Quadratic equation - rahisi kutatua! *Hapa inajulikana kama "KU". Marafiki, inaweza kuonekana kuwa hakuna kitu rahisi katika hisabati kuliko kutatua equation kama hiyo. Lakini kuna kitu kiliniambia kwamba watu wengi wana matatizo naye. Niliamua kuona ni maoni ngapi ya mahitaji ambayo Yandex hutoa kwa mwezi. Hiki ndicho kilichotokea, angalia:
Ina maana gani? Hii ina maana kwamba takriban watu 70,000 kwa mwezi wanatafuta habari hii, hii inahusiana nini na majira ya joto, na nini kitatokea wakati wa mwaka wa shule - kutakuwa na maombi mara mbili zaidi. Hii haishangazi, kwa sababu wale wavulana na wasichana ambao walihitimu shuleni muda mrefu uliopita na wanajiandaa kwa Mtihani wa Jimbo la Umoja wanatafuta habari hii, na watoto wa shule pia wanajitahidi kuburudisha kumbukumbu zao.
Licha ya ukweli kwamba kuna tovuti nyingi zinazokuambia jinsi ya kutatua equation hii, niliamua pia kuchangia na kuchapisha nyenzo. Kwanza, ninataka wageni waje kwenye tovuti yangu kulingana na ombi hili; pili, katika makala nyingine, wakati mada ya "KU" inakuja, nitatoa kiungo kwa makala hii; tatu, nitakuambia zaidi kidogo juu ya suluhisho lake kuliko inavyosemwa kwenye tovuti zingine. Tuanze! Yaliyomo katika kifungu:
Equation ya quadratic ni equation ya fomu:
ambapo mgawo a,bna c ni nambari za kiholela, zenye a≠0.
Katika kozi ya shule, nyenzo hutolewa kwa fomu ifuatayo - equations imegawanywa katika madarasa matatu:
1. Wana mizizi miwili.
2. *Kuwa na mzizi mmoja tu.
3. Hawana mizizi. Inastahili kuzingatia hapa kwamba hawana mizizi halisi
Je, mizizi huhesabiwaje? Tu!
Tunahesabu ubaguzi. Chini ya neno hili "mbaya" kuna fomula rahisi sana:
Njia za mizizi ni kama ifuatavyo:
*Unahitaji kujua fomula hizi kwa moyo.
Unaweza kuandika mara moja na kutatua:
Mfano:
1. Ikiwa D > 0, basi equation ina mizizi miwili.
2. Ikiwa D = 0, basi equation ina mizizi moja.
3. Ikiwa D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Wacha tuangalie equation:
Na kwenye hafla hii, wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, kozi ya shule inasema kwamba matokeo ni mzizi mmoja, hapa ni sawa na tisa. Kila kitu ni sawa, ni hivyo, lakini ...
Wazo hili si sahihi kwa kiasi fulani. Kwa kweli, kuna mizizi miwili. Ndio, ndio, usishangae, unapata mizizi miwili sawa, na kuwa sahihi kihesabu, basi jibu linapaswa kuandika mizizi miwili:
x 1 = 3 x 2 = 3
Lakini hii ni hivyo - digression ndogo. Shuleni unaweza kuiandika na kusema kwamba kuna mzizi mmoja.
Sasa mfano unaofuata:
Kama tunavyojua, mizizi ya nambari hasi haijatolewa, kwa hivyo suluhisho ndani kwa kesi hii Hapana.
Huo ndio mchakato mzima wa maamuzi.
Utendaji wa Quadratic.
Hii inaonyesha jinsi suluhisho linaonekana kama kijiometri. Hii ni muhimu sana kuelewa (katika siku zijazo, katika moja ya vifungu tutachambua kwa undani suluhisho la usawa wa quadratic).
Hii ni kazi ya fomu:
ambapo x na y ni vigezo
a, b, c - nambari zilizotolewa, na ≠ 0
Grafu ni parabola:
Hiyo ni, zinageuka kuwa kwa kutatua equation ya quadratic na "y" sawa na sifuri, tunapata pointi za makutano ya parabola na mhimili wa x. Kunaweza kuwa na pointi mbili kati ya hizi (kibaguzi ni chanya), moja (kibaguzi ni sifuri) na hakuna (kibaguzi ni hasi). Maelezo kuhusu kazi ya quadratic Unaweza kutazama makala na Inna Feldman.
Hebu tuangalie mifano:
Mfano 1: Tatua 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= -192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Jibu: x 1 = 8 x 2 = -12
*Iliwezekana kuondoka mara moja na upande wa kulia gawanya equation na 2, ambayo ni, kurahisisha. Mahesabu yatakuwa rahisi zaidi.
Mfano 2: Amua x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Tuligundua kuwa x 1 = 11 na x 2 = 11
Inaruhusiwa kuandika x = 11 katika jibu.
Jibu: x = 11
Mfano 3: Amua x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= -8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Ubaguzi ni hasi, hakuna suluhisho kwa idadi halisi.
Jibu: hakuna suluhisho
Mbaguzi ni hasi. Kuna suluhisho!
Hapa tutazungumzia juu ya kutatua equation katika kesi wakati ubaguzi mbaya unapatikana. Je! unajua chochote kuhusu nambari changamano? Sitaingia kwa undani hapa juu ya kwanini na wapi waliibuka na jukumu lao maalum na hitaji katika hisabati ni nini; hii ni mada ya nakala kubwa tofauti.
Dhana ya nambari changamano.
Nadharia kidogo.
Nambari changamano z ni nambari ya fomu
z = a + bi
ambapo a na b ni nambari halisi, i ni kile kinachoitwa kitengo cha kufikiria.
a+bi - hii ni NAMBA MOJA, sio nyongeza.
Sehemu ya kufikiria ni sawa na mzizi wa minus moja:
Sasa fikiria equation:
Tunapata mizizi miwili ya kuunganisha.
Mlinganyo wa quadratic usio kamili.
Hebu tuzingatie kesi maalum, hii ni wakati mgawo "b" au "c" ni sawa na sifuri (au zote mbili ni sawa na sifuri). Wanaweza kutatuliwa kwa urahisi bila ubaguzi wowote.
Kesi ya 1. Mgawo b = 0.
Equation inakuwa:
Wacha tubadilishe:
Mfano:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2
Kesi ya 2. Coefficient c = 0.
Equation inakuwa:
Wacha tubadilishe na tuimarishe:
*Bidhaa ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya vipengele ni sawa na sifuri.
Mfano:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 au x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Kesi ya 3. Viwiliwili b = 0 na c = 0.
Hapa ni wazi kuwa suluhisho la equation litakuwa x = 0 kila wakati.
Mali muhimu na mifumo ya coefficients.
Kuna mali ambayo inakuwezesha kutatua equations na coefficients kubwa.
Ax 2 + bx+ c=0 usawa unashikilia
a + b+ c = 0, Hiyo
- ikiwa kwa coefficients ya equation Ax 2 + bx+ c=0 usawa unashikilia
a+ s =b, Hiyo
Tabia hizi husaidia kuamua aina fulani milinganyo
Mfano 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Jumla ya uwezekano ni 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, ambayo ina maana
Mfano 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Usawa unashikilia a+ s =b, Maana
Kanuni za coefficients.
