Fractal jiometri ya dunia. Jiometri ya Fractal ni kanuni ya maumbile ya Ulimwengu

Maudhui

Utangulizi

Dhana ya fractal.............................................. ...................................................4

Historia ya kuonekana kwa fractals ………………………………………………………………………..6

Vipande vya algebraic ……………………………………………….8.8

Seti ya Maldebrod……………………………………………….9
Julia seti………………………………………………………11
Mabwawa ya Newton (fractals)……………………………………………………13
Fractal (Bubbles) Halley……………………………………………..14

Matumizi ya vitendo fractals……………………………………...15

Hitimisho ……………………………………………………………………………….19.

Orodha ya marejeleo……………………………………………………………………

Utangulizi

Lugha ya sayansi inabadilika haraka katika ulimwengu wa kisasa. Historia ya maendeleo ya fizikia inarudi nyuma zaidi ya karne moja. Wakati huu, idadi kubwa ya matukio anuwai ya asili yamesomwa, sheria za kimsingi za fizikia zimegunduliwa ambazo zinaelezea ukweli kadhaa wa majaribio.

Mifumo mingi katika asili inachanganya mali mbili: kwanza, ni kubwa sana, mara nyingi ni nyingi, tofauti na ngumu, na Pili wao huundwa chini ya ushawishi wa idadi ndogo sana ya sheria rahisi, na kisha kuendeleza, kutii sheria hizi rahisi. Hawa ndio wengi zaidi mifumo tofauti, kuanzia fuwele na nguzo tu (aina mbalimbali za makundi, kama vile mawingu, mito, milima, mabara, nyota), kuishia na mfumo wa ikolojia na vitu vya kibiolojia (kutoka kwa jani la fern hadi kwenye ubongo wa binadamu). Fractals ni vitu vile tu: kwa upande mmoja, ngumu (yenye vipengele vingi vingi), kwa upande mwingine, iliyojengwa kulingana na sheria rahisi sana. Shukrani kwa mali hii, fractals zinafanana sana na vitu vingi vya asili. Lakini fractal inalinganishwa vyema na kitu cha asili kwa kuwa fractal ina ufafanuzi mkali wa hisabati na inaweza kueleweka kwa maelezo madhubuti na uchambuzi. Kwa hiyo, nadharia ya fractals inafanya uwezekano wa kutabiri kiwango cha ukuaji wa mifumo ya mizizi ya mimea, gharama za kazi kwa mabwawa ya kukimbia, utegemezi wa wingi wa majani kwenye urefu wa risasi, na mengi zaidi. Huu ni mwelekeo mpya katika hisabati, ambao umefanya mapinduzi katika dhana ya kisayansi, kulinganishwa kwa umuhimu na nadharia ya uhusiano na mechanics ya quantum. Vitu vya jiometri ya fractal kwa njia yao wenyewe mwonekano kwa kasi tofauti na maumbo ya "kawaida" ya kijiometri ambayo tumezoea. Kwa kweli, hii ni mafanikio katika maelezo ya hisabati ya mifumo ambayo kwa muda mrefu haikujitolea kwa maelezo hayo.

Jiometri ya Fractal sio nadharia "safi" ya kijiometri. Badala yake ni dhana, mwonekano mpya wa mambo yanayojulikana sana, urekebishaji upya wa mtazamo unaomlazimisha mtafiti kuona ulimwengu kwa njia mpya.

Madhumuni ya kazi yangu ni kujifahamisha na dhana ya "fractal" na aina yake "algebraic fractal".

Dhana ya Fractal

Hivi majuzi, katika hisabati, picha ya kitu iliibuka, yenye nguvu zaidi, lakini sawa na mstari. Wanasayansi wengine waliona vigumu kukubaliana na dhana ya mstari usio na upana, hivyo hatua kwa hatua walianza kujifunza maumbo ya kijiometri na miundo yenye mwelekeo wa anga wa sehemu. Mikondo inayoendelea, ambayo ina derivatives yake yote, ilibadilishwa na mikunjo iliyovunjika au iliyochongoka sana. Mfano wa kuvutia wa curve kama hiyo ni trajectory ya chembe ya Brownian. Hivi ndivyo wazo la fractal lilivyoibuka katika sayansi.

Fractal(Kilatini fractus - iliyovunjika, iliyovunjika, iliyovunjika) - takwimu ngumu ya kijiometri ambayo ina mali ya kufanana kwa kibinafsi, yaani, inajumuisha sehemu kadhaa, ambayo kila mmoja ni sawa na takwimu nzima (Mchoro 1). Kwa maana pana, fracti hueleweka kama seti za pointi katika nafasi ya Euclidean ambazo zina kipimo cha sehemu (kwa maana ya Minkowski au Hausdorff) au kipimo cha kipimo.

Mchele. 1
Ikumbukwe kwamba neno "fractal" sio neno la hisabati na halina ufafanuzi mkali wa hisabati unaokubalika kwa ujumla. Inaweza kutumika wakati takwimu inayohusika ina mali yoyote yafuatayo:

Ina muundo usio na maana kwenye mizani yote. Hii ni tofauti na takwimu za kawaida (kama vile duara, duaradufu, grafu kazi laini): Ikiwa tunatazama kipande kidogo cha takwimu ya kawaida kwa kiwango kikubwa sana, kitaonekana kama kipande cha mstari wa moja kwa moja. Kwa fractal, kuongeza kiwango haileti kurahisisha muundo; kwenye mizani yote tutaona picha ngumu sawa.

Inafanana yenyewe au takriban inafanana.

Ina kipimo cha kipimo cha sehemu.

Vitu vingi katika asili vina mali ya fractal, kwa mfano, pwani, mawingu, taji za miti, mfumo wa mzunguko na mfumo wa alveolar wa wanadamu au wanyama.
Fractals, hasa kwenye ndege, ni maarufu kutokana na mchanganyiko wa uzuri na urahisi wa ujenzi kwa kutumia kompyuta.

Historia ya fractal

Utafiti wa fractals mwanzoni mwa karne ya 19 na 20 ulikuwa wa matukio zaidi kuliko utaratibu, kwa sababu hapo awali wanahisabati walisoma vitu "nzuri" ambavyo vinaweza kusomwa kwa kutumia. mbinu za kawaida na nadharia. Mnamo mwaka wa 1872, mwanahisabati wa Ujerumani Karl Weierstrass aliunda mfano wa kazi inayoendelea ambayo haiwezi kutofautishwa popote, yaani, haina tangent katika pointi zake yoyote. Hata hivyo, ujenzi wake ulikuwa wa kufikirika kabisa na mgumu kuelewa. Kwa hivyo, mnamo 1904, Swede Helge von Koch alikuja na curve inayoendelea ambayo haina tangent popote, na ni rahisi kuchora. Ilibadilika kuwa ina mali ya fractal. Lahaja moja ya curve hii inaitwa "Koch snowflake".
Mawazo ya kufanana kwa takwimu yalichukuliwa na Mfaransa Paul Pierre Levy, mshauri wa baadaye wa Benoit Mandelbrot. Mnamo 1938, nakala yake "Ndege na mikondo ya anga na nyuso zinazojumuisha sehemu zinazofanana na nzima" ilichapishwa, ambayo ilielezea sehemu nyingine - Levy C-curve. Vipande hivi vyote vilivyoorodheshwa hapo juu vinaweza kuainishwa kwa masharti kuwa aina moja ya frakti za kujenga (kijiometri).
Darasa lingine ni fractal zenye nguvu (algebraic), ambazo ni pamoja na seti ya Mandelbrot. Utafiti wa kwanza katika mwelekeo huu ulianza mwanzoni mwa karne ya 20 na unahusishwa na majina ya wanahisabati wa Kifaransa Gaston Julia na Pierre Fatou. Mnamo 1918, kazi ya Julia ilichapishwa juu ya marudio ya tata kazi za busara, ambayo inaelezea seti za Julia, familia nzima ya fractals inayohusiana kwa karibu na seti ya Mandelbrot. Kazi hii ilipewa tuzo na Chuo cha Ufaransa, lakini haikuwa na kielelezo kimoja, kwa hivyo haikuwezekana kufahamu uzuri wa vitu vilivyo wazi.

Mawazo ya kwanza ya jiometri ya fractal yalitokea katika karne ya 19. Cantor, kwa kutumia utaratibu rahisi wa kujirudia (kurudia), akageuza mstari kuwa mkusanyiko wa pointi zisizounganishwa (kinachojulikana kama Cantor Dust). Angeweza kuchukua mstari na kuondoa ya tatu ya kati na kisha kurudia sawa na sehemu zilizobaki. (Kielelezo 2)

Mchele. 2

Peano alichora aina maalum ya mstari. (Mchoro 3)

Mchele. 3

Ili kuchora, Peano alitumia algorithm ifuatayo.

Katika hatua ya kwanza, alichukua mstari wa moja kwa moja na akaibadilisha na sehemu 9 mara 3 mfupi kuliko urefu wa mstari wa awali (sehemu ya 1 na 2 ya picha). Kisha akafanya vivyo hivyo kwa kila sehemu ya mstari uliosababisha. Na kadhalika ad infinitum. Upekee wa mstari ni kwamba inajaza ndege nzima. Inathibitishwa kuwa kwa kila hatua kwenye ndege mtu anaweza kupata uhakika wa mstari wa Peano.

Mviringo wa Peano na vumbi la Cantor vilipita zaidi ya vitu vya kawaida vya kijiometri. Hawakuwa na mwelekeo wazi. Vumbi la Cantor lilionekana kujengwa kwa msingi wa mstari wa moja kwa moja wa mwelekeo mmoja, lakini ulikuwa na pointi (mwelekeo 0). Na curve ya Peano ilijengwa kwa msingi wa mstari wa mwelekeo mmoja, na matokeo yake yalikuwa ndege. Katika maeneo mengine mengi ya sayansi, matatizo yalionekana ambayo ufumbuzi wake ulisababisha matokeo ya ajabu sawa na yale yaliyoelezwa hapo juu (mwendo wa Brownian, bei za hisa).

Hadi karne ya 20, data juu ya vitu vya kushangaza kama hivyo vilikusanywa, bila jaribio lolote la kuvipanga. Hiyo ilikuwa hadi Benoit Mandelbrot, baba wa jiometri ya kisasa ya fractal na neno fractal, alipoichukua. Hatua kwa hatua kulinganisha ukweli, alikuja ugunduzi wa mwelekeo mpya katika hisabati - jiometri ya fractal.

Ili kufikiria fractal kwa uwazi zaidi, hebu tuchunguze mfano uliotolewa katika kitabu cha B. Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", ambacho kimekuwa classic - "Ni urefu gani wa pwani ya Uingereza?" Jibu la swali hili sio rahisi kama inavyoonekana. Yote inategemea urefu wa chombo kinachotumiwa. Kwa kupima pwani kwa kutumia mtawala wa kilomita, wanapata urefu fulani. Hata hivyo, bays nyingi ndogo na peninsulas zimekosa, ambazo ni ndogo sana kwa ukubwa kuliko mtawala uliopimwa. Kwa kupunguza ukubwa wa mtawala hadi mita 1, inageuka kuwa urefu wa pwani utakuwa mrefu. Wakati wa kupima urefu wa benki kwa kutumia mtawala wa millimeter, kwa kuzingatia sehemu ambazo ni kubwa kuliko millimeter, urefu utakuwa mkubwa zaidi. Kama matokeo, jibu la swali linaloonekana kuwa rahisi linaweza kumshangaza mtu yeyote - urefu wa pwani ya Briteni hauna mwisho.

