Dhana za jiometri ya fractal na fractal, ambayo ilionekana mwishoni mwa miaka ya 70, imekuwa imara katika maisha ya kila siku ya wanahisabati na watengeneza programu tangu katikati ya miaka ya 80. Neno fractal linatokana na Kilatini fractus na katika tafsiri ina maana yenye vipande vipande. Ilipendekezwa na Benoit Mandelbrot mnamo 1975 kurejelea miundo isiyo ya kawaida lakini inayofanana ambayo alisoma. Kuzaliwa kwa jiometri ya fractal kwa kawaida huhusishwa na kuchapishwa kwa kitabu cha Mandelbrot `The Fractal Geometry of Nature' mwaka wa 1977. Kazi zake zilitumia matokeo ya kisayansi ya wanasayansi wengine waliofanya kazi katika kipindi cha 1875-1925 katika uwanja huo huo (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Lakini tu katika wakati wetu iliwezekana kuchanganya kazi zao katika mfumo mmoja.
Jukumu la fractals katika picha za kompyuta leo ni kubwa sana. Wanakuja kuwaokoa, kwa mfano, wakati inahitajika, kwa msaada wa coefficients kadhaa, kufafanua mistari na nyuso za sura ngumu sana. Kutoka kwa mtazamo wa picha za kompyuta, jiometri ya fractal ni muhimu kwa ajili ya kizazi cha mawingu ya bandia, milima, na uso wa bahari. Kwa kweli, njia imepatikana kuwakilisha kwa urahisi vitu ngumu visivyo vya Euclidean, picha ambazo zinafanana sana na za asili.
Moja ya mali kuu ya fractals ni kufanana kwa kibinafsi. Katika kesi rahisi, sehemu ndogo ya fractal ina habari kuhusu fractal nzima. Ufafanuzi wa fractal iliyotolewa na Mandelbrot ni kama ifuatavyo: "Fractal ni muundo unaojumuisha sehemu ambazo kwa maana fulani zinafanana na zima."

Kuna idadi kubwa ya vitu vya hisabati vinavyoitwa fractals (pembetatu ya Sierpinski, theluji ya theluji ya Koch, curve ya Peano, seti ya Mandelbrot na vivutio vya Lorentz). Fractals kuelezea kwa usahihi mkubwa matukio mengi ya kimwili na formations ya ulimwengu wa kweli: milima, mawingu, misukosuko (vortex) mikondo, mizizi, matawi na majani ya miti, mishipa ya damu, ambayo ni mbali na sambamba na maumbo rahisi kijiometri. Kwa mara ya kwanza, Benoit Mandelbrot alizungumza juu ya asili ya fractal ya ulimwengu wetu katika kazi yake ya semina "The Fractal Geometry of Nature".
Neno fractal lilianzishwa na Benoit Mandelbrot mnamo 1977 katika kazi yake ya kimsingi "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Kulingana na Mandelbrot, neno fractal linatokana na maneno ya Kilatini fractus - sehemu na frangere - kuvunja, ambayo inaonyesha kiini cha fractal kama "iliyovunjika", seti isiyo ya kawaida.

Uainishaji wa fractals.

Ili kuwakilisha aina nzima ya fractals, ni rahisi kuamua uainishaji wao unaokubalika kwa ujumla. Kuna madarasa matatu ya fractals.

1. Fractals za kijiometri.

Fractals ya darasa hili ni dhahiri zaidi. Katika kesi mbili-dimensional, hupatikana kwa kutumia polyline (au uso katika kesi tatu-dimensional) inayoitwa jenereta. Katika hatua moja ya algorithm, kila moja ya sehemu zinazounda mstari uliovunjika hubadilishwa na jenereta ya mstari iliyovunjika katika kiwango kinachofaa. Kutokana na marudio yasiyo na mwisho ya utaratibu huu, fractal ya kijiometri inapatikana.

Fikiria, kwa mfano, moja ya vitu kama fractal - Curve ya triadic ya Koch.

Ujenzi wa curve ya triadic Koch.

Chukua sehemu ya mstari wa moja kwa moja ya urefu wa 1. Hebu tuiite mbegu. Hebu tugawanye mbegu katika sehemu tatu sawa za urefu wa 1/3, tuondoe sehemu ya kati na uibadilisha na mstari uliovunjika wa viungo viwili vya urefu wa 1/3.

Tunapata mstari uliovunjika, unaojumuisha viungo 4 na urefu wa 4/3, - kinachojulikana. kizazi cha kwanza.

Ili kuendelea na kizazi kijacho cha curve ya Koch, ni muhimu kukataa na kuchukua nafasi ya sehemu ya kati ya kila kiungo. Ipasavyo, urefu wa kizazi cha pili utakuwa 16/9, wa tatu - 64/27. ukiendelea mchakato huu kwa infinity, basi matokeo yatakuwa triadic Koch Curve.

Wacha sasa tuchunguze curve takatifu ya triadic Koch na tujue ni kwanini fractals ziliitwa "monsters".

Kwanza, curve hii haina urefu - kama tulivyoona, kwa idadi ya vizazi, urefu wake unaelekea usio na mwisho.

Pili, haiwezekani kuunda tangent kwa curve hii - kila moja ya vidokezo vyake ni sehemu ya inflection ambayo derivative haipo - curve hii sio laini.

Urefu na ulaini ni mali ya msingi ya curves, ambayo inasomwa na jiometri ya Euclidean na jiometri ya Lobachevsky na Riemann. Njia za jadi za uchambuzi wa kijiometri ziligeuka kuwa hazitumiki kwa curve ya triadic ya Koch, hivyo curve ya Koch iligeuka kuwa monster - "monster" kati ya wenyeji laini wa jiometri ya jadi.

Ujenzi wa "joka" Harter-Hateway.

Ili kupata kitu kingine cha fractal, unahitaji kubadilisha sheria za ujenzi. Hebu kipengele cha kuzalisha kiwe sehemu mbili sawa zilizounganishwa kwenye pembe za kulia. Katika kizazi cha sifuri, tunabadilisha sehemu ya kitengo na kipengele hiki cha kuzalisha ili pembe iko juu. Tunaweza kusema kwamba kwa uingizwaji huo, mabadiliko katikati ya kiungo hutokea. Wakati wa kuunda vizazi vijavyo, sheria inatimizwa: kiunga cha kwanza kabisa upande wa kushoto kinabadilishwa na kitu kinachozalisha ili katikati ya kiunga kihamishwe kushoto kwa mwelekeo wa harakati, na wakati wa kubadilisha viungo vifuatavyo maelekezo ya uhamishaji wa sehemu za kati za sehemu lazima yabadilike. Takwimu inaonyesha vizazi vichache vya kwanza na kizazi cha 11 cha curve iliyojengwa kulingana na kanuni iliyoelezwa hapo juu. Mviringo yenye n inayoelekea kutokuwa na mwisho inaitwa joka la Harter-Hateway.
Katika graphics za kompyuta, matumizi ya fractals ya kijiometri ni muhimu wakati wa kupata picha za miti na misitu. Fractals za kijiometri za sura mbili hutumiwa kuunda textures tatu-dimensional (mifumo juu ya uso wa kitu).

2. Fractals za algebraic

Hili ndilo kundi kubwa zaidi la fractals. Zinapatikana kwa kutumia michakato isiyo ya mstari katika nafasi za n-dimensional. Michakato ya pande mbili ndiyo iliyosomwa zaidi. Kufasiri mchakato wa kurudia usio na mstari kama mfumo tofauti wa nguvu, mtu anaweza kutumia istilahi ya nadharia ya mifumo hii: picha ya awamu, mchakato wa hali thabiti, kivutio, n.k.
Inajulikana kuwa mifumo ya nguvu isiyo ya mstari ina majimbo kadhaa thabiti. Hali ambayo mfumo wa nguvu hujikuta baada ya idadi fulani ya kurudia inategemea hali yake ya awali. Kwa hivyo, kila hali thabiti (au, kama wanasema, kivutio) ina eneo fulani la majimbo ya awali, ambayo mfumo utaanguka katika majimbo ya mwisho. Kwa hivyo, nafasi ya awamu ya mfumo imegawanywa katika maeneo ya kivutio cha wavuti. Ikiwa nafasi ya awamu ni mbili-dimensional, kisha kuchorea mikoa ya kivutio rangi tofauti, mtu anaweza kupata picha ya awamu ya rangi ya mfumo huu (mchakato wa kurudia). Kwa kubadilisha algorithm ya uteuzi wa rangi, unaweza kupata mifumo ngumu ya fractal na mifumo ya dhana ya rangi nyingi. Jambo la kushangaza kwa wanahisabati lilikuwa uwezo wa kutoa miundo ngumu sana isiyo ya maana kwa kutumia algoriti za awali.

Seti ya Mandelbrot.

Kwa mfano, fikiria seti ya Mandelbrot. Algorithm ya ujenzi wake ni rahisi sana na inategemea usemi rahisi wa kurudia: Z = Z[i] * Z[i] + C, wapi Zi na C ni vigezo changamano. Marudio yanafanywa kwa kila sehemu ya kuanzia kutoka eneo la mstatili au mraba - sehemu ndogo ya ndege tata. Mchakato wa kurudia unaendelea hadi Z[i] haitapita zaidi ya mduara wa radius 2, katikati ambayo iko kwenye uhakika (0,0), (hii ina maana kwamba kivutio cha mfumo wa nguvu ni usio na mwisho), au baada ya idadi kubwa ya marudio (kwa mfano. , 200-500) Z[i] huungana hadi hatua fulani kwenye duara. Kulingana na idadi ya marudio wakati ambao Z[i] ilibaki ndani ya duara, unaweza kuweka rangi ya uhakika C(kama Z[i] inabaki ndani ya duara kwa idadi kubwa ya marudio, mchakato wa kurudia huacha na hatua hii ya raster imepakwa rangi nyeusi).

3. Fractals za Stochastic

Darasa lingine linalojulikana la fractals ni fractals za stochastic, ambazo hupatikana ikiwa vigezo vyake vyovyote vinabadilishwa kwa nasibu katika mchakato wa kurudia. Hii inasababisha vitu vinavyofanana sana na vya asili - miti isiyo ya kawaida, ukanda wa pwani ulioingizwa, nk. Fractals za stochastic zenye sura mbili hutumiwa katika kuiga ardhi ya eneo na uso wa bahari.
Kuna uainishaji mwingine wa fractals, kwa mfano, mgawanyiko wa fractal katika deterministic (algebraic na kijiometri) na isiyo ya kuamua (stochastic).

Kuhusu matumizi ya fractals

Kwanza kabisa, fractals ni eneo la sanaa ya kushangaza ya hesabu, wakati kwa msaada wa fomula rahisi na algorithms, picha za uzuri wa ajabu na ugumu hupatikana! Katika mtaro wa picha zilizojengwa, majani, miti na maua mara nyingi hudhaniwa.

Mojawapo ya matumizi yenye nguvu zaidi ya fractals iko kwenye picha za kompyuta. Kwanza, ni compression fractal ya picha, na pili, ujenzi wa mandhari, miti, mimea na kizazi cha textures fractal. Fizikia ya kisasa na mechanics ni mwanzo tu kujifunza tabia ya vitu fractal. Na, bila shaka, fractals hutumiwa moja kwa moja katika hisabati yenyewe.
Faida za algoriti za ukandamizaji wa picha ni saizi ndogo sana ya faili iliyopakiwa na muda mfupi wa kurejesha picha. Picha zilizojaa vipande vipande zinaweza kupunguzwa bila kuonekana kwa pixelation. Lakini mchakato wa kukandamiza huchukua muda mrefu na wakati mwingine hudumu kwa masaa. Algorithm ya kufunga fractal iliyopotea inakuwezesha kuweka kiwango cha ukandamizaji, sawa na muundo wa jpeg. Algorithm inategemea utafutaji wa vipande vikubwa vya picha sawa na vipande vidogo. Na ni kipande gani tu kinachofanana na ambacho kimeandikwa kwa faili ya pato. Wakati wa kukandamiza, gridi ya mraba kawaida hutumiwa (vipande ni mraba), ambayo husababisha angularity kidogo wakati wa kurejesha picha, gridi ya hexagonal ni bure kutokana na hasara hiyo.
Iterated imeunda muundo mpya wa picha, "Sting", ambayo inachanganya fractal na "wimbi" (kama vile jpeg) mbano isiyo na hasara. Fomati mpya hukuruhusu kuunda picha na uwezekano wa kuongeza ubora wa hali ya juu, na kiasi cha faili za picha ni 15-20% ya kiasi cha picha ambazo hazijashinikizwa.
Tabia ya fractal kuonekana kama milima, maua na miti hutumiwa na baadhi ya wahariri wa picha, kwa mfano, mawingu fractal kutoka 3D studio MAX, milima fractal katika World Builder. Miti ya Fractal, milima na mandhari nzima hutolewa kwa fomula rahisi, ni rahisi kupanga na hazianguka katika pembetatu tofauti na cubes wakati unakaribia.
Huwezi kupuuza matumizi ya fractals katika hisabati yenyewe. Katika nadharia iliyowekwa, seti ya Cantor inathibitisha kuwepo kwa seti kamili zisizo na mnene; katika nadharia ya kipimo, kazi ya kujihusisha "ngazi ya Cantor" ni. mfano mzuri vipengele vya usambazaji wa kipimo cha umoja.
Katika mechanics na fizikia, fractals hutumiwa kwa sababu ya mali yao ya kipekee kurudia muhtasari wa vitu vingi vya asili. Fractals hukuruhusu kukadiria miti, nyuso za milima, na mipasuko kwa usahihi wa hali ya juu kuliko makadirio ya sehemu za mstari au poligoni (zenye kiasi sawa cha data iliyohifadhiwa). Mifano ya Fractal, kama vitu vya asili, ina "ukali", na mali hii imehifadhiwa kwa ongezeko kubwa la kiholela la mfano. Uwepo wa kipimo cha sare kwenye fractals hufanya iwezekanavyo kutumia ujumuishaji, nadharia inayowezekana, kuzitumia badala ya vitu vya kawaida katika milinganyo iliyosomwa tayari.
Kwa mbinu ya fractal, machafuko huacha kuwa ugonjwa wa bluu na hupata muundo mzuri. Sayansi ya Fractal bado ni changa sana na ina mustakabali mzuri mbele yake. Uzuri wa fractals ni mbali na kuchoka na bado utatupatia kazi bora zaidi - zile zinazofurahisha jicho, na zile zinazoleta raha ya kweli kwa akili.

Kuhusu ujenzi wa fractals

Mbinu ya makadirio mfululizo

Kuangalia picha hii, si vigumu kuelewa jinsi fractal inayofanana (katika kesi hii, piramidi ya Sierpinski) inaweza kujengwa. Tunahitaji kuchukua piramidi ya kawaida (tetrahedron), kisha kukata katikati yake (octahedron), kama matokeo ambayo tunapata piramidi nne ndogo. Kwa kila mmoja wao tunafanya operesheni sawa, na kadhalika. Haya ni maelezo ya ujinga, lakini ya kielelezo.

Wacha tuzingatie kiini cha njia hiyo kwa ukali zaidi. Hebu kuwe na mfumo wa IFS, i.e. mfumo wa ramani ya contraction S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (kwa mfano, kwa piramidi yetu, michoro inaonekana kama S i (x)=1/2*x+o i , ambapo o nilipo vipeo vya tetrahedron, i = 1,..,4). Kisha tunachagua seti fulani ya compact A 1 katika R n (kwa upande wetu tunachagua tetrahedron). Na tunaamua kwa kuingiza mlolongo wa seti A k: A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Inajulikana kuwa seti A k na k inayoongezeka hukadiria kivutio kinachohitajika cha mfumo S.

Kumbuka kwamba kila moja ya marudio haya ni kivutio mfumo wa mara kwa mara wa kazi zilizorudiwa(Neno la Kiingereza DigraphIFS, RIFS na pia IFS iliyoelekezwa kwa grafu) na kwa hivyo ni rahisi kujenga na programu yetu.

Ujenzi kwa pointi au mbinu ya uwezekano

Hii ndiyo njia rahisi zaidi ya kutekeleza kwenye kompyuta. Kwa unyenyekevu, fikiria kesi ya seti ya gorofa ya kujifunga. Kwa hivyo wacha (S

) ni baadhi ya mfumo wa mikazo ya viambatisho. Ramani za S

kuwakilishwa kama: S

Matrix isiyohamishika ya ukubwa wa 2x2 na o

Safu wima ya vekta yenye pande mbili.

• Wacha tuchukue hatua thabiti ya uchoraji wa kwanza wa S 1 kama mahali pa kuanzia:
  x:=o1;
  Hapa tunatumia ukweli kwamba pointi zote za contraction zisizobadilika S 1 ,.., S m ni za fractal. Hatua ya kiholela inaweza kuchaguliwa kama sehemu ya kuanzia na mlolongo wa pointi zinazozalishwa nayo zitapungua hadi fractal, lakini pointi chache za ziada zitaonekana kwenye skrini.
• Kumbuka pointi ya sasa x=(x 1 ,x 2) kwenye skrini:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Tunachagua nambari j kutoka 1 hadi m na kuhesabu tena kuratibu za nukta x:
  j:=Nasibu(m)+1;
  x:=S j (x);
• Tunaenda kwa hatua ya 2, au, ikiwa tumefanya idadi kubwa ya marudio, basi tunaacha.

Kumbuka. Ikiwa coefficients ya ukandamizaji wa ramani S i ni tofauti, basi fractal itajazwa na pointi zisizo sawa. Ikiwa ramani za S i zinafanana, hii inaweza kuepukwa kwa kutatiza algorithm kidogo. Ili kufanya hivyo, katika hatua ya 3 ya algorithm, nambari j kutoka 1 hadi m lazima ichaguliwe na uwezekano p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s, ambapo r i inaashiria coefficients ya contraction ya ramani S i , na nambari s (inayoitwa mwelekeo wa kufanana) hupatikana kutoka kwa equation r 1 s +...+r m s =1. Suluhisho la equation hii inaweza kupatikana, kwa mfano, kwa njia ya Newton.

Kuhusu fractals na algorithms zao

Fractal linatokana na kivumishi cha Kilatini "fractus", na katika tafsiri ina maana inayojumuisha vipande, na kitenzi cha Kilatini "frangere" kinamaanisha kuvunja, yaani, kuunda vipande visivyo kawaida. Dhana za jiometri ya fractal na fractal, ambayo ilionekana mwishoni mwa miaka ya 70, imekuwa imara katika maisha ya kila siku ya wanahisabati na watengeneza programu tangu katikati ya miaka ya 80. Neno hili lilipendekezwa na Benoit Mandelbrot mnamo 1975 kurejelea miundo isiyo ya kawaida lakini inayofanana ambayo alisoma. Kuzaliwa kwa jiometri ya fractal kawaida huhusishwa na kuchapishwa mnamo 1977 kwa kitabu cha Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" - "Fractal Geometry of Nature". Kazi zake zilitumia matokeo ya kisayansi ya wanasayansi wengine ambao walifanya kazi katika kipindi cha 1875-1925 katika uwanja huo (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Marekebisho

Acha nifanye marekebisho kadhaa kwa kanuni zilizopendekezwa kwenye kitabu na H.-O. Paytgen na P.H. Richter "Uzuri wa Fractals" M. 1993, ili kutokomeza kabisa makosa ya uchapaji na kurahisisha kuelewa taratibu, kwani baada ya kuzisoma, mengi yalibaki kuwa siri kwangu. Kwa bahati mbaya, algorithms hizi "zinazoeleweka" na "rahisi" huongoza maisha ya kutikisa.

Ujenzi wa fractals ni msingi wa kazi fulani isiyo ya kawaida ya mchakato mgumu na maoni z \u003d z 2 + c kwani z na c ni nambari ngumu, basi z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, ni muhimu. kuitenganisha kuwa x na y ili kwenda kwa uhalisia zaidi kwa mtu wa kawaida ndege:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Ndege inayojumuisha jozi zote (x, y) inaweza kuzingatiwa kama na maadili maalum p na q, na vile vile kwa zinazobadilika. Katika kesi ya kwanza, kuchagua pointi zote (x, y) za ndege kulingana na sheria na kuzipaka rangi kulingana na idadi ya marudio ya kazi muhimu ili kuondokana na mchakato wa kurudia au kutoweka rangi (nyeusi) wakati upeo unaoruhusiwa. ya marudio yanaongezeka, tunapata onyesho la seti ya Julia. Ikiwa, kinyume chake, tunaamua jozi ya awali ya maadili (x, y) na kufuatilia hatima yake ya rangi na maadili yanayobadilika ya vigezo p na q, basi tunapata picha zinazoitwa seti za Mandelbrot.