1. Ikiwa katika shoka ya equation 2 + bx + c = 0 mgawo "b" ni sawa na (2 +1), na mgawo "c" ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.
shoka 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Mfano. Fikiria mlinganyo 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Ikiwa katika shoka ya equation 2 - bx + c = 0 mgawo "b" ni sawa na (2 +1), na mgawo "c" ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.
shoka 2 - (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Mfano. Fikiria mlinganyo 15x 2 -226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Ikiwa katika Eq. shoka 2 + bx - c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 - 1), na mgawo "c" kwa nambari ni sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa
shoka 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Mfano. Fikiria mlinganyo 17x 2 +288x - 17 = 0.
x 1 = - 17 x 2 = 1/17.
4. Ikiwa katika shoka ya equation 2 - bx - c = 0 mgawo "b" ni sawa na (a 2 - 1), na mgawo c ni nambari sawa na mgawo "a", basi mizizi yake ni sawa.
shoka 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Mfano. Fikiria mlinganyo 10x 2 - 99x -10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = - 1/10
Nadharia ya Vieta.
Nadharia ya Vieta imepewa jina la mwanahisabati maarufu wa Ufaransa Francois Vieta. Kwa kutumia nadharia ya Vieta, tunaweza kueleza jumla na bidhaa ya mizizi ya KU kiholela kulingana na viambajengo vyake.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Kwa jumla, nambari 14 inatoa 5 na 9 tu. Hizi ni mizizi. Kwa ustadi fulani, kwa kutumia nadharia iliyowasilishwa, unaweza kutatua hesabu nyingi za quadratic kwa mdomo mara moja.
Nadharia ya Vieta, kwa kuongeza. rahisi kwa sababu baada ya kutatua mlinganyo wa quadratic kwa njia ya kawaida(kupitia kibaguzi) mizizi inayosababisha inaweza kuchunguzwa. Ninapendekeza kufanya hivi kila wakati.
NJIA YA USAFIRI
Kwa njia hii, mgawo "a" unazidishwa na neno la bure, kana kwamba "kutupwa" kwake, ndiyo sababu inaitwa. njia ya "uhamisho". Njia hii hutumiwa wakati mizizi ya equation inaweza kupatikana kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Vieta na, muhimu zaidi, wakati kibaguzi ni mraba halisi.
Kama A± b+c≠ 0, basi mbinu ya uhamishaji inatumika, kwa mfano:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Kwa kutumia nadharia ya Vieta katika mlinganyo (2), ni rahisi kubainisha kuwa x 1 = 10 x 2 = 1
Mizizi inayotokana ya equation lazima igawanywe na 2 (kwani hizo mbili "zilitupwa" kutoka x 2), tunapata.
x 1 = 5 x 2 = 0.5.
Mantiki ni nini? Tazama kinachoendelea.
Wabaguzi wa milinganyo (1) na (2) ni sawa:
Ukiangalia mizizi ya hesabu, unapata tu madhehebu tofauti, na matokeo inategemea haswa juu ya mgawo wa x 2:
Ya pili (iliyorekebishwa) ina mizizi ambayo ni mara 2 zaidi.
Kwa hivyo, tunagawanya matokeo na 2.
*Ikiwa tutasajili upya watatu, tutagawanya matokeo kwa 3, nk.
Jibu: x 1 = 5 x 2 = 0.5
Sq. ur-ie na Uchunguzi wa Jimbo Moja.
Nitakuambia kwa ufupi juu ya umuhimu wake - LAZIMA UWEZE KUAMUA haraka na bila kufikiria, unahitaji kujua kanuni za mizizi na ubaguzi kwa moyo. Matatizo mengi yaliyojumuishwa katika majukumu ya Mitihani ya Jimbo Iliyounganishwa hujitokeza hadi kutatua mlingano wa robo tatu (zimejumuishwa kijiometri).
Kitu cha kuzingatia!
1. Njia ya kuandika equation inaweza kuwa "implicit". Kwa mfano, kiingilio kifuatacho kinawezekana:
15+ 9x 2 - 45x = 0 au 15x+42+9x 2 - 45x=0 au 15 -5x+10x 2 = 0.
Unahitaji kumleta mtazamo wa kawaida(ili usichanganyike wakati wa kuamua).
2. Kumbuka kwamba x ni kiasi kisichojulikana na inaweza kuonyeshwa kwa barua nyingine yoyote - t, q, p, h na wengine.
Matumizi ya milinganyo yameenea katika maisha yetu. Zinatumika katika mahesabu mengi, ujenzi wa miundo na hata michezo. Mwanadamu alitumia equations katika nyakati za kale, na tangu wakati huo matumizi yao yameongezeka tu. Ubaguzi hukuruhusu kutatua mlinganyo wowote wa quadratic kwa kutumia fomula ya jumla, ambayo ina fomu ifuatayo:
Fomula ya kibaguzi inategemea kiwango cha polynomial. Fomula iliyo hapo juu inafaa kwa kutatua milinganyo ya roboduara aina ifuatayo:
Kibaguzi kina sifa zifuatazo ambazo unahitaji kujua:
* "D" ni 0 wakati polynomial ina mizizi mingi (mizizi sawa);
* "D" ni polynomial linganifu kwa heshima na mizizi ya polynomial na kwa hiyo ni polynomial katika coefficients yake; zaidi ya hayo, coefficients ya polynomial hii ni integers bila kujali ugani ambao mizizi huchukuliwa.
Wacha tuseme tumepewa equation ya quadratic ya fomu ifuatayo:
1 mlingano
Kulingana na formula tunayo:
Tangu \, equation ina mizizi 2. Hebu tufafanue:
Je, ni wapi ninaweza kutatua mlinganyo kwa kutumia kitatuzi kibaguzi cha mtandaoni?
Unaweza kutatua equation kwenye tovuti yetu https://site. Kitatuzi cha bure mtandaoni kitakuruhusu kutatua milinganyo ya mtandaoni ya utata wowote katika suala la sekunde. Unachohitaji kufanya ni kuingiza data yako kwenye kisuluhishi. Unaweza pia kutazama maagizo ya video na kujua jinsi ya kutatua equation kwenye tovuti yetu.Na ikiwa una maswali yoyote, unaweza kuwauliza katika kikundi chetu cha VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Jiunge na kikundi chetu, tunafurahi kukusaidia kila wakati.
Milinganyo ya quadratic. Mbaguzi. Suluhisho, mifano.
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Aina za milinganyo ya quadratic
Mlinganyo wa quadratic ni nini? Je, inaonekana kama nini? Kwa muda mlinganyo wa quadratic neno kuu ni "mraba". Hii ina maana kwamba katika equation Lazima lazima kuwe na x'mraba. Kwa kuongezea, equation inaweza (au haiwezi!) kuwa na X tu (kwa nguvu ya kwanza) na nambari tu. (mwanachama huru). Na haipaswi kuwa na X kwa nguvu kubwa kuliko mbili.
Kwa maneno ya hisabati, equation ya quadratic ni equation ya fomu:
Hapa a, b na c- nambari kadhaa. b na c- yoyote kabisa, lakini A- kitu chochote isipokuwa sifuri. Kwa mfano:
Hapa A =1; b = 3; c = -4
Hapa A =2; b = -0,5; c = 2,2
Hapa A =-3; b = 6; c = -18
Kweli, unaelewa ...
Katika milinganyo hii ya quadratic upande wa kushoto kuna seti kamili wanachama. X yenye mraba yenye mgawo A, x kwa nishati ya kwanza yenye mgawo b Na mwanachama huru s.
Milinganyo kama hiyo ya quadratic inaitwa kamili.
