huwakilisha mfumo wa ndege zinazolingana kutoka kwa kila mmoja, perpendicular kwa mwelekeo wa nguvu ya shamba.
1.8. Uhusiano kati ya nguvu ya shamba na uwezo
(gradient inayowezekana)
Hebu kuwe na uwanja wa kiholela wa kielektroniki. Katika uwanja huu tunachora nyuso mbili za equipotential kwa njia ambayo zinatofautiana kutoka kwa kila mmoja kwa uwezo kwa kiasi. dφ(Mchoro 1.7)
Vector ya mvutano inaelekezwa kwa kawaida kwa uso. Mwelekeo wa kawaida ni sawa na mwelekeo wa mhimili wa x. Mhimili x inayotolewa kutoka hatua ya 1 inaingilia uso 
kwa uhakika 2.
Sehemu ya mstari dx inawakilisha umbali mfupi zaidi kati ya pointi 1 na 2. Kazi iliyofanywa wakati wa kuhamisha chaji kwenye sehemu hii:
Kwa upande mwingine, kazi sawa inaweza kuandikwa kama:
Kulinganisha maneno haya mawili, tunapata:
ambapo alama ya sehemu ya derivati inasisitiza kwamba upambanuzi unafanywa tu kwa heshima na x. Kurudia hoja sawa kwa shoka y Na z, tunaweza kupata vekta:
, (1.7)
ziko wapi vekta za kitengo cha shoka za kuratibu x, y, z.
Vekta iliyofafanuliwa kwa kujieleza (1.7) inaitwa gradient ya scalar φ . Kwa ajili yake, pamoja na uteuzi, jina pia hutumiwa. ("nabla") inamaanisha vekta ya ishara inayoitwa opereta wa Hamiltonian
Kwa uwakilishi wa kuona wa mashamba ya vector, picha ya mistari ya shamba hutumiwa. Mstari wa nguvu ni hisabati ya kufikirika
curve katika nafasi, mwelekeo wa tangent ambayo kwa kila mmoja
hatua ambayo inapita inafanana na mwelekeo wa vector
mashamba katika hatua sawa(Mchoro 1.17).
Mchele. 1.17:
Hali ya ulinganifu wa vekta E → na tangent inaweza kuandikwa kama usawa na sifuri ya bidhaa ya vekta E → na kipengele cha arc d r → cha mstari wa shamba:
Equipotential ni uso ambao juu yake ambayo uwezo wa umeme ni wa kudumuϕ. Katika uwanja wa malipo ya uhakika, kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. , nyuso za spherical na vituo kwenye eneo la malipo ni equipotential; hii inaweza kuonekana kutoka kwa equation ϕ = q ∕ r = const.
Kwa kuchambua jiometri ya mistari ya shamba la umeme na nyuso za equipotential, inawezekana kuonyesha idadi ya mali ya jumla ya jiometri ya uwanja wa umeme.
Kwanza, mistari ya nguvu huanza kwa malipo. Wanaenda kwa infinity au kuishia kwa mashtaka mengine, kama kwenye Mtini. .
|
|
Pili, katika uwanja unaowezekana, mistari ya uwanja haiwezi kufungwa. Vinginevyo, itawezekana kutaja kitanzi kilichofungwa ili kazi uwanja wa umeme chaji inaposogea kwenye kontua hii, si sawa na sifuri.
Tatu, mistari ya nguvu inaingiliana na hali yoyote ya equipotential kwake. Hakika, shamba la umeme linaelekezwa kila mahali kuelekea kupungua kwa kasi kwa uwezo, na juu ya uso wa equipotential uwezo ni mara kwa mara kwa ufafanuzi (Mchoro.). 
Mchele. 1.20:
Na mwishowe, mistari ya uwanja haiingiliani popote isipokuwa kwa sehemu ambapo E → = 0. Makutano ya mistari ya shamba ina maana kwamba shamba kwenye hatua ya makutano ni kazi isiyoeleweka ya kuratibu, na vector E → haina mwelekeo maalum. Vekta pekee ambayo ina mali hii ni vekta ya sifuri. Muundo wa uwanja wa umeme karibu na hatua ya sifuri utachambuliwa katika matatizo kwa ?? .
