Matrices vile ni kusindika vitendo mbalimbali: zidisha kwa kila mmoja, tafuta viashiria, nk. Matrix - kesi maalum safu: ikiwa safu inaweza kuwa na idadi yoyote ya vipimo, basi safu ya pande mbili tu inaitwa matrix.
Katika programu, matrix pia inaitwa safu ya pande mbili. Safu yoyote katika programu ina jina, kana kwamba ni tofauti moja. Ili kufafanua ambayo ya seli za safu ina maana, inapotajwa katika programu, idadi ya seli ndani yake hutumiwa pamoja na kutofautiana. Matrix ya pande mbili na safu ya n-dimensional katika programu inaweza kuwa na sio nambari tu, lakini pia ishara, kamba, Boolean na habari zingine, lakini sawa kila wakati ndani ya safu nzima.
Matrices yanaashiria kwa herufi kubwa A:MxN, ambapo A ni jina la matrix, M ni idadi ya safu katika matrix, na N ni nambari ya safu wima. Vipengele vinawakilishwa na herufi ndogo zinazolingana na fahirisi zinazoonyesha nambari yao katika safu mlalo na safu a (m, n).
Matrices ya kawaida umbo la mstatili, ingawa zamani wanahisabati pia walizingatia pembe tatu. Ikiwa idadi ya safu na safu wima za matrix ni sawa, inaitwa mraba. Katika kesi hii, M=N tayari ina jina la mpangilio wa matrix. Matrix yenye safu moja tu inaitwa safu. Matrix yenye safu moja tu inaitwa safu ya safu. Matrix ya diagonal ni matrix ya mraba ambayo vitu tu vilivyoko kando ya diagonal sio sifuri. Ikiwa vitu vyote ni sawa na moja, matrix inaitwa kitambulisho; ikiwa vitu vyote ni sawa na sifuri, inaitwa sifuri.
Ukibadilisha safu mlalo na safu wima kwenye matrix, inabadilika. Ikiwa vitu vyote vinabadilishwa na viunganishi changamani, inakuwa kiunganishi changamano. Kwa kuongeza, kuna aina nyingine za matrices, imedhamiriwa na masharti ambayo yanawekwa kwenye vipengele vya tumbo. Lakini zaidi ya masharti haya yanatumika tu kwa mraba.
Video kwenye mada
Kumbuka kwamba vipengele vya matrix vinaweza kuwa sio nambari tu. Hebu fikiria kwamba unaelezea vitabu vilivyo kwenye rafu yako ya vitabu. Ruhusu rafu yako iwe katika mpangilio na vitabu vyote viwe katika sehemu zilizobainishwa kabisa. Jedwali, ambalo litakuwa na maelezo ya maktaba yako (kwa rafu na utaratibu wa vitabu kwenye rafu), pia itakuwa matrix. Lakini matrix kama hiyo haitakuwa nambari. Mfano mwingine. Badala ya nambari kuna kazi tofauti, zilizounganishwa na utegemezi fulani. Jedwali linalosababishwa pia litaitwa matrix. Kwa maneno mengine, Matrix ni jedwali lolote la mstatili linaloundwa na zenye homogeneous vipengele. Hapa na zaidi tutazungumza juu ya matrices yaliyoundwa na nambari.
Badala ya mabano, mabano ya mraba au mistari ya wima ya moja kwa moja hutumiwa kuandika matrices
 |
(2.1*) |
Ufafanuzi 2. Ikiwa katika usemi(1) m = n, kisha wanazungumza matrix ya mraba, na kama , basi oh mstatili.
Kulingana na maadili ya m na n, kuna baadhi aina maalum matrices:
Tabia muhimu zaidi mraba matrix ni yeye kibainishi au kibainishi, ambayo imeundwa na vipengele vya matrix na inaashiria
Ni wazi, D E =1; .
Ufafanuzi 3. Kama , kisha tumbo A kuitwa yasiyo ya kuzorota au sio maalum.
Ufafanuzi 4. Kama detA = 0 , kisha tumbo A kuitwa kuzorota au Maalum.
Ufafanuzi wa 5. Matrices mbili A Na B zinaitwa sawa na kuandika A = B ikiwa wana vipimo sawa na vipengele vyao vinavyolingana ni sawa, i.e..