Na kama b= 0, tunapata nini? Tuna X itapotea kwa nguvu ya kwanza. Hii hutokea inapozidishwa na sifuri.) Inageuka, kwa mfano:
5x 2 -25 = 0,
2x 2 -6x=0,
-x 2 +4x=0
Nakadhalika. Na ikiwa coefficients zote mbili b Na c ni sawa na sifuri, basi ni rahisi zaidi:
2x2 =0,
-0.3x 2 =0
Milinganyo kama hii ambapo kitu kinakosekana huitwa milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Ambayo ni ya kimantiki.) Tafadhali kumbuka kuwa x squared iko katika milinganyo yote.
Kwa njia, kwa nini A haiwezi kuwa sawa na sifuri? Na wewe badala yake A sifuri.) X yetu yenye mraba itatoweka! Mlinganyo utakuwa mstari. Na suluhisho ni tofauti kabisa ...
Hiyo ndiyo aina zote kuu za milinganyo ya quadratic. Kamili na haijakamilika.
Kutatua milinganyo ya quadratic.
Kutatua milinganyo kamili ya quadratic.
Milinganyo ya quadratic ni rahisi kutatua. Kulingana na kanuni na sheria wazi, rahisi. Katika hatua ya kwanza ni muhimu kupewa equation kusababisha fomu ya kawaida, i.e. kwa fomu:
Ikiwa equation tayari imepewa kwako kwa fomu hii, huna haja ya kufanya hatua ya kwanza.) Jambo kuu ni kuamua kwa usahihi coefficients zote, A, b Na c.
Njia ya kupata mizizi ya equation ya quadratic inaonekana kama hii:
Usemi chini ya ishara ya mizizi inaitwa kibaguzi. Lakini zaidi juu yake hapa chini. Kama unaweza kuona, kupata X, tunatumia tu a, b na c. Wale. mgawo kutoka kwa mlinganyo wa quadratic. Badilisha tu maadili kwa uangalifu a, b na c Tunahesabu katika fomula hii. Hebu tubadilishe kwa ishara zako mwenyewe! Kwa mfano, katika equation:
A =1; b = 3; c= -4. Hapa tunaandika:
Mfano unakaribia kutatuliwa:
Hili ndilo jibu.
Kila kitu ni rahisi sana. Na nini, unafikiri kuwa haiwezekani kufanya makosa? Kweli, ndio, jinsi ...
Makosa ya kawaida ni kuchanganyikiwa na maadili ya ishara a, b na c. Au tuseme, sio kwa ishara zao (wapi kuchanganyikiwa?), lakini kwa uingizwaji wa maadili hasi katika fomula ya kuhesabu mizizi. Kinachosaidia hapa ni rekodi ya kina ya fomula na nambari maalum. Ikiwa kuna shida na mahesabu, fanya hivyo!
Tuseme tunahitaji kutatua mfano ufuatao:
Hapa a = -6; b = -5; c = -1
Hebu tuseme unajua kwamba ni nadra kupata majibu mara ya kwanza.
Naam, usiwe wavivu. Itachukua kama sekunde 30 kuandika mstari wa ziada. Na idadi ya makosa itapungua kwa kasi. Kwa hivyo tunaandika kwa undani, na mabano na ishara zote:
Inaonekana ni ngumu sana kuandika kwa uangalifu sana. Lakini inaonekana hivyo tu. Jaribu. Naam, au chagua. Nini bora, haraka au sawa? Zaidi ya hayo, nitakufanya uwe na furaha. Baada ya muda, hakutakuwa na haja ya kuandika kila kitu kwa uangalifu sana. Itafanya kazi peke yake. Hasa ikiwa unatumia mbinu za vitendo ambazo zimeelezwa hapa chini. Mfano huu mbaya na rundo la minuses inaweza kutatuliwa kwa urahisi na bila makosa!
Lakini, mara nyingi, milinganyo ya quadratic inaonekana tofauti kidogo. Kwa mfano, kama hii:
Je, uliitambua?) Ndiyo! Hii milinganyo ya quadratic isiyokamilika.
Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika.
Wanaweza pia kutatuliwa kwa kutumia formula ya jumla. Unahitaji tu kuelewa kwa usahihi ni nini wao ni sawa na hapa. a, b na c.
Je, umeifahamu? Katika mfano wa kwanza a = 1; b = -4; A c? Haipo kabisa! Naam ndiyo, hiyo ni sawa. Katika hisabati hii ina maana kwamba c = 0 ! Ni hayo tu. Badala yake, badilisha sifuri kwenye fomula c, na tutafanikiwa. Sawa na mfano wa pili. Ni sisi tu hatuna sifuri hapa Na, A b !
Lakini milinganyo ya quadratic isiyokamilika inaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi. Bila fomula yoyote. Wacha tuzingatie mlinganyo wa kwanza ambao haujakamilika. Unaweza kufanya nini kwa upande wa kushoto? Unaweza kuchukua X kutoka kwa mabano! Hebu tutoe nje.
Na nini kutoka kwa hii? Na ukweli kwamba bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa tu ikiwa sababu yoyote ni sawa na sifuri! Usiniamini? Sawa, basi njoo na nambari mbili zisizo za sifuri ambazo, zikizidishwa, zitatoa sifuri!
Haifanyi kazi? Ni hayo tu...
Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa ujasiri: x 1 = 0, x 2 = 4.
Wote. Hizi zitakuwa mizizi ya equation yetu. Zote mbili zinafaa. Wakati wa kubadilisha yoyote yao kwenye mlinganyo wa asili, tunapata utambulisho sahihi 0 = 0. Kama unaweza kuona, suluhisho ni rahisi zaidi kuliko kutumia fomula ya jumla. Hebu kumbuka, kwa njia, ambayo X itakuwa ya kwanza na ambayo itakuwa ya pili - isiyojali kabisa. Ni rahisi kuandika kwa mpangilio, x 1- ni nini ndogo na x 2- kile ambacho ni kikubwa zaidi.
Equation ya pili pia inaweza kutatuliwa kwa urahisi. Hoja 9 kwa upande wa kulia. Tunapata:
Yote iliyobaki ni kutoa mzizi kutoka 9, na ndivyo hivyo. Itageuka:
Pia mizizi miwili . x 1 = -3, x 2 = 3.
Hivi ndivyo milinganyo yote ya quadratic ambayo haijakamilika hutatuliwa. Ama kwa kuweka X nje ya mabano, au uhamisho rahisi nambari kulia na kisha kuchimba mzizi.
Ni ngumu sana kuchanganya mbinu hizi. Kwa sababu tu katika kesi ya kwanza italazimika kutoa mzizi wa X, ambao haueleweki kwa njia fulani, na katika kesi ya pili hakuna kitu cha kuchukua kutoka kwa mabano ...
Mbaguzi. Fomula ya kibaguzi.
Neno la uchawi kibaguzi ! Ni mara chache mwanafunzi wa shule ya upili hajasikia neno hili! Maneno "tunasuluhisha kupitia ubaguzi" yanatia moyo kujiamini na uhakikisho. Kwa sababu hakuna haja ya kutarajia ujanja kutoka kwa mbaguzi! Ni rahisi na haina shida kutumia.) Ninakukumbusha zaidi formula ya jumla kwa ufumbuzi yoyote milinganyo ya quadratic:
Usemi chini ya ishara ya mizizi huitwa kibaguzi. Kwa kawaida kibaguzi kinaonyeshwa na barua D. Fomula ya kibaguzi:
D = b 2 - 4ac
Na ni nini cha ajabu kuhusu usemi huu? Kwa nini ilistahili jina maalum? Nini maana ya kibaguzi? Baada ya yote -b, au 2a katika fomula hii hawaitaji kitu chochote ... Barua na barua.
