Hebu tuanze kwa kuzingatia mzunguko wa mwili karibu na mhimili usio na mwendo, ambao tutauita mhimili wa z (Mchoro 41.1). Kasi ya mstari wa misa ya msingi ni sawa na umbali wa misa kutoka kwa mhimili. Kwa hivyo, kwa nishati ya kinetic ya misa ya msingi tunapata usemi
Nishati ya kinetic mwili unajumuisha nguvu za kinetic za sehemu zake:
Jumla iliyo upande wa kulia wa uhusiano huu inawakilisha wakati wa hali ya mwili 1 kuhusiana na mhimili wa mzunguko. Kwa hivyo, nishati ya kinetic ya mwili inayozunguka karibu na mhimili uliowekwa ni sawa na
Hebu nguvu ya ndani na nguvu ya nje ifanye juu ya wingi (ona Mchoro 41.1). Kulingana na (20.5), nguvu hizi zitafanya kazi kwa wakati
Baada ya kufanya upangaji upya wa mzunguko wa mambo katika bidhaa zilizochanganywa za veta (tazama (2.34)), tunapata:
ambapo N ni wakati wa nguvu ya ndani kuhusiana na uhakika O, N ni wakati sawa wa nguvu ya nje.
Baada ya kujumlisha usemi (41.2) juu ya misa zote za kimsingi, tunapata kazi ya kimsingi iliyofanywa kwenye mwili wakati wa dt:
Jumla ya wakati wa nguvu za ndani ni sawa na sifuri (tazama (29.12)). Kwa hivyo, kuashiria wakati kamili nguvu za nje kupitia N tunafikia usemi
(tulitumia fomula (2.21)).
Hatimaye, kwa kuzingatia kwamba kuna pembe ambayo mwili huzunguka kwa muda, tunapata:
Ishara ya kazi inategemea ishara, i.e., kwa ishara ya makadirio ya vector N kwenye mwelekeo wa vekta.
Kwa hiyo, wakati mwili unapozunguka nguvu za ndani usifanye kazi yoyote, lakini kazi ya nguvu za nje imedhamiriwa na formula (41.4).
Mfumo (41.4) unaweza kupatikana kwa kuchukua fursa ya ukweli kwamba kazi inayofanywa na nguvu zote zinazotumiwa kwa mwili huenda kwa kuongeza nishati yake ya kinetic (tazama (19.11)). Kuchukua tofauti kutoka kwa pande zote mbili za usawa (41.1), tunafika kwenye uhusiano
Kulingana na equation (38.8) kwa hivyo, kuchukua nafasi ya kupitia tunafika kwenye fomula (41.4).
Jedwali 41.1
Katika meza 41.1 fomula za mechanics ya mwendo wa mzunguko hulinganishwa na fomula sawa za mechanics. mwendo wa mbele(hatua ya mitambo). Kutoka kwa kulinganisha hii ni rahisi kuhitimisha kwamba katika hali zote jukumu la molekuli linachezwa na wakati wa inertia, jukumu la nguvu linachezwa na wakati wa nguvu, jukumu la kasi linachezwa na kasi ya angular, nk.
Mfumo. (41.1) tulipata kwa kesi wakati mwili unapozunguka kwenye mhimili usio na msimamo uliowekwa kwenye mwili. Sasa hebu tuchukulie kwamba mwili huzunguka kwa njia ya kiholela kuhusiana na hatua isiyobadilika inayofanana na katikati yake ya molekuli.
Tutahusisha kwa ukali mfumo wa kuratibu wa Cartesian na mwili, asili yake ambayo itawekwa katikati ya wingi wa mwili. Kasi i-th msingi molekuli ni sawa Kwa hiyo, kwa nishati ya kinetic ya mwili, tunaweza kuandika kujieleza
iko wapi pembe kati ya vekta. Kubadilisha kupitia na kuzingatia tunayopata:
Hebu tuandike bidhaa za nukta kupitia makadirio ya veta kwenye shoka za mfumo wa kuratibu unaohusishwa na mwili:
Hatimaye, kuchanganya maneno na bidhaa zinazofanana za vipengele vya kasi ya angular na kuchukua bidhaa hizi nje ya ishara za hesabu, tunapata: hivyo formula (41.7) inachukua fomu (cf. (41.1)). Mwili wa kiholela unapozunguka moja ya mhimili mkuu wa hali ya hewa, sema mhimili na, fomula (41.7) inakuwa (41.10.
Hivyo. nishati ya kinetic ya mwili unaozunguka ni sawa na nusu ya bidhaa ya wakati wa inertia na mraba wa kasi ya angular katika matukio matatu: 1) kwa mwili unaozunguka karibu na mhimili uliowekwa; 2) kwa mwili unaozunguka karibu na moja ya shoka kuu za inertia; 3) kwa sehemu ya juu ya mpira. Katika hali nyingine, nishati ya kinetic imedhamiriwa kwa uwazi zaidi fomula tata(41.5) au (41.7).
Hebu kwanza tuzingatie mwili mgumu unaozunguka kuzunguka mhimili usiobadilika wa OZ na kasi ya angular ω (Mchoro 5.6). Wacha tuvunje mwili kuwa misa ya msingi. Kasi ya mstari wa misa ya msingi ni sawa na , ambapo ni umbali wake kutoka kwa mhimili wa mzunguko. Nishati ya kinetic i-hiyo misa ya msingi itakuwa sawa na
.
Nishati ya kinetic ya mwili mzima inaundwa na nguvu za kinetic za sehemu zake, kwa hiyo
.
Kwa kuzingatia kwamba jumla ya upande wa kulia wa uhusiano huu inawakilisha wakati wa hali ya mwili kuhusiana na mhimili wa mzunguko, hatimaye tunapata.
. (5.30)
Fomula za nishati ya kinetiki ya mwili unaozunguka (5.30) ni sawa na fomula zinazolingana za nishati ya kinetiki ya mwendo wa kutafsiri wa mwili. Wao hupatikana kutoka kwa mwisho kwa uingizwaji rasmi 
.
Katika hali ya jumla, mwendo wa mwili mgumu unaweza kuwakilishwa kama jumla ya mwendo - kutafsiri kwa kasi sawa na kasi ya kituo cha misa ya mwili, na kuzunguka kwa kasi ya angular karibu na mhimili wa papo hapo unaopita katikati ya misa. wingi. Katika kesi hii, usemi wa nishati ya kinetic ya mwili huchukua fomu
.