Njia ya mstari wa shamba, bila shaka, inatumika kwa uwakilishi wa picha wa sehemu zozote za vekta. Kwa hivyo katika sura ?? tutakutana na dhana ya mistari ya sumaku ya nguvu. Walakini, jiometri shamba la sumaku tofauti kabisa na jiometri ya uwanja wa umeme.
Mchele. 1.21:
Wazo la mistari ya nguvu linahusiana kwa karibu na wazo la bomba la nguvu. Wacha tuchukue kiholela yoyote kitanzi kilichofungwa L na kupitia kila hatua tunachora mstari wa umeme wa nguvu (Mchoro.). Mistari hii huunda bomba la nguvu. Wacha tuzingatie sehemu ya kiholela ya bomba iliyo na uso wa S. Tunachora kawaida chanya katika mwelekeo sawa ambao mistari ya uwanja inaelekezwa. Acha N iwe mtiririko wa vekta E → kupitia sehemu ya S. Ni rahisi kuona kwamba ikiwa hakuna malipo ya umeme ndani ya bomba, basi mtiririko wa N unabaki sawa kwa urefu wote wa tube. Ili kuthibitisha hilo, tunahitaji kuchukua sehemu nyingine ya msalaba S ′. Kwa mujibu wa nadharia ya Gauss, mtiririko wa umeme wa umeme kupitia uso uliofungwa mdogo na uso wa upande wa tube na sehemu S, S ni sifuri, kwa kuwa hakuna malipo ya umeme ndani ya bomba la nguvu. Tiririka kupitia uso wa upande ni sawa na sifuri, kwani vector E → inagusa uso huu. Kwa hivyo, mtiririko kupitia sehemu ya S ′ ni sawa na N, lakini kinyume katika ishara. Kawaida ya nje kwa uso uliofungwa kwenye sehemu hii inaelekezwa kinyume na n →. Ikiwa kawaida inaelekezwa kwa mwelekeo huo, basi inapita kupitia sehemu S na S ' itafanana kwa ukubwa na ishara. Hasa, ikiwa bomba ni nyembamba sana na sehemu S na S ni kawaida kwake, basi
E S = E ′ S ′ .
Matokeo yake ni mlinganisho kamili na mtiririko wa maji yasiyoweza kushinikizwa. Katika maeneo hayo ambapo bomba ni nyembamba, shamba E → ni nguvu zaidi. Katika maeneo hayo ambapo ni pana, shamba E → ni nguvu zaidi. Kwa hivyo, wiani wa mistari ya shamba inaweza kutumika kuhukumu nguvu ya uwanja wa umeme.
Kabla ya uvumbuzi wa kompyuta, kwa ajili ya uzazi wa majaribio ya mistari ya nguvu walichukua chombo cha kioo na chini ya gorofa na kumwaga ndani yake kioevu ambacho haifanyi sasa umeme, kwa mfano, mafuta ya castor au glycerini. Fuwele za poda za jasi, asbesto au chembe nyingine za mviringo zilichochewa sawasawa ndani ya kioevu. Electrodes za chuma ziliingizwa kwenye kioevu. Wakati wa kushikamana na vyanzo vya umeme, electrodes ilisisimua shamba la umeme. Katika uwanja huu, chembe hutiwa umeme na, huvutiwa kwa kila mmoja na ncha za umeme zinazopingana, hupangwa kwa namna ya minyororo kando ya mistari ya nguvu. Picha ya mistari ya shamba inapotoshwa na mtiririko wa maji unaosababishwa na nguvu zinazoifanya kwa njia isiyo ya sare uwanja wa umeme.