Vipande vya algebraic

Fractals za aljebra zilipata jina lao kwa sababu zimeundwa kwa msingi wa fomula za aljebra. Kuna njia kadhaa za kupata fractals za algebraic. Moja ya njia ni kuhesabu mara kwa mara kazi, wapiz - nambari changamano, na f ni kitendakazi fulani. Hesabu ya kazi hii inaendelea mpaka hali fulani inakabiliwa. Na hali hii inapofikiwa, nukta huonyeshwa kwenye skrini. Katika kesi hii, maadili ya kazi kwa pointi tofauti za ndege tata inaweza kuwa na tabia tofauti:

huelekea infinity baada ya muda;

huelekea 0;
inachukua maadili kadhaa yaliyowekwa na haiendi zaidi yao;
tabia ni ya machafuko, bila mwelekeo wowote.

3.1 Mandelbrot kuweka

Seti ya Mandelbrot (moja ya vitu maarufu zaidi vya fractal) iliundwa kwa mara ya kwanza (kuonekana kwa kutumia kompyuta) na Benoit Mandelbrot katika majira ya kuchipua ya 1980 katika kituo cha utafiti cha IBM. Thomas J. Watson. Na ingawa utafiti juu ya vitu kama hivyo ulianza katika karne iliyopita, ilikuwa ugunduzi wa seti hii na uboreshaji wa vifaa vya picha za kompyuta ambavyo viliathiri sana maendeleo ya jiometri ya fractal na nadharia ya machafuko. Kwa hivyo, seti ya Mandelbrot ni nini?

Fikiria kazi ya kigezo changamano. Hebu tuwekena kuzingatia mlolongo, wapi kwa yoyote. Mlolongo kama huo unaweza kuwekewa mipaka (yaani kunaweza kuwa na r vile kwa yoyote) au "kukimbia hadi ukomo" (yaani kwa r yoyote > 0 kuna) Seti ya Mandelbrot inaweza kufafanuliwa kama seti ya nambari changamano c ambayo mfuatano uliobainishwa umewekewa mipaka. Kwa bahati mbaya, hakuna usemi wa uchanganuzi unaojulikana ambao ungeruhusu c iliyotolewa kubaini ikiwa ni ya seti ya Mandelbrot au la. Kwa hivyo, ili kuunda seti, jaribio la kompyuta hutumiwa: wanaangalia kupitia seti ya vidokezo kwenye ndege ngumu na hatua fulani, na kwa kila nukta wanafanya. nambari fulani iterations (pata idadi fulani ya wanachama wa mlolongo) na uangalie "tabia" yake. (Mchoro 4).

Imethibitishwa kuwa seti ya Mandelbrot iko katika mduara wa radius r = 2 na kituo chake katika asili. Kwa hivyo, ikiwa kwa hatua fulani moduli ya muhula unaofuata wa mlolongo unazidi 2, tunaweza kuhitimisha mara moja kwamba hatua inayolingana na c, ambayo inafafanua mlolongo huu, sio ya seti ya Mandelbrot.

Kwa kupunguza hatua ambayo nambari changamano huchanganuliwa na kuongeza idadi ya marudio, tunaweza kupata maelezo ya kina tunavyopenda, lakini kila mara tu picha za takriban za seti.

Wacha tuwe na rangi N tulizo nazo, zilizohesabiwa kwa uhakika kutoka 0 hadi N-1. Tutadhani, tena kwa uhakika, kwamba rangi nyeusi ina nambari 0. Ikiwa kwa c iliyotolewa baada ya kurudia kwa N-1 hatua haiendi zaidi ya mzunguko wa radius 2, tutafikiri kuwa c ni ya seti ya Mandelbrot na kuchora hii. uhakika c nyeusi. Vinginevyo, ikiwa kwa hatua fulani k (k Є ) hatua inayofuata ilikwenda nje ya mduara wa radius 2 (yaani katika hatua ya kth tuligundua kuwa ilikuwa "inakimbia"), rangi ya rangi k.

Picha nzuri zinapatikana kwa uchaguzi wa mafanikio wa palette na jirani ya kuweka (yaani, nje ya seti tutapata "dots za rangi") (Mchoro 5, 6).

Mchele. 4

Mchele. 5 Mtini. 6

3.2 Julia kuweka

Seti za Julia, zinazohusiana kwa karibu na seti ya Mandelbrot, zilisomwa mwanzoni mwa karne ya 20 na wanahisabati Gaston Julia na Pierre Fatou (tazama). Mnamo 1917-1919 walipata matokeo ya kimsingi yanayohusiana na marudio ya utendaji wa kigezo changamano. Kwa ujumla, ukweli huu unastahili mjadala tofauti na ni mfano wa kuvutia wa utafiti wa hisabati, miongo mingi kabla ya wakati wake (wanasayansi wangeweza kufikiria tu jinsi vitu walivyosoma!), lakini tutaelezea tu njia ya kujenga Julia. seti kwa kazi ya kigezo changamano. Kwa usahihi zaidi, tutajenga kinachojulikana. "kujaza seti za Julia".

Fikiria mstatili (x 1 ;y 1 )-(x 2 ;y 2 ) Wacha turekebishe c mara kwa mara na tuanze kutazama alama za mstatili uliochaguliwa na hatua fulani. Kwa kila nukta, kama vile katika kuunda seti ya Mandelbrot, tutafanya mfululizo wa marudio (idadi kubwa ya marudio, seti sahihi zaidi itapatikana). Ikiwa baada ya mfululizo wa kurudia hatua hiyo "haikimbii" zaidi ya mpaka wa mduara wa radius 2, tutaipiga kwa rangi nyeusi, vinginevyo na rangi kutoka kwa palette. (Mchoro 7, 8, 9, 10).

Mchele. 7

Mtini.8 Mtini. 9

Mchele. 10

3.3 Madimbwi ya maji ya Newton (fractals)

Aina nyingine ya fractals yenye nguvu ni Newtonian fractals (kinachojulikana mabonde). (Mchoro 11). Njia za ujenzi wao zinategemea njia ya kusuluhisha hesabu zisizo za mstari, ambazo ziligunduliwa na mtaalam mkuu wa hesabu huko nyuma katika karne ya 17. Inatuma formula ya jumla Mbinu ya Newton zn+1 = zn - f (zn)/f"(zn), n=0, 1, 2... kutatua mlinganyo f (x)=0 kwa zk-a ya polynomial, tunapata mlolongo wa pointi. : zn+1 = (k-1)znk/kznk-1, n=0, 1, 2... Tukichagua nambari changamano mbalimbali z0 kama makadirio ya awali, tutapata mfuatano ambao unaungana hadi mizizi ya polynomia hii. ina mizizi ya k hasa, basi ndege nzima imegawanywa katika sehemu za k - maeneo ya kivutio cha mizizi.Mipaka ya sehemu hizi ina muundo wa fractal.

Mchele. kumi na moja

3.4 Fractal (Bubbles) Halley

Fractals kama hizo hupatikana ikiwa, kama sheria ya kuunda fractal inayobadilika, mtu hutumia fomula ya Halley kupata takriban maadili ya mizizi ya chaguo la kukokotoa. (Mchoro 12).

Njia hiyo ina mlolongo wa marudio:

Wazo la njia hiyo ni karibu sawa na ile inayotumika kuchora fractals zenye nguvu: tunachukua thamani fulani ya awali (kama kawaida, hapa tunazungumza juu). maadili ya vigezo na kazi) na uitumie formula mara nyingi, kupata mlolongo wa nambari. Karibu kila mara hubadilika kuwa mojawapo ya sufuri za chaguo za kukokotoa (hiyo ni, thamani ya kutofautisha ambayo kazi huchukua thamani 0). Njia ya Halley, licha ya fomula ngumu, inafanya kazi ufanisi zaidi kuliko mbinu : Mfululizo hubadilika kuwa kazi sifuri haraka zaidi.

Mchele. 12

Utumiaji wa vitendo wa fractals

Fractals zinazidi kutumika katika sayansi. Sababu kuu ya hii ni kwamba wanaelezea ulimwengu halisi wakati mwingine bora zaidi kuliko fizikia ya jadi au hisabati. Hapa kuna baadhi ya mifano.

Mifumo ya kompyuta

Kati ya picha zote ambazo kompyuta inaweza kuunda, ni chache tu zinazoweza kushindana na picha zisizobadilika linapokuja suala la urembo wa kweli.

Wengi matumizi muhimu Fractals katika sayansi ya kompyuta ni mgandamizo wa data fractal. Aina hii ya ukandamizaji inategemea ukweli kwamba ulimwengu wa kweli unaelezewa vizuri na jiometri ya fractal. Wakati huo huo, picha zimebanwa vizuri zaidi kuliko inavyofanywa kwa njia za kawaida (kama vile jpeg au gif). Faida nyingine ya ukandamizaji wa fractal ni kwamba wakati picha inapanuliwa, hakuna athari ya pixelation (kuongeza ukubwa wa dots kwa ukubwa unaopotosha picha). Kwa ukandamizaji wa fractal, baada ya kupanua, picha mara nyingi inaonekana bora zaidi kuliko hapo awali.

Mitambo ya maji

Utafiti wa misukosuko katika mtiririko umebadilishwa vizuri sana

fractals. Mitiririko ya misukosuko ni ya machafuko na kwa hivyo ni ngumu kuiga kwa usahihi. Na hapa mpito kwa uwakilishi wa fractal husaidia, ambayo inawezesha sana kazi ya wahandisi na fizikia, kuruhusu kuelewa vizuri mienendo ya mtiririko tata.

Kwa kutumia fractals unaweza pia kuiga miale ya moto.

Vifaa vya porous vinawakilishwa vizuri katika fomu ya fractal kutokana na ukweli kwamba wana jiometri ngumu sana. Inatumika katika sayansi ya petroli.

Mawasiliano ya simu

Ili kusambaza data kwa umbali, antena zenye

maumbo ya fractal, ambayo hupunguza sana ukubwa na uzito wao. Fractals hutumiwa kuelezea curvature ya nyuso. Uso usio na usawa una sifa ya mchanganyiko wa fractals mbili tofauti.
Dawa

Mwingiliano wa biosensory. Mapigo ya moyo.
Biolojia

Uundaji wa michakato ya machafuko, haswa wakati wa kuelezea miundo ya idadi ya watu.
Nanoteknolojia

Katika kesi ya nanoteknolojia, fractals pia ina jukumu jukumu muhimu, kwa kuwa, kwa sababu ya shirika lao la hierarchical, nanosystems nyingi zina mwelekeo usio kamili, yaani, ni fractals katika asili yao ya kijiometri, physicochemical au kazi. Kwa mfano, mfano wa kushangaza wa mifumo ya fractal ya kemikali ni molekuli "dendrimers » . (Mchoro 13)

Mchele. 13

Fasihi

Miongoni mwa kazi za fasihi pata zile ambazo zina asili ya maandishi, kimuundo au kisemantiki. Katika vipande vya maandishi, vipengele vya maandishi vinaweza kurudiwa bila mwisho ("Kuhani alikuwa na mbwa ...", "Mfano wa mwanafalsafa ambaye huota kwamba yeye ni kipepeo ambaye huota kwamba yeye ni mwanafalsafa anayeota ..." na maandishi yenye viendelezi ("Nyumba aliyoijenga Jack")

Katika vipande vya kimuundo, mpango wa maandishi ni uwezekano wa kupunguka: wreath ya sonnets (mashairi 15), shada la maua ya soneti (mashairi 211), shada la maua ya soneti (mashairi 2455).

Hitimisho

Fractal ni kitu cha utata usio na kikomo, hukuruhusu kuona maelezo yake mengi kwa karibu kama kutoka mbali. Dunia ni mfano halisi wa kitu fractal. Kutoka nafasi inaonekana kama mpira. Tukiikaribia, tutapata bahari, mabara, ukanda wa pwani na safu za milima. Wacha tuangalie milima kwa karibu - hata maelezo mazuri yataonekana: kipande cha ardhi juu ya uso wa mlima, kwa kiwango chake, ni ngumu na isiyo sawa kama mlima yenyewe. Na ukuzaji mkubwa zaidi utafunua chembe ndogo za udongo, ambayo kila moja ni kitu cha fractal.