Wacha sasa tupate kazi iliyofanywa na wakati wa nguvu za nje wakati wa kuzunguka kwa mwili mgumu. Kazi ya msingi ya nguvu za nje kwa wakati dt itakuwa sawa na mabadiliko katika nishati ya kinetic ya mwili
Kuchukua tofauti kutoka kwa nishati ya kinetic harakati za mzunguko, tupate ongezeko lake
.
Kwa mujibu wa equation ya msingi ya mienendo kwa mwendo wa mzunguko
Kwa kuzingatia mahusiano haya, tunapunguza usemi wa kazi ya msingi kwa fomu
ambapo ni makadirio ya wakati unaotokana na nguvu za nje kwenye mwelekeo wa mhimili wa mzunguko wa OZ, ni angle ya mzunguko wa mwili kwa muda unaozingatiwa.
Kuunganisha (5.31), tunapata fomula ya kazi ya nguvu za nje zinazofanya kazi kwenye mwili unaozunguka.
Ikiwa , basi formula hurahisisha
Kwa hivyo, kazi ya nguvu za nje wakati wa kuzunguka kwa mwili mgumu unaohusiana na mhimili uliowekwa imedhamiriwa na hatua ya makadirio ya wakati wa nguvu hizi kwenye mhimili huu.
Gyroscope
Gyroscope ni mwili wa ulinganifu unaozunguka kwa kasi, mhimili wa mzunguko ambao unaweza kubadilisha mwelekeo wake katika nafasi. Ili mhimili wa gyroscope unaweza kuzunguka kwa uhuru katika nafasi, gyroscope imewekwa kwenye kinachojulikana kusimamishwa kwa gimbal (Mchoro 5.13). Gyroscope flywheel inazunguka katika pete ya ndani karibu na mhimili C 1 C 2 kupita katikati yake ya mvuto. Pete ya ndani, kwa upande wake, inaweza kuzunguka katika pete ya nje kuzunguka mhimili B 1 B 2, perpendicular kwa C 1 C 2. Hatimaye, mbio za nje zinaweza kuzunguka kwa uhuru katika fani za kamba karibu na mhimili A 1 A 2, perpendicular kwa shoka C 1 C 2 na B 1 B 2. Shoka zote tatu hukatiza katika sehemu fulani maalum ya O, inayoitwa katikati ya kusimamishwa au fulcrum ya gyroscope. Gyroscope katika gimbal ina digrii tatu za uhuru na, kwa hiyo, inaweza kufanya mzunguko wowote karibu na katikati ya gimbal. Ikiwa katikati ya kusimamishwa kwa gyroscope inafanana na kituo chake cha mvuto, basi wakati unaosababishwa wa mvuto wa sehemu zote za gyroscope kuhusiana na katikati ya kusimamishwa ni sifuri. Gyroscope kama hiyo inaitwa usawa.
Hebu sasa tuzingatie zaidi mali muhimu gyroscope, ambayo imepata matumizi makubwa katika nyanja mbalimbali.
1) Utulivu.
Kwa mzunguko wowote wa gyroscope iliyopingana, mhimili wake wa mzunguko unabakia bila kubadilika katika mwelekeo kuhusiana na mfumo wa kumbukumbu wa maabara. Hii ni kutokana na ukweli kwamba wakati wa nguvu zote za nje, sawa na wakati wa nguvu za msuguano, ni ndogo sana na kivitendo haina kusababisha mabadiliko katika kasi ya angular ya gyroscope, i.e.
Kwa kuwa kasi ya angular inaelekezwa kando ya mhimili wa mzunguko wa gyroscope, mwelekeo wake lazima ubaki bila kubadilika.
Ikiwa nguvu ya nje itatenda kwa muda mfupi, basi kiunga kinachoamua kuongezeka kwa kasi ya angular itakuwa ndogo.
. (5.34)
Hii ina maana kwamba chini ya ushawishi wa muda mfupi wa nguvu hata kubwa, harakati ya gyroscope ya usawa hubadilika kidogo. Gyroscope inaonekana kupinga majaribio yoyote ya kubadilisha ukubwa na mwelekeo wa kasi yake ya angular. Hii ni kutokana na utulivu wa ajabu ambao harakati ya gyroscope hupata baada ya kuletwa kwa mzunguko wa haraka. Mali hii ya gyroscope hutumiwa sana kwa udhibiti wa moja kwa moja harakati za ndege, meli, makombora na magari mengine.
Ikiwa unatenda kwenye gyroscope muda mrefu Ikiwa wakati wa nguvu za nje ni mara kwa mara katika mwelekeo, basi mhimili wa gyroscope hatimaye umewekwa katika mwelekeo wa wakati wa nguvu za nje. Jambo hili linatumika katika gyrocompass. Kifaa hiki ni gyroscope, mhimili ambao unaweza kuzungushwa kwa uhuru katika ndege ya usawa. Kutokana na mzunguko wa kila siku wa Dunia na hatua ya wakati wa nguvu za centrifugal, mhimili wa gyroscope huzunguka ili angle kati na inakuwa ndogo (Mchoro 5.14). Hii inafanana na nafasi ya mhimili wa gyroscope katika ndege ya meridian.
2). Athari ya Gyroscopic.
Ikiwa jozi ya nguvu na inatumiwa kwa gyroscope inayozunguka, inaelekea kuzunguka juu ya mhimili perpendicular kwa mhimili wa mzunguko, basi itaanza kuzunguka karibu na mhimili wa tatu, perpendicular kwa mbili za kwanza (Mchoro 5.15). Tabia hii isiyo ya kawaida ya gyroscope inaitwa athari ya gyroscopic. Inafafanuliwa na ukweli kwamba wakati wa jozi ya nguvu huelekezwa kando ya mhimili wa O 1 O 1 na mabadiliko katika vector kwa ukubwa kwa muda itakuwa na mwelekeo sawa. Kama matokeo, vekta mpya itazunguka kulingana na mhimili wa O 2 O 2. Kwa hivyo, tabia ya gyroscope, isiyo ya asili kwa mtazamo wa kwanza, inalingana kikamilifu na sheria za mienendo ya mwendo wa mzunguko.
3). Utangulizi wa gyroscope.
Utangulizi wa gyroscope ni harakati ya umbo la koni ya mhimili wake. Inatokea katika kesi wakati wakati wa nguvu za nje, iliyobaki mara kwa mara kwa ukubwa, huzunguka wakati huo huo na mhimili wa gyroscope, na kutengeneza pembe ya kulia nayo wakati wote. Ili kuonyesha utangulizi, gurudumu la baiskeli na ekseli iliyopanuliwa iliyowekwa kwenye mzunguko wa haraka inaweza kutumika (Mchoro 5.16).
