Suluhisho pata kwa kutumia kikokotoo. Suluhisho la algorithm ni sawa na kwa mifumo ya mstari sio milinganyo ya homogeneous.
Kufanya kazi tu na safu, tunapata kiwango cha matrix, msingi mdogo; Tunatangaza tegemezi na zisizojulikana bila malipo na kupata suluhisho la jumla.
Mstari wa kwanza na wa pili ni sawia, wacha tuvuke moja yao:
.
Vigezo tegemezi - x 2, x 3, x 5, bure - x 1, x 4. Kutoka kwa equation ya kwanza 10x 5 = 0 tunapata x 5 = 0, basi
; .
Suluhisho la jumla ni:
Tunapata mfumo wa kimsingi wa suluhu, ambao unajumuisha (n-r) suluhu. Kwa upande wetu, n = 5, r = 3, kwa hivyo, mfumo wa msingi wa suluhisho una suluhisho mbili, na suluhisho hizi lazima ziwe huru. Ili safu ziwe huru kwa mstari, ni muhimu na ya kutosha kwamba safu ya matrix inayojumuisha vipengele vya safu iwe sawa na idadi ya safu, yaani, 2. Inatosha kutoa haijulikani bure x 1 na. x thamani 4 kutoka kwa safu mlalo za kibainishi cha mpangilio wa pili, nonzero, na ukokotoe x 2 , x 3 , x 5 . Kiamuzi rahisi zaidi kisicho sifuri ni .
Kwa hivyo suluhisho la kwanza ni:
, pili - 
.
Maamuzi haya mawili yanaunda mfumo wa maamuzi ya kimsingi. Kumbuka kuwa mfumo wa kimsingi sio wa kipekee (unaweza kuunda vibainishi vingi vya nonzero unavyopenda).
Mfano 2. Tafuta suluhisho la jumla na mfumo wa msingi wa suluhisho la mfumo 
Suluhisho.
,
inafuata kwamba kiwango cha matrix ni 3 na sawa na idadi ya haijulikani. Hii ina maana kwamba mfumo hauna haijulikani bila malipo, na kwa hiyo ina ufumbuzi wa pekee - usio na maana.
Zoezi. Chunguza na usuluhishe mfumo milinganyo ya mstari.
Mfano 4
Zoezi. Tafuta masuluhisho ya jumla na mahususi ya kila mfumo.
Suluhisho. Wacha tuandike matrix kuu ya mfumo:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Hebu tupunguze matrix kwa fomu ya triangular. Tutafanya kazi na safu tu, kwani kuzidisha safu ya matrix na nambari nyingine isipokuwa sifuri na kuiongeza kwenye safu nyingine ya mfumo inamaanisha kuzidisha equation kwa nambari ile ile na kuiongeza na equation nyingine, ambayo haibadilishi suluhisho la hesabu. mfumo.
Zidisha mstari wa 2 kwa (-5). Wacha tuongeze mstari wa 2 hadi wa 1:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Hebu tuzidishe mstari wa 2 kwa (6). Zidisha mstari wa 3 kwa (-1). Wacha tuongeze mstari wa 3 hadi wa 2:
Wacha tupate kiwango cha matrix.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Mtoto aliyechaguliwa ana mpangilio wa juu zaidi (wa watoto wanaowezekana) na sio sifuri (ni sawa na bidhaa ya vitu kwenye mlalo wa nyuma), kwa hivyo rang(A) = 2.
Kidogo hiki ni cha msingi. Inajumuisha coefficients kwa haijulikani x 1 , x 2 , ambayo ina maana kwamba haijulikani x 1 , x 2 ni tegemezi (msingi), na x 3 , x 4 , x 5 ni bure.