Juu ya swali la algorithms ya kuchorea fractal.

Kawaida mwili wa seti unawakilishwa kama uwanja mweusi, ingawa ni dhahiri kuwa rangi nyeusi inaweza kubadilishwa na nyingine yoyote, lakini hii pia ni matokeo yasiyofurahisha. Kupata picha ya seti iliyopakwa rangi zote ni kazi ambayo haiwezi kutatuliwa kwa kutumia shughuli za mzunguko, kwani idadi ya marudio ya kutengeneza mwili wa seti ni sawa na upeo iwezekanavyo na daima ni sawa. Weka rangi kwenye seti rangi tofauti labda kwa kutumia matokeo ya kuangalia hali ya kutoka kutoka kwa kitanzi (z_magnitude) kama nambari ya rangi, au sawa nayo, lakini na shughuli zingine za kihesabu.

Utumiaji wa "microscope ya fractal"

kuonyesha matukio ya mipakani.

Wavuti ni vituo vinavyoongoza mapambano ya kutawala kwenye ndege. Kati ya vivutio kuna mpaka unaowakilisha muundo unaozunguka. Kwa kuongeza kiwango cha kuzingatia ndani ya mipaka ya kuweka, mtu anaweza kupata mifumo isiyo ya kawaida inayoonyesha hali ya machafuko ya kuamua - jambo la kawaida katika ulimwengu wa asili.

Vitu vilivyosomwa na wanajiografia huunda mfumo wenye mipaka iliyopangwa ngumu sana, kuhusiana na ambayo utekelezaji wao unakuwa kazi ngumu ya vitendo. Miundo asilia ina msingi wa hali ya kawaida inayofanya kazi kama vivutio ambavyo hupoteza nguvu ya ushawishi kwenye eneo linaposogea.

Kutumia darubini ya fractal kwa seti za Mandelbrot na Julia, mtu anaweza kuunda wazo la michakato ya mipaka na matukio ambayo ni ngumu kwa usawa bila kujali kiwango cha kuzingatia na hivyo kuandaa mtazamo wa mtaalamu kwa mkutano na nguvu na inaonekana kuwa ya machafuko. katika nafasi na wakati kitu cha asili, kwa kuelewa asili ya jiometri ya fractal. Rangi za rangi nyingi na muziki wa fractal hakika utaacha alama ya kina kwenye akili za wanafunzi.

Maelfu ya machapisho na rasilimali kubwa za mtandao zimetolewa kwa fractals, hata hivyo, kwa wataalamu wengi mbali na sayansi ya kompyuta, neno hili linaonekana kuwa jipya kabisa. Fractals, kama vitu vya kupendeza kwa wataalam katika nyanja mbali mbali za maarifa, wanapaswa kupokea mahali pao pazuri wakati wa sayansi ya kompyuta.

Mifano

GRID YA SIERPINSKI

Hii ni mojawapo ya fractals ambayo Mandelbrot alijaribu nayo wakati wa kuunda dhana za vipimo na marudio ya fractal. Pembetatu zinazoundwa kwa kuunganisha katikati ya pembetatu kubwa hukatwa kutoka kwa pembetatu kuu ili kuunda pembetatu, na mashimo zaidi. Katika kesi hii, mwanzilishi ni pembetatu kubwa na template ni operesheni ya kukata pembetatu sawa na moja kubwa. Unaweza pia kupata toleo la 3D la pembetatu kwa kutumia tetrahedron ya kawaida na kukata tetrahedra ndogo. Kipimo cha fractal vile ni ln3/ln2 = 1.584962501. Kupata Carpet ya Sierra, chukua mraba, ugawanye katika mraba tisa, na ukate katikati. Tutafanya vivyo hivyo na viwanja vingine, vidogo. Mwishoni, gridi ya gorofa ya fractal huundwa, ambayo haina eneo, lakini kwa uhusiano usio na kipimo. Katika hali yake ya anga, sifongo cha Sierpinski kinabadilishwa kuwa mfumo wa kupitia fomu, ambayo kila kupitia kipengele hubadilishwa mara kwa mara na aina yake. Muundo huu ni sawa na sehemu ya tishu mfupa. Siku moja miundo kama hiyo ya kurudia itakuwa sehemu ya miundo ya ujenzi. Takwimu na mienendo yao, Mandelbrot anaamini, inastahili kusoma kwa karibu.

KOCH CURVE

Curve ya Koch ni mojawapo ya fractals ya kawaida ya kuamua. Ilivumbuliwa katika karne ya kumi na tisa na mwanahisabati Mjerumani aitwaye Helge von Koch, ambaye, alipokuwa akisoma kazi ya Georg Kontor na Karl Weierstraße, alikutana na maelezo ya mikondo ya ajabu yenye tabia isiyo ya kawaida. Mwanzilishi - mstari wa moja kwa moja. Jenereta ni pembetatu ya equilateral, ambayo pande zake ni sawa na theluthi ya urefu wa sehemu kubwa. Pembetatu hizi huongezwa katikati ya kila sehemu tena na tena. Katika utafiti wake, Mandelbrot alijaribu sana mikondo ya Koch, na akapata takwimu kama vile Visiwa vya Koch, Misalaba ya Koch, Matambara ya theluji ya Koch, na hata uwakilishi wa pande tatu wa Curve ya Koch kwa kutumia tetrahedron na kuongeza tetrahedra ndogo kwa kila moja ya nyuso zake. Curve ya Koch ina mwelekeo ln4/ln3 = 1.261859507.

Fractal Mandelbrot

Hii SI seti ya Mandelbrot ambayo unaona mara nyingi. Seti ya Mandelbrot inategemea milinganyo isiyo ya mstari na ni fractal changamano. Hii pia ni lahaja ya curve ya Koch, licha ya ukweli kwamba kitu hiki hakionekani kama hicho. Mwanzilishi na jenereta pia ni tofauti na zile zinazotumiwa kuunda fractals kulingana na kanuni ya curve ya Koch, lakini wazo linabaki sawa. Badala ya kuunganisha pembetatu za usawa kwenye sehemu ya curve, miraba imeunganishwa kwa mraba. Kutokana na ukweli kwamba fractal hii inachukua hasa nusu ya nafasi iliyopangwa kwa kila iteration, ina mwelekeo rahisi wa fractal wa 3/2 = 1.5.

PENTAGON YA DARER

Fractal inaonekana kama rundo la pentagoni zilizominywa pamoja. Kwa kweli, huundwa kwa kutumia pentagoni kama mwanzilishi na pembetatu za isosceles, uwiano wa upande mkubwa hadi mdogo ambao ni sawa kabisa na ile inayoitwa uwiano wa dhahabu (1.618033989 au 1/(2cos72)) kama jenereta. . Pembetatu hizi hukatwa kutoka katikati ya kila pentagoni, na kusababisha umbo linalofanana na pentagoni 5 ndogo zilizounganishwa kwa moja kubwa. Lahaja ya fractal hii inaweza kupatikana kwa kutumia heksagoni kama mwanzilishi. Fractal hii inaitwa Nyota ya Daudi na inafanana kabisa na toleo la hexagonal la Snowflake ya Koch. Kipimo cha fractal cha pentagoni ya Darer ni ln6/ln(1+g), ambapo g ni uwiano wa urefu wa upande mkubwa wa pembetatu hadi urefu wa upande mdogo. Katika kesi hii, g ni Uwiano wa Dhahabu, kwa hivyo mwelekeo wa fractal ni takriban 1.86171596. Kipimo cha fractal cha Nyota ya Daudi ni ln6/ln3 au 1.630929754.

Fractals tata

Kwa kweli, ikiwa unakaribia eneo ndogo la fractal yoyote ngumu na kisha kufanya vivyo hivyo kwenye eneo ndogo la eneo hilo, ukuzaji huo mbili zitakuwa tofauti sana kutoka kwa kila mmoja. Picha hizi mbili zitafanana sana kwa undani, lakini hazitafanana kabisa.

Kielelezo 1. Ukadiriaji wa seti ya Mandelbrot

Linganisha, kwa mfano, picha za seti ya Mandelbrot iliyoonyeshwa hapa, ambayo moja ilipatikana kwa kuongeza eneo fulani la lingine. Kama unavyoona, hazifanani kabisa, ingawa kwa zote mbili tunaona duara nyeusi, ambayo hema zinazowaka huenda kwa njia tofauti. Vipengele hivi hurudia kwa muda usiojulikana katika seti ya Mandelbrot katika uwiano unaopungua.

Fractals kuamua ni linear, wakati fractals tata si. Kwa kuwa si za mstari, frakti hizi huzalishwa na kile Mandelbrot aliita milinganyo ya aljebra isiyo ya mstari. Mfano mzuri ni mchakato Zn+1=ZnІ + C, ambao ni mlinganyo unaotumika kujenga seti za Mandelbrot na Julia za shahada ya pili. Kutatua milinganyo hii ya hisabati inahusisha nambari changamano na za kufikirika. Wakati equation inapofasiriwa kielelezo katika ndege changamano, matokeo yake ni takwimu ya ajabu ambayo mistari iliyonyooka hugeuka kuwa mikunjo, athari za kujifananisha huonekana katika viwango mbalimbali vya mizani, ingawa si bila kasoro. Wakati huo huo, picha nzima kwa ujumla haitabiriki na yenye machafuko sana.

Kama unaweza kuona kwa kuangalia picha, fractals tata ni ngumu sana na haiwezekani kuunda bila msaada wa kompyuta. Ili kupata matokeo ya rangi, kompyuta hii lazima iwe na kichakataji chenye nguvu cha hisabati na kifuatiliaji cha msongo wa juu. Tofauti na fractal deterministic, fractal tata si mahesabu katika 5-10 iterations. Takriban kila nukta kwenye skrini ya kompyuta ni kama fractal tofauti. Wakati wa usindikaji wa hisabati, kila nukta inachukuliwa kama muundo tofauti. Kila nukta inalingana na thamani fulani. Equation imejengwa ndani kwa kila nukta na inafanywa, kwa mfano, marudio 1000. Ili kupata picha isiyopotoshwa katika muda unaokubalika kwa kompyuta za nyumbani, inawezekana kutekeleza marudio 250 kwa nukta moja.

Wengi wa fractals tunaona leo ni rangi nzuri. Labda picha za fractal zimepata thamani kubwa ya uzuri kwa sababu ya mipango yao ya rangi. Baada ya equation kuhesabiwa, kompyuta inachambua matokeo. Ikiwa matokeo yataendelea kuwa thabiti, au kubadilika-badilika kuzunguka thamani fulani, nukta kwa kawaida itageuka kuwa nyeusi. Ikiwa thamani katika hatua moja au nyingine inaelekea infinity, uhakika ni rangi katika rangi tofauti, labda bluu au nyekundu. Wakati wa mchakato huu, kompyuta inapeana rangi kwa kasi zote za harakati.

Kawaida, dots zinazosonga haraka hupakwa rangi nyekundu, wakati polepole ni manjano, na kadhalika. Dots giza pengine ni imara zaidi.

Fractals changamano hutofautiana na fracti bainifu kwa kuwa ni changamano sana, ilhali zinaweza kuzalishwa kwa fomula rahisi sana. Fractals dhahiri hazihitaji fomula au milinganyo. Chukua karatasi ya kuchora na unaweza kutengeneza ungo wa Sierpinski hadi marudio 3 au 4 bila ugumu wowote. Jaribu kuifanya na Julia nyingi! Ni rahisi kupima urefu wa ukanda wa pwani wa Uingereza!

MANDERBROT SET

Mchoro 2. Mandelbrot kuweka

Seti za Mandelbrot na Julia labda ndizo mbili zinazojulikana zaidi kati ya fractals tata. Zinaweza kupatikana katika majarida mengi ya kisayansi, vifuniko vya vitabu, kadi za posta, na vihifadhi skrini za kompyuta. Seti ya Mandelbrot, ambayo ilijengwa na Benoit Mandelbrot, pengine ndiyo ushirika wa kwanza ambao watu huwa nao wanaposikia neno fractal. Fractal hii, inayofanana na kadi yenye miti inayong'aa na maeneo ya mduara yaliyounganishwa nayo, hutolewa kwa fomula rahisi Zn+1=Zna+C, ambapo Z na C ni nambari changamano na a ni nambari chanya.

Seti inayoonekana zaidi ya Mandelbrot ni seti ya shahada ya 2 ya Mandelbrot, yaani a=2. Ukweli kwamba seti ya Mandelbrot sio tu Zn+1=ZnІ+C, lakini fractal ambayo kielelezo chake katika fomula kinaweza kuwa chochote. nambari chanya aliwapotosha wengi. Kwenye ukurasa huu unaona mfano wa seti ya Mandelbrot maana tofauti kiashiria a.
Mchoro 3. Kuonekana kwa Bubbles kwa = 3.5

Mchakato Z=Z*tg(Z+C) pia ni maarufu. Shukrani kwa kuingizwa kwa kazi ya tangent, seti ya Mandelbrot inapatikana, ikizungukwa na eneo linalofanana na apple. Wakati wa kutumia kazi ya cosine, athari za Bubble ya hewa hupatikana. Kwa kifupi, kuna idadi isiyo na kikomo ya njia za kurekebisha seti ya Mandelbrot ili kutoa picha nyingi nzuri.

MULTIPLE JULIA

Kwa kushangaza, seti za Julia zinaundwa kulingana na fomula sawa na seti ya Mandelbrot. Seti ya Julia iligunduliwa na mwanahisabati wa Ufaransa Gaston Julia, ambaye seti hiyo ilipewa jina. Swali la kwanza linalotokea baada ya kufahamiana kwa kuona na seti za Mandelbrot na Julia ni "ikiwa fractals zote mbili zinazalishwa na fomula sawa, kwa nini ni tofauti sana?" Kwanza angalia picha za seti ya Julia. Ajabu ya kutosha, lakini kuna aina tofauti Julia anaweka. Wakati wa kuchora fractal kwa kutumia pointi tofauti za kuanzia (kuanza mchakato wa kurudia), picha tofauti hutolewa. Hii inatumika tu kwa seti ya Julia.

Kielelezo 4. Julia kuweka

Ingawa haiwezi kuonekana kwenye picha, fractal ya Mandelbrot kwa kweli ni rundo la Julia fractal zilizounganishwa pamoja. Kila nukta (au kuratibu) ya seti ya Mandelbrot inalingana na Julia fractal. Seti za Julia zinaweza kuzalishwa kwa kutumia pointi hizi kama maadili ya awali katika equation Z=ZI+C. Lakini hii haimaanishi kuwa ukichagua nukta kwenye fractal ya Mandelbrot na kuiongeza, unaweza kupata Julia fractal. Pointi hizi mbili ni sawa, lakini kwa maana ya hisabati tu. Ikiwa tutachukua hatua hii na kuihesabu kulingana na fomula hii, tunaweza kupata Julia fractal inayolingana na hatua fulani ya Mandelbrot fractal.

Machafuko ni utaratibu wa kutambulishwa.

José Saramago, "The Double"

"Karne ya 20 itakumbukwa na vizazi vijavyo kwa sababu ya kuundwa kwa nadharia za uhusiano, mechanics ya quantum na machafuko ... nadharia ya uhusiano imeondoa dhana za Newton kuhusu muda kamili wa nafasi, mechanics ya quantum imeondoa ndoto. juu ya uamuzi wa matukio ya kimwili, na, hatimaye, machafuko yamepunguza fantasia ya Laplace ya utabiri kamili wa maendeleo ya mifumo ". Maneno haya ya mwanahistoria maarufu wa Marekani na maarufu wa sayansi James Gleick yanaonyesha umuhimu mkubwa wa suala hilo, ambalo limefunikwa kwa ufupi tu katika makala ambayo hutolewa kwa tahadhari ya msomaji. Ulimwengu wetu uliibuka kutoka kwa machafuko. Walakini, ikiwa machafuko hayakutii sheria zake mwenyewe, ikiwa hapakuwa na mantiki maalum ndani yake, haiwezi kutoa chochote.

Mpya imesahaulika zamani

Niruhusu nukuu moja zaidi kutoka kwa Gleick:

Mawazo ya kufanana kwa ndani, kwamba kubwa inaweza kuwekeza katika ndogo, kwa muda mrefu imekuwa ikipendeza nafsi ya mwanadamu... Kulingana na Leibniz, tone la maji lina ulimwengu mzima unaong'aa kwa rangi, ambapo maji yanameta na ulimwengu mwingine usiojulikana huishi. “Ona ulimwengu katika chembe ya mchanga,” Blake akahimiza, na wanasayansi fulani walijaribu kufuata agizo lake. Watafiti wa kwanza wa giligili ya semina walikuwa na mwelekeo wa kuona katika kila manii aina ya homunculus, ambayo ni, mtu mdogo, lakini tayari ameumbwa kikamilifu.

Mtazamo wa nyuma wa maoni kama haya unaweza kuvutwa zaidi katika kina cha historia. Moja ya kanuni za msingi za uchawi - hatua muhimu katika maendeleo ya jamii yoyote - ni postulate: sehemu ni kama nzima. Ilijidhihirisha kwa vitendo kama kuzika fuvu la mnyama badala ya mnyama mzima, mfano wa gari badala ya gari lenyewe, nk. Kwa kuhifadhi fuvu la babu, jamaa waliamini kuwa aliendelea kuishi karibu nao. na washiriki katika mambo yao.

Hata mwanafalsafa wa kale wa Kigiriki Anaxagoras alizingatia vipengele vya msingi vya ulimwengu kuwa ni chembe zinazofanana na chembe nyingine za uzima na nzima yenyewe, "isiyo na mwisho kwa wingi na kwa udogo." Aristotle alibainisha vipengele vya Anaxagoras na kivumishi "sehemu zinazofanana".

Na mtu wetu wa kisasa, mwana cybernetician wa Amerika Ron Eglash, wakati akisoma utamaduni wa makabila ya Kiafrika na Wahindi wa Amerika Kusini, aligundua: tangu nyakati za zamani, baadhi yao walitumia kanuni za ujenzi katika mapambo, mifumo inayotumika kwa nguo na vitu vya nyumbani, kujitia, sherehe za ibada, na hata katika usanifu. Kwa hivyo, muundo wa vijiji vya makabila fulani ya Kiafrika ni duara ambayo kuna duru ndogo - nyumba, ndani ambayo ni duru ndogo zaidi - nyumba za roho. Katika makabila mengine, badala ya miduara, takwimu zingine hutumika kama vipengele vya usanifu, lakini pia hurudiwa kwa mizani tofauti, chini ya muundo mmoja. Aidha, kanuni hizi za ujenzi hazikuwa mfano rahisi wa asili, lakini zilikuwa sawa na mtazamo wa ulimwengu uliopo na shirika la kijamii.

Ustaarabu wetu, inaonekana, umeenda mbali na uwepo wa zamani. Hata hivyo, tunaendelea kuishi katika ulimwengu huo huo, bado tumezungukwa na asili, tunaishi kulingana na sheria zake, licha ya majaribio yote ya mwanadamu ili kukabiliana na mahitaji yake. Na mtu mwenyewe (tusisahau kuhusu hilo) anabaki kuwa sehemu ya asili hii.

Gert Eilenberger, mwanafizikia wa Ujerumani ambaye alisoma kutokuwa na usawa, aliwahi kusema:

Kwa nini silhouette ya mti uchi ulioinama chini ya shinikizo la upepo wa dhoruba dhidi ya msingi wa anga ya baridi ya baridi inaonekana kuwa nzuri, wakati muhtasari wa jengo la kisasa la kazi nyingi, licha ya juhudi bora za mbuni, haionekani kuwa hivyo. hata kidogo? Inaonekana kwangu kuwa ... hisia zetu za uzuri "huchochewa" na mchanganyiko mzuri wa mpangilio na shida, ambayo inaweza kuzingatiwa katika hali ya asili: mawingu, miti, safu za milima au fuwele za theluji. Mtaro wote kama huu ni michakato inayobadilika iliyogandishwa ndani fomu za kimwili, na mchanganyiko wa utulivu na nasibu ni kawaida kwao.

Katika asili ya nadharia ya machafuko

Tunamaanisha nini machafuko? Kutokuwa na uwezo wa kutabiri tabia ya mfumo, kuruka kwa kasi kwa mwelekeo tofauti ambao hautawahi kugeuka kuwa mlolongo ulioamriwa.

