T. Kosyakova,
Shule Nambari 80, Krasnodar

Kutatua milinganyo ya kimantiki ya robo na ya sehemu iliyo na vigezo

Somo la 4

Mada ya somo:

Kusudi la somo: kukuza uwezo wa kutatua milinganyo ya kimantiki iliyo na vigezo.

Aina ya somo: kuanzishwa kwa nyenzo mpya.

1. (Kwa mdomo) Tatua milinganyo:

Mfano 1. Tatua mlinganyo

Suluhisho.

Hebu tutafute maadili batili a:

Jibu. Kama Kama a = – 19 , basi hakuna mizizi.

Mfano 2. Tatua mlinganyo

Suluhisho.

Hebu tutafute thamani za parameta zisizo sahihi a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Jibu. Kama a = 5 a № 5 , Hiyo x=10– a .

Mfano 3. Kwa maadili gani ya parameta b mlinganyo Ina:

a) mizizi miwili; b) mzizi pekee?

Suluhisho.

1) Tafuta thamani za kigezo zisizo sahihi b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 au b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 au b = – 2.

2) Tatua mlinganyo x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2 - 1), D = 4 b 2 .

A)

Haijumuishi thamani za kigezo zisizo sahihi b , tunaona kwamba equation ina mizizi miwili ikiwa b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, lakini hii ni thamani ya kigezo batili b ; Kama b 2 –1=0 , i.e. b=1 au.

Jibu: a) ikiwa b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , kisha mizizi miwili; b) ikiwa b=1 au b=–1 , basi mzizi pekee.

Kazi ya kujitegemea

Chaguo 1

Tatua milinganyo:

Chaguo la 2

Tatua milinganyo:

Majibu

KATIKA 1. na kama a=3 , basi hakuna mizizi; Kama b) ikiwa a № 2 , basi hakuna mizizi.

SAA 2. Kama a=2 , basi hakuna mizizi; Kama a=0 , basi hakuna mizizi; Kama
b) ikiwa a=– 1 , basi equation inakuwa haina maana; ikiwa hakuna mizizi;
Kama

Kazi ya nyumbani.

Tatua milinganyo:

Majibu: a) Kama a № –2 , Hiyo x= a ; Kama a=–2 , basi hakuna ufumbuzi; b) ikiwa a № –2 , Hiyo x=2; Kama a=–2 , basi hakuna ufumbuzi; c) ikiwa a=–2 , Hiyo x- nambari yoyote isipokuwa 3 ; Kama a № –2 , Hiyo x=2; d) ikiwa a=–8 , basi hakuna mizizi; Kama a=2 , basi hakuna mizizi; Kama

Somo la 5

Mada ya somo:"Kutatua milinganyo ya kimantiki iliyo na vigezo."

Malengo ya somo:

mafunzo katika kutatua equations na hali zisizo za kawaida;
unyambulishaji fahamu na wanafunzi wa dhana za aljebra na miunganisho kati yao.

Aina ya somo: utaratibu na jumla.

Kuangalia kazi ya nyumbani.

Mfano 1. Tatua mlinganyo

a) jamaa na x; b) jamaa na y.

Suluhisho.

a) Tafuta thamani zisizo sahihi y: y=0, x=y, y 2 =y 2 -2y,

y=0- thamani ya kigezo batili y.

Kama y№ 0 , Hiyo x=y–2; Kama y=0, basi equation inakuwa haina maana.

b) Tafuta thamani za kigezo zisizo sahihi x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- thamani ya kigezo batili x; y(2+x–y)=0, y=0 au y=2+x;

y=0 haikidhi hali y(y-x)№ 0 .

Jibu: a) ikiwa y=0, basi equation inakuwa haina maana; Kama y№ 0 , Hiyo x=y–2; b) ikiwa x=0 x№ 0 , Hiyo y=2+x .

Mfano 2. Kwa maadili gani kamili ya parameta a ndio mizizi ya equation ni ya muda

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Kama a № 0 au a № – 1 , Hiyo

Jibu: 5 .

Mfano 3. Tafuta kiasi x suluhu kamili za mlinganyo

Jibu. Kama y=0, basi equation haina maana; Kama y=–1, Hiyo x- nambari yoyote isipokuwa sifuri; Kama y№ 0, y№ - 1, basi hakuna masuluhisho.