Wacha tubadilishe matrix, tukiacha msingi mdogo upande wa kushoto.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Mfumo ulio na mgawo wa tumbo hili ni sawa na mfumo wa asili na una fomu:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Kutumia njia ya kuondoa haijulikani, tunapata ufumbuzi usio na maana:
Tulipata uhusiano unaoonyesha vigeu tegemezi x 1 , x 2 kupitia zile za bure x 3 , x 4 , x 5 , yaani, tulipata uamuzi wa pamoja:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Tunapata mfumo wa kimsingi wa suluhu, ambao unajumuisha (n-r) suluhu.
Kwa upande wetu, n = 5, r = 2, kwa hivyo, mfumo wa msingi wa suluhisho una suluhisho 3, na suluhisho hizi lazima ziwe huru.
Ili safu ziwe huru kimstari, ni muhimu na inatosha kwamba kiwango cha matriki inayojumuisha vipengele vya safu mlalo iwe sawa na idadi ya safu, yaani, 3.
Inatosha kutoa zisizojulikana za bure x 3 , x 4 , x 5 maadili kutoka kwa mistari ya kiashiria cha utaratibu wa 3, isiyo ya sifuri, na kuhesabu x 1 , x 2 .
Kiamuzi rahisi zaidi kisicho sifuri ni matrix ya utambulisho.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Kazi . Pata seti ya msingi ya suluhu kwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari.
Mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari juu ya uwanja
UFAFANUZI. Mfumo wa kimsingi wa masuluhisho kwa mfumo wa milinganyo (1) ni mfumo huru usio tupu wa kimstari wa suluhu zake, muda wa mstari ambao unaambatana na seti ya suluhu zote za mfumo (1).
Kumbuka kuwa mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari ambayo ina suluhu ya sifuri pekee haina mfumo wa kimsingi maamuzi.
PENDEKEZO 3.11. Mifumo yoyote miwili ya kimsingi ya suluhu kwa mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari inajumuisha idadi sawa maamuzi.
Ushahidi. Kwa hakika, mifumo yoyote miwili ya kimsingi ya masuluhisho ya mfumo wa milinganyo ya homogeneous (1) ni sawa na huru kimstari. Kwa hiyo, kwa Hoja 1.12, safu zao ni sawa. Kwa hivyo, idadi ya masuluhisho yaliyojumuishwa katika mfumo mmoja wa kimsingi ni sawa na idadi ya masuluhisho yaliyojumuishwa katika mfumo mwingine wowote wa kimsingi wa suluhisho.
Ikiwa tumbo kuu A la mfumo wa homogeneous wa equations (1) ni sifuri, basi vector yoyote kutoka ni suluhisho la mfumo (1); katika kesi hii, seti yoyote ya vekta huru kutoka kwa mstari ni mfumo wa msingi wa suluhisho. Ikiwa safu ya safu ya matrix A ni sawa na , basi mfumo (1) una suluhisho moja tu - sifuri; kwa hiyo, katika kesi hii, mfumo wa equations (1) hauna mfumo wa msingi wa ufumbuzi.
NADHARIA 3.12. Ikiwa safu ya matriki kuu ya mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari (1) ni chini ya idadi ya vigezo , basi mfumo (1) una mfumo wa ufumbuzi wa kimsingi unaojumuisha suluhu.
Ushahidi. Ikiwa cheo cha matrix kuu A ya mfumo wa homogeneous (1) ni sawa na sifuri au , basi ilionyeshwa hapo juu kwamba theorem ni kweli. Kwa hivyo, hapa chini inadhaniwa kuwa Assuming , tutafikiri kwamba safu wima za kwanza za matrix A zinajitegemea kimstari. Katika kesi hii, matrix A ni sawa na matriki iliyopunguzwa ya hatua kwa hatua, na mfumo (1) ni sawa na mfumo ufuatao uliopunguzwa wa milinganyo ya hatua:
Ni rahisi kuangalia kuwa mfumo wowote wa maadili ya anuwai ya bure ya mfumo (2) inalingana na suluhisho moja tu la mfumo (2) na, kwa hivyo, kwa mfumo (1). Hasa, tu ufumbuzi wa sifuri wa mfumo (2) na mfumo (1) unafanana na mfumo wa maadili ya sifuri.