Hili hapa jambo. Wakati wa kutatua equation ya quadratic kwa kutumia formula hii, inawezekana kesi tatu tu.
1. Mwenye ubaguzi ni chanya. Hii inamaanisha kuwa mzizi unaweza kutolewa kutoka kwake. Ikiwa mzizi umetolewa vizuri au vibaya ni swali lingine. Kilicho muhimu ni kile kinachotolewa kwa kanuni. Kisha equation yako ya quadratic ina mizizi miwili. Suluhisho mbili tofauti.
2. Mbaguzi ni sifuri. Kisha utakuwa na suluhisho moja. Kwa kuwa kuongeza au kupunguza sifuri kwenye nambari haibadilishi chochote. Kwa kweli, hii sio mzizi mmoja, lakini mbili zinazofanana. Lakini, katika toleo lililorahisishwa, ni desturi ya kuzungumza juu suluhisho moja.
3. Mbaguzi ni hasi. Mzizi wa mraba wa nambari hasi hauwezi kuchukuliwa. Naam, sawa. Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.
Kwa kusema ukweli, lini suluhisho rahisi quadratic equations, dhana ya kibaguzi haihitajiki hasa. Tunabadilisha thamani za coefficients kwenye fomula na kuhesabu. Kila kitu kinatokea huko peke yake, mizizi miwili, moja, na hakuna. Hata hivyo, wakati wa kutatua kazi ngumu zaidi, bila ujuzi maana na fomula ya kibaguzi haitoshi. Hasa katika equations na vigezo. Milinganyo kama hii ni aerobatics kwa Mtihani wa Jimbo na Mtihani wa Jimbo Pamoja!)
Kwa hiyo, jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic kupitia mbaguzi uliyemkumbuka. Au ulijifunza, ambayo pia si mbaya.) Unajua jinsi ya kuamua kwa usahihi a, b na c. Je, unajua jinsi gani? kwa makini kuzibadilisha katika fomula ya mizizi na kwa makini hesabu matokeo. Unaelewa kuwa neno kuu hapa ni kwa makini?
Sasa angalia mbinu za vitendo ambazo hupunguza kwa kiasi kikubwa idadi ya makosa. Yale yale yanayotokana na kutokujali... Ambayo baadae inakuwa chungu na kuudhi...
Uteuzi wa kwanza
. Usiwe wavivu kabla ya kutatua equation ya quadratic na uilete kwa fomu ya kawaida. Hii ina maana gani?
Wacha tuseme kwamba baada ya mabadiliko yote unapata equation ifuatayo:
Usikimbilie kuandika formula ya mizizi! Kwa hakika utapata odds zilizochanganyika a, b na c. Tengeneza mfano kwa usahihi. Kwanza, X mraba, kisha bila mraba, kisha neno bure. Kama hii:
Na tena, usikimbilie! Minus mbele ya X yenye mraba inaweza kukukasirisha sana. Ni rahisi kusahau... Ondoa minus. Vipi? Ndio, kama ilivyofundishwa katika mada iliyotangulia! Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa -1. Tunapata:
Lakini sasa unaweza kuandika kwa usalama formula ya mizizi, kuhesabu kibaguzi na kumaliza kutatua mfano. Amua mwenyewe. Unapaswa sasa kuwa na mizizi 2 na -1.
Mapokezi ya pili. Angalia mizizi! Kulingana na nadharia ya Vieta. Usiogope, nitaelezea kila kitu! Kuangalia jambo la mwisho mlinganyo. Wale. ile tuliyotumia kuandika kanuni ya mizizi. Ikiwa (kama katika mfano huu) mgawo a = 1, kuangalia mizizi ni rahisi. Inatosha kuwazidisha. Matokeo yanapaswa kuwa mwanachama huru, i.e. kwa upande wetu -2. Tafadhali kumbuka, sio 2, lakini -2! Mwanachama wa bure na ishara yako . Ikiwa haifanyi kazi, inamaanisha kuwa tayari wamejipanga mahali fulani. Tafuta hitilafu.
Ikiwa inafanya kazi, unahitaji kuongeza mizizi. Cheki ya mwisho na ya mwisho. Mgawo unapaswa kuwa b Na kinyume
inayojulikana. Kwa upande wetu -1+2 = +1. Mgawo b, ambayo ni kabla ya X, ni sawa na -1. Kwa hivyo, kila kitu ni sawa!
Inasikitisha kwamba hii ni rahisi sana kwa mifano tu ambapo x squared ni safi, na mgawo a = 1. Lakini angalau angalia hesabu kama hizo! Kutakuwa na makosa machache na machache.
Mapokezi ya tatu . Ikiwa equation yako ina mgawo wa sehemu, ondoa sehemu! Zidisha mlingano kwa kiashiria cha kawaida kama ilivyoelezwa katika somo "Jinsi ya kutatua milinganyo? Mabadiliko ya utambulisho." Wakati wa kufanya kazi na sehemu, makosa yanaendelea kuingia kwa sababu fulani ...
Kwa njia, niliahidi kurahisisha mfano mbaya na rundo la minuses. Tafadhali! Huyu hapa.
Ili sio kuchanganyikiwa na minuses, tunazidisha equation kwa -1. Tunapata:
Ni hayo tu! Kutatua ni furaha!
Kwa hiyo, hebu tufanye muhtasari wa mada.
1. Kabla ya kutatua, tunaleta equation ya quadratic kwa fomu ya kawaida na kuijenga Haki.
2. Ikiwa kuna mgawo hasi mbele ya X ya mraba, tunaiondoa kwa kuzidisha equation nzima kwa -1.
3. Ikiwa mgawo ni wa sehemu, tunaondoa sehemu kwa kuzidisha equation nzima kwa sababu inayolingana.
4. Ikiwa x mraba ni safi, mgawo wake sawa na moja, suluhisho linaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Vieta. Fanya!
Sasa tunaweza kuamua.)
Tatua milinganyo:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Majibu (katika hali mbaya):
x 1 = 0
x 2 = 5
x 1.2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0.5
x - nambari yoyote
x 1 = -3
x 2 = 3
hakuna masuluhisho
x 1 = 0.25
x 2 = 0.5
Je, kila kitu kinafaa? Kubwa! Milinganyo ya quadratic sio jambo lako maumivu ya kichwa. Watatu wa kwanza walifanya kazi, lakini wengine hawakufanya? Halafu shida sio na hesabu za quadratic. Shida iko katika mabadiliko sawa ya equations. Angalia kiungo, ni muhimu.
Je, haifanyi kazi kabisa? Au haifanyi kazi hata kidogo? Kisha Sehemu ya 555 itakusaidia.Mifano hii yote imevunjwa hapo. Imeonyeshwa kuu makosa katika suluhisho. Kwa kweli, tunazungumza pia juu ya utumiaji wa mabadiliko sawa katika kutatua hesabu kadhaa. Inasaidia sana!
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Tunaendelea kusoma mada " kutatua milinganyo" Tayari tumefahamu milinganyo ya mstari na tunaendelea kuzoeana milinganyo ya quadratic.
Kwanza tutaangalia equation ya quadratic ni nini na imeandikwaje mtazamo wa jumla, na kutoa ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, tutatumia mifano kuchunguza kwa undani jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa. Wacha tuendelee kwenye suluhisho milinganyo kamili, tutapata fomula ya mizizi, kufahamiana na kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic, na tutazingatia masuluhisho kwa mifano ya kawaida. Hatimaye, hebu tufuate miunganisho kati ya mizizi na coefficients.
