Mojawapo ya mada ngumu zaidi kwa wanafunzi ni kusuluhisha milinganyo iliyo na kigezo chini ya ishara ya moduli. Hebu kwanza tuone hii inaunganishwa na nini? Kwa nini, kwa mfano, watoto wengi hupasua milinganyo ya quadratic kama karanga, lakini wana matatizo mengi sana na dhana iliyo mbali na changamano kama moduli?
Kwa maoni yangu, shida hizi zote zinahusishwa na ukosefu wa sheria zilizowekwa wazi za kutatua equations na moduli. Kwa hivyo, kuamua mlinganyo wa quadratic, mwanafunzi anajua kwa hakika kwamba anahitaji kwanza kutumia fomula ya kibaguzi, na kisha kanuni za mizizi ya mlingano wa quadratic. Nini cha kufanya ikiwa moduli inapatikana katika equation? Tutajaribu kuelezea wazi mpango muhimu vitendo katika kesi wakati equation ina haijulikani chini ya ishara ya moduli. Tutatoa mifano kadhaa kwa kila kesi.
Lakini kwanza, tukumbuke ufafanuzi wa moduli. Kwa hivyo, modulo nambari a nambari hii yenyewe inaitwa kama a zisizo hasi na -a, ikiwa nambari a chini ya sifuri. Unaweza kuiandika kama hii:
|a| = a kama ≥ 0 na |a| = -a ikiwa a< 0
Kuzungumza kuhusu maana ya kijiometri moduli, ikumbukwe kwamba kila nambari halisi inalingana na hatua fulani kwenye mhimili wa nambari - yake kwa 
kuratibu. Kwa hivyo, moduli au thamani kamili ya nambari ni umbali kutoka kwa hatua hii hadi asili ya mhimili wa nambari. Umbali hubainishwa kila mara kama nambari chanya. Hivyo, moduli ya yoyote nambari hasi ni nambari chanya. Kwa njia, hata katika hatua hii, wanafunzi wengi huanza kuchanganyikiwa. Moduli inaweza kuwa na nambari yoyote, lakini matokeo ya kutumia moduli daima ni nambari chanya.
Sasa hebu tuende moja kwa moja ili kutatua equations.
1. Fikiria mlingano wa fomu |x| = c, ambapo c ni nambari halisi. Mlinganyo huu unaweza kutatuliwa kwa kutumia ufafanuzi wa moduli.
Tunagawanya nambari zote halisi katika vikundi vitatu: zile Juu ya sifuri, wale ambao ni chini ya sifuri, na kundi la tatu ni namba 0. Hebu tuandike suluhisho kwa namna ya mchoro:
(±c, ikiwa c> 0
Ikiwa |x| = c, kisha x = (0, ikiwa c = 0
(hakuna mizizi ikiwa na< 0
1) |x| = 5, kwa sababu 5 > 0, kisha x = ±5;
2) |x| = -5, kwa sababu -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, kisha x = 0.
2. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = b, ambapo b > 0. Ili kutatua equation hii ni muhimu kuondokana na moduli. Tunafanya hivi: f(x) = b au f(x) = -b. Sasa unahitaji kutatua kila equations zinazosababisha tofauti. Ikiwa katika mlinganyo wa asili b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, kwa sababu 4 > 0, basi
x + 2 = 4 au x + 2 = -4
2) |x 2 - 5| = 11, kwa sababu 11 > 0, basi
x 2 – 5 = 11 au x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 hakuna mizizi
3) |x 2 - 5x| = -8, kwa sababu -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = g (x). Kulingana na maana ya moduli, equation kama hiyo itakuwa na suluhisho ikiwa itakuwa sehemu ya kulia kubwa kuliko au sawa na sifuri, i.e. g(x) ≥ 0. Kisha tutakuwa na:
f(x) = g(x) au f(x) = -g(x).
1) | 2x - 1| = 5x - 10. Equation hii itakuwa na mizizi ikiwa 5x - 10 ≥ 0. Hapa ndipo ufumbuzi wa equations vile huanza.
1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0
2. Suluhisho:
2x – 1 = 5x – 10 au 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Tunaunganisha O.D.Z. na suluhisho, tunapata:
Mzizi x = 11/7 haifai O.D.Z., ni chini ya 2, lakini x = 3 inakidhi hali hii.
Jibu: x = 3
2) |x - 1| = 1 – x 2 .