Ikiwa gurudumu imesimamishwa na mwisho uliopanuliwa wa mhimili, mhimili wake utaanza kuzunguka mhimili wima chini ya ushawishi wa uzito wake mwenyewe. Sehemu ya juu inayozunguka kwa kasi pia inaweza kutumika kama onyesho la utangulizi.
Wacha tujue sababu za utangulizi wa gyroscope. Hebu fikiria gyroscope isiyo na usawa, mhimili ambao unaweza kuzunguka kwa uhuru karibu na hatua fulani O (Mchoro 5.16). Wakati wa mvuto unaotumika kwa gyroscope ni sawa kwa ukubwa
ambapo ni wingi wa gyroscope, ni umbali kutoka kwa uhakika O hadi katikati ya wingi wa gyroscope, ni pembe inayoundwa na mhimili wa gyroscope na wima. Vector inaelekezwa perpendicular kwa ndege ya wima inayopita kwenye mhimili wa gyroscope.
Chini ya ushawishi wa wakati huu, kasi ya angular ya gyroscope (asili yake imewekwa kwenye hatua O) itapokea ongezeko la wakati, na ndege ya wima inayopita kwenye mhimili wa gyroscope itazunguka kwa pembe. Vector daima ni perpendicular, kwa hiyo, bila kubadilisha ukubwa, vector hubadilika tu katika mwelekeo. Hata hivyo, baada ya muda mpangilio wa pande zote vekta na itakuwa sawa na wakati wa mwanzo. Matokeo yake, mhimili wa gyroscope utaendelea kuzunguka karibu na wima, kuelezea koni. Harakati hii inaitwa precession.
Wacha tuamue kasi ya angular ya utangulizi. Kwa mujibu wa Mchoro 5.16, angle ya mzunguko wa ndege kupitia mhimili wa koni na mhimili wa gyroscope ni sawa na
iko wapi kasi ya angular ya gyroscope, na ni ongezeko lake kwa muda.
Kugawanyika kwa , kwa kuzingatia mahusiano na mabadiliko yaliyojulikana, tunapata kasi ya angular ya utangulizi.
. (5.35)
Kwa gyroscopes kutumika katika teknolojia, kasi ya angular ya precession ni mamilioni ya mara chini ya kasi ya mzunguko wa gyroscope.
Kwa kumalizia, tunaona kwamba jambo la precession pia kuzingatiwa katika atomi kutokana na mwendo wa orbital wa elektroni.
Mifano ya matumizi ya sheria za mienendo
Wakati wa harakati za mzunguko
1. Hebu fikiria baadhi ya mifano juu ya sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular, ambayo inaweza kutekelezwa kwa kutumia benchi ya Zhukovsky. Katika kesi rahisi, benchi ya Zhukovsky ni jukwaa la umbo la disk (mwenyekiti), ambayo inaweza kuzunguka kwa uhuru karibu na mhimili wa wima kwenye fani za mpira (Mchoro 5.17). Mandamanaji huketi au kusimama kwenye benchi, baada ya hapo huletwa kwa mzunguko. Kwa sababu ya ukweli kwamba nguvu za msuguano kwa sababu ya utumiaji wa fani ni ndogo sana, kasi ya angular ya mfumo unaojumuisha benchi na mwonyeshaji wa jamaa na mhimili wa mzunguko hauwezi kubadilika kwa wakati ikiwa mfumo umeachwa kwa vifaa vyake. . Ikiwa mwonyeshaji anashikilia dumbbells nzito mikononi mwake na kueneza mikono yake kwa pande, basi ataongeza wakati wa inertia ya mfumo, na kwa hiyo kasi ya angular ya mzunguko inapaswa kupungua ili kasi ya angular ibaki bila kubadilika.
Kwa mujibu wa sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular, tunaunda equation kwa kesi hii
ni wapi wakati wa hali ya mtu na benchi, na ni wakati wa inertia ya dumbbells katika nafasi ya kwanza na ya pili, na ni kasi ya angular ya mfumo.
Kasi ya angular ya mzunguko wa mfumo wakati wa kuinua dumbbells kwa upande itakuwa sawa na
.
Kazi iliyofanywa na mtu wakati wa kusonga dumbbells inaweza kuamua kupitia mabadiliko katika nishati ya kinetic ya mfumo
2. Hebu tupe jaribio jingine na benchi ya Zhukovsky. Mwonyesho huketi au kusimama kwenye benchi na hupewa gurudumu linalozunguka kwa kasi na mhimili ulioelekezwa kwa wima (Mchoro 5.18). Kisha mwonyeshaji hugeuza gurudumu 180 0 . Katika kesi hiyo, mabadiliko katika kasi ya angular ya gurudumu huhamishiwa kabisa kwenye benchi na maandamano. Matokeo yake, benchi, pamoja na maandamano, huanza kuzunguka kwa kasi ya angular iliyopangwa kwa misingi ya sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular.
Kasi ya angular ya mfumo katika hali ya awali imedhamiriwa tu na kasi ya angular ya gurudumu na ni sawa na
ni wapi wakati wa inertia ya gurudumu, na ni kasi ya angular ya mzunguko wake.
Baada ya kugeuza gurudumu kupitia pembe ya 180 0, kasi ya angular ya mfumo itatambuliwa na jumla ya kasi ya angular ya benchi na mtu na kasi ya angular ya gurudumu. Kwa kuzingatia ukweli kwamba vector ya kasi ya angular ya gurudumu imebadilisha mwelekeo wake kwa kinyume, na makadirio yake kwenye mhimili wa wima imekuwa mbaya, tunapata.
,
wapi wakati wa hali ya mfumo wa "mtu-jukwaa", na ni kasi ya angular ya mzunguko wa benchi na mtu.
Kwa mujibu wa sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular
Na 
.
Matokeo yake, tunapata kasi ya mzunguko wa benchi
3. Fimbo nyembamba ya molekuli m na urefu l huzunguka kwa kasi ya angular ω=10 s -1 katika ndege ya usawa karibu na mhimili wima unaopita katikati ya fimbo. Kuendelea kuzunguka katika ndege hiyo hiyo, fimbo inakwenda ili mhimili wa mzunguko sasa upite mwisho wa fimbo. Pata kasi ya angular katika kesi ya pili.