Urambazaji wa ukurasa.
Mlinganyo wa quadratic ni nini? Aina zao
Kwanza unahitaji kuelewa wazi equation ya quadratic ni nini. Kwa hiyo, ni jambo la busara kuanza mazungumzo kuhusu equations za quadratic na ufafanuzi wa equation ya quadratic, pamoja na ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, unaweza kuzingatia aina kuu za equations za quadratic: kupunguzwa na kupunguzwa, pamoja na usawa kamili na usio kamili.
Ufafanuzi na mifano ya milinganyo ya quadratic
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa Quadratic ni mlinganyo wa fomu a x 2 +b x+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni baadhi ya nambari, na a si sifuri.
Wacha tuseme mara moja kwamba equations za quadratic mara nyingi huitwa equations ya shahada ya pili. Hii ni kutokana na ukweli kwamba equation ya quadratic ni mlinganyo wa algebra shahada ya pili.
Ufafanuzi uliotajwa unaturuhusu kutoa mifano ya milinganyo ya quadratic. Kwa hivyo 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, nk. Hizi ni milinganyo ya quadratic.
Ufafanuzi.
Nambari a, b na c huitwa mgawo wa mlinganyo wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0, na mgawo a unaitwa wa kwanza, au wa juu zaidi, au mgawo wa x 2, b ni mgawo wa pili, au mgawo wa x, na c ni neno huria. .
Kwa mfano, hebu tuchukue equation ya quadratic ya fomu 5 x 2 -2 x -3=0, hapa mgawo unaoongoza ni 5, mgawo wa pili ni sawa na -2, na neno la bure ni sawa na -3. Kumbuka kuwa wakati mgawo b na/au c ni hasi, kama ilivyo kwenye mfano uliopewa, basi fomu fupi kuandika mlinganyo wa quadratic wa fomu 5 x 2 -2 x−3=0, na si 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0.
Inafaa kumbuka kuwa wakati viambatanisho a na/au b ni sawa na 1 au −1, kwa kawaida hazipo wazi katika mlinganyo wa quadratic, ambayo ni kutokana na sifa za uandishi kama huo. Kwa mfano, katika mlinganyo wa quadratic y 2 -y+3=0 mgawo unaoongoza ni mmoja, na mgawo wa y ni sawa na -1.
Milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa
Kulingana na thamani ya mgawo wa kuongoza, equations za quadratic zilizopunguzwa na zisizopunguzwa zinajulikana. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa quadratic ambao mgawo unaoongoza ni 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. Vinginevyo equation ya quadratic ni haijaguswa.
Kulingana na ufafanuzi huu, milinganyo ya quadratic x 2 −3·x+1=0, x 2 −x-2/3=0, nk. - ikipewa, katika kila mmoja wao mgawo wa kwanza ni sawa na moja. A 5 x 2 −x−1=0, nk. - milinganyo ya quadratic ambayo haijapunguzwa, coefficients yao inayoongoza ni tofauti na 1.
Kutoka kwa usawa wowote wa quadratic ambao haujapunguzwa, kwa kugawanya pande zote mbili kwa mgawo wa kuongoza, unaweza kwenda kwa moja iliyopunguzwa. Kitendo hiki ni mageuzi sawa, yaani, equation iliyopunguzwa ya quadratic iliyopatikana kwa njia hii ina mizizi sawa na equation ya quadratic ya awali isiyopunguzwa, au, kama hiyo, haina mizizi.
Hebu tuangalie mfano wa jinsi mpito kutoka kwa equation ya quadratic isiyopunguzwa hadi iliyopunguzwa inafanywa.
Mfano.
Kutoka kwa mlingano wa 3 x 2 +12 x−7=0, nenda kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa.
Suluhisho.
Tunahitaji tu kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa asili kwa mgawo wa 3 unaoongoza, sio sifuri, ili tuweze kutekeleza kitendo hiki. Tuna (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ambayo ni sawa, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, na kisha (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kutoka wapi. Hivi ndivyo tulivyopata equation ya quadratic iliyopunguzwa, ambayo ni sawa na ile ya awali.
Jibu:
Milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic
Ufafanuzi wa mlingano wa quadratic una hali a≠0. Hali hii ni muhimu ili equation a x 2 + b x + c = 0 ni quadratic, tangu wakati = 0 inakuwa kweli equation linear ya fomu b x + c = 0.
Kama kwa coefficients b na c, wanaweza kuwa sawa na sifuri, mmoja mmoja na kwa pamoja. Katika kesi hizi, equation ya quadratic inaitwa haijakamilika.
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0 unaitwa haijakamilika, ikiwa angalau moja ya mgawo b, c ni sawa na sifuri.
Kwa upande wake
Ufafanuzi.
Mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo ambapo coefficients zote ni tofauti na sufuri.
Majina kama haya hayakutolewa kwa bahati. Hili litakuwa wazi kutokana na mijadala ifuatayo.
Ikiwa mgawo b ni sifuri, basi mlinganyo wa quadratic huchukua fomu a·x 2 +0·x+c=0, na ni sawa na mlinganyo a·x 2 +c=0. Ikiwa c=0, yaani, mlinganyo wa quadratic una umbo a·x 2 +b·x+0=0, basi unaweza kuandikwa upya kama a·x 2 +b·x=0. Na kwa b=0 na c=0 tunapata equation ya quadratic a·x 2 =0. Milinganyo inayotokana inatofautiana na mlinganyo kamili wa quadratic kwa kuwa pande zao za mkono wa kushoto hazina neno lenye mabadiliko ya x, au neno lisilolipishwa, au zote mbili. Kwa hivyo jina lao - milinganyo ya quadratic isiyo kamili.
Kwa hivyo milinganyo x 2 +x+1=0 na -2 x 2 -5 x+0.2=0 ni mifano ya milinganyo kamili ya quadratic, na x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika.
Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika
Kutoka kwa habari katika aya iliyotangulia inafuata kuwa kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:
- a·x 2 =0, viambajengo b=0 na c=0 vinalingana nayo;
- a x 2 +c=0 wakati b=0 ;
- na a·x 2 +b·x=0 wakati c=0.
Wacha tuchunguze ili jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya kila aina hizi hutatuliwa.
a x 2 =0
Wacha tuanze na kusuluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika ambayo coefficients b na c ni sawa na sifuri, ambayo ni, na milinganyo ya fomu x 2 =0. Mlinganyo a·x 2 =0 ni sawa na mlinganyo x 2 =0, ambao hupatikana kutoka kwa asili kwa kugawanya sehemu zote mbili na nambari isiyo ya sifuri a. Kwa wazi, mzizi wa equation x 2 =0 ni sifuri, tangu 0 2 =0. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine, ambayo inaelezewa na ukweli kwamba kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri p usawa p 2 >0 inashikilia, ambayo ina maana kwamba kwa p≠0 usawa p 2 =0 haipatikani kamwe.
Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 =0 ina mzizi mmoja x=0.
Kama mfano, tunatoa suluhu kwa mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika -4 x 2 =0. Ni sawa na equation x 2 =0, mzizi wake pekee ni x = 0, kwa hiyo, equation ya awali ina mizizi sifuri moja.
Suluhisho fupi katika kesi hii linaweza kuandikwa kama ifuatavyo.