Mwanahisabati wa Ufaransa, mwanafizikia na mwanafalsafa Henri Poincare anachukuliwa kuwa mtafiti wa kwanza wa machafuko. Hata mwisho wa karne ya XIX. wakati wa kusoma tabia ya mfumo na miili mitatu inayoingiliana kwa mvuto, aligundua kuwa kunaweza kuwa na njia zisizo za mara kwa mara ambazo ni za kila wakati na haziendi mbali na hatua fulani, na usiikaribie.

Njia za jadi za jiometri, zinazotumiwa sana katika sayansi ya asili, ni msingi wa makadirio ya muundo wa kitu chini ya utafiti na takwimu za kijiometri, kwa mfano, mistari, ndege, nyanja, vipimo vya metric na topolojia ambayo ni sawa kwa kila mmoja. . Katika hali nyingi, mali ya kitu chini ya utafiti na mwingiliano wake na mazingira ni ilivyoelezwa na sifa muhimu thermodynamic, ambayo inaongoza kwa hasara ya sehemu kubwa ya habari kuhusu mfumo na uingizwaji wake na mfano zaidi au chini ya kutosha. Mara nyingi, kurahisisha kama hiyo ni sawa, lakini kuna hali nyingi ambapo utumiaji wa mifano duni ya kiolojia haikubaliki. Vladimir Konstantinovich Ivanov alitoa mfano wa tofauti hiyo katika Ph.D. Ilibadilika kuwa ukubwa wa eneo hilo unategemea saizi ya mstari wa molekuli za "kupima" sio quadratically, ambayo ingetarajiwa kutoka kwa mazingatio rahisi ya kijiometri, lakini kwa kielelezo wakati mwingine inakaribia tatu.

Utabiri wa hali ya hewa ni mojawapo ya matatizo ambayo wanadamu wamekuwa wakipambana nayo tangu nyakati za kale. Kuna anecdote inayojulikana juu ya mada hii, ambapo utabiri wa hali ya hewa hupitishwa kando ya mnyororo kutoka kwa shaman hadi kwa mchungaji wa reindeer, kisha kwa mwanajiolojia, kisha kwa mhariri wa programu ya redio, na hatimaye mzunguko umekamilika, kwa sababu. inageuka kuwa shaman alijifunza utabiri kutoka kwa redio. Maelezo ya mfumo mgumu kama vile hali ya hewa, na vigezo vingi, haiwezi kupunguzwa kwa mifano rahisi. Kwa kazi hii, matumizi ya kompyuta kwa ajili ya kuiga mifumo ya nguvu isiyo ya mstari ilianza. Mmoja wa waanzilishi wa nadharia ya machafuko, meteorologist wa Marekani na mtaalamu wa hisabati Edward Norton Lorentz alitumia miaka mingi kwa tatizo la utabiri wa hali ya hewa. Nyuma katika miaka ya 60 ya karne iliyopita, akijaribu kuelewa sababu za kutoaminika kwa utabiri wa hali ya hewa, alionyesha kuwa hali ya mfumo tata wa nguvu inaweza kutegemea sana. masharti ya awali: mabadiliko kidogo katika mojawapo ya vigezo vingi yanaweza kubadilisha sana matokeo yanayotarajiwa. Lorenz aliita uraibu huu athari ya kipepeo: "Kupepea kwa mbawa za nondo leo huko Beijing kunaweza kusababisha kimbunga huko New York katika mwezi mmoja." Alikuwa maarufu kwa kazi yake juu ya mzunguko wa jumla wa anga. Kuchunguza mfumo wa equations na vigezo vitatu vinavyoelezea mchakato, Lorenz alionyesha matokeo ya uchambuzi wake: mistari ya grafu inawakilisha kuratibu za pointi zilizoamuliwa na ufumbuzi katika nafasi ya vigezo hivi (Mchoro 1). kusababisha helix mbili, inayoitwa Kivutio cha Lorenz(au "kivutio cha ajabu"), kilionekana kama kitu ngumu sana, lakini kila wakati kiko ndani ya mipaka fulani na hakirudiwi tena. Mwendo katika kivutio ni wa kufikirika (vigeu vinaweza kuwa kasi, msongamano, halijoto, n.k.), na bado huwasilisha sifa za matukio halisi ya kimwili, kama vile mwendo wa gurudumu la maji, upitishaji katika kitanzi kilichofungwa, leza ya modi moja. mionzi, oscillations ya harmonic ya dissipative (vigezo ambavyo vina jukumu la vigezo vinavyolingana).

Kati ya maelfu ya machapisho ambayo yameunda fasihi maalum juu ya shida ya machafuko, hakuna yoyote ambayo imetajwa mara nyingi zaidi kuliko karatasi ya Lorentz ya 1963 "Deterministic non-periodic flow" . Ijapokuwa utabiri wa hali ya hewa "ulibadilishwa kutoka kwa sanaa kuwa sayansi" na uundaji wa kompyuta wakati wa kazi hii, utabiri wa masafa marefu bado haukuwa wa kutegemewa na haukutegemewa. Sababu ya hii ilikuwa athari ya kipepeo sana.

Katika miaka hiyo hiyo ya 60, mwanahisabati Stephen Smale kutoka Chuo Kikuu cha California alikusanya huko Berkeley. kikundi cha utafiti kutoka kwa washirika wachanga. Hapo awali, alitunukiwa Medali ya Mashamba kwa utafiti bora katika topolojia. Smale alisoma mifumo ya nguvu, haswa, oscillators zisizo za mstari za machafuko. Ili kuzaliana ugonjwa mzima wa oscillator ya van der Pol katika nafasi ya awamu, aliunda muundo unaojulikana kama "kiatu cha farasi" - mfano wa mfumo wa nguvu ambao una mienendo ya machafuko.

"Horseshoe" (Mchoro 2) - picha sahihi na inayoonekana ya utegemezi mkubwa juu ya hali ya awali: huwezi kamwe nadhani ambapo hatua ya kuanzia itakuwa baada ya kurudia kadhaa. Mfano huu ulikuwa msukumo wa uvumbuzi wa mwanahisabati wa Kirusi, mtaalamu wa nadharia ya mifumo ya nguvu na milinganyo tofauti, jiometri tofauti na topolojia Dmitry Viktorovich Anosov "Anosov diffeomorphisms". Baadaye, nadharia ya mifumo ya nguvu ya hyperbolic ilikua kutoka kwa kazi hizi mbili. Ilikuwa muongo mmoja kabla ya kazi ya Smale kuvutia taaluma zingine. "Ilipotokea, wanafizikia waligundua kuwa Smale alikuwa amegeuza tawi zima la hisabati kuelekea ulimwengu wa kweli".

Mnamo 1972, mwanahisabati wa Chuo Kikuu cha Maryland James Yorke alisoma karatasi iliyo hapo juu ya Lorenz, ambayo ilimvutia. Yorke aliona katika kifungu hicho kielelezo hai cha mwili na aliona kuwa ni jukumu lake takatifu kufikisha kwa wanafizikia kile ambacho hawakuona katika kazi za Lorentz na Smale. Alisambaza nakala ya makala ya Lorenz kwa Smale. Alishangaa kugundua kwamba mtaalamu wa hali ya hewa asiyejulikana (Lorenz) alikuwa amegundua miaka kumi mapema ugonjwa huo ambao yeye mwenyewe aliona kuwa hauwezekani kihesabu, na akatuma nakala kwa wenzake wote.

Mwanabiolojia Robert May, rafiki wa York, alichunguza mabadiliko katika idadi ya wanyama. Mei alifuata nyayo za Pierre Verchlust, ambaye, nyuma mnamo 1845, alielekeza umakini juu ya kutotabirika kwa mabadiliko ya idadi ya wanyama na akafikia hitimisho kwamba kiwango cha ukuaji wa idadi ya watu ni thamani inayobadilika. Kwa maneno mengine, mchakato sio wa mstari. May alijaribu kunasa kile kinachotokea kwa idadi ya watu mabadiliko ya kasi ya ukuaji yanapokaribia hatua fulani muhimu (hatua ya kugawanyika mara mbili). Kwa kutofautisha maadili ya paramu hii isiyo ya mstari, aligundua kuwa mabadiliko ya kimsingi yanawezekana katika kiini cha mfumo: ongezeko la paramu lilimaanisha kuongezeka kwa kiwango cha kutokuwa na mstari, ambayo, kwa upande wake, ilibadilika. si tu kiasi, lakini pia sifa za ubora wa matokeo. Operesheni kama hiyo iliathiri thamani ya mwisho ya idadi ya watu ambayo ilikuwa katika usawa, na uwezo wake wa kufikia mwisho kabisa. Katika masharti fulani periodicity alitoa nafasi kwa machafuko, kushuka kwa thamani ambayo kamwe kufa nje.

York alichambua kihesabu matukio yaliyoelezewa katika kazi yake, ikithibitisha kwamba yafuatayo hufanyika katika mfumo wowote wa mwelekeo mmoja: ikiwa mzunguko wa kawaida na mawimbi matatu huonekana (laini huinuka na kuanguka kwa maadili ya paramu yoyote), basi katika siku zijazo mfumo utaanza kuonyesha jinsi mizunguko sahihi ya muda mwingine wowote, na machafuko kabisa. (Kama ilivyotokea miaka michache baada ya kuchapishwa kwa nakala hiyo katika mkutano wa kimataifa huko Berlin Mashariki, mwanahisabati wa Soviet (Kiukreni) Alexander Nikolaevich Sharkovskiy alikuwa mbele ya York katika utafiti wake). York iliandika makala ya uchapishaji wa kisayansi unaojulikana sana wa American Hisabati Monthly. Walakini, York ilipata zaidi ya matokeo ya kihesabu tu: alionyesha kwa wanafizikia kwamba machafuko yapo kila mahali, thabiti na yameundwa. Alitoa sababu ya kuamini kwamba mifumo ngumu, iliyoelezewa kwa jadi na milinganyo tofauti ambayo ni ngumu kusuluhisha, inaweza kuwakilishwa kwa kutumia grafu za kuona.

May alijaribu kuvuta usikivu wa wanabiolojia kwa ukweli kwamba idadi ya wanyama hupata uzoefu zaidi ya mizunguko ya utaratibu tu. Kwenye njia ya machafuko kuna mtiririko mzima wa vipindi mara mbili. Ni katika pointi za bifurcation kwamba ongezeko fulani la uzazi wa watu binafsi linaweza kusababisha, kwa mfano, kwa mabadiliko katika mzunguko wa miaka minne wa idadi ya nondo ya gypsy hadi miaka minane. Mmarekani Mitchel Feigenbaum aliamua kuanza kwa kuhesabu maadili halisi ya paramu ambayo ilitoa mabadiliko kama haya. Hesabu zake zilionyesha kuwa haijalishi idadi ya watu wa kwanza ilikuwa - bado ilikuwa inakaribia kivutio. Kisha, na kipindi cha kwanza kuongezeka maradufu, kivutio, kama seli inayogawanyika, hugawanyika mara mbili. Kisha kuzidisha kwa vipindi vilivyofuata kulifanyika, na kila hatua ya kivutio ilianza kugawanyika tena. Nambari, Feigenbaum isiyobadilika iliyopatikana, ilimruhusu kutabiri ni lini hasa hii ingetokea. Mwanasayansi aligundua kuwa angeweza kutabiri athari hii kwa kivutio ngumu zaidi - kwa alama mbili, nne, nane ... Katika lugha ya ikolojia, angeweza kutabiri idadi halisi ambayo hupatikana kwa idadi ya watu wakati wa kushuka kwa thamani kwa kila mwaka. Kwa hivyo Feigenbaum aligundua mnamo 1976 "kipindi kinachoongezeka maradufu" kulingana na kazi ya May na utafiti wake juu ya machafuko. Nadharia yake ilionyesha sheria ya asili ambayo inatumika kwa mifumo yote inayopitia mabadiliko kutoka kwa mpangilio hadi machafuko. York, May na Feigenbaum walikuwa wa kwanza katika nchi za Magharibi kuelewa kikamilifu umuhimu wa kipindi maradufu na waliweza kufikisha wazo hili kwa jumuiya nzima ya wanasayansi. May alisema kuwa machafuko yalihitaji kufundishwa.

Wanahisabati wa Soviet na wanafizikia waliendelea katika utafiti wao bila ya wenzao wa kigeni. Utafiti wa machafuko ulianza na kazi ya A. N. Kolmogorov katika miaka ya 1950. Lakini mawazo ya wenzake wa kigeni hayakubaki bila tahadhari yao. Waanzilishi wa nadharia ya machafuko ni wanahisabati wa Soviet Andrei Nikolaevich Kolmogorov na Vladimir Igorevich Arnold na mwanahisabati wa Ujerumani Jurgen Moser, ambaye alijenga nadharia ya machafuko, inayoitwa KAM (nadharia ya Kolmogorov-Arnold-Moser). Mwingine wa washirika wetu bora, mwanafizikia na mwanahisabati mahiri Yakov Grigorievich Sinai, alitumia masuala ya thermodynamics sawa na Smale horseshoe. Mara tu wanafizikia wa Magharibi walipofahamiana na kazi ya Lorentz katika miaka ya 1970, ikawa maarufu katika USSR pia. Mnamo 1975, wakati York na May walikuwa bado wanafanya juhudi kubwa kupata usikivu wa wenzao, Sinai na wandugu wake walipanga kikundi cha utafiti huko Gorky ili kuchunguza shida hii.

Katika karne iliyopita, wakati utaalamu finyu na mgawanyiko kati ya taaluma mbalimbali ulipokuwa kawaida katika sayansi, wanahisabati, wanafizikia, wanabiolojia, wanakemia, wanafizikia, na wanauchumi walipigana juu ya matatizo sawa bila kusikia kila mmoja. Mawazo ambayo yanahitaji mabadiliko katika mtazamo wa kawaida wa ulimwengu daima hujitahidi kufanya njia yao. Hata hivyo, hatua kwa hatua ikawa wazi kwamba mambo kama vile mabadiliko ya idadi ya wanyama, mabadiliko ya bei ya soko, mabadiliko ya hali ya hewa, usambazaji wa miili ya mbinguni kwa ukubwa, na mengi zaidi, yanafuata mifumo ileile. "Kutambuliwa kwa ukweli huu kumewalazimu mameneja kufikiria upya mtazamo wao kwa bima, wanaastronomia kutazama mfumo wa jua kutoka pembe tofauti, wanasiasa kubadili mawazo yao kuhusu sababu za migogoro ya silaha."

Kufikia katikati ya miaka ya 1980, hali ilikuwa imebadilika sana. Mawazo ya jiometri ya fractal yaliwaunganisha wanasayansi ambao walishangaa na uchunguzi wao wenyewe na hawakujua jinsi ya kutafsiri. Kwa watafiti wa machafuko, hisabati imekuwa sayansi ya majaribio, kompyuta zimebadilisha maabara. Picha za picha zimekuwa za umuhimu mkubwa. Sayansi mpya iliipa ulimwengu lugha maalum, dhana mpya: picha ya awamu, kivutio, mgawanyiko wa pande mbili, sehemu ya nafasi ya awamu, fractal...

Benoit Mandelbrot, akitegemea maoni na kazi ya watangulizi wake na watu wa wakati wake, alionyesha kuwa michakato ngumu kama ukuaji wa mti, malezi ya mawingu, tofauti. sifa za kiuchumi au saizi ya idadi ya wanyama inatawaliwa na sheria zinazofanana za asili. Hizi ni mifumo fulani ambayo machafuko huishi. Kutoka kwa mtazamo wa kujipanga kwa asili, wao ni rahisi zaidi kuliko fomu za bandia zinazojulikana kwa mtu aliyestaarabu. Wanaweza kutambuliwa kama ngumu tu katika muktadha wa jiometri ya Euclidean, kwani fractals hufafanuliwa kwa kutaja algorithm, na, kwa hivyo, inaweza kuelezewa kwa kutumia kiasi kidogo cha habari.

Jiometri ya Fractal ya asili

Wacha tujaribu kujua fractal ni nini na "inaliwa na nini." Na unaweza kula baadhi yao, kama, kwa mfano, mwakilishi wa kawaida aliyeonyeshwa kwenye picha.

Neno fractal inatoka Kilatini fractus- kupondwa, kuvunjwa, kuvunjwa vipande vipande. Fractal ni seti ya hisabati ambayo ina mali ya kufanana binafsi, yaani, kutofautiana kwa kiwango.

Neno "fractal" lilianzishwa na Mandelbrot mnamo 1975 na kupata umaarufu mkubwa na kutolewa mnamo 1977 kwa kitabu chake The Fractal Geometry of Nature. "Mpe yule mnyama jina la kupendeza, la nyumbani na utashangaa jinsi itakuwa rahisi kuidhibiti!" Mandelbrot alisema. Tamaa hii ya kufanya vitu vilivyochunguzwa (seti za hisabati) karibu na kueleweka ilisababisha kuzaliwa kwa maneno mapya ya hisabati, kama vile. vumbi, jibini la jumba, seramu, kuonyesha wazi uhusiano wao wa kina na michakato ya asili.

Dhana ya hisabati ya fractal inatofautisha vitu ambavyo vina miundo ya mizani mbalimbali, kubwa na ndogo, na hivyo inaonyesha kanuni ya uongozi wa shirika. Kwa kweli, matawi tofauti ya mti, kwa mfano, hayawezi kuunganishwa sawasawa, lakini yanaweza kuzingatiwa sawa kwa maana ya takwimu. Kwa njia hiyo hiyo, maumbo ya mawingu, muhtasari wa milima, mstari wa pwani ya bahari, muundo wa moto, mfumo wa mishipa, mifereji ya maji, umeme, inayotazamwa kwa mizani tofauti, inaonekana sawa. Ingawa ukamilifu huu unaweza kugeuka kuwa kurahisisha ukweli, huongeza kwa kiasi kikubwa kina cha maelezo ya hisabati ya asili.

Dhana ya "fractal asili" ilianzishwa na Mandelbrot ili kuashiria miundo asili ambayo inaweza kuelezewa kwa kutumia seti za fractal. Vitu hivi vya asili vinajumuisha kipengele cha bahati. Nadharia iliyoundwa na Mandelbrot inafanya uwezekano wa kuelezea kwa kiasi na kwa ubora aina zote ambazo hapo awali ziliitwa tangled, wavy, mbaya, nk.

Michakato ya nguvu iliyojadiliwa hapo juu, kinachojulikana michakato ya maoni, hutokea katika matatizo mbalimbali ya kimwili na hisabati. Wote wana kitu kimoja - mashindano ya vituo kadhaa (vinaitwa "wavutio") kwa kutawala kwenye ndege. Hali ambayo mfumo ulijikuta baada ya idadi fulani ya kurudia inategemea "mahali pa kuanzia". Kwa hivyo, kila kivutio kinalingana na eneo fulani la majimbo ya awali, ambayo mfumo lazima utaanguka katika hali ya mwisho inayozingatiwa. Kwa hivyo, nafasi ya awamu ya mfumo (nafasi ya kufikirika ya vigezo vinavyohusishwa na mfumo maalum wa nguvu, pointi ambazo zina sifa ya kipekee ya majimbo yake yote iwezekanavyo) imegawanywa katika maeneo ya kivutio vivutio. Kuna aina ya kurudi kwa mienendo ya Aristotle, kulingana na ambayo kila mwili huelekea mahali pake. Mipaka rahisi kati ya "wilaya zinazopakana" haitokei kwa nadra kama matokeo ya mashindano kama haya. Ni katika eneo hili la mpaka kwamba mpito kutoka kwa aina moja ya kuwepo hadi nyingine hufanyika: kutoka kwa utaratibu hadi machafuko. Fomu ya jumla ya usemi wa sheria inayobadilika ni rahisi sana: x n+1 → f x n C . Utata wote upo katika uhusiano usio na mstari kati ya thamani ya awali na matokeo. Ukianza mchakato wa kurudia wa aina maalum kutoka kwa thamani fulani ya kiholela \(x_0 \), basi matokeo yake yatakuwa mlolongo \(x_1 \), \(x_2 \), ..., ambao utaungana hadi kikomo fulani. value \(X \) , kujitahidi kwa hali ya kupumzika, ama itakuja kwa mzunguko fulani wa maadili ambao utajirudia tena na tena, au utatenda nasibu na bila kutabirika wakati wote. Ilikuwa ni michakato kama hiyo ambayo ilisomwa wakati wa Vita vya Kwanza vya Kidunia na wanahisabati wa Ufaransa Gaston Julia na Pierre Fato.