Katika mfumo (2) tutawapa moja ya vigezo vya bure thamani sawa na 1, na vigezo vilivyobaki - maadili ya sifuri. Kama matokeo, tunapata suluhisho kwa mfumo wa equations (2), ambayo tunaandika kwa namna ya safu za matrix ifuatayo:
Mfumo wa safu mlalo wa matrix hii ni huru kwa mstari. Hakika, kwa scalar yoyote kutoka kwa usawa
usawa unafuata
na, kwa hiyo, usawa
Hebu tuthibitishe kwamba muda wa mstari wa mfumo wa safu za matrix C unaambatana na seti ya ufumbuzi wote wa mfumo (1).
Suluhisho la kiholela la mfumo (1). Kisha vector
pia ni suluhisho la mfumo (1), na
Equation ya mstari inaitwa zenye homogeneous, ikiwa neno lake la bure ni sawa na sifuri, na halina usawa vinginevyo. Mfumo unaojumuisha milinganyo ya homogeneous inaitwa homogeneous na ina fomu ya jumla:
Ni dhahiri kwamba kila mfumo wa homogeneous ni thabiti na una ufumbuzi wa sifuri (kidogo). Kwa hiyo, inapotumiwa kwa mifumo ya homogeneous ya equations linear, mara nyingi mtu anapaswa kutafuta jibu kwa swali la kuwepo kwa ufumbuzi wa nonzero. Jibu la swali hili linaweza kutengenezwa kama nadharia ifuatayo.
Nadharia . Mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari una suluhu isiyo ya kawaida ikiwa na tu ikiwa kiwango chake ni chini ya idadi ya haijulikani. .
Ushahidi: Hebu tuchukulie kuwa mfumo ambao cheo chake ni sawa una suluhu isiyo ya sifuri. Ni wazi haizidi. Ikiwa mfumo una suluhisho la kipekee. Kwa kuwa mfumo wa usawa wa mstari wa homogeneous daima una suluhisho la sifuri, basi suluhisho la sifuri litakuwa suluhisho hili la kipekee. Kwa hivyo, suluhisho zisizo za sifuri zinawezekana tu kwa .
Muhimu 1 : Mfumo wa homogeneous wa equations, ambapo idadi ya equations ni chini ya idadi ya haijulikani, daima ina ufumbuzi usio na sifuri.
Ushahidi: Ikiwa mfumo wa equations una , basi cheo cha mfumo hauzidi idadi ya equations, i.e. . Kwa hivyo, hali hiyo imeridhika na, kwa hiyo, mfumo una ufumbuzi usio na sifuri.
Muhimu 2 : Mfumo wa usawa wa milinganyo na zisizojulikana una suluhu isiyo ya kawaida ikiwa tu kibainishi chake ni sifuri.
Ushahidi: Wacha tuchukue kuwa mfumo wa milinganyo yenye usawa wa mstari, matrix ambayo na kiashiria , ina suluhu isiyo ya sifuri. Halafu, kulingana na nadharia iliyothibitishwa, na hii inamaanisha kuwa matrix ni ya umoja, i.e. .
Nadharia ya Kronecker-Capelli: SLU ni sawa ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matrix ya mfumo ni sawa na kiwango cha matrix iliyopanuliwa ya mfumo huu. Ur ya mfumo inaitwa thabiti ikiwa ina angalau suluhisho moja.Mfumo wa usawa wa milinganyo ya aljebra ya mstari.