Mfano 4. Tatua mlinganyo na vigezo a Na b .

Kama a№ -b , Hiyo

Jibu. Kama a= 0 au b= 0 , basi equation inakuwa haina maana; Kama a№ 0, b№ 0, a=–b , Hiyo x- nambari yoyote isipokuwa sifuri; Kama a№ 0, b№ 0, a№ -b, Hiyo x=–a, x=–b .

Mfano 5. Thibitisha kwamba kwa thamani yoyote ya kigezo n zaidi ya sifuri, mlinganyo ina mzizi mmoja sawa na -n .

Suluhisho.

i.e. x=–n, ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Kazi ya nyumbani.

1. Tafuta suluhu kamili za mlingano

2. Kwa maadili gani ya parameter c mlinganyo Ina:
a) mizizi miwili; b) mzizi pekee?

3. Pata mizizi yote kamili ya equation Kama a KUHUSU N .

4. Tatua mlinganyo 3xy - 5x + 5y = 7: a) kiasi y; b) kiasi x .

1. Mlinganyo huo unatoshelezwa na nambari zozote kamili sawa za x na y isipokuwa sifuri.
2. a) Wakati
b) saa au
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Ikiwa basi hakuna mizizi; Kama
b) ikiwa basi hakuna mizizi; Kama

Mtihani

Chaguo 1

1. Tambua aina ya mlinganyo 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 wakati: a) c=–3; b) c=2 ; V) c=4 .

2. Tatua milinganyo: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Tatua mlinganyo 3x–xy–2y=1:

a) kiasi x ;
b) kiasi y .

nx 2 – 26x + n = 0, kujua kuwa parameta n inakubali nambari kamili pekee.

5. Ni kwa maadili gani ya b hufanya equation Ina:

a) mizizi miwili;
b) mzizi pekee?

Chaguo la 2

1. Tambua aina ya mlinganyo 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0 wakati: a) c=–4 ; b) c=7 ; V) c=1 .

2. Tatua milinganyo: a) y 2 +cy=0 ; b) ny 2 -8y+2=0 ; V)

3. Tatua mlinganyo 6x–xy+2y=5:

a) kiasi x ;
b) kiasi y .

4. Pata mizizi kamili ya equation nx 2 –22x+2n=0 , kujua kuwa parameta n inakubali nambari kamili pekee.

5. Ni kwa maadili gani ya parameta a hufanya equation Ina:

a) mizizi miwili;
b) mzizi pekee?

Majibu

KATIKA 1. 1. a) Mlingano wa mstari;
b) equation ya quadratic isiyo kamili; c) mlingano wa quadratic.
2. a) Kama b=0, Hiyo x=0; Kama b№ 0, Hiyo x=0, x=b;
b) Kama cО (9;+Ґ), basi hakuna mizizi;
c) ikiwa a=–4 , basi equation inakuwa haina maana; Kama a№ –4 , Hiyo x=– a .
3. a) Kama y=3, basi hakuna mizizi; Kama);
b) a=–3, a=1.

Kazi za ziada

Tatua milinganyo:

Fasihi

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. Kuhusu vigezo tangu mwanzo. – Mkufunzi, No. 2/1991, p. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Masharti muhimu katika matatizo na vigezo. - Kvant, No. 11/1991, p. 44–49.
3. Dorofeev G.V., Zatakavay V.V. Kutatua tatizo zenye vigezo. Sehemu ya 2. - M., Mtazamo, 1990, p. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Shida mia tano na kumi na nne na vigezo. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Matatizo na vigezo. - M., Elimu, 1986.

Milinganyo ya sehemu. ODZ.

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Tunaendelea kusimamia milinganyo. Tayari tunajua jinsi ya kufanya kazi na milinganyo ya mstari na quadratic. Mtazamo wa mwisho kushoto - milinganyo ya sehemu . Au pia huitwa kwa heshima zaidi - milinganyo ya kimantiki ya sehemu. Ni sawa.

Milinganyo ya sehemu.

Kama jina linamaanisha, milinganyo hii lazima iwe na sehemu. Lakini sio sehemu tu, lakini sehemu ambazo zina haijulikani katika dhehebu. Angalau katika moja. Kwa mfano:

Acha nikukumbushe kwamba ikiwa madhehebu ni tu nambari, hizi ni milinganyo ya mstari.