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .
a x 2 +c=0
Sasa hebu tuangalie jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa ambapo mgawo b ni sifuri na c≠0, yaani, milinganyo ya fomu a x 2 +c=0. Tunajua kwamba kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa mlinganyo hadi mwingine kwa ishara kinyume, na pia kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari isiyo ya sifuri, kunatoa mlingano sawa. Kwa hivyo, tunaweza kutekeleza mabadiliko sawa yafuatayo ya equation ya quadratic isiyokamilika x 2 +c=0:
- hoja c kwa upande wa kulia, ambayo inatoa equation a x 2 =-c,
- na kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata .
Equation inayotokana inatuwezesha kupata hitimisho kuhusu mizizi yake. Kulingana na maadili ya a na c, thamani ya usemi inaweza kuwa hasi (kwa mfano, ikiwa a=1 na c=2, basi ) au chanya (kwa mfano, ikiwa a=−2 na c=6, basi ), sio sifuri , kwani kwa hali c≠0. Wacha tuangalie kesi tofauti.
Ikiwa , basi equation haina mizizi. Taarifa hii inafuatia ukweli kwamba mraba wa nambari yoyote ni nambari isiyo hasi. Inafuata kutoka kwa hili kwamba when , basi kwa nambari yoyote p usawa hauwezi kuwa kweli.
Ikiwa , basi hali na mizizi ya equation ni tofauti. Katika kesi hii, ikiwa tunakumbuka kuhusu , basi mzizi wa equation huwa wazi mara moja; ni nambari, kwani . Ni rahisi kukisia kuwa nambari pia ndio mzizi wa equation, kwa kweli,. Equation hii haina mizizi mingine, ambayo inaweza kuonyeshwa, kwa mfano, kwa kupingana. Hebu tufanye.
Wacha tuonyeshe mizizi ya mlinganyo uliotangazwa hivi punde kama x 1 na −x 1 . Tuseme kwamba equation ina mzizi mmoja zaidi x 2, tofauti na mizizi iliyoonyeshwa x 1 na -x 1. Inajulikana kuwa kubadilisha mizizi yake katika mlinganyo badala ya x hugeuza mlinganyo kuwa usawa sahihi wa nambari. Kwa x 1 na −x 1 tuna , na kwa x 2 tuna . Sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya uondoaji wa muda kwa muda wa usawa sahihi wa nambari, kwa hivyo kuondoa sehemu zinazolingana za usawa hutoa x 1 2 -x 2 2 =0. Sifa za utendakazi zilizo na nambari huturuhusu kuandika upya usawa unaotokana kama (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Tunajua kuwa bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kutokana na usawa unaotokana inafuata kwamba x 1 -x 2 =0 na/au x 1 +x 2 =0, ambayo ni sawa, x 2 =x 1 na/au x 2 =−x 1. Kwa hivyo tulikuja kwa mkanganyiko, kwani mwanzoni tulisema kwamba mzizi wa equation x 2 ni tofauti na x 1 na -x 1. Hii inathibitisha kwamba equation haina mizizi zaidi na .
Wacha tufanye muhtasari wa habari katika aya hii. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika a x 2 +c=0 ni sawa na mlinganyo ambao
- haina mizizi ikiwa,
- ina mizizi miwili na, ikiwa.
Hebu tuzingatie mifano ya kusuluhisha milinganyo ya robota isiyokamilika ya fomu a·x 2 +c=0.
Hebu tuanze na mlingano wa roboduara 9 x 2 +7=0. Baada ya kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation, itachukua fomu 9 x 2 = -7. Kugawanya pande zote mbili za equation inayosababishwa na 9, tunafika kwenye . Kwa kuwa upande wa kulia una nambari hasi, usawa huu hauna mizizi, kwa hiyo, usawa wa awali wa quadratic usio kamili 9 x 2 +7 = 0 hauna mizizi.
Wacha tusuluhishe mlinganyo mwingine wa kiduara usiokamilika −x 2 +9=0. Tunasonga tisa kwa upande wa kulia: −x 2 =-9. Sasa tunagawanya pande zote mbili kwa -1, tunapata x 2 =9. Upande wa kulia ni nambari chanya, ambayo tunahitimisha kwamba au . Kisha tunaandika jibu la mwisho: equation ya quadratic isiyo kamili -x 2 +9=0 ina mizizi miwili x=3 au x=-3.
a x 2 +b x=0
Inabakia kushughulikia suluhisho la aina ya mwisho ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa c=0. Milinganyo ya quadratic isiyo kamili ya fomu x 2 + b x = 0 inakuwezesha kutatua njia ya factorization. Kwa wazi, tunaweza, iko upande wa kushoto wa equation, ambayo inatosha kuchukua sababu ya kawaida x nje ya mabano. Hili huturuhusu kuhama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa quadratic usio kamili hadi mlinganyo sawa wa fomu x·(a·x+b)=0. Na mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo miwili x=0 na a·x+b=0, ambayo ya mwisho ni ya mstari na ina mzizi x=-b/a.
Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 +b·x=0 ina mizizi miwili x=0 na x=−b/a.
Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua suluhisho kwa mfano maalum.
Mfano.
Tatua mlinganyo.
Suluhisho.
Kuchukua x kutoka kwa mabano kunatoa mlingano . Ni sawa na milinganyo miwili x=0 na . Tunatatua equation ya mstari inayosababisha:, na kufanya mgawanyiko nambari iliyochanganywa juu sehemu ya kawaida, tunapata. Kwa hivyo, mizizi ya equation ya asili ni x=0 na .
Baada ya kupata mazoezi muhimu, suluhisho za hesabu kama hizo zinaweza kuandikwa kwa ufupi:
Jibu:
x=0 , .
Ubaguzi, fomula ya mizizi ya equation ya quadratic
Ili kutatua equations za quadratic, kuna formula ya mizizi. Hebu tuandike formula kwa mizizi ya equation ya quadratic:, wapi D=b 2 −4 a c- kinachojulikana kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic. Kuingia kimsingi kunamaanisha kuwa.
Ni muhimu kujua jinsi fomula ya mizizi ilitolewa na jinsi inavyotumiwa katika kutafuta mizizi ya milinganyo ya quadratic. Hebu tufikirie hili.
Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic
Hebu tuhitaji kutatua mlingano wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0. Wacha tufanye mabadiliko sawa:
- Tunaweza kugawanya pande zote mbili za mlingano huu kwa nambari isiyo ya sifuri a, na hivyo kusababisha mlingano wa quadratic ufuatao.
- Sasa chagua mraba kamili upande wake wa kushoto:. Baada ya hayo, equation itachukua fomu.
- Katika hatua hii, inawezekana kuhamisha maneno mawili ya mwisho kwa upande wa kulia na ishara kinyume, tuna .
- Na hebu pia tubadilishe usemi ulio upande wa kulia:.
Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo ambao ni sawa na mlinganyo wa awali wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0.
Tayari tumetatua hesabu zinazofanana katika fomu katika aya zilizopita, tulipochunguza. Hii inaruhusu sisi kupata hitimisho zifuatazo kuhusu mizizi ya equation:
- ikiwa , basi equation haina ufumbuzi halisi;
- ikiwa, basi equation ina fomu, kwa hiyo,, ambayo mizizi yake pekee inaonekana;
- ikiwa , basi au , ambayo ni sawa na au, yaani, equation ina mizizi miwili.
