Ni michakato gani inaweza kuainishwa kama michakato ya Markov? Mchakato wa Markov: mifano

Muundo na uainishaji wa mifumo ya foleni

Mifumo ya foleni

Mara nyingi kuna haja ya kutatua matatizo ya uwezekano yanayohusiana na mifumo ya kupanga foleni (QS), mifano ambayo inaweza kuwa:

Ofisi za tikiti;

Kukarabati maduka;

Biashara, usafiri, mifumo ya nishati;

Mifumo ya mawasiliano;

Kawaida ya mifumo hiyo hufunuliwa katika umoja wa mbinu za hisabati na mifano inayotumiwa katika utafiti wa shughuli zao.

Mchele. 4.1. Sehemu kuu za matumizi ya TMO

Ingizo kwenye QS hupokea mtiririko wa maombi ya huduma. Kwa mfano, wateja au wagonjwa, kuharibika kwa vifaa, simu. Maombi hufika kwa njia isiyo ya kawaida, kwa nyakati za nasibu. Muda wa huduma pia ni wa nasibu. Hii inaleta ukiukwaji katika kazi ya QS na husababisha upakiaji wake mwingi na upakiaji.

Mifumo ya foleni ina miundo tofauti, lakini kwa kawaida inaweza kutofautishwa vipengele vinne vya msingi:

1. Mtiririko unaoingia wa mahitaji.

2. Uhifadhi (foleni).

3. Vifaa (njia za huduma).

4. Kutoka nje.

Mchele. 4.2. Mpango wa jumla wa mifumo ya foleni

Mchele. 4.3. Mfano wa uendeshaji wa mfumo

(mishale inaonyesha muda wa kupokea mahitaji katika

mfumo, mistatili - wakati wa huduma)

Mchoro 4.3 a unaonyesha mfano wa uendeshaji wa mfumo na mtiririko wa kawaida wa mahitaji. Kwa kuwa muda kati ya kuwasili kwa maombi hujulikana, wakati wa huduma huchaguliwa ili kupakia kikamilifu mfumo. Kwa mfumo wenye mtiririko wa stochastic wa madai, hali ni tofauti kabisa - mahitaji yanafika kwa nyakati tofauti na wakati wa huduma pia ni kutofautiana kwa random, ambayo inaweza kuelezewa na sheria fulani ya usambazaji (Mchoro 4.3 b).

Kulingana na sheria za kupanga foleni, QS zifuatazo zinajulikana:

1) mifumo yenye kushindwa , ambayo, wakati njia zote za huduma ziko busy, ombi linaacha mfumo usiohifadhiwa;

2) mifumo yenye foleni isiyo na kikomo , ambayo ombi huingia kwenye foleni ikiwa wakati wa kupokea njia zote za huduma zilikuwa na kazi;

3) mifumo yenye foleni ya kusubiri na ndogo , ambayo muda wa kusubiri ni mdogo na hali fulani au kuna vikwazo kwa idadi ya maombi katika foleni.

Hebu fikiria sifa za mtiririko unaoingia wa mahitaji.

Mtiririko wa mahitaji unaitwa stationary , ikiwa uwezekano wa idadi fulani ya matukio kuanguka katika sehemu ya muda ya urefu fulani inategemea tu urefu wa sehemu hii.

Mtiririko wa matukio unaitwa mtiririko bila matokeo , ikiwa idadi ya matukio yanayoanguka kwa muda fulani haitegemei idadi ya matukio yanayoanguka kwa wengine.

Mtiririko wa matukio unaitwa kawaida , ikiwa haiwezekani kwa matukio mawili au zaidi kufika kwa wakati mmoja.

Mtiririko wa mahitaji unaitwa Poisson (au rahisi zaidi) ikiwa ina mali tatu: stationary, ya kawaida na haina matokeo. Jina hilo linatokana na ukweli kwamba ikiwa masharti maalum yametimizwa, idadi ya matukio yanayoanguka kwa muda wowote uliowekwa itasambazwa kulingana na sheria ya Poisson.

Uzito mtiririko wa programu λ ni wastani wa idadi ya programu zinazofika kutoka kwa mtiririko kwa kila kitengo cha muda.

Kwa mtiririko wa stationary, kiwango ni mara kwa mara. Ikiwa τ ni thamani ya wastani ya muda kati ya maombi mawili ya jirani, basi katika kesi ya mtiririko wa Poisson, uwezekano wa kuwasili kwa huduma. m maombi kwa muda t imedhamiriwa na sheria ya Poisson:

Muda kati ya maombi ya jirani husambazwa kwa mujibu wa sheria ya kielelezo na msongamano wa uwezekano

Muda wa huduma ni kigezo cha nasibu na hutii sheria ya usambazaji wa kielelezo na uzito wa uwezekano ambapo μ ni ukubwa wa mtiririko wa huduma, i.e. wastani wa idadi ya maombi yaliyotolewa kwa kila kitengo cha muda,

Uwiano wa ukubwa wa mtiririko unaoingia kwa ukubwa wa mtiririko wa huduma huitwa boot ya mfumo

Mfumo wa kupanga foleni ni mfumo wa aina tofauti wenye seti ya majimbo yenye kikomo au inayoweza kuhesabika, na mpito wa mfumo kutoka hali moja hadi nyingine hutokea ghafla tukio fulani linapotokea.

Mchakato huo unaitwa mchakato na majimbo tofauti , ikiwa majimbo yake iwezekanavyo yanaweza kuhesabiwa mapema, na mabadiliko ya mfumo kutoka hali hadi hali hutokea karibu mara moja.

Kuna aina mbili za michakato kama hii: wakati kamili au unaoendelea.

Katika kesi ya muda maalum, mabadiliko kutoka hali hadi hali yanaweza kutokea kwa pointi madhubuti kwa wakati. Michakato ya wakati unaoendelea inatofautishwa na ukweli kwamba mfumo unaweza kubadilika hadi hali mpya wakati wowote.

Mchakato wa nasibu ni mawasiliano ambayo kila thamani ya hoja (katika kesi hii, muda kutoka kwa muda wa jaribio) inahusishwa na tofauti ya nasibu (katika kesi hii, hali ya QS). Tofauti bila mpangilio ni kiasi ambacho, kama matokeo ya majaribio, kinaweza kuchukua moja, lakini haijulikani mapema, ambayo moja, thamani ya nambari kutoka kwa seti ya nambari iliyotolewa.

Kwa hiyo, ili kutatua matatizo katika nadharia ya foleni, ni muhimu kujifunza mchakato huu wa random, i.e. kujenga na kuchambua mfano wake wa hisabati.

Mchakato wa nasibu kuitwa Markovian , ikiwa kwa wakati wowote kwa wakati sifa za uwezekano wa mchakato katika siku zijazo zinategemea tu hali yake kwa sasa na hazitegemei wakati na jinsi mfumo ulikuja kwa hali hii.

Mabadiliko ya mfumo kutoka hali hadi hali hutokea chini ya ushawishi wa baadhi ya mtiririko (mtiririko wa maombi, mtiririko wa kukataa). Ikiwa mtiririko wote wa matukio ambayo huleta mfumo kwa hali mpya ni Poisson rahisi zaidi, basi mchakato unaotokea katika mfumo utakuwa Markov, kwani mtiririko rahisi zaidi hauna matokeo: ndani yake siku zijazo haitegemei zamani. . - kikundi cha vipande vya chess. Hali ya mfumo ina sifa ya idadi ya vipande vya adui vilivyobaki kwenye ubao kwa sasa. Uwezekano kwamba kwa sasa faida ya nyenzo itakuwa upande wa mmoja wa wapinzani inategemea hasa hali ya mfumo kwa sasa, na si kwa wakati na katika mlolongo gani vipande vilipotea kutoka kwa bodi kabla ya wakati.

Mchakato wa nasibu X(t), TÎT kuitwa Markovsky, kama ipo t l< t 2< ... < tn, mali ya mkoa T, kitendakazi cha usambazaji wa masharti cha kigezo cha nasibu X(tn) jamaa na X(t 1), . . ., X(tn -1) sanjari na chaguo za kukokotoa za usambazaji masharti X(tn) kiasi X(tn -1) kwa maana kwamba kwa x n ОX yoyote usawa

Kuzingatia ufafanuzi (3.1.1) kwa kuongezeka kwa mfululizo n huturuhusu kubaini kuwa kwa michakato ya nasibu ya Markov kazi ya usambazaji ya n-dimensional inaweza kuwakilishwa kama

Vile vile, mali ya Markov (3.1.1), (3.1.2) inaweza kuandikwa kwa wiani wa uwezekano

Kwa hivyo, kwa mchakato wa Markov kazi ya usambazaji au wiani wa uwezekano wa kipimo chochote n inaweza kupatikana ikiwa msongamano wake wa uwezekano wa mwelekeo mmoja unajulikana t = t 1 na mlolongo wa msongamano wa masharti kwa muda mfupi t i > t 1 , i= .Kipengele hiki kimsingi huamua urahisishaji wa vitendo wa kifaa cha michakato ya nasibu ya Markov.

