Eigenvalues (nambari) na eigenvectors.
Mifano ya ufumbuzi

Kuwa wewe mwenyewe

Kutoka kwa equations zote mbili inafuata hiyo.

Hebu tuweke basi: .

Matokeo yake: - eigenvector ya pili.

Hebu kurudia pointi muhimu ufumbuzi:

- mfumo unaotokana hakika una suluhisho la jumla (equations zinategemea mstari);

- tunachagua "y" kwa njia ambayo ni kamili na ya kwanza "x" ya kuratibu ni integer, chanya na ndogo iwezekanavyo.

- tunaangalia kuwa suluhisho mahususi linakidhi kila mlinganyo wa mfumo.

Jibu .

Kulikuwa na "vituo vya ukaguzi" vya kutosha vya kati, kwa hivyo kuangalia usawa, kimsingi, sio lazima.

KATIKA vyanzo mbalimbali habari, kuratibu za eigenveekta mara nyingi huandikwa sio kwenye safu, lakini kwa safu, kwa mfano: (na, kuwa mkweli, mimi mwenyewe nimezoea kuziandika kwenye mistari). Chaguo hili linakubalika, lakini kwa kuzingatia mada mabadiliko ya mstari kitaalam rahisi zaidi kutumia vekta za safu.

Labda suluhisho lilionekana kuwa refu sana kwako, lakini hii ni kwa sababu nilitoa maoni juu ya mfano wa kwanza kwa undani sana.

Mfano 2

Matrices

Wacha tufanye mazoezi peke yetu! Mfano wa takriban wa kazi ya mwisho mwishoni mwa somo.

Wakati mwingine unahitaji kukamilisha kazi ya ziada, ambayo ni:

andika mtengano wa matrix ya kisheria

Ni nini?

Ikiwa eigenvectors ya fomu ya matrix msingi, basi inaweza kuwakilishwa kama:

Ambapo ni matrix inayojumuisha kuratibu za eigenveekta, - diagonal matrix yenye eigenvalues zinazolingana.

Mtengano huu wa matrix unaitwa kisheria au diagonal.

Wacha tuangalie matrix ya mfano wa kwanza. Eigenvectors zake kujitegemea linearly(isiyo ya collinear) na kuunda msingi. Wacha tuunda matrix ya kuratibu zao:

Washa diagonal kuu matrices kwa utaratibu ufaao eigenvalues ziko, na vitu vilivyobaki ni sawa na sifuri:
- Ninasisitiza tena umuhimu wa utaratibu: "mbili" inafanana na vector ya 1 na kwa hiyo iko kwenye safu ya 1, "tatu" - kwa vector ya 2.

Kutumia algorithm ya kawaida kutafuta matrix ya kinyume au Njia ya Gauss-Jordan tunapata . Hapana, hiyo si typo! - kabla ya wewe ni nadra, kama kupatwa kwa jua tukio wakati kinyume kinalingana na matriki asilia.

Inabakia kuandika mtengano wa kisheria wa matrix:

Mfumo unaweza kutatuliwa kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, na katika mifano ifuatayo tutaamua njia hii. Lakini hapa njia ya "shule" inafanya kazi kwa kasi zaidi. Kutoka kwa mlingano wa 3 tunaeleza: - badala ya mlingano wa pili:

Kwa kuwa uratibu wa kwanza ni sifuri, tunapata mfumo, kutoka kwa kila equation ambayo inafuata kwamba .

Na tena makini na uwepo wa lazima wa uhusiano wa mstari. Ikiwa tu suluhisho lisilo na maana linapatikana , basi ama eigenvalue ilipatikana kimakosa, au mfumo ulikusanywa/kutatuliwa kwa hitilafu.

Viwianishi vya kompakt hutoa thamani

Eigenvector:

Na mara nyingine tena, tunaangalia kwamba suluhisho limepatikana inakidhi kila equation ya mfumo. Katika aya zinazofuata na katika kazi zinazofuata, ninapendekeza kuchukua matakwa haya kama sheria ya lazima.

2) Kwa eigenvalue, kwa kutumia kanuni hiyo hiyo, tunapata mfumo ufuatao:

Kutoka kwa mlingano wa 2 wa mfumo tunaeleza: - badala ya mlinganyo wa tatu:

Kwa kuwa uratibu wa "zeta" ni sawa na sifuri, tunapata mfumo kutoka kwa kila mlinganyo ambao utegemezi wa mstari unafuata.