Kwa mfano, matrices na ni sawa, kwa sababu ni sawa kwa ukubwa na kila kipengele cha matrix moja ni sawa na kipengele sambamba cha matrix nyingine. Lakini matiti haziwezi kuitwa sawa, ingawa viashiria vya matiti zote mbili ni sawa, na saizi za matiti ni sawa, lakini sio vitu vyote vilivyo katika sehemu moja ni sawa. Matrices ni tofauti kwa sababu wanayo ukubwa tofauti. Matrix ya kwanza ni 2x3 kwa ukubwa, na ya pili ni 3x2. Ingawa idadi ya vitu ni sawa - 6 na vitu vyenyewe ni sawa 1, 2, 3, 4, 5, 6, lakini ziko katika sehemu tofauti katika kila matrix. Lakini matrices ni sawa, kulingana na Ufafanuzi 5.
Ufafanuzi 6. Ukirekebisha idadi fulani ya safu wima A na idadi sawa ya safu, kisha vitu kwenye makutano ya safu wima na safu zilizoonyeshwa huunda matrix ya mraba. n- utaratibu, kiashiria cha ambayo kuitwa mdogo k - matrix ya utaratibu A.
Mfano. Andika watoto watatu wa mpangilio wa pili wa tumbo
UFAFANUZI WA MATRIX. AINA ZA MATRICES
Matrix ya ukubwa m× n inayoitwa seti m · n nambari zilizopangwa katika jedwali la mstatili wa m mistari na n nguzo. Jedwali hili kwa kawaida hufungwa kwenye mabano. Kwa mfano, matrix inaweza kuonekana kama hii:
Kwa ufupi, matrix inaweza kuonyeshwa kwa herufi kubwa moja, kwa mfano, A au KATIKA.
KATIKA mtazamo wa jumla ukubwa wa matrix m× n iandike hivi
.
Nambari zinazounda matrix zinaitwa vipengele vya matrix. Ni rahisi kutoa vipengele vya matrix na fahirisi mbili ij: Ya kwanza inaonyesha nambari ya safu na ya pili inaonyesha nambari ya safu. Kwa mfano, ya 23- kipengele kiko kwenye safu ya 2, safu ya 3.
Ikiwa matrix ina idadi sawa ya safu kama idadi ya safu, basi matrix inaitwa mraba, na nambari ya safu au safu wima zake inaitwa ili matrices. Katika mifano hapo juu, matrix ya pili ni mraba - agizo lake ni 3, na tumbo la nne ni agizo lake 1.
Matrix ambayo idadi ya safu mlalo si sawa na idadi ya safu wima inaitwa mstatili. Katika mifano hii ni matrix ya kwanza na ya tatu.
Pia kuna matrices ambayo ina safu moja tu au safu moja.
Matrix yenye safu moja tu inaitwa matrix - safu(au kamba), na matrix iliyo na safu moja tu matrix - safu.
Matrix ambayo vipengele vyote ni sifuri inaitwa null na inaashiria (0), au kwa urahisi 0. Kwa mfano,
.
Ulalo kuu ya matrix ya mraba tunaita diagonal kwenda kutoka juu kushoto hadi kona ya chini ya kulia.
Matrix ya mraba ambayo vipengele vyote chini ya diagonal kuu ni sawa na sifuri inaitwa pembetatu tumbo.
.
Matrix ya mraba ambayo vipengele vyote, isipokuwa labda wale kwenye diagonal kuu, ni sawa na sifuri, inaitwa diagonal tumbo. Kwa mfano, au.
Matrix ya diagonal ambayo vipengele vyote vya diagonal ni sawa na moja inaitwa single matrix na inaonyeshwa kwa herufi E. Kwa mfano, matrix ya utambulisho wa mpangilio wa 3 ina fomu 
.
MATENDO KWENYE MATRICES
Usawa wa matrix. Matrices mbili A Na B inasemekana kuwa sawa ikiwa wana idadi sawa ya safu na safu na vipengele vyake vinavyolingana ni sawa ij = b ij. Hivyo kama 
Na 
, Hiyo A=B, Kama a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Na a 22 = b 22.
Transpose. Fikiria matrix ya kiholela A kutoka m mistari na n nguzo. Inaweza kuhusishwa na matrix ifuatayo B kutoka n mistari na m safu wima, ambayo kila safu ni safu wima ya matrix A na nambari sawa (kwa hivyo kila safu ni safu ya matrix A na nambari sawa). Hivyo kama 
, Hiyo 
.
Matrix hii B kuitwa kupitishwa tumbo A, na mpito kutoka A Kwa B uhamishaji.