Ya Kufanya Bado
Mchele. 1.22:
Matokeo bora zaidi yanapatikana kutokana na njia iliyotumiwa na Robert W. Pohl (1884-1976). Electrodes ya Staniol hutiwa kwenye sahani ya kioo, kati ya ambayo voltage ya umeme huundwa. Kisha, kwa kuipiga kidogo, chembe za mviringo, kwa mfano, fuwele za jasi, hutiwa kwenye sahani. Ziko kando yake kando ya mistari ya nguvu. Katika Mtini. ?? Picha ya mistari ya shamba iliyopatikana kwa njia hii kati ya miduara miwili iliyopigwa kinyume ya staniol inaonyeshwa.
▸ Tatizo 9.1
Andika mlinganyo wa mistari ya uga katika othogonal ya kiholela kuratibu
▸ Tatizo 9.2
Andika mlinganyo wa mistari ya uga katika viwianishi vya duara.
Wacha tuone uhusiano kati ya mvutano uwanja wa umeme, ambayo ni yake sifa za nguvu, na uwezo - tabia ya nishati ya shamba. Kazi ya kusonga single weka chaji chanya kutoka sehemu moja ya uwanja hadi nyingine kwenye mhimili X mradi pointi ziko karibu sana na kila mmoja na x 1 - x 2 = dx , sawa na E x dx . Kazi sawa ni sawa na j 1 -j 2 = dj . Kusawazisha maneno yote mawili, tunaweza kuandika
ambapo alama ya sehemu ya derivati inasisitiza kuwa upambanuzi unafanywa tu kwa kuzingatia X. Kurudia hoja sawa kwa shoka y na z , tunaweza kupata vector E:
ambapo i, j, k ni vekta za kitengo cha shoka za kuratibu x, y, z.
Kutoka kwa ufafanuzi wa gradient (12.4) na (12.6). inafuata hiyo
yaani nguvu ya uga E ni sawa na kipenyo kinachowezekana chenye alama ya kutoa. Ishara ya minus imedhamiriwa na ukweli kwamba vector ya nguvu ya shamba E inaelekezwa kuelekea kupungua kwa upande uwezo.
Ili kuonyesha kielelezo usambazaji wa uwezo wa uwanja wa kielektroniki, kama ilivyo kwa uwanja wa mvuto (tazama § 25), nyuso za usawa hutumiwa - nyuso katika sehemu zote ambazo uwezo wake una thamani sawa.
Ikiwa shamba limeundwa na malipo ya uhakika, basi uwezo wake, kulingana na (84.5),
Kwa hivyo, nyuso za equipotential ndani kwa kesi hii- nyanja zinazozingatia. Kwa upande mwingine, mistari ya mvutano katika kesi ya malipo ya uhakika ni mistari ya moja kwa moja ya radial. Kwa hivyo, mistari ya mvutano katika kesi ya malipo ya uhakika perpendicular nyuso za equipotential.
Mistari ya mvutano daima kawaida kwa nyuso za equipotential. Hakika, pointi zote za uso wa equipotential zina uwezo sawa, hivyo kazi iliyofanywa ili kuhamisha malipo kwenye uso huu ni sifuri, yaani, nguvu za umeme zinazofanya kazi kwenye malipo ni sifuri. Kila mara kuelekezwa kando ya kawaida kwa nyuso za equipotential. Kwa hivyo, vekta E daima ni kawaida kwa nyuso za equipotential, na kwa hiyo mistari ya vekta E ni ya orthogonal kwa nyuso hizi.
Idadi isiyo na kikomo ya nyuso za usawa zinaweza kuchorwa karibu na kila chaji na kila mfumo wa malipo. Walakini, kawaida hufanywa ili tofauti zinazowezekana kati ya nyuso mbili za equipotential zifanane. Kisha wiani wa nyuso za equipotential huonyesha wazi nguvu ya shamba katika pointi tofauti. Ambapo nyuso hizi ni mnene, nguvu ya shamba ni kubwa zaidi.