Jinsi ya kuamua milinganyo ya sehemu? Kwanza kabisa, ondoa sehemu! Baada ya hayo, equation mara nyingi hubadilika kuwa mstari au quadratic. Na kisha tunajua la kufanya... Katika hali nyingine inaweza kugeuka kuwa kitambulisho, kama vile 5=5 au usemi usio sahihi, kama vile 7=2. Lakini hii hutokea mara chache. Nitataja hii hapa chini.

Lakini jinsi ya kujiondoa sehemu!? Rahisi sana. Kutumia mabadiliko yanayofanana.

Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa usemi sawa. Ili madhehebu yote yapunguzwe! Kila kitu kitakuwa rahisi mara moja. Acha nieleze kwa mfano. Wacha tujaribu kutatua equation:

Ulifundishwa vipi katika shule ya msingi? Tunasonga kila kitu kwa upande mmoja, kuleta kwa dhehebu la kawaida, nk. Kusahau jinsi ndoto ya kutisha! Hivi ndivyo unahitaji kufanya unapoongeza au kupunguza. maneno ya sehemu. Au unafanya kazi bila usawa. Na katika equations, mara moja tunazidisha pande zote mbili kwa kujieleza ambayo itatupa fursa ya kupunguza madhehebu yote (yaani, kwa asili, kwa kawaida). Na usemi huu ni nini?

Kwa upande wa kushoto, kupunguza denominator inahitaji kuzidisha kwa x+2. Na upande wa kulia, kuzidisha kwa 2 inahitajika. Hii ina maana kwamba equation lazima iongezwe na 2(x+2). Zidisha:

Huu ni mzidisho wa kawaida wa sehemu, lakini nitaelezea kwa undani:

Tafadhali kumbuka kuwa sifungui mabano bado (x + 2)! Kwa hivyo, kwa ujumla, ninaandika:

Upande wa kushoto ni mikataba kabisa (x+2), na upande wa kulia 2. Ambayo ndiyo ilitakiwa! Baada ya kupunguzwa tunapata mstari mlinganyo:

Na kila mtu anaweza kutatua equation hii! x = 2.

Wacha tusuluhishe mfano mwingine, ngumu zaidi:

Ikiwa tunakumbuka kwamba 3 = 3/1, na 2x = 2x/ 1, tunaweza kuandika:

Na tena tunaondoa kile ambacho hatupendi kabisa - sehemu.

Tunaona kwamba ili kupunguza dhehebu na X, tunahitaji kuzidisha sehemu kwa (x - 2). Na wachache sio kikwazo kwetu. Naam, hebu tuzidishe. Wote upande wa kushoto na zote upande wa kulia:

Mabano tena (x - 2) Mimi si kufichua. Ninafanya kazi na mabano kwa ujumla kana kwamba ni nambari moja! Hii lazima ifanyike kila wakati, vinginevyo hakuna kitakachopunguzwa.

Kwa hisia ya kuridhika kwa kina tunapunguza (x - 2) na tunapata equation bila sehemu yoyote, na mtawala!

Sasa hebu tufungue mabano:

Tunaleta zinazofanana, songa kila kitu upande wa kushoto na upate:

Lakini kabla ya hapo tutajifunza kutatua matatizo mengine. Juu ya maslahi. Huo ni mtego, kwa njia!

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Equations na sehemu zenyewe sio ngumu na zinavutia sana. Wacha tuangalie aina za hesabu za sehemu na jinsi ya kuzitatua.

Jinsi ya kutatua hesabu na sehemu - x kwenye nambari

Ikiwa equation ya sehemu imetolewa, ambapo haijulikani iko kwenye nambari, suluhisho halihitaji masharti ya ziada na hutatuliwa bila. usumbufu usio wa lazima. Fomu ya jumla mlinganyo huo ni x/a + b = c, ambapo x haijulikani, a, b na c ni nambari za kawaida.

Tafuta x: x/5 + 10 = 70.

Ili kutatua equation, unahitaji kuondoa sehemu. Zidisha kila neno katika mlinganyo kwa 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x na 5 zimeghairiwa, 10 na 70 zinazidishwa na 5 na tunapata: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Tafuta x: x/5 + x/10 = 90.