Mfumo wa milinganyo ya mstari yenye vigeu vya n inaitwa mfumo wa milinganyo yenye usawa wa mstari ikiwa maneno yote huru ni sawa na 0. Mfumo wa milinganyo yenye mstari wa mstari daima ni thabiti, kwa sababu daima ina angalau ufumbuzi wa sifuri. Mfumo wa milinganyo ya homogeneous ya mstari una suluhisho isiyo ya sifuri ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matrix yake ya coefficients kwa vigezo ni chini ya idadi ya vigezo, i.e. kwa cheo A (n. Mchanganyiko wowote wa mstari
Suluhisho za mfumo wa Lin. zenye homogeneous. ur-ii pia ni suluhisho la mfumo huu.
Mfumo wa suluhu huru za mstari e1, e2,..., еk huitwa msingi ikiwa kila suluhu la mfumo ni mseto wa suluhu za mstari. Nadharia: ikiwa kiwango cha r cha matriki ya viambatisho vya vijikaratasi vya mfumo wa milinganyo yenye usawa ni chini ya idadi ya viambishi n, basi kila mfumo wa kimsingi wa suluhu kwa mfumo unajumuisha n-r ufumbuzi. Kwa hiyo, ufumbuzi wa jumla wa mfumo wa mstari. siku moja ur-th ina namna: c1e1+c2e2+...+skek, ambapo e1, e2,..., ek ni mfumo wowote wa kimsingi wa suluhisho, c1, c2,...,ck ni nambari za kiholela na k=n-r. Suluhisho la jumla la mfumo wa milinganyo ya mstari yenye vigeu vya n ni sawa na jumla
ya suluhisho la jumla la mfumo unaolingana nayo ni sawa. milinganyo ya mstari na suluhu fulani la kiholela la mfumo huu.
7. Nafasi za mstari. Nafasi ndogo. Msingi, mwelekeo. Gamba la mstari. Nafasi ya mstari inaitwa n-dimensional, ikiwa kuna mfumo wa vekta huru ndani yake, na mfumo wowote wa idadi kubwa ya vekta unategemea mstari. Nambari inaitwa kipimo (idadi ya vipimo) nafasi ya mstari na inaonyeshwa na . Kwa maneno mengine, mwelekeo wa nafasi ni idadi ya juu vekta zinazojitegemea za nafasi hii. Ikiwa nambari kama hiyo ipo, basi nafasi hiyo inaitwa finite-dimensional. Ikiwa kwa mtu yeyote nambari ya asili n katika nafasi kuna mfumo unaojumuisha vectors huru ya mstari, basi nafasi hiyo inaitwa infinite-dimensional (iliyoandikwa:). Katika kile kinachofuata, isipokuwa ikiwa imeelezwa vinginevyo, nafasi zenye ukomo zitazingatiwa.
Msingi wa nafasi ya mstari wa n-dimensional ni mkusanyiko ulioamriwa wa vekta huru za mstari ( vekta za msingi).
Nadharia 8.1 juu ya upanuzi wa vekta kulingana na msingi. Ikiwa ndio msingi wa nafasi ya mstari wa n-dimensional, basi vekta yoyote inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
na, zaidi ya hayo, kwa njia pekee, i.e. coefficients ni kuamua kipekee. Kwa maneno mengine, vector yoyote ya nafasi inaweza kupanuliwa kuwa msingi na, zaidi ya hayo, kwa njia ya pekee.
Kwa kweli, ukubwa wa nafasi ni. Mfumo wa vekta ni huru kwa mstari (hii ni msingi). Baada ya kuongeza vector yoyote kwa msingi, tunapata linearly mfumo tegemezi(kwa kuwa mfumo huu una vekta za nafasi ya n-dimensional). Kutumia mali ya vekta 7 zinazotegemea mstari na zinazojitegemea kwa mstari, tunapata hitimisho la nadharia.
Hebu M 0 - seti ya suluhisho kwa mfumo wa homogeneous (4) ya milinganyo ya mstari.