Katika tatizo hili, kutokana na ukweli kwamba usambazaji wa wingi wa fimbo kuhusiana na mhimili wa mabadiliko ya mzunguko, wakati wa inertia ya fimbo pia hubadilika. Kwa mujibu wa sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular ya mfumo wa pekee, tunayo
Hapa ni wakati wa inertia ya fimbo inayohusiana na mhimili unaopita katikati ya fimbo; 
ni wakati wa hali ya fimbo inayohusiana na mhimili unaopita mwisho wake na kupatikana kwa nadharia ya Steiner.
Kubadilisha maneno haya katika sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular, tunapata
,
.
4. Urefu wa fimbo L=1.5 m na wingi m 1=Kilo 10 imesimamishwa kwa bawaba kutoka sehemu ya juu. Risasi yenye wingi wa m 2=10 g, kuruka kwa usawa kwa kasi ya = 500 m / s, na kukwama kwenye fimbo. Fimbo itageuka kwa pembe gani baada ya athari?
Hebu fikiria katika Mtini. 5.19. mfumo wa miili inayoingiliana "fimbo-risasi". Nyakati za nguvu za nje (mvuto, mmenyuko wa axle) wakati wa athari ni sawa na sifuri, kwa hivyo tunaweza kutumia sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular.
Kasi ya angular ya mfumo kabla ya athari ni sawa na kasi ya angular ya risasi inayohusiana na hatua ya kusimamishwa.
Kasi ya angular ya mfumo baada ya athari ya inelastic imedhamiriwa na formula
,
ambapo ni wakati wa hali ya fimbo kuhusiana na hatua ya kusimamishwa, ni wakati wa hali ya risasi, ni kasi ya angular ya fimbo na risasi mara baada ya athari.
Kutatua equation iliyosababishwa baada ya uingizwaji, tunapata
.
Hebu sasa tutumie sheria ya uhifadhi wa nishati ya mitambo. Wacha tulinganishe nishati ya kinetic ya fimbo baada ya risasi kuipiga na nishati inayowezekana katika hatua ya juu zaidi ya kuinuka:
,
iko wapi urefu wa mwinuko wa katikati ya wingi wa mfumo huu.
Baada ya kufanya mabadiliko muhimu, tunapata
Pembe ya kupotoka kwa fimbo inahusiana na uwiano
.
Baada ya kufanya mahesabu, tunapata =0.1p=18 0 .
5. Kuamua kasi ya miili na mvutano wa thread kwenye mashine ya Atwood, ukizingatia kuwa (Mchoro 5.20). Wakati wa inertia ya block jamaa na mhimili wa mzunguko ni sawa na I, eneo la kuzuia r. Puuza wingi wa thread.
Wacha tupange nguvu zote zinazofanya kazi kwenye mizigo na kizuizi, na tuandae hesabu zenye nguvu kwao
Ikiwa hakuna kuteleza kwa uzi kando ya kizuizi, basi kasi ya mstari na angular inahusiana kwa kila mmoja na uhusiano.
Kutatua equations hizi, tunapata
Kisha tunapata T 1 na T 2.
6. Thread imefungwa kwenye pulley ya msalaba wa Oberbeck (Mchoro 5.21), ambayo mzigo una uzito. M= 0.5 kg. Tambua inachukua muda gani kwa mzigo kuanguka kutoka kwa urefu h=m 1 hadi nafasi ya chini. Radi ya Pulley r= sentimeta 3. Vipimo vinne vya uzani m=250 g kila moja kwa mbali R= 30 cm kutoka kwa mhimili wake. Wakati wa inertia ya msalaba na pulley yenyewe hupuuzwa kwa kulinganisha na wakati wa inertia ya mizigo.
Usemi wa nishati ya kinetic ya mwili unaozunguka, kwa kuzingatia kwamba kasi ya mstari wa sehemu ya nyenzo ya kiholela inayounda mwili unaohusiana na mhimili wa kuzunguka ni sawa, ina fomu.
ambapo ni wakati wa hali ya mwili kuhusiana na mhimili uliochaguliwa wa mzunguko, kasi yake ya angular kuhusiana na mhimili huu, na kasi ya angular ya mwili kuhusiana na mhimili wa mzunguko.
Ikiwa mwili hupitia mwendo wa mzunguko wa kutafsiri, basi hesabu ya nishati ya kinetic inategemea uchaguzi wa pole kwa heshima ambayo mwendo wa mwili unaelezwa. Matokeo ya mwisho yatakuwa sawa. Kwa hivyo, ikiwa kwa mwili wa pande zote unaozunguka kwa kasi v bila kuteleza na radius R na mgawo wa inertia k, pole inachukuliwa kwa CM yake, kwa uhakika C, basi wakati wake wa inertia ni , na kasi ya angular ya kuzunguka karibu na mhimili. C ni . Kisha nishati ya kinetic ya mwili ni.
Ikiwa pole inachukuliwa katika hatua ya O ya kuwasiliana kati ya mwili na uso kwa njia ambayo mhimili wa papo hapo wa mzunguko wa mwili hupita, basi wakati wake wa inertia kuhusiana na mhimili O itakuwa sawa. 
. Kisha nishati ya kinetic ya mwili, kwa kuzingatia kwamba kasi ya angular ya mzunguko wa mwili ni sawa na jamaa na axes sambamba na mwili hufanya mzunguko safi karibu na mhimili wa O, itakuwa sawa na . Matokeo yake ni sawa.
Nadharia kuhusu nishati ya kinetic ya utendaji wa mwili harakati ngumu, itakuwa na muundo sawa na mwendo wake wa kutafsiri: 
.
Mfano 1. Mwili wa misa m umeunganishwa kwenye mwisho wa jeraha la uzi karibu na kizuizi cha silinda cha radius R na misa M. Mwili huinuliwa hadi urefu wa h na kutolewa (Mchoro 65). Baada ya jerk ya inelastic ya thread, mwili na block mara moja huanza kusonga pamoja. Ni joto ngapi litatolewa wakati wa jerk? Je, itakuwa kasi gani ya mwili na mvutano wa thread baada ya jerk? Je, itakuwa kasi ya mwili na umbali uliosafirishwa nayo baada ya thread kupigwa baada ya muda t?
Imetolewa: M, R, m, h, g, t. Tafuta: Q -?,a - ?, T - ?,v -?, s -?
Suluhisho: Kasi ya mwili kabla ya uzi kutetemeka. Baada ya msukosuko wa uzi, kizuizi na mwili vitaingia katika mwendo wa mzunguko unaohusiana na mhimili wa kizuizi O na kitatenda kama miili iliyo na matukio ya hali ya hewa kuhusiana na mhimili huu sawa na na . Wakati wao wote wa hali kuhusu mhimili wa mzunguko.