Kwa michakato ya Markov, uainishaji wa jumla uliotolewa katika Sehemu ya 1.1 ni halali kabisa. Kulingana na uainishaji huu, aina nne kuu za michakato ya Markov kawaida hutofautishwa:

- Markov minyororo- michakato ambayo anuwai ya maadili X, na uwanja wa ufafanuzi T- seti tofauti;

- Mlolongo wa Markov- michakato ambayo anuwai ya maadili X ni endelevu, na kikoa cha ufafanuzi T- seti tofauti;

- taratibu za Markov- michakato ambayo anuwai ya maadili X- tofauti, na uwanja wa ufafanuzi T- kuweka kuendelea;

- michakato ya Markov inayoendelea- michakato ambayo anuwai ya maadili X, na uwanja wa ufafanuzi T- seti zinazoendelea.

Aina ngumu zaidi za michakato ya Markov pia zinawezekana, kwa mfano, inayoendelea, wakati mchakato wa nasibu X(t) kwa baadhi ya maadili ya hoja t ina jumps, na katika vipindi kati yao ni tabia kama kuendelea-kuthaminiwa. Taratibu kama hizo huitwa mchanganyiko. Hali kama hiyo hufanyika kwa michakato ya vekta ya Markov - vifaa vya mtu binafsi vya mchakato kama huo vinaweza kuwa vya aina tofauti. Taratibu za aina hizo ngumu hazizingatiwi zaidi.

Kumbuka kuwa wakati wa kusoma michakato ya Markov, inakubaliwa jadi kuelewa wakati na hoja t. Kwa kuwa dhana hii haizuii jumla na inachangia uwazi wa uwasilishaji, tafsiri hii ya maana halisi ya hoja. t na kupitishwa katika sura hii.

MARKOV minyororo

Acha mchakato wa nasibu X(t) inaweza kuchukua mwisho (L< ) множество значений

(q l, l= } = C. Thamani mahususiq l; Î NA, ambayo mchakato ulikubaliwa X(t) kwa sasa t, inafafanua jimbo kwa thamani fulani ya hoja. Hivyo,

katika kesi hii mchakato X(t) ina seti ya mwisho ya majimbo iwezekanavyo.

Kwa kawaida, baada ya muda mchakato X(t) itabadilisha hali yake bila mpangilio. Wacha tufikirie kuwa mabadiliko kama haya hayawezekani kwa yoyote t, a kwa wakati fulani tu t 0 X(t) inabadilisha hali yake ghafla. Kwa maneno mengine, kwa wakati kwa wakati t t kuchukua nafasi mabadiliko X(t 0) ®X(t 1) ®..., na X(t)О C, i= 0,1,2,…

Sifa mbili zilizoonyeshwa huamua mlolongo wa vigeu vya nasibu tofauti X i - X (t i), i= 0.1, ... (mfuatano wa nasibu wa kipekee kulingana na aya ya 1.1), ambayo anuwai ya maadili ni seti maalum ya kikomo. С =(q l , l = ], A kikoa cha ufafanuzi - seti ya kipekee isiyo na kikomo t i, i= 0,1, 2,...

Ikiwa kwa mlolongo wa nasibu uliofafanuliwa kwa njia hii mali kuu (3.1.1) ya michakato ya Markov ni kweli, ambayo katika kesi hii inachukua fomu.

basi mlolongo kama huo unaitwa mnyororo rahisi wa Markov.

Kumbuka kwamba inafuata moja kwa moja kutoka kwa usemi (3.2.1)

usawa sawa kwa uwezekano wa masharti wa kupatikana

mnyororo rahisi wa Markov katika hali fulani

P(x 1 /x 0,x 1, ...,x i -1) = Ρ(x i /x i -1), i= 1,2,....

Ufafanuzi ulioanzishwa unaruhusu ujanibishaji fulani. Wacha tufikirie kuwa thamani x na C mchakato unaozingatiwa X(t) haitegemei kitu kimoja, lakini juu m (l £ m< i) maadili yanayotangulia mara moja. Kisha ni dhahiri kwamba

Mchakato unaofafanuliwa na uhusiano (3.2.2) unaitwa mlolongo tata wa utaratibu wa Markov m. Uhusiano (3.2.1) unafuata kutoka (3.2.2) kama kesi maalum. Kwa upande wake, mlolongo tata wa utaratibu wa Markov T inaweza kupunguzwa kwa mnyororo rahisi wa Markov kwa vekta ya m-dimensional. Ili kuonyesha hili, hebu tufikiri kwamba hali ya mchakato kwa sasa mimi i imeelezewa kwa kutumia vekta ya m-dimensional.

(3.2.3)

Katika hatua ya awali, vector sawa itaandikwa kama

Ulinganisho wa (3.2.3) na (3.2.4) unaonyesha kuwa vipengele vya "wastani" vya vekta hizi (isipokuwa Xl katika (3.2.3) na X l - m katika (3.2.4)) sanjari. Inafuata kwamba uwezekano wa masharti ya mchakato kupiga X(t) katika hali `X i kwa wakati t 1 ikiwa ilikuwa katika hali `X i -1 kwa wakati t i -1 , inaweza kuandikwa kama

Katika (3.2.5) ishara inaashiria sehemu ya j-th ya vekta ` Xi ;α (μ, ν) ni ishara ya Kronecker: α(μ, ν) = 1 kwa ν = μ na α(μ, ν) = ϋ kwa μ ¹ν. Uwezekano wa jumla hizi huturuhusu kujiwekea kikomo katika siku zijazo kwa kuzingatia minyororo rahisi ya Markov tu.

Kama mfumo wa anuwai za nasibu, mnyororo rahisi wa Markov X i, i = 0, 1, 2, ... ,i, ... kwa usanifu wowote naweza kuelezewa kikamilifu na uwezekano wa viungo vya i-dimensional.

ρ {θ 0 L , θ ίκ ,..., θ ί m,) = P( X 0 =θ L ,X 1 =θ k ,…,X j =θ m}, (3.2.6)

fahirisi ziko wapi l, k,..., t chukua maadili yote kutoka 1 hadi L kujitegemea kwa kila mmoja. Usemi (3.2.6) hufafanua matrix na L safu mlalo na safu wima ya i+1, vipengele vyake ambavyo ni uwezekano wa utokeaji pamoja wa mfumo wa viambajengo vya nasibu. Χ 0 ,Χ 1 ,...,Χ ί katika hali fulani maalum. Matrix hii, kwa mlinganisho na msururu wa usambazaji wa utofauti wa nasibu wa scalar discrete, inaweza kuitwa matriki ya usambazaji wa mfumo wa vigeu vya nasibu tofauti.

Χ 0 ,Χ 1 ,...,Χ ί .

Kulingana na nadharia ya uwezekano wa kuzidisha, uwezekano (3.2.6) unaweza kuwakilishwa kama

Lakini kulingana na mali kuu (3.2.1) ya mnyororo wa Markov

P (X l= m/X 0 = l ,X 1 = k ,…,X i -1 = r )=P(X i = m /X i -1 = r )

Kurudiwa kwa hoja sawa kwa uwezekano uliojumuishwa katika (3.2.8) r ) inaturuhusu kupunguza usemi huu kwa fomu

Kutoka hapa hatimaye tunapata

(3.2.9)

Kwa hivyo, maelezo kamili ya uwezekano wa mnyororo rahisi wa Markov hupatikana kwa kutaja uwezekano wa hali ya awali ya mnyororo kwa sasa. t0,Ρ{Θ 0 l,) = P(X 0 = Θl}, l= na uwezekano wa masharti

Ρ (X l= Θ k /X i-1 = Θ m ), i = 1 , 2, . .. · k, m =

Kumbuka kuwa kwa kuwa majimbo yanayowezekana Θ LÎ`C minyororo X(t) zimewekwa na zinajulikana, kuelezea hali yake wakati wowote inatosha kuashiria nambari l hali hii. Hii inaturuhusu kutambulisha kwa uwezekano usio na masharti wa kupata mnyororo ndani l-sema kwa sasa t i (saa i th hatua) nukuu iliyorahisishwa

Uwezekano huu kwa hakika una sifa ya kutokuwa hasi na kuhalalisha umoja

P l(i)>0,l = , i = 0, 1,2,...; (3.2.11)

Unapotumia nukuu ya matriki, seti ya uwezekano usio na masharti huandikwa kama matriki ya safu mlalo

(3.2.12)

Kama ifuatavyo kutoka kwa kile kilichosemwa hapo awali, jukumu la msingi katika nadharia ya minyororo ya Markov (na michakato ya Markov kwa ujumla) inachezwa na uwezekano wa masharti ya fomu Kulingana na maana ya mwili, kawaida huitwa. uwezekano wa mpito na kuashiria kama

Kujieleza (3.2.13) huamua uwezekano wa mzunguko unaoingia katika hali l, kwa sasa t katika hatua ν - μ, mradi kwa sasa t μ mzunguko ulikuwa katika hali A. Ni rahisi kuona kwamba uwezekano wa mpito pia una mali ya kutokuwa hasi na kuhalalisha, kwani kwa hatua yoyote mnyororo utakuwa katika moja ya L mataifa yanayowezekana

(3.2.14)

Seti iliyopangwa ya uwezekano wa mpito kwa jozi yoyote inaweza kuwakilishwa kama matriki ya mraba

(3.2.15)

Kama ifuatavyo kutoka kwa usemi (3.2.14), vitu vyote vya matrix hii sio hasi na jumla ya vitu vya kila safu ni sawa na moja. Matrix ya mraba yenye sifa hizi inaitwa stochastic.