Hebu

Kuangalia kwamba suluhisho inakidhi kila equation ya mfumo.

Kwa hivyo, eigenvector ni:.

3) Na mwishowe, mfumo unalingana na eigenvalue:

Mlinganyo wa pili unaonekana rahisi zaidi, kwa hivyo wacha tuielezee na tuibadilishe katika milinganyo ya 1 na ya 3:

Kila kitu kiko sawa - uhusiano wa mstari umeibuka, ambao tunabadilisha kwa usemi:

Kama matokeo, "x" na "y" zilionyeshwa kupitia "z": . Kwa mazoezi, sio lazima kufikia uhusiano kama huo; katika hali zingine ni rahisi zaidi kuelezea kupitia au na kupitia . Au hata "treni" - kwa mfano, "X" hadi "mimi", na "mimi" hadi "Z"

Hebu tuweke basi:

Tunaangalia kuwa suluhisho limepatikana inakidhi kila equation ya mfumo na inaandika eigenvector ya tatu

Jibu: eigenvectors:

Kijiometri, vekta hizi hufafanua mwelekeo tatu tofauti wa anga ("Huko na kurudi tena"), kulingana na ambayo mabadiliko ya mstari hubadilisha vekta zisizo za sifuri (eigenveekta) kuwa vivekta vya collinear.

Ikiwa hali ilihitaji kupata mtengano wa kisheria, basi hii inawezekana hapa, kwa sababu eigenvalues tofauti hulingana na eigenveekta tofauti zinazojitegemea. Kutengeneza matrix kutoka kwa kuratibu zao, tumbo la diagonal kutoka husika eigenvalues na kupata matrix ya kinyume .

Ikiwa, kwa hali, unahitaji kuandika matrix ya mabadiliko ya mstari kwa msingi wa eigenveekta, kisha tunatoa jibu katika fomu. Kuna tofauti, na tofauti ni muhimu! Kwa sababu matrix hii ni matrix ya "de".

Tatizo na zaidi mahesabu rahisi Kwa uamuzi wa kujitegemea:

Mfano 5

Pata eigenveekta za ubadilishaji wa mstari uliotolewa na matrix

Unapotafuta nambari zako mwenyewe, jaribu kutokwenda hadi digrii ya 3 ya polynomial. Kwa kuongeza, ufumbuzi wa mfumo wako unaweza kutofautiana na ufumbuzi wangu - hakuna uhakika hapa; na vekta unazopata zinaweza kutofautiana kutoka kwa vekta za sampuli hadi usawa wa kuratibu zao. Kwa mfano, na. Inapendeza zaidi kuwasilisha jibu katika fomu, lakini ni sawa ikiwa utaacha chaguo la pili. Walakini, kuna mipaka inayofaa kwa kila kitu; toleo halionekani kuwa nzuri sana.

Takriban sampuli ya mwisho ya mgawo mwishoni mwa somo.

Jinsi ya kutatua shida katika kesi ya eigenvalues nyingi?

Algorithm ya jumla inabaki sawa, lakini ina sifa zake, na inashauriwa kuweka baadhi ya sehemu za suluhisho kwa mtindo mkali zaidi wa kitaaluma:

Mfano 6

Tafuta eigenvalues na eigenveekta

Suluhisho

Bila shaka, hebu tuweke herufi kubwa safu ya kwanza nzuri:

Na, baada ya kuharibika quadratic trinomial na vizidishi:

Kama matokeo, eigenvalues hupatikana, mbili ambazo ni nyingi.

Wacha tupate eigenvectors:

1) Wacha tushughulike na askari pekee kulingana na mpango "uliorahisishwa":

Kutoka kwa milinganyo miwili ya mwisho, usawa unaonekana wazi, ambao, kwa hakika, unapaswa kubadilishwa kuwa mlingano wa 1 wa mfumo:

Hutapata mchanganyiko bora:
Eigenvector:

2-3) Sasa tunaondoa walinzi kadhaa. KATIKA kwa kesi hii inaweza kufanya kazi nje ama wawili au mmoja eigenvector. Bila kujali wingi wa mizizi, tunabadilisha thamani kwenye kibainishi ambayo inatuleta ijayo mfumo wa homogeneous wa milinganyo ya mstari:

Eigenvectors ni vekta haswa
mfumo wa msingi wa suluhisho

Kwa kweli, katika somo lote hatukufanya chochote isipokuwa kupata vekta za mfumo wa kimsingi. Ni kwamba kwa wakati huu muda huu haukuhitajika hasa. Kwa njia, wale wanafunzi wajanja ambao walikosa mada katika suti za camouflage milinganyo ya homogeneous, italazimika kuivuta sasa.

Kitendo pekee kilikuwa kuondoa mistari ya ziada. Matokeo yake ni matrix moja kwa tatu na "hatua" rasmi katikati.
– tofauti za kimsingi, – vigeu vya bure. Kuna vigezo viwili vya bure, kwa hiyo pia kuna vekta mbili za mfumo wa kimsingi.

Wacha tuonyeshe utofauti wa kimsingi katika suala la anuwai za bure: . Kizidishi cha sifuri mbele ya "X" kinairuhusu kuchukua maadili yoyote (ambayo yanaonekana wazi kutoka kwa mfumo wa equations).

Katika muktadha wa shida hii, ni rahisi zaidi kuandika suluhisho la jumla sio safu, lakini kwa safu:

Jozi hiyo inalingana na eigenvector:
Jozi hiyo inalingana na eigenvector:

Kumbuka : wasomaji wa hali ya juu wanaweza kuchagua vekta hizi kwa mdomo - kwa kuchambua tu mfumo , lakini ujuzi fulani unahitajika hapa: kuna vigezo vitatu, kiwango cha matrix ya mfumo- moja, ambayo ina maana mfumo wa maamuzi ya kimsingi inajumuisha 3 - 1 = 2 vectors. Walakini, vekta zilizopatikana zinaonekana wazi hata bila ujuzi huu, kwa kiwango cha angavu. Katika kesi hii, vector ya tatu itaandikwa hata zaidi "kwa uzuri":. Hata hivyo, ninaonya kwamba katika mfano mwingine, uteuzi rahisi hauwezi iwezekanavyo, ndiyo sababu kifungu hicho kinalenga watu wenye ujuzi. Kwa kuongeza, kwa nini usichukue, sema, kama vekta ya tatu? Baada ya yote, kuratibu zake pia kukidhi kila equation ya mfumo, na vectors kujitegemea linearly. Chaguo hili, kimsingi, linafaa, lakini "lililopotoka", kwani vekta "nyingine" ni mchanganyiko wa mstari wa veta za mfumo wa kimsingi.

Jibu: eigenvalues: , eigenveekta:

Mfano sawa wa suluhisho la kujitegemea:

Mfano 7

Tafuta eigenvalues na eigenveekta

Sampuli ya takriban ya muundo wa mwisho mwishoni mwa somo.

Ikumbukwe kwamba katika mifano ya 6 na 7 mara tatu ya eigenveekta huru hupatikana, na kwa hivyo matrix ya asili inawakilishwa katika mtengano wa kisheria. Lakini raspberries kama hizo hazifanyiki katika hali zote:

Mfano 8

Suluhisho: Wacha tuunde na kutatua mlingano wa tabia:

Wacha tupanue kibainishi kwenye safu wima ya kwanza:

Tunafanya kurahisisha zaidi kulingana na njia inayozingatiwa, epuka polynomial ya digrii ya tatu:

- maadili.

Wacha tupate eigenvectors:

1) Hakuna shida na mzizi:

Usistaajabu, pamoja na kit, pia kuna vigezo vinavyotumika - hakuna tofauti hapa.

Kutoka kwa mlinganyo wa 3 tunaieleza na kuibadilisha katika milinganyo ya 1 na ya 2:

Kutoka kwa equations zote mbili ifuatavyo:

Wacha basi:

2-3) Kwa maadili mengi tunapata mfumo .

Wacha tuandike matrix ya mfumo na, kwa kutumia mabadiliko ya kimsingi, tulete kwa njia ya hatua:

Katika picha tunaona mabadiliko ya mabadiliko yanayotokea kwa Gioconda. Vekta ya bluu inabadilisha mwelekeo, lakini nyekundu haibadilishi. Kwa hiyo, nyekundu ni eigenvector ya mabadiliko hayo, lakini bluu sio. Kwa kuwa vekta nyekundu haijanyoshwa wala kubanwa, eigenvalue yake ni moja. Vekta zote ni collinear na nyekundu pia ni eigenveekta. eigenvector) matrix ya mraba (C thamani ya eigen(Kiingereza) thamani ya eigen)) - Hii ni vekta isiyo ya sifuri ambayo uhusiano unashikilia

Wapi? ni scalar ya uhakika, yaani, halisi au nambari changamano.
Hiyo ni, eigenvectors ya matrix A ni vekta zisizo za sifuri ambazo, chini ya hatua ya mabadiliko ya mstari, zinatajwa na tumbo A usibadilishe mwelekeo, lakini unaweza kubadilisha urefu kwa sababu fulani?
Matrix ina vipimo si zaidi ya N eigenvectors na eigenvalues sambamba nao.
Uhusiano (*) pia hufanya akili kwa mwendeshaji wa mstari kwenye nafasi ya vekta V. Ikiwa nafasi hii ni ya kikomo, basi mwendeshaji anaweza kuandikwa kama matrix kwa heshima na msingi maalum. V.
Kwa kuwa eigenvectors na eigenvalues zilionyeshwa bila kutumia kuratibu, bila kujali uchaguzi wa msingi. Kwa hivyo, matrices sawa na eigenvalues sawa.
Jukumu kuu katika kuelewa eigenvalues ya matrices inachezwa na nadharia ya Hamilton-Cayley. Inafuata kutoka kwa hii kwamba eigenvalues ya matrix A na ni wao tu ndio mizizi ya tabia ya polynomial ya matrix A:

uk (?) ni polynomial ya shahada n, kwa hiyo, kwa nadharia ya msingi ya algebra, kuna hasa n eigenvalues changamano, kwa kuzingatia wingi wao.
Kwa hivyo matrix A hana zaidi n eigenvalues (lakini eigenveekta nyingi kwa kila mmoja wao).
Wacha tuandike sifa ya polynomial kupitia mizizi yake:

Msururu wa mzizi wa tabia ya polynomial ya matrix inaitwa wingi wa algebra thamani ya eigen
Seti ya eigenvalues zote za matrix au opereta wa mstari katika nafasi ya vekta yenye mwelekeo-mwisho inaitwa. wigo matrix au mwendeshaji wa mstari. ( Istilahi hii imerekebishwa kwa nafasi za vekta zisizo na ngozi: kwa ujumla, ? ambazo sio eigenvalues zinaweza kuwa za wigo wa opereta.)
Kwa sababu ya unganisho kati ya tabia ya polynomial ya matrix na eigenvalues zake, hizi za mwisho pia huitwa. nambari za tabia matrices.
Kwa kila eigenvalue, tunapata mfumo wetu wenyewe wa milinganyo:

Nini kitakuwa ufumbuzi wa kujitegemea linearly.
Seti ya suluhisho zote za mfumo huunda nafasi ndogo ya kipimo na inaitwa nafasi mwenyewe(Kiingereza) eigenspace) matrices na eigenvalues.
Kipimo cha nafasi inayofaa inaitwa wingi wa kijiometri eigenvalue inayolingana?
Eigenspace zote ni nafasi ndogo zisizobadilika za .
Ikiwa kuna angalau eigenveekta mbili huru zilizo na eigenvalue sawa?, basi thamani kama hiyo inaitwa eigenvalue. kuzorota. Istilahi hii hutumiwa hasa wakati wingi wa kijiometri na algebraic wa eigenvalues sanjari, kwa mfano, kwa matrices ya Hermitian.

Wapi - Matrix ya mraba ukubwa n x n,-Safu ya pili ambayo ni vekta, A - Hii ni matrix ya diagonal yenye maadili yanayolingana.

Shida ya eigenvalue ni shida ya kupata eigenveekta na nambari za matrix.
Kwa ufafanuzi (kwa kutumia equation ya tabia), unaweza kupata tu eigenvalues za matrices na vipimo chini ya tano. Equation ya tabia ina digrii sawa na kiwango cha matrix. Kwa digrii kubwa, kutafuta suluhisho kwa equation inakuwa shida sana, kwa hivyo njia anuwai za nambari hutumiwa
Kazi tofauti zinahitaji kupatikana kiasi tofauti eigenvalues. Kwa hiyo, kuna matatizo kadhaa ya kutafuta eigenvalues, ambayo kila mmoja hutumia mbinu zake.
Inaweza kuonekana kuwa shida ya sehemu ya eigenvalues ni shida ya sehemu ya kamili, na inatatuliwa kwa njia sawa na ile kamili. Walakini, njia zinazotumika kwa shida fulani ni nzuri zaidi, na kwa hivyo zinaweza kutumika kwa matiti ya vipimo vikubwa (kwa mfano, katika fizikia ya nyuklia, shida huibuka katika kutafuta eigenvalues ya matrices ya vipimo 10 3 - 10 6).
Mbinu ya Jacobi

Moja ya kongwe na wengi mbinu za kawaida kwa uamuzi tatizo kamili eigenvalues ni njia ya Jacobi, iliyochapishwa kwanza mnamo 1846.
Njia hiyo inatumika kwa matrix ya ulinganifu A
Hii ni algorithm rahisi ya kurudia ambayo matrix ya eigenvector inahesabiwa na safu ya kuzidisha.

Vector X ≠ 0 inaitwa eigenvector opereta wa mstari na tumbo A, ikiwa kuna nambari vile AX =X.

Katika kesi hii, nambari  inaitwa thamani ya eigen opereta (matrix A) inayolingana na vekta x.

Kwa maneno mengine, eigenvector ni vector ambayo, chini ya hatua ya operator wa mstari, inabadilika kuwa vector ya collinear, i.e. zidisha kwa nambari fulani. Kwa kulinganisha, vekta zisizofaa ni ngumu zaidi kubadilisha.

Wacha tuandike ufafanuzi wa eigenvector katika mfumo wa equations:

Wacha tuhamishe masharti yote kwa upande wa kushoto:

Mfumo wa mwisho unaweza kuandikwa kwa fomu ya matrix kama ifuatavyo:

(A - E)X = O

Mfumo unaosababisha daima una suluhisho la sifuri X = O. Mifumo hiyo ambayo maneno yote ya bure ni sawa na sifuri huitwa. zenye homogeneous. Ikiwa tumbo la mfumo huo ni mraba na kiashiria chake si sawa na sifuri, basi kwa kutumia formula za Cramer tutapata suluhisho la pekee - sifuri. Inaweza kuthibitishwa kuwa mfumo una suluhu zisizo za sifuri ikiwa na tu ikiwa kiashiria cha tumbo hili ni sawa na sifuri, i.e.

|A - E| = = 0

Equation hii na haijulikani inaitwa mlingano wa tabia(tabia ya polynomial) matrix A (opereta wa mstari).

Inaweza kuthibitishwa kuwa tabia ya polynomial ya operator linear haitegemei uchaguzi wa msingi.

Kwa mfano, hebu tutafute eigenvalues na eigenveekta za mwendeshaji wa mstari uliofafanuliwa na matrix A = .

Ili kufanya hivyo, hebu tuunde mlingano wa tabia |A - E| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; D = 4 + 140 = 144; eigenvalues 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Ili kupata eigenvectors, tunatatua mifumo miwili ya equations

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Kwa wa kwanza wao, matrix iliyopanuliwa inachukua fomu

wapi x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, i.e. X (1) = (-(2/3)s; s).

Kwa pili yao, matrix iliyopanuliwa inachukua fomu

kutoka wapi x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, i.e. X (2) = ((2/3)s 1; kifungu cha 1).

Kwa hivyo, eigenvekta za opereta huyu wa mstari zote ni vekta za fomu (-(2/3)с; с) yenye thamani ya eigen (-5) na vekta zote za fomu ((2/3)с 1 ; с 1) na thamani ya 7 .

Inaweza kuthibitishwa kuwa matrix ya opereta A kwa msingi unaojumuisha eigenveekta zake ni ya ulalo na ina fomu:

ambapo  mimi ni maadili ya matrix hii.

Mazungumzo pia ni kweli: ikiwa matrix A katika msingi fulani ni ya diagonal, basi vekta zote za msingi huu zitakuwa eigenvectors za matrix hii.

Inaweza pia kuthibitishwa kuwa ikiwa mwendeshaji wa mstari ana n eigenvalues tofauti kwa jozi, basi eigenveekta zinazolingana zinajitegemea kwa mstari, na matrix ya mwendeshaji huyu katika msingi unaolingana ina fomu ya diagonal.

Ufafanuzi: Wacha L ipewe n- nafasi ya mstari wa dimensional. Vector isiyo ya sifuri L inaitwa eigenvector mabadiliko ya mstari A, ikiwa kuna nambari ambayo usawa unashikilia:

A
(7.1)

Katika kesi hii, nambari  inaitwa eigenvalue (nambari ya tabia) mabadiliko ya mstari A yanayolingana na vekta .

Baada ya kuhamisha upande wa kulia(7.1) upande wa kushoto na kwa kuzingatia uhusiano
, tunaandika tena (7.1) kwa fomu

(7.2)

Mlinganyo (7.2) ni sawa na mfumo wa mstari milinganyo ya homogeneous:

(7.3)

Kwa kuwepo kwa ufumbuzi wa nonzero kwa mfumo wa equations linear homogeneous (7.3), ni muhimu na ya kutosha kwamba uamuzi wa coefficients ya mfumo huu ni sawa na sifuri, i.e.

|A-λE|=
(7.4)

Kiamuzi hiki ni polynomial ya shahada ya nth kwa heshima na λ na inaitwa tabia ya polynomial mabadiliko ya mstari A, na mlingano (7.4) - mlingano wa tabia matrices A.

Ufafanuzi: Ikiwa mabadiliko ya mstari A katika msingi fulani ,,…,ina matrix A =
, basi thamani kuu za ubadilishaji wa mstari A zinaweza kupatikana kama mizizi  1 ,  2 , ... ,  n ya mlingano bainifu:

Hebu tuzingatie kesi maalum . Acha A iwe mabadiliko ya mstari wa ndege ambayo matrix yake ni sawa na
. Kisha ubadilishaji A unaweza kutolewa na fomula:

;

kwa misingi fulani
.

Ikiwa badiliko A lina eigenvector yenye thamani eigen , basi A
.

Kwa sababu eigenvector zisizo sifuri, kisha x 1 na x 2 si sawa na sifuri kwa wakati mmoja. Kwa sababu Ikiwa mfumo huu ni wa homogeneous, basi ili uweze kuwa na ufumbuzi usio na maana, kiashiria cha mfumo lazima iwe sawa na sifuri. Vinginevyo, kwa mujibu wa utawala wa Cramer, mfumo una ufumbuzi wa pekee - sifuri, ambayo haiwezekani.

Equation inayotokana ni mlingano wa tabia ya mabadiliko ya mstari A.

Kwa hivyo, mtu anaweza kupata eigenvector (x 1, x 2) ubadilishaji wa mstari A wenye thamani eigen, ambapo ndio mzizi wa mlingano bainifu, na x 1 na x 2 ndio mizizi ya mfumo wa milinganyo wakati thamani inabadilishwa ndani yake.

Ni wazi kwamba ikiwa equation ya tabia haina mizizi halisi, basi mabadiliko ya mstari A hayana eigenvectors.

Ikumbukwe kwamba ikiwa ni eigenvector ya mabadiliko A, basi vekta collinear yoyote kwake pia ni eigenvector yenye eigenvalue sawa.

Kweli,. Ikiwa tunazingatia kwamba vectors wana asili sawa, basi vectors hizi huunda kinachojulikana mwelekeo mwenyewe au mstari mwenyewe.

Kwa sababu equation ya tabia inaweza kuwa na mizizi miwili tofauti ya kweli  1 na  2, basi katika kesi hii, wakati wa kuzibadilisha kwenye mfumo wa equations, tunapata idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi. (Kwa sababu equations zinategemea linearly). Seti hii ya suluhisho huamua mbili mistari mwenyewe.

Ikiwa equation ya tabia ina mizizi miwili sawa 1 = 2 =, basi kuna mstari mmoja tu wa moja kwa moja sahihi, au ikiwa, inapobadilishwa kwenye mfumo, inageuka kuwa mfumo wa fomu:
. Mfumo huu unakidhi maadili yoyote ya x 1 na x 2. Kisha veta zote zitakuwa eigenveekta, na mabadiliko kama haya yanaitwa mabadiliko ya kufanana.

Mfano.
.

Mfano. Pata nambari za tabia na eigenveekta za mabadiliko ya mstari na matrix A =
.

Wacha tuandike mabadiliko ya mstari katika fomu:

Wacha tuunda equation ya tabia:

 2 - 4+ 4 = 0;

Mizizi ya equation ya tabia:  1 = 2 = 2;

Tunapata:

Mfumo hutoa utegemezi: x 1 – x 2 = 0. Eigenveeta za mzizi wa kwanza wa mlinganyo wa tabia zina viwianishi: ( t ; t ) Wapi t- parameter.

Eigenvector inaweza kuandikwa:
.

Hebu tufikirie nyingine kesi maalum. Kama ni eigenvekta ya mageuzi ya mstari A iliyobainishwa katika nafasi ya mstari yenye mwelekeo-tatu, na x 1, x 2, x 3 ni vipengele vya vekta hii kwa misingi fulani.
, Hiyo