1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Hebu tusuluhishe ukosefu huu wa usawa kwa kutumia mbinu ya muda:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Suluhisho:
x – 1 = 1 – x 2 au x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 au x = 1 x = 0 au x = 1
3. Tunachanganya suluhisho na O.D.Z.:
Mizizi x = 1 na x = 0 pekee ndiyo inayofaa.
Jibu: x = 0, x = 1.
4. Mlinganyo wa fomu |f(x)| = |g(x)|. Mlinganyo kama huo ni sawa na milinganyo miwili ifuatayo f(x) = g(x) au f(x) = -g(x).
1) |x 2 - 5x + 7| = |2x - 5|. Equation hii ni sawa na mbili zifuatazo:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 au x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 au x = 4 x = 2 au x = 1
Jibu: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Milinganyo kutatuliwa kwa njia mbadala (ubadilisho wa kigezo). Njia hii ya suluhisho inaelezewa kwa urahisi zaidi ndani mfano maalum. Kwa hivyo, wacha tupewe equation ya quadratic na moduli:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. Kwa sifa ya moduli x 2 = |x| 2, kwa hivyo equation inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Hebu tufanye badala |x| = t ≥ 0, basi tutakuwa na:
t 2 - 6t + 5 = 0. Kutatua equation hii, tunaona kwamba t = 1 au t = 5. Hebu turudi kwenye uingizwaji:
|x| = 1 au |x| = 5
x = ±1 x = ±5
Jibu: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Hebu tuangalie mfano mwingine:
x 2 + |x| – 2 = 0. Kwa sifa ya moduli x 2 = |x| 2, kwa hivyo
|x| 2 + |x| - 2 = 0. Wacha tufanye uingizwaji |x| = t ≥ 0, kisha:
t 2 + t - 2 = 0. Kutatua equation hii, tunapata t = -2 au t = 1. Hebu turudi kwenye uingizwaji:
|x| = -2 au |x| = 1
Hakuna mizizi x = ± 1
Jibu: x = -1, x = 1.
6. Aina nyingine ya milinganyo ni milinganyo yenye moduli "changamano". Milinganyo kama hii ni pamoja na milinganyo ambayo ina "module ndani ya moduli." Equations ya aina hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia mali ya moduli.
1) |3 - |x|| = 4. Tutafanya kwa njia sawa na katika milinganyo ya aina ya pili. Kwa sababu 4 > 0, kisha tunapata milinganyo miwili:
3 - |x| = 4 au 3 – |x| = -4.
Sasa hebu tueleze moduli x katika kila mlinganyo, kisha |x| = -1 au |x| = 7.
Tunatatua kila moja ya milinganyo inayotokana. Hakuna mizizi katika equation ya kwanza, kwa sababu -1< 0, а во втором x = ±7.
Jibu x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Tunatatua mlingano huu kwa njia sawa:
3 + |x + 1| = 5 au 3 + |x + 1| = -5
|x +1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 au x + 1 = -2. Hakuna mizizi.
Jibu: x = -3, x = 1.
Kuna pia mbinu ya ulimwengu wote kutatua milinganyo na moduli. Hii ndio njia ya muda. Lakini tutaiangalia baadaye.
tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.
Thamani kamili ya nambari a ni umbali kutoka asili hadi uhakika A(a).
Ili kuelewa ufafanuzi huu, wacha tubadilishe kutofautisha a nambari yoyote, kwa mfano 3 na ujaribu kuisoma tena:
Thamani kamili ya nambari 3 ni umbali kutoka asili hadi uhakika A(3 ).
Inakuwa wazi kuwa moduli sio zaidi ya umbali wa kawaida. Wacha tujaribu kuona umbali kutoka asili hadi kumweka A( 3 )
Umbali kutoka asili hadi uhakika A( 3 ) ni sawa na 3 (vizio vitatu au hatua tatu).
Moduli ya nambari inaonyeshwa na mistari miwili ya wima, kwa mfano:
Moduli ya nambari 3 imeashiriwa kama ifuatavyo: |3|
Moduli ya nambari 4 imeashiriwa kama ifuatavyo: |4|
Moduli ya nambari 5 imeashiriwa kama ifuatavyo: |5|
Tulitafuta moduli ya nambari 3 na tukagundua kuwa ni sawa na 3. Kwa hivyo tunaiandika:
Inasoma kama: "Moduli ya nambari tatu ni tatu"
Sasa hebu tujaribu kutafuta moduli ya nambari -3. Tena, tunarudi kwenye ufafanuzi na kubadilisha nambari -3 ndani yake. Badala ya nukta pekee A tumia nukta mpya B. Kusimama kamili A tayari tumetumia katika mfano wa kwanza.