Kwa hivyo, ugeuzaji ni ubadilishaji wa majukumu ya safu na safu wima za matrix. Matrix iliyopitishwa kwenye tumbo A, kawaida huashiria KATIKA.
Mawasiliano kati ya matrix A na transpose yake inaweza kuandikwa katika fomu.
Kwa mfano. Tafuta matrix iliyopitishwa ya ile uliyopewa.
Nyongeza ya Matrix. Wacha matrices A Na B inajumuisha idadi sawa ya mistari na idadi sawa safu, i.e. kuwa na ukubwa sawa. Kisha ili kuongeza matrices A Na B inahitajika kwa vipengele vya matrix A ongeza vipengele vya matrix B kusimama katika maeneo sawa. Hivyo, jumla ya matrices mbili A Na B inayoitwa matrix C, ambayo imedhamiriwa na sheria, kwa mfano,
Mifano. Pata jumla ya matrices:
Ni rahisi kuthibitisha kuwa nyongeza ya matrix inatii sheria zifuatazo: za kubadilisha A+B=B+A na ushirika ( A+B)+C=A+(B+C).
Kuzidisha matrix kwa nambari. Ili kuzidisha matrix A kwa nambari k kila kipengele cha matrix kinahitajika A zidisha kwa nambari hii. Hivyo, bidhaa tumbo A kwa nambari k kuna matrix mpya, ambayo imedhamiriwa na sheria 
au .
Kwa nambari yoyote a Na b na matrices A Na B usawa ufuatao unashikilia:
Mifano.
Kuzidisha kwa tumbo. Operesheni hii inafanywa kulingana na sheria maalum. Kwanza kabisa, tunaona kwamba ukubwa wa matrices ya sababu lazima iwe sawa. Unaweza kuzidisha matrices hayo tu ambayo idadi ya safu wima ya matrix ya kwanza inalingana na idadi ya safu za matrix ya pili (yaani, urefu wa safu ya kwanza ni sawa na urefu wa safu ya pili). Kazi matrices A sio matrix B inayoitwa matrix mpya C=AB, vipengele ambavyo vimeundwa kama ifuatavyo:
Kwa hivyo, kwa mfano, kupata bidhaa (yaani kwenye tumbo C) kipengele kilicho katika safu mlalo ya 1 na safu wima ya 3 kutoka 13, unahitaji kuchukua safu ya 1 kwenye tumbo la 1, safu ya 3 katika 2, na kisha kuzidisha vipengele vya safu kwa vipengele vya safu sambamba na kuongeza bidhaa zinazosababisha. Na vipengele vingine vya matrix ya bidhaa hupatikana kwa kutumia bidhaa sawa ya safu za matrix ya kwanza na nguzo za tumbo la pili.
Kwa ujumla, ikiwa tunazidisha matrix A = (ij) ukubwa m× n kwa tumbo B = (b ij) ukubwa n× uk, basi tunapata tumbo C ukubwa m× uk, ambayo vipengele vyake vinahesabiwa kama ifuatavyo: kipengele c ij hupatikana kama matokeo ya bidhaa za vipengele i safu ya th ya matrix A kwa vipengele vinavyolingana j safu ya matrix B na nyongeza zao.
Kutoka kwa sheria hii inafuata kwamba unaweza daima kuzidisha matrices mbili za mraba za utaratibu sawa, na kwa matokeo tunapata matrix ya mraba ya utaratibu sawa. Hasa, matrix ya mraba inaweza daima kuzidishwa na yenyewe, i.e. mraba yake.
Kesi nyingine muhimu ni kuzidisha matrix ya safu kwa safu ya safu, na upana wa kwanza lazima iwe sawa na urefu wa pili, na kusababisha mpangilio wa mpangilio wa kwanza (yaani kipengele kimoja). Kweli,
.
Mifano.
Hivyo hawa mifano rahisi onyesha kwamba matrices, kwa ujumla, hawasafiri na kila mmoja, i.e. A∙B ≠ B∙A . Kwa hiyo, wakati wa kuzidisha matrices, unahitaji kufuatilia kwa uangalifu utaratibu wa mambo.
Inaweza kuthibitishwa kuwa kuzidisha kwa matrix kunatii sheria za ushirika na usambazaji, i.e. (AB)C=A(BC) Na (A+B)C=AC+BC.
Pia ni rahisi kuangalia kwamba wakati wa kuzidisha matrix ya mraba A juu matrix ya utambulisho E ya utaratibu huo sisi tena kupata tumbo A, na AE=EA=A.