Kwa kumalizia, ningependa kusema kwamba baada ya fractals kugunduliwa, ikawa dhahiri kwa wanasayansi wengi kwamba aina nzuri za zamani za jiometri ya Euclidean ni duni sana kwa vitu vingi vya asili kwa sababu ya ukosefu wa ukiukwaji, machafuko na kutotabirika kwao. Inawezekana kwamba mawazo mapya ya jiometri ya fractal itasaidia kujifunza matukio mengi ya ajabu mazingira ya asili. Hivi sasa, fractals zinavamia kwa kasi maeneo mengi ya fizikia, biolojia, dawa, sosholojia, na uchumi. Uchakataji wa picha na mbinu za utambuzi wa muundo zinazotumia dhana mpya huwezesha watafiti kutumia kifaa hiki cha hisabati kuelezea idadi kubwa ya vitu asilia na miundo.

Bibliografia

1. Utangulizi wa fractals,

2. Zhikov V.V. Juu ya seti za Julia. // Sayansi ya kisasa ya asili: Encyclopedia: Katika juzuu 10. T.1: Hisabati. Mitambo. M., 2000.

3. Zhikov V.V. Fractals. // Sayansi ya kisasa ya asili: Encyclopedia: Katika juzuu 10. T.1: Hisabati. Mitambo. M., 2000.

4. Mandelbrot B. Jiometri ya Fractal ya asili. - M: Taasisi ya Utafiti wa Kompyuta, 2002.

5. Morozov A.D. Utangulizi wa nadharia ya fractals -Moscow-Izhevsk: Taasisi ya Utafiti wa Kompyuta, 2002, 160pp.

6. Dynamic (algebraic) fractal // Vipengele.. URL:http:// msingi. ru/ mabango/ fractals/ yenye nguvu

7. Nguvu (algebraic) fractals // Vipengele.. URL:http:// elementy.ru/posters/fractals/Mandelbrot#nop

8. Fractals za algebraic // Fractals.. URL:http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm

Katika Sura ya 6 na 7, tulianzisha mikondo ya Koch na Peano kwa kutumia geomorphology ili kutusaidia, lakini matumizi muhimu zaidi ya nadharia ya fractal iko katika maeneo tofauti. Polepole tunakaribia mwelekeo mkuu wa sayansi, tutazingatia katika sura hii (na katika mbili zifuatazo) maswali mawili ya mambo ya kale ya kipekee, umuhimu na utata.

Usambazaji wa nyota, galaksi, makundi ya galaksi na mambo kama hayo kwa muda mrefu yamevutia amateurs na wataalamu, lakini nguzo bado inabaki kwenye ukingo wa unajimu, na unajimu kwa ujumla. sababu kuu ni kwamba hakuna mtu ambaye ameweza kueleza kwa nini usambazaji wa maada unatii sheria zisizo za kawaida za uongozi - angalau ndani ya safu fulani ya mizani. Katika kazi nyingi zinazotolewa kwa mada hii, mtu anaweza kupata kutajwa kwa uzushi wa nguzo, lakini katika masomo mazito ya kinadharia, kawaida hufagiliwa haraka chini ya rug, ikidai kwamba galaxi zinasambazwa kwa usawa - kwa kiwango kinachozidi kizingiti kikubwa lakini kisichojulikana. .

Kuangalia hali hiyo kutoka kwa mtazamo mdogo, tunaweza kusema kwamba kusita kukabiliana na kawaida kunatokana na ukosefu wa zana za maelezo yake ya hisabati. Mtaalamu wa takwimu anahitajika kuchagua kati ya mawazo mawili, ambayo moja tu inaweza kuchukuliwa kuchunguzwa vizuri (homogeneity ya asymptotic). Je, ni ajabu kwamba matokeo ni, kwa kuiweka kwa upole, sio kamili?

Maswali, hata hivyo, ni kwamba ni vigumu kuyatupilia mbali. Nadhani ni muhimu kabisa - sambamba na kuendelea kujaribu kuelezea nguzo - kutafuta njia ya kuielezea na kuiga ukweli halisi. njia za kijiometri. Kwa kukaribia mada hii kutoka kwa mtazamo wa kidunia juu ya sura kadhaa za insha hii, tunatumai kuonyesha kupitia mifano dhahiri kwamba ushahidi unapendekeza kiwango cha nguzo ambacho kinaenda mbali zaidi ya mipaka iliyowekwa kwa mifano iliyopo.

Sura hii inapaswa kuzingatiwa kuwa ya utangulizi: hapa tutafahamiana na nadharia moja yenye ushawishi mkubwa wa malezi ya nyota na galaxi iliyopendekezwa na Hoyle, na mfano rasmi wa usambazaji wao, ambao tunadaiwa na Fournier d'Albu (mfano huu pia ni inayojulikana kama modeli ya Charlier), na, muhimu zaidi, muhimu zaidi, tutapata data fulani ya majaribio. Tutaonyesha kwamba nadharia na data zote mbili zinaweza kufasiriwa kulingana na dhana ya vumbi lisilobadilika kwa ukubwa. Ninasisitiza kwamba usambazaji wa galaksi na nyota ni pamoja na eneo fulani la kufanana kwa kibinafsi, ndani ambayo mwelekeo wa fractal unakidhi usawa Kwa kuongeza, sababu za kinadharia kwa nini mtu anaweza kutarajia, na, kama matokeo, inajadili kwa nini thamani inayozingatiwa ni .

Tangazo. Katika Sura ya 22, tutatumia zana za fractal kuboresha uelewa wetu wa maana ya kanuni ya ulimwengu, kuzingatia jinsi inavyoweza na inapaswa kurekebishwa, na kujifunza kwa nini urekebishaji kama huo unahitaji bahati nasibu. Tutaahirisha majadiliano ya vikundi ndani ya muundo ulioboreshwa hadi Sura ya 22, 23, na 32 hadi 35.

JE, INAWEZEKANA KUZUNGUMZIA ULIMWENGUmsongamanoJAMBO?

Wacha tuanze kwa kuangalia kwa karibu dhana ya msongamano wa vitu ulimwenguni. Kama ilivyo kwa ukanda wa pwani, kila kitu hapa, kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana rahisi sana, lakini kwa kweli ni haraka sana - na ya kuvutia sana - huchanganyikiwa. Kuamua na kupima msongamano, mtu huanza na misa iliyojilimbikizia ndani ya nyanja ya radius na kituo kinacholingana na katikati ya Dunia. Hii inakadiria takriban msongamano, unaofafanuliwa kama

Baada ya hayo, thamani huelekea kutokuwa na kikomo, na msongamano wa kimataifa hufafanuliwa kama kikomo ambacho takriban msongamano huungana katika kesi hii.

Hata hivyo, je, msongamano wa kimataifa lazima unaungana hadi kikomo chanya na kikomo? Ikiwa ndivyo, basi kasi ya muunganisho kama huo huacha kuhitajika, na hiyo ni kuiweka kwa upole. Zaidi ya hayo, makadirio ya msongamano wa juu zaidi, yanapozingatiwa katika mtazamo wa wakati, fanya tabia ya kushangaza. Kadiri kina cha darubini cha ulimwengu kilipoongezeka, msongamano wa takriban ulipungua kwa njia ya utaratibu wa kushangaza. Kulingana na de Vaucouleurs, daima kumekuwa na kupungua. Ripoti iliyozingatiwa ni chini ya 3 - kwa makadirio bora.

De Vaucouleurs alitoa nadharia kwamba tabia ya takriban thamani ya msongamano huakisi ukweli, akimaanisha kwamba . Fomula hii inaleta akilini matokeo ya kawaida ya mpira wa kipenyo uliopachikwa kwenye nafasi ya Euclidean ya mwelekeo - kiasi cha mpira kama huo. Katika Sura ya 6, tulikumbana na fomula sawa ya curve ya Koch, na tofauti pekee kwamba kiashirio hapo hakikuwa kipimo cha Euclidean, lakini mwelekeo wa sehemu ndogo. Na katika Sura ya 8 tulipokea fomula ya kinywaji cha Cantor kwenye mhimili wa wakati (hapa).

Vitangulizi hivi vyote vinalazimisha (na kwa kuendelea sana) kudhani kuwa kipeo cha de Vaucouleurs si chochote zaidi ya mwelekeo wa fractal.

JE, NYOTA WAKO KATIKA UTOAJI WA UTOAJI WA KIWANGO?

Ni wazi, anuwai ya utofauti wa kiwango ambamo ukosefu wa usawa haufai kujumuisha vitu vilivyo na mipaka iliyobainishwa wazi - kama vile sayari. Lakini je, nyota zinajumuishwa ndani yake? Kulingana na data iliyopatikana na Webbick na iliyotolewa ndani, wingi wa Milky Way ndani ya nyanja ya radus inaweza kuwakilishwa kabisa katika fomu, ambapo thamani hutolewa kutoka kwa galaksi. Hata hivyo, tutaendelea na mjadala wetu kwa maneno ya galaksi pekee.

JE, MFUMO WA UTOFAUTI WA KIPIMO UNA KIzingiti cha JUU?

Swali la ni umbali gani kuelekea mizani mikubwa sana masafa ambayo hurefushwa ni yenye utata sana, na ndani Hivi majuzi alijivutia tena. Waandishi wengi hutaja kwa uwazi au kuashiria kuwa masafa haya yanaruhusu kuwepo kwa kikomo cha nje kinacholingana na ukubwa wa makundi ya galaksi. Waandishi wengine wanaelezea kutokubaliana kwao na maoni haya. De Vaucouleurs anatoa hoja kwamba “mkusanyiko wa galaksi, na labda aina nyingine zote za mata, ni kipengele kikuu cha muundo wa Ulimwengu katika mizani yote inayoonekana, bila dalili ya kukadiria homogeneity; msongamano wa wastani jambo hupungua polepole kadiri idadi kubwa ya nafasi inavyozingatiwa, na hatuna sababu iliyothibitishwa kimajaribio ya kuamini kwamba mwelekeo huu hauendelei kwa umbali mkubwa zaidi na msongamano wa chini.”

Mjadala kati ya shule hizi mbili kwa hakika ni ya kuvutia sana na muhimu - kwa cosmology, lakini si kwa insha yetu. Hata kama safu ambayo , ina mipaka kwa pande zote mbili, uwepo wake ni muhimu vya kutosha kuhalalisha uchunguzi wa uangalifu zaidi.

Kwa vyovyote vile, Ulimwengu (kama vile mpira wa uzi tuliozungumzia katika Sura ya 6) unaonekana kuwa na idadi ya vipimo tofauti vinavyofaa. Ikiwa tutaanza na mizani kwenye mpangilio wa radius ya Dunia, basi mwelekeo wa kwanza ambao tunakutana nao utakuwa 3 (hii ndio kipimo. yabisi na mpaka wazi). Zaidi ya hayo, kipimo kinashuka hadi 0 (kwani maada inachukuliwa kama nguzo ya pointi zilizotengwa). Inayofuata inakuja sehemu ya kuvutia sana, inayoangaziwa kwa kipimo fulani kisicho cha kawaida ambacho kinakidhi ukosefu wa usawa . Ikiwa mkusanyiko usiobadilika wa mizani utaendelea hadi usio na kikomo, basi mfululizo wa vipimo bora huishia kwa thamani hii ya mwisho. Ikiwa kuna kizingiti cha nje cha nje, basi muda wa nne wa vipimo huongezwa kwenye orodha, ambayo pointi hupoteza ubinafsi wao, na tuna gesi ya homogeneous mikononi mwetu, yaani, mwelekeo unarudi kwa 3 tena.