Kwa hivyo, maelezo ya uwezekano wa mnyororo wa Markov yanaweza kutolewa na matrix ya safu (3.2.12) na tumbo la stochastic (3.2.15).

Kutumia nukuu iliyoletwa, tutasuluhisha shida kuu ya nadharia ya minyororo ya Markov - tutaamua uwezekano usio na masharti P. l(ί) kwamba katika hatua i -μ mchakato utafikia hali fulani l, l= . Ni wazi, kwa sasa mchakato unaweza kuwa katika hali yoyote ya L inayowezekana na uwezekano P k (m), k= . Uwezekano wa mpito kutoka kth V l-hali inatolewa na uwezekano wa mpito uk k l (m, i). Kutoka hapa, kulingana na nadharia ya jumla ya uwezekano, tunapata

; (3.2.16)

au katika mfumo wa matrix

P( i)=P(m)P(m, i); (3.2.17)

Hebu tuzingatie katika uhusiano (3.2.16) uwezekano wa mpito π kl (m, i) Ni dhahiri kwamba mpito wa mzunguko kutoka kwa serikali k kwa sasa t m katika hali l kwa sasa t i katika hatua kadhaa inaweza kufanyika kwa njia tofauti (kupitia majimbo mbalimbali ya kati). Wacha tuzingatie wakati wa kati wa wakati tm, tm Β kwa wakati huu mchakato unaweza kuwa katika yoyote ya L majimbo yanayowezekana, na uwezekano wa kuingia katika hali ya r-th kwa sasa t m ili mradi kwa sasa t m aliweza k, ni sawa na π kr (μ,m). Kwa upande wake, kutoka kwa serikali r katika hali l mchakato unaendelea na uwezekano π rl(m ,i) Kutoka hapa, kwa kutumia nadharia ya jumla ya uwezekano, tunapata Mlinganyo wa Markov kwa uwezekano wa mpito

ambao fomu ya matrix ni

П(m, ί) = П(μ, m) П (m, mimi); £0m < m < I; (3.2.19)

Milinganyo (3.2.18), (3.2.19) inafafanua sifa bainifu ya uwezekano wa mpito kwa minyororo ya Markov, ingawa uhalali wa (3.2.18) bado hautoshi kwa mnyororo sambamba kuwa Markov.

Kuandika fomula (3.2.19) kwa mtiririko, tunapata

P(μ, i) = P (μ, mimi - 1) P (i- 1, ί) = P (μ, μ + 1) ... P (ί - 1, i), (3.2.20)

wapi p(ν, μ), μ -n= 1- hatua moja uwezekano wa mpito. Sasa kuweka μ =0 katika usemi (3.2.17), tunapata

(3.2.21)

ambayo inafuata kwamba maelezo kamili ya uwezekano wa mlolongo rahisi wa Markov hupatikana kwa kubainisha uwezekano wa hali ya awali na mlolongo wa matrices ya uwezekano wa mabadiliko ya hatua moja.

Ni dhahiri kwamba mali ya mnyororo wa Markov imedhamiriwa kwa kiasi kikubwa na mali ya uwezekano wa mpito. Kutoka kwa mtazamo huu, hasa, kati ya minyororo rahisi ya Markov kuna homogeneous, ambayo uwezekano wa mpito hutegemea tu tofauti kati ya hoja

uk kl(m, i) =p kl(i-m) ,i>m>0; (3.2.22)

na usitegemee nambari ya hatua. Aina zingine zote za minyororo rahisi ya Markov ambayo haikidhi hali (3.2.22) ni ya darasa. tofauti.

Kwa kuwa kwa mnyororo wa homogeneous uwezekano wa mpito umedhamiriwa tu na tofauti katika hoja na haitegemei nambari ya hatua, ni dhahiri kwamba kwa jozi za kiholela (μ,m), ( j,i), kukidhi masharti T- μ = 1, ί- j = 1, m¹ mimi, haki

uk kl(m-m) =p kl(i-j)= uk kl(1) =p kl;

Inafuata kwamba kuelezea mnyororo wa Markov wa homogeneous, inatosha kutaja, pamoja na uwezekano wa hali ya awali, sio mlolongo, lakini matrix moja ya stochastic ya uwezekano wa mpito wa hatua moja.

(3.2.23)

Aidha, ni dhahiri kwamba

(3.4.7)

kwa kuwa jambo la kwanza chini ya muunganisho haitegemei utofauti wa ujumuishaji, na kiunga cha pili ni sawa na moja. Kutoa equation (3.4.7) kutoka (3.4.6) inatoa

Hebu tuchukulie kuwa msongamano wa uwezekano wa mpito wa mchakato unaozingatiwa unaweza kupanuliwa kuwa mfululizo wa Taylor. Kisha usemi katika mabano ya mraba chini ya kiunganishi katika mlinganyo (3.4.8) unaweza kuwakilishwa kama

Kubadilisha usemi (3.4.9) hadi (3.4.8), kugawanya pande zote mbili za usemi unaotokana na ∆ t na kupita hadi kikomo kama Δt → 0, tunapata

Equation (3.4.10) inafafanua darasa pana la michakato ya Markov inayoendelea, na ni rahisi kuona kwamba seti ya coefficients A ν (x 0 ,t 0) huamua mali ya kimwili ya kila mmoja wao. Kwa hivyo, mgawo A 1 (x 0 , t 0) inaweza kufasiriwa kama thamani ya wastani ya mtaa (kwa uhakika x(t 0)) kiwango cha mabadiliko ya mchakato, mgawo A 2 (x 0 , t 0)- kama kiwango cha ndani cha mabadiliko katika mtawanyiko wa ongezeko lake, nk. Hata hivyo, taratibu za Markov za fomu hii ya jumla hazizingatiwi sana katika maombi. Ya umuhimu mkubwa wa vitendo ni sehemu ndogo ya michakato ya Markov ambayo inakidhi hali hiyo

A ν (x 0 , t 0)¹0; n=1.2, A ν (x 0 , t 0)=0, n³3;(3.4.12)

Katika utafiti wa michakato ya Markov, hapo awali ilianzishwa kuwa equation (3.4.10) chini ya hali (3.4.12) inaridhika na sheria za mwendo (usambazaji) wa chembe za Brownian, kama matokeo ambayo michakato inayolingana ya Markov iliitwa. uenezaji. Kulingana na hili, mgawo A 1 (x 0 , t 0)=a (x 0 , t 0) kuitwa mgawo wa drift, o A 2 (x 0, t 0) = b (x 0, t 0) - mgawo wa kueneza. Ndani ya mfumo wa (3.4.12), mlinganyo (3.4.10) huchukua fomu ya mwisho.

Hii ni equation ambayo vigezo ni x 0 na t 0 inaitwa kwanza (inverse) Kolmogorov equation.

Equation ya pili inaweza kupatikana kwa njia sawa

Equation hii, kwa heshima ya wanasayansi ambao walisoma kwanza, inaitwa Mlinganyo wa Fokker,- Ubao- Kolmogorov au moja kwa moja Kolmogorov equation(kwa kuwa inahusisha derivative kwa heshima na wakati wa mwisho wa wakati t>t 0).

Hivyo; Inaonyeshwa kuwa msongamano wa uwezekano wa mpito wa michakato ya mgawanyiko wa Markov inakidhi milinganyo (3.4.13), (3.4.14), ambayo ndio zana kuu ya masomo yao. Katika kesi hii, mali ya mchakato fulani imedhamiriwa na "coefficients" a(x,tί) Na b(x,t) ambayo, kulingana na equation (3.4.11), ni sawa

Kutoka kwa semi (3.4.15), (3.4.16) inafuata kwamba "vigawo" hivi vina maana ya matarajio ya hisabati yenye masharti ambayo huamua asili ya mabadiliko katika utekelezaji wa mchakato kwa muda usio na kikomo Δt. Mabadiliko ya haraka sana ya mchakato yanaruhusiwa X (t), lakini katika pande tofauti, kama matokeo ambayo wastani wa ongezeko la mchakato kwa muda mfupi Δt ni wa mwisho na wa utaratibu .