Ukweli ufuatao wa kuvutia unaweza kuzingatiwa. Kama unavyojua, bidhaa ya nambari 2 zisizo za sifuri sio sawa na 0. Kwa matrices hii inaweza kuwa sio, i.e. bidhaa ya matrices 2 yasiyo ya sifuri inaweza kugeuka kuwa sawa na matrix ya sifuri.
Kwa mfano, Kama 
, Hiyo
.
DHANA YA VIAMUZI
Acha matrix ya mpangilio wa pili itolewe - matrix ya mraba inayojumuisha safu mbili na safu wima mbili .
Kiamuzi cha agizo la pili inayolingana na matrix iliyopewa ni nambari iliyopatikana kama ifuatavyo: 11 a 22 - 12 a 21.
Kiamuzi kinaonyeshwa na ishara 
.
Kwa hiyo, ili kupata kiashiria cha pili, unahitaji kuondoa bidhaa za vipengele kando ya diagonal ya pili kutoka kwa bidhaa za vipengele vya diagonal kuu.
Mifano. Kuhesabu viashiria vya mpangilio wa pili.
Vile vile, tunaweza kuzingatia matrix ya mpangilio wa tatu na kibainishi chake kinacholingana.
Kiamuzi cha agizo la tatu, inayolingana na matrix ya mraba iliyopewa ya mpangilio wa tatu, ni nambari iliyoonyeshwa na kupatikana kama ifuatavyo:
.
Kwa hivyo, fomula hii inatoa upanuzi wa kiambishi cha mpangilio wa tatu kulingana na vipengele vya safu ya kwanza 11, 12, 13 na inapunguza hesabu ya kiambishi cha mpangilio wa tatu kwa hesabu ya vibainishi vya mpangilio wa pili.
Mifano. Hesabu kibainishi cha mpangilio wa tatu.
Vile vile, mtu anaweza kuanzisha dhana za viashiria vya nne, tano, nk. amri, kupunguza utaratibu wao kwa kupanua ndani ya vipengele vya mstari wa 1, na ishara "+" na "-" za maneno yanayobadilishana.
Kwa hivyo, tofauti na matrix, ambayo ni jedwali la nambari, kiashiria ni nambari ambayo imepewa matrix kwa njia fulani.
>> Matrices
4.1.Matrix. Operesheni kwenye matrices
Matrix ya mstatili size mxn ni mkusanyiko wa nambari za mxn zilizopangwa kwa namna ya jedwali la mstatili lenye safu mlalo na safu wima n. Tutaiandika kwa fomu
au kwa kifupi A = (a i j) (i = ; j = ), nambari a i j huitwa vipengele vyake; Fahirisi ya kwanza inaonyesha nambari ya safu, ya pili - nambari ya safu. A = (a i j) na B = (b i j) ukubwa sawa huitwa sawa ikiwa vipengele vyake vilivyosimama katika sehemu sawa ni sawa kwa jozi, yaani, A = B ikiwa a i j = b i j .
Matrix inayojumuisha safu mlalo au safu moja inaitwa vekta ya safu mlalo au vekta ya safu mtawalia. Vekta za safu wima na vekta za safu huitwa tu vekta.
Matrix inayojumuisha nambari moja inatambuliwa na nambari hii. A ya ukubwa mxn, vipengele vyote ambavyo ni sawa na sifuri, huitwa sifuri na vinaonyeshwa na 0. Vipengele vilivyo na fahirisi sawa huitwa vipengele vya diagonal kuu. Ikiwa idadi ya safu ni sawa na idadi ya safu, ambayo ni, m = n, basi matrix inaitwa matrix ya mraba ya mpangilio n. Matrices ya mraba ambayo vipengele tu vya diagonal kuu ni nonzero huitwa diagonal na imeandikwa kama ifuatavyo:
.
Ikiwa vipengele vyote a i i ya diagonal ni sawa na 1, basi inaitwa kitengo na inaonyeshwa na barua E:
.
Matrix ya mraba inaitwa triangular ikiwa vitu vyote hapo juu (au chini) diagonal kuu ni sawa na sifuri. Ubadilishaji ni badiliko ambalo safu mlalo na safu wima hubadilishwa wakati wa kudumisha nambari zao. Uhamisho unaonyeshwa na T juu.
Ikiwa tunapanga upya safu na safu katika (4.1), tunapata
,
ambayo itapitishwa kwa heshima na A. Hasa, wakati wa kupitisha vector ya safu, vector ya mstari hupatikana na kinyume chake.