Thread jerking ni mchakato wa haraka na wakati wa jerk, sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular ya mfumo wa kuzuia-mwili hufanyika, ambayo, kutokana na ukweli kwamba mwili na kuzuia mara moja baada ya jerk kuanza kusonga pamoja, ina fomu. :. Kasi ya awali ya angular ya kuzunguka kwa block inatoka wapi? 
, na kasi ya awali ya mstari wa mwili 
.
Nishati ya kinetic ya mfumo, kutokana na uhifadhi wa kasi yake ya angular, mara moja baada ya jerks ya thread, ni sawa na. Joto iliyotolewa wakati wa jerk kulingana na sheria ya uhifadhi wa nishati
Equations ya nguvu ya mwendo wa miili ya mfumo baada ya jerk ya thread haitegemei kasi yao ya awali. Kwa block ina fomu 
au, na kwa mwili. Kuongeza equations hizi mbili, tunapata 
.
Je! kasi ya mwendo wa mwili inatoka wapi? Mvutano wa thread 
Milinganyo ya kinematic ya mwendo wa mwili baada ya jerk itakuwa na fomu 
, ambapo vigezo vyote vinajulikana.
Jibu: . 
.
Mfano 2. Miili miwili ya pande zote yenye coefficients ya inertia (silinda mashimo) na (mpira) iko kwenye msingi ndege inayoelekea yenye pembe ya mwelekeo α ripoti kasi zinazofanana za awali zilizoelekezwa juu kwenye ndege iliyoinama. Kwa urefu gani na kwa wakati gani miili itapanda hadi urefu huu? Je! ni kasi gani za miili inayoinuka? Je, urefu, nyakati na kasi za miili hutofautiana mara ngapi? Miili husogea kando ya ndege iliyoinama bila kuteleza.
Imetolewa: . Tafuta:
Suluhisho: Mwili hufanyiwa kazi na: mvuto m g, mwitikio wa ndege iliyoelekezwa N, na nguvu ya msuguano wa clutch (Mchoro 67). Kazi ya mmenyuko wa kawaida na nguvu ya msuguano wa kujitoa (hakuna kuteleza na hakuna joto linalotolewa kwenye hatua ya kujitoa kwa mwili na ndege.) ni sawa na sifuri: 
, kwa hiyo, kuelezea mwendo wa miili inawezekana kutumia sheria ya uhifadhi wa nishati:. Wapi.
Tutapata nyakati na uharakishaji wa mwendo wa miili kutoka kwa milinganyo ya kinematic 
.
Wapi 
, 
. Uwiano wa urefu, nyakati na kuongeza kasi ya miili ya kuinua:
Jibu: , , , 
.
Mfano 3. Risasi ya misa, ikiruka kwa kasi, inapiga katikati ya mpira wa wingi M na radius R, iliyoshikamana na mwisho wa fimbo ya misa m na urefu l, iliyosimamishwa kwa hatua O na mwisho wake wa pili, na kuruka nje yake. kwa kasi (Mchoro 68). Pata kasi ya angular ya mzunguko wa mfumo wa mpira wa fimbo mara baada ya athari na angle ya kupotoka kwa fimbo baada ya athari ya risasi.
Imetolewa: 
. Tafuta:
Suluhisho: Wakati wa inertia ya fimbo na mpira kuhusiana na hatua ya kusimamishwa O ya fimbo kulingana na nadharia ya Steiner: na 
.
Jumla ya wakati wa hali ya mfumo wa mpira wa viboko .
Athari ya risasi ni mchakato wa haraka, na sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular ya mfumo wa risasi-fimbo-mpira hufanyika (miili baada ya mgongano huingia kwenye mwendo wa mzunguko):. Kasi ya angular ya mwendo wa mfumo wa mpira wa viboko mara baada ya athari inatoka wapi?
Nafasi ya CM ya mfumo wa mpira wa fimbo kuhusiana na hatua ya kusimamishwa O: 
. Sheria ya uhifadhi wa nishati kwa CM ya mfumo baada ya athari, kwa kuzingatia sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular ya mfumo juu ya athari, ina fomu . Urefu wa CM ya mfumo hupanda kutoka wapi baada ya athari? 
. Pembe ya kupotoka kwa fimbo baada ya athari imedhamiriwa na hali hiyo 
.
Jibu: , , .
Mfano 4. Kizuizi kinashinikizwa kwa nguvu N hadi mwili wa duara wa m na kipenyo R, na mgawo wa hali k, unaozunguka kwa kasi ya angular. Je, itachukua muda gani kwa silinda kusimama na ni kiasi gani cha joto kitakachotolewa wakati pedi inasugua kwenye silinda wakati huu? Mgawo wa msuguano kati ya block na silinda ni.
Imetolewa: Tafuta:
Suluhisho: Kazi inayofanywa na nguvu ya msuguano kabla ya mwili kusimama kulingana na nadharia ya nishati ya kinetic ni sawa na 
. Joto iliyotolewa wakati wa mzunguko 
.
Mlinganyo wa mwendo wa mzunguko wa mwili una umbo . Je! kasi ya angular ya mzunguko wake wa polepole inatoka wapi? . Wakati inachukua kwa mwili kuzunguka hadi kusimama.
Jibu: , .
Mfano 5. Mwili wa pande zote wa m na radius R na mgawo wa inertia k hupigwa kwa kasi ya angular kinyume na saa na kuwekwa kwenye uso wa usawa karibu na ukuta wa wima (Mchoro 70). Je, itachukua muda gani kwa mwili kusimama na utafanya mapinduzi mangapi kabla ya kuacha? Je! ni kiasi gani cha joto kinachotolewa wakati mwili unasugua uso wakati huu? Mgawo wa msuguano wa mwili juu ya uso ni sawa na.
Imetolewa: . Tafuta:
Suluhisho: Joto linalotolewa wakati wa kuzunguka kwa mwili hadi kuacha ni sawa na kazi ya nguvu za msuguano, ambazo zinaweza kupatikana kwa kutumia nadharia juu ya nishati ya kinetic ya mwili. Tuna.
Mmenyuko wa ndege mlalo. Vikosi vya msuguano vinavyofanya juu ya mwili kutoka kwenye nyuso za usawa na za wima ni sawa: na 
.Kutoka kwa mfumo wa milinganyo hii miwili tunapata na .