Moduli ya nambari - 3 ni umbali kutoka asili hadi uhakika B(—3 ).
Umbali kutoka hatua moja hadi nyingine hauwezi kuwa mbaya. Kwa hiyo, moduli ya nambari yoyote hasi, kuwa umbali, pia haitakuwa mbaya. Moduli ya nambari -3 itakuwa nambari 3. Umbali kutoka kwa asili hadi hatua B(-3) pia ni sawa na vitengo vitatu:
Inasoma kama: "Moduli ya minus tatu ni tatu."
Moduli ya nambari 0 ni sawa na 0, kwani hatua iliyo na kuratibu 0 inalingana na asili, i.e. umbali kutoka asili hadi uhakika O(0) sawa na sifuri:
"Moduli ya sifuri ni sifuri"
Tunatoa hitimisho:
- Moduli ya nambari haiwezi kuwa mbaya;
- Kwa nambari chanya na sifuri, moduli ni sawa na nambari yenyewe, na kwa hasi - nambari ya kinyume;
- Nambari zinazopingana nazo modules sawa.
Nambari zinazopingana
Nambari ambazo hutofautiana tu kwa ishara zinaitwa kinyume. Kwa mfano, nambari −2 na 2 ni kinyume. Wanatofautiana kwa ishara tu. Nambari −2 ina ishara ya kuondoa, na 2 ina ishara ya kuongeza, lakini hatuioni, kwa sababu pamoja, kama tulivyosema hapo awali, haijaandikwa.
Mifano zaidi ya nambari tofauti:
Nambari zinazopingana zina moduli sawa. Kwa mfano, hebu tutafute moduli za −2 na 2
Takwimu inaonyesha kwamba umbali kutoka asili hadi pointi A(−2) Na B(2) sawa sawa na hatua mbili.
Ulipenda somo?
Jiunge na kikundi chetu kipya cha VKontakte na uanze kupokea arifa kuhusu masomo mapya
Kutatua milinganyo na usawa kwa kutumia moduli mara nyingi husababisha matatizo. Walakini, ikiwa unaelewa vizuri ni nini thamani kamili ya nambari, Na jinsi ya kupanua misemo iliyo na ishara ya moduli kwa usahihi, basi uwepo katika equation kujieleza chini ya ishara ya moduli, huacha kuwa kikwazo kwa suluhisho lake.
Nadharia kidogo. Kila nambari ina sifa mbili: thamani kamili ya nambari na ishara yake.
Kwa mfano, nambari +5, au 5 tu, ina ishara "+" na thamani kamili ya 5.
Nambari -5 ina ishara "-" na thamani kamili ya 5.
Thamani kamili za nambari 5 na -5 ni 5.
Thamani kamili ya nambari x inaitwa moduli ya nambari na inaonyeshwa na |x|.
Kama tunavyoona, moduli ya nambari ni sawa na nambari yenyewe ikiwa nambari hii ni kubwa kuliko au sawa na sifuri, na kwa nambari hii iliyo na ishara tofauti ikiwa nambari hii ni hasi.
Vile vile hutumika kwa misemo yoyote inayoonekana chini ya ishara ya moduli.
Sheria ya upanuzi wa moduli inaonekana kama hii:
|f(x)|= f(x) ikiwa f(x) ≥ 0, na
|f(x)|= - f(x), ikiwa f(x)< 0
Kwa mfano |x-3|=x-3, ikiwa x-3≥0 na |x-3|=-(x-3)=3-x, ikiwa x-3<0.
Ili kutatua equation iliyo na usemi chini ya ishara ya moduli, lazima kwanza panua moduli kulingana na kanuni ya upanuzi wa moduli.
Kisha usawa wetu au usawa unakuwa katika milinganyo miwili tofauti iliyopo kwenye vipindi viwili tofauti vya nambari.
Mlinganyo mmoja upo kwenye muda wa nambari ambapo usemi chini ya ishara ya moduli sio hasi.