4. Kuiga kulingana na mpango wa michakato ya nasibu ya Markov

Ili kuhesabu vigezo vya nambari vinavyoashiria vitu vya stochastic, ni muhimu kujenga mfano wa uwezekano wa jambo hilo, kwa kuzingatia mambo ya random yanayoambatana nayo. Kwa maelezo ya hisabati ya matukio mengi yanayoendelea katika mfumo wa mchakato nasibu, vifaa vya hisabati vilivyotengenezwa katika nadharia ya uwezekano kwa kinachojulikana kama michakato ya bahati nasibu ya Markov inaweza kutumika kwa mafanikio. Hebu tueleze dhana hii. Hebu kuwe na mfumo fulani wa kimwili S, hali ambayo inabadilika kwa wakati (chini ya mfumo S inaweza kumaanisha chochote: kifaa cha kiufundi, duka la ukarabati, kompyuta, nk). Ikiwa hali S mabadiliko nasibu baada ya muda, wanasema kwamba katika mfumo S mchakato wa nasibu unafanyika. Mifano: mchakato wa kufanya kazi kwa kompyuta (kupokea maagizo kwenye kompyuta, aina ya maagizo haya, kushindwa kwa nasibu), mchakato wa kulenga kombora lililoongozwa kwa lengo (usumbufu wa nasibu (kuingilia) katika mfumo wa udhibiti wa kombora), mchakato wa kuwahudumia wateja katika saluni au duka la kutengeneza (random katika asili mtiririko wa maombi (mahitaji) kupokea kutoka kwa wateja).

Mchakato wa nasibu unaitwa mchakato wa Markov (au "mchakato bila matokeo") ikiwa kwa kila wakati t0 uwezekano wa hali yoyote ya mfumo katika siku zijazo (na t> t0 ) inategemea tu hali yake kwa sasa (na t= t0 ) na haitegemei lini na jinsi mfumo ulikuja kwa hali hii (yaani, jinsi mchakato ulivyoendelea hapo awali). Hebu S kifaa cha kiufundi ambacho kina sifa ya kiwango fulani cha uchakavu S. Tunavutiwa na jinsi itafanya kazi zaidi. Kwa makadirio ya kwanza, utendaji wa baadaye wa mfumo (kiwango cha kushindwa, haja ya kutengeneza) inategemea hali ya sasa ya kifaa na haitegemei wakati na jinsi kifaa kilifikia hali yake ya sasa.

Nadharia ya michakato ya nasibu ya Markov ni tawi pana la nadharia ya uwezekano na matumizi anuwai (matukio ya kimwili kama vile uenezaji au kuchanganya chaji wakati wa kuyeyusha kwenye tanuru ya mlipuko, michakato ya kuunda foleni).

4.1. Uainishaji wa michakato ya Markov

Michakato ya bahati nasibu ya Markov imegawanywa katika madarasa. Kipengele cha kwanza cha uainishaji ni asili ya wigo wa majimbo. Mchakato wa nasibu (RP) unaitwa mchakato wenye hali tofauti ikiwa hali zinazowezekana za mfumo S1,S2,S3... inaweza kuhesabiwa, na mchakato yenyewe una ukweli kwamba mara kwa mara mfumo wa S unaruka (papo hapo) kutoka hali moja hadi nyingine.

Mfano. Kifaa cha kiufundi kina vitengo viwili vya I na II, ambavyo kila moja inaweza kushindwa. Mataifa: S1- nodi zote mbili zinafanya kazi; S2- node ya kwanza imeshindwa, ya pili inafanya kazi; S 3 - node ya pili imeshindwa, ya kwanza inafanya kazi; S4- nodi zote mbili zimeshindwa.

Kuna taratibu na majimbo ya kuendelea (mpito laini kutoka hali hadi hali), kwa mfano, mabadiliko ya voltage katika mtandao wa taa. Tutazingatia SP pekee zilizo na majimbo tofauti. Katika kesi hii, ni rahisi kutumia grafu ya hali, ambayo majimbo yanayowezekana ya mfumo yanaonyeshwa na nodes, na mabadiliko iwezekanavyo na arcs.

Kipengele cha pili cha uainishaji ni asili ya kufanya kazi kwa wakati. SP inaitwa mchakato wenye muda maalum ikiwa mabadiliko ya mfumo kutoka jimbo hadi jimbo yanawezekana tu kwa wakati uliofafanuliwa kabisa, uliowekwa hapo awali: t1,t2.... Ikiwa ubadilishaji wa mfumo kutoka jimbo hadi jimbo unawezekana kwa wakati wowote usiojulikana hapo awali, basi tunazungumza juu ya SP ya wakati unaoendelea.

4.2. Hesabu ya muda maalum ya mnyororo wa Markov

S yenye majimbo tofauti S1,S2,...Sn na wakati tofauti t1,t2, ... ,tk,…(hatua, hatua za mchakato, SP inaweza kuzingatiwa kama kazi ya hoja (nambari ya hatua)). Kwa ujumla, SP ni kwamba mabadiliko hutokea S1® S1® S2® S3® S4® S1® … kwa muda mfupi t1,t2,t3....

Tutaashiria tukio ambalo baadaye k- hatua ambazo mfumo uko katika hali Si. Kwa yoyote k matukio https://pandia.ru/text/78/060/images/image004_39.gif" width="159" height="25 src=">.

Mlolongo huu wa matukio unaitwa mnyororo wa Markov. Tutaelezea mlolongo wa Markov (MC) kwa kutumia uwezekano wa serikali. Hebu kuwa na uwezekano kwamba baada ya k- hatua mfumo uko katika hali Si. Ni rahisi kuona hilo " k DIV_ADBLOCK13">

.

Ninatumia matukio yaliyoletwa hapo juu https://pandia.ru/text/78/060/images/image008_34.gif" width="119" height="27 src=">. Jumla ya masharti katika kila safu mlalo ya matriki inapaswa kuwa sawa na 1. Badala yake matrices ya uwezekano wa mpito mara nyingi hutumia grafu ya hali iliyo na lebo (onyesha kwenye arcs uwezekano wa mpito usio na sufuri; uwezekano wa kuchelewa hauhitajiki kwa kuwa hukokotwa kwa urahisi, k.m. P11=1-(P12+P13)). Ukiwa na grafu ya hali iliyo na lebo (au matriki ya uwezekano wa mpito) na kujua hali ya awali ya mfumo, unaweza kupata uwezekano wa serikali. p1(k),p2(k),…pn (k)" k.

Hebu hali ya awali ya mfumo Sm, Kisha

p1(0)=0 p2(0)=0...pm(0)=1...pn(0)=0.

Hatua ya kwanza:

p1(1)=Pm1, p2(1)=Pm2,...pm(1)=Pmm,… ,pn(1)=Pmn.

Baada ya hatua ya pili, kwa kutumia formula ya jumla ya uwezekano, tunapata:

p1(2)=p1(1)P11+p2(1)P21+…pn(1)Pn1,

pi(2)=p1(1)P1i+p2(1)P2i+…pn(1)Pni auhttps://pandia.ru/text/78/060/images/image010_33.gif" width="149" height="47"> (i=1,2,..n).

Kwa MC tofauti uwezekano wa mpito hutegemea nambari ya hatua. Wacha tuonyeshe uwezekano wa mpito kwa hatua k baada .

Halafu formula ya kuhesabu uwezekano wa majimbo inachukua fomu:

.

4.3. Minyororo ya Markov ya wakati unaoendelea

4.3.1. Milinganyo ya Kolmogorov

Kwa mazoezi, hali ni za kawaida zaidi wakati mabadiliko ya mfumo kutoka hali hadi hali yanatokea kwa wakati usiofaa kwa wakati, ambao hauwezi kutajwa mapema: kwa mfano, kushindwa kwa kipengele chochote cha vifaa, mwisho wa ukarabati (kurejesha). ) ya kipengele hiki. Ili kuelezea michakato kama hii katika visa vingi, mpango wa mchakato wa bahati nasibu wa Markov na majimbo tofauti na wakati unaoendelea - mnyororo unaoendelea wa Markov - unaweza kutumika kwa mafanikio. Wacha tuonyeshe jinsi uwezekano wa serikali kwa mchakato kama huo unaonyeshwa. Hebu S=(S1,S2,…Sn). Wacha tuonyeshe kwa pi(t)- uwezekano kwamba kwa sasa t mfumo S itakuwa katika jimbo). Ni wazi. Hebu tuweke kazi - kuamua kwa yoyote tpi(t). Badala ya uwezekano wa mpito Pij Wacha tuzingatie msongamano wa uwezekano wa mpito

.