Wazo la ujinga zaidi ni kwamba galaksi zinasambazwa takriban sawa katika Ulimwengu. Katika kesi hii, mlolongo wa vipimo D umepunguzwa hadi maadili matatu: 3, 0 na tena 3.

< Общая теория относительности утверждает, что при отсутствии материи локальная геометрия пространства стремится стать плоской и евклидовой, в то время как присутствие материи переводит ее в локально риманову. Здесь мы можем говорить о глобально плоской Вселенной, размерность которой равна 3 с локальными значениями . Такой тип возмущений описан в , довольно туманной работе, автор которой приводит (с. 312) пример построения кривой Коха (см. главу 6), не ссылаясь при этом на самого Коха.

ULIMWENGU WA FOURNIER'S

Tunachopaswa kufanya ni kuunda fractal inayokidhi kanuni na kuona jinsi inavyokubaliana na maoni yanayokubalika kwa ujumla ya Ulimwengu. Mfano wa kwanza wa kina wa aina hii ulipendekezwa na E. E. Fournier d'Albom (tazama Sura ya 40). Ingawa kitabu cha Fournier kwa kiasi kikubwa kimefichwa kama utafiti wa kisayansi, kina mambo kadhaa ya kuvutia sana ambayo tutayajadili hivi punde. Kwanza, inaonekana mimi, tunapaswa kuelezea muundo uliopendekezwa na Fournier.

Tunaanza ujenzi na octahedron ya kawaida, makadirio ambayo yanaonyeshwa katikati ya Mtini. 141. Makadirio yanaonyesha pembe nne za mraba, diagonal ambayo ni "vitengo" 12, na katikati ya mraba huu. Hata hivyo, octahedron ina pointi mbili zaidi juu na chini ya ndege yetu kwenye perpendicular inayotolewa katikati ya mraba, kwa umbali sawa wa "vitengo" 6 kutoka kituo hiki.

Kisha, kila nukta inabadilishwa na mpira wa radius 1, ambayo tutazingatia kama "jumla ya nyota yenye mpangilio sifuri." Mpira mdogo kabisa ulio na mipira yote 7 ya asili utaitwa "jumla ya nyota ya mpangilio wa kwanza". Mkusanyiko wa mpangilio wa pili hupatikana kwa kuongeza mkusanyiko wa mpangilio wa kwanza kwa kipengele na kubadilisha kila mipira mipya ya radius 7 na nakala ya jumla ya mpangilio wa kwanza. Vile vile, jumla ya utaratibu wa tatu hupatikana kwa kuongeza jumla ya utaratibu wa pili kwa sababu na kuchukua nafasi ya kila moja ya mipira na nakala ya jumla ya utaratibu wa pili. Nakadhalika.

Kwa kifupi, wakati wa mpito kati ya maagizo ya jirani ya mkusanyiko, idadi ya pointi na radius ya mipira huongezeka kwa sababu. Kwa hivyo, kwa thamani yoyote ambayo ni radius ya mkusanyiko wowote, chaguo la kukokotoa ambalo huamua idadi ya pointi zilizo katika mpira wa radius ina fomu . Kwa zile za kati, kazi inachukua maadili madogo (kufikia ), hata hivyo, kulingana na tabia ya jumla, .

Pia inawezekana kujumuisha mijumlisho ya mpangilio wa sifuri katika hatua zinazofuatana ili mijumlisho ya mpangilio -1, -2, n.k. Katika hatua ya kwanza, tunabadilisha kila mkusanyiko wa agizo sifuri na nakala ya mkusanyiko wa agizo la kwanza, iliyopunguzwa na a. uwiano wa 1/7, na kadhalika. Kwa ujenzi huu, uhusiano unabaki kuwa wa kweli kwa maadili yanayozidi kuwa madogo. Baada ya ziada isiyo na mwisho na tafsiri, tunapata seti inayofanana ya mwelekeo .

Kwa kuongeza, kipimo cha kitu katika nafasi-3 si lazima kiwe mstari wa moja kwa moja au curve nyingine yoyote inayoweza kurekebishwa. Sio lazima hata awe na mshikamano. Kila kipimo kinaoana na kipimo chochote kidogo au sawa cha kitopolojia. Hasa, mwelekeo wa kitolojia wa ulimwengu wa Fournier, usio na mwisho katika pande zote mbili, ni sawa na 0, kwa kuwa "vumbi" limekatwa kabisa.

USAMBAZAJI WA MISA: HOMOGENEITY FRACTAL

Hatua kutoka kwa jiometri hadi usambazaji wa wingi inaonekana kwangu kuwa wazi iwezekanavyo. Ikiwa kila mkusanyiko wa nyota wa mpangilio wa sifuri umepakiwa na uzito wa kitengo, basi wingi ndani ya mpira wa radius ni sawa na thamani , na kwa hiyo . Kwa kuongezea, ili kupata hesabu za mpangilio -1 kutoka kwa mkusanyiko wa sifuri, inahitajika kuvunja mpira ambao tuliona kuwa sawa na kugundua kuwa una mipira saba ndogo. Katika hatua hii, sheria pia inatumika kwa radii ndogo kuliko umoja.

Kwa kuzingatia usambazaji unaosababishwa wa misa juu ya nafasi 3 nzima, tunaona kuwa haina usawa, ingawa kwenye fractal ya Fournier haina sawa katika homogeneity. (Kumbuka Mchoro 120.) Hasa, sehemu zozote mbili za kijiometri zinazofanana za ulimwengu wa Fournier zina misa sawa. Ninapendekeza kuita usambazaji huu wa wingi kuwa sawa.

< Предыдущее определение сформулировано в терминах масштабно-инвариантных фракталов, но концепция фрактальной гомогенности в общем случае гораздо шире. Она применима к любому фракталу, для которого положительна и конечна хаусдорфова мера в размерности . Фрактальная гомогенность требует, чтобы масса, содержащаяся в множестве, была пропорциональна хаусдорфовой мере этого множества.

ULIMWENGU WA FOURNIER NI KAMA VUMBI LA CANTOR. UPANUZI D0

Natumai kuwa msomaji hajachanganyikiwa na utumizi usiojali wa istilahi za fractal katika sehemu za mwanzo za sura hii. Ni dhahiri kwamba Fournier, bila kutambua hilo, alikuwa akifuata njia inayofanana na ile ya Cantor wa zama zake. Tofauti kuu ni kwamba ujenzi wa Fournier umewekwa kwenye nafasi badala ya muda kwenye mstari. Ili kuongeza zaidi kufanana, inatosha kuchukua nafasi ya aggregates ya spherical Fournier na vitalu (cubes zilizojaa). Kila jumla ya mpangilio wa sifuri inakuwa kizuizi ambacho urefu wa upande ni 1, na inajumuisha hesabu 7 ndogo na upande wa 1/7: katikati ya moja inalingana na katikati ya mchemraba wa asili, na zingine sita hugusa sehemu ndogo ya kati. -mraba kwenye nyuso za mchemraba asilia.

Hapo chini tutaangalia jinsi Fournier alivyopata maana kutoka kwa jambo la kimsingi la kimwili, na jinsi Hoyle alifikia matokeo sawa. Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, kesi hiyo ni maalum, hata ikiwa katika ujenzi mzima tunashikamana na sura ya octahedron na thamani. Kwa kuwa mipira haiingiliani, thamani inaweza kuchukua thamani yoyote katika safu kutoka 3 hadi infinity, na kusababisha sheria ambapo kwa muda wote kutoka 0 hadi .

MFANO WA CHARLIER NA ULIMWENGU MWINGINE WA FRACTAL

Ujenzi hapo juu haukuepuka mapungufu yoyote ya tabia ya mifano ya kwanza ya fractal. Kinachoshangaza zaidi ni kwamba kielelezo cha Fournier, kama kielelezo cha curve cha Koch katika Sura ya 6 na kielelezo cha vumbi cha Cantor katika Sura ya 8, ni sahihi sana. Ili kurekebisha hali hiyo, Charlier alipendekeza kutoa uwezo wa kuhama kutoka ngazi moja ya uongozi hadi nyingine, kuchukua maadili na .

Sifa ya Charlier katika duru za kisayansi ilikuwa ya juu sana hivi kwamba, licha ya sifa zake zote za ukarimu za Fournier, zilizoonyeshwa katika lugha zote zinazoongoza za sayansi ya wakati huo, hata mfano wa asili hivi karibuni ulianza kuhusishwa na mkalimani maarufu, na sio kwa mtu yeyote. . mwandishi maarufu. Mtindo mpya ulijadiliwa sana wakati huo, haswa katika. Zaidi ya hayo, ilivutia usikivu wa Emile Borel mwenye ushawishi mkubwa, ambaye maoni yake ni ya busara sana, ikiwa ni kavu kwa kiasi fulani. Hata hivyo, tangu wakati huo, isipokuwa kwa majaribio kadhaa ya kutisha, mfano wa Charlier umesahauliwa (sio sababu za kushawishi za kusahau kama hizo zimewekwa katika, ukurasa wa 20-22 na 408-409). Walakini, kwa ukaidi anakataa kufa. Wazo kuu tayari limegunduliwa mara nyingi na watafiti tofauti bila ya kila mmoja; Ninapendekeza sana kutazama. (Pia tazama sehemu ya PAUL LEVY katika Sura ya 40.) Ninachokiona kuwa muhimu zaidi, hata hivyo, ni kwamba msingi uliogawanyika wa ulimwengu wa Fournier uko wazi katika mjadala wa misukosuko na galaksi katika kazi (ona Sura ya 10) na katika mfano wa galaksi. genesis, iliyopendekezwa na Hoyle (tutazingatia hapa chini).

Sehemu kuu ya fractal pia iko katika mifano yangu (tazama sura ya 32 hadi 35).

Kwa nuru hii, swali linatokea: je, muundo wa usambazaji wa gala hauwezi kuwa fractal na kizingiti kimoja au mbili? Nadhani hapana. Iwapo tunakubali kwamba usambazaji lazima uwe usiobadilika (sababu za hili zimefafanuliwa katika Sura ya 11), na kwamba seti ambayo jambo limekaziwa si seti ya mizani ya kawaida, hatuna chaguo ila kukubali upungufu wa seti hii. .

Kwa kuzingatia umuhimu wa kutofautiana kwa vipimo, si vigumu kuelewa ni kwa nini ujanibishaji usio na kipimo wa Charlier wa modeli ya Fournier ulikataliwa tangu mwanzo.< Оно, кстати, позволяет величине hutofautiana kulingana na hiyo ndani ya mipaka miwili, na . Hapa kuna mada nyingine ya majadiliano: kipimo cha ufanisi sio lazima kiwe na thamani moja, thamani hii inaweza kuelea kati ya mipaka ya juu na ya chini. Tutarejea kwenye mada hii katika Sura ya 15.

KWANINI FOURNIER ALITARAJIAD= 1?

Hebu sasa tujadili mabishano ya kuvutia sana ambayo yalimfanya Fournier kufikia hitimisho kwamba kiashirio kinapaswa kuwa sawa na 1 (tazama, uk. 103). Hoja hii yenyewe ni hoja nzito inayopendelea kutosahau jina la mwandishi wake.

Hebu tuzingatie mkusanyiko wa galaksi wa mpangilio kiholela wenye wingi na radius . Kuondoa mashaka yasiyo na matunda na kutumia fomula ya vitu vilivyo na ulinganifu wa spherical kwa kesi hii, wacha tuchukue kuwa uwezo wa mvuto juu ya uso wa nyanja ni sawa na ( - mvuto wa mara kwa mara). Nyota inayoanguka kwenye Ulimwengu wetu inagongana na uso wake kwa kasi .