Na mlinganyo wa pili upo kwenye muda ambao usemi chini ya ishara ya moduli ni hasi.
Hebu tuangalie mfano rahisi.
Wacha tusuluhishe equation:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. Hebu tufungue moduli.
|x-3|=x-3, ikiwa x-3≥0, i.e. ikiwa x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x ikiwa x-3<0, т.е. если х<3
2. Tulipokea vipindi viwili vya nambari: x≥3 na x<3.
Wacha tuchunguze ni milinganyo gani ambayo equation asili inabadilishwa kwa kila kipindi:
A) Kwa x≥3 |x-3|=x-3, na kujeruhiwa kwetu kuna namna:
Makini! Mlinganyo huu unapatikana tu kwenye muda wa x≥3!
Wacha tufungue mabano na tuwasilishe maneno sawa:
na kutatua equation hii.
Equation hii ina mizizi:
x 1 =0, x 2 =3
Makini! kwa kuwa equation x-3=-x 2 +4x-3 ipo tu kwenye muda wa x≥3, tunavutiwa tu na mizizi ambayo ni ya muda huu. Hali hii inatimizwa tu na x 2 =3.
B) Katika x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Makini! Mlinganyo huu unapatikana tu kwenye muda wa x<3!
Hebu tufungue mabano na tuwasilishe masharti sawa. Tunapata equation:
x 1 =2, x 2 =3
Makini! kwa kuwa mlinganyo 3-x=-x 2 +4x-3 upo tu kwenye muda wa x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Kwa hiyo: kutoka kwa muda wa kwanza tunachukua tu mizizi x = 3, kutoka kwa pili - mizizi x = 2.
Hatuchagui hisabati taaluma yake, na anatuchagua sisi.
Mwanahisabati wa Urusi Yu.I. Manin
Milinganyo na moduli
Shida ngumu zaidi kusuluhisha katika hisabati ya shule ni milinganyo iliyo na vigeuzo chini ya ishara ya moduli. Ili kufanikiwa kutatua equations kama hizo, unahitaji kujua ufafanuzi na mali ya msingi ya moduli. Kwa kawaida, wanafunzi lazima wawe na ujuzi wa kutatua milinganyo ya aina hii.
Dhana za kimsingi na mali
Modulus (thamani kamili) ya nambari halisi iliyoonyeshwa na na hufafanuliwa kama ifuatavyo:
Sifa rahisi za moduli ni pamoja na mahusiano yafuatayo:
Kumbuka, kwamba mali mbili za mwisho ni halali kwa digrii yoyote sawa.
Zaidi ya hayo, ikiwa, wapi, basi na
Sifa ngumu zaidi za moduli, ambayo inaweza kutumika kwa ufanisi wakati wa kutatua milinganyo na moduli, zimeundwa kupitia nadharia zifuatazo:
Nadharia 1.Kwa kazi zozote za uchambuzi Na usawa ni kweli
Nadharia 2. Usawa ni sawa na ukosefu wa usawa.
Nadharia 3. Usawa sawa na ukosefu wa usawa.
Wacha tuangalie mifano ya kawaida ya kutatua shida kwenye mada "Equations, iliyo na vigeuzo chini ya ishara ya moduli."
Kutatua milinganyo na moduli
Njia ya kawaida katika hisabati ya shule ya kutatua milinganyo na moduli ni njia, kulingana na upanuzi wa moduli. Njia hii ni ya ulimwengu wote, hata hivyo, kwa ujumla, matumizi yake yanaweza kusababisha mahesabu magumu sana. Katika suala hili, wanafunzi wanapaswa kujua mengine, njia bora zaidi na mbinu za kutatua milinganyo kama hii. Hasa, ni muhimu kuwa na ujuzi katika kutumia nadharia, iliyotolewa katika makala hii.
Mfano 1. Tatua mlinganyo. (1)
Suluhisho. Tutatua Equation (1) kwa kutumia njia ya "classical" - njia ya kufunua modules. Ili kufanya hivyo, hebu tugawanye mhimili wa nambari nukta na kwa vipindi na kuzingatia kesi tatu.
1. Ikiwa , basi , , , na equation (1) inachukua fomu . Inafuata kutoka kwa hii. Walakini, hapa, kwa hivyo dhamana iliyopatikana sio mzizi wa equation (1).