Bidhaa ya A na nambari b ni matrix ambayo vipengele vyake hupatikana kutoka kwa vipengele vinavyolingana vya A kwa kuzidisha kwa namba b: b A = (b a i j).
Jumla A = (a i j) na B = (b i j) ya ukubwa sawa inaitwa C = (c i j) ya ukubwa sawa, vipengele ambavyo vinatambuliwa na formula c i j = a i j + b i j.
Bidhaa AB imebainishwa kwa kudhaniwa kuwa idadi ya safu wima A ni sawa na idadi ya safu mlalo ya B.
Bidhaa AB, ambapo A = (a i j) na B = (b j k), ambapo i = , j= , k= , imebainishwa katika kwa utaratibu fulani AB inaitwa C = (c i k), vipengele ambavyo vinatambuliwa na kanuni inayofuata:
c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)
Kwa maneno mengine, kipengele cha bidhaa AB kinafafanuliwa kama ifuatavyo: kipengele mstari wa i-th na safu ya kth C ni sawa na jumla ya bidhaa vipengele vya i-th safu A hadi vipengele vinavyolingana vya safu wima ya kth B.
Mfano 2.1. Tafuta bidhaa ya AB na.
Suluhisho. Tunayo: A ya ukubwa 2x3, B ya ukubwa 3x3, kisha bidhaa AB = C ipo na vipengele vya C ni sawa.
Kutoka 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, kutoka 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, kutoka 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,
s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .
, na bidhaa ya BA haipo.
Mfano 2.2. Jedwali linaonyesha idadi ya vitengo vya bidhaa zinazosafirishwa kila siku kutoka kwa maziwa 1 na 2 hadi duka la M 1, M 2 na M 3, na utoaji wa kitengo cha bidhaa kutoka kwa kila maziwa hadi kuhifadhi M 1 hugharimu pango 50. vitengo, kwa duka la M 2 - 70, na kwa M 3 - 130 den. vitengo Kuhesabu gharama za kila siku za usafirishaji wa kila mmea.
| Kiwanda cha maziwa |
|||
Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa A matrix tuliyopewa katika hali, na kwa
B - matrix inayoonyesha gharama ya kupeleka kitengo cha bidhaa kwenye duka, i.e.,
,
Kisha matrix ya gharama ya usafirishaji itaonekana kama:
.
Kwa hivyo, mmea wa kwanza hutumia wakanushaji 4,750 kwa usafirishaji kila siku. vitengo, pili - 3680 vitengo vya fedha.
Mfano 2.3. Kampuni ya kushona inazalisha nguo za baridi, nguo za msimu wa demi na mvua za mvua. Pato lililopangwa kwa muongo mmoja linajulikana na vector X = (10, 15, 23). Aina nne za vitambaa hutumiwa: T 1, T 2, T 3, T 4. Jedwali linaonyesha viwango vya matumizi ya kitambaa (katika mita) kwa kila bidhaa. Vector C = (40, 35, 24, 16) inataja gharama ya mita ya kitambaa cha kila aina, na vector P = (5, 3, 2, 2) inataja gharama ya kusafirisha mita ya kitambaa cha kila aina.
| Matumizi ya kitambaa |
||||
| Kanzu ya msimu wa Demi |
||||
1. Ni mita ngapi za kila aina ya kitambaa zitahitajika ili kukamilisha mpango?
2. Pata gharama ya kitambaa kilichotumiwa kwa kushona kila aina ya bidhaa.
3. Tambua gharama ya kitambaa kinachohitajika ili kukamilisha mpango.
Suluhisho. Hebu tuonyeshe kwa A matrix tuliyopewa katika hali, yaani,
,
kisha kupata idadi ya mita za kitambaa kinachohitajika kukamilisha mpango, unahitaji kuzidisha vekta X kwa matrix A:
Tunapata gharama ya kitambaa kilichotumiwa kwa kushona bidhaa za kila aina kwa kuzidisha matrix A na vekta C T:
.
Gharama ya kitambaa kinachohitajika kukamilisha mpango itatambuliwa na formula:
Hatimaye, kwa kuzingatia gharama za usafiri, kiasi chote kitakuwa sawa na gharama ya kitambaa, yaani 9472 den. vitengo, pamoja na thamani
X A P T = 
.
Kwa hiyo, X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (vitengo vya fedha).