Kulingana na Fournier, hitimisho muhimu sana linaweza kutolewa kutokana na ukweli kwamba hakuna nyota inayoonekana inayotembea kwa kasi inayozidi 1/300 ya kasi ya mwanga. Misa iliyomo ndani ya mpira wa dunia huongezeka kwa uwiano wa moja kwa moja na radius yake, na si kwa kiasi chake, au, kwa maneno mengine, wiani wa suala ndani ya mpira wa dunia ni kinyume chake na eneo lake la uso ... Hebu tueleze mwisho. taarifa - uwezo juu ya uso wa nyanja daima ni sawa, kwa kuwa ni sawia moja kwa moja na wingi wa jambo ndani ya nyanja na kinyume chake kwa umbali kutoka katikati. Kwa hivyo, kasi za nyota karibu na kasi ya mwanga sio kawaida katika sehemu yoyote ya Ulimwengu.

KUKATA KWENYE HOYLE; JEAN KIGEZO

Usambazaji wa kihierarkia pia unaonekana katika nadharia ya Hoyle (tazama), kulingana na ambayo galaksi na nyota huundwa kupitia mchakato wa kuteleza, na mchakato huu huanza na gesi ya homogeneous.

Hebu tuzingatie wingu la gesi la wingi, lililopashwa joto hadi joto na kusambazwa kwa msongamano sawa ndani ya mpira wa radius. Kama Gine alionyesha, lini hali "muhimu" hutokea. (Hapa ni mara kwa mara ya Boltzmann, a ni mgawo wa nambari.) Kwa kuwa katika hali mbaya, wingu la msingi la gesi si thabiti na lazima lipungue.

Hoyle anasisitiza kwamba (a) ukubwa unafikia thamani muhimu mahali fulani mwanzoni kabisa, (b) mbano hukoma wakati ujazo wa wingu la gesi unapunguzwa hadi 1/25 ya ujazo wake asili, na (c) kila wingu katika hatua hii. hugawanyika na kuwa mawingu matano madogo ukubwa sawa, wingi na radii. Hiyo ni, mchakato unarudi mahali pale ulipoanza: matokeo yake ni hali isiyo na utulivu, ikifuatiwa na hatua ya pili ya kukandamiza na kujitenga, kisha ya tatu, nk. matokeo Wakati gesi imebanwa, kuna joto ndani.

Kama ilivyo katika maeneo mengine kadhaa ambayo michakato kama hiyo ya mteremko hufanyika, napendekeza kutumia istilahi ya jumla kwa kesi hii, ambayo ni, tutaita mawingu matano, na mchakato wa kuteleza yenyewe - kukandamiza. Kama nilivyotaja wakati wa kutambulisha muhula uliopita, sikuweza kupinga madokezo ya galaksi.

Kwa ajili ya urahisi wa kuwakilisha kielelezo chake, Fournier anatanguliza , huku Hoyle akidai kwamba thamani hiyo inahesabiwa haki. Ufafanuzi wa mchoro wa kijiometri wa Fournier huenda zaidi ya mipaka yoyote inayofaa au muhimu. Taarifa za Hoyle kuhusu muundo wa anga wa jibini la Cottage, kinyume chake, hazieleweki. Tutalazimika kusubiri hadi Sura ya 23, ambapo tunaangalia kukunja bila mpangilio, kwa utekelezaji wa kina wa mfano wa Hoyle. Ikiwe hivyo, tofauti zilizotajwa sio za umuhimu wa kimsingi: jambo kuu ni ukweli kwamba, i.e., kiashiria lazima kiwe sehemu muhimu ya ujenzi wetu ikiwa tunataka kukwama kumalizika katika hali ile ile ambayo ilianza. , - na yaani, kutokuwa na utulivu wa Jeans.

Kwa kuongeza, ikiwa muda wa hatua ya kwanza unachukuliwa kama 1, basi, kwa mujibu wa data ya mienendo ya gesi, muda wa hatua hiyo itakuwa. Kwa hivyo, muda wa jumla wa mchakato mzima, unaojumuisha idadi isiyo na kipimo ya hatua, hauzidi 1.2500.

USAWA WA FOURNIER NA HOYLE INAKARIBIA HITIMISHOD= 1

Katika mpaka wa wingu la gesi isiyo na utulivu ambayo inakidhi kigezo cha Jeans, kasi na joto huhusiana na uhusiano , kwa kuwa ni sawa na wote (Fournier) na (Gene). Hebu sasa tukumbuke kwamba katika thermodynamics ya takwimu joto la gesi ni sawia moja kwa moja na kasi ya mizizi-maana-mraba ya molekuli zake. Hii inamaanisha, kutoka kwa mchanganyiko wa vigezo vya Fournier na Jeans, tunaweza kudhani kuwa kwenye mpaka wa wingu kasi ya kuanguka kwa kitu cha macroscopic ni sawia moja kwa moja. kasi ya wastani molekuli zake. Uchambuzi wa makini wa jukumu la joto katika kigezo cha Jeans hakika utaonyesha kuwa vigezo hivi viwili ni sawa.< Вероятнее всего, аналогия распространяется и на справедливость отношения внутри галактик, о чем сообщает Валленквист в .

KWA NINID= 1.23, NA SIOD= 1?

Tofauti kati ya maana ya majaribio na maana ya kinadharia ya Fournier na Hoyle inazua. tatizo muhimu. P. J. E. Peebles aliichunguza mwaka wa 1974 kwa mtazamo wa nadharia ya uhusiano. Katika kazi yake, vipengele vya kimwili na takwimu (lakini si kijiometri) vya tatizo lililotajwa vilipokea chanjo kamili.

FRACTAL DIMENSION YA ANGA

Anga ni makadirio ya Ulimwengu. Ili kupata makadirio haya, kila nukta ya Ulimwengu inaelezewa kwanza na kuratibu za duara, na, na kisha kuratibu kunabadilishwa na 1. Ikiwa Ulimwengu ni fractal na dimension, na asili ya mfumo wa kumbukumbu ni ya Ulimwengu huu. tazama Sura ya 22), basi muundo wa makadirio, kama sheria, hufafanuliwa na mbadala ifuatayo: ina maana kwamba makadirio yanashughulikia eneo lisilo la sifuri la anga, wakati ina maana kwamba makadirio yenyewe yana mwelekeo wa fractal. .< Как показано на рис. 141 и 143, «правило» не лишено исключений, обусловленных структурой фрактала и/или/ выбором точки отсчета. О таких правилах часто говорят «истинно с вероятностью 1».

MAELEZO KUHUSU ATHARI INAYOWEKA ANGA (INAITWA VIPINGA VYA OLBERS' PARADOX)

Sheria kutoka sehemu iliyotangulia inahusiana sana na motisha iliyowafanya watafiti mbalimbali (ikiwa ni pamoja na Fournier) kugundua matoleo yao wenyewe ya ulimwengu wa fractal. Walielewa kuwa ulimwengu kama huo kijiometri "hufuta" athari ya anga inayowaka, ambayo pia mara nyingi (lakini kwa usahihi) inaitwa kitendawili cha Olbers. Ikiwa tunadhania kwamba usambazaji wa miili ya mbinguni ni sare (ambayo ni, kwa mizani yote), basi mbingu iliyo juu yetu inapaswa kuangazwa kwa usawa usiku na mchana, na mwangaza wa mwanga huu unapaswa kulinganishwa na jua. .

Kitendawili hiki hakiwavutii tena wanafizikia, baada ya kubatilishwa na nadharia ya uhusiano, nadharia ya Ulimwengu unaopanuka na masuala mengine. Walakini, kifo chake kilikuwa na athari ya kupendeza: wachambuzi wengi walianza kunukuu maelezo yao wanayopenda zaidi juu ya athari ya anga inayowaka - wengine kwa matumaini ya kuhalalisha chuki yao ya kukusanyika, wakati wengine, kinyume chake, wakikana kabisa ukweli wake. Mtazamo wa ajabu sana, lazima niseme. Hata kama tukichukulia kuwa mkusanyiko wa galaksi hauhusiani na kukosekana kwa athari ya anga inayowaka, bado upo - na unahitaji uchunguzi sahihi. Zaidi ya hayo, kama tutakavyoona katika Sura ya 32, dhana ya ulimwengu unaopanuka haiendani tu na homogeneity ya kawaida, lakini pia na homogeneity ya fractal.

Athari ya anga inayowaka inaelezewa kwa urahisi sana. Kwa kuwa kiasi cha mwanga kinachotolewa na nyota kinalingana moja kwa moja na eneo la uso wake, kiasi cha mwanga kinachomfikia mwangalizi aliye mbali na nyota lazima kiwe, lakini eneo linaloonekana la nyota lazima liwe pia. Hivyo, uwiano wa kiasi cha mwanga kwa angle inayoonekana ya spherical haitegemei. Kwa kuongeza, ikiwa usambazaji wa nyota katika Ulimwengu ni sare, basi karibu mwelekeo wowote unaotazama utakutana na nyota fulani hivi karibuni. Kwa hivyo, anga inaangazwa sawasawa na mwanga wa nyota na inaonekana kung'aa. (Diski ya mwezi katika kesi hii inaunda eneo la giza kabisa - angalau kwa kukosekana kwa utengamano wa anga.)

Ikiwa tunadhania kwamba Ulimwengu ni fractal na kwamba mwelekeo wake ni , basi kitendawili hujitatua chenyewe. Katika kesi hii, makadirio ya Ulimwengu kwenye anga ni seti ya fractal ya mwelekeo sawa, yaani seti ya eneo la sifuri. Hata kama nyota zina kipenyo kisicho na sifuri, maelekezo mengi huenda kwa infinity bila kukutana na nyota moja kwenye njia yao. Tukitazama pande hizi, tutaona tu weusi wa anga la usiku. Ikiwa muda ambao , unafuatwa na muda ambao , basi mandharinyuma ya anga haitakuwa nyeusi kabisa, lakini yenye mwanga hafifu sana.

Kepler alikazia matokeo ya anga linalowaka muda mfupi baada ya Galileo, katika kitabu chake “Star Message,” kuzungumzia vizuri wazo la Ulimwengu usio na mipaka. Katika “Mazungumzo na Mjumbe Mwenye Nyota” (1610), Kepler alitoa pingamizi lifuatalo: “Husitisi hata kidogo kutangaza kwamba zaidi ya nyota 10,000 zinaonekana kutazamwa... Ikiwa ndivyo hivyo, na ikiwa [nyota ] ni wa asili sawa na Jua letu, basi kwa nini jua hizi zote kwa pamoja hazizidi Jua letu katika mwangaza?... Labda zimepatwa na etha? Sio hata kidogo... Ni dhahiri kabisa kwamba ulimwengu wetu hauwezi kwa njia yoyote kuwa wa kundi lisilo na utaratibu la ulimwengu mwingine usiohesabika” (ona, uk. 34-35).

Hitimisho lilikuwa la ubishani sana, lakini mabishano hayakusahaulika - ushahidi wa hii ni maneno ya Edmund Halley (yaliyotolewa naye mnamo 1720): "Nimesikia juu ya pingamizi lingine, ambalo linasema kwamba ikiwa idadi ya nyota zisizobadilika ilikuwa zaidi ya. kikomo, basi tao zima la duara lao linaloonekana lingeangazwa kabisa.” Pingamizi hili lilijadiliwa baadaye na de Chezo na I. G. Lambert, lakini uandishi wake ulihusishwa na rafiki mkubwa Gauss kwa mwanaastronomia wa Ujerumani Olbers. Neno "kitendawili cha Olbers", ambalo tangu wakati huo limetumika kuelezea ukinzani huu, ni kashfa lakini ni dalili. Matokeo ya uchunguzi unaoangukia katika kategoria ya "sio chini ya uainishaji" (tazama uk. 51) mara nyingi huhusishwa na mwakilishi wa kwanza wa Wengi Rasmi, ambaye atapamba kwa kanga inayoweza kuainishwa kabisa, hata ikiwa ni ya muda tu. Majadiliano ya somo katika mtazamo wa kihistoria yanaweza kupatikana katika.