Mfano huu ni toleo ngumu zaidi la ya kwanza. Kuna suluhisho mbili zinazowezekana hapa.

• Chaguo 1: Tunaondoa sehemu kwa kuzidisha masharti yote ya equation na denominator kubwa, ambayo ni, kwa 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = > x=300.
• Chaguo 2: Ongeza upande wa kushoto wa mlinganyo. x/5 + x/10 = 90. Kiwango cha kawaida ni 10. Gawanya 10 kwa 5, kuzidisha kwa x, tunapata 2x. Gawanya 10 kwa 10, zidisha kwa x, tunapata x: 2x+x/10 = 90. Kwa hiyo 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Mara nyingi tunakutana na milinganyo ya sehemu ambapo x ziko pande tofauti za ishara sawa. Katika hali kama hizi, inahitajika kuhamisha sehemu zote na X kwa upande mmoja, na nambari hadi nyingine.

• Tafuta x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Sogeza 2x/5 kulia kwa ishara iliyo kinyume: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Tunapunguza 5x/5 na kupata: x = 130.

Jinsi ya kutatua equation na sehemu - x kwenye denominator

Aina hii ya milinganyo ya sehemu inahitaji kuandika masharti ya ziada. Dalili ya masharti haya ni sehemu ya lazima na muhimu ya uamuzi sahihi. Kwa kutoziongeza, una hatari, kwani jibu (hata ikiwa ni sahihi) linaweza tu kutohesabiwa.

Aina ya jumla ya milinganyo ya sehemu, ambapo x iko katika denominator, ni: a/x + b = c, ambapo x haijulikani, a, b, c ni nambari za kawaida. Tafadhali kumbuka kuwa x inaweza isiwe nambari yoyote. Kwa mfano, x haiwezi kuwa sifuri, kwani haiwezi kugawanywa na 0. Hivi ndivyo ilivyo hali ya ziada, ambayo lazima tueleze. Hii inaitwa eneo maadili yanayokubalika, iliyofupishwa kama ODZ.

Tafuta x: 15/x + 18 = 21.

Mara moja tunaandika ODZ kwa x: x ≠ 0. Sasa kwa kuwa ODZ imeonyeshwa, tunatatua equation kwa kutumia mpango wa kawaida, kuondoa sehemu. Zidisha masharti yote ya mlingano kwa x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Mara nyingi kuna equations ambapo denominator haina x tu, lakini pia operesheni nyingine nayo, kwa mfano, kuongeza au kutoa.

Tafuta x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Tayari tunajua kwamba denominator haiwezi kuwa sawa na sifuri, ambayo ina maana x-3 ≠ 0. Tunasonga -3 kwa upande wa kulia, kubadilisha ishara "-" hadi "+" na tunapata hiyo x ≠ 3. ODZ ni imeonyeshwa.

Tunatatua equation, kuzidisha kila kitu kwa x-3: 15 + 18× (x - 3) = 21× (x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Sogeza za X kulia, nambari kushoto: 24 = 3x => x = 8.

Wasilisho na somo juu ya mada: "Milinganyo ya busara. Algorithm na mifano ya kutatua milinganyo ya busara"

Nyenzo za ziada
Watumiaji wapendwa, usisahau kuacha maoni yako, hakiki, matakwa! Nyenzo zote zimeangaliwa na programu ya kupambana na virusi.

Misaada ya kielimu na viigizaji katika duka la mtandaoni la Integral kwa daraja la 8
Mwongozo wa kitabu cha maandishi na Makarychev Yu.N. Mwongozo wa kitabu cha maandishi na Mordkovich A.G.

Utangulizi wa Milinganyo Isiyo na Maana

Jamani, tumejifunza kutatua milinganyo ya quadratic. Lakini hisabati sio mdogo kwao tu. Leo tutajifunza jinsi ya kutatua milinganyo ya busara. Dhana ya milinganyo ya kimantiki inafanana kwa namna nyingi na dhana nambari za busara. Mbali na nambari tu, sasa tumeanzisha mabadiliko fulani $x$. Na kwa hivyo tunapata usemi ambao shughuli za kuongeza, kutoa, kuzidisha, kugawanya na kuongeza kwa nguvu kamili zipo.