Kusoma seti zilizogunduliwa nao, Mandelbrot mnamo 1979 alikuja kwenye picha kwenye ndege tata ya picha, ambayo, kama itakuwa wazi kutoka kwa kile kinachofuata, ni aina ya jedwali la yaliyomo kwa darasa zima la fomu zinazoitwa seti za Julia. Seti ya Julia ni seti ya pointi zinazotokana na iteration ya mabadiliko ya quadratic: х n → х n−1 2 + C , mienendo katika jirani ambayo ni imara kuhusiana na usumbufu mdogo wa nafasi ya awali. Kila thamani mfululizo \(x\) inatokana na ile iliyotangulia; nambari changamano \(C\) inaitwa kudhibiti parameter. Tabia ya mlolongo wa nambari inategemea parameter \(C \) na mahali pa kuanzia \(x_0 \). Tukirekebisha \(C \) na kubadilisha \(x_0 \) katika sehemu ya nambari changamano, tunapata seti ya Julia. Ikiwa tunarekebisha \(x_0 \) = 0 na kubadilisha \(C \), tunapata seti ya Mandelbrot (\(M \)). Inatuambia ni aina gani ya seti ya Julia tunapaswa kutarajia na chaguo fulani la \(C\). Kila nambari changamano \(C \) ama ni ya eneo \(M \) (nyeusi kwenye Kielelezo 3) au sivyo. \(C \) ni ya \(M \) ikiwa na ikiwa tu "hatua muhimu" \(x_0 \) = 0 haielekei kutokuwa na mwisho. Seti \(M \) ina pointi zote \(C \) ambazo zinahusishwa na seti za Julia zilizounganishwa, lakini ikiwa hatua \(C \) iko nje ya kuweka \(M \), seti ya Julia inayohusishwa imekatwa. Mpaka wa kuweka \(M \) huamua wakati wa mpito wa awamu ya hisabati kwa seti za Julia x n → x n−1 2 + C . Wakati parameter \ (C \) inaondoka \ (M \), seti za Julia hupoteza uunganisho wao, kwa kusema kwa mfano, hupuka na kugeuka kuwa vumbi. Kuruka kwa ubora unaotokea kwenye mpaka \(M\) pia huathiri eneo lililo karibu na mpaka. Muundo changamano unaobadilika wa eneo la mpaka unaweza kuonyeshwa takriban kwa kupaka rangi (kwa masharti) katika rangi tofauti kanda zilizo na wakati sawa wa "kukimbia hadi usio na mwisho wa mahali pa kuanzia \(x_0 \) = 0". Thamani hizo \(C \) (kivuli kimoja) ambazo zinahitaji idadi fulani ya marudio ili sehemu muhimu iwe nje ya mduara wa radius \(N \) kujaza pengo kati ya mistari miwili. Tunapokaribia mpaka \(M \), idadi inayohitajika ya marudio huongezeka. Hatua hiyo inalazimika kutangatanga zaidi na zaidi kwenye njia zenye vilima karibu na seti ya Julia. Seti ya Mandelbrot inajumuisha mchakato wa mpito kutoka kwa mpangilio hadi machafuko.

Inafurahisha kufuatilia njia ambayo Mandelbrot alifuata kwenye uvumbuzi wake. Benois alizaliwa huko Warsaw mnamo 1924, mnamo 1936 familia ilihamia Paris. Baada ya kuhitimu kutoka Shule ya Polytechnic, na kisha chuo kikuu huko Paris, Mandelbrot alihamia Merika, ambapo pia alisoma katika Taasisi ya Teknolojia ya California. Mnamo 1958, alichukua kazi katika Kituo cha Utafiti cha IBM huko Yorktown. Licha ya shughuli zinazotumika za kampuni, msimamo wake ulimruhusu kufanya utafiti katika nyanja mbali mbali. Kufanya kazi katika uwanja wa uchumi, mtaalamu mdogo alianza kusoma takwimu za bei ya pamba kwa muda mrefu (zaidi ya miaka 100). Kuchambua ulinganifu wa mabadiliko ya bei ya muda mrefu na ya muda mfupi, aliona kuwa mabadiliko haya wakati wa mchana yalionekana bila mpangilio na haitabiriki, lakini mlolongo wa mabadiliko hayo haukutegemea kiwango. Ili kutatua tatizo hili, alikuwa wa kwanza kutumia maendeleo yake ya nadharia ya baadaye ya fractal na uwakilishi wa kielelezo wa michakato inayojifunza.

Kwa kupendezwa na nyanja mbalimbali za sayansi, Mandelbrot aligeukia isimu ya hisabati, kisha ikaja zamu ya nadharia ya mchezo. Pia alipendekeza mbinu yake mwenyewe kwa uchumi, akionyesha kupangwa kwa mizani katika kuenea kwa miji midogo na mikubwa. Kusoma kazi isiyojulikana sana ya mwanasayansi wa Kiingereza Lewis Richardson, iliyochapishwa baada ya kifo cha mwandishi, Mandelbrot alikutana na hali ya ukanda wa pwani. Katika makala "Urefu wa ukanda wa pwani wa Uingereza ni nini?" anachunguza suala hili kwa undani, ambalo watu wachache walifikiri kabla yake, na huja kwa hitimisho zisizotarajiwa: urefu wa ukanda wa pwani ni ... infinity! Kadiri unavyojaribu kuipima kwa usahihi, ndivyo thamani yake inavyokuwa kubwa!

Ili kuelezea matukio kama haya, ilitokea kwa Mandelbrot kuanza kutoka kwa wazo la mwelekeo. Kipimo cha fractal cha kitu hutumika kama sifa ya upimaji wa moja ya vipengele vyake, yaani, kujaza nafasi yake.

Ufafanuzi wa dhana ya mwelekeo wa fractal unarudi kwenye kazi ya Felix Hausdorff, iliyochapishwa mwaka wa 1919, na hatimaye iliundwa na Abram Samoilovich Besikovich. Kipimo cha Fractal - kipimo cha undani, kuvunjika, kutofautiana kwa kitu cha fractal. Katika nafasi ya Euclidean, mwelekeo wa topolojia daima huamua na integer (kipimo cha uhakika ni 0, mstari ni 1, ndege ni 2, imara ni 3). Ikiwa tutafuatilia, kwa mfano, makadirio kwenye ndege ya mwendo wa chembe ya Brownian, ambayo inadaiwa inapaswa kuwa na sehemu za mstari ulionyooka, i.e., kuwa na mwelekeo wa 1, hivi karibuni itaibuka kuwa athari yake inajaza karibu ndege nzima. . Lakini mwelekeo wa ndege ni 2. Tofauti kati ya maadili haya inatupa haki ya kuhusisha "curve" hii kwa fractals, na kuiita mwelekeo wake wa kati (fractional) fractal. Ikiwa tutazingatia harakati za machafuko chembe kwa kiasi, mwelekeo wa fractal wa trajectory itakuwa kubwa kuliko 2, lakini chini ya 3. Mishipa ya kibinadamu, kwa mfano, ina mwelekeo wa fractal wa takriban 2.7. Matokeo ya Ivanov, yaliyotajwa mwanzoni mwa kifungu, yanayohusiana na kipimo cha eneo la pore la gel ya silika, ambayo haiwezi kufasiriwa ndani ya mfumo wa maoni ya kawaida ya Euclidean, hupata maelezo ya busara wakati wa kutumia nadharia ya fractals.

Kwa hivyo, kutoka kwa mtazamo wa hisabati, fractal ni seti ambayo mwelekeo wa Hausdorff - Besikovich ni mkubwa zaidi kuliko mwelekeo wake wa kitolojia na inaweza kuwa (na mara nyingi ni) ya sehemu.

Inapaswa kusisitizwa kwamba mwelekeo wa fractal wa kitu hauelezei umbo lake, na vitu ambavyo vina mwelekeo sawa lakini vinavyotokana na taratibu tofauti za uundaji mara nyingi havifanani hata kidogo. Fractals za kimwili zina ulinganifu wa kitakwimu.

Upimaji wa sehemu hukuruhusu kuhesabu sifa ambazo haziwezi kufafanuliwa wazi kwa njia nyingine yoyote: kiwango cha usawa, kutoendelea, ukali au kutokuwa na utulivu wa kitu. Kwa mfano, ukanda wa pwani wenye vilima, licha ya kutopimika kwa urefu wake, una ukali wa asili yake tu. Mandelbrot alionyesha njia za kukokotoa vipimo vya sehemu ya vitu katika hali halisi inayozunguka. Kuunda jiometri yake, aliweka mbele sheria ya fomu zisizo na mpangilio zinazotokea katika maumbile. Sheria ilisema: kiwango cha kutokuwa na utulivu ni mara kwa mara katika mizani tofauti.

aina maalum ya fractals ni fractal za wakati. Mnamo 1962, Mandelbrot alikabiliwa na changamoto ya kuondoa kelele kwenye laini za simu ambazo zilisababisha shida kwa modemu za kompyuta. Ubora wa maambukizi ya ishara inategemea uwezekano wa makosa. Wahandisi walijitahidi na tatizo la kupunguza kelele, wakija na mbinu za kushangaza na za gharama kubwa, lakini hawakupata matokeo ya kuvutia. Kulingana na kazi ya mwanzilishi wa nadharia ya kuweka Georg Cantor, Mandelbrot alionyesha kwamba tukio la kelele - kizazi cha machafuko - hawezi kuepukwa kwa kanuni, kwa hiyo mbinu zilizopendekezwa za kukabiliana nao hazitaleta matokeo. Katika kutafuta mwelekeo katika tukio la kelele, anapata "Cantor vumbi" - mlolongo fractal wa matukio. Inafurahisha kwamba usambazaji wa nyota kwenye Galaxy unatii sheria sawa:

"Dutu" iliyosambazwa kwa usawa pamoja na kianzisha (sehemu moja ya mhimili wa wakati) inakabiliwa na hatua ya vortex ya centrifugal, ambayo "huifuta" hadi theluthi kali ya muda... kujipinda inaweza kuitwa mteremko wowote wa majimbo yasiyo na utulivu, ambayo hatimaye husababisha unene wa jambo, na neno hilo. jibini la jumba inaweza kuamua kiasi ambacho tabia fulani ya mwili inakuwa - kama matokeo ya kukunja - iliyojilimbikizia sana.

Matukio ya machafuko, kama vile mtikisiko wa anga, uhamaji wa ukoko, n.k., huonyesha tabia sawa kwenye mizani tofauti ya saa, kama vile vitu visivyobadilika kwa mizani huonyesha ruwaza sawa za kimuundo kwenye mizani tofauti ya anga.

Kama mfano, tunawasilisha hali kadhaa za kawaida ambapo ni muhimu kutumia dhana za muundo wa fractal. Profesa wa Chuo Kikuu cha Columbia Christopher Scholz aliyebobea katika utafiti wa umbo na muundo wa jambo gumu la Dunia, alisoma matetemeko ya ardhi. Mnamo 1978 alisoma Fractals ya Mandelbrot: Shape, Randomness and Dimension. » na kujaribu kutumia nadharia kwa maelezo, uainishaji na kipimo cha vitu vya kijiofizikia. Scholz aligundua kuwa jiometri ya fractal ilitoa sayansi njia ya ufanisi maelezo ya mandhari maalum ya milima ya Dunia. Kipimo cha fractal cha mandhari ya sayari hufungua mlango wa kuelewa sifa zake muhimu zaidi. Metallurgists wamegundua kitu kimoja kwa kiwango tofauti - kutumika kwa nyuso za aina mbalimbali za chuma. Hasa, kipimo cha fractal cha uso wa chuma mara nyingi hufanya iwezekanavyo kuhukumu nguvu zake. Idadi kubwa ya vitu vya fractal hutoa uzushi wa fuwele. Aina ya kawaida ya fractals ambayo hutokea wakati wa ukuaji wa fuwele ni dendrites, ni kuenea sana katika asili. Ensembles za nanoparticles mara nyingi zinaonyesha utekelezaji wa "Lewy vumbi". Ensembles hizi, pamoja na kutengenezea kufyonzwa, huunda kompakt za uwazi - glasi za Levy, zinazowezekana. nyenzo muhimu picha.

Kwa kuwa fractals hazionyeshwa katika fomu za msingi za kijiometri, lakini katika algorithms, seti za taratibu za hisabati, ni wazi kwamba eneo hili la hisabati lilianza kukua kwa kiwango kikubwa na mipaka pamoja na ujio na maendeleo ya kompyuta zenye nguvu. Machafuko, kwa upande wake, yalizua teknolojia mpya za kompyuta, mbinu maalum za picha ambazo zina uwezo wa kuzaa miundo ya ajabu ya utata wa ajabu unaotokana na aina mbalimbali za matatizo. Katika umri wa mtandao na kompyuta za kibinafsi, kile kilichokuwa na ugumu mkubwa wakati wa Mandelbrot kimekuwa rahisi kupatikana kwa mtu yeyote. Lakini jambo muhimu zaidi katika nadharia yake haikuwa uundaji wa picha nzuri, lakini hitimisho kwamba kifaa hiki cha hesabu kinafaa kwa kuelezea matukio magumu ya asili na michakato ambayo haikuzingatiwa hapo awali katika sayansi. Repertoire ya vipengele vya algorithmic haina mwisho.

Kwa kufahamu lugha ya fractals, unaweza kuelezea umbo la wingu kwa uwazi na kwa urahisi kama vile mbunifu anavyoelezea jengo kwa kutumia michoro inayotumia lugha ya jiometri ya kitamaduni.<...>Ni miongo michache tu imepita tangu Benoit Mandelbrot aliposema: "Jiometri ya asili ni fractal!" Leo tunaweza tayari kudhani mengi zaidi, yaani kwamba fractality ndiyo kanuni ya msingi ya kujenga vitu vyote vya asili bila ubaguzi.

Kwa kumalizia, wacha niwasilishe kwa umakini wako seti ya picha zinazoonyesha hitimisho hili, na vipande vilivyojengwa kwa kutumia programu ya kompyuta. mvumbuzi wa fractal. Na makala yetu inayofuata itatolewa kwa tatizo la kutumia fractals katika fizikia ya kioo.

Chapisha Maandiko

Kuanzia 1994 hadi 2013, kazi ya kipekee ya wanasayansi wa Urusi "Atlas ya tofauti za muda katika michakato ya asili ya anthropogenic na kijamii" ilichapishwa katika juzuu tano - chanzo kisicho na kifani cha vifaa ambavyo ni pamoja na data kutoka kwa nafasi ya ufuatiliaji, biosphere, lithosphere, anga, hydrosphere, kijamii. na nyanja na nyanja za kiteknolojia zinazohusiana na afya ya binadamu na ubora wa maisha. Maandishi hufafanua data na matokeo ya usindikaji wao, inalinganisha vipengele vya mienendo ya mfululizo wa wakati na vipande vyake. Uwasilishaji wa umoja wa matokeo hufanya iwezekanavyo kupata matokeo ya kulinganishwa ili kutambua vipengele vya kawaida na vya kibinafsi vya mienendo ya michakato na uhusiano wa sababu-na-athari kati yao. Nyenzo za majaribio zinaonyesha kuwa michakato katika maeneo tofauti ni, kwanza, sawa, na pili, kwa kiwango kikubwa au kidogo yanahusiana.

Kwa hivyo, atlasi ilifanya muhtasari wa matokeo ya utafiti wa fani mbalimbali na kuwasilishwa uchambuzi wa kulinganisha data tofauti kabisa katika anuwai kubwa ya wakati na nafasi. Kitabu kinaonyesha kwamba "michakato inayotokea katika nyanja za dunia inatokana na idadi kubwa ya mambo yanayoingiliana ambayo katika maeneo tofauti (na kwa nyakati tofauti) husababisha athari tofauti", ambayo inaonyesha "haja ya mbinu jumuishi ya uchambuzi wa geodynamic. , anga, kijamii, kiuchumi na uchunguzi wa kimatibabu ". Inabakia kuelezea matumaini kwamba kazi hizi muhimu zitaendelea.

. Jürgens H., Peitgen H.-O., Zaupe D. Lugha ya fractals // Katika ulimwengu wa sayansi. 1990. Nambari 10. S. 36-44.
. Atlasi ya tofauti za muda za michakato ya asili ya anthropogenic na kijamii. Vol. 1: Utaratibu na machafuko katika lithosphere na nyanja zingine. M., 1994; Vol. 2: Mienendo ya mzunguko katika asili na jamii. M., 1998; T. 3: Nyanja za asili na kijamii kama sehemu mazingira na kama vitu vya ushawishi. M., 2002; T. 4: Mwanadamu na mazingira yake matatu. M., 2009. V. 5: Mwanadamu na mazingira yake matatu. M., 2013.

Mara nyingi, uvumbuzi mzuri unaofanywa katika sayansi unaweza kubadilisha maisha yetu kwa kiasi kikubwa. Kwa hiyo, kwa mfano, uvumbuzi wa chanjo unaweza kuokoa watu wengi, na kuundwa kwa silaha mpya husababisha mauaji. Halisi jana (kwa kiwango cha historia) mtu "aliyefugwa" umeme, na leo hawezi tena kufikiria maisha yake bila hiyo. Walakini, pia kuna uvumbuzi kama huo ambao, kama wanasema, hubaki kwenye vivuli, na licha ya ukweli kwamba pia wana ushawishi fulani kwenye maisha yetu. Moja ya uvumbuzi huu ilikuwa fractal. Watu wengi hawajasikia hata dhana kama hiyo na hawataweza kuelezea maana yake. Katika makala hii, tutajaribu kukabiliana na swali la nini fractal ni, fikiria maana ya neno hili kutoka kwa mtazamo wa sayansi na asili.

Agiza katika machafuko

Ili kuelewa fractal ni nini, mtu anapaswa kuanza mazungumzo kutoka kwa nafasi ya hisabati, hata hivyo, kabla ya kuingia ndani yake, tunafalsafa kidogo. Kila mtu ana udadisi wa asili, shukrani ambayo anajifunza ulimwengu unaomzunguka. Mara nyingi, katika tamaa yake ya ujuzi, anajaribu kufanya kazi kwa mantiki katika hukumu zake. Kwa hiyo, kuchambua taratibu zinazofanyika karibu, anajaribu kuhesabu mahusiano na kupata mifumo fulani. Akili kubwa zaidi kwenye sayari iko bize kutatua shida hizi. Kwa kusema, wanasayansi wetu wanatafuta mifumo mahali ambapo hawapo, na haipaswi kuwa. Walakini, hata katika machafuko kuna uhusiano kati ya matukio fulani. Uunganisho huu ni fractal. Kwa mfano, fikiria tawi lililovunjika lililolala barabarani. Tukiitazama kwa makini, tutaona kwamba, pamoja na matawi yake yote na mafundo, yenyewe inaonekana kama mti. Kufanana huku kwa sehemu tofauti na nzima moja kunashuhudia ile inayoitwa kanuni ya kujirudia kujifananisha. Fractals katika asili inaweza kupatikana wakati wote, kwa sababu aina nyingi za isokaboni na za kikaboni zinaundwa kwa njia sawa. Hizi ni mawingu, na shells za bahari, na shells za konokono, na taji za miti, na hata mfumo wa mzunguko. Orodha hii inaweza kuendelea kwa muda usiojulikana. Maumbo haya yote ya nasibu yanaelezewa kwa urahisi na algorithm ya fractal. Hapa tunakuja kufikiria nini fractal ni kutoka kwa maoni ya sayansi halisi.

Baadhi ya ukweli kavu

Neno "fractal" limetafsiriwa kutoka Kilatini kama "sehemu", "iliyogawanywa", "iliyogawanyika", na kuhusu yaliyomo katika neno hili, maneno kama hayo hayapo. Kawaida inatibiwa kama seti inayofanana, sehemu ya nzima, ambayo inarudiwa na muundo wake katika kiwango kidogo. Neno hili lilibuniwa katika miaka ya sabini ya karne ya ishirini na Benoit Mandelbrot, ambaye anatambulika kama baba.Leo, dhana ya fractal ina maana ya uwakilishi wa picha wa muundo fulani, ambao, unapopanuliwa, utakuwa sawa na yenyewe. Hata hivyo, msingi wa hisabati wa kuundwa kwa nadharia hii uliwekwa hata kabla ya kuzaliwa kwa Mandelbrot mwenyewe, lakini haikuweza kuendeleza mpaka kompyuta za elektroniki zilionekana.