Kwa hiyo, kwa kujua eneo la mistari ya nguvu ya shamba la umeme, inawezekana kujenga nyuso za equipotential na, kinyume chake, kutoka kwa eneo linalojulikana la nyuso za equipotential, ukubwa na mwelekeo wa nguvu za shamba zinaweza kuamua katika kila hatua kwenye shamba. Katika Mtini. 133 inaonyesha, kwa mfano, aina ya mistari ya mvutano (mistari iliyokatika) na nyuso za usawa (mistari thabiti) ya uwanja wa malipo chanya (a) na silinda ya chuma iliyochajiwa iliyo na sehemu ya upande mmoja na unyogovu. nyingine (b).
Uwakilishi wa kielelezo wa mashamba unaweza kufanywa sio tu na mistari ya mvutano, lakini pia kwa msaada wa tofauti zinazowezekana. Ikiwa tunachanganya pointi na uwezo sawa katika uwanja wa umeme, tunapata nyuso za uwezo sawa au, kama zinavyoitwa pia, nyuso za equipotential. Katika makutano na ndege ya kuchora, nyuso za equipotential hutoa mistari ya equipotential. Kuchora mistari ya equipotential ambayo inalingana na maana tofauti uwezo, tunapata taswira inayoonyesha jinsi uwezo wa sehemu fulani unavyobadilika. Kusonga kando ya uso wa equipotential wa malipo hauhitaji kazi, kwa kuwa pointi zote za shamba kando ya uso huo zina uwezo sawa na nguvu inayofanya juu ya malipo daima ni perpendicular kwa harakati.
Kwa hivyo, mistari ya mvutano kila wakati huwa sawa kwa nyuso zenye uwezo sawa.
Picha iliyo wazi zaidi ya uwanja itawasilishwa ikiwa tunaonyesha mistari ya equipotential na mabadiliko yanayowezekana sawa, kwa mfano, 10 V, 20 V, 30 V, nk. Katika kesi hii, kiwango cha mabadiliko ya uwezo kitakuwa kinyume na umbali kati ya mistari ya equipotential iliyo karibu. Hiyo ni, msongamano wa mistari ya equipotential ni sawia na nguvu ya shamba (ya juu ya nguvu ya shamba, mistari inakaribia zaidi). Kujua mistari ya equipotential, inawezekana kujenga mistari ya kiwango cha shamba inayozingatiwa na kinyume chake.
Kwa hivyo, picha za sehemu zinazotumia mistari ya usawa na mistari ya mvutano ni sawa.
Nambari ya mistari ya equipotential katika kuchora
Mara nyingi, mistari ya equipotential kwenye mchoro huhesabiwa. Ili kuonyesha tofauti inayowezekana katika kuchora, mstari wa kiholela huteuliwa na nambari 0, karibu na mistari mingine yote nambari 1,2,3, nk zimewekwa. Nambari hizi zinaonyesha tofauti inayoweza kutokea katika volt kati ya laini iliyochaguliwa ya equipotential na laini iliyochaguliwa kama sifuri. Wakati huo huo, tunaona kwamba uchaguzi wa mstari wa sifuri sio muhimu, tangu maana ya kimwili ina tofauti tu inayowezekana kwa nyuso mbili, na haitegemei uchaguzi wa sifuri.
Sehemu ya malipo ya pointi yenye chaji chanya
Wacha tuzingatie kama mfano uwanja wa malipo ya uhakika, ambayo ina malipo chanya. Mistari ya shamba ya malipo ya uhakika ni mistari ya moja kwa moja ya radial, kwa hiyo, nyuso za equipotential ni mfumo nyanja makini. Mistari ya shamba ni ya pembeni kwa nyuso za nyanja katika kila hatua ya shamba. Miduara ya umakini hutumika kama mistari ya usawa. Kwa malipo chanya, Kielelezo 1 kinawakilisha mistari ya usawa. Kwa malipo hasi, Kielelezo 2 kinawakilisha mistari ya usawa.
Hii ni dhahiri kutoka kwa fomula inayoamua uwezo wa uga wa malipo ya pointi wakati uwezo unarekebishwa kuwa usio na mwisho ($\varphi \left(\infty \right)=0$):
\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\left(1\kulia).\]
Mfumo ndege sambamba, ambazo ziko kwa umbali sawa kutoka kwa kila mmoja, ni nyuso za equipotential za uwanja wa umeme sare.