Ufafanuzi 6.12. Vekta Na 1 ,Na 2 , …, na uk, ambayo ni suluhisho la mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari huitwa seti ya msingi ya suluhisho(iliyofupishwa FNR), ikiwa
1) vekta Na 1 ,Na 2 , …, na uk kujitegemea kwa mstari (yaani, hakuna hata mmoja wao anayeweza kuonyeshwa kwa masharti ya wengine);
2) suluhisho lingine lolote kwa mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari inaweza kuonyeshwa kwa suala la suluhisho Na 1 ,Na 2 , …, na uk.
Kumbuka kwamba ikiwa Na 1 ,Na 2 , …, na uk- f.n.r. yoyote, kisha usemi k 1× Na 1 + k 2× Na 2 + … + k uk× na uk unaweza kuelezea seti nzima M Suluhisho 0 kwa mfumo (4), kwa hivyo inaitwa mtazamo wa jumla wa suluhisho la mfumo (4).
Nadharia 6.6. Mfumo wowote usio na kipimo wa milinganyo ya mstari una seti ya msingi ya suluhu.
Njia ya kupata seti ya msingi ya suluhisho ni kama ifuatavyo.
Pata suluhisho la jumla kwa mfumo wa homogeneous wa equations za mstari;
Kujenga ( n – r) suluhisho za sehemu za mfumo huu, wakati maadili ya vitu visivyojulikana vya bure lazima viundwe matrix ya utambulisho;
Andika fomu ya jumla ya suluhisho iliyojumuishwa M 0 .
Mfano 6.5. Tafuta seti ya msingi ya suluhisho kwa mfumo ufuatao:
Suluhisho. Wacha tupate suluhisho la jumla kwa mfumo huu.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Kuna tano zisizojulikana katika mfumo huu ( n= 5), ambapo kuna mambo mawili kuu yasiyojulikana ( r= 2), kuna tatu zisizojulikana za bure ( n – r), ambayo ni, seti ya msingi ya suluhisho ina vekta tatu za suluhisho. Hebu tuwajenge. Tuna x 1 na x 3 - haijulikani kuu, x 2 , x 4 , x 5 - haijulikani bila malipo
Maadili ya haijulikani bila malipo x 2 , x 4 , x 5 kuunda matrix ya utambulisho E utaratibu wa tatu. Nimepata vekta hizo Na 1 ,Na 2 , Na 3 kidato cha f.n.r. ya mfumo huu. Kisha seti ya ufumbuzi wa mfumo huu wa homogeneous itakuwa M 0 = {k 1× Na 1 + k 2× Na 2 + k 3× Na 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).
Wacha sasa tujue hali ya uwepo wa suluhisho zisizo za kawaida za mfumo wa usawa wa equations za mstari, kwa maneno mengine, masharti ya uwepo wa seti ya msingi ya suluhisho.
Mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari una masuluhisho yasiyo ya sifuri, ambayo ni, haijulikani ikiwa
1) kiwango cha matrix kuu ya mfumo ni chini ya idadi ya haijulikani;
2) katika mfumo wa homogeneous wa equations linear, idadi ya equations ni chini ya idadi ya haijulikani;
3) ikiwa katika mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari idadi ya milinganyo ni sawa na idadi ya zisizojulikana, na kiangazio cha matrix kuu ni sawa na sifuri (yaani | A| = 0).
Mfano 6.6. Kwa thamani gani ya parameta a mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari 
ina masuluhisho yasiyo ya sifuri?
Suluhisho. Wacha tutunge matrix kuu ya mfumo huu na tupate kiamua chake: = = 1×(–1) 1+1 × = – A- 4. Kiamuzi cha tumbo hili ni sawa na sifuri saa a = –4.
Jibu: –4.
7. Hesabu n- nafasi ya vekta ya dimensional
Dhana za Msingi
Katika sehemu zilizopita tayari tumekutana na dhana ya seti ya nambari halisi ziko ndani kwa utaratibu fulani. Hili ni safu mlalo (au matrix ya safu wima) na suluhisho la mfumo wa milinganyo ya mstari na n haijulikani. Habari hii inaweza kufupishwa.