MAELEZO KUHUSU MVUTO WA NEWTONIAN

Mchungaji Bentley aliendelea kumsumbua Newton kwa uchunguzi mmoja unaohusiana kwa karibu na athari ya anga inayowaka: ikiwa usambazaji wa nyota ni sawa, basi nguvu ambayo wao hutendeana haina mwisho. Tunaweza kuongeza kwamba uwezo wao wa mvuto pia hauna kikomo. Na kwamba usambazaji wowote ambao, utatoa kwa ujumla uwezo usio na kikomo katika hali zote isipokuwa. Nadharia ya kisasa ya uwezo (nadharia ya Frostman) inathibitisha ukweli kwamba kuna uhusiano fulani maalum kati ya mvuto wa Newton na thamani. Kiashiria kilichopatikana na Fournier na Hoyle kinapaswa pia kuhusishwa na maonyesho ya uhusiano huu.< Положение Фурнье о том, что «гравитационный потенциал на поверхности сферы всегда одинаков», является центральным в nadharia ya kisasa uwezo. " Mraba wa uwiano wa kasi uliowekwa na Fournier uko katikati kabisa ya muda uliotajwa.

ULIMWENGU ULIOPITA FRACTAL?

Watafiti wengi wanaamini kwamba uundaji wa nyota na vitu vingine vya mbinguni unaweza kuelezewa na mteremko wa juu (yaani, msongamano wa polepole wa chembe za vumbi zilizotawanywa katika vipande vikubwa zaidi), bila kutaka kusikia chochote kuhusu kushuka kwa 1a Hoyle (yaani. , mgawanyiko wa taratibu wa umati mkubwa sana na uliotawanywa katika sehemu ndogo zaidi).

Njia mbadala kama hiyo inatokea kuhusiana na misururu inayotolewa katika nadharia ya msukosuko (ona Sura ya 10). Mteremko wa Richardson unaendelea chini hadi kwenye eddy ndogo zaidi, lakini miteremko ya juu pia inaweza kushiriki katika mchakato (ona Sura ya 40, sehemu ya LEWIS FRY RICHARDSON). Kwa hivyo, inatumainiwa kwamba uhusiano kati ya miteremko ya kushuka na kwenda juu hivi karibuni utaelezewa ipasavyo.

MFUPIKO WA DArubini

Hakuwezi kuwa na mguso wa mwisho unaofaa zaidi kwa mjadala huu kuliko maoni kuhusu vyombo ambavyo galaksi huzingatiwa. Ili kuboresha ubora wa uchunguzi, Dyson anapendekeza kubadilisha darubini kubwa moja na safu za darubini ndogo. Kipenyo cha kila darubini ndogo kinapaswa kuwa karibu 0.1 m (ukubwa wa usumbufu mdogo wa angahewa), vituo vyao vinapaswa kuunda muundo wa hali ya juu, na uunganisho kati ya darubini utatolewa na interferometers za Curry. Uchambuzi mkali unasababisha hitimisho kwamba kama thamani inayofaa vipimo vinapaswa kuchukuliwa 2/3. Hili hapa ni hitimisho la Dyson mwenyewe: "Safu ya kilomita tatu ya darubini 1024 ya sentimita kumi iliyounganishwa na interferometers 1023 sio pendekezo linalofaa zaidi leo. [Niliiweka mbele] kama wazo la kinadharia kuonyesha kile ambacho kimsingi kinaweza kufanywa hapa.

UHAKIKI WA MIFANO YA FRACTAL FRACTAL YA MAKUNDI YA GALAXY

Ikiwa tunaamini kwamba inawezekana kuelezea kwa ufanisi usambazaji wa galaksi kwa kutumia mifano ya fractal iliyogunduliwa kwa nasibu ambayo si tata au ya ulimwengu wote, haipaswi kushangaza kwamba mifano isiyo ya kawaida ya kimakusudi inaweza kutupa mengi zaidi. maelezo yenye ufanisi. Kuanza, tunaweza kuelewa kukunja kwa Hoyle vizuri zaidi kwa kuzingatia katika mazingira yake sahihi, ambayo ni, kati ya fractals nasibu (ona Sura ya 23). Ya umuhimu mkubwa zaidi, kwa maoni yangu, ni mifano ya nasibu niliyotengeneza, ambayo tutajadili katika Sura ya 32 hadi 35. Moja ya hoja zinazounga mkono kuzingatia mifano mingi ni kwamba kuboresha ubora wa maelezo huja kwa gharama ya kuongezeka. utata. Hoja ya pili ni kwamba kila mfano umejengwa juu ya vumbi maalum la fractal, ambayo kila moja inastahili kuzingatia tofauti. Hebu tuzingalie kwa ufupi mifano hii kwa utaratibu wa kimantiki.

Karibu 1965, niliamua kutoa uhusiano na modeli inayolingana ambayo "kituo cha Ulimwengu" hakingekuwepo kama dhana. Kwanza nilifanikisha lengo hili kwa kutumia mtindo wa kutembea bila mpangilio uliofafanuliwa katika Sura ya 32. Kisha, kama mbadala, nilitengeneza kielelezo cha trem, kiini chake kilikuwa kwamba seti fulani ya mitikisiko inayojitegemea na iliyowekwa nasibu ya radius nasibu ilikatwa. ya nafasi, na sehemu ya juu ya radius inaweza kufikia kizingiti cha juu, ambacho kinaweza kuwa na mwisho au usio.

Kwa kuwa mifano yote miwili ilichaguliwa kwa sababu za unyenyekevu rasmi, nilishangaa sana na thamani yao ya utabiri. Vipengele vyangu vya uunganisho vya kinadharia viligeuka kuwa katika maelewano mazuri na vitendakazi vilivyowekwa kando vilivyotolewa na Peebles (ona, uk. 243-249).< Точнее, два моих приближения совпали на двухточечной корреляции, случайные блуждания дали хорошую трех- и плохую четырехточечную корреляции, а сферические тремы оказались на высоте во всех известных корреляциях.

Kwa bahati mbaya, mifano inayotokana na mifano hii inaonekana isiyo ya kweli kabisa. Kwa kutumia dhana niliyotengeneza mahsusi kwa madhumuni haya, ambayo nitajadili katika Sura ya 35, mifano yangu ya awali inaonyesha mali zisizokubalika za lacunar. Katika kesi ya mfano wa trem, upungufu huu unaweza kusahihishwa kwa kuanzisha fomu ngumu zaidi za trem. Kwa mfano wa kutembea bila mpangilio, nilitumia "msimamizi" mdogo wa lacunar.

Kwa hivyo, utafiti wa makundi ya galaksi umechochea kwa kiasi kikubwa maendeleo ya jiometri ya fractal. Kwa sasa, anuwai ya matumizi ya jiometri ya fractal katika utafiti wa nguzo za gala imepanuka sana, kwenda mbali zaidi ya hizo. kusafisha jumla na utatuzi ambao tumefanya katika sura hii.

KATA DIAMOND KAMA NYOTA

Mgawanyo wa amana za almasi katika ukoko wa dunia ni sawa na usambazaji wa nyota na galaksi katika anga. Hebu fikiria ramani kubwa ya dunia, ambayo kila mgodi wa almasi, kila amana tajiri - ambayo sasa inaendelezwa au tayari imeachwa - imewekwa alama ya pini. Ikiwa tutaangalia ramani kutoka kwa umbali mkubwa wa kutosha, tutaona kwamba usambazaji wa pini haufanani sana. Kuna pini chache zilizotengwa zilizotawanyika hapa na pale, lakini nyingi zimejilimbikizia katika maeneo machache yaliyobarikiwa (au yaliyolaaniwa). Uso wa dunia ndani ya maeneo haya, kwa upande wake, haujawekwa sawasawa na almasi. Kwa kuangalia kwa karibu kila moja yao, tunaona tena kwamba sehemu kubwa ya eneo hilo inabaki tupu, wakati maeneo machache yaliyotawanyika yanaonyesha mkusanyiko mkubwa wa almasi. Utaratibu huu unaweza kuendelea kwa amri kadhaa za ukubwa.

Je, unajaribiwa kutumia dhana ya kubana katika muktadha huu? Kwa upande wangu, nitasema kwamba mfano huo upo, ulipendekezwa na de Wis, na tutazingatia katika Sura ya 39 katika sehemu ya NON-LACUNARY FRACTALS.

Kitabu cha Fournier kinatoa maelezo yafuatayo kwa kielelezo hiki: “Nyimbo mbalimbali, zilizojengwa juu ya kanuni ya msalaba au octahedron, si mpango wa ulimwengu wetu, lakini husaidia kuonyesha uwezekano wa kuwepo kwa idadi isiyo na kikomo ya ulimwengu unaofuatana. bila kusababisha athari za "anga inayowaka." Kiasi cha maada katika kila nyanja ya ulimwengu ni sawia moja kwa moja na radius yake. Hali hii ni muhimu ili kuzingatia sheria za mvuto na mionzi. Katika mwelekeo fulani anga inaonekana nyeusi kabisa - licha ya ukweli kwamba idadi ya ulimwengu haina mwisho. "Nambari ya ulimwengu" ndani kwa kesi hii sio kama katika ulimwengu wa kweli." badala ya . Ujenzi unaendelea hatua moja zaidi kuliko inavyowezekana katika Mtini. 141.

(Dynamic) fractals

Fractals ya aina hii hutokea wakati wa kusoma mifumo ya nguvu isiyo ya mstari (kwa hivyo jina). Tabia ya mfumo kama huo inaweza kuelezewa na kazi ngumu isiyo ya mstari (polynomial) f(z). Wacha tuchukue hatua ya awali z0 kwenye ndege tata. Sasa fikiria mlolongo usio na kipimo wa nambari kwenye ndege tata, ambayo kila mmoja hupatikana kutoka kwa uliopita: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), ... zn + 1 = f (zn). Kulingana na nukta z0 ya mwanzo, mlolongo kama huo unaweza kuwa tofauti: huwa na ukomo kama n → ∞; kuungana kwa hatua fulani ya mwisho; kwa mzunguko kuchukua mfululizo wa maadili yaliyowekwa; Chaguzi ngumu zaidi pia zinawezekana.

Kwa hivyo, hatua yoyote z ya ndege tata ina tabia yake wakati wa kurudia kwa kazi f (z), na ndege nzima imegawanywa katika sehemu. Zaidi ya hayo, pointi zilizo kwenye mipaka ya sehemu hizi zina mali ifuatayo: na uhamisho mdogo wa kiholela, asili ya tabia zao hubadilika kwa kasi (pointi hizo huitwa pointi za bifurcation). Kwa hiyo, zinageuka kuwa seti za pointi ambazo zina aina moja maalum ya tabia, pamoja na seti za pointi za bifurcation, mara nyingi zina mali ya fractal. Hizi ndizo seti za Julia za chaguo za kukokotoa f(z).

Seti ya Mandelbrot imeundwa kwa njia tofauti. Fikiria chaguo za kukokotoa fc(z) = z2 + c, ambapo c ni nambari changamano. Wacha tuunda mlolongo wa chaguo hili la kukokotoa na z0 = 0; kulingana na parameta c, inaweza kugeukia kwa infinity au kubaki mdogo. Zaidi ya hayo, maadili yote ya c ambayo mlolongo huu ni mdogo huunda seti ya Mandelbrot. Ilijifunza kwa undani na Mandelbrot mwenyewe na wanahisabati wengine, ambao waligundua mali nyingi za kuvutia za seti hii.