Kwa kuzingatia mahusiano haya, equation ya mwendo wa mzunguko wa mwili ina fomu (. Ambapo kasi ya angular ya mzunguko wa mwili ni sawa na. Kisha wakati wa mzunguko wa mwili kabla ya kuacha, na idadi ya mapinduzi yake. hufanya.
Jibu: , , , .
Mfano 6. Mwili wa pande zote na mgawo wa inertia k unaendelea bila kuteleza kutoka juu ya hemisphere ya radius R imesimama kwenye uso wa usawa (Mchoro 71). Kwa urefu gani na kwa kasi gani itaondoka kutoka kwa hemisphere na kwa kasi gani itaanguka kwenye uso wa usawa?
Imetolewa: k, g, R. Tafuta:
Suluhisho: Nguvu hufanya kazi kwenye mwili .
Kazi na 0, (hakuna kuteleza na joto halijatolewa katika hatua ya kushikamana ya hemisphere na mpira) kwa hiyo, kuelezea mwendo wa mwili inawezekana kutumia sheria ya uhifadhi wa nishati. Sheria ya pili ya Newton kwa CM ya mwili katika hatua ya kujitenga kutoka kwa ulimwengu, kwa kuzingatia kwamba katika hatua hii ina fomu, kutoka wapi. 
.
Sheria ya uhifadhi wa nishati kwa hatua ya awali na hatua ya kujitenga kwa mwili ina fomu. Ambapo urefu na kasi ya kujitenga kwa mwili kutoka kwa ulimwengu ni sawa, 
.
Baada ya mwili kutenganishwa na ulimwengu, mabadiliko yake ya nishati ya kinetic tu ya kutafsiri, kwa hivyo sheria ya uhifadhi wa nishati kwa pointi za kujitenga na kuanguka kwa mwili chini ina fomu. Ambapo, kwa kuzingatia, tunapata 
. Kwa mwili unaoteleza kwenye uso wa ulimwengu bila msuguano, k=0 na , , .
Jibu: , , .
Wacha tuzingatie mwili mgumu kabisa unaozunguka juu ya mhimili uliowekwa. Wacha tuvunje mwili huu kiakili kuwa vipande vidogo na saizi ndogo na misa m v t., t 3,... iko katika umbali R v R 0 , R 3,... kutoka kwa mhimili. Nishati ya kinetic ya mwili unaozunguka tunaiona kama jumla ya nguvu za kinetic za sehemu zake ndogo:
- wakati wa inertia ya mwili mgumu kuhusiana na mhimili fulani 00,. Kutoka kwa ulinganisho wa kanuni za nishati ya kinetic ya mwendo wa kutafsiri na wa mzunguko, ni dhahiri kwamba. wakati wa hali katika mwendo wa mzunguko ni sawa na wingi katika mwendo wa kutafsiri. Mfumo (4.14) ni rahisi kwa kuhesabu wakati wa hali ya mifumo inayojumuisha mtu binafsi. pointi za nyenzo. Ili kuhesabu wakati wa inertia ya miili imara, kwa kutumia ufafanuzi wa muhimu, unaweza kuibadilisha kwa fomu
Ni rahisi kutambua kwamba wakati wa inertia inategemea uchaguzi wa mhimili na mabadiliko na tafsiri yake sambamba na mzunguko. Wacha tupate maadili ya wakati wa inertia kwa miili mingine yenye homogeneous.
Kutokana na fomula (4.14) ni dhahiri kwamba wakati wa hali ya uhakika wa nyenzo sawa
Wapi T - misa ya uhakika; R- umbali wa mhimili wa mzunguko.
Ni rahisi kuhesabu wakati wa inertia kwa mashimo thin-walled silinda(au kesi maalum ya silinda yenye urefu wa chini - pete nyembamba) eneo R kuhusiana na mhimili wa ulinganifu. Umbali wa mhimili wa kuzunguka kwa alama zote za mwili kama huo ni sawa, sawa na radius na inaweza kuchukuliwa kutoka chini ya ishara ya jumla (4.14):
Mchele. 4.5
Silinda imara(au kesi maalum silinda yenye urefu mdogo - diski) eneo R kuhesabu wakati wa inertia kuhusiana na mhimili wa ulinganifu inahitaji kuhesabu muhimu (4.15). Unaweza kuelewa mapema kuwa misa katika kesi hii, kwa wastani, imejilimbikizia karibu na mhimili kuliko katika silinda isiyo na mashimo, na formula itakuwa sawa na (4.17), lakini itakuwa na mgawo chini ya umoja. Hebu tupate mgawo huu. Acha silinda thabiti iwe na wiani p na urefu A. Hebu tuigawanye katika mitungi isiyo na mashimo (nyuso nyembamba za silinda) za unene. Dkt(Mchoro 4.5 unaonyesha makadirio perpendicular kwa mhimili wa ulinganifu). Kiasi cha silinda tupu kama hiyo ya radius r sawa na eneo uso uliozidishwa na unene: dV = 2nrhdr, uzito: dm = 2nphrdr, na wakati wa hali kwa mujibu wa fomula (4.17): dj =
= r 2 dm = 2l/?g Wr. Wakati kamili wa hali ya silinda thabiti hupatikana kwa kuunganisha (muhtasari) wakati wa hali ya silinda isiyo na mashimo:
Tafuta kwa njia ile ile wakati wa inertia ya fimbo nyembamba urefu L na raia T, ikiwa mhimili wa mzunguko ni perpendicular kwa fimbo na hupita katikati yake. Hebu tuivunje hii
Kwa kuzingatia ukweli kwamba wingi wa silinda imara ni kuhusiana na wiani kwa formula t = nR 2 hp, hatimaye tumepata wakati wa inertia ya silinda imara:
Mchele. 4.6
fimbo kwa mujibu wa mtini. Unene wa vipande 4.6 dl. Uzito wa kipande kama hicho ni sawa na dm = mdl/L, na wakati wa hali kwa mujibu wa fomula (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Wakati wa jumla wa inertia ya fimbo nyembamba hupatikana kwa kuunganisha (muhtasari) wakati wa inertia ya vipande:
Kuchukua kiunga cha msingi kunatoa wakati wa inertia ya fimbo nyembamba ya urefu L na raia T
Mchele. 4.7
Ni ngumu zaidi kuchukua kiunga wakati wa kutafuta wakati wa hali ya mpira wa homogeneous eneo R na wingi /77 kuhusiana na mhimili wa ulinganifu. Acha mpira thabiti uwe na wiani p. Hebu tuivunje kwa mujibu wa Mtini. 4.7 kwa mitungi nyembamba yenye mashimo nene dr, mhimili wa ulinganifu ambao unaambatana na mhimili wa kuzunguka kwa mpira. Kiasi cha silinda tupu kama hiyo ya radius G sawa na eneo la uso lililozidishwa na unene:
iko wapi urefu wa silinda h kupatikana kwa kutumia nadharia ya Pythagorean:
Basi ni rahisi kupata wingi wa silinda mashimo:
na vile vile wakati wa hali kwa mujibu wa fomula (4.15):
Wakati kamili wa inertia ya mpira dhabiti hupatikana kwa kuunganisha (muhtasari) wakati wa hali ya silinda mashimo:
Kwa kuzingatia ukweli kwamba wingi wa mpira imara unahusiana na wiani wa fomu-4.