ODA. Jedwali la mstatili linalojumuisha T mistari na P safu za nambari halisi huitwa tumbo ukubwa t×p. Matrices yanaonyeshwa kwa herufi kubwa Kilatini: A, B,..., na safu ya nambari hutenganishwa na mabano ya pande zote au mraba.
Nambari zilizojumuishwa kwenye jedwali huitwa vitu vya matrix na zinaonyeshwa kwa herufi ndogo za Kilatini na index mbili, wapi i- nambari ya mstari, j- nambari ya safu kwenye makutano ambayo kipengele iko. Kwa ujumla, matrix imeandikwa kama ifuatavyo:
Matrices mawili yanazingatiwa sawa, ikiwa vipengele vyao vinavyolingana ni sawa.
Ikiwa idadi ya safu za matrix T sawa na idadi ya nguzo zake P, basi matrix inaitwa mraba(vinginevyo - mstatili).
Matrix ya Ukubwa 
inayoitwa safu ya safu. Matrix ya Ukubwa 
inayoitwa safu ya safu.
Vipengele vya matrix vina fahirisi sawa ( 
nk), fomu diagonal kuu matrices. Ulalo mwingine unaitwa ulalo wa upande.
Matrix ya mraba inaitwa diagonal, ikiwa vipengele vyake vyote vilivyo nje ya diagonal kuu ni sawa na sifuri.
Matrix ya diagonal ambayo vipengele vya diagonal ni sawa na moja inaitwa single matrix na ina nukuu ya kawaida E:
Ikiwa vitu vyote vya matrix vilivyo juu (au chini) diagonal kuu ni sawa na sifuri, matrix inasemekana kuwa na fomu ya pembetatu:
§2. Operesheni kwenye matrices
1. Ubadilishaji wa Matrix - badiliko ambalo safu mlalo za matrix huandikwa kama safu wima wakati wa kudumisha mpangilio wao. Kwa matrix ya mraba, mabadiliko haya ni sawa na ulinganifu wa ramani kuhusu ulalo kuu:
.
2. Matrices ya mwelekeo sawa yanaweza kufupishwa (kupunguzwa). Jumla (tofauti) ya matrices ni matrix ya kipimo sawa, kila kipengele ambacho ni sawa na jumla (tofauti) ya vipengele vinavyolingana vya matrices ya awali:
3. Matrix yoyote inaweza kuzidishwa na nambari. Bidhaa ya matrix kwa nambari ni matrix ya mpangilio sawa, kila kipengele ambacho ni sawa na bidhaa ya kipengele kinacholingana cha matrix ya asili kwa nambari hii:
.
4. Ikiwa idadi ya safu wima za matrix moja ni sawa na idadi ya safu za safu nyingine, basi unaweza kuzidisha safu ya kwanza na ya pili. Bidhaa ya matiti kama haya ni matrix, kila kipengele ambacho ni sawa na jumla ya bidhaa za jozi za vitu vya safu inayolingana ya matrix ya kwanza na vitu vya safu inayolingana ya matrix ya pili.
Matokeo. Ufafanuzi wa matrix Kwa>1 ni zao la matrix A Kwa mara moja. Inafafanuliwa tu kwa matrices ya mraba.
Mfano.
Mali ya shughuli kwenye matrices.
(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T = kA T;
(A+B) T =A T +B T;
(AB) T =B T A T;
Sifa zilizoorodheshwa hapo juu ni sawa na sifa za utendakazi kwenye nambari. Pia kuna mali maalum ya matrices. Hizi ni pamoja na, kwa mfano, mali tofauti ya kuzidisha matrix. Ikiwa bidhaa AB ipo, basi bidhaa BA
Huenda zisiwepo
Inaweza kutofautiana na AB.
Mfano. Kampuni hiyo inazalisha bidhaa za aina mbili A na B na hutumia aina tatu za malighafi S 1, S 2, na S 3. Viwango vya matumizi ya malighafi hubainishwa na matrix N= 
, Wapi n ij- wingi wa malighafi j, iliyotumika katika uzalishaji wa kitengo cha pato i. Mpango wa uzalishaji hutolewa na matrix C=(100 200), na gharama ya kitengo cha kila aina ya malighafi inatolewa na matrix. 
. Amua gharama za malighafi zinazohitajika kwa uzalishaji uliopangwa na gharama ya jumla ya malighafi.
Suluhisho. Tunafafanua gharama za malighafi kama bidhaa ya matrices C na N:
Tunahesabu gharama ya jumla ya malighafi kama bidhaa ya S na P.