Rejea ya kihistoria, au Jinsi yote yalianza

Mwanzoni mwa karne ya 19 na 20, uchunguzi wa asili ya fractals ulikuwa wa matukio. Hii ni kutokana na ukweli kwamba wanahisabati walipendelea kusoma vitu vinavyoweza kuchunguzwa kwa misingi ya nadharia na mbinu za jumla. Mnamo 1872, mwanahisabati wa Ujerumani K. Weierstrass aliunda mfano wa utendaji unaoendelea ambao hauwezi kutofautishwa popote. Walakini, ujenzi huu uligeuka kuwa wa kufikirika kabisa na mgumu kuelewa. Kisha akaja Swedi Helge von Koch, ambaye mnamo 1904 aliunda mkunjo unaoendelea ambao hauna tanjiti popote. Ni rahisi kuteka, na, kama ilivyotokea, ina sifa ya mali ya fractal. Moja ya lahaja za Curve hii ilipewa jina la mwandishi wake - "Snowflake ya Koch". Zaidi ya hayo, wazo la kufanana kwa takwimu lilitengenezwa na mshauri wa baadaye wa B. Mandelbrot, Mfaransa Paul Levy. Mnamo 1938 alichapisha karatasi "Nyuso za Ndege na Spatial na Nyuso Zinazojumuisha Sehemu Kama Zote". Ndani yake, alielezea aina mpya - Levy C-curve. Takwimu zote hapo juu kwa masharti hurejelea fomu kama vile vipande vya kijiometri.

Fractals zinazobadilika au za aljebra

Seti ya Mandelbrot ni ya darasa hili. Wanahisabati wa Ufaransa Pierre Fatou na Gaston Julia wakawa watafiti wa kwanza katika mwelekeo huu. Mnamo 1918, Julia alichapisha karatasi kulingana na utafiti wa marudio ya kazi ngumu za busara. Hapa alielezea familia ya fractals ambayo inahusiana kwa karibu na seti ya Mandelbrot. Licha ya ukweli kwamba kazi hii ilimtukuza mwandishi kati ya wanahisabati, ilisahaulika haraka. Na nusu karne tu baadaye, shukrani kwa kompyuta, kazi ya Julia ilipata maisha ya pili. Kompyuta ilifanya iwezekane kufanya kuonekana kwa kila mtu uzuri na utajiri wa ulimwengu wa fractals ambazo wanahisabati wangeweza "kuona" kwa kuzionyesha kupitia utendaji. Mandelbrot alikuwa wa kwanza kutumia kompyuta kufanya mahesabu (kwa mikono kiasi hicho haiwezekani kutekeleza) ambayo ilifanya iwezekanavyo kujenga picha ya takwimu hizi.

Mtu mwenye mawazo ya anga

Mandelbrot alianza kazi yake ya kisayansi katika Kituo cha Utafiti cha IBM. Kusoma uwezekano wa maambukizi ya data kwa umbali mrefu, wanasayansi walikabiliwa na ukweli wa hasara kubwa zilizotokea kutokana na kuingiliwa kwa kelele. Benoit alikuwa akitafuta njia za kutatua tatizo hili. Kuangalia kupitia matokeo ya kipimo, alizingatia muundo wa ajabu, yaani: grafu za kelele zilionekana sawa kwenye mizani tofauti ya wakati.

Picha kama hiyo ilizingatiwa kwa muda wa siku moja, na kwa siku saba, au kwa saa. Benoit Mandelbrot mwenyewe mara nyingi alirudia kwamba hafanyi kazi na fomula, lakini anacheza na picha. Mwanasayansi huyu alitofautishwa na mawazo ya kufikiria, alitafsiri shida yoyote ya algebra katika eneo la kijiometri, ambapo jibu sahihi ni dhahiri. Kwa hivyo haishangazi, kutofautishwa na matajiri na kuwa baba wa jiometri ya fractal. Baada ya yote, ufahamu wa takwimu hii unaweza kuja tu wakati unapojifunza michoro na kufikiri juu ya maana ya swirls hizi za ajabu zinazounda muundo. Michoro za Fractal hazina vitu sawa, lakini zinafanana kwa kiwango chochote.

Julia - Mandelbrot

Moja ya michoro ya kwanza ya takwimu hii ilikuwa tafsiri ya picha ya seti, ambayo ilizaliwa shukrani kwa kazi ya Gaston Julia na ilikamilishwa na Mandelbrot. Gaston alikuwa akijaribu kufikiria jinsi seti inavyoonekana wakati imeundwa kutoka kwa fomula rahisi ambayo inarudiwa na kitanzi cha maoni. Hebu jaribu kueleza kile ambacho kimesemwa kwa lugha ya kibinadamu, kwa kusema, kwenye vidole. Kwa thamani maalum ya nambari, kwa kutumia fomula, tunapata thamani mpya. Tunaibadilisha katika fomula na kupata zifuatazo. Matokeo yake ni kubwa Ili kuwakilisha seti kama hiyo, unahitaji kufanya operesheni hii mara nyingi: mamia, maelfu, mamilioni. Hivi ndivyo Benoit alivyofanya. Alishughulikia mlolongo na kuhamisha matokeo kwa fomu ya picha. Baadaye, alipaka rangi takwimu inayosababisha (kila rangi inalingana na idadi fulani ya marudio). Picha hii ya picha inaitwa Mandelbrot fractal.

L. Seremala: sanaa iliyoundwa na asili

Nadharia ya fractals ilipata matumizi ya vitendo haraka. Kwa kuwa inahusiana sana na taswira ya picha zinazofanana, wa kwanza kupitisha kanuni na algorithms za kuunda fomu hizi zisizo za kawaida walikuwa wasanii. Wa kwanza kati ya hawa alikuwa mwanzilishi wa baadaye wa studio ya Pixar Lauren Carpenter. Wakati akifanya kazi ya uwasilishaji wa mifano ya ndege, alikuja na wazo la kutumia picha ya milima kama msingi. Leo, karibu kila mtumiaji wa kompyuta anaweza kukabiliana na kazi hiyo, na katika miaka ya sabini ya karne iliyopita, kompyuta hazikuweza kufanya taratibu hizo, kwa sababu hapakuwa na wahariri wa picha na maombi ya graphics tatu-dimensional wakati huo. Loren alikutana na Fractals ya Mandelbrot: Shape, Randomness, na Dimension. Ndani yake, Benois alitoa mifano mingi, akionyesha kwamba kuna fractals katika asili (fiva), alielezea aina zao mbalimbali na kuthibitisha kuwa zinaelezewa kwa urahisi na maneno ya hisabati. Mtaalamu huyo wa hisabati aliutaja ulinganifu huu kuwa ni hoja ya manufaa ya nadharia aliyokuwa akiiendeleza katika kujibu msururu wa ukosoaji kutoka kwa wenzake. Walisema kuwa fractal ni picha nzuri tu isiyo na thamani, bidhaa ya mashine za elektroniki. Seremala aliamua kujaribu njia hii kwa vitendo. Baada ya kusoma kitabu hicho kwa uangalifu, animator ya baadaye ilianza kutafuta njia ya kutekeleza jiometri ya fractal katika picha za kompyuta. Ilimchukua siku tatu tu kutoa picha halisi ya mandhari ya mlima kwenye kompyuta yake. Na leo kanuni hii inatumiwa sana. Kama ilivyotokea, kuunda fractals haichukui muda mwingi na bidii.

Uamuzi wa seremala

Kanuni iliyotumiwa na Lauren iligeuka kuwa rahisi. Inajumuisha kugawanya kubwa katika vipengele vidogo, na wale katika vidogo sawa, na kadhalika. Seremala, kwa kutumia pembetatu kubwa, aliwaponda kuwa ndogo 4, na kadhalika, hadi akapata mandhari ya kweli ya mlima. Kwa hivyo, alikua msanii wa kwanza kutumia algorithm ya fractal katika michoro ya kompyuta ili kuunda picha inayohitajika. Leo, kanuni hii hutumiwa kuiga aina mbalimbali za kweli za asili.

Taswira ya kwanza ya 3D kulingana na algoriti ya fractal

Miaka michache baadaye, Lauren alitumia kazi yake katika mradi wa kiwango kikubwa - video ya uhuishaji Vol Libre, iliyoonyeshwa kwenye Siggraph mnamo 1980. Video hii ilishtua wengi, na muundaji wake alialikwa kufanya kazi katika Lucasfilm. Hapa animator aliweza kujitambua kikamilifu, aliunda mandhari tatu-dimensional (sayari nzima) kwa filamu ya kipengele "Star Trek". Mpango wowote wa kisasa ("Fractals") au programu ya kuunda michoro ya pande tatu (Terragen, Vue, Bryce) hutumia algoriti sawa kwa kuiga muundo na nyuso.

Tom Beddard

Aliyekuwa mwanafizikia wa leza na sasa msanii na msanii wa dijitali, Beddard aliunda mfululizo wa maumbo ya kijiometri ya kuvutia ambayo aliyaita fractals ya Faberge. Kwa nje, zinafanana na mayai ya mapambo ya vito vya Kirusi, wana muundo sawa wa kipaji. Beddard alitumia mbinu ya kiolezo kuunda uwasilishaji wake wa kidijitali wa miundo hiyo. Bidhaa zinazozalishwa zinavutia katika uzuri wao. Ingawa wengi wanakataa kulinganisha bidhaa iliyotengenezwa kwa mikono na programu ya kompyuta, hata hivyo, ni lazima ikubalike kwamba fomu zinazosababisha ni nzuri isiyo ya kawaida. Jambo kuu ni kwamba mtu yeyote anaweza kuunda fractal kama hiyo kwa kutumia maktaba ya programu ya WebGL. Inakuruhusu kuchunguza miundo mbalimbali ya fractal kwa wakati halisi.

fractal katika asili

Watu wachache huzingatia, lakini takwimu hizi za kushangaza ziko kila mahali. Asili imeundwa na takwimu zinazofanana, hatuzioni. Inatosha kutazama ngozi yetu au jani la mti kupitia glasi ya kukuza, na tutaona fractals. Au kuchukua, kwa mfano, mananasi au hata mkia wa peacock - zinajumuisha takwimu zinazofanana. Na aina ya broccoli ya Romanescu kwa ujumla inashangaza kwa kuonekana kwake, kwa sababu inaweza kuitwa kweli muujiza wa asili.

Pause ya muziki

Inabadilika kuwa fractals sio maumbo ya kijiometri tu, yanaweza pia kuwa sauti. Kwa hivyo, mwanamuziki Jonathan Colton anaandika muziki kwa kutumia algorithms ya fractal. Anadai kuendana na maelewano ya asili. Mtunzi huchapisha kazi zake zote chini ya leseni ya CreativeCommons Attribution-Noncommercial, ambayo hutoa usambazaji wa bure, kunakili, uhamisho wa kazi na watu wengine.

Kiashiria cha Fractal

Mbinu hii imepata matumizi yasiyotarajiwa sana. Kwa msingi wake, chombo cha kuchambua soko la soko la hisa kiliundwa, na, kwa sababu hiyo, kilianza kutumika katika soko la Forex. Sasa kiashiria cha fractal kinapatikana kwenye majukwaa yote ya biashara na hutumiwa katika mbinu ya biashara inayoitwa kuzuka kwa bei. Bill Williams aliendeleza mbinu hii. Kama mwandishi anavyotoa maoni juu ya uvumbuzi wake, algorithm hii ni mchanganyiko wa "mishumaa" kadhaa, ambayo ya kati inaonyesha kiwango cha juu au, kinyume chake, kiwango cha chini kabisa.

Hatimaye

Kwa hivyo tumezingatia fractal ni nini. Inatokea kwamba katika machafuko ambayo yanatuzunguka, kwa kweli, kuna fomu bora. Asili ndiye mbunifu bora, mjenzi bora na mhandisi. Imepangwa kwa mantiki sana, na ikiwa hatuwezi kupata muundo, hii haimaanishi kuwa haipo. Labda unahitaji kuangalia kiwango tofauti. Tunaweza kusema kwa ujasiri kwamba fractals bado huhifadhi siri nyingi ambazo bado hatujagundua.

Taasisi ya elimu ya bajeti ya manispaa

"Shule ya sekondari ya Siverskaya No. 3"

Utafiti

hisabati.

Alifanya kazi

Mwanafunzi wa darasa la 8

Emelin Pavel

msimamizi

mwalimu wa hisabati

Tupitsyna Natalya Alekseevna

uk.Siversky

mwaka 2014

Hisabati yote imejaa uzuri na maelewano,

Unahitaji tu kuona uzuri huu.

B. Mandelbrot

Utangulizi

Sura ya 1. Historia ya kuibuka kwa fractals _______ 5-6 uk.

Sura ya 2. Uainishaji wa fractal.______________________________6-10pp.

fractal za kijiometri

Vipande vya algebraic

Vipande vya Stochastic

Sura ya 3. "Jiometri ya Fractal ya asili" ______ 11-13pp.

Sura ya 4. Utumiaji wa fractals _______________13-15pp.

Sura ya 5 Kazi ya vitendo ______________________________ 16-24pp.

Hitimisho________________________________________________25.ukurasa

Orodha ya fasihi na rasilimali za mtandao _______ 26 p.

Utangulizi

Hisabati,

ukiiangalia sawa,

haiakisi ukweli tu,

lakini pia uzuri usio na kifani.

Bertrand Russell

Neno "fractal" ni jambo ambalo watu wengi wanazungumza siku hizi, kutoka kwa wanasayansi hadi wanafunzi wa shule za upili. Inaonekana kwenye jalada la vitabu vingi vya kiada vya hesabu, majarida ya kisayansi, na masanduku ya programu za kompyuta. Picha za rangi za fractals leo zinaweza kupatikana kila mahali: kutoka kwa kadi za posta, T-shirt hadi picha kwenye desktop ya kompyuta binafsi. Kwa hiyo, ni maumbo gani haya ya rangi ambayo tunaona kote?

Hisabati ni sayansi kongwe zaidi. Watu wengi walidhani kwamba jiometri katika asili ni mdogo kwa vile takwimu rahisi kama mstari, duara, poligoni, tufe, n.k. Kama ilivyotokea, mifumo mingi ya asili ni ngumu sana kwamba kutumia tu vitu vinavyojulikana vya jiometri ya kawaida kuiga huonekana kutokuwa na tumaini. Jinsi gani, kwa mfano, kujenga mfano wa safu ya mlima au taji ya mti kwa suala la jiometri? Jinsi ya kuelezea anuwai ya anuwai ya kibaolojia ambayo tunaona katika ulimwengu wa mimea na wanyama? Jinsi ya kufikiria ugumu wote wa mfumo wa mzunguko, unaojumuisha capillaries nyingi na vyombo na kutoa damu kwa kila seli ya mwili wa binadamu? Hebu fikiria muundo wa mapafu na figo, unaofanana na miti yenye taji ya matawi katika muundo?

Fractals ni njia inayofaa ya kuchunguza maswali yaliyoulizwa. Mara nyingi kile tunachokiona katika asili hutuvutia kwa kurudia kutokuwa na mwisho kwa muundo huo, kupanuliwa au kupunguzwa kwa mara kadhaa. Kwa mfano, mti una matawi. Matawi haya yana matawi madogo, na kadhalika. Kinadharia, kipengele cha "uma" hurudia mara nyingi sana, kupata ndogo na ndogo. Kitu kimoja kinaweza kuonekana wakati wa kuangalia picha ya eneo la milimani. Jaribu kuvuta kidogo kwenye safu ya milima --- utaona milima tena. Hivi ndivyo mali ya tabia ya kufanana ya fractals inajidhihirisha.

Utafiti wa fractals hufungua uwezekano wa ajabu, wote katika utafiti wa idadi isiyo na kipimo ya maombi, na katika uwanja wa hisabati. Matumizi ya fractals ni pana sana! Baada ya yote, vitu hivi ni nzuri sana kwamba hutumiwa na wabunifu, wasanii, kwa msaada wao vipengele vingi vya miti, mawingu, milima, nk vinatolewa kwenye graphics. Lakini fractals hutumiwa hata kama antena katika simu nyingi za rununu.

Kwa wanasayansi wengi (wanasayansi wanaosoma fractals na machafuko), hii sio tu uwanja mpya wa maarifa unaochanganya hisabati, fizikia ya kinadharia, sanaa na teknolojia ya kompyuta - hii ni mapinduzi. Huu ni ugunduzi wa aina mpya ya jiometri, jiometri inayoelezea ulimwengu unaozunguka na ambayo inaweza kuonekana si tu katika vitabu vya maandishi, bali pia katika asili na kila mahali katika ulimwengu usio na mipaka..

Katika kazi yangu, niliamua pia "kugusa" ulimwengu wa urembo na niliamua mwenyewe ...

Lengo: kuunda vitu vinavyofanana sana na asili.

Mbinu za utafiti Maneno muhimu: uchambuzi linganishi, usanisi, modeli.

Kazi:

kufahamiana na dhana, historia ya tukio na utafiti wa B. Mandelbrot,

G. Koch, V. Sierpinsky na wengine;

ujuzi na aina mbalimbali za seti za fractal;

utafiti wa fasihi maarufu ya sayansi juu ya suala hili, kufahamiana na

hypotheses za kisayansi;

kupata uthibitisho wa nadharia ya fractality ya ulimwengu unaozunguka;

utafiti wa matumizi ya fractals katika sayansi nyingine na katika mazoezi;

kufanya jaribio la kuunda picha zako za fractal.

Swali kuu la kazi:

Onyesha kuwa hisabati sio somo kavu, lisilo na roho, linaweza kuelezea ulimwengu wa kiroho wa mtu mmoja mmoja na katika jamii kwa ujumla.

Somo la masomo: Jiometri ya Fractal.

Kitu cha kujifunza: fractals katika hisabati na katika ulimwengu wa kweli.

Nadharia: Kila kitu kilichopo katika ulimwengu wa kweli ni fractal.

Mbinu za utafiti: uchambuzi, tafuta.

Umuhimu ya mada iliyotangazwa imedhamiriwa, kwanza kabisa, na somo la utafiti, ambalo ni jiometri ya fractal.

Matokeo yanayotarajiwa: Katika kipindi cha kazi, nitaweza kupanua ujuzi wangu katika uwanja wa hisabati, kuona uzuri wa jiometri ya fractal, na kuanza kufanya kazi katika kuunda fractals yangu mwenyewe.

Matokeo ya kazi itakuwa kuundwa kwa uwasilishaji wa kompyuta, bulletin na kijitabu.

Sura ya 1

B Enua Mandelbrot

Neno "fractal" lilianzishwa na Benoit Mandelbrot. Neno linatokana na Kilatini "fractus", maana yake "iliyovunjika, iliyovunjika".

Fractal (lat. fractus - iliyovunjika, iliyovunjika, iliyovunjika) - neno linalomaanisha takwimu ya kijiometri tata na mali ya kufanana kwa kibinafsi, yaani, inajumuisha sehemu kadhaa, ambayo kila mmoja ni sawa na takwimu nzima kwa ujumla.

Vitu vya hisabati ambavyo inarejelea vina sifa ya mali ya kuvutia sana. Katika jiometri ya kawaida, mstari una mwelekeo mmoja, uso una vipimo viwili, na takwimu ya anga ni tatu-dimensional. Fractals, kwa upande mwingine, sio mistari au nyuso, lakini, ikiwa unaweza kufikiria, kitu katikati. Kwa kuongezeka kwa ukubwa, kiasi cha fractal pia huongezeka, lakini mwelekeo wake (kielelezo) sio nambari, lakini thamani ya sehemu, na kwa hiyo mpaka wa takwimu ya fractal sio mstari: kwa ukuzaji wa juu, inakuwa wazi. kwamba ni blurred na lina spirals na curls, kurudia katika wadogo wadogo wa takwimu yenyewe. Ukawaida huo wa kijiometri huitwa kutofautiana kwa kiwango au kujifananisha. Ni yeye ambaye huamua mwelekeo wa sehemu ya takwimu za fractal.

Kabla ya ujio wa jiometri ya fractal, sayansi ilishughulikia mifumo iliyomo katika vipimo vitatu vya anga. Shukrani kwa Einstein, ikawa wazi kuwa nafasi ya tatu-dimensional ni mfano tu wa ukweli, na sio ukweli yenyewe. Kwa kweli, dunia yetu iko katika mwendelezo wa muda wa nafasi ya nne-dimensional.
Shukrani kwa Mandelbrot, ikawa wazi jinsi nafasi ya nne-dimensional inavyoonekana, kwa kusema kwa mfano, uso wa machafuko. Benoit Mandelbrot aligundua kuwa mwelekeo wa nne haujumuishi tu vipimo vitatu vya kwanza, lakini pia (hii ni muhimu sana!) Vipindi kati yao.