Ikiwa haitegemei t, wanazungumza juu ya mlolongo wa homogeneous, vinginevyo - wa tofauti. Tujulishe kwa jozi zote za majimbo (iliyopewa grafu ya hali iliyo na lebo). Inabadilika kuwa kujua grafu ya hali iliyo na lebo tunaweza kuamua p1(t),p2(t)..pn (t) kama kazi ya wakati. Uwezekano huu unakidhi aina fulani ya milinganyo tofauti (Kolmogorov equations).

Kuunganisha milinganyo hii na hali ya awali inayojulikana ya mfumo itatoa uwezekano wa hali unaohitajika kama kipengele cha kukokotoa wakati. taarifa, hiyo p1+p2+p3+p4=1 na unaweza kupata na milinganyo mitatu.

Sheria za kuunda milinganyo ya Kolmogorov. Upande wa kushoto wa kila mlinganyo una kitokeo cha uwezekano wa hali, na upande wa kulia una maneno mengi kama vile kuna vishale vinavyohusishwa na hali fulani. Ikiwa mshale umeelekezwa mbali na jimbo, neno linalolingana lina ishara ya kuondoa; ikiwa imeelekezwa katika hali, ina ishara ya kuongeza. Kila neno ni sawa na bidhaa ya msongamano wa uwezekano wa mpito unaolingana na mshale uliotolewa unaozidishwa na uwezekano wa hali ambayo mshale unatoka.

4.3.2. Mtiririko wa matukio. Mtiririko rahisi zaidi na mali zake

Wakati wa kuzingatia michakato inayotokea katika mfumo ulio na hali tofauti na wakati unaoendelea, mara nyingi ni rahisi kufikiria mchakato huo kana kwamba mabadiliko ya mfumo kutoka hali hadi hali hufanyika chini ya ushawishi wa baadhi ya mikondo ya matukio. Mtiririko wa matukio ni mlolongo wa matukio ya jinsi moja yanayofuata moja baada ya jingine kwa baadhi, kwa ujumla, matukio ya nasibu kwa wakati. (Mtiririko wa simu kwenye soko la simu; mtiririko wa hitilafu za kompyuta (kufeli); mtiririko wa treni za mizigo zinazofika kituoni; mtiririko wa wageni; mtiririko wa risasi zinazolenga shabaha). Tutaonyesha mtiririko wa matukio kama mlolongo wa pointi kwenye mhimili wa wakati ot. Msimamo wa kila nukta kwenye mhimili ni nasibu. Mtiririko wa matukio unaitwa mara kwa mara , ikiwa matukio yanafuatana kwa vipindi vilivyobainishwa (hukutana mara chache katika mazoezi). Wacha tuchunguze aina maalum ya mtiririko; kwa hili tunatanguliza idadi ya ufafanuzi. 1. Mtiririko wa matukio unaitwa stationary , ikiwa uwezekano wa idadi fulani ya matukio kuanguka katika sehemu ya muda ya urefu inategemea tu urefu wa sehemu na haitegemei wapi hasa kwenye mhimili wa ot sehemu hii iko (usawa kwa wakati) - sifa za uwezekano wa mtiririko kama huo haupaswi kubadilika kulingana na wakati. Hasa, kinachojulikana kama kiwango (au msongamano) wa mtiririko wa matukio (idadi ya wastani ya matukio kwa wakati wa kitengo) ni mara kwa mara.

2. Mtiririko wa matukio unaitwa mtiririko bila matokeo, ikiwa kwa makundi yoyote ya wakati yasiyo ya kuingiliana idadi ya matukio ambayo huanguka kwenye moja yao haitegemei jinsi matukio mengi yanaanguka kwa nyingine (au wengine, ikiwa zaidi ya sehemu mbili zinazingatiwa). Kutokuwa na matokeo katika mtiririko kunamaanisha kuwa matukio yanayounda mkondo hutokea kwa nyakati zinazofuatana bila ya kila moja.

3. Mtiririko wa matukio unaitwa kawaida , ikiwa uwezekano wa matukio mawili au zaidi kugonga sehemu ya msingi ni mdogo mno ukilinganisha na uwezekano wa tukio moja kupiga (matukio katika mtiririko hufika moja baada ya nyingine, na si kwa jozi, triplets, n.k.).

Mkondo wa matukio ambayo ina mali zote tatu inaitwa rahisi zaidi (au Poisson stationary) Mtiririko wa Poisson usio na msimamo una sifa 2 na 3 tu. Mtiririko wa matukio ya Poisson (ya kusimama na yasiyo ya kusimama) inahusiana kwa karibu na usambazaji unaojulikana wa Poisson. Yaani, idadi ya matukio ya mtiririko yanayoanguka kwenye sehemu yoyote inasambazwa kulingana na sheria ya Poisson. Hebu tueleze hili kwa undani zaidi.

Fikiria kwenye mhimili Ot, ambapo mtiririko wa matukio huzingatiwa, sehemu fulani ya urefu t, kuanzia wakati huu t0 na kumalizia kwa sasa t0 + t. Sio ngumu kudhibitisha (uthibitisho umetolewa katika kozi zote za nadharia ya uwezekano) kwamba uwezekano wa matukio ya m kuanguka katika eneo hili unaonyeshwa na fomula:

(m=0,1…),

Wapi A- wastani wa idadi ya matukio kwa kila sehemu t.

Kwa mtiririko (rahisi) wa Poisson a=lt, i.e. haitegemei wapi kwenye mhimili ot sehemu ya T inachukuliwa. Kwa mtiririko usio na utulivu wa Poisson, kiasi A iliyoonyeshwa na fomula

na hiyo ina maana inategemea katika hatua gani t0 sehemu ya t huanza.

Fikiria kwenye mhimili ot mkondo rahisi wa matukio na nguvu ya mara kwa mara l. Tutavutiwa na muda wa T kati ya matukio katika mtiririko huu. Acha niwe ukubwa (wastani wa idadi ya matukio katika muda 1) wa mtiririko. Msongamano wa usambazaji f(t) kutofautiana nasibu T(kipindi cha muda kati ya matukio ya karibu katika mkondo) f(t)= le- lt (t> 0) . Sheria ya usambazaji yenye msongamano huo inaitwa kielelezo. Wacha tupate nambari za nambari za kutofautisha bila mpangilio T: matarajio ya hisabati (thamani ya wastani) na tofauti kushoto">

Muda wa muda T kati ya matukio ya jirani katika mtiririko rahisi zaidi inasambazwa kulingana na sheria ya kielelezo; thamani yake ya wastani na mkengeuko wa kawaida ni sawa na , ambapo l ni kiwango cha mtiririko. Kwa mtiririko kama huo, uwezekano wa kutokea kwa tukio moja la mtiririko katika muda wa msingi ∆t unaonyeshwa kama . Tutaita uwezekano huu "kipengele cha uwezekano wa kutokea kwa tukio."

Kwa mtiririko usio thabiti wa Poisson, sheria ya usambazaji ya muda wa T haitakuwa dalili tena. Fomu ya sheria hii itategemea, kwanza, wapi kwenye mhimili ot Ya kwanza ya matukio iko, ya pili, kulingana na aina ya utegemezi. Walakini, ikiwa inabadilika polepole na mabadiliko yake wakati wa matukio mawili ni madogo, basi sheria ya usambazaji wa muda kati ya matukio inaweza kuzingatiwa kama dalili, ikizingatiwa katika fomula hii thamani sawa na thamani ya wastani katika eneo hilo. ambayo inatuvutia.

4.3.3. Poisson mito ya matukio na

minyororo ya Markov inayoendelea

Fikiria baadhi ya mfumo wa kimwili S=(S1,S2,…Sn), ambayo huhama kutoka jimbo hadi jimbo chini ya ushawishi wa matukio fulani ya nasibu (simu, kukataa, risasi). Hebu tufikirie hili kana kwamba matukio yanayohamisha mfumo kutoka jimbo hadi jimbo ni aina fulani ya mikondo ya matukio.