Kwa hivyo, uwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation, na kwa hiyo equation ya awali ya quadratic, inategemea ishara ya kujieleza upande wa kulia. Kwa upande wake, ishara ya usemi huu imedhamiriwa na ishara ya nambari, kwa kuwa denominator 4 · a 2 daima ni chanya, yaani, kwa ishara ya kujieleza b 2 -4 · a · c. Usemi huu b 2 −4 a c uliitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic na kuteuliwa na barua D. Kuanzia hapa kiini cha ubaguzi ni wazi - kulingana na thamani yake na ishara, wanahitimisha ikiwa equation ya quadratic ina mizizi halisi, na ikiwa ni hivyo, ni nini idadi yao - moja au mbili.
Wacha turudi kwenye mlinganyo na tuiandike upya kwa kutumia nukuu ya kibaguzi: . Na tunatoa hitimisho:
- ikiwa D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- ikiwa D=0, basi equation hii ina mzizi mmoja;
- hatimaye, ikiwa D>0, basi equation ina mizizi miwili au, ambayo inaweza kuandikwa tena kwa fomu au, na baada ya kupanua na kuleta sehemu kwa denominator ya kawaida tunayopata.
Kwa hivyo tulipata fomula za mizizi ya equation ya quadratic, zinaonekana kama , ambapo kibaguzi D huhesabiwa kwa fomula D=b 2 -4·a·c.
Kwa msaada wao, kwa ubaguzi mzuri, unaweza kuhesabu mizizi halisi ya equation ya quadratic. Wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, fomula zote mbili hutoa thamani sawa ya mzizi, inayolingana na suluhisho la kipekee kwa mlinganyo wa quadratic. Na kwa ubaguzi mbaya, tunapojaribu kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunakabiliwa na uchimbaji. kipeo kutoka kwa nambari hasi, ambayo hutupeleka zaidi na mtaala wa shule. Kwa ubaguzi mbaya, usawa wa quadratic hauna mizizi halisi, lakini ina jozi mchanganyiko tata mizizi, ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni sawa za mizizi tuliyopata.
Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi
Katika mazoezi, wakati wa kutatua equations za quadratic, unaweza kutumia mara moja formula ya mizizi ili kuhesabu maadili yao. Lakini hii inahusiana zaidi na kutafuta mizizi ngumu.
Walakini, katika kozi ya algebra ya shule kawaida hatuzungumzii juu ya ngumu, lakini juu ya mizizi halisi ya equation ya quadratic. Katika kesi hii, inashauriwa, kabla ya kutumia kanuni za mizizi ya equation ya quadratic, kwanza kupata kibaguzi, hakikisha kuwa sio hasi (vinginevyo, tunaweza kuhitimisha kuwa equation haina mizizi halisi), na kisha tu kuhesabu maadili ya mizizi.
Hoja iliyo hapo juu inaruhusu sisi kuandika algorithm ya kutatua equation ya quadratic. Ili kutatua mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0, unahitaji:
- kwa kutumia fomula ya kibaguzi D=b 2 −4·a·c, hesabu thamani yake;
- hitimisha kwamba mlinganyo wa quadratic hauna mizizi halisi ikiwa kibaguzi ni hasi;
- hesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia fomula ikiwa D=0;
- tafuta mizizi miwili halisi ya mlinganyo wa quadratic ukitumia fomula ya mzizi ikiwa kibaguzi ni chanya.
Hapa tunaona tu kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, unaweza pia kutumia fomula; itatoa thamani sawa na .
Unaweza kuendelea na mifano ya kutumia algoriti kusuluhisha milinganyo ya quadratic.
Mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic
Hebu tuzingatie suluhu za milinganyo mitatu ya quadratic yenye kibaguzi chanya, hasi na sufuri. Baada ya kushughulikiwa na suluhisho lao, kwa mlinganisho itawezekana kutatua equation nyingine yoyote ya quadratic. Hebu tuanze.
Mfano.
Tafuta mizizi ya equation x 2 +2·x−6=0.
Suluhisho.
Katika kesi hii, tuna coefficients zifuatazo za equation ya quadratic: a=1, b=2 na c=-6. Kulingana na algoriti, kwanza unahitaji kukokotoa kibaguzi; ili kufanya hivyo, tunabadilisha a, b na c iliyoonyeshwa kwenye fomula ya kibaguzi. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Tangu 28>0, yaani, kibaguzi Juu ya sifuri, basi equation ya quadratic ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia fomula ya mizizi, tunapata, hapa unaweza kurahisisha misemo inayosababishwa kwa kufanya kusonga kizidisha zaidi ya ishara ya mizizi ikifuatiwa na kupunguzwa kwa sehemu:
Jibu:
Wacha tuendelee kwenye mfano unaofuata wa kawaida.
Mfano.
Tatua mlingano wa quadratic −4 x 2 +28 x−49=0 .
Suluhisho.
Tunaanza kwa kutafuta ubaguzi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja, ambao tunapata kama, ambayo ni,
Jibu:
x=3.5.
Inabakia kuzingatia kusuluhisha milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi.
Mfano.
Tatua mlingano 5·y 2 +6·y+2=0.
Suluhisho.
Hapa kuna viambajengo vya mlinganyo wa quadratic: a=5, b=6 na c=2. Tunabadilisha maadili haya kwa fomula ya kibaguzi, tunayo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Ubaguzi ni hasi, kwa hivyo, usawa huu wa quadratic hauna mizizi halisi.
Ikiwa unahitaji kuashiria mizizi tata, kisha tunatumia fomula inayojulikana kwa mizizi ya equation ya quadratic, na kufanya shughuli na nambari changamano:
Jibu:
hakuna mizizi halisi, mizizi tata ni:.
Hebu tuangalie tena kwamba ikiwa ubaguzi wa equation ya quadratic ni mbaya, basi shuleni mara moja huandika jibu ambalo linaonyesha kuwa hakuna mizizi halisi, na mizizi tata haipatikani.
Fomula ya mizizi kwa mgawo wa pili
Fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic, ambapo D=b 2 −4·a·c hukuruhusu kupata fomula ya fomu iliyoshikana zaidi, hukuruhusu kusuluhisha milinganyo ya quadratic na mgawo hata wa x (au kwa urahisi mgawo kuwa na fomu 2·n, kwa mfano, au 14· ln5=2·7·ln5 ). Tumtoe nje.
Wacha tuseme tunahitaji kutatua mlinganyo wa quadratic wa fomu x 2 +2 n x+c=0. Wacha tupate mizizi yake kwa kutumia fomula tunayoijua. Ili kufanya hivyo, tunahesabu kibaguzi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), na kisha tunatumia formula ya mizizi:
Wacha tuonyeshe usemi n 2 −a c kama D 1 (wakati mwingine huashiria D "). Kisha fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic inayozingatiwa na mgawo wa pili 2 n itachukua fomu. 
, ambapo D 1 =n 2 −a·c.
Ni rahisi kuona kwamba D=4·D 1, au D 1 =D/4. Kwa maneno mengine, D 1 ni sehemu ya nne ya kibaguzi. Ni wazi kwamba ishara ya D 1 ni sawa na ishara ya D. Hiyo ni, ishara D 1 pia ni kiashiria cha kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation ya quadratic.
Kwa hivyo, ili kutatua equation ya quadratic na mgawo wa pili 2 · n, unahitaji
- Kokotoa D 1 =n 2 −a·c ;
- Ikiwa D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Ikiwa D 1 =0, basi uhesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia formula;
- Ikiwa D 1 >0, basi pata mizizi miwili halisi kwa kutumia fomula.
Wacha tufikirie kusuluhisha mfano kwa kutumia fomula ya mizizi iliyopatikana katika aya hii.
Mfano.
Tatua mlingano wa quadratic 5 x 2 −6 x -32=0 .