Jiometri ya kujirudia (au fractal) inachukua nafasi ya Euclidean. Sayansi mpya ina uwezo wa kuelezea hali halisi ya miili na matukio. Jiometri ya Euclidean ilishughulika tu na vitu vya bandia, vya kufikiria vilivyo na vipimo vitatu. Ni mwelekeo wa nne tu ndio unaweza kuwageuza kuwa ukweli.

kioevu, gesi, imara- hali tatu za kawaida za kimwili za jambo ambalo lipo katika ulimwengu wa tatu-dimensional. Lakini ni kipimo gani cha mvuke wa moshi, mawingu, au tuseme, mipaka yao, inayoendelea kufifia na harakati za hewa zenye msukosuko?

Kimsingi, fractal imegawanywa katika vikundi vitatu:

Vipande vya algebraic

Vipande vya Stochastic

fractal za kijiometri

Hebu tuangalie kwa karibu kila mmoja wao.

Sura ya 2. Uainishaji wa fractals

fractal za kijiometri

Benoit Mandelbrot alipendekeza mfano wa fractal, ambao tayari umekuwa wa kawaida na mara nyingi hutumiwa kuonyesha mfano wa kawaida wa fractal yenyewe na kuonyesha uzuri wa fractals, ambayo pia huvutia watafiti, wasanii, na watu ambao wanapendezwa tu.

Ilikuwa pamoja nao kwamba historia ya fractals ilianza. Aina hii ya fractals inapatikana kwa ujenzi rahisi wa kijiometri. Kawaida, wakati wa kujenga fractals hizi, mtu huendelea kama ifuatavyo: "mbegu" inachukuliwa - axiom - seti ya makundi, kwa misingi ambayo fractal itajengwa. Zaidi ya hayo, seti ya sheria hutumiwa kwa "mbegu" hii, ambayo inaibadilisha kuwa takwimu fulani ya kijiometri. Zaidi ya hayo, seti sawa ya sheria inatumika tena kwa kila sehemu ya takwimu hii. Kwa kila hatua, takwimu itakuwa ngumu zaidi na zaidi, na ikiwa tutafanya (angalau katika akili) idadi isiyo na kipimo ya mabadiliko, tutapata fractal ya kijiometri.

Fractals za darasa hili ndizo zinazoonekana zaidi, kwa sababu zinaonekana mara moja zinafanana katika kiwango chochote cha uchunguzi. Katika kesi mbili-dimensional, fractals vile inaweza kupatikana kwa kubainisha baadhi ya mstari kuvunjwa, inayoitwa jenereta. Katika hatua moja ya algorithm, kila moja ya sehemu zinazounda mstari uliovunjika hubadilishwa na jenereta ya mstari iliyovunjika, kwa kiwango kinachofaa. Kama matokeo ya marudio yasiyo na mwisho ya utaratibu huu (au, kwa usahihi, wakati wa kupita hadi kikomo), curve ya fractal hupatikana. Kwa utata unaoonekana wa curve inayosababisha, fomu yake ya jumla inatolewa tu na sura ya jenereta. Mifano ya curves vile ni: Koch curve (Mtini.7), Peano curve (Mchoro.8), Minkowski curve.

Mwanzoni mwa karne ya 20, wanahisabati walikuwa wakitafuta mikunjo ambayo haikuwa na tanjiti wakati wowote. Hii ilimaanisha kwamba curve ghafla ilibadilisha mwelekeo wake, na, zaidi ya hayo, na kubwa sana kasi kubwa(derivative ni sawa na infinity). Utafutaji wa curves hizi haukusababishwa tu na hamu ya kufanya kazi ya wanahisabati. Ukweli ni kwamba mwanzoni mwa karne ya 20, mechanics ya quantum ilikua haraka sana. Mtafiti M. Brown alichora mchoro wa chembe zilizosimamishwa katika maji na akaeleza jambo hili kama ifuatavyo: atomi za kioevu zinazosonga bila mpangilio hugonga chembe zilizosimamishwa na hivyo kuziweka katika mwendo. Baada ya maelezo kama haya ya mwendo wa Brownian, wanasayansi walikuwa wanakabiliwa na kazi ya kutafuta curve ambayo ingeweza. njia bora ilionyesha mwendo wa chembe za Brownian. Ili kufanya hivyo, curve ilibidi kukutana na mali zifuatazo: usiwe na tangent wakati wowote. Mtaalamu wa hisabati Koch alipendekeza curve moja kama hiyo.

Kwa Curve ya Koch ni fractal ya kijiometri ya kawaida. Mchakato wa ujenzi wake ni kama ifuatavyo: tunachukua sehemu moja, tugawanye katika sehemu tatu sawa na kuchukua nafasi ya muda wa kati na pembetatu ya equilateral bila sehemu hii. Matokeo yake, mstari uliovunjika hutengenezwa, unaojumuisha viungo vinne vya urefu wa 1/3. Katika hatua inayofuata, tunarudia operesheni kwa kila moja ya viungo vinne vinavyosababisha, na kadhalika ...

Mzunguko wa kikomo ni Koch curve.

Snowflake Koch. Kwa kufanya mabadiliko sawa kwenye pande za pembetatu ya usawa, unaweza kupata picha ya fractal ya theluji ya Koch.

T
Mwakilishi mwingine rahisi wa fractal ya kijiometri ni Mraba wa Sierra. Imejengwa kwa urahisi kabisa: Mraba umegawanywa na mistari iliyonyooka sambamba na pande zake katika miraba 9 sawa. Mraba wa kati huondolewa kwenye mraba. Inageuka seti inayojumuisha mraba 8 iliyobaki ya "cheo cha kwanza". Kufanya vivyo hivyo na kila mraba wa safu ya kwanza, tunapata seti inayojumuisha mraba 64 wa safu ya pili. Kuendeleza mchakato huu kwa muda usiojulikana, tunapata mlolongo usio na mwisho au mraba wa Sierpinski.

Vipande vya algebraic

Hili ndilo kundi kubwa zaidi la fractals. Fractals za aljebra zilipata jina lao kwa sababu zimeundwa kwa kutumia fomula rahisi za aljebra.

Zinapatikana kwa kutumia michakato isiyo ya mstari ndani n- nafasi za dimensional. Inajulikana kuwa mifumo ya nguvu isiyo ya mstari ina majimbo kadhaa thabiti. Hali ambayo mfumo wa nguvu hujikuta baada ya idadi fulani ya kurudia inategemea hali yake ya awali. Kwa hivyo, kila hali thabiti (au, kama wanasema, kivutio) ina eneo fulani la majimbo ya awali, ambayo mfumo utaanguka katika majimbo ya mwisho. Kwa hivyo, nafasi ya awamu ya mfumo imegawanywa maeneo ya kivutio vivutio. Ikiwa nafasi ya awamu ni mbili-dimensional, basi kwa kuchorea mikoa ya kivutio na rangi tofauti, mtu anaweza kupata picha ya awamu ya rangi mfumo huu (mchakato wa kurudia). Kwa kubadilisha algorithm ya uteuzi wa rangi, unaweza kupata mifumo ngumu ya fractal na mifumo ya dhana ya rangi nyingi. Jambo la kushangaza kwa wanahisabati lilikuwa uwezo wa kutoa miundo changamano kwa kutumia algoriti za awali.

Kwa mfano, fikiria seti ya Mandelbrot. Imejengwa kwa kutumia nambari changamano.

Sehemu ya mpaka wa seti ya Mandelbrot, iliyokuzwa mara 200.

Seti ya Mandelbrot ina pointi ambazo wakatiisiyo na mwisho idadi ya marudio haiendi kwa infinity (pointi ambazo ni nyeusi). Pointi za mpaka wa seti(hapa ndipo miundo changamano hutokea) kwenda kwa infinity katika idadi ya marudio, na pointi zilizo nje ya seti huenda kwa infinity baada ya marudio kadhaa (mandhari nyeupe).

P



Mfano wa fractal nyingine ya algebraic ni seti ya Julia. Kuna aina 2 za fractal hii. Kwa kushangaza, seti za Julia zinaundwa kulingana na fomula sawa na seti ya Mandelbrot. Seti ya Julia iligunduliwa na mwanahisabati wa Ufaransa Gaston Julia, ambaye seti hiyo ilipewa jina.

Na
ukweli wa kuvutia, baadhi ya vipande vya algebraic vinafanana sana na picha za wanyama, mimea na vitu vingine vya kibiolojia, kwa sababu hiyo huitwa biomorphs.

Vipande vya Stochastic

Darasa lingine linalojulikana la fractals ni fractals za stochastic, ambazo hupatikana ikiwa vigezo vyake vyovyote vinabadilishwa kwa nasibu katika mchakato wa kurudia. Hii inasababisha vitu vinavyofanana sana na vya asili - miti isiyo ya kawaida, ukanda wa pwani ulioingizwa, nk.

Mwakilishi wa kawaida wa kundi hili la fractals ni "plasma".

D
Ili kuijenga, mstatili unachukuliwa na rangi imedhamiriwa kwa kila pembe zake. Kisha, sehemu ya kati ya mstatili hupatikana na kupakwa rangi kwa rangi sawa na maana ya hesabu ya rangi kwenye pembe za mstatili pamoja na nambari fulani isiyo ya kawaida. Nambari kubwa ya nasibu, picha itakuwa "iliyochanwa" zaidi. Ikiwa tunadhania kuwa rangi ya uhakika ni urefu juu ya usawa wa bahari, tutapata safu ya mlima badala ya plasma. Ni kwa kanuni hii kwamba milima inaonyeshwa katika programu nyingi. Kwa kutumia algorithm inayofanana na plasma, ramani ya urefu hujengwa, vichungi mbalimbali vinatumika kwake, muundo unatumika, na milima ya picha iko tayari.

E
Ikiwa tunatazama fractal hii katika sehemu, basi tutaona fractal hii ni voluminous, na ina "ukali", kwa sababu tu ya "ukali" huu kuna maombi muhimu sana ya fractal hii.

Wacha tuseme unataka kuelezea umbo la mlima. Takwimu za kawaida kutoka kwa jiometri ya Euclidean hazitasaidia hapa, kwa sababu hazizingatii topografia ya uso. Lakini wakati wa kuchanganya jiometri ya kawaida na jiometri ya fractal, unaweza kupata "ukali" sana wa mlima. Plasma lazima itumike kwa koni ya kawaida na tutapata utulivu wa mlima. Shughuli kama hizo zinaweza kufanywa na vitu vingine vingi vya asili, kwa shukrani kwa fractals za stochastic, asili yenyewe inaweza kuelezewa.

Sasa hebu tuzungumze kuhusu fractals za kijiometri.

.

Sura ya 3 "Jiometri ya Fractal ya Asili"

Kwa nini jiometri mara nyingi hujulikana kama "baridi" na "kavu" Sababu moja ni kutokuwa na uwezo wa kuelezea umbo la wingu, mlima, ukanda wa pwani au mti. gome sio laini; lakini ugumu wa kiwango tofauti kabisa. Idadi ya mizani ya urefu tofauti wa vitu vya asili kwa madhumuni yote ya vitendo haina kikomo.

(Benoit Mandelbrot "Jiometri ya Fractal ya Asili" ).

Kwa Uzuri wa fractals ni mara mbili: inapendeza jicho, kama inavyothibitishwa na angalau maonyesho ya dunia nzima ya picha za fractal, iliyoandaliwa na kikundi cha wanahisabati wa Bremen chini ya uongozi wa Peitgen na Richter. Baadaye, maonyesho ya maonyesho haya makubwa yalinaswa katika vielelezo vya kitabu "Uzuri wa Fractals" na waandishi hao hao. Lakini kuna kipengele kingine, kisichoeleweka zaidi au cha juu zaidi, cha uzuri wa fractals, wazi, kulingana na R. Feynman, tu kwa mtazamo wa kiakili wa mwananadharia, kwa maana hii, fractals ni nzuri na uzuri wa shida ngumu ya hisabati. Benoit Mandelbrot alionyesha kwa watu wa wakati wake (na, labda, kwa wazao wake) pengo la bahati mbaya katika Vipengele vya Euclid, kulingana na ambayo, bila kutambua upungufu huo, kwa karibu milenia mbili wanadamu walielewa jiometri ya ulimwengu unaozunguka na kujifunza ukali wa hisabati. uwasilishaji. Kwa kweli, nyanja zote mbili za uzuri wa fractals zimeunganishwa kwa karibu na hazizuii, lakini zinakamilishana, ingawa kila moja inajitosheleza.

Jiometri fractal ya asili, kulingana na Mandelbrot, ni jiometri halisi ambayo inakidhi ufafanuzi wa jiometri iliyopendekezwa katika "Programu ya Erlangen" ya F. Klein. Ukweli ni kwamba kabla ya ujio wa jiometri isiyo ya Euclidean, N.I. Lobachevsky - L. Bolyai, kulikuwa na jiometri moja tu - moja ambayo iliwekwa katika "Mwanzo", na swali la jiometri ni nini na ni ipi ya jiometri ni jiometri ya ulimwengu wa kweli haikutokea, na haikuweza. kutokea. Lakini pamoja na ujio wa jiometri nyingine, swali liliibuka la jiometri ni nini kwa ujumla, na ni ipi kati ya jiometri nyingi inayolingana na ulimwengu wa kweli. Kulingana na F. Klein, jiometri huchunguza sifa kama hizo za vitu ambavyo havibadiliki chini ya mabadiliko: Euclidean - invariants ya kundi la mienendo (mabadiliko ambayo hayabadilishi umbali kati ya nukta zozote mbili, i.e. kuwakilisha nafasi kuu ya tafsiri sambamba na mizunguko na au bila mabadiliko katika mwelekeo) , Lobachevsky-Bolyai jiometri - invariants ya kundi Lorentz. Jiometri ya Fractal inahusika na utafiti wa kutofautiana kwa kundi la mabadiliko ya kujitegemea, i.e. mali iliyoonyeshwa na sheria za nguvu.

Kuhusu mawasiliano na ulimwengu wa kweli, jiometri ya fractal inaelezea darasa pana sana la michakato ya asili na matukio, na kwa hiyo tunaweza, kufuatia B. Mandelbrot, kuzungumza juu ya jiometri ya asili ya fractal. Mpya - vitu vya fractal vina mali isiyo ya kawaida. Urefu, maeneo na kiasi cha baadhi ya fractals ni sawa na sifuri, wengine hugeuka kwa infinity.

Asili mara nyingi huunda fractals za kushangaza na nzuri, na jiometri kamili na maelewano ambayo unafungia tu kwa kupendeza. Na hapa kuna mifano yao:

maganda ya bahari

Umeme wakishangaa uzuri wao. Fractals zinazoundwa na umeme sio za nasibu au za kawaida.

sura ya fractal aina ndogo ya cauliflower(Brassica cauliflora). Aina hii maalum ni fractal hasa linganifu.

P feri pia ni mfano mzuri wa fractal kati ya flora.

Tausi kila mtu anajulikana kwa manyoya yao ya rangi, ambayo fractals imara hufichwa.

Barafu, mifumo ya baridi kwenye madirisha, hizi pia ni fractals

O
t picha iliyopanuliwa kipeperushi, kabla matawi ya miti- unaweza kupata fractals katika kila kitu

Fractals ni kila mahali na kila mahali katika asili karibu nasi. Ulimwengu mzima umejengwa kulingana na sheria zenye upatano wa kushangaza na usahihi wa kihesabu. Je, inawezekana baada ya hapo kufikiri kwamba sayari yetu ni mshikamano wa nasibu wa chembe? Vigumu.

Sura ya 4

Fractals wanapata matumizi zaidi na zaidi katika sayansi. Sababu kuu ya hii ni kwamba wanaelezea ulimwengu halisi wakati mwingine bora zaidi kuliko fizikia ya jadi au hisabati. Hapa kuna baadhi ya mifano:

O
siku za matumizi yenye nguvu zaidi ya fractals ziko michoro za kompyuta. Huu ni mgandamizo wa fractal wa picha. Fizikia ya kisasa na mechanics ni mwanzo tu kujifunza tabia ya vitu fractal.

Faida za algoriti za ukandamizaji wa picha ni saizi ndogo sana ya faili iliyopakiwa na muda mfupi wa kurejesha picha. Picha zilizojaa vipande vipande zinaweza kupunguzwa bila kuonekana kwa pixelization (ubora duni wa picha - mraba mkubwa). Lakini mchakato wa kukandamiza huchukua muda mrefu na wakati mwingine hudumu kwa masaa. Algorithm ya kufunga fractal iliyopotea inakuwezesha kuweka kiwango cha ukandamizaji, sawa na muundo wa jpeg. Algorithm inategemea utafutaji wa vipande vikubwa vya picha sawa na vipande vidogo. Na ni kipande gani tu kinachofanana na ambacho kimeandikwa kwa faili ya pato. Wakati wa kukandamiza, gridi ya mraba kawaida hutumiwa (vipande ni mraba), ambayo husababisha angularity kidogo wakati wa kurejesha picha, gridi ya hexagonal ni bure kutokana na hasara hiyo.

Iterated imeunda muundo mpya wa picha, "Sting", ambayo inachanganya fractal na "wimbi" (kama vile jpeg) mbano isiyo na hasara. Fomati mpya hukuruhusu kuunda picha na uwezekano wa kuongeza ubora wa hali ya juu, na kiasi cha faili za picha ni 15-20% ya kiasi cha picha ambazo hazijashinikizwa.

Katika mechanics na fizikia fractals hutumiwa kwa sababu ya mali ya kipekee kurudia muhtasari wa vitu vingi vya asili. Fractals hukuruhusu kukadiria miti, nyuso za milima, na mipasuko kwa usahihi wa hali ya juu kuliko makadirio ya sehemu za mstari au poligoni (zenye kiasi sawa cha data iliyohifadhiwa). Mifano ya Fractal, kama vitu vya asili, ina "ukali", na mali hii imehifadhiwa kwa ongezeko kubwa la kiholela la mfano. Uwepo wa kipimo cha sare kwenye fractals hufanya iwezekanavyo kutumia ujumuishaji, nadharia inayowezekana, kuzitumia badala ya vitu vya kawaida katika milinganyo iliyosomwa tayari.

T
Jiometri ya Fractal pia hutumiwa muundo wa vifaa vya antenna. Hii ilitumiwa kwanza na mhandisi wa Marekani Nathan Cohen, ambaye kisha aliishi katikati ya Boston, ambapo ufungaji wa antenna za nje kwenye majengo ulipigwa marufuku. Cohen alikata umbo la curve la Koch kutoka kwenye karatasi ya alumini na kisha akaibandika kwenye kipande cha karatasi kabla ya kuiambatanisha na kipokezi. Ilibadilika kuwa antenna hiyo haifanyi kazi mbaya zaidi kuliko ya kawaida. Na ingawa kanuni za kimwili za antenna kama hiyo hazijasomwa hadi sasa, hii haikumzuia Cohen kuanzisha kampuni yake mwenyewe na kuanzisha uzalishaji wao wa serial. Kwa sasa, kampuni ya Marekani "Fractal Antenna System" imeunda aina mpya ya antenna. Sasa unaweza kuacha kutumia simu za mkononi antena za nje zinazojitokeza. Antenna inayoitwa fractal iko moja kwa moja kwenye ubao kuu ndani ya kifaa.

Pia kuna dhana nyingi kuhusu matumizi ya fractals - kwa mfano, mifumo ya lymphatic na mzunguko wa damu, mapafu, na mengi zaidi pia yana mali ya fractal.

Sura ya 5. Kazi ya vitendo.

Kwanza, hebu tutazingatia fractals "Mkufu", "Ushindi" na "Mraba".

Kwanza - "Mkufu"(Mchoro 7). Mduara ndiye mwanzilishi wa fractal hii. Mduara huu una idadi fulani ya miduara sawa, lakini ya ukubwa mdogo, na yenyewe ni moja ya miduara kadhaa ambayo ni sawa, lakini ya ukubwa mkubwa. Kwa hivyo mchakato wa elimu hauna mwisho na unaweza kufanywa kwa mwelekeo mmoja na kwa upande mwingine. Wale. takwimu inaweza kupanuliwa kwa kuchukua arc moja tu ndogo, au inaweza kupunguzwa kwa kuzingatia ujenzi wake kutoka kwa ndogo.

mchele. 7.