Wacha mfumo S kwa wakati fulani t iko katika hali Si na anaweza kutoka humo hadi jimboni Sj chini ya ushawishi wa baadhi ya mtiririko wa matukio ya Poisson kwa nguvu lij: Mara tu tukio la kwanza la uzi huu linapotokea, mfumo hutoka mara moja Si V Sj..gif" width="582" height="290 src=">

4.3.4. Kikomo cha uwezekano wa majimbo

Hebu kuwe na mfumo wa kimwili S=(S1,S2,…Sn), ambayo mchakato wa bahati nasibu wa Markov na wakati unaoendelea hutokea (mnyororo wa Markov unaoendelea). Hebu kujifanya hivyo lij=const, yaani mtiririko wote wa matukio ni rahisi zaidi (Stationary Poisson). Baada ya kuandika mfumo wa hesabu za kutofautisha za Kolmogorov kwa uwezekano wa majimbo na kuunganisha hesabu hizi chini ya masharti ya awali, tunapata. p1(t),p2(t),…pn (t), kwa yoyote t. Hebu tuulize swali lifuatalo: nini kitatokea kwa mfumo? S katika t® ¥. Je, kutakuwa na vipengele? pi(t) kujitahidi kwa mipaka fulani? Mipaka hii, ikiwa ipo, inaitwa uwezekano wa kuzuia majimbo. Tunaweza kudhibitisha nadharia: ikiwa idadi ya majimbo S ni ya mwisho na mtu anaweza kutoka kwa kila jimbo (kwa idadi fulani ya hatua) kwenda kwa kila mmoja, basi uwezekano wa kikomo wa majimbo upo na hautegemei hali ya awali ya nchi. mfumo. Wacha tuchukue kuwa hali iliyotajwa imefikiwa na uwezekano wa kikomo upo (i=1,2,...n), .

Hivyo, lini t® ¥ katika mfumo S utawala fulani wa kikwazo wa stationary umeanzishwa. Maana ya uwezekano huu: sio kitu zaidi ya muda wa wastani wa jamaa mfumo unabaki katika hali fulani. Ili kuhesabu pi katika mfumo wa milinganyo ya Kolmogorov inayoelezea uwezekano wa majimbo, unahitaji kuweka pande zote za mkono wa kushoto (derivatives) sawa na 0. Mfumo wa kusababisha usawa wa algebraic wa mstari lazima utatuliwe pamoja na equation. .

4.3.5. Mpango wa kifo na uzazi

Tunajua kwamba kutokana na grafu ya hali iliyo na lebo, tunaweza kuandika milinganyo ya Kolmogorov kwa urahisi kwa uwezekano wa hali, na pia kuandika na kutatua milinganyo ya aljebra kwa uwezekano wa mwisho. Kwa baadhi ya matukio, inawezekana kutatua equations ya mwisho mapema, kwa fomu ya barua. Hasa, hii inaweza kufanywa ikiwa grafu ya serikali ya mfumo ni ile inayoitwa "mpango wa kifo na uzazi."

https://pandia.ru/text/78/060/images/image044_6.gif" width="73" height="45 src="> (4.4)

Kutoka kwa pili, kwa kuzingatia (4.4), tunapata:

https://pandia.ru/text/78/060/images/image046_5.gif" width="116" height="45 src="> (4.6)

na kwa ujumla, kwa k yoyote (kutoka 1 hadi N):

https://pandia.ru/text/78/060/images/image048_4.gif" width="267" height="48 src=">

kutoka hapa tunapata usemi wa p0.

(4. 8)

(tuliinua bracket kwa nguvu -1 ili tusiandike sehemu za hadithi mbili). Uwezekano mwingine wote unaonyeshwa kupitia p0 (tazama fomula (4.4) - (4.7)). Kumbuka kuwa mgawo wa p0 katika kila moja yao sio chochote zaidi ya masharti ya mfululizo baada ya moja katika fomula (4.8). Hii ina maana kwamba kwa kuhesabu p0, tayari tumepata coefficients hizi zote.

Fomula zinazotokana ni muhimu sana katika kutatua matatizo rahisi zaidi ya nadharia ya kupanga foleni.

Miongoni mwa aina mbalimbali za mifumo inayotuzunguka: kiufundi, habari, kijamii, nk, tutavutiwa na mifumo inayotokea katika michakato ya huduma, katika michakato ya matengenezo. Katika hisabati iliyotumika huitwa - mifumo ya kupanga foleni (QS). Vifaa vya hisabati vya kusoma mifumo hii vimeundwa kwa muda mrefu na inafanya uwezekano wa kuunda mifano ya mifumo kama hiyo kuelezea michakato ya huduma na kuhesabu sifa kuu za utendaji wa mfumo ili kuamua ufanisi wake. Kifaa hiki kinatokana na nadharia ya uwezekano na nadharia ya michakato ya nasibu. Hebu tuangalie mawazo na dhana kuu.
2.1. Vipengele vya nadharia ya michakato ya nasibu ya Markov inayotumika katika mifumo ya modeli
Chaguo za kukokotoa X(t) huitwa nasibu, ikiwa thamani yake kwa hoja yoyote t ni tofauti ya nasibu.
Chaguo la kukokotoa la nasibu X(t) ambalo hoja yake ni wakati huitwa mchakato wa nasibu.
Michakato ya Markov ni aina maalum ya michakato ya nasibu. Mahali maalum ya michakato ya Markov kati ya madarasa mengine ya michakato ya nasibu ni kwa sababu ya hali zifuatazo: vifaa vya hesabu vimetengenezwa vizuri kwa michakato ya Markov, ambayo inaruhusu kutatua shida nyingi za vitendo; kwa msaada wa michakato ya Markov inawezekana kuelezea (haswa. au takriban) tabia ya mifumo changamano kiasi.
Ufafanuzi. Mchakato wa nasibu unaotokea katika mfumo S, kuitwa Markovsky, au mchakato bila athari, ikiwa ina mali ifuatayo: kwa wakati wowote wa wakati t 0, uwezekano wa hali yoyote ya mfumo katika siku zijazo inategemea tu hali yake kwa sasa na haitegemei wakati na jinsi mfumo huo. S alikuja katika hali hii.
Uainishaji wa michakato ya Markov. Uainishaji wa michakato ya bahati nasibu ya Markov hufanywa kulingana na mwendelezo au uwazi wa seti ya maadili ya kazi X (t) na paramu t.
Kuna aina kuu zifuatazo za michakato ya nasibu ya Markov:
na majimbo tofauti na wakati tofauti (mnyororo wa Markov);
na majimbo yanayoendelea na wakati tofauti (mlolongo wa Markov);
na majimbo tofauti na wakati unaoendelea (mnyororo wa Markov unaoendelea);
kwa hali ya kuendelea na wakati unaoendelea.

Tutazingatia michakato ya Markov tu na majimbo tofauti S 1 , S 2 , ..., S n .
Grafu ya serikali. Michakato ya Markov iliyo na majimbo tofauti yanaonyeshwa kwa urahisi kwa kutumia kinachojulikana kama grafu ya serikali ( mchele. 2.1), ambapo miduara inaonyesha hali S 1, S 2 , ... mifumo S, na mishale inaonyesha mabadiliko iwezekanavyo kutoka hali hadi hali.

Mchele. 2.1. Mfano wa grafu ya hali ya mfumoS
Grafu inaashiria mabadiliko ya moja kwa moja tu, na sio mabadiliko kupitia majimbo mengine. Ucheleweshaji unaowezekana katika hali ya awali unaonyeshwa kama "kitanzi," yaani, mshale unaoelekezwa kutoka hali fulani hadi hali sawa. Idadi ya majimbo ya mfumo inaweza kuwa ya mwisho au isiyo na kikomo (isiyohesabika).

MCHAKATO MARKOV
Mchakato bila athari - mchakato wa nasibu, mageuzi ambayo baada ya thamani yoyote ya parameta ya wakati t haitegemei mageuzi yaliyoitangulia. t, mradi thamani ya mchakato katika hili ni fasta (kwa kifupi: "baadaye" na "zamani" ya mchakato hautegemei kila mmoja na "sasa" inayojulikana).

Mali ambayo hufafanua uwanja wa sumaku kawaida huitwa Markovian; iliundwa kwanza na A. A. Markov. Hata hivyo, tayari katika kazi ya L. Bachelier mtu anaweza kutambua jaribio la kutafsiri Brownian kama M., jaribio ambalo lilipata uhalali baada ya utafiti wa N. Wiener (N. Wiener, 1923). Misingi ya nadharia ya jumla ya michakato ya sumaku inayoendelea ya wakati iliwekwa na A. N. Kolmogorov.

Mali ya Markov. Kuna ufafanuzi wa M. ambao hutofautiana kwa kiasi kikubwa kutoka kwa kila mmoja. Mojawapo ya kawaida zaidi ni yafuatayo. Acha mchakato wa nasibu wenye thamani kutoka kwa nafasi inayoweza kupimika itolewe kwenye nafasi ya uwezekano ambapo T - sehemu ndogo ya mhimili halisi Let Nt(mtawalia Nt).kuna s-algebra ndani yanayotokana na kiasi X(za).at Wapi Kwa maneno mengine, Nt(mtawalia Nt) ni seti ya matukio yanayohusiana na mageuzi ya mchakato hadi wakati t (kuanzia t) . Mchakato X(t).unaitwa Mchakato wa Markov ikiwa (karibu hakika) mali ya Markov inashikilia kwa wote:

au, ni nini sawa, ikiwa kwa yoyote

M. p., ambayo T iko katika seti ya nambari za asili, inayoitwa. Mnyororo wa Markov(hata hivyo, neno la mwisho mara nyingi huhusishwa na kesi ya E isiyohesabika zaidi) . Ikiwa ni muda katika zaidi ya kuhesabika, M. inaitwa. wakati unaoendelea mnyororo wa Markov. Mifano ya michakato ya sumaku ya wakati unaoendelea hutolewa na michakato ya uenezaji na michakato yenye nyongeza huru, ikijumuisha michakato ya Poisson na Wiener.