2. Kama, kisha kutoka kwa equation (1) tunapata au .
Tangu wakati huo mzizi wa equation (1).
3. Kama, kisha equation (1) inachukua fomu au . Hebu kumbuka hilo.
Jibu:,.
Wakati wa kutatua hesabu zinazofuata na moduli, tutatumia kikamilifu mali ya moduli ili kuongeza ufanisi wa kutatua hesabu kama hizo.
Mfano 2. Tatua mlinganyo.
Suluhisho. Tangu na kisha kutoka kwa equation inafuata. Katika suala hili, , , na equation inachukua fomu. Kutoka hapa tunapata. Hata hivyo, kwa hivyo mlinganyo wa asili hauna mizizi.
Jibu: hakuna mizizi.
Mfano 3. Tatua mlinganyo.
Suluhisho. Tangu, basi. Ikiwa, basi na equation inachukua fomu.
Kutoka hapa tunapata.
Mfano 4. Tatua mlinganyo.
Suluhisho.Wacha tuandike tena equation kwa fomu inayolingana. (2)
Mlinganyo unaotokana ni wa milinganyo ya aina .
Kwa kuzingatia Nadharia ya 2, inaweza kusemwa kuwa mlingano (2) ni sawa na ukosefu wa usawa . Kutoka hapa tunapata.
Jibu:.
Mfano 5. Tatua mlinganyo.
Suluhisho. Equation hii ina fomu. Ndiyo maana , kulingana na Theorem 3, hapa tuna usawa au .
Mfano 6. Tatua mlinganyo.
Suluhisho. Hebu tuchukulie hivyo. Kwa sababu, Hiyo kupewa mlinganyo inachukua umbo la mlinganyo wa quadratic, (3)
Wapi . Kwa kuwa equation (3) ina mzizi mmoja chanya na, basi . Kuanzia hapa tunapata mizizi miwili ya equation ya asili: Na.
Mfano 7. Tatua mlinganyo. (4)
Suluhisho. Tangu equationni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili: Na, basi wakati wa kutatua equation (4) ni muhimu kuzingatia kesi mbili.
1. Ikiwa , basi au .
Kutoka hapa tunapata, na.
2. Ikiwa , basi au .
Tangu, basi.
Jibu:,,,,.
Mfano 8.Tatua mlinganyo . (5)
Suluhisho. Tangu na, basi. Kutoka hapa na kutoka kwa equation (5) inafuata kwamba na, i.e. hapa tuna mfumo wa milinganyo
Walakini, mfumo huu wa milinganyo hauendani.
Jibu: hakuna mizizi.
Mfano 9. Tatua mlinganyo. (6)
Suluhisho. Ikiwa tunaashiria, basi na kutoka kwa equation (6) tunapata
Au . (7)
Kwa kuwa equation (7) ina fomu , mlinganyo huu ni sawa na ukosefu wa usawa . Kutoka hapa tunapata. Tangu, basi au.
Jibu:.
Mfano 10.Tatua mlinganyo. (8)
Suluhisho.Kulingana na Theorem 1, tunaweza kuandika
(9)
Kwa kuzingatia equation (8), tunahitimisha kwamba usawa wote (9) hugeuka kuwa usawa, i.e. kuna mfumo wa milinganyo
Walakini, kulingana na Nadharia ya 3, mfumo wa hapo juu wa milinganyo ni sawa na mfumo wa usawa.
(10)
Kutatua mfumo wa kukosekana kwa usawa (10) tunapata. Kwa kuwa mfumo wa kukosekana kwa usawa (10) ni sawa na mlinganyo (8), mlinganyo wa awali una mzizi mmoja.
Jibu:.
Mfano 11. Tatua mlinganyo. (11)
Suluhisho. Hebu na , basi usawa unafuata kutoka kwa equation (11).
Inafuata hiyo na. Hivyo, hapa tuna mfumo wa kutofautiana
Suluhisho la mfumo huu wa kukosekana kwa usawa ni Na.
Jibu:,.
Mfano 12.Tatua mlinganyo. (12)
Suluhisho. Equation (12) itatatuliwa kwa njia ya upanuzi wa mfululizo wa moduli. Ili kufanya hivyo, hebu fikiria kesi kadhaa.