Ufafanuzi 7.1. n-dimensional hesabu vector aliita seti iliyoamriwa ya n nambari za kweli.
Maana A= (a 1 , a 2 , ..., a n), wapi a i R, i = 1, 2, …, n- mtazamo wa jumla wa vector. Nambari n kuitwa mwelekeo vekta, na nambari a i wanaitwa wake kuratibu.
Kwa mfano: A= (1, -8, 7, 4, ) - vekta tano-dimensional.
Kila kitu kimewekwa n-vekta za mwelekeo kawaida huonyeshwa kama Rn.
Ufafanuzi 7.2. Vekta mbili A= (a 1 , a 2 , ..., a n) Na b= (b 1 , b 2 , ..., b n) ya kipimo sawa sawa ikiwa na ikiwa tu viwianishi vyao vinavyolingana ni sawa, yaani a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , ..., a n= b n.
Ufafanuzi 7.3.Kiasi mbili n-vekta zenye sura A= (a 1 , a 2 , ..., a n) Na b= (b 1 , b 2 , ..., b n) inaitwa vekta a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ..., a n+b n).
Ufafanuzi 7.4. Kazi nambari halisi k kwa vekta A= (a 1 , a 2 , ..., a n) inaitwa vekta k× A = (k×a 1, k×a 2, ..., k×a n)
Ufafanuzi 7.5. Vekta O= (0, 0, ..., 0) inaitwa sufuri(au vekta null).
Ni rahisi kuthibitisha kuwa vitendo (shughuli) za kuongeza veta na kuzizidisha kwa nambari halisi zina mali zifuatazo: " a, b, c Î Rn, " k, l R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 О R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Ufafanuzi 7.6. Kundi la Rn na shughuli za kuongeza vekta na kuzizidisha kwa nambari halisi iliyotolewa juu yake inaitwa nafasi ya vekta ya n-dimensional ya hesabu.
Mfumo wa milinganyo ya mstari ambao maneno yote huru ni sawa na sifuri huitwa zenye homogeneous :
Mfumo wowote wa homogeneous daima ni thabiti, kwa kuwa daima ina sufuri (yasiyo na maana ) suluhisho. Swali linatokea chini ya hali gani mfumo wa homogeneous utakuwa na suluhisho lisilo la kawaida.
Nadharia 5.2.Mfumo wa homogeneous una suluhisho lisilo la kawaida ikiwa na tu ikiwa kiwango cha matrix ya msingi ni chini ya idadi ya haijulikani.
Matokeo. Mfumo wa homogeneous wa mraba una suluhisho lisilo la kawaida ikiwa na tu ikiwa kibainishi cha tumbo kuu la mfumo si sawa na sifuri.
Mfano 5.6. Amua maadili ya paramu l ambayo mfumo una suluhisho zisizo za kawaida, na upate suluhisho hizi:
Suluhisho. Mfumo huu utakuwa na suluhisho lisilo la maana wakati kibainishi cha matrix kuu ni sawa na sifuri:
Kwa hivyo, mfumo sio mdogo wakati l = 3 au l = 2. Kwa l=3, kiwango cha matrix kuu ya mfumo ni 1. Kisha, ukiacha equation moja tu na kudhani kuwa y=a Na z=b, tunapata x=b-a, i.e.
Kwa l=2, kiwango cha matrix kuu ya mfumo ni 2. Kisha, kuchagua ndogo kama msingi:
tunapata mfumo uliorahisishwa
Kuanzia hapa tunapata hiyo x=z/4, y=z/2. Kuamini z=4a, tunapata
Seti ya suluhisho zote za mfumo wa homogeneous ina muhimu sana mali ya mstari : ikiwa safu za X 1 na X 2 - suluhisho kwa mfumo wa homogeneous AX = 0, basi mchanganyiko wowote wa mstari wao a X 1 + b X 2 pia itakuwa suluhisho kwa mfumo huu. Kwa kweli, tangu AX 1 = 0 Na AX 2 = 0 , Hiyo A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Ni kwa sababu ya mali hii kwamba ikiwa mfumo wa mstari una suluhisho zaidi ya moja, basi kutakuwa na idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi huu.