Katika kile kinachofuata, kwa uhakika, tutazungumza tu juu ya kesi hiyo Mifumo ya (1) na (2) hutoa tafsiri ya wazi ya kanuni ya uhuru wa "zamani" na "wakati ujao" kutokana na "sasa" inayojulikana, lakini ufafanuzi wa M. kulingana nao uligeuka kuwa rahisi kubadilika kwa kutosha. hali hizo nyingi wakati inahitajika kuzingatia sio moja, lakini seti ya masharti ya aina (1) au (2), inayolingana na hatua tofauti, ingawa zilikubaliwa kwa njia fulani. ufafanuzi ufuatao (tazama,).

Wacha yafuatayo yapewe:

a) ambapo s-algebra ina seti zote za nukta moja katika E;

b) inayoweza kupimika ikiwa na familia ya s-algebra ili ikiwa

V) ("") x t =xt(w) , kufafanua kwa ramani yoyote inayoweza kupimika

d) kwa kila kipimo na kipimo cha uwezekano kwenye s-algebra hivi kwamba chaguo la kukokotoa inayopimika kuhusiana na if na

Seti ya majina (isiyo ya kusitisha) Mchakato wa Markov umefafanuliwa kama -karibu hakika

chochote kinaweza kuwa Hapa - nafasi ya hafla za kimsingi, - nafasi ya awamu au nafasi ya serikali, P( s, x, t, V)- kazi ya mpito au uwezekano wa mpito wa mchakato X(t) . Ikiwa E imejaliwa topolojia, na ni mkusanyiko wa Borel seti E, basi ni kawaida kusema kwamba M. p. imetolewa E. Kwa kawaida, ufafanuzi wa M. p. unajumuisha hitaji kwamba na kisha kufasiriwa kama uwezekano, mradi tu x s =x.

Swali linatokea: ni kila kazi ya mpito ya Markov P( s, x;t, V), ikitolewa katika nafasi inayoweza kupimika inaweza kuzingatiwa kama kitendakazi cha mpito cha nafasi fulani ya M. Jibu ni chanya ikiwa, kwa mfano, E ni nafasi ya ndani inayoweza kutenganishwa, na ni mkusanyiko wa seti za Borel. E. Zaidi ya hayo, basi E - kipimo kamili nafasi na kuruhusu
kwa yeyote pale
a ni kijalizo cha ujirani wa mtandao wa uhakika X. Kisha uwanja wa sumaku unaolingana unaweza kuzingatiwa kuwa unaendelea kulia na kuwa na mipaka upande wa kushoto (ambayo ni, trajectories zake zinaweza kuchaguliwa kama hivyo). Kuwepo kwa uwanja wa magnetic unaoendelea huhakikishwa na hali ya (tazama,). Katika nadharia ya michakato ya mitambo, tahadhari kuu hulipwa kwa taratibu ambazo ni homogeneous (kwa wakati). Ufafanuzi unaolingana unachukua mfumo fulani vitu a) - d) na tofauti ambayo kwa vigezo s na u vilivyoonekana katika maelezo yake, ni thamani 0 pekee ndiyo inaruhusiwa sasa. Nukuu pia imerahisishwa:
Zaidi ya hayo, homogeneity ya nafasi W imetumwa, i.e. inahitajika kwamba kwa yoyote kulikuwa na kitu kama hicho (w) kwa Kutokana na hili, kwenye s-algebra N, s-algebra ndogo zaidi katika W iliyo na tukio lolote la fomu waendeshaji zamu ya saa q wamebainishwa t, ambayo huhifadhi shughuli za muungano, makutano na uondoaji wa seti na kwa ajili gani

Seti ya majina (isiyo ya kusitisha) mchakato wa Markov wa homogeneous umefafanuliwa ikiwa -karibu hakika

kwa kazi ya Mpito ya mchakato X(t).inazingatiwa P( t, x, V), na, isipokuwa kuna uhifadhi maalum, zinahitaji pia kwamba Ni muhimu kukumbuka kwamba wakati wa kuangalia (4) inatosha kuzingatia tu seti za fomu ambapo na kwamba katika (4) daima Ft inaweza kubadilishwa na s-algebra sawa na makutano ya kukamilika Ft kwa hatua zote zinazowezekana. Mara nyingi, kipimo cha uwezekano m ("awali") hurekebishwa na kitendakazi cha nasibu cha Markov huzingatiwa. ni wapi kipimo kinachotolewa na usawa

M. p. alipiga simu. inaweza kupimika hatua kwa hatua ikiwa kwa kila t>0 chaguo za kukokotoa huleta kupimika ambapo s-algebra iko

Borel inaingia ndani . Wabunge wanaoendelea kulia wanaweza kupimika hatua kwa hatua. Kuna njia ya kupunguza kesi tofauti hadi ya homogeneous (tazama), na katika ifuatayo tutazungumza juu ya Wabunge wenye usawa.

Madhubuti. Acha nafasi inayoweza kupimika itolewe na m.

Kazi inaitwa Wakati wa Markov, Kama kwa wote Katika kesi hii, wao ni wa familia F t ikiwa saa (mara nyingi F t inafasiriwa kama seti ya matukio yanayohusiana na mabadiliko ya X(t) hadi wakati t). Kwa kuamini

Inaweza kupimika hatua kwa hatua M. p. Xnaz. mchakato madhubuti wa Markov (s.m.p.), ikiwa kwa wakati wowote wa Markov m na yote na uwiano

(madhubuti mali ya Markov) inashikilia karibu kabisa kwenye seti W t . Wakati wa kuangalia (5), inatosha kuzingatia tu seti za fomu ambapo katika kesi hii, nafasi ya S. m. ni, kwa mfano, nafasi yoyote ya haki inayoendelea ya Feller M. katika topolojia. nafasi E. M. p. alipiga simu. Mchakato wa Feller Markov ikiwa kitendakazi

ni endelevu wakati f inapoendelea na kuwekewa mipaka.

Katika darasa na. m.p. aina fulani ndogo zinatofautishwa. Wacha Markovian P ( t, x, V), imefafanuliwa katika nafasi ya kipimo cha ndani iliyoshikana E, kuendelea stochastically:

kwa kitongoji chochote cha U cha kila nukta. Kisha ikiwa waendeshaji watachukua ndani yao utendaji unaoendelea na kutoweka kabisa, basi kazi za P( t, x, V) hukutana na kiwango cha M. p. X, yaani kuendelea kulia na. m.p., kwa ajili yake
Na - karibu pengine kwa wengi a ni wakati wa Pmarkov ambao haupungui na ukuaji.
Kukomesha mchakato wa Markov. Mara nyingi kimwili Inashauriwa kuelezea mifumo kwa kutumia uwanja wa sumaku usiomaliza, lakini kwa muda wa muda wa urefu wa nasibu. Kwa kuongezea, hata mabadiliko rahisi ya michakato ya sumaku inaweza kusababisha mchakato na trajectories zilizoainishwa kwa muda wa nasibu (ona. Inafanya kazi kutoka kwa mchakato wa Markov). Kwa kuongozwa na mazingatio haya, dhana ya mbunge aliyevunjika inaletwa.