Inaweza kuonekana kuwa ufafanuzi wa seti za Julia na Mandelbrot ni sawa kwa kila mmoja. Kwa kweli, seti hizi mbili zinahusiana kwa karibu. Yaani, seti ya Mandelbrot ni maadili yote ya paramu tata c ambayo Julia seti fc(z) imeunganishwa (seti inaitwa kuunganishwa ikiwa haiwezi kugawanywa katika sehemu mbili zilizotengana, na hali zingine za ziada).

Hili ndilo kundi kubwa zaidi la fractals. Zinapatikana kwa kutumia michakato isiyo ya mstari katika nafasi za n-dimensional. Michakato ya pande mbili ndiyo iliyosomwa zaidi. Wakati wa kutafsiri mchakato wa kurudia usio na mstari kama mfumo thabiti wa nguvu, mtu anaweza kutumia istilahi ya nadharia ya mifumo hii: picha ya awamu, mchakato wa hali thabiti, kivutio, n.k.

Inajulikana kuwa mifumo ya nguvu isiyo ya mstari ina majimbo kadhaa thabiti. Hali ambayo mfumo wa nguvu hujikuta baada ya idadi fulani ya kurudia inategemea hali yake ya awali. Kwa hivyo, kila hali thabiti (au, kama wanasema, kivutio) ina eneo fulani la majimbo ya awali, ambayo mfumo huo utaanguka katika majimbo ya mwisho yanayozingatiwa. Kwa hivyo, nafasi ya awamu ya mfumo imegawanywa katika maeneo ya kivutio cha wavuti. Ikiwa nafasi ya awamu ni mbili-dimensional, kisha kuchorea maeneo ya kivutio rangi tofauti, unaweza kupata picha ya awamu ya rangi ya mfumo huu (mchakato wa kurudia). Kwa kubadilisha algorithm ya uteuzi wa rangi, unaweza kupata mifumo ngumu ya fractal na mifumo ya ajabu ya rangi nyingi. Jambo la kushangaza kwa wanahisabati lilikuwa uwezo wa kutoa miundo ngumu sana isiyo ya maana kwa kutumia algoriti za awali.

Kwa mfano, fikiria seti ya Mandelbrot (tazama Mchoro 3 na Mchoro 4). Algorithm ya ujenzi wake ni rahisi sana na inategemea usemi rahisi wa kurudia:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

ambapo Zi na C ni vigezo changamano. Marudio yanafanywa kwa kila sehemu ya kuanzia C ya eneo la mstatili au mraba - sehemu ndogo ya ndege tata. Mchakato wa kujirudia unaendelea hadi Z[i] inakwenda zaidi ya mduara wa radius 2, katikati ambayo iko kwenye uhakika (0,0), (hii ina maana kwamba kivutio cha mfumo wa nguvu iko katika infinity), au baada ya kutosha. idadi kubwa ya marudio (kwa mfano 200-500) Z[i] itaungana hadi sehemu fulani kwenye duara. Kulingana na idadi ya marudio ambayo Z[i] ilibaki ndani ya duara, unaweza kuweka rangi ya nukta C (ikiwa Z[i] inabaki ndani ya duara kwa idadi kubwa ya marudio, mchakato wa kurudia huacha na raster hii. uhakika umepakwa rangi nyeusi).

Algorithm hapo juu inatoa makadirio ya kinachojulikana seti ya Mandelbrot. Seti ya Mandelbrot ina pointi ambazo haziendi kwa infinity wakati wa idadi isiyo na kikomo ya marudio (pointi ambazo ni nyeusi). Pointi za mpaka wa seti (hapa ndipo miundo changamano inatokea) kwenda kwa infinity kwa idadi isiyo na kikomo ya marudio, na vidokezo vilivyo nje ya seti huenda kwa infinity baada ya marudio kadhaa (mandhari nyeupe).

Mifano ya algebraic fractals:

Mandelbrot kuweka
Julia anaweka
Upungufu wa Halley
Fractal ya Newton

- 213.50 KB

WIZARA YA ELIMU, SAYANSI, VIJANA NA MICHEZO YA UKRAINE

CHUO CHA UJENZI NA USANIFU JIMBO LA ODESA

IDARA YA FIZIA

MUHTASARI

Nidhamu: "Sayansi ya Nyenzo za Kimwili"

Juu ya mada: "FRACTALS"

Imekamilika:

st. gr ZPGS - 501 M

Zlunyaev E.A.

z/kn No. 08070

Imechaguliwa:

Prof., Gerega A.N.

Odessa - 2013

FRACTALS

Utangulizi

1. Fractals ni nini

2. Classic fractals

2.1 Kitambaa cha theluji cha Koch

2.2 kitambaa na zulia la Sierpinski

3. Mifumo ya L

4. Matumizi ya vitendo ya fractals

Fasihi

Utangulizi

Wakati ilionekana kwa watu wengi kuwa jiometri katika asili ilikuwa ndogo kwa takwimu rahisi kama mstari, mduara, sehemu ya conic, polygon, tufe, uso wa quadratic, pamoja na mchanganyiko wao. Kwa mfano, nini inaweza kuwa nzuri zaidi kuliko taarifa kwamba sayari katika yetu mfumo wa jua kuzunguka jua katika obiti za duaradufu?

Walakini, mifumo mingi ya asili ni ngumu na isiyo ya kawaida hivi kwamba kutumia tu vitu vya kawaida vya jiometri ya kitambo kuviiga huonekana kutokuwa na tumaini. Jinsi gani, kwa mfano, unaweza kujenga mfano wa safu ya mlima au taji ya mti kwa suala la jiometri? Jinsi ya kuelezea utofauti wa usanidi wa kibaolojia ambao tunaona katika ulimwengu wa mimea na wanyama? Hebu fikiria ugumu wa mfumo wa mzunguko, unaojumuisha capillaries nyingi na vyombo na kutoa damu kwa kila seli ya mwili wa binadamu. Hebu fikiria jinsi mapafu na buds hupangwa kwa busara, kukumbusha katika muundo wa miti yenye taji ya matawi.

Mienendo ya mifumo halisi ya asili inaweza kuwa ngumu na isiyo ya kawaida. Jinsi ya kukaribia maporomoko ya maji yanayotiririka au michakato yenye msukosuko inayoamua hali ya hewa?

Fractals na machafuko ya hisabati ni zana zinazofaa za kuchunguza maswali haya. Neno fractal linarejelea baadhi ya usanidi wa kijiometri tuli, kama vile picha ya maporomoko ya maji. Machafuko ni neno linalotumika kuelezea matukio sawa na tabia ya hali ya hewa yenye misukosuko. Mara nyingi kile tunachokiona katika asili hutuvutia kwa kurudia-rudia kwa muundo sawa, kuongezeka au kupungua mara nyingi kama tunavyotaka. Kwa mfano, mti una matawi. Kwenye matawi haya kuna matawi madogo, nk. Kinadharia, kipengele cha matawi kinarudiwa kwa muda usiojulikana, kuwa mdogo na mdogo. Jambo hilo hilo linaweza kuonekana unapotazama picha ya eneo la milimani. Jaribu kuvuta kidogo kwenye safu ya mlima - utaona milima tena. Hivi ndivyo mali ya tabia ya kufanana ya fractals inajidhihirisha.

Kazi nyingi kwenye fractals hutumia kujifananisha kama sifa inayofafanua. Kufuatia Benoit Madelbrot, tunakubali maoni kwamba fractal inapaswa kufafanuliwa kulingana na mwelekeo wa fractal (fractional). Hapa ndipo asili ya neno fractal inatoka (kutoka Kilatini fractus - fractional).

Dhana ya mwelekeo wa sehemu ni dhana ngumu ambayo hutolewa katika hatua kadhaa. Mstari wa moja kwa moja ni kitu cha mwelekeo mmoja, wakati ndege ni kitu cha pande mbili. Ikiwa unapotosha mstari wa moja kwa moja na ndege vizuri, unaweza kuongeza mwelekeo wa usanidi unaosababisha; katika kesi hii, mwelekeo mpya kwa kawaida utakuwa wa sehemu kwa maana fulani, ambayo tunapaswa kufafanua. Uunganisho kati ya mwelekeo wa sehemu na kufanana kwa kibinafsi ni kwamba kwa msaada wa kufanana binafsi inawezekana kujenga seti ya mwelekeo wa sehemu kwa njia rahisi zaidi. Hata katika kesi ya fractals ngumu zaidi, kama vile mpaka wa seti ya Mandelbrot, ambapo hakuna kufanana kwa kibinafsi, kuna marudio kamili ya umbo la msingi katika fomu inayozidi kupunguzwa.

Fractals ni nini

Fractals zimejulikana kwa karibu karne, zimesomwa vizuri na zina matumizi mengi maishani. Jambo hili ni msingi sana wazo rahisi: aina nyingi zisizo na kikomo za urembo na anuwai zinaweza kupatikana kutoka kwa miundo rahisi kwa kutumia shughuli mbili tu - kunakili na kuongeza.

Dhana hii haina ufafanuzi mkali. Kwa hiyo, neno "fractal" sio neno la hisabati. Hii ni kawaida jina linalopewa takwimu ya kijiometri ambayo inakidhi moja au zaidi ya mali zifuatazo: ina muundo tata katika ukuzaji wowote; ni (takriban) inayofanana; ina mwelekeo wa sehemu ya Hausdorff (fractal), ambayo ni kubwa zaidi kuliko ile ya juu; inaweza kujengwa kwa taratibu za kujirudia.

Mwanzoni mwa karne ya 19 na 20, uchunguzi wa fractals ulikuwa wa matukio zaidi kuliko utaratibu, kwa sababu hapo awali wanahisabati walisoma vitu "nzuri" ambavyo vinaweza kusomwa kwa kutumia mbinu na nadharia za jumla. Mnamo 1872, mwanahisabati wa Ujerumani Karl Weierstrass aliunda mfano wa utendaji unaoendelea ambao hauwezi kutofautishwa popote. Hata hivyo, ujenzi wake ulikuwa wa kufikirika kabisa na mgumu kuelewa. Kwa hivyo, mnamo 1904, Swede Helge von Koch alikuja na curve inayoendelea ambayo haina tangent popote, na ni rahisi kuchora. Ilibadilika kuwa ina mali ya fractal. Lahaja moja ya curve hii inaitwa "Koch snowflake".

Mawazo ya kufanana kwa takwimu yalichukuliwa na Mfaransa Paul Pierre Levy, mshauri wa baadaye wa Benoit Mandelbrot. Mnamo 1938, nakala yake "Ndege na mikondo ya anga na nyuso zinazojumuisha sehemu zinazofanana na nzima" ilichapishwa, ambayo ilielezea sehemu nyingine - Levy C-curve. Vipande hivi vyote vilivyoorodheshwa hapo juu vinaweza kuainishwa kwa masharti kuwa aina moja ya frakti za kujenga (kijiometri). Darasa lingine ni fractal zenye nguvu (algebraic), ambazo ni pamoja na seti ya Mandelbrot. Utafiti wa kwanza katika mwelekeo huu ulianza mwanzoni mwa karne ya 20 na unahusishwa na majina ya wanahisabati wa Kifaransa Gaston Julia na Pierre Fatou. Mnamo 1918, Julia alichapisha kazi ya karibu kurasa mia mbili juu ya marudio ya kazi ngumu za busara, ambayo ilielezea seti za Julia - familia nzima ya fractals inayohusiana kwa karibu na seti ya Mandelbrot. Kazi hii ilipewa tuzo na Chuo cha Kifaransa, lakini haikuwa na kielelezo kimoja, hivyo haikuwezekana kufahamu uzuri wa vitu vilivyo wazi. Licha ya ukweli kwamba kazi hii ilimfanya Julia kuwa maarufu kati ya wanahisabati wa wakati huo, ilisahaulika haraka.