Safu wima zinazojitegemea E 1 , E 2 , Ek, ambayo ni ufumbuzi wa mfumo wa homogeneous, huitwa mfumo wa msingi wa suluhisho mfumo wa usawa wa milinganyo ya mstari ikiwa suluhisho la jumla la mfumo huu linaweza kuandikwa kama mchanganyiko wa safu wima hizi:
Ikiwa mfumo wa homogeneous una n vigezo, na cheo cha matrix kuu ya mfumo ni sawa na r, Hiyo k = n-r.
Mfano 5.7. Pata mfumo wa kimsingi wa suluhisho kwa mfumo ufuatao wa milinganyo ya mstari:
Suluhisho. Wacha tupate kiwango cha matrix kuu ya mfumo:
Kwa hivyo, seti ya suluhisho kwa mfumo huu wa milinganyo huunda nafasi ndogo ya kipimo n-r= 5 - 2 = 3. Wacha tuchague madogo kama msingi
.
Halafu, tukiacha hesabu za msingi tu (zilizobaki zitakuwa mchanganyiko wa mstari wa hesabu hizi) na vijiti vya msingi (tunasonga vilivyobaki, kinachojulikana kama vigeu vya bure kulia), tunapata mfumo uliorahisishwa wa hesabu:
Kuamini x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, tunapata
, 
.
Kuamini a= 1, b = c= 0, tunapata suluhisho la msingi la kwanza; kuamini b= 1, a = c= 0, tunapata suluhisho la pili la msingi; kuamini c= 1, a = b= 0, tunapata suluhisho la tatu la msingi. Matokeo yake, mfumo wa kawaida wa msingi wa ufumbuzi utachukua fomu
Kutumia mfumo wa kimsingi, suluhisho la jumla la mfumo wa homogeneous linaweza kuandikwa kama
X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a
Wacha tuangalie mali kadhaa za suluhisho kwa mfumo usio na usawa wa hesabu za mstari AX=B na uhusiano wao na mfumo unaolingana wa milinganyo AX = 0.
Suluhisho la jumla la mfumo wa inhomogeneousni sawa na jumla ya suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa homogeneous AX = 0 na suluhisho la kiholela la mfumo usio na usawa.. Kweli, basi Y 0 ni suluhisho la kiholela la mfumo usio na usawa, i.e. AY 0 = B, Na Y- ufumbuzi wa jumla wa mfumo wa kutofautiana, i.e. AY=B. Kuondoa usawa mmoja kutoka kwa mwingine, tunapata
A(Y-Y 0) = 0, i.e. Y-Y 0 ni suluhisho la jumla la mfumo unaolingana wa homogeneous AX=0. Kwa hivyo, Y-Y 0 = X, au Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Wacha mfumo usio na usawa uwe na fomu AX = B 1 + B 2 . Kisha suluhisho la jumla la mfumo kama huo linaweza kuandikwa kama X = X 1 + X 2 , wapi AX 1 = B 1 na AX 2 = B 2. Mali hii inaonyesha mali ya ulimwengu ya yoyote mifumo ya mstari(algebraic, tofauti, kazi, nk). Katika fizikia mali hii inaitwa kanuni ya nafasi ya juu, katika uhandisi wa umeme na redio - kanuni ya superposition. Kwa mfano, katika nadharia ya saketi za umeme za mstari, sasa katika saketi yoyote inaweza kupatikana kama jumla ya aljebra ya mikondo inayosababishwa na kila chanzo cha nishati kando.