loy T = -npR A y hatimaye tuna wakati wa hali kuhusu mhimili
ulinganifu wa mpira wa homogeneous wa radius R raia T:
Hebu tufafanue nishati ya kinetic imara, inazunguka karibu na mhimili uliowekwa. Wacha tugawanye mwili huu katika vidokezo vya nyenzo. Kila hatua husogea kwa kasi ya mstari υ i =ωr i , kisha nishati ya kinetic ya uhakika
au 
Jumla ya nishati ya kinetic ya mwili mgumu unaozunguka ni sawa na jumla ya nguvu za kinetic za vidokezo vyake vyote vya nyenzo:
(3.22)
(J ni wakati wa hali ya mwili kuhusiana na mhimili wa mzunguko)
Ikiwa trajectories ya pointi zote ziko katika ndege sambamba (kama silinda inayoviringisha ndege iliyoinama, kila nukta inasogea kwa ndege yake), hii harakati ya gorofa. Kulingana na kanuni ya Euler, mwendo wa ndege unaweza kugawanywa kuwa mwendo wa kutafsiri na wa mzunguko kwa njia nyingi. Ikiwa mpira huanguka au kuteleza kwenye ndege iliyoelekezwa, husogea tu kwa kutafsiri; wakati mpira unapozunguka, pia huzunguka.
Ikiwa mwili utafanya harakati za kutafsiri na za mzunguko wakati huo huo, basi jumla ya nishati yake ya kinetic ni sawa na
(3.23)
Kutoka kwa ulinganisho wa fomula za nishati ya kinetiki kwa mwendo wa kutafsiri na wa mzunguko, ni wazi kwamba kipimo cha hali wakati wa mwendo wa mzunguko ni wakati wa hali ya mwili.
§ 3.6 Kazi ya nguvu za nje wakati wa mzunguko wa mwili mgumu
Wakati mwili mgumu unapozunguka, nishati yake inayowezekana haibadilika, kwa hivyo kazi ya msingi ya nguvu za nje ni sawa na kuongezeka kwa nishati ya kinetic ya mwili:
dA = dE au 
Kwa kuzingatia kwamba Jβ = M, ωdr = dφ, tuna α ya mwili kwa pembe ya mwisho φ ni sawa na
(3.25)
Wakati mwili mgumu unapozunguka mhimili uliowekwa, kazi ya nguvu za nje imedhamiriwa na hatua ya wakati wa nguvu hizi zinazohusiana na mhimili huu. Ikiwa wakati wa nguvu zinazohusiana na mhimili ni sifuri, basi nguvu hizi hazifanyi kazi.
Mifano ya kutatua matatizo
Mfano 2.1. Uzito wa flywheelm= 5kg na radiusr= 0.2 m huzunguka mhimili mlalo na mzungukoν 0 = 720 min -1 na wakati wa kufunga breki huacha nyumat=sek. Tafuta torati ya kusimama na idadi ya mapinduzi kabla ya kusimama.
Kuamua torque ya kusimama, tunatumia equation ya msingi ya mienendo ya mwendo wa mzunguko
ambapo mimi = mr 2 - wakati wa inertia ya diski; Δω =ω - ω 0, na ω =0 ni kasi ya mwisho ya angular, ω 0 =2πν 0 ni ya awali. M ni wakati wa kusimama wa nguvu zinazofanya kazi kwenye diski.
Kujua idadi yote, unaweza kuamua torque ya kusimama
Bw 2 2pi 0 = МΔt (1)
(2)
Kutoka kwa kinematics ya mwendo wa mzunguko, angle ya mzunguko wakati wa kuzunguka kwa diski kabla ya kuacha inaweza kuamua na formula.
(3)
ambapo β ni kuongeza kasi ya angular.
Kulingana na hali ya tatizo: ω =ω 0 - βΔt, tangu ω=0, ω 0 = βΔt
Kisha usemi (2) unaweza kuandikwa kama:
Mfano 2.2. Magurudumu mawili ya kuruka katika mfumo wa diski za radii zinazofanana na misa zilisokota hadi kasi ya kuzunguka.n= 480 rpm na kushoto kwa vifaa vyetu wenyewe. Chini ya ushawishi wa nguvu za msuguano wa shafts kwenye fani, wa kwanza alisimama kupitiat=80 s, na ya pili ilifanyaN= 240 rpm kuacha. Ni gurudumu gani la kuruka lililokuwa na msuguano mkubwa kati ya vishimo na fani na mara ngapi?
Tutapata wakati wa nguvu za mwiba M 1 wa flywheel ya kwanza kwa kutumia equation ya msingi ya mienendo ya mwendo wa mzunguko.
M 1 Δt = Iω 2 - Iω 1
ambapo Δt ni wakati wa hatua ya wakati wa nguvu za msuguano, I=mr 2 ni wakati wa inertia ya flywheel, ω 1 = 2πν na ω 2 = 0 - kasi ya awali na ya mwisho ya angular ya flywheels.
Kisha 
Wakati wa nguvu za msuguano M 2 ya flywheel ya pili itaonyeshwa kupitia unganisho kati ya kazi A ya nguvu za msuguano na mabadiliko katika nishati yake ya kinetic ΔE k:
ambapo Δφ = 2πN ni pembe ya mzunguko, N ni idadi ya mapinduzi ya flywheel.
Kisha kutoka wapi
KUHUSU 
uwiano utakuwa sawa
Wakati wa msuguano wa flywheel ya pili ni mara 1.33 zaidi.
Mfano 2.3.
Misa ya diski ngumu yenye homogeneous m, wingi wa mizigo m 1
na m 2
(Mchoro 15). Hakuna kuteleza au msuguano wa uzi kwenye mhimili wa silinda. Pata kasi ya mizigo na uwiano wa mvutano wa thread
katika mchakato wa harakati.