Tahadhari tena kwa kazi ya Julia na Fatou iligeuka nusu karne tu baadaye, na ujio wa kompyuta: ni wao ambao walionyesha utajiri na uzuri wa ulimwengu wa fractals. Baada ya yote, Fatou hakuweza kamwe kutazama picha ambazo tunazijua sasa kama picha za seti ya Mandelbrot, kwa sababu nambari inayohitajika ya hesabu haiwezi kufanywa kwa mkono. Mtu wa kwanza kutumia kompyuta kwa hili alikuwa Benoit Mandelbrot.

Mnamo 1982, kitabu cha Mandelbrot "Fractal Geometry of Nature" kilichapishwa, ambamo mwandishi alikusanya na kupanga karibu habari zote kuhusu fractals zilizopatikana wakati huo na kuziwasilisha kwa njia rahisi na inayoweza kupatikana. Mandelbrot aliweka mkazo kuu katika uwasilishaji wake sio juu ya fomula nzito na ujenzi wa hesabu, lakini juu ya uvumbuzi wa kijiometri wa wasomaji. Shukrani kwa vielelezo vilivyopatikana kwa kutumia kompyuta na hadithi za kihistoria, ambazo mwandishi alipunguza kwa ustadi sehemu ya kisayansi ya monograph, kitabu hicho kikawa kinauzwa zaidi, na fractals ilijulikana kwa umma kwa ujumla. Mafanikio yao kati ya wasio wanahisabati ni kwa kiasi kikubwa kutokana na ukweli kwamba, kwa msaada wa sana miundo rahisi na kanuni ambazo hata mwanafunzi wa shule ya sekondari anaweza kuelewa, picha zinazosababisha ni za kushangaza katika utata na uzuri. Wakati kompyuta za kibinafsi zilipokuwa na nguvu za kutosha, hata mwelekeo mzima katika sanaa ulionekana - uchoraji wa fractal, na karibu mmiliki yeyote wa kompyuta angeweza kufanya hivyo. Sasa kwenye mtandao unaweza kupata tovuti nyingi zinazotolewa kwa mada hii kwa urahisi.

1.1. Fractals za kijiometri (za kujenga).

Fractals ya aina hii hujengwa kwa hatua. Kwanza, msingi unaonyeshwa. Kisha sehemu zingine za msingi hubadilishwa na kipande. Katika kila hatua inayofuata, sehemu za takwimu iliyojengwa tayari, sawa na sehemu zilizobadilishwa za msingi, hubadilishwa tena na kipande kilichochukuliwa kwa kiwango kinachofaa. Kila wakati kiwango kinapungua. Wakati mabadiliko yanapoonekana kutoonekana, inaaminika kuwa takwimu iliyojengwa inakaribia kisima cha fractal na inatoa wazo la sura yake. Ili kupata fractal yenyewe, idadi isiyo na kipimo ya hatua inahitajika. Kwa kubadilisha msingi na kipande, unaweza kupata fractals nyingi za kijiometri.

Fractals za kijiometri ni nzuri kwa sababu, kwa upande mmoja, ni somo la utafiti mkubwa wa kisayansi, na kwa upande mwingine, zinaweza "kuonekana" - hata mtu aliye mbali na hisabati atapata kitu kwao wenyewe. Mchanganyiko huu ni nadra katika hisabati ya kisasa, ambapo vitu vyote vinafafanuliwa kwa kutumia maneno na alama zisizoeleweka. Inabadilika kuwa fractals nyingi za kijiometri zinaweza kuchorwa halisi kwenye kipande cha karatasi ya checkered. Hebu tuhifadhi mara moja kwamba picha zote zinazotokana (ikiwa ni pamoja na zile zilizoonyeshwa kwenye bango hili) ni makadirio ya kikomo ya fracti zisizo na kikomo. Lakini unaweza daima kuteka makadirio hayo kwamba jicho halitatofautisha maelezo madogo sana na mawazo yetu yataweza kuunda picha sahihi ya fractal. Kwa mfano, ukipewa karatasi kubwa ya kutosha ya karatasi na wakati wa bure, unaweza kuchora kwa mikono makadirio sahihi ya carpet ya Sierpinski kwamba kutoka umbali wa mita kadhaa jicho uchi litaiona kama fractal halisi. Kompyuta itaokoa muda na karatasi na wakati huo huo kuongeza usahihi wa kuchora.

Snowflake Koch

T-mraba; H-fractal

Pembetatu ya Sierra

Mti wa Pythagoras

Mzunguko wa Levy

1.2. Vipande vya nguvu (algebraic).

Mandelbrot kuweka

Julia anaweka

Upungufu wa Halley

Fractal ya Newton

2. Classic fractals

2.1 Kitambaa cha theluji cha Koch

Mwanzoni mwa karne ya ishirini, wanahisabati walikuwa wakitafuta curves ambazo hazina tanjiti wakati wowote. Hii ilimaanisha kwamba curve ilibadilisha mwelekeo wake ghafla, na kwa kasi kubwa sana (derivative ilikuwa sawa na infinity). Utafutaji wa curves hizi haukusababishwa tu na hamu ya kufanya kazi ya wanahisabati. Ukweli ni kwamba mwanzoni mwa karne ya ishirini mechanics ya quantum ilikua haraka sana. Mtafiti M. Brown alichora mchoro wa mwendo wa chembe zilizosimamishwa kwenye maji na akaeleza jambo hili kama ifuatavyo: atomi zinazosonga bila mpangilio za kioevu hugonga chembe zilizosimamishwa na hivyo kuziweka katika mwendo. Baada ya maelezo haya ya mwendo wa Brownian, wanasayansi walikabiliwa na kazi ya kutafuta mkunjo ambao ungeweza kukadiria vyema mwendo wa chembe za Brownian. Ili kufanya hivyo, curve ilibidi kukutana na mali zifuatazo: usiwe na tangent wakati wowote. Mtaalamu wa hisabati Koch alipendekeza curve moja kama hiyo. Hatutaingia katika maelezo ya sheria za ujenzi wake, lakini tutawasilisha tu picha yake, ambayo kila kitu kitakuwa wazi (Mchoro 1.1.1).

Kielelezo 2.1.1. Snowflake Koch.

Moja mali muhimu, ambayo mpaka wa theluji ya Koch ina - urefu wake usio na kipimo. Hili linaweza kuonekana kuwa la kushangaza kwa sababu tumezoea kushughulika na mikunjo ya nje ya kozi uchambuzi wa hisabati. Kwa kawaida mikunjo laini au angalau kwa kipande kila mara huwa na urefu wa kikomo (ambao unaweza kuthibitishwa kwa kuunganishwa). Mandelbrot, katika suala hili, alichapisha kazi kadhaa za kuvutia zinazochunguza swali la kupima urefu wa ukanda wa pwani wa Uingereza. Kama mfano yeye

Mchele. 2.1.2. Ujenzi wa theluji ya Koch.

ilitumia curve fractal, inayokumbusha ukingo wa theluji, isipokuwa ilianzisha kipengele cha randomness kuzingatia randomness katika asili. Kama matokeo, ikawa kwamba curve inayoelezea ukanda wa pwani ina urefu usio na kikomo.

2.2 kitambaa na zulia la Sierpinski

Mfano mwingine wa fractal rahisi inayofanana yenyewe ni leso la Sierpinski (Mchoro 1.2.1), iliyoundwa na mwanahisabati wa Kipolishi Waclaw Sierpinski mnamo 1915. Neno leso lenyewe ni la Mandelbrot. Katika njia ya ujenzi hapa chini, tunaanza na kanda fulani na kuondoa sequentially subregions za ndani. Baadaye tutazingatia njia zingine, haswa kutumia mifumo ya L, na vile vile kulingana na kazi zilizorudiwa.

Kielelezo 2.2.1. kitambaa cha Sierpinski

Acha seti ya awali S0 iwe pembetatu iliyo sawa pamoja na eneo inayoambatanisha. Wacha tugawanye S0 katika kanda nne ndogo za pembetatu, tukiunganisha sehemu za kati za pande za pembetatu asilia na sehemu. Hebu tuondoe ndani ya eneo ndogo la pembetatu ya kati. Hebu tuite seti iliyobaki S1 (Mchoro 1.2.2). Kisha tunarudia mchakato kwa kila moja ya pembetatu tatu ndogo zilizobaki ili kupata ukadiriaji unaofuata wa S2. Kuendelea kwa njia hii, tunapata mlolongo wa seti zilizowekwa Sn ambazo makutano yake huundwa na kitambaa S.

Mchele. 2.2.2. Ujenzi wa kitambaa cha Sierpinski

Kwa wazi, eneo la jumla la sehemu zilizotupwa nje wakati wa ujenzi ni sawa na eneo la pembetatu ya asili. Katika hatua ya kwanza tulitupa ¼ ya eneo hilo. Katika hatua inayofuata, tulitupa pembetatu tatu, kila moja ikiwa na eneo sawa na ¼ 2 ya eneo la ile ya asili. Kwa kuzingatia kwa njia hii, tuna hakika kwamba sehemu ya jumla ya eneo lililotupwa lilikuwa:

1/4 + 3*(1/42) + 32*(1/43) + … + 3n-1*(1/4n) + … .

Kiasi hiki ni sawa. Kwa hivyo, tunaweza kudai kuwa seti iliyobaki S, ambayo ni, leso, ina eneo la kipimo cha sifuri. Hii inafanya S kuwa "kamili" seti, kwa maana kwamba inagawanya kiambatisho chake katika idadi isiyo na kikomo ya kanda za triangular, huku ikiwa na unene wa sifuri.

Maelezo ya kazi

Butterflies, bila shaka, hawajui chochote kuhusu nyoka. Lakini ndege wanaowinda vipepeo wanajua kuwahusu. Ndege ambao hawamtambui nyoka vizuri wana uwezekano mkubwa wa ...

Ikiwa octo ni Kilatini kwa "nane," basi kwa nini oktava ina noti saba?

Oktava ni muda kati ya sauti mbili za karibu zaidi za jina moja: fanya na fanya, re na re, n.k. Kwa mtazamo wa fizikia, "uhusiano" wa hizi...

Kwa nini watu muhimu wanaitwa Agosti?

Mnamo mwaka wa 27 KK. e. Mtawala wa Kirumi Octavian alipokea jina la Augustus, ambalo kwa Kilatini linamaanisha "takatifu" (kwa heshima ya takwimu hiyo hiyo, kwa njia ...

Wanaandika nini angani?

Kicheshi maarufu kinasema: "NASA ilitumia dola milioni kadhaa kutengeneza kalamu maalum ambayo inaweza kuandika angani ....

Kwa nini ni msingi wa kaboni ya maisha?

Takriban molekuli za kikaboni milioni 10 (yaani, zenye msingi wa kaboni) na takriban molekuli elfu 100 tu ndizo zinazojulikana. Zaidi ya hayo...

Kwa nini taa za quartz ni bluu?

Tofauti kioo cha kawaida, quartz hupitisha mwanga wa ultraviolet. KATIKA taa za quartz Chanzo cha mionzi ya ultraviolet ni kutokwa kwa gesi katika mvuke ya zebaki. Yeye...

Kwa nini wakati mwingine hunyesha na wakati mwingine hunyesha?

Kwa tofauti kubwa ya halijoto, masasisho yenye nguvu hutokea ndani ya wingu. Shukrani kwao, matone yanaweza kukaa hewani kwa muda mrefu na ...