Suluhisho.
Mgawo wa pili wa mlinganyo huu unaweza kuwakilishwa kama 2·(-3) . Hiyo ni, unaweza kuandika upya mlinganyo wa awali wa quadratic katika fomu 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, hapa a=5, n=−3 na c=−32, na kukokotoa sehemu ya nne ya kibaguzi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kwa kuwa thamani yake ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula inayofaa ya mizizi:
Kumbuka kwamba iliwezekana kutumia fomula ya kawaida kwa mizizi ya equation ya quadratic, lakini katika kesi hii kazi zaidi ya computational ingepaswa kufanywa.
Jibu:
Kurahisisha namna ya milinganyo ya quadratic
Wakati mwingine, kabla ya kuanza kuhesabu mizizi ya equation ya quadratic kwa kutumia formula, hainaumiza kuuliza swali: "Inawezekana kurahisisha fomu ya equation hii?" Kubali kwamba kwa upande wa hesabu itakuwa rahisi kutatua mlingano wa quadratic 11 x 2 -4 x-6=0 kuliko 1100 x 2 -400 x-600=0.
Kwa kawaida, kurahisisha umbo la mlinganyo wa quadratic hupatikana kwa kuzidisha au kugawanya pande zote mbili kwa nambari fulani. Kwa mfano, katika aya iliyotangulia iliwezekana kurahisisha mlingano 1100 x 2 −400 x -600=0 kwa kugawanya pande zote mbili na 100.
Mabadiliko sawa yanafanywa na equations za quadratic, coefficients ambayo sio . Katika kesi hii, kwa kawaida tunagawanya pande zote mbili za equation kwa maadili kamili mgawo wake. Kwa mfano, hebu tuchukue mlingano wa quadratic 12 x 2 -42 x+48=0. maadili kamili ya coefficients yake: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa awali wa quadratic na 6, tunafika kwenye mlingano wa quadratic sawa 2 x 2 -7 x+8=0.
Na kuzidisha pande zote mbili za equation ya quadratic kawaida hufanywa ili kuondoa mgawo wa sehemu. Katika kesi hii, kuzidisha kunafanywa na denominators ya coefficients yake. Kwa mfano, ikiwa pande zote mbili za mlinganyo wa quadratic zimezidishwa na LCM(6, 3, 1)=6, basi itachukua fomu rahisi zaidi x 2 +4·x−18=0.
Kwa kumalizia hatua hii, tunaona kuwa karibu kila wakati huondoa minus kwenye mgawo wa juu zaidi wa equation ya quadratic kwa kubadilisha ishara za maneno yote, ambayo yanalingana na kuzidisha (au kugawa) pande zote mbili kwa -1. Kwa mfano, kwa kawaida mtu husogea kutoka kwa mlinganyo wa quadratic -2 x 2 -3 x+7=0 hadi suluhisho 2 x 2 +3 x-7=0 .
Uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic
Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic inaelezea mizizi ya equation kupitia coefficients yake. Kulingana na fomula ya mizizi, unaweza kupata uhusiano mwingine kati ya mizizi na coefficients.
Fomula zinazojulikana zaidi na zinazotumika kutoka kwa nadharia ya Vieta ni za fomu na . Hasa, kwa usawa uliopewa wa quadratic, jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Kwa mfano, kwa kuangalia fomu ya equation ya quadratic 3 x 2 -7 x + 22 = 0, tunaweza kusema mara moja kwamba jumla ya mizizi yake ni sawa na 7/3, na bidhaa ya mizizi ni sawa na 22. /3.
Kwa kutumia fomula zilizoandikwa tayari, unaweza kupata idadi ya miunganisho mingine kati ya mizizi na mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, unaweza kueleza jumla ya miraba ya mizizi ya equation ya quadratic kupitia coefficients yake:.
Bibliografia.
- Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Saa 2 usiku Sehemu ya 1. Kitabu cha kiada kwa wanafunzi taasisi za elimu/ A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.
Equation ya quadratic ni equation ambayo inaonekana kama shoka 2 + dx + c = 0. Ina maana a,c Na Na nambari yoyote, na A si sawa na sifuri.
Equations zote za quadratic zimegawanywa katika aina kadhaa, ambazo ni:
Milinganyo yenye mzizi mmoja tu.
-Milinganyo yenye mizizi miwili tofauti.
-Milinganyo ambayo hakuna mizizi kabisa.
Hiki ndicho kinachotofautisha milinganyo ya mstari ambayo mzizi daima ni sawa, kutoka kwa mraba. Ili kuelewa ni mizizi ngapi kwenye usemi, unahitaji Ubaguzi wa equation ya quadratic.
Wacha tuchukue shoka yetu ya equation 2 + dx + c =0. Maana kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic -
D = b 2 - 4 ac
Na hii lazima ikumbukwe milele. Kwa kutumia equation hii tunaamua idadi ya mizizi katika equation ya quadratic. Na tunafanya hivi:
Wakati D chini ya sifuri, hakuna mizizi katika equation.
- Wakati D ni sifuri, kuna mzizi mmoja tu.
- Wakati D ni kubwa kuliko sifuri, equation ina mizizi miwili.
Kumbuka kwamba kibaguzi kinaonyesha ni mizizi ngapi kwenye equation bila kubadilisha ishara.
Wacha tuangalie kwa uwazi:
Tunahitaji kujua ni mizizi ngapi katika mlinganyo huu wa quadratic.
1) x 2 - 8x + 12 = 0
2) 5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0
Tunaingiza maadili kwenye equation ya kwanza na kupata kibaguzi.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
Mbaguzi ana ishara ya kuongeza, ambayo inamaanisha kuna mizizi miwili katika usawa huu.
Tunafanya vivyo hivyo na equation ya pili
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Thamani ni hasi, ambayo inamaanisha hakuna mizizi katika usawa huu.
Wacha tupanue mlinganyo ufuatao kwa mlinganisho.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
kama matokeo, tuna mzizi mmoja katika equation.
Ni muhimu kwamba katika kila equation tuliandika coefficients. Bila shaka, hii sio mchakato mrefu sana, lakini ilitusaidia kutochanganyikiwa na kuzuia makosa kutokea. Ukitatua hesabu zinazofanana mara nyingi sana, utaweza kufanya mahesabu kiakili na kujua mapema ni mizizi ngapi equation ina.
Hebu tuangalie mfano mwingine:
1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0
Hebu tuandike kwanza
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, ambayo ni kubwa kuliko sifuri, ambayo inamaanisha mizizi miwili, wacha tuipate.
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.
Tunaweka ya pili
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, ambayo ni kubwa kuliko sifuri na pia ina mizizi miwili. Wacha tuwatoe:
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.
Tunaweka ya tatu
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, ambayo ni sawa na sifuri na ina mizizi moja.
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Kutatua equations hizi si vigumu.
Ikiwa tutapewa equation ya quadratic isiyo kamili. Kama vile
1x 2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0
Equations hizi hutofautiana na zile zilizo hapo juu, kwani haijakamilika, hakuna thamani ya tatu ndani yake. Lakini licha ya hili, ni rahisi zaidi kuliko equation kamili ya quadratic na hakuna haja ya kutafuta kibaguzi ndani yake.
Nini cha kufanya wakati unahitaji haraka kazi ya wahitimu au insha, lakini huna muda wa kuiandika? Haya yote na mengine mengi yanaweza kuagizwa kwenye tovuti ya Deeplom.by (http://deeplom.by/) na kupata alama za juu zaidi.