Acha $r(x)$ iwe kujieleza kwa busara. Usemi kama huo unaweza kuwa polima rahisi katika kigezo cha $x$ au uwiano wa polimanomia (operesheni ya mgawanyiko inaletwa, kama ilivyo kwa nambari za busara).
Equation $r(x)=0$ inaitwa mlinganyo wa busara.
Mlinganyo wowote wa fomu $p(x)=q(x)$, ambapo $p(x)$ na $q(x)$ ni vielezi vya busara, pia itakuwa. mlinganyo wa busara.

Wacha tuangalie mifano ya kutatua milinganyo ya busara.

Mfano 1.
Tatua mlingano: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Suluhisho.
Hebu tuhamishe misemo yote kwa upande wa kushoto: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ikiwa upande wa kushoto wa equation ungewakilishwa na nambari za kawaida, basi tungepunguza sehemu hizo mbili hadi denominator ya kawaida.
Hebu tufanye hivi: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Tulipata mlingano: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Sehemu ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa nambari ya sehemu ni sifuri na denominator sio sifuri. Kisha tunalinganisha nambari kwa sifuri na kupata mizizi ya nambari.
$3(x^2+2x-3)=0$ au $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Sasa hebu tuangalie denominator ya sehemu: $(x-3)*x≠0$.
Bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri wakati angalau moja ya nambari hizi ni sawa na sifuri. Kisha: $x≠0$ au $x-3≠0$.
$x≠0$ au $x≠3$.
Mizizi iliyopatikana katika nambari na denominator hailingani. Kwa hivyo tunaandika mizizi yote miwili ya nambari kwenye jibu.
Jibu: $x=1$ au $x=-3$.

Ikiwa ghafla moja ya mizizi ya nambari inaambatana na mzizi wa dhehebu, basi inapaswa kutengwa. Mizizi kama hiyo inaitwa extraneous!

Algorithm ya kutatua milinganyo ya busara:

1. Sogeza misemo yote iliyo katika mlinganyo hadi upande wa kushoto wa ishara sawa.
2. Badilisha sehemu hii ya mlinganyo kuwa sehemu ya algebra: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Sawazisha nambari inayotokana na sifuri, yaani, suluhisha mlinganyo $p(x)=0$.
4. Sawazisha denominator kwa sifuri na kutatua usawa unaosababisha. Ikiwa mizizi ya denominator inafanana na mizizi ya nambari, basi inapaswa kutengwa na jibu.

Mfano 2.
Tatua mlingano: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Suluhisho.
Wacha tusuluhishe kulingana na vidokezo vya algorithm.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Sawazisha nambari na sufuri: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Sawazisha dhehebu kwa sifuri:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ na $x=-1$.
Moja ya mizizi $x=1$ inapatana na mzizi wa nambari, basi hatuiandiki katika jibu.
Jibu: $x=-1$.

Ni rahisi kutatua equations za busara kwa kutumia njia ya mabadiliko ya vigezo. Hebu tuonyeshe hili.

Mfano 3.
Tatua mlingano: $x^4+12x^2-64=0$.

Suluhisho.
Hebu tutambulishe kibadala: $t=x^2$.
Kisha equation yetu itachukua fomu:
$t^2+12t-64=0$ - mlingano wa quadratic wa kawaida.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4.
Hebu tuanzishe ubadilishaji wa kinyume: $x^2=4$ au $x^2=-16$.
Mizizi ya mlingano wa kwanza ni jozi ya nambari $x=±2$. Jambo la pili ni kwamba haina mizizi.
Jibu: $x=±2$.

Mfano 4.
Tatua mlingano: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Suluhisho.
Hebu tutambulishe kigezo kipya: $t=x^2+x+1$.
Kisha equation itachukua fomu: $t=\frac(15)(t+2)$.
Ifuatayo, tutaendelea kulingana na algorithm.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; $3.
4. $t≠-2$ - mizizi haifai sanjari.
Wacha tuanzishe kibadala cha kinyume.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Wacha tusuluhishe kila equation kando:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - hapana mizizi
Na mlinganyo wa pili: $x^2+x-2=0$.
Mizizi ya mlingano huu itakuwa nambari $x=-2$ na $x=1$.
Jibu: $x=-2$ na $x=1$.