1. Ikiwa, basi.
1.1. Ikiwa , basi na , .
1.2. Ikiwa, basi. Hata hivyo, kwa hiyo, katika kesi hii, equation (12) haina mizizi.
2. Ikiwa, basi.
2.1. Ikiwa , basi na , .
2.2. Ikiwa, basi na.
Jibu:,,,,,.
Mfano 13.Tatua mlinganyo. (13)
Suluhisho. Kwa kuwa upande wa kushoto wa equation (13) sio hasi, basi . Katika suala hili, na equation (13)
inachukua fomu au.
Inajulikana kuwa equation ni sawa na mchanganyiko wa milinganyo miwili Na, kutatua ambayo tunapata, . Kwa sababu, basi equation (13) ina mzizi mmoja.
Jibu:.
Mfano 14. Tatua mfumo wa milinganyo (14)
Suluhisho. Tangu na, basi na. Kwa hivyo, kutoka kwa mfumo wa equations (14) tunapata mifumo minne ya milinganyo:
Mizizi ya mifumo ya hapo juu ya equations ni mizizi ya mfumo wa equations (14).
Jibu:,,,,,,,,.
Mfano 15. Tatua mfumo wa milinganyo (15)
Suluhisho. Tangu, basi. Katika suala hili, kutoka kwa mfumo wa equations (15) tunapata mifumo miwili ya equations
Mizizi ya mfumo wa kwanza wa milinganyo ni na, na kutoka kwa mfumo wa pili wa milinganyo tunapata na.
Jibu:,,,,.
Mfano 16. Tatua mfumo wa milinganyo (16)
Suluhisho. Kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo (16) inafuata kwamba .
Tangu wakati huo . Hebu fikiria equation ya pili ya mfumo. Kwa sababu ya, Hiyo, na equation inachukua fomu,, au.
Ikiwa unabadilisha thamanikatika equation ya kwanza ya mfumo (16), basi , au .
Jibu:,.
Kwa utafiti wa kina wa njia za kutatua shida, kuhusiana na kutatua milinganyo, iliyo na vigeuzo chini ya ishara ya moduli, Unaweza kupendekeza mafunzo kutoka kwenye orodha ya fasihi iliyopendekezwa.
1. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati kwa waombaji wa vyuo / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Amani na Elimu, 2013. - 608 p.
2. Suprun V.P. Hisabati kwa wanafunzi wa shule ya upili: kazi za ugumu ulioongezeka. - M.: CD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.
3. Suprun V.P. Hisabati kwa wanafunzi wa shule ya upili: njia zisizo za kawaida za kutatua shida. - M.: CD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.
Bado una maswali?
Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu -.
blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.
Miongoni mwa mifano kwa kila moduli Mara nyingi kuna equations ambapo unahitaji kupata mizizi ya moduli kwenye moduli, yaani, mlinganyo wa fomu
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Ikiwa k = 0, yaani, upande wa kulia ni sawa na mara kwa mara (m), basi ni rahisi kutafuta suluhisho. milinganyo na moduli graphically. Chini ni mbinu ufunguzi wa moduli mbili kwa kutumia mifano ya kawaida katika mazoezi. Kuelewa algorithm ya kuhesabu milinganyo na moduli vizuri, ili usiwe na shida kwenye maswali, majaribio, na kujua tu.
Mfano 1. Tatua moduli ya mlingano |3|x|-5|=-2x-2.
Suluhisho: Anza kufungua milinganyo kutoka kwa moduli ya ndani kila wakati
|x|=0 <->x=0.
Katika hatua x=0, equation na moduli imegawanywa na 2.
Katika x< 0
подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Kwa x>0 au sawa, kupanua moduli tunayopata
|3x-5|=-2x-2 .
Wacha tusuluhishe equation kwa vigezo hasi (x< 0)
. Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).
Kutoka kwa equation ya kwanza tunapata kwamba suluhisho haipaswi kuzidi (-1), i.e.
Kizuizi hiki ni cha eneo ambalo tunatatua. Wacha tuhamishe vigeu na viunzi kwa pande tofauti za usawa katika mifumo ya kwanza na ya pili
na kutafuta suluhu 
Thamani zote mbili ni za muda unaozingatiwa, ambayo ni, ni mizizi.
Fikiria mlingano na moduli kwa vigeu vyema
|3x-5|=-2x-2.