Fractal "Mkufu"

Fractal ya pili ni "Ushindi"(Mchoro 8). Alipata jina hili kwa sababu linafanana na herufi ya Kilatini "V", ambayo ni "ushindi" - ushindi. Fractal hii ina idadi fulani ya "v" ndogo, ambayo hufanya "V" moja kubwa, na katika nusu ya kushoto, ambayo ndogo huwekwa ili nusu zao za kushoto zitengeneze mstari mmoja wa moja kwa moja, sehemu ya kulia iko. kujengwa kwa njia sawa. Kila moja ya hizi "v" imejengwa kwa njia ile ile na inaendelea hii kwa infinity.

Mtini.8. Fractal "Ushindi"

Fractal ya tatu ni "Mraba" (Mchoro 9). Kila moja ya pande zake ina safu moja ya seli, zenye umbo la mraba, ambazo pande zake pia zinawakilisha safu za seli, na kadhalika.

Kielelezo 9. Fractal "Mraba"

Fractal iliitwa "Rose" (Mchoro 10), kutokana na kufanana kwake kwa nje na maua haya. Ujenzi wa fractal unahusishwa na ujenzi wa mfululizo wa miduara ya kuzingatia, radius ambayo inabadilika kwa uwiano wa uwiano uliopewa (katika kesi hii, R m / R b = ¾ = 0.75.). Baada ya hayo, hexagon ya kawaida imeandikwa katika kila mduara, upande ambao ni sawa na radius ya mzunguko ulioelezwa karibu nayo.

Mchele. 11. Fractal "Rose *"

Ifuatayo, tunageuka kwenye pentagon ya kawaida, ambayo tunachora diagonals zake. Kisha, katika pentagon iliyopatikana kwenye makutano ya makundi yanayofanana, tunachora tena diagonal. Hebu tuendelee mchakato huu kwa infinity na kupata "Pentagram" fractal (Mchoro 12).

Hebu tuanzishe kipengele cha ubunifu na fractal yetu itachukua fomu ya kitu cha kuona zaidi (Mchoro 13).

R
ni. 12. Fractal "Pentagram".

Mchele. 13. Fractal "Pentagram *"

Mchele. 14 fractal "Shimo nyeusi"

Jaribio la 1 "Mti"

Sasa kwa kuwa ninaelewa fractal ni nini na jinsi ya kuunda moja, nilijaribu kuunda picha zangu za fractal. Katika Adobe Photoshop, niliunda subroutine ndogo au action , upekee wa hatua hii ni kwamba inarudia vitendo ambavyo mimi hufanya, na hivi ndivyo ninavyopata fractal.

Kuanza, niliunda historia ya fractal yetu ya baadaye na azimio la 600 kwa 600. Kisha nikachora mistari 3 kwenye historia hii - msingi wa fractal yetu ya baadaye.

KUTOKA Hatua inayofuata ni kuandika script.

safu mbili ( safu > nakala) na ubadilishe aina ya mchanganyiko kuwa " Skrini" .

Hebu muite" fr1". Rudufu safu hii (" fr1") Mara 2 zaidi.

Sasa tunahitaji kubadili kwenye safu ya mwisho (fr3) na uiunganishe mara mbili na ile ya awali ( ctrl+e) Punguza mwangaza wa safu ( Picha > Marekebisho > Mwangaza/Utofautishaji , kuweka mwangaza 50% ) Tena, kuunganisha na safu ya awali na kukata kando ya kuchora nzima ili kuondoa sehemu zisizoonekana.

Hatua ya mwisho Nilinakili picha hii na kuibandika kwa kupunguza ukubwa na kuzungushwa. Hapa kuna matokeo ya mwisho.

Hitimisho

Kazi hii ni utangulizi wa ulimwengu wa fractals. Tumezingatia sehemu ndogo tu ya fractals ni nini, kwa msingi wa kanuni gani zimejengwa.

Picha za Fractal sio tu seti ya picha zinazojirudia, ni mfano wa muundo na kanuni ya kiumbe chochote. Maisha yetu yote yanawakilishwa na fractals. Asili yote inayotuzunguka ina wao. Ikumbukwe kwamba fractals hutumiwa sana katika michezo ya kompyuta, ambapo ardhi mara nyingi ni picha za fractal kulingana na mifano ya tatu-dimensional ya seti tata. Fractals kuwezesha sana kuchora kwa picha za kompyuta; kwa msaada wa fractals, athari nyingi maalum, picha nyingi za ajabu na za kushangaza, nk huundwa. Pia, kwa msaada wa jiometri ya fractal, miti, mawingu, pwani na asili nyingine zote hutolewa. Picha za Fractal zinahitajika kila mahali, na maendeleo ya "teknolojia ya fractal" ni moja ya kazi muhimu zaidi leo.

Katika siku zijazo, ninapanga kujifunza jinsi ya kuunda fracti za aljebra ninaposoma nambari changamano kwa undani zaidi. Ninataka pia kujaribu kujenga picha yangu ya kidunia katika lugha ya programu ya Pascal kwa kutumia mizunguko.

Ikumbukwe matumizi ya fractals katika teknolojia ya kompyuta, pamoja na kujenga tu picha nzuri kwenye skrini ya kompyuta. Fractals katika teknolojia ya kompyuta hutumiwa katika maeneo yafuatayo:

1. Finyaza picha na habari

2. Kuficha habari kwenye picha, kwa sauti, ...

3. Usimbaji wa data kwa kutumia algoriti za fractal

4. Kuunda muziki wa fractal

5. Mfano wa mfumo

Katika kazi yetu, sio maeneo yote ya ujuzi wa kibinadamu hutolewa, ambapo nadharia ya fractals imepata matumizi yake. Tunataka tu kusema kwamba hakuna zaidi ya theluthi moja ya karne imepita tangu kuibuka kwa nadharia, lakini wakati huu fractals kwa watafiti wengi wamekuwa mwanga mkali wa ghafla usiku, ambayo iliangazia ukweli na mifumo isiyojulikana hadi sasa. maeneo ya data. Kwa kutumia nadharia ya fractals, walianza kueleza mageuzi ya galaksi na maendeleo ya seli, kuibuka kwa milima na malezi ya mawingu, harakati za bei kwenye soko la hisa na maendeleo ya jamii na familia. Labda, mwanzoni, shauku hii ya fractals ilikuwa ya dhoruba sana na majaribio ya kuelezea kila kitu kwa kutumia nadharia ya fractals hayakuwa ya haki. Lakini, bila shaka, nadharia hii ina haki ya kuwepo, na tunajuta kwamba katika siku za hivi karibuni kwa namna fulani alisahau na kubaki kuwa kura ya wateule. Katika kuandaa kazi hii, ilipendeza sana kwetu kupata matumizi ya NADHARIA katika UTENDAJI. Kwa sababu mara nyingi sana kuna hisia kwamba ujuzi wa kinadharia unasimama mbali na ukweli wa maisha.

Kwa hivyo, dhana ya fractals inakuwa si tu sehemu ya sayansi "safi", lakini pia kipengele cha utamaduni wa binadamu. Sayansi ya Fractal bado ni changa sana na ina mustakabali mzuri mbele yake. Uzuri wa fractals ni mbali na kuchoka na bado utatupatia kazi bora zaidi - zile zinazofurahisha jicho, na zile zinazoleta raha ya kweli kwa akili.

10. Marejeo

Bozhokin S.V., Parshin D.A. Fractals na multifractals. RHD 2001 .

Vitolin D. Matumizi ya fractals katika graphics za kompyuta. // Computerworld-Russia.-1995

Mandelbrot B. Self-affine fractal sets, "Fractals in Physics". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Jiometri ya Fractal ya asili. - M.: "Taasisi ya Utafiti wa Kompyuta", 2002.

Morozov A.D. Utangulizi wa nadharia ya fractals. Nizhny Novgorod: Nyumba ya Uchapishaji ya Nizhegorod. chuo kikuu 1999

Paytgen H.-O., Richter P. H. Uzuri wa fractals. - M.: "Mir", 1993.

Rasilimali za mtandao

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html

Ugunduzi wa busara zaidi katika sayansi unaweza kubadilisha maisha ya mwanadamu. Chanjo iliyozuliwa inaweza kuokoa mamilioni ya watu, uundaji wa silaha, kinyume chake, huchukua maisha haya. Hivi karibuni zaidi (kwa kiwango cha mageuzi ya binadamu) tumejifunza "tame" umeme - na sasa hatuwezi kufikiria maisha bila vifaa hivi vyote vinavyotumia umeme. Lakini pia kuna uvumbuzi ambao watu wachache huzingatia umuhimu, ingawa pia huathiri sana maisha yetu.

Moja ya uvumbuzi huu "usioonekana" ni fractals. Labda umesikia neno hili la kuvutia, lakini unajua maana yake na ni mambo ngapi ya kuvutia ambayo yamefichwa katika neno hili?

Kila mtu ana udadisi wa asili, hamu ya kujifunza juu ya ulimwengu unaomzunguka. Na katika matamanio haya, mtu hujaribu kuambatana na mantiki katika hukumu. Kuchambua michakato inayofanyika karibu naye, anajaribu kupata mantiki ya kile kinachotokea na kugundua mara kwa mara. Akili kubwa zaidi kwenye sayari iko bize na kazi hii. Kwa kusema, wanasayansi wanatafuta muundo ambao haupaswi kuwa. Walakini, hata katika machafuko, mtu anaweza kupata uhusiano kati ya matukio. Na uhusiano huu ni fractal.

Binti yetu mdogo, mwenye umri wa miaka minne na nusu, sasa yuko katika umri huo mzuri ajabu wakati idadi ya maswali “Kwa nini?” mara nyingi zaidi ya idadi ya majibu ambayo watu wazima wana wakati wa kutoa. Sio zamani sana, nikitazama tawi lililoinuliwa kutoka ardhini, binti yangu ghafla aligundua kuwa tawi hili, lenye mafundo na matawi, lenyewe lilionekana kama mti. Na, kwa kweli, swali la kawaida "Kwa nini?" lilifuata, ambalo wazazi walipaswa kutafuta maelezo rahisi ambayo mtoto angeweza kuelewa.

Kufanana kwa tawi moja na mti mzima uliogunduliwa na mtoto ni uchunguzi sahihi sana, ambao mara nyingine tena unashuhudia kanuni ya kujirudia kufanana kwa asili. Aina nyingi za kikaboni na zisizo za kikaboni katika asili zinaundwa sawa. Mawingu, shells za bahari, "nyumba" ya konokono, gome na taji ya miti, mfumo wa mzunguko wa damu, na kadhalika - maumbo ya random ya vitu hivi vyote yanaweza kuelezewa na algorithm ya fractal.

⇡ Benoit Mandelbrot: baba wa jiometri fractal

Neno "fractal" lilionekana shukrani kwa mwanasayansi mahiri Benoît B. Mandelbrot.

Aliunda neno hilo mwenyewe katika miaka ya 1970, akikopa neno fractus kutoka Kilatini, ambapo maana yake halisi ni "kuvunjwa" au "kupondwa." Ni nini? Leo, neno "fractal" hutumiwa mara nyingi kumaanisha uwakilishi wa picha wa muundo unaofanana na yenyewe kwa kiwango kikubwa.

Msingi wa hisabati wa kuibuka kwa nadharia ya fractals uliwekwa miaka mingi kabla ya kuzaliwa kwa Benoit Mandelbrot, lakini inaweza tu kuendeleza na ujio wa vifaa vya kompyuta. Mwanzoni mwa kazi yake ya kisayansi, Benoit alifanya kazi katika kituo cha utafiti cha IBM. Wakati huo, wafanyikazi wa kituo hicho walikuwa wakifanya kazi ya kusambaza data kwa umbali. Katika kipindi cha utafiti, wanasayansi walikuwa wanakabiliwa na tatizo la hasara kubwa kutokana na kuingiliwa kwa kelele. Benoit alikabiliwa na kazi ngumu na muhimu sana - kuelewa jinsi ya kutabiri tukio la kuingiliwa kwa kelele katika nyaya za elektroniki wakati njia ya takwimu haifai.

Kuangalia matokeo ya vipimo vya kelele, Mandelbrot alivutia muundo mmoja wa kushangaza - grafu za kelele kwenye mizani tofauti zilionekana sawa. Mchoro sawa ulizingatiwa bila kujali ikiwa ni kelele kwa siku moja, wiki, au saa moja. Ilifaa kubadilisha kiwango cha grafu, na picha ilirudiwa kila wakati.

Wakati wa uhai wake, Benoit Mandelbrot alisema mara kwa mara kwamba hakushughulika na fomula, lakini alicheza tu na picha. Mtu huyu alifikiri sana kwa mfano, na akatafsiri tatizo lolote la algebra katika uwanja wa jiometri, ambapo, kulingana na yeye, jibu sahihi daima ni dhahiri.

Haishangazi kuwa ni mtu aliye na mawazo tajiri ya anga ambaye alikua baba wa jiometri ya fractal. Baada ya yote, utambuzi wa kiini cha fractals huja kwa usahihi wakati unapoanza kujifunza michoro na kufikiri juu ya maana ya mifumo ya ajabu ya swirl.

Mchoro wa fractal hauna vipengele vinavyofanana, lakini una kufanana kwa kiwango chochote. Ili kuunda picha kama hiyo na kiwango cha juu cha maelezo kwa mikono haikuwezekana hapo awali, ilihitaji mahesabu mengi. Kwa mfano, mwanahisabati Mfaransa Pierre Joseph Louis Fatou alielezea seti hii zaidi ya miaka sabini kabla ya ugunduzi wa Benoit Mandelbrot. Ikiwa tunazungumza juu ya kanuni za kujifananisha, basi zilitajwa katika kazi za Leibniz na Georg Cantor.

Moja ya michoro ya kwanza ya fractal ilikuwa tafsiri ya picha ya seti ya Mandelbrot, ambayo ilizaliwa kutokana na utafiti wa Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (amefunikwa kila wakati - jeraha la WWI)

Mtaalamu huyu wa hisabati Mfaransa alishangaa jinsi seti ingefanana ikiwa ingeundwa kutoka kwa fomula rahisi iliyorudiwa na kitanzi cha maoni. Ikiwa imeelezwa "kwenye vidole", hii ina maana kwamba kwa nambari maalum tunapata thamani mpya kwa kutumia formula, baada ya hapo tunaibadilisha tena kwenye fomula na kupata thamani nyingine. Matokeo yake ni mlolongo mkubwa wa nambari.

Ili kupata picha kamili ya seti hiyo, unahitaji kufanya kiasi kikubwa cha mahesabu - mamia, maelfu, mamilioni. Ilikuwa haiwezekani kuifanya kwa mikono. Lakini wakati vifaa vyenye nguvu vya kompyuta vilipoonekana kwa wanahisabati, waliweza kuangalia upya fomula na misemo ambayo ilikuwa ya kupendeza kwa muda mrefu. Mandelbrot alikuwa wa kwanza kutumia kompyuta kukokotoa fractal classical. Baada ya kuchakata mlolongo unaojumuisha idadi kubwa ya maadili, Benoit alihamisha matokeo kwenye grafu. Hiki ndicho alichokipata.

Baadaye, picha hii ilitiwa rangi (kwa mfano, mojawapo ya njia za kupaka rangi ni kwa idadi ya marudio) na ikawa mojawapo ya picha maarufu zaidi zilizowahi kuundwa na mwanadamu.

Kama msemo wa kale unaohusishwa na Heraclitus wa Efeso unavyosema, "Huwezi kuingia mto huo mara mbili." Inafaa zaidi kwa kutafsiri jiometri ya fractals. Haijalishi jinsi tunavyochunguza picha ya fractal kwa undani, tutaona muundo sawa kila wakati.

Wale wanaotaka kuona jinsi taswira ya nafasi ya Mandelbrot ingeonekana kama ikikuzwa mara nyingi zaidi wanaweza kufanya hivyo kwa kupakia GIF iliyohuishwa.

⇡ Lauren Carpenter: sanaa iliyoundwa na asili

Nadharia ya fractals ilipata matumizi ya vitendo hivi karibuni. Kwa kuwa inahusiana kwa karibu na taswira ya picha zinazofanana, haishangazi kwamba wa kwanza kupitisha algorithms na kanuni za kuunda fomu zisizo za kawaida walikuwa wasanii.

Mwanzilishi mwenza wa baadaye wa studio ya hadithi ya Pixar, Loren C. Carpenter, alianza kufanya kazi mwaka wa 1967 katika Huduma za Kompyuta za Boeing, ambayo ilikuwa moja ya mgawanyiko wa shirika linalojulikana linalohusika na maendeleo ya ndege mpya.

Mnamo 1977, aliunda mawasilisho na mifano ya mifano ya kuruka. Lauren alikuwa na jukumu la kutengeneza picha za ndege inayoundwa. Alipaswa kuunda picha za mifano mpya, kuonyesha ndege za baadaye kutoka pembe tofauti. Wakati fulani, mwanzilishi wa baadaye wa Pixar Animation Studios alikuja na wazo la ubunifu la kutumia picha ya milima kama usuli. Leo, mtoto yeyote wa shule anaweza kutatua shida kama hiyo, lakini mwishoni mwa miaka ya sabini ya karne iliyopita, kompyuta haikuweza kukabiliana na mahesabu magumu kama haya - hakukuwa na wahariri wa picha, bila kutaja maombi ya picha za pande tatu. Mnamo 1978, Lauren kwa bahati mbaya aliona kitabu cha Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension katika duka. Kilichovutia umakini wake katika kitabu hiki ni kwamba Benoist alitoa mifano mingi ya aina za fractal maisha halisi na imethibitisha kuwa zinaweza kuelezewa kwa usemi wa hisabati.

Mfano huu ulichaguliwa na mwanahisabati si kwa bahati. Ukweli ni kwamba mara tu alipochapisha utafiti wake, ilibidi akabiliane na msururu wa ukosoaji. Jambo kuu ambalo wenzake walimkashifu nalo lilikuwa ubatili wa nadharia iliyokuzwa. "Ndiyo," walisema, "hizi ni picha nzuri, lakini hakuna zaidi. Nadharia ya fractal haina thamani ya vitendo. Pia kulikuwa na wale ambao kwa ujumla waliamini kwamba mifumo ya fractal ilikuwa tu matokeo ya kazi ya "mashine za shetani", ambazo mwishoni mwa miaka ya sabini zilionekana kuwa kitu ngumu sana na kisichoweza kuaminiwa kabisa. Mandelbrot alijaribu kupata matumizi ya dhahiri ya nadharia ya fractals, lakini, kwa kiasi kikubwa, hakuwa na haja ya kufanya hivyo. Wafuasi wa Benoit Mandelbrot katika kipindi cha miaka 25 iliyofuata walithibitika kuwa na manufaa makubwa kwa "udadisi wa hisabati" kama huo, na Lauren Carpenter alikuwa mmoja wa wa kwanza kutekeleza mbinu ya fractal.

Baada ya kusoma kitabu hicho, animator ya baadaye alisoma kwa umakini kanuni za jiometri ya fractal na akaanza kutafuta njia ya kuitekeleza kwenye picha za kompyuta. Katika siku tatu tu za kazi, Lauren aliweza kuona taswira halisi ya mfumo wa milima kwenye kompyuta yake. Kwa maneno mengine, kwa msaada wa fomula, alichora mandhari ya mlima inayotambulika kabisa.

Kanuni ambayo Lauren alitumia kufikia lengo lake ilikuwa rahisi sana. Ilijumuisha kugawanya takwimu kubwa ya kijiometri katika vipengele vidogo, na hizi, kwa upande wake, ziligawanywa katika takwimu zinazofanana za ukubwa mdogo.

Akitumia pembetatu kubwa zaidi, Seremala alizigawanya na kuwa ndogo nne kisha akarudia utaratibu huu tena na tena hadi akawa na mandhari halisi ya mlima. Kwa hivyo, aliweza kuwa msanii wa kwanza kutumia algorithm ya fractal katika picha za kompyuta kuunda picha. Mara tu ilipojulikana juu ya kazi iliyofanywa, wapenzi ulimwenguni kote walichukua wazo hili na wakaanza kutumia algorithm ya fractal kuiga fomu za asili za kweli.