Mfano 5.
Tatua mlingano: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Suluhisho.
Wacha tuanzishe kibadala: $t=x+\frac(1)(x)$.
Kisha:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ au $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Tulipata mlinganyo: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Mizizi ya equation hii ni jozi:
$t=-3$ na $t=2$.
Wacha tuanzishe ubadilishaji wa kinyume:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Tutaamua tofauti.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Wacha tusuluhishe equation ya pili:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Mzizi wa mlinganyo huu ni nambari $x=1$.
Jibu: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Matatizo ya kutatua kwa kujitegemea

Tatua milinganyo:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Kiashiria cha chini kabisa cha kawaida kinatumika kurahisisha mlingano huu. Njia hii inatumika wakati huwezi kuandika equation uliyopewa na usemi mmoja wa busara kwa kila upande wa equation (na tumia njia ya kuzidisha ya crisscross). Njia hii hutumiwa wakati unapewa equation ya busara na sehemu 3 au zaidi (katika kesi ya sehemu mbili, ni bora kutumia kuzidisha criss-cross).

Tafuta dhehebu la chini kabisa la visehemu (au kizidishio kisicho cha kawaida). NOZ ndiyo nambari ndogo zaidi ambayo inaweza kugawanywa kwa kila dhehebu.

• Wakati mwingine NPD ni nambari dhahiri. Kwa mfano, ikipewa mlinganyo: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, basi ni dhahiri kwamba kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari 3, 2 na 6 ni 6.
• Ikiwa NCD haionekani wazi, andika vizidishio vya madhehebu makubwa zaidi na utafute kati yao moja ambayo itakuwa zidishio la madhehebu mengine. Mara nyingi NOD inaweza kupatikana kwa kuzidisha madhehebu mawili. Kwa mfano, ikiwa equation imetolewa x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, basi NOS = 8*9 = 72.
• Ikiwa dhehebu moja au zaidi yana tofauti, mchakato unakuwa mgumu zaidi (lakini hauwezekani). Katika kesi hii, NOC ni usemi (ulio na tofauti) ambao umegawanywa na kila denominator. Kwa mfano, katika mlinganyo wa 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), kwa sababu usemi huu umegawanywa kwa kila denominata: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Zidisha nambari na denominator ya kila sehemu kwa nambari sawa na matokeo ya kugawanya NOC na denominator inayolingana ya kila sehemu. Kwa kuwa unazidisha nambari na denominator kwa nambari sawa, unazidisha sehemu kwa 1 (kwa mfano, 2/2 = 1 au 3/3 = 1).

• Kwa hivyo katika mfano wetu, zidisha x/3 kwa 2/2 ili kupata 2x/6, na 1/2 zidisha kwa 3/3 ili kupata 3/6 (sehemu 3x +1/6 haihitaji kuzidishwa kwa sababu dhehebu ni 6).
• Endelea vivyo hivyo wakati kigezo kiko kwenye kiashiria. Katika mfano wetu wa pili, NOZ = 3x(x-1), kwa hivyo zidisha 5/(x-1) kwa (3x)/(3x) ili kupata 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x ikizidishwa na 3(x-1)/3(x-1) na utapata 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) ikizidishwa na (x-1)/(x-1) na utapata 2(x-1)/3x(x-1).

Tafuta x. Sasa kwa kuwa umepunguza sehemu kwa dhehebu ya kawaida, unaweza kuondokana na denominator. Ili kufanya hivyo, zidisha kila upande wa equation na denominator ya kawaida. Kisha suluhisha equation inayosababisha, ambayo ni, pata "x". Ili kufanya hivyo, tenga tofauti kwa upande mmoja wa equation.

• Katika mfano wetu: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Unaweza kuongeza sehemu 2 na dhehebu sawa, kwa hivyo andika mlinganyo kama: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Zidisha pande zote mbili za mlinganyo kwa 6 na uondoe madhehebu: 2x+3 = 3x +1. Tatua na upate x = 2.
• Katika mfano wetu wa pili (na kutofautisha katika dhehebu), equation inaonekana kama (baada ya kupunguzwa kwa denominator ya kawaida): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Kwa kuzidisha pande zote mbili za equation na N3, unaondoa dhehebu na kupata: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1), au 15x = 3x - 3 + 2x -2, au 15x = x - 5 Tatua na upate: x = -5/14.

Rudi