Mfano 1
Kazi: Uwezo wa uga ulioundwa na mfumo wa malipo una fomu:
\[\varphi =a\kushoto(x^2+y^2\kulia)+bz^2,\]
ambapo $a,b$ ni za kudumu Juu ya sifuri. Je! nyuso za equipotential zina sura gani?
Nyuso za usawa, kama tunavyojua, ni nyuso ambazo uwezo ni sawa katika sehemu yoyote. Kujua hapo juu, hebu tujifunze equation ambayo inapendekezwa katika hali ya shida. Gawa pande za kulia na kushoto za equation $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ by $\varphi $, tunapata:
\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\kulia).\]
Wacha tuandike mlingano (1.1) katika mfumo wa kisheria:
\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\kulia)^2)+\frac(z^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\right))^2) =1\ (1.2)\]
Kutoka kwa equation $(1.2)\ $ ni wazi kwamba takwimu iliyotolewa ni ellipsoid ya mapinduzi. Mashimo yake ya ekseli
\[\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b)).\]
Jibu: Uso wa usawa wa sehemu fulani ni duaradufu ya mapinduzi yenye mihimili-nusu ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac( \varphi )(b))$).
Mfano 2
Kazi: Uwezo wa uga una fomu:
\[\varphi =a\kushoto(x^2+y^2\kulia)-bz^2,\]
ambapo $a,b$ -- $const$ ni kubwa kuliko sifuri. Nyuso za equipotential ni nini?
Wacha tuzingatie kesi ya $\varphi >0$. Wacha tulete equation iliyoainishwa katika hali ya shida kwa fomu ya kisheria; kwa kufanya hivyo, tunagawanya pande zote mbili za equation na $\varphi , $ tunapata:
\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \kushoto(2.1\ haki).\]
\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \kushoto(2.2\kulia).\]
Katika (2.2) tulipata mlinganyo wa kisheria hyperboloid ya karatasi moja. Nusu shoka zake ni sawa na ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semi-axis\kulia),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\left (halisi\ semi-axis\kulia ),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b))(imaginary\semi-axis)$).
Fikiria kesi wakati $\varphi
Wacha tufikirie $\varphi =-\left|\varphi \kulia|$ Wacha tulete mlinganyo uliobainishwa katika hali ya tatizo kwa fomu ya kisheria, ili kufanya hivyo tunagawanya pande zote mbili za equation kwa minus modulus $\varphi ,$ we pata:
\[-\frac(a)(\left|\varphi \kulia|)x^2-(\frac(a)(\left|\varphi \kulia|)y)^2+\frac(b)(\ kushoto|\varphi \kulia|)z^2=1\ \kushoto(2.3\kulia).\]
Wacha tuandike tena equation (1.1) katika fomu:
\[-\frac(x^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\left|\varphi \right|)(b))=1\ \left(2.4\kulia).\]
Tumepata mlinganyo wa kisheria wa hyperboloid ya karatasi mbili, mihimili yake ya nusu:
($\sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(a))\left(imaginary\semi-axis\kulia),\\sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)( a) )\kushoto(wa kufikirika\ nusu-mhimili\kulia),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(b))(\real\ semi-axis)$).
Wacha tuzingatie kesi wakati $\varphi =0.$ Kisha equation ya uwanja ina fomu:
Wacha tuandike tena equation (2.5) katika fomu:
\[\frac(x^2)((\kushoto(\frac(1)(\sqrt(a))\kulia))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1) )(\sqrt(a))\kulia))^2)-\frac(z^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(b))\right))^2)=0\ kushoto(2.6\kulia).\]
Tumepata mlinganyo wa kisheria wa koni ya duara ya kulia, ambayo hutegemea duaradufu yenye nusu-shoka $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b) ))(\sqrt(a ))$).
Jibu: Kama nyuso zinazolingana kwa usawa fulani unaowezekana, tulipata: kwa $\varphi >0$ - hyperboloid ya karatasi moja, kwa $\varphi