Hakuna kuteleza kwa uzi, kwa hiyo, wakati m 1 na m 2 hufanya mwendo wa kutafsiri, silinda itazunguka kuhusu mhimili unaopita kwenye hatua O. Hebu tuchukue kwa uhakika kwamba m 2 > m 1.
Kisha mzigo m 2 hupunguzwa na silinda huzunguka saa. Wacha tuandike milinganyo ya mwendo wa miili iliyojumuishwa kwenye mfumo
Milinganyo miwili ya kwanza imeandikwa kwa miili yenye wingi m 1 na m 2 inayopitia mwendo wa kutafsiri, na mlinganyo wa tatu umeandikwa kwa silinda inayozunguka. Katika equation ya tatu upande wa kushoto ni wakati wa jumla wa nguvu zinazofanya kazi kwenye silinda (wakati wa nguvu T 1 inachukuliwa na ishara ya minus, kwani nguvu T 1 inaelekea kuzunguka silinda kinyume cha saa). Kwa upande wa kulia mimi ni wakati wa inertia ya silinda inayohusiana na mhimili wa O, ambayo ni sawa na
ambapo R ni radius ya silinda; β ni kuongeza kasi ya angular ya silinda.
Kwa kuwa hakuna utelezi wa uzi, basi 
. Kwa kuzingatia misemo ya mimi na β, tunapata:
Kuongeza equations ya mfumo, tunafika kwenye equation
Kuanzia hapa tunapata kuongeza kasi a mizigo
Kutoka kwa usawa unaosababishwa ni wazi kwamba mvutano wa thread utakuwa sawa, i.e. 
=1 ikiwa wingi wa silinda ni chini sana kuliko wingi wa mizigo.
Mfano 2.4.
Mpira wa mashimo yenye wingi m = 0.5 kg ina radius ya nje R = 0.08 m na radius ya ndani r = 0.06 m. Mpira huzunguka mhimili unaopita katikati yake. Kwa wakati fulani, nguvu huanza kuchukua hatua kwenye mpira, kama matokeo ambayo angle ya kuzunguka kwa mpira hubadilika kulingana na sheria.
. Amua wakati wa nguvu iliyotumika.
Tunatatua tatizo kwa kutumia equation ya msingi ya mienendo ya mwendo wa mzunguko 
. Ugumu kuu ni kuamua wakati wa inertia ya mpira usio na mashimo, na tunapata kuongeza kasi ya angular β kama 
. Wakati wa inertia I ya mpira usio na mashimo ni sawa na tofauti kati ya muda wa inertia ya mpira wa radius R na mpira wa radius r:
ambapo ρ ni msongamano wa nyenzo za mpira. Kutafuta wiani kwa kujua wingi wa mpira mashimo
Kuanzia hapa tunaamua wiani wa nyenzo za mpira
Kwa wakati wa nguvu M tunapata usemi ufuatao:
Mfano 2.5. Fimbo nyembamba yenye uzito wa 300 g na urefu wa cm 50 huzunguka na kasi ya angular ya 10 s. -1 katika ndege ya usawa karibu na mhimili wima unaopita katikati ya fimbo. Pata kasi ya angular ikiwa, wakati wa kuzunguka katika ndege moja, fimbo inakwenda ili mhimili wa mzunguko upite mwisho wa fimbo.
Tunatumia sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular
(1)
(J i ni wakati wa inertia ya fimbo kuhusiana na mhimili wa mzunguko).
Kwa mfumo wa pekee wa miili, jumla ya vector ya kasi ya angular inabaki mara kwa mara. Kwa sababu ya ukweli kwamba usambazaji wa wingi wa fimbo unaohusiana na mhimili wa mzunguko hubadilika, wakati wa inertia ya fimbo pia hubadilika kulingana na (1):
J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)
Inajulikana kuwa wakati wa inertia ya fimbo inayohusiana na mhimili unaopita katikati ya misa na perpendicular kwa fimbo ni sawa na.
J 0 = mℓ 2/12. (3)
Kulingana na nadharia ya Steiner
J =J 0 +m A 2
(J ni wakati wa hali ya hewa ya fimbo inayohusiana na mhimili kiholela wa mzunguko; J 0 ni wakati wa hali ya hewa inayohusiana na mhimili sambamba unaopita katikati ya wingi; A- umbali kutoka katikati ya misa hadi mhimili uliochaguliwa wa mzunguko).
Wacha tupate wakati wa hali juu ya mhimili unaopita mwisho wake na wa kawaida kwa fimbo:
J 2 =J 0 +m A 2, J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2/3. (4)
Hebu tubadilishe fomula (3) na (4) hadi (2):
mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2/3
ω 2 = ω 1 /4 ω 2 =10s-1/4=2.5s -1
Mfano 2.6 . Mtu wa misam=60kg, iliyosimama kwenye ukingo wa jukwaa lenye uzito wa M=120kg, ikizunguka kwa hali ya hewa kuzunguka mhimili wima uliowekwa na frequency ν 1 =12min -1 , inahamia katikati yake. Kwa kuzingatia jukwaa kuwa diski ya homogeneous pande zote na mtu kuwa misa ya uhakika, amua na frequency gani ν 2 jukwaa basi litazunguka.
Imetolewa: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0.2s -1 .
Tafuta:ν 1
Suluhisho: Kwa mujibu wa hali ya tatizo, jukwaa na mtu huzunguka kwa inertia, i.e. wakati unaotokana na nguvu zote zinazotumiwa kwenye mfumo unaozunguka ni sifuri. Kwa hiyo, kwa mfumo wa "jukwaa-mtu" sheria ya uhifadhi wa kasi ya angular imeridhika
Mimi 1 ω 1 = I 2 ω 2
Wapi 
- wakati wa inertia ya mfumo wakati mtu anasimama kwenye ukingo wa jukwaa (kuzingatia kwamba wakati wa inertia ya jukwaa ni sawa na 
(R - radius n 
jukwaa), wakati wa hali ya mtu kwenye ukingo wa jukwaa ni mR 2).
- wakati wa inertia ya mfumo wakati mtu anasimama katikati ya jukwaa (kuzingatia kwamba wakati wa mtu amesimama katikati ya jukwaa ni sifuri). Kasi ya angular ω 1 = 2π ν 1 na ω 1 = 2π ν 2.
Kubadilisha maneno yaliyoandikwa katika fomula (1), tunapata
kasi ya mzunguko inayotakiwa inatoka wapi?
Jibu: ν 2 =24min -1.