Moja ya matoleo ya kwanza ya 3D kwa kutumia algoriti ya fractal

Miaka michache tu baadaye, Lauren Carpenter aliweza kutumia mafanikio yake katika mradi mkubwa zaidi. Mhuishaji aliziweka kulingana na onyesho la dakika mbili, Vol Libre, ambalo lilionyeshwa kwenye Siggraph mnamo 1980. Video hii ilishtua kila mtu aliyeiona, na Lauren akapokea mwaliko kutoka kwa Lucasfilm.

Uhuishaji ulitolewa kwenye kompyuta ya VAX-11/780 kutoka Shirika la Vifaa vya Dijiti kwa kasi ya saa ya megahertz tano, na kila fremu ilichukua takriban nusu saa kuchora.

Akifanya kazi kwa Lucasfilm Limited, kihuishaji aliunda mandhari yale yale ya 3D kwa kipengele cha pili katika sakata ya Star Trek. Katika Ghadhabu ya Khan, Seremala aliweza kuunda sayari nzima kwa kutumia kanuni sawa ya muundo wa uso wa fractal.

Hivi sasa, maombi yote maarufu ya kuunda mandhari ya 3D hutumia kanuni sawa ya kuzalisha vitu vya asili. Terragen, Bryce, Vue na vihariri vingine vya 3D wanategemea algoriti ya muundo wa uso na unamu.

⇡ Antena za Fractal: chini ni bora, lakini bora

Katika nusu karne iliyopita, maisha yamebadilika haraka. Wengi wetu tunachukulia maendeleo ya teknolojia ya kisasa kuwa ya kawaida. Kila kitu kinachofanya maisha kuwa ya raha zaidi, unazoea haraka sana. Ni mara chache mtu yeyote huuliza maswali "Hii ilitoka wapi?" na "Inafanyaje kazi?". Tanuri ya microwave huwasha kiamsha kinywa - vizuri, nzuri, simu mahiri hukuruhusu kuzungumza na mtu mwingine - nzuri. Hii inaonekana kama uwezekano wa wazi kwetu.

Lakini maisha yanaweza kuwa tofauti kabisa ikiwa mtu hatatafuta maelezo ya matukio yanayotokea. Chukua, kwa mfano, simu za rununu. Je! unakumbuka antena zinazoweza kutolewa kwenye mifano ya kwanza? Waliingilia kati, kuongezeka kwa ukubwa wa kifaa, mwishoni, mara nyingi kuvunja. Tunaamini kwamba wamezama kwenye usahaulifu milele, na kwa sehemu kwa sababu ya hii ... fractals.

Michoro ya Fractal inavutia na mifumo yao. Kwa hakika hufanana na picha za vitu vya nafasi - nebulae, makundi ya galaksi, na kadhalika. Kwa hivyo, ni kawaida kwamba wakati Mandelbrot alipotoa nadharia yake ya fractals, utafiti wake uliamsha shauku kubwa kati ya wale waliosoma unajimu. Mmoja wa wasomi hawa aitwaye Nathan Cohen, baada ya kuhudhuria hotuba ya Benoit Mandelbrot huko Budapest, alishika moto na wazo hilo. matumizi ya vitendo maarifa yaliyopatikana. Kweli, alifanya hivyo intuitively, na nafasi ilichukua jukumu muhimu katika ugunduzi wake. Kama mwanariadha mahiri wa redio, Nathan alitafuta kuunda antena yenye usikivu wa hali ya juu iwezekanavyo.

Njia pekee ya kuboresha vigezo vya antenna, ambayo ilijulikana wakati huo, ilikuwa kuongeza vipimo vyake vya kijiometri. Walakini, mmiliki wa nyumba ya Nathan katikati mwa jiji la Boston alipinga vikali kusakinisha vifaa vikubwa vya paa. Kisha Nathan akaanza kufanya majaribio aina mbalimbali antena, kujaribu kupata matokeo ya juu na ukubwa wa chini. Akiwa amechoshwa na wazo la aina za fractal, Cohen, kama wanasema, kwa nasibu alifanya moja ya fractals maarufu kutoka kwa waya - "Koch snowflake". Mwanahisabati wa Uswidi Helge von Koch alikuja na curve hii mnamo 1904. Inapatikana kwa kugawanya sehemu katika sehemu tatu na kuchukua nafasi ya sehemu ya kati na pembetatu ya equilateral bila upande unaofanana na sehemu hii. Ufafanuzi ni vigumu kuelewa, lakini takwimu ni wazi na rahisi.

Kuna pia aina zingine za "Koch curve", lakini sura ya takriban ya curve inabaki sawa.

Wakati Nathan aliunganisha antenna kwa mpokeaji wa redio, alishangaa sana - unyeti uliongezeka kwa kasi. Baada ya mfululizo wa majaribio, profesa wa baadaye katika Chuo Kikuu cha Boston aligundua kuwa antenna iliyofanywa kulingana na muundo wa fractal ina ufanisi wa juu na inashughulikia upeo mkubwa zaidi wa mzunguko ikilinganishwa na ufumbuzi wa classical. Kwa kuongeza, sura ya antenna kwa namna ya curve fractal inaweza kupunguza kwa kiasi kikubwa vipimo vya kijiometri. Nathan Cohen hata alitengeneza nadharia inayothibitisha kwamba kuunda antenna ya broadband, inatosha kuipa sura ya curve inayofanana ya fractal.

Mwandishi aliweka hati miliki ugunduzi wake na akaanzisha kampuni ya ukuzaji na muundo wa antena za Fractal Antenna Systems, akiamini kwa usahihi kwamba katika siku zijazo, shukrani kwa ugunduzi wake, simu za rununu zitaweza kuondoa antena nyingi na kuwa ngumu zaidi.

Kimsingi, ndivyo ilivyotokea. Ni kweli, hadi leo, Nathan yuko kwenye kesi na mashirika makubwa ambayo yanatumia ugunduzi wake kwa njia isiyo halali ili kutengeneza vifaa vya mawasiliano. Watengenezaji wengine wa vifaa vya rununu wanaojulikana, kama vile Motorola, tayari wamefikia makubaliano ya amani na mvumbuzi wa antena ya fractal.

⇡ Vipimo vya Fractal: akili haielewi

Benoit aliazima swali hili kutoka kwa mwanasayansi maarufu wa Marekani Edward Kasner.

Wa mwisho, kama wanahisabati wengine wengi maarufu, alikuwa akipenda sana kuwasiliana na watoto, kuwauliza maswali na kupata majibu yasiyotarajiwa. Wakati mwingine hii ilisababisha matokeo ya kushangaza. Kwa hivyo, kwa mfano, mpwa wa Edward Kasner mwenye umri wa miaka tisa alikuja na neno linalojulikana sasa "googol", linaloashiria kitengo kilicho na zero mia moja. Lakini nyuma kwa fractals. Mtaalamu wa hisabati wa Marekani alipenda kuuliza urefu wa ukanda wa pwani wa Marekani. Baada ya kusikiliza maoni ya mpatanishi, Edward mwenyewe alizungumza jibu sahihi. Ikiwa unapima urefu kwenye ramani na sehemu zilizovunjika, basi matokeo hayatakuwa sahihi, kwa sababu ukanda wa pwani una idadi kubwa ya makosa. Na nini kinatokea ikiwa unapima kwa usahihi iwezekanavyo? Utalazimika kuzingatia urefu wa kila usawa - utahitaji kupima kila cape, kila bay, mwamba, urefu wa mwamba wa mwamba, jiwe juu yake, mchanga wa mchanga, atomi, na kadhalika. Kwa kuwa idadi ya makosa huelekea kutokuwa na kikomo, urefu uliopimwa wa ukanda wa pwani utaongezeka hadi usio na kipimo kwa kila ukiukaji mpya.

Kipimo kikiwa kidogo wakati wa kupima, ndivyo urefu uliopimwa unavyoongezeka

Inafurahisha, kufuatia maongozi ya Edward, watoto walikuwa na haraka zaidi kuliko watu wazima katika kusema jibu sahihi, wakati wa mwisho walikuwa na shida kukubali jibu la ajabu kama hilo.

Kwa kutumia shida hii kama mfano, Mandelbrot alipendekeza kutumia mbinu mpya kwa vipimo. Kwa kuwa ukanda wa pwani ni karibu na curve fractal, ina maana kwamba parameter tabia, kinachojulikana fractal dimension, inaweza kutumika kwa hilo.

Ni mwelekeo gani wa kawaida ni wazi kwa mtu yeyote. Ikiwa mwelekeo ni sawa na moja, tunapata mstari wa moja kwa moja, ikiwa mbili - takwimu ya gorofa, tatu - kiasi. Walakini, uelewa kama huo wa mwelekeo katika hisabati haufanyi kazi na curves za fractal, ambapo parameta hii ina thamani ya sehemu. Kipimo cha fractal katika hisabati kinaweza kuzingatiwa kwa masharti kama "ukwaru". Kadiri ukali wa curve unavyoongezeka, ndivyo ukubwa wake wa fractal unavyoongezeka. Mviringo ambao, kulingana na Mandelbrot, una mwelekeo wa fractal juu kuliko mwelekeo wake wa kitolojia, una urefu wa takriban ambao hautegemei idadi ya vipimo.

Hivi sasa, wanasayansi wanapata maeneo zaidi na zaidi ya matumizi ya nadharia ya fractal. Kwa usaidizi wa fractals, unaweza kuchanganua kushuka kwa bei ya hisa, kuchunguza aina zote za michakato ya asili, kama vile kushuka kwa idadi ya aina, au kuiga mienendo ya mtiririko. Algorithms ya Fractal inaweza kutumika kwa ukandamizaji wa data, kwa mfano kwa ukandamizaji wa picha. Na kwa njia, ili kupata fractal nzuri kwenye skrini ya kompyuta yako, sio lazima uwe na digrii ya udaktari.

⇡ Fractal kwenye kivinjari

Labda mojawapo ya njia rahisi zaidi za kupata muundo wa fractal ni kutumia mhariri wa vekta mtandaoni kutoka kwa mtengenezaji mdogo mwenye vipaji Toby Schachman. Zana ya zana ya mhariri huyu rahisi wa michoro inategemea kanuni sawa ya kujifananisha.

Kuna maumbo mawili tu rahisi unayo - mraba na mduara. Unaweza kuziongeza kwenye turubai, mizani (ili kupima kando ya shoka moja, shikilia kitufe cha Shift) na uzungushe. Zikipishana kwenye kanuni ya shughuli za kuongeza za Boolean, vipengele hivi rahisi zaidi huunda aina mpya, zisizo za maana sana. Zaidi ya hayo, fomu hizi mpya zinaweza kuongezwa kwa mradi, na programu itarudia kizazi cha picha hizi kwa muda usiojulikana. Katika hatua yoyote ya kufanya kazi kwenye fractal, unaweza kurudi kwenye sehemu yoyote ya sura tata na kuhariri msimamo wake na jiometri. Inafurahisha sana, haswa unapozingatia kuwa zana pekee unayohitaji kuwa mbunifu ni kivinjari. Ikiwa huelewi kanuni ya kufanya kazi na mhariri wa vector hii ya kujirudia, tunakushauri kutazama video kwenye tovuti rasmi ya mradi huo, ambayo inaonyesha kwa undani mchakato mzima wa kuunda fractal.

⇡ XaoS: fractals kwa kila ladha

Wahariri wengi wa picha wana zana zilizojumuishwa za kuunda muundo wa fractal. Hata hivyo, zana hizi kwa kawaida ni za pili na hazikuruhusu kurekebisha muundo wa fractal unaozalishwa. Katika hali ambapo ni muhimu kujenga fractal sahihi ya hisabati, mhariri wa jukwaa la msalaba wa XaoS atakuja kuwaokoa. Mpango huu hufanya iwezekanavyo sio tu kujenga picha inayofanana, lakini pia kufanya udanganyifu mbalimbali nayo. Kwa mfano, kwa wakati halisi, unaweza "kutembea" kupitia fractal kwa kubadilisha kiwango chake. Usogeaji uliohuishwa kwenye fractal unaweza kuhifadhiwa kama faili ya XAF na kisha kuchezwa kwenye programu yenyewe.

XaoS inaweza kupakia seti isiyo ya kawaida ya vigezo, na pia kutumia vichungi mbalimbali vya baada ya usindikaji wa picha - kuongeza athari ya mwendo iliyofifia, lainisha mabadiliko makali kati ya pointi za fractal, kuiga picha ya 3D, na kadhalika.

⇡ Fractal Zoomer: jenereta fupi ya fractal

Ikilinganishwa na jenereta zingine za picha za fractal, ina faida kadhaa. Kwanza, ni ndogo kabisa kwa ukubwa na hauhitaji ufungaji. Pili, ina uwezo wa kufafanua palette ya rangi kuchora. Unaweza kuchagua vivuli katika mifano ya rangi ya RGB, CMYK, HVS na HSL.

Pia ni rahisi sana kutumia chaguo la uteuzi wa random wa vivuli vya rangi na kazi ya kugeuza rangi zote kwenye picha. Ili kurekebisha rangi, kuna kazi ya uteuzi wa mzunguko wa vivuli - wakati hali inayolingana imewashwa, programu huhuisha picha, ikibadilisha rangi juu yake.

Fractal Zoomer inaweza kuona kazi 85 tofauti za fractal, na fomula zinaonyeshwa wazi katika menyu ya programu. Kuna vichungi vya picha baada ya kuchakata kwenye programu, ingawa kwa kiasi kidogo. Kila kichujio kilichokabidhiwa kinaweza kughairiwa wakati wowote.

⇡ Mandelbulb3D: kihariri cha 3D fractal

Wakati neno "fractal" linatumiwa, mara nyingi humaanisha picha ya gorofa-dimensional. Walakini, jiometri ya fractal inakwenda zaidi ya mwelekeo wa 2D. Kwa asili, mtu anaweza kupata mifano yote ya fomu za gorofa za fractal, sema, jiometri ya umeme, na takwimu tatu-dimensional tatu-dimensional. Nyuso za Fractal zinaweza kuwa tatu-dimensional, na moja ya sana vielelezo vya kuona Fractals za 3D katika maisha ya kila siku ni kichwa cha kabichi. Labda njia bora ya kuona fractals iko katika Romanesco, mseto wa cauliflower na broccoli.

Na fractal hii inaweza kuliwa

Mpango wa Mandelbulb3D unaweza kuunda vitu vya pande tatu na umbo sawa. Ili kupata uso wa 3D kwa kutumia algoriti ya fractal, waandishi wa programu hii, Daniel White na Paul Nylander, walibadilisha seti ya Mandelbrot kuwa viwianishi vya duara. Programu ya Mandelbulb3D waliyounda ni kihariri halisi cha pande tatu ambacho kinatoa mifano ya nyuso za maumbo mbalimbali. Kwa kuwa mara nyingi tunaona muundo wa asili, kitu kilichoundwa kwa njia ya fractal chenye sura tatu kinaonekana kuwa cha kweli na hata "hai".

Inaweza kuonekana kama mmea, inaweza kufanana na mnyama wa ajabu, sayari, au kitu kingine chochote. Athari hii inaimarishwa na algorithm ya hali ya juu ya uwasilishaji ambayo inafanya uwezekano wa kupata tafakari za kweli, kuhesabu uwazi na vivuli, kuiga athari ya kina cha uwanja, na kadhalika. Mandelbulb3D ina idadi kubwa ya mipangilio na chaguzi za uwasilishaji. Unaweza kudhibiti vivuli vya vyanzo vya mwanga, chagua mandharinyuma na kiwango cha maelezo ya kipengee cha mfano.

Kihariri cha Incendia fractal kinaauni urekebishaji wa picha mbili, kina maktaba ya vipande hamsini vya sura tatu na kina moduli tofauti ya kuhariri maumbo ya kimsingi.

Programu hutumia uandishi wa fractal, ambayo unaweza kuelezea kwa kujitegemea aina mpya za miundo ya fractal. Incendia ina wahariri wa texture na nyenzo, na injini ya utoaji ambayo inakuwezesha kutumia athari za ukungu za volumetric na vivuli mbalimbali. Programu ina chaguo la kuhifadhi bafa wakati wa uwasilishaji wa muda mrefu, uundaji wa uhuishaji unaauniwa.

Incendia hukuruhusu kusafirisha muundo wa fractal kwa umbizo maarufu la michoro ya 3D - OBJ na STL. Incendia inajumuisha matumizi madogo ya Geometrica - chombo maalum cha kuanzisha usafirishaji wa uso wa fractal kwa mfano wa tatu-dimensional. Kutumia shirika hili, unaweza kuamua azimio la uso wa 3D, taja idadi ya iterations fractal. Miundo iliyosafirishwa inaweza kutumika katika miradi ya 3D unapofanya kazi na wahariri wa 3D kama vile Blender, 3ds max na wengineo.

Hivi majuzi, kazi kwenye mradi wa Incendia imepungua kwa kiasi fulani. Kwa sasa, mwandishi anatafuta wafadhili ambao wangemsaidia kuendeleza programu.

Ikiwa huna mawazo ya kutosha kuteka fractal nzuri ya tatu-dimensional katika mpango huu, haijalishi. Tumia maktaba ya kigezo, ambayo iko kwenye folda ya vigezo vya INCENDIA_EX\. Kwa usaidizi wa faili za PAR, unaweza kupata haraka maumbo ya kawaida ya fractal, ikiwa ni pamoja na animated.

⇡ Aural: jinsi fractals huimba

Kwa kawaida hatuzungumzii kuhusu miradi ambayo inafanyiwa kazi tu, lakini katika kesi hii tunapaswa kufanya ubaguzi, hii ni maombi ya kawaida sana. Mradi unaoitwa Aural ulikuja na mtu sawa na Incendia. Kweli, wakati huu programu haina taswira ya kuweka fractal, lakini sauti yake, na kugeuka kuwa muziki wa elektroniki. Wazo hilo ni la kuvutia sana, hasa kwa kuzingatia mali isiyo ya kawaida ya fractals. Aural ni kihariri cha sauti ambacho hutengeneza nyimbo kwa kutumia algoriti za fractal, yaani, kwa kweli, ni mpangilio-sawazishaji wa sauti.

Mlolongo wa sauti zinazotolewa na programu hii sio kawaida na ... nzuri. Inaweza kuwa muhimu kwa kuandika midundo ya kisasa na, kwa maoni yetu, inafaa sana kwa kuunda nyimbo za sauti za utangulizi wa programu za runinga na redio, pamoja na "vitanzi" vya muziki wa nyuma kwa michezo ya kompyuta. Ramiro bado hajatoa onyesho la programu yake, lakini anaahidi kwamba atakapofanya, ili kufanya kazi na Aural, hatahitaji kujifunza nadharia ya fractals - cheza tu na vigezo vya algorithm ya kutengeneza mlolongo wa maelezo. Sikiliza jinsi fractals inavyosikika, na.

Fractals: pause ya muziki

Kwa kweli, fractals inaweza kusaidia kuandika muziki hata bila programu. Lakini hii inaweza tu kufanywa na mtu ambaye amejaa wazo la maelewano ya asili na wakati huo huo hajageuka kuwa "nerd" mbaya. Inaleta maana kuchukua kidokezo kutoka kwa mwanamuziki aitwaye Jonathan Coulton, ambaye, miongoni mwa mambo mengine, anaandika nyimbo za jarida la Sayansi Maarufu. Na tofauti na wasanii wengine, Colton huchapisha kazi zake zote chini ya leseni ya Creative Commons Attribution-Noncommercial, ambayo (inapotumiwa kwa madhumuni yasiyo ya kibiashara) hutoa kunakili bila malipo, usambazaji, uhamisho wa kazi kwa wengine, pamoja na marekebisho yake (uundaji). of derivative works) ili kuirekebisha kulingana na mahitaji yako.

Jonathan Colton, bila shaka, ana wimbo kuhusu fractals.

⇡ Hitimisho

Katika kila kitu kinachotuzunguka, mara nyingi tunaona machafuko, lakini kwa kweli hii sio ajali, lakini fomu bora, ambayo fractals hutusaidia kutambua. Asili ndiye mbunifu bora, mjenzi bora na mhandisi. Imepangwa kimantiki sana, na ikiwa mahali fulani hatuoni ruwaza, hii ina maana kwamba tunahitaji kuitafuta kwa kiwango tofauti. Watu wanaelewa hili bora na bora, wakijaribu kuiga fomu za asili kwa njia nyingi. Wahandisi hutengeneza mifumo ya msemaji kwa namna ya shell, kuunda antena na jiometri ya theluji, na kadhalika. Tuna hakika kwamba fractals bado huhifadhi siri nyingi, na nyingi bado hazijagunduliwa na mwanadamu.

Rudi