Acha awe M.P. asiye na usawa katika nafasi ya awamu akiwa na kitendakazi cha mpito na kuwe na uhakika na kazi kwamba ikiwa na vinginevyo (ikiwa hakuna vifungu maalum, fikiria). Njia mpya xt(w) imeainishwa tu kwa ajili ya ) kwa njia ya usawa a Ft hufafanuliwa kama kwenye seti

Weka wapi kuitwa kwa kusitisha mchakato wa Markov (o.m.p.), uliopatikana kutoka kwayo kwa kukomesha (au kuua) kwa wakati z. Thamani ya z inaitwa wakati wa mapumziko, au wakati wa maisha, o. m.p. Nafasi ya awamu ya mchakato mpya ni pale ambapo kuna alama ya s-algebra ndani E. Kitendaji cha mpito o. m.p. ni kizuizi kwa seti Mchakato X(t).unaitwa mchakato madhubuti wa Markov, au mchakato wa kawaida wa Markov, ikiwa una mali inayolingana. Mbunge asiyemaliza anaweza kuzingatiwa kama o. m.p. pamoja na wakati wa mapumziko Heterogeneous o. m.p. imedhamiriwa kwa njia sawa. M.

michakato ya Markov na . Wabunge wa aina ya mwendo wa Brownian wanahusiana kwa karibu na milinganyo ya kimfano tofauti. aina. P(s) za mpito, x, t, y) ya mchakato wa uenezaji inakidhi, chini ya mawazo fulani ya ziada, hesabu za tofauti na za moja kwa moja za Kolmogorov:

Kazi p( s, x, t, y).ni kazi ya Kijani ya milinganyo (6) - (7), na mbinu za kwanza zinazojulikana za kuunda michakato ya uenezi zilitokana na nadharia juu ya kuwepo kwa chaguo hili la kukokotoa kwa milinganyo tofauti (6) - (7). Kwa mchakato wa sare ya wakati L( s, x)= L(x).kwenye vitendaji laini hupatana na sifa. mwendeshaji M. p. (tazama Semigroup ya waendeshaji wa mpito).

Hisabati. matarajio ya utendakazi mbalimbali kutoka kwa michakato ya uenezaji hutumika kama suluhu kwa matatizo yanayolingana ya thamani ya mpaka kwa mlinganyo wa kutofautisha (1). Hebu - hisabati. matarajio kwa kipimo Kisha chaguo la kukokotoa linatosheleza saa s equation (6) na hali

Vivyo hivyo, kazi

inatosheleza na s mlingano

na hali na 2 ( T, x) = 0.

Hebu iwe wakati wa kwanza kufikia mpaka DD mkoa mchakato wa trajectory Kisha, chini ya hali fulani, kazi

inatosheleza equation

na inachukua maadili cp kwenye seti

Suluhisho la tatizo la 1 la thamani ya mpaka kwa kimfano cha mstari wa jumla. Milinganyo ya mpangilio wa 2

chini ya mawazo ya jumla ya haki yanaweza kuandikwa katika fomu

Katika kesi wakati L na kazi s, f usitegemee s, uwakilishi sawa na (9) pia inawezekana kwa kutatua elliptic ya mstari. milinganyo Kwa usahihi zaidi, kazi

chini ya mawazo fulani kuna matatizo

Katika kesi wakati opereta L inapungua (del b( s, x) = 0 ).au DD si "nzuri" ya kutosha; thamani za mipaka haziwezi kukubaliwa na chaguo za kukokotoa (9), (10) katika pointi mahususi au kwa seti nzima. Wazo la mahali pa mpaka wa kawaida kwa mwendeshaji L ina tafsiri ya uwezekano. Katika sehemu za kawaida za mpaka, maadili ya mipaka yanapatikana kwa kazi (9), (10). Kutatua shida (8), (11) inaturuhusu kusoma mali ya michakato inayolingana ya uenezaji na utendaji wao.

Kuna mbinu za kuunda wabunge ambazo hazitegemei kuunda suluhu za milinganyo (6), (7), kwa mfano. njia milinganyo ya tofauti ya stochastic, mabadiliko yanayoendelea kabisa ya kipimo, n.k. Hali hii, pamoja na fomula (9), (10), inaturuhusu kwa uwezekano wa kujenga na kusoma sifa za matatizo ya thamani ya mpaka kwa mlinganyo (8), pamoja na sifa za suluhisho la elliptic inayolingana. milinganyo

Kwa kuwa suluhu ya mlinganyo wa tofauti wa kistochastiki haujali na kuzorota kwa matrix b( s, x), Hiyo mbinu za uwezekano zilitumiwa kuunda suluhu za kuzorota kwa milinganyo ya utofauti ya duaradufu na kimfano. Upanuzi wa kanuni ya wastani ya N. M. Krylov na N. N. Bogolyubov hadi milinganyo ya tofauti ya stochastic ilifanya iwezekane, kwa kutumia (9), kupata matokeo yanayolingana ya milinganyo ya utofauti ya duaradufu na kimfano. Ilibadilika kuwa inawezekana kutatua shida fulani ngumu za kusoma mali ya suluhisho la hesabu za aina hii na parameta ndogo kwenye derivative ya juu zaidi kwa kutumia mazingatio ya uwezekano. Suluhisho la tatizo la thamani ya mpaka wa 2 kwa mlingano (6) pia lina maana ya uwezekano. Uundaji wa matatizo ya thamani ya mipaka kwa kikoa kisicho na mipaka inahusiana kwa karibu na kurudiwa kwa mchakato unaolingana wa uenezaji.

Katika kesi ya mchakato wa wakati-homogeneous (L haitegemei s), suluhisho chanya la equation, hadi mara kwa mara ya kuzidisha, sanjari chini ya mawazo fulani na msongamano wa usambazaji wa mbunge. Mawazo ya uwezekano pia yanajitokeza kwa kuwa na manufaa wakati wa kuzingatia matatizo ya thamani ya mipaka kwa vielezi visivyo vya mstari. milinganyo. R. 3. Khasminsky.

Mwangaza.: Markov A. A., "Izvestia. Phys.-Mathematics Society ya Chuo Kikuu cha Kazan", 1906, vol. 15, No. 4, p. 135-56; V a s h e l i e r L., "Ann. kisayansi. Ecole kawaida, super.", 1900, v. 17, uk. 21-86; Kolmogorov A.N., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; rus. Transl - "Uspekhi Matematicheskikh Nauk", 1938, karne. 5, uk. 5-41; Zhun Kai-lai, minyororo ya Markov yenye homogeneous, trans. kutoka kwa Kiingereza, M., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, uk. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., “Nadharia ya uwezekano na matumizi yake,” 1956, gombo la 1, karne. 1, uk. 149-55; Xant J.-A., Markov michakato na uwezo, trans. kutoka kwa Kiingereza, M., 1962; D e l l a s h e r i K., Uwezo na michakato ya nasibu, trans. kutoka Kifaransa, M., 1975; Dynk na E.V., Misingi ya nadharia ya michakato ya Markov, M., 1959; yeye, Michakato ya Markov, M., 1963; G na h mtu I. I., S k o r o x o d A. V., Nadharia ya michakato ya nasibu, juzuu ya 2, M., 1973; Freidlin M.I., katika kitabu: Matokeo ya Sayansi. Nadharia ya uwezekano ni aina maalum muhimu ya michakato ya nasibu. Mfano wa mchakato wa Markov ni kuoza kwa dutu ya mionzi, ambapo uwezekano wa kuoza kwa atomi fulani katika muda mfupi hautegemei mwendo wa mchakato katika kipindi kilichopita .... Kamusi kubwa ya Encyclopedic

Mchakato wa Markov ni mchakato wa nasibu, mageuzi ambayo baada ya thamani yoyote ya paramu ya wakati haitegemei mageuzi yaliyotangulia, mradi tu thamani ya mchakato kwa wakati huu imewekwa ("baadaye" ya mchakato. sio ... ... Wikipedia

Mchakato wa Markov- 36. Mchakato wa Markov Vidokezo: 1. Uzito wa uwezekano wa masharti unaitwa wiani wa uwezekano wa mpito kutoka hali ya xn 1 kwa wakati tn 1 hadi hali ya xn kwa wakati tn. Msongamano wa uwezekano wa kiholela... ... unaonyeshwa kupitia hilo. Kitabu cha marejeleo cha kamusi cha masharti ya hati za kawaida na za kiufundi

Mchakato wa Markov- Markovo taratibu za hali T sritis automatika atitikmenys: engl. Markov mchakato vok. Markovprozeß, m rus. Mchakato wa Markov, m; Mchakato wa Markov, m pranc. mchakato wa soko, m … Masharti ya otomatiki kwa kazi

Mchakato wa Markov- Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. mchakato wa Markov; Mchakato wa Markovian vok. Markow Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. Mchakato wa Markov, m; Mchakato wa Markov, m pranc. mchakato wa Markoff, m; processus marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas

Aina muhimu maalum ya michakato ya nasibu. Mfano wa mchakato wa Markov ni kuoza kwa dutu ya mionzi, ambapo uwezekano wa kuoza kwa atomi fulani katika muda mfupi hautegemei mwendo wa mchakato katika kipindi kilichopita .... Kamusi ya encyclopedic

Aina muhimu maalum ya michakato ya nasibu (Angalia mchakato wa Nasibu), ambayo ni ya umuhimu mkubwa katika matumizi ya nadharia ya uwezekano kwa matawi mbalimbali ya sayansi asilia na teknolojia. Mfano wa mchakato wa sumaku ni kuoza kwa dutu ya mionzi. … … Encyclopedia kubwa ya Soviet

Ugunduzi bora katika uwanja wa hesabu uliofanywa mnamo 1906 na mwanasayansi wa Urusi A.A. Markov.