Kupanua moduli tunapata mifumo miwili ya milinganyo 
Kutoka kwa equation ya kwanza, ambayo ni ya kawaida kwa mifumo miwili, tunapata hali inayojulikana
ambayo, katika makutano na seti ambayo tunatafuta suluhisho, inatoa seti tupu (hakuna pointi za makutano). Kwa hivyo mizizi pekee ya moduli iliyo na moduli ni maadili
x=-3; x=-1.4.
Mfano 2. Tatua mlingano kwa moduli ||x-1|-2|=3x-4.
Suluhisho: Wacha tuanze kwa kufungua moduli ya ndani
|x-1|=0 <=>x=1.
Kitendaji cha moduli ndogo hubadilisha ishara moja. Kwa maadili madogo ni hasi, kwa maadili makubwa ni chanya. Kwa mujibu wa hili, wakati wa kupanua moduli ya ndani, tunapata equations mbili na moduli
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Hakikisha umeangalia upande wa kulia wa mlinganyo wa moduli; lazima iwe kubwa kuliko sifuri.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Hii inamaanisha kuwa hakuna haja ya kutatua equation ya kwanza, kwani iliandikwa kwa x< 1,
что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 au x-3=4-3x;
4-3=3x-x au x+3x=4+3;
2x=1 au 4x=7;
x=1/2 au x=7/4.
Tulipokea maadili mawili, ya kwanza ambayo yamekataliwa kwa sababu sio ya muda unaohitajika. Mwishowe, equation ina suluhisho moja x=7/4.
Mfano 3. Tatua mlingano kwa moduli ||2x-5|-1|=x+3.
Suluhisho: Wacha tufungue moduli ya ndani
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5.
Pointi x=2.5 inagawanya mstari wa nambari katika vipindi viwili. Kwa mtiririko huo, kazi ya submodular mabadiliko ya ishara wakati wa kupita 2.5. Wacha tuandike hali ya suluhisho upande wa kulia wa equation na moduli.
x+3>=0 -> x>=-3.
Kwa hivyo suluhisho linaweza kuwa maadili sio chini ya (-3) . Wacha tupanue moduli kwa thamani hasi ya moduli ya ndani
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Moduli hii pia itatoa milinganyo 2 ikipanuliwa
-2x+4=x+3 au 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 au 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 au x=7 .
Tunakataa thamani x=7, kwa kuwa tulikuwa tunatafuta suluhu katika muda [-3;2.5]. Sasa tunafungua moduli ya ndani ya x> 2.5. Tunapata equation na moduli moja
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Wakati wa kupanua moduli tunapata zifuatazo milinganyo ya mstari
-2x+6=x+3 au 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 au 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 au x=9 .
Thamani ya kwanza x=1 haikidhi masharti x>2.5. Kwa hivyo katika kipindi hiki tuna mzizi mmoja wa mlinganyo na modulus x=9, na kuna mbili kwa jumla (x=1/3). Kwa kubadilisha unaweza kuangalia usahihi wa hesabu zilizofanywa.
Jibu: x=1/3; x=9.
Mfano 4. Pata suluhu za moduli mbili ||3x-1|-5|=2x-3.
Suluhisho: Wacha tupanue moduli ya ndani ya equation
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
Pointi x=2.5 inagawanya mstari wa nambari katika vipindi viwili na mlinganyo uliotolewa katika visa viwili. Tunaandika hali ya suluhisho kulingana na fomu ya equation upande wa kulia
2x-3>=0 -> x>=3/2=1.5.
Inafuata kwamba tunavutiwa na maadili>=1.5. Hivyo mlingano wa msimu fikiria kwa vipindi viwili
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Moduli inayotokana, ikipanuliwa, imegawanywa katika hesabu 2
-3x-4=2x-3 au 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 au 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 au x=-7 .
Thamani zote mbili haziingii kwenye muda, ambayo ni, sio suluhisho la equation na moduli. Ifuatayo, tutapanua moduli ya x>2.5. Tunapata equation ifuatayo
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Kupanua moduli, tunapata milinganyo 2 ya mstari
3x-6=2x-3 au –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 au 2x+3x=6+3;
x=3 au 5x=9; x=9/5=1.8.
Thamani ya pili iliyopatikana hailingani na hali x>2.5, tunaikataa.
Hatimaye tuna mzizi mmoja wa equation na moduli x=3.
Kufanya ukaguzi
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3
.
Mzizi wa equation na moduli ulihesabiwa kwa usahihi.
Jibu: